Upload
guiditta-cozzolino
View
225
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989)
Consideriamo lo stato fondamentale del modello di Hubbard repulsivo su un reticolo di dimensione qualsiasi bipartito L con |A| siti A e |B| siti B per cella,
Gli hopping accoppiano solo siti di un sottoreticolo a quelli dell'altro. Per U<0 e un numero pari di particelle lo spin totale e’ S=0.
Per U>0 a mezzo riempimento sia
1
†
,
| | | |, , , .x y x xx y x
B A H t c c U n n t U
Permette di stabilire l’esistenza diFerrimagnetismo da elettroni itinearanti, e la dimostrazione e’ bella e formativa.
Elliot H. Lieb (Boston 1932)
| |, con | |=numero siti
2 x xn n n
Allora, 2S=|B|-|A |.
This model was considered on a bipartite AB lattice in a famous paper by Lieb and Mattis (J. Mathematical Physics 3, 749 (1962)). They were able to show that in the ground state the spin of the elementary cell is 2S=|B|-|A| where |B| and |A| are the numbers of sites in the two lattices.
1( )
4Heisenberg m nmn
H J S S
Abbiamo visto che nel caso U>>t il modello di Hubbard si riduce al il modello di Heisenberg
La strategia di Lieb e’ quella di ricondursi a questo caso mostrando che esiste uno stato fondamentale unico con Sz=0 per ogni U>0; l’impossibilita’ di avere incroci comporta che il teorema validi per il caso di Heisenberg su estende a quello di Hubbard.
Relazione col modello di Heisenberg
3
1
2z x xx
S n n
†x x
x
S c c
Abbiamo visto che gli operatori di spin sono:
Si noti che agendo con S e con S che una configurazione simmetrica del tipo
( , , ,...., , , ,....)
dove gli indici denotano siti, ha S 0 ( e ' singoletto).
z
i j k i j k
Configurazione di singoletto
Trasformazione da U positivo a U negativoE da spin a pseudospin
†
†
c sottoreticolo A
c sottoreticolo Bx
xx
d
11
2 2z zx xx
n nS n n S
† ( )x x x x
x x
S c c S x d c
˜ H t dx d
y cx c
y x ,y U
x d
x d
x nx UN .
4
diversa da quella di spin giu'. †
x x xn d d
Cosi' uno mappa il problema repulsivo in uno attrattivo . Tranne il caso di un problema originale di half filling pero' ha in generale il problema trasformato ha una configurazione magnetica, con una popolazione
| |
2 x x xn n n n
Half filling
Indicando | |L con il numero dei siti, specializziamoci allora ad half filling, quando ci sono n elettroni di spin alto e n di spin basso, con
spin spin spin spin
5
Lieb dimostra che il problema attrattivo ha uno stato fondamentale di singoletto con un ragionamento alla Perron-Frobenius. Poi dimostra che e’ unico sfruttando il principio variazionale e U<0.
Una configurazione siti con U>0
La stessa configurazione nella pittura U<0
Cambiamo notazione, eliminando i tilde, ponendo U<0 e scrivendo semplicemente
†
,x y x x
x y x
H t c c U Un n
Questo stato corrisponde nel problema repulsivo ad un solo stato fondamentale che si ottiene dalla trasformazione unitaria. Questo stato non degenere ha la stessa energia; non e’ in generale di singoletto ma si trova nel settore Sz=0 perche’ nel reticolo ci sono n elettroni per spin.
Nel problema con U<0, sia ( , , ,....) la tipica configurazione con spin sui siti i,j,k....
| |Numero configurazioni di spin su: ;| |
2
ci sono altrettante configurazioni i
.
d
m
i j k
spin giu'.
