Centro Educacional João Paulo II

TEOREMA DE TALES

E SUAS CONSEQUÊNCIAS

Bragança - PA

2013

Ana Clara Freitas Milhomem

Brenda Ribeiro Padilha da Silva

Fabian Victor Reis Pfeiff

Matheus Vinícius Mourão Parente

Remo Luan Pereira Marinho da Costa

TEOREMA DE TALES E SUAS CONSEQUÊNCIAS

Prof. Leonardo Monteiro

Disciplina: Matemática

Bragança - PA

2013

Sumário

Apresentação

.................................................................................................................3

Introdução......................................................................................................................3

1. Conceitos Básicos......................................................................................................4

2. Como se originou o Teorema de Tales................................................................5 - 7

2.1 Exemplificações descritivas do Teorema de Tales........................................7 - 8

2.2 Exercícios de Fixação..................................................................................9 - 10

3. O que é o Teorema da Bissetriz Interna...........................................................10 - 11

3.1 Exemplificação descritiva da Bissetriz Interna................................................11

3.2 Exercícios de Fixação......................................................................................12

4. O que é o Teorema da Bissetriz Externa.................................................................13

4.1 Exemplificação descritiva da Bissetriz Externa....................................................14

4.2 Exercícios de Fixação....................................................................................14 - 15

Resumo.......................................................................................................................16

Bibliografia.................................................................................................................17

3

APRESENTAÇÃO:

O presente trabalho tem como intuito apresentar um breve resumo sobre Tales de

Mileto, o que levou o mesmo a criar o Teorema, as relações de proporcionalidade, o Teorema

de Tales e suas consequências Teorema da Bissetriz Interna e Teorema da Bissetriz Externa

respectivamente, utilizando-se de exemplos e imagens que serão expostas em sala.

A metodologia utilizada foi a pesquisa bibliográfica, enriquecida com pesquisa em

sites entre outras fontes.

INTRODUÇÃO:

Tales de Mileto (nascido por volta do ano 640

e falecido em 550 a.C., em Mileto, cidade da

Ásia Menor, descendente de uma família

oriunda da Fenícia ou Beócia) foi considerado

o primeiro filósofo e fundador da Escola Jônica

(a Jônia era uma região situada no litoral da

porção asiática das colônias gregas). Tales foi

incluído entre os sete sábios da antiguidade.

Estrangeiro rico e respeitável, o famoso Tales

durante a sua estadia no Egito estudou

Astronomia e Geometria e ficou famoso por ter previsto um eclipse solar no ano de 585 a.C.

Elaborou uma nova forma de pensar, diferente do modelo mítico que encontrava

explicações sobre a realidade nos deuses, pois suas investigações eram baseadas na

observação das coisas. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade

para determinar a altura de uma pirâmide.

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1. CONCEITOS BÁSICOS:

Antes de iniciarmos, faremos uma rápida exposição sobre feixes de retas paralelas,

retas transversais e uma breve explicação sobre o conceito básico do Teorema das Paralelas

ou de Tales.

Feixe de retas paralelas:

É um conjunto de retas paralelas contidas em um plano.

Retas Transversais

São todas as retas que cortam um feixe de retas paralelas.

Neste caso, as retas transversais são a, b e c.

Teorema das Paralelas (ou de Tales): Um feixe de retas paralelas determina

sobre duas retas transversais, duas séries de segmentos respectivamente

proporcionais.

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2. COMO SE ORIGINOU O TEOREMA DE TALES:

O teorema de Tales possui inúmeras aplicações nas diversas situações envolvendo

cálculo de distâncias inacessíveis e possui grande aplicabilidade nas questões relacionadas à

astronomia. Uma proposição de grande importância, que Tales utilizou na determinação da

altura da pirâmide Quéope. Quando Tales de Mileto, cerca de seiscentos anos antes do

nascimento de Cristo, se encontrava no Egito, lhe foi pedido por um mensageiro do faraó, o

nome do soberano, que calculasse a altura da pirâmide Quéope. Tales observou que os raios

solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele

concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos,

observe a ilustração:

Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base

no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma

estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada

hora do dia e estabeleceu a proporção:

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Numa representação mais simples:

Os triângulos são semelhantes porque têm dois ângulos iguais:

Então, os lados são proporcionais:

Pelo Teorema de Tales generalizando, temos:

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que encontra os dois lados em pontos

distintos determina sobre esses dois lados segmentos que são proporcionais.

