teoria de colas.pdf

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Católica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

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ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

CARRERA:Ingeniería en Informática

AUTORA:Ing. Liliana Enciso Quispe

CICLO

7

T EORÍA DE COLAS

Guía didáctica

18904

1. Datos informativos

TEORÍA DE COLAS Guía didácticaLiliana Enciso Quispe

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

CC Ecuador 3.0 By NC ND

Diagramación, diseño e impresión:EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJACall Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977C. P.: 11- 01- 608www.utpl.edu.ecSan Cayetano Alto s/nLoja - Ecuador

Segunda ediciónTercera reimpresión

ISBN-978-9942-00-309-6

Esta versión impresa, ha sido licenciada bajo las licencias Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Sin Obras Derivadas; la cual permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales ni se realicen obras derivadas. http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/ec/

Octubre, 2011

ÍNDICE

Introducción ....................................................................................................5

Objetivo general ..............................................................................................5

Bibliografía ......................................................................................................6

Orientaciones generales ...................................................................................7

Primer bimestre

Objetivos específicos .....................................................................................13

Contenidos ....................................................................................................13

Desarrollo del aprendizaje .............................................................................14

CAPÍTULO I ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA ...........24

CAPÍTULO II MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL .......33

CAPÍTULO III MODELO DE LÍNEA DE ESPERA CON CANALES MÚLTIPLES ...40

CAPÍTULO IV ALGUNAS RELACIONES GENERALES PARA MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA ................................................................40

CAPÍTULO V OTROS MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA .............................45

Segundo bimestre

Objetivos específicos .....................................................................................55

Contenidos ....................................................................................................55

Desarrollo del aprendizaje .............................................................................56

CAPÍTULO VI INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN ................................60

CAPÍTULO VII SIMULACIÓN DE INVENTARIO ..........................................64

CAPÍTULO VIII SIMULACIÓN DE LÍNEA DE ESPERA ...................................68

CAPÍTULO IX LENGUAJES DE SIMULACIÓN .............................................76

CAPÍTULO X OTROS PROBLEMAS DE SIMULACIÓN ...............................80

Ayudar primer bimestre .................................................................................81

Ayudar segundo bimestre ...............................................................................85

F Evaluaciones a distancia

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PRELIMINARES Guía didáctica: Teoría de Colas

Introducción

“No importa en qué cola se sitúe: La otra siempre avanzará más rápido”(Primera Ley de Harper)

“Y si se cambia de cola, aquélla en la que estaba al principio empezará a ir más de prisa” (Segunda Ley de Harper)

Actualmente el manejo del tiempo en las organizaciones ha venido a tomar un papel protagónico, a tal punto que se han hecho grandes inversiones en tecnología que permita manipular de forma adecuada y oportuna los recursos más importantes de las organizaciones.

La teoría de colas es una de esas herramientas que ayudan a dar servicios adecuados con tiempos de respuestas oportunos, esta fue originada por Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 paraanalizar lacongestiónde tráfico telefónicoconelobjetivodecumplir lademanda inciertadeservicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

Las “colas” son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos en nuestras actividades diarias cuando formamos colas o líneas de espera atentos a un servicio. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc.

El análisis de teoría de colas es una de las herramientas más importantes para las personas involucradas con el análisis de computadoras y redes. Puesto que puede usarse para proporcionar respuestas aproximadas a muchas preguntas como las siguientes:

• ¿Quépasa en elmomento de la recuperación de un archivo cuando la utilización deEntrada/Salida crece?

• ¿Cambiaeltiempoderespuestasilavelocidaddelprocesadoryelnúmerodeusuariosenel sistema se duplican?

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PRELIMINARESGuía didáctica: Teoría de Colas

• ¿Cuántas líneas debe tener el dispositivo de selección en un sistema de tiempocompartido?

• ¿Cuántas terminales senecesitanenuncentrode consultaen línea (ContactCenter) ycuánto tiempo desocupado tendrán los operadores?

• ¿Cuántaslíneastroncalesdeberátenerunacentraltelefónicaenunaempresasiseconoceel número de llamadas esperadas por hora, de manera que no exista congestión?