La dimensione del problema da risolvere per trovare lo stato fondamentale e’ m2. Il tutto si puo' formulare in termini di una matrice mxm W come segue. La funzione d'onda fondamentale puo' scriversi
in termini di configurazioni dei due spin e della matrice mxm W. Sulla base delle configurazioni sui siti, gli elementi diagonali contribuiscono alla funzione d'onda termini del tipo
( , , ,...., , , ,....)i j k i j k
che sono, come si e' visto, di singoletto di spin. 6
,,
W
Matrice W delle ampiezze
7
L’elemento di matrice Wab va poi reinterpretato nel problema repulsivo nel senso che nello stato fondamentale a e’ la configurazione delle buche secondo lo schema
U<0
U>0
Si tratta, beninteso, di un singoletto di spin per il problema con U attrattivo, che non lo e' necessariamente per il problema repulsivo originario. Infatti nella trasformazione lo spin va nello pseudospin.Se vi sono termini diagonali non nulli in W, lo stato fondamentale y del problema attrattivo ha sicuramente almeno una componente di singoletto.
,,
W
8
,
,
10
2 da' un singoletto a 2 particelle stati a un corpo
1
x, y ;infatti,1
02
10
21 202
Questo mostra che W puo ' avere
S ( ) 0.2
co
S
W
xW
x y y x
x y x y y x
y
mponente di singoletto anche se
tutti i termini diagonali sono nulli.
Esempi
Il tripletto e'
10
212 02
ma noi possiamo prendere equivalentemente la matrice hermitiana
10
21
02
T xx yx y y x
y
W i
9
,,
*,
,
*,
,
se e’ uno stato fondamentale,
per la realta 'dell 'equazione di Schrödinger e’ uno stato fondamentale.
Ma H e' invariante scambiando ,
anche e’ uno st
W
W
W
†
ato fondamentale.
Quindi se W e’ uno stato fondamentale, e’ uno stato fondamentale.W
La matrice W puo' sempre essere presa hermitiana. Infatti,
† †
Quindi noi possiamo prendere le combinazioni lineari hermitiane
, ( )
La matrice W puo ' essere presa hermitiana.
W W i W W
* ' ' * 2, ', ' , , , ,
, ', ' , ,
1 W W W W W W TrW
Con W hermitiana, la normalizzazione e'
Normalizzazione
10
Energia cinetica in termini di W
e’ la matrice dell'energia cinetica sulla base delle configurazioni. Dalla definizione uno puo’ calcolarsi direttamente le matrici
† †
, ,
, ,x y x y
x y x y
K t c c K t c c
* † *, , , ,
, , , , ,
†
,
,
dove
x yx y
x yx y
K W W t c c W W K
K K t c c K
†,
, ,
* †, ,
, , ,
La media di su viene:x y
x y
x yx y
t c c W
K W W t c c
E poiche’ W e’ hermitiana,l’energia cinetica risulta espressa in termini dell’incognita W:
2, , , ,
, , , ,
K W W K W K W TrWKW TrKW
Per lo spin giu’ viene una delta : ; cosi'
11
,,
*, ,
, ,
*, ,
, ,
x x x xx x
x xx
W
U n n W W U n n
U W W n n
*, ,
, ,
, ,, , ,
.
x xx xx x
x x x xx x
U n n U W W n n
U W W n n U Wn W n
Introducendo la matrice del numero di occupazione, che non dipende dallo spin, sfruttiamo di nuovo il fatto che W e’ hermitiano:
Gli indici sembrano messi male, ma non c’e’ problema poiche' n e’ hermitiano e reale. Poiche’ la matrice di n e' simmetrica, questo vale
,
x x x xx x
U Wn W n UTr Wn Wn
2Quindi l 'energia totale e ' ( ) 2 x x
x
E W TrKW U TrWn Wn dove il 2 viene dalla somma sugli spin.
Interazione in termini di W
12
Equazione di Schrödinger (SE)
Variando ( ) 2( ) ( )x xx
E W WKW U Wn Wn
,
( ) 2 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )ji ji x x ji x i x jx xij
E W K W W K U n W n U W n nW
,
L'ultimo termine si somma facilmente su :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x i x j x j x i x x ix x x
Wn n n Wn n Wn
( ) 2 ( ) ( ) ( )ji ji x x jixij
E W KW WK U n WnW
Variando rispetto a un elemento della matrice W
= moltiplicatore di Lagrange, si trova la SE.