Como no exemplo:

7

Observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

2.1 EXEMPLIFICAÇÕES DESCRITIVAS DO TEOREMA DE

TALES:

Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor

dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

AB = 2x – 3

BC = x + 2

A’B’ = 5

B’C’ = 6

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Determinando o valor de x:

Exemplo 2

Determine o valor de x na figura a seguir:

Observe que a relação estabelecida envolve noções de razão e proporção. A igualdade

entre as duas razões formam uma proporção, o cálculo dessa proporção será resolvido através

de uma simples multiplicação cruzada.

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2.2 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

1- Encontre o valor de x:

2-

a) Determine o valor da expressão x - y observando a figura abaixo, em que

a // b // c.

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b) No triângulo ABC da figura abaixo temos que DE // BC. Sabendo que a medida

do lado BC do triângulo é 14 cm, calcule as medidas dos lados AB e AC e o

perímetro desse triângulo.

3. O QUE É O TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA:

Este é um importante teorema da geometria plana, onde conseguimos

determinar segmentos proporcionais em um triângulo.

Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a

ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo.

Tendo uma representação de bissetriz interna:

11

Em outras palavras, temos:

3.1 EXEMPLIFICAÇÃO DESCRITIVA DA BISSETRIZ INTERNA:

12

Determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP é bissetriz do

ângulo BÂC:

3.2 EXERCICÍCIOS DE FIXAÇÃO:

1- Na figura abaixo, BD é bissetriz interna do ângulo B. Vamos determinar o valor de

x.

Pelo teorema da bissetriz interna, temos:

2- De acordo com a condição dada em cada item, calcule o valor de x em cada figura.

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4. O QUE É O TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA:

Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contem o

lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos proporcionais ao

lados adjacentes.

Entendendo melhor, temos:

Supondo ABC o triângulo de lados a, b, c, AD a bissetriz externa com D na

reta BC, DB = x e DC = y.

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Logo, reforçando a ideia do teorema da bissetriz externa, temos:

4.1 EXEMPLIFICAÇÃO DESCRITIVA DA BISSETRIZ

EXTERNA:

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4.2 EXERCICÍCIOS DE FIXAÇÃO:

1. Observe o caso a seguir e descubra o valor de x:

2. Sendo AE a bissetriz externa do triângulo ABC. Calcule o valor de BE:

Caso 1: Caso 2:

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RESUMO:

A partir deste trabalho foi possível conhecer a história do teorema como também

porque foi criado e por quem, tivemos uma melhor compreensão do modo como se aplica o

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Teorema de Tales e suas consequências, a importância da proporção e obtivemos um bom

entendimento do assunto por meio de exemplos, exercícios e pela própria exposição em sala.

O objetivo principal desse trabalho foi iniciar uma prática e um conhecimento mais

aprofundados sobre o tema com o intuito de levá-los a uma compreensão clara e a aplicação

correta deste conhecimento. Para que possam aplica-las no seu dia a dia.

Com tudo podemos concluir que prática de exercícios é fundamental para que se

compreenda melhor o conteúdo , onde o trabalho vem explicar como deve-se ser usado de

forma descritiva, e os exemplificando-os.

Bibliografia:

Sites:

18

http://www.youtube.com/watch?v=62bXabfJiv0

http://www.brasilescola.com/biografia/tales-de-mileto.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-tales.htm

http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/11/teorema-da-bissetriz-interna.html

http://matematica.com.br/site/index.php?

option=com_content&view=article&id=718:teorema-da-bissetriz-interna&catid=45:voce-

sabia-que&Itemid=188

http://htmlimg2.scribdassets.com/6u09j3hrcw1apxvq/images/24-976bcd983d.jpg

http://www.slideshare.net/prof.andrea/recuperao-9o-ano-2009#btnNext