Como podemos apreciar, este tipo de preguntas están asociadas a cuestiones de análisis y diseño de sistemas informáticos. El estudio de Teoría de Colas presentadas en esta guía didáctica, pretende hacer una aproximación a este campo mediante hechos, partiendo de ejemplos de procesos en general y el alumno podrá asociar los mismos a casos informáticos una vez que haya aprendido a manejar la herramienta con solvencia.

Aunque en la teoría de colas, el aspecto matemático es complejo, la aplicación para el análisis del desempeño de sistemas en muchos casos es directa. Todo lo que se requiere son conocimientos de los conceptos de estadística elemental (promedios y desviaciones estándar) y conocimientos básicos de probabilidad en cuanto a distribuciones conocidas. Armado con estos conocimientos, el analista puede hacer una valoración de un sistema de una manera bastante sencilla.

En esta asignatura abordaremos el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

En el primer bimestre se tratara sobre los Modelos de líneas de espera así como los sistemas de colas como modelos de sistemas que proporcionan un servicio. Se hará hincapié en la evaluación de las medidas de desempeño así como en la aplicación de las líneas de espera de un solo canal y de múltiples canales con llegadas de Poisson y tiempos de servicios arbitrarios con y sin línea de espera.

En el segundo bimestre estudiaremos diversidad de modelos de simulación que nos permitan reducir los riesgos frenteauna incertidumbre,asícomoanalizarel riesgosinusar simulación.Severificaráejemplos reales y las respectivas ventajas y desventajas de usar simulación. En el documento de ayuda se adjuntará información sobre la aplicabilidad de los lenguajes de simulación.

Los problemas de “colas” se presentan permanentemente en la vida diaria: un estudio en EEUU concluyó que, por término medio, un ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en distintas colas, y de ellos casi seis meses parado en los semáforos.

Esta guía didáctica trata de dar una visión real y práctica de la temática abordada a través de la inclusión de explicaciones, ejemplos y otros temas relacionados al tema, para que el profesional en formación pueda asimilar de mejor forma los conceptos, teorías y ejemplos que encontrará en el texto base así como en los documentos adjuntos en PDF.



• Desarrollar las destrezas en el estudio de la Teoría de colas con el objetivo de determinar que nivel de servicio, ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad que ellas proporcionan para minimizar el costo total del sistema, evaluar su rendimiento y utilizarlo como herramienta administrativa para la toma de decisiones.

• Caracterizar cualitativamente y cuantitativamente a una cola y determinar los niveles adecuados de ciertos parámetros del sistema para balancear el costo social de la espera, con el costo asociado al consumo de recursos.

• Aplicar todos los conocimientos y conceptos adquiridos en la simulación de hechos reales en las tareas, actividades y procesos administrativos cotidianos, para la búsqueda de alternativas de solución a la causa de problemas específicos.

Objetivo general

Bibliografía

Básica

[ASW2004] ANDERSON David, SWEENEY Dennis, WILLIAMS Thomas., “Métodos Cuantitativos para los negocios “, Thomson. Edición, 2004, 822 pág.ISBN; 970-686-372-9.

Acerca del Libro:

Escrita para el lector que no es matemático esta obra se orienta a las aplicaciones para negocios, y proporciona una comprensión conceptual del papel que desempeñan los métodos cuantitativos en el proceso de toma de decisiones. El texto describe la forma en que los métodos han evolucionado a lo largo de los años, explica cómo funcionan y muestra la manera en que las personas encargadas de tomar las decisiones los interpretan y aplican.

Complementaria

[TAH2004] TAHA, Hamdy A., Investigación de Operaciones, Una Introducción”, Prentice Hall, 7ma. Edición, 2004, 830 pág.ISBN; 970-26-0498-2.

Se ha elegido éste libro como complementario para la asignatura de Teoría de Colas debido a que posee los contenidos requeridos. La Investigación de Operaciones es una Ciencia de la administración para la toma de decisiones, como tal, este libro aporta con dos capítulos muy importantes como son el 17y 18, en los que abordamos los temas de colas y simulación. Adicionalmente presenta ejemplos variados que ayudarán al profesional en formación a reforzar la parte teórica.

[SIL1998] ARIAS J., GONZALEZ A., REDONDO R., Teoría de Colas y Simulación de Eventos Discretos, Prentice Hall, xxxxx, 2004, 3ra. Edición, 641 p.