( ( ) ) 0E W
2 *
,
d'altronde, | | ij jiij
W W WW
ed introducendo il moltiplicatore di Lagrange e si trova la SE
x xx
KW WK U n Wn W
13
iSe tutti gli autovalori w di W sono non negativi, W si dice
, e si scrivesemidefinita simbolicamenpositi te va 0.W
Definizione
Allora anche sulla base delle configurazioni W>0 ha elementi diagonali non nulli, lo stato fondamentale ha almeno una parte di singoletto, avendo termini del tipo
Se 0, 0 strettamente, perche ' se tutti gli autovalori fossero nulli,
la matrice sarebbe nulla e non sarebbe normalizzabile.
W TrW
Nota Bene:
Faremo vedere poi che uno stato fondamentale deve essere semidefinito positivo.
( , , ,...., , , ,....).i j k i j k
14
Supponiamo di conoscere una W dello stato fondamentale. Diagonalizzandola, troviamo gli autovalori wi ed una matrice ortogonale C di autovettori tali che
Prendendo i moduli degli autovalori wi e tornando indietro, si ottiene una matrice semidefinita positiva, chiamiamola |W|, tale che:
W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale.
† diag( ).iC WC w
† | | diag(| |).iC W C w
2 2
2
2La norma non cambia dato che | | 1.
allo stesso modo non cambia l'energia cinetica 2 ( | | ).
iTr W w TrW
Tr K W
2 2 2 2Infatti, | | | | sulla base su cui W e ' diagonale .ij ii iijij
TrK W K W K w TrKW
(ragionamento alla Perron-Frobenius)
15
Dal momento che |W| e‘ uno stato fondamentale definito positivo, il problema con U<0 ha uno stato fondamentale di singoletto. Infatti, la traccia non nulla implica elementi di matrice diagonali non nulli anche sulla base delle configurazioni dei siti.
2
,
se calcolata con | W | invece viene ( ) .i j x ijx i
U w w n
2
,
L'energia potenziale se calcolata con W viene
( ) ( ) ( ) ( )
( )
x x x x ii i x x ii i x ij j x jix xi xi xi
i j x ijx i
UTr Wn Wn U Wn Wn U w n Wn U w n w n
U w w n
Poiche' U e' negativo, |W| ha energia non superiore a W, quindi e' essa stessa uno stato fondamentale. (Questo era lo scopo della trasformazione canonica a U negativo).
Esiste uno stato fondamentale di singoletto. Bisogna dimostrare che in realta’ W=|W| e lo stato fondamentale e’ unico. Faremo vedere che deve essere semidefinito positivo e che tale proprieta’ non puo’ essere vera se non e’ unico.
W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale.
16
R W W 0.
Se supponiamo che R non abbia autovalori nulli, vuol dire che , | | 0
W W
w w
Allora a meno di un segno inessenziale, ritroviamo lo stesso stato fondamentale. Se viceversa supponiamo che esista un autovalore nullo, allora dimostramo che tutti sono nulli, cioe’ R=0, Infatti, dato l’autovalore nullo, sia V l'autovettore corrispondente, per il quale RV=0. Allora possiamo mostrare che questa relazione vale per tutto il set completo e R=0. Infatti, mediando l'equazione di Schroedinger per R su V, troviamo (l’argomento e’ euristico ma si puo’ rendere rigoroso)
0 0 0.
0 e allora anche 0.
x xx
x xx
x
V KR RK U n Rn V e V R V
R V V R V n Rn V
Rn V RK V
|W| e W sono stati fondamentali, quindi anche R=|W|-W lo e’. Inoltre,
Si dimostra per assurdo. Se lo stato fondamentale W non e’ semidefinito, cioe’ ha autovalori sia positivi che negativi, calcoliamo |W|; W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale. Con esso formiamo R=|W|-W.