Este texto constituye el principal complemento para el estudio de la asignatura. Es muy importante comprender los conceptos de base de datos desde esta perspectiva, puesto que gracias a profundos estudios se ha logrado esclarecer algunas de las tareas principales de un SGBD que son transparentes al usuario, pero que para un diseñador de base de datos son muy importantes.

El objetivo de este libro es la presentación de los conceptos fundamentales de la teoría decolas y de la simulación de eventos discretos, de aplicación para el análisis de prestaciones y el dimensionado de sistemas de espera.

Los capítulos que pueden darle un repaso a los capítulos 1 (iniciar literal 1.4) hasta el capítulo 8 a excepción del capítulo 3 que está dedicado íntegramente a la simulación,el resto trata sobre los sistemas de espera. Desde el primer capítulo se inicia con una introducción general en la que se sitúa la Teoría de Colas dentro de una disciplina de ámbito de aplicación más amplio enlaInvestigacióndeOperaciones.Elmodeloylaespecificacióndelsistemadeesperasonlosconceptos más utilizados en esta materia,el proceso de Poisson adopta un papel protagónico dentro de los procesos estocásticos,debido a su enorme interés desde todo punto de vista práctico.

El capítulo tres que trata sobre los sistemas de simulación de eventos discretos, es una técnica muy útil para el estudio de sistemas de espera cuya solución analítica es muy compleja y a veces hasta desconocida, el objetivo de este capítulo es la presentación de conceptos básicos necesarios para formular un modelo de simulación.

[AZA1996] AZARANG Mohammad, GARCIA Eduardo, SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS, Mc.Graw Hill, México, 1996, 1ra Edición, ISBN: 970-10-1173-2.

“...Desde hace varias décadas se desarrollaron modelos como la teoría de colas, mismos que se retomaron para modelar sistemas de manufactura complejos. A partir de estos modelos, y con la inclusión de modelos estocásticos, se pueden manejar sistemas de complejidad tal, que mediante técnicas como la simulación permiten incluir la variabilidad a través del tiempo, con lo que se observa la dinámica de todo el sistema”. Este libo se constituye en un compendio matemático y conceptual para la simulación en teoría de colas y otros procesos probabilísticos. Es una herramienta que permitirá al estudiante, asentar los conceptos desarrollados en la guía de un modo más formal.

Otras fuentes de información:

Otra fuente de información muy importante es el Internet a la que Usted debería ingresar. Aquí mostramos algunas direcciones de páginas web que resultan de interés para ésta asignatura:

• http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_colas

Historia y notación de la teoría de colas. Breve introducción.

• http://www.monografias.com/trabajos18/teoria-colas/teoria-colas.shtml

Introducción a la teoría de colas, medidas de rendimiento de las colas, etc.



• http://sitios.ingenieria-usac.edu.gt/estadistica/analisis/teoriacolas.html Fórmulas y ejemplos de teoría de colas

• http://www.vercan.com/ssed/

Sistema para Simulación de Eventos Discretos Versión Limitada: esta versión del sistema es gratuita y puede ser copiada y distribuida libremente, siempre y cuando no se modifiquen ninguno de sus archivos originales.

• http://www-2.dc.uba.ar/materias/sim/monografias.htm/

Trabajos de investigación sobre simulación de eventos discretos

• http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/computacionestadistica/pdfs/tema1.pdf/

Introducción detallada sobre todo el proceso de simulación



Para el estudio de ésta asignatura tome en cuenta las siguientes recomendaciones:

• Es recomendable que para su estudio se apoye en ésta guía y pueda repasar completamente los conceptos vertidos en el texto básico (capítulo 14 y 15). Es importante que revise los archivos en formato PDF adjuntos al final de cada capítulo de la presente guía con el fin de poder aclarar algunos conceptos y ejemplos de la asignatura; además le sugiero acceda a los Links en la Web referenciados en la presente guía para ver antecedentes sobre la asignatura así como trabajos de investigación desarrollados en esta línea. Es importante que usted compare ciertos conceptos y ejemplos para lo cual deberá revisar los textos complementarios en el caso de que este material esté a su alcance.Esta guía ha utilizado los capítulos 14 y 15 del texto básico y considerando que es bastante poco lo que se tiene que estudiar debe desarrollar todos los trabajos aquí encomendados con mucha seriedad que amerita el caso.

• Por cada tema que usted vaya abordando ésta guía le presentará información adicional, la misma que puede ser:

• Una explicación ampliada.

• Recomendaciones prácticas para aplicar los conocimientos adquiridos.

• Inclusión de preguntas para participación en el foro del entorno virtual.

• Referencias a otras fuentes bibliográficas donde puede encontrar más información.

• Al final de cada capítulo desarrolle las cuestiones de repaso que se proponen y a través de ellas mida su grado de aprendizaje. Si fuere necesario vuelva a revisar el contenido del capítulo comparando con la ubicación de la página que se señala en las tablas de repaso.

• Es muy importante y necesario que usted tenga claro los conceptos aprendidos en la materia de Teoría de Colas, en especial en lo referente a:

• Líneas de espera

• Tipos de colas.

• Modelos de colas

• Aplicabilidad de los modelos de colas

• Análisis económico de una línea de espera

• Simulación.

• Tipos de Simulación

• Lenguajes de Simulación

• Verificación y Validación

Si estos temas no están claros debe volver a revisar dichos conceptos antes de iniciar el estudio de esta materia. En la guía didáctica al inicio de cada capítulo se describe algunos conceptos claves que le

Orientaciones generales



servirá de mucha ayuda y además en las páginas del texto base: 628 y 629 (Primer Bimestre), 676 y 677 (Segundo Bimestre), todo estas ayudan le aclararán y despejarán mucho más sus dudas.

Se debe indicar además que el texto base es utilizado por las asignaturas de Investigación de Operaciones y Teoría de colas ambas de la carrera de Informática y los contenidos de dicho texto que utiliza la asignatura de Teoría de Colas son los capítulos 14 y 15, en concreto estamos utilizando para la asignatura de Teoría de Colas el 100% de los contenidos del texto base y complementando con el libro de Taha referenciado en la bibliografía y adjuntado la información necesaria para que Usted no tenga inconvenientes al momento de estudiar y elaborar el trabajo a distancia.

No descuide el estudio de ésta asignatura y dedíquele todo el tiempo necesario, no olvide la importancia que el estudio y la comprensión que la Teoría de Colas tiene en nuestra carrera. Como sugerencia dedique por lo menos 2 horas semanales de estudio para que Usted vea resultados en su aprendizaje.

Debo indicar que existen problemas frecuentes de parte de los estudiantes tales como:

• Solo se limitan a repasar la guía y no el texto básico.

• Desarrollan el trabajo a distancia sin coordinación con la guía didáctica.

• No amplían sus conocimientos con los otros autores de la bibliografía complementaria, por lo tanto no hay criterio básico para discernir algunas dudas.

• No se comunican con el profesor tutor cuando inicia la asignatura sino lo hacen unos días antes de la entrega del trabajo a distancia o un día antes del examen.

Ante los puntos anteriormente expuestos les pido no desarrollar esas malas prácticas de estudio que al finaldelcaminosolonosinducenaunconocimientoyaprendizajemuypobreymediocre.

Como profesor principal de la asignatura pido a Usted desarrolle los trabajos a distancia con toda la seriedad que le debe poner al estudio de esta asignatura, compaginando la guía didáctica con el texto base. Esto le permitirá estar casi preparado para el examen presencial.

Les indico algunas técnicas y métodos básicos que debe adoptar para perfeccionar su forma de estudio universitario, no solo en mi asignatura sino en todas las demás:

• Primeramente debe estar motivado, esto implica la proyección que tiene Usted con esta carrera.

• Organizar y dividir su tiempo de estudio con los deberes y obligaciones personales y de trabajo.

• Tratar de comunicarse con algún otro compañero de la misma asignatura a través de los foros del Entorno Virtual de Aprendizaje para compartir ideas o dudas sobre la asignatura.

• Desarrolle las habilidades para memorizar, sintetizar y tomar apuntes de lo que estudia cada semana, pero siempre vaya despejando las dudas en el mismo cuaderno de apuntes. Esto genera confianza en el aprendizaje y por ende en el avance de la asignatura.

• Resuelva todos los esquemas de estudio que se establece en cada capítulo de la guía didáctica.

• Ingrese por lo menos 5 veces a la semana al Internet y a bibliotecas digitales y baje información relacionada a la asignatura. Sintetice la información que baja y compare estos contenidos con el texto básico.