W fondamentale deve essere semidefinito positivo (o negativo)
| | 0w w
,,
sia uno stato fondamentale,W
17
Unicita’ e spin dello stato fondamentale
Resta la possibilita' di avere due soluzioni W1 e W2 che differiscano anche per i moduli di alcuni autovalori. Pero' il fatto che lo stato fondamentale e’ definito positivo implica la sua unicita’. La combinazione lineare Wl =W1 + l W2 , che dovrebbe a sua volta essere uno stato fondamentale (da normalizzare) avrebbe traccia Tr (W1 + l W2 )=0 per una opportuna scelta di l , e dovrebbe avere autovalori sia positivi che negativi (con autovalori tutti nulli, W=0); ma come si e' visto, un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato fondamentale. Questo dimostra che lo stato fondamentale non e' degenere.
In tal modo tutte le configurazioni connesse con V dal termine cinetico sono nel Kernel di R; ma date due configurazioni si possono sempre collegare con una potenza finita di K, e il Kernel si mangia tutto lo spazio di Hilbert. Una matrice che ha un kernel cosi’ grande e’ nulla.Quindi R=0, W=|W| e lo stato fondamentale e’ semidefinito positivo.
z
z
Torniamo alle variabili originarie, nel settore S 0 cioe’ .
Lo stato fondamentale con S 0 e' unicdel modello repulsivo o.
x xx x
n n
Per U grandi il modello tende a quello di Heisenberg, che ha 2S=|B|-|A|. Questo deve valere per U qualsiasi, dato che l’unicita’ proibisce incroci di livelli.
Un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato fondamentale.
Nel caso repulsivo lo stato fondamentale si ottiene dal caso attrattivo con la trasformazione canonica; quindi e’ unico.
18
Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991):the Kagome lattice is ferromagnetic at filling factor 1/6.
| |1 degeneracy
3 of one-body ground state.
(| |=number of sites)
M
First case with saturated ferromagnetism (all spins up) at finite U. The lowest band is dispersionless and this is called flat band ferromagnetism.
Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991)
21
Ferrimagnetismo
2S=B-A dove B ed A sono i numeri di siti dei due sottoreticoli ed S e' lo spin totale. Cio' implica S=0 per il modello di Hubbard triviale, S=1/2 per ogni cella del modello a 3 bande (senza interazioni O-O, perche’ deve essere un reticolo bipartito) etc.
Reticolo CuO2
22
In un reticolo di lato L, ci sono A= 2 L2 O e B= L2 Cu. Quindi, 2S= L2
Quindi il sistema senza interazioni O-O e’ ferrimagnetico: spin opposti su siti vicini, ma prevalenza numerica degli ossigeni e momento magnetico di bulk. In realta’ il sistema e’ antiferromagnetico, perche’ ci sono le interazioni O-O e perche’ ad essere mezza piena e’ la banda del Cu, non tutta la valenza.
Antiferromagnetismo - modello a 3 bande CuO
23
( review by Hal Tasaki, cond-mat/9512169, cond-mat/9712219)
Lavori sul Magnetismo nel modello di Hubbard
Teorema di Lieb-Mattis
Phys. Rev. 125, 164 (1962)
Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989)
24
Quantum phasesGalileo Transformations
2 ( , ){ ( )} ( , ) ; ina moving frame2' , ' , ' with scalar : '( ', ) ( , )
p x teV x x t i
m tx x vt y y z z V V r t V r t
( , , , )
2
'( ', ', ', ) ( , , , )
( , , , )2
i x y z tx y z t x y z t e
mvx mv tx y z t
One checks that plane wave momentum transforms according to Galileo.
25
AC response to DC bias !