Los invito constantemente a ingresar al Entorno Virtual de aprendizaje de la UTPL:

Ante cualquier pregunta adicional o sugerencia estaré gustoso en ayudarle. Puede contactarse conmigo a través de mi cuenta de correo [email protected] o vía telefónica al (07) 2570275 ext. 3013 en el horario que deberá solicitarlo a la secretaría de la Escuela de Informática llamando al 2570275 ext 2220, o en el caso de emergencia llamarme en cualquier horario.


PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Teoría de Colas

• Conceptualizar de manera clara las diversas definiciones que abarca la teoría de colas.

• Caracterizar las medidas de desempeño y la distribución de llegadas para acceder a un determinado tipo de servicio.

• Analizar las diferentes características operativas de la línea de espera. Estos valores cuantitativos le permitirán evaluar el tipo de servicio que se está otorgando y encontrar las variables asociadas a los usuarios en un tiempo determinado.

• Determinar las características operativas de las líneas de espera de canales múltiples independientemente de la disciplina de una cola y de su uso.

• Evaluar y diferenciar la aplicabilidad de las medidas de desempeño así como su respectivo análisis económico de las líneas de espera.

• Aplicar las líneas de espera de un solo canal y de múltiples canales con llegadas de Poisson y tiempos de servicios arbitrarios con y sin línea de espera en el ámbito empresarial.

PRIMER BIMESTRE

Objetivos específi cos

Contenidos

Capítulo 1 Estructura de un Sistema de Línea de Espera

Capítulo 2 Modelos de Línea de espera de un solo canal

Capítulo 3 Modelo de Línea de espera con canales múltiples

Capítulo 4 Algunas relaciones generales para modelos de líneas de espera

Capítulo 5 Otros Modelos de Línea de Espera


PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Teoría de Colas

Datos Generales:

Texto baseANDERSON David, SWEENEY Dennis, WILLIAMS Thomas., “Métodos Cuantitativos para los negocios “, Thomson. Edición, 2004, 822 pág. ISBN; 970-686-372-9.

Capítulo 14. Modelos de Línea de Espera

Páginas 599 - 604Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido

2 horas

Propósito

El propósito de este capítulo es conocer en forma general los conceptos de la teoría de colas, sus características operativas y la distribución de las llegadas. Así también conoceremos las diversas disciplinas de colas que nos ayudarán a determinar el tipo de servicio que debe de recibir un usuario.

Conceptos Clave

Teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. También la Teoría de Colas es conocida como el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”.

Servidor Es el que tiene una cierta capacidad de atención al cliente ubicado en una línea de espera. Se caracteriza por el tipo y tiempo de servicio, además de por el número de servidores.

Cliente Es el que tiene que esperar en la línea de espera y ser atendido a través de una disciplina de colas. Se caracterizan por los intervalos de tiempo que separan sus llegadas.

Cola es una línea de espera. Estas generan malestar, ineficiencia, retraso y otrosproblemas, lo que origina un coste de tiempo y económico. Es muy importante evaluar el balance entre el aumento del nivel de servicio y el tamaño de las colas de espera. Por tanto, es necesario entender la relación entre el número de servidores en un sistema (oeficaciadelosmismos)ylacantidaddetiempogastadoenlacola(ocantidaddeclientes en la misma).

Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

Desarrollo del aprendizaje

Estructura de un Sistema de Línea de Espera

Capítulo 1



Sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas.

Disciplina de una cola es el orden en el que los clientes se seleccionan de la cola.

En la primera parte, en las líneas de espera o colas los componentes de un sistema son llamados entidades (cajeras, máquinas, semáforos, grúas) las cuales se representan por los objetos del modelo, ytienepropiedadesqueserepresentanpor losatributosdelobjeto.Elestadodelsistemasedefinepor los valores de todos los atributos de todos los objetos, aunque para algunos propósitos alguna agregacióndeestosatributosounsubconjuntodeestosatributospodríasertambiénsuficienteparadescribir el estado del sistema. El estado del sistema sólo se cambiará por un evento, es decir entre dos eventos subsecuentes nada cambia, ni siquiera implícitamente.

Los elementos más importantes de un sistema de colas son: las llegadas, la cola, el servicio y la salida.

Figura Nº 1. Elementos de un sistema de colas

En general, un sistema de colas consiste en uno o varios servidores que prestan un servicio a uno o varios usuarios que acceden al sistema. El proceso de llegadas lo regula una fuente generadora de usuarios y, en general, estas llegadas serán de forma aleatoria. Esta fuente generadora de usuarios puedeserfinitaoinfinita.

Interesa saber cuál es el intervalo de tiempo entre las llegadas de dos usuarios consecutivos. Además, según cómo sea el proceso de llegadas, los usuarios pueden llegar individualmente o en grupos.

Si cuando un usuario llega al sistema el servidor está libre, se le da servicio. Si el tiempo de servicio es mayor que el intervalo entre llegadas, el siguiente usuario, cuando accede al sistema encuentra que el servidor está ocupado, por lo que debe quedar en espera, formando la cola.

Otra cuestión importante es saber cuánto tiempo debe esperar un usuario que llega al sistema hasta querecibeelservicio,locualentradentrodelconceptoQOS(QualityofService,calidaddeservicio).Cuando en la cola hay más de un usuario, al quedar el servidor libre hay que determinar cuál de los usuarios en espera será el que pase a recibir servicio. Es decir, es necesario un proceso para decidir qué usuario va a ser llamado de la cola; esto es lo que se llama disciplina de la cola. Los modelos más importantes son los siguientes:

• FIFO(First-In-First-Out):seledaservicioalprimeroquehallegado,deformaquelacolaestá ordenada según el orden de llegada de los usuarios.

• LIFO(Last-In-First-Out):seledaservicioalúltimoquehallegado,deformaquelacolaestáordenada en orden inverso al de llegada de los usuarios.

SERVIDOR /ES SALIDASCOLALLEGADAS



• SIRO(Service-In-Random-Order):Sesorteaaleatoriamentecuáldelosusuariosenesperaaccederá al servicio.

No obstante, otro procedimiento para establecer la disciplina de la cola puede ser el de establecer determinadas prioridades a los diferentes usuarios según algunas de sus características.

Ensistemasfinitos,enlosqueelnúmerodeusuariosenesperaes limitado,esnecesarioestablecerademás qué sucede con aquellos usuarios que acceden al sistema cuando la cola de espera está completa. Por último, en los sistemas en que los usuarios son humanos, hay que tener en cuenta otros factores propios del comportamiento humano como el hecho de que hay individuos que no respetan el orden establecido en la cola o bien que hay usuarios que, a la vista de la cola, renuncian a acceder al sistema.

Otra característica importante de un sistema de colas es el diseño de la ejecución del servicio. El servicio puede estar ejecutado por uno o varios servidores. Si el tiempo que tardan los usuarios en salir del sistemaesmayorqueelintervaloentrellegadas,lacolaaumentaráindefinidamenteyelsistemapuedellegar a colapsarse. Por tanto es necesario diseñar el sistema de forma que el tiempo de servicio sea igual o menor que el intervalo entre llegadas. En esta situación es importante saber cuánto tiempo va a estar un servidor inactivo, tiempo que ha de ser mínimo para optimizar el rendimiento del sistema. No obstante, en la mayoría de los sistemas la duración del servicio es también una magnitud aleatoria.

Por último, los usuarios que salen del sistema pueden hacerlo al exterior o pueden integrarse en otro sistema similar, en cuyo caso se habla de colas enlazadas o redes de colas.

EJEMPLOS DE SISTEMAS DE COLAS REALES

Puede parecer que la descripción de los sistemas de colas pueden parecer más o menos abstracta y sólo es aplicables en situaciones prácticas bastante especiales. Por el contrario, los sistemas de colas ocurren con sorprendente frecuencia en una amplia variedad de contextos. Para ampliar el horizonte sobre la aplicabilidad de la teoría de colas, se mencionarán brevemente varios ejemplos reales de sistemas de colas.

Una clase importante de sistemas de colas que se encuentran en la vida es el sistema de servicio comercial, en donde los clientes externos reciben un servicio de una organización comercial. Muchos deestossistemasincluyenunserviciodepersonaapersonaenunalocalidadfija,comounapeluquería(los peluqueros son los servidores), es servicio de una cajera de banco, las cajas de cobro en un supermercado y una cola en una cafetería (canales de servicio en serie). Muchos otros sistemas son de tipo diferente, como la reparación de aparatos domésticos (el servidor