Superconductor Thin insulator Superconductor
R
emf
0 0 0
2sin ( ) , constant
eVI I t t I
Macroscopic quantum phenomena: Josephson effect
2* * 2
*Ginzburg-Landau : order parameter [ ] | | 0
2S
e eJ A A
mi m c
11 1| | ie 2
2 2| | ie
(
2
)1 2
* *1 2 1 2 2
1 0 0
1
2sin ( )
Time-dependent phase e like quantum particle.
Matching ( ) in barrier ( ) , barrier width
si
cause
n
,s
iEt
z z b
S
eVI Iemf eV
z z e e
t
b
J
t t
26
Gauge Transformations
Without the gauge invariance, any theory is untenable. In classical theory,the Hamiltonian of a charged particle is
2( )( )
2
ep A
cH eV xm
where p is the kinetic momentum and A the vector potential. Both are unobservable.
1' ( , ) 'A A x t V V
c t
2( [ ]) 1 '{ [ ( ) ]} '
2
ep A
c eV x im c t t
New Schroedinger equation:
;One could have started with new potentials giving the same fields:
27
2( [ ]) 1 '{ [ ( ) ]} '
2 is solved by
( , )'( , ) ( , )exp[ ]; in thenochange hysics.
ep A
c eV x im c t t
ie x tx t x t P
c
28
b
h h a
70
0
2
Peierls: in discrete models the prescription becomes
2 it fluxon 410 Gauss cm t exp[ A.dr],
hce
Consider a Linear Combination of Atomic Orbitals (LCAO) model fora molecule or cluster (or a Hubbard Model, neglecting overlaps)
28
Peierls prescription for discrete models
a b
tab
Thehopping term standsfor thematrix element of H between orbitals.
( , )Introducevector potential by '( , ) ( , )exp[ ] ands so on.
ab
a a
t
ie x tx t x t
c
1
' ( , ) ' ; if 0, ( , ) '.x
anyplaceA A x t A x t A dr
c t
29
In the case of H2 this can be gauged away, but with three or more atoms the physical meaning is that a magnetic flux φ is concatenated with the molecule; changing φ by a fluxon has no physicalmeaning, however.
b 7 2h h 0a
0
Peierls prescription: to introduce A modify hopping integral:
2 it t exp[ A.dr], 410 Gauss cm
hce
By complex hoppings, one can
introduce a concatenated magnetic flux
29
. A.dr
S
BdS
30
3-site cluster with flux
( )gs gsE E
23 13 12
0
1, ,
2
ie
e
c
1
2
3
Ground state Energy Egs(f) has period=2 p
In[12]:= h : 0 EI 1EI 0 11 1 0
;
ListPlotTable , MinEigenvaluesh, , 0, 6, .1,PlotJoined True, AxesLabel , E,Ticks 0, Pi, 2Pi, 3Pi, 4 Pi, 5 Pi, 0, 1
Out[12]=
2 3 4 5
Egs
Aharonov-Bohm effect
The electron(s) see no magnetic field. The phase difference between beams on either side of solenoid is
, .q
magnetic flux in solenoid
31
From Griffiths Introduction to Quantum Mechanics
Topologic phases
33
33
Topologic quantum phasesPancharatnam phase
The Indian physicist S. Pancharatnam in 1956 introduced the concept of a geometrical phase.
Let H(ξ ) be an Hamiltonian which depends from some parameters, represented by ξ ; let |ψ(ξ )> be the ground state.
Compute the phase difference Δϕij between |ψ(ξ i)> and |ψ(ξj)> defined by
This is gauge dependent and cannot have any physical meaning.Now consider 3 points ξ and compute the total phase γ in a closed circuitξ1 → ξ2 → ξ3 → ξ1; remarkably,γ = Δϕ12 + Δϕ23 + Δϕ31
is gauge independent!
Indeed, the phase of any ψ can be changed at will by a gauge transformation, but such arbitrary changes cancel out in computing γ. This clearly holds for any closed circuit with any number of ξ. Therefore γ is entitled to have physical meaning.
There may be observables that are not given by Hermitean operators.
.iji
i j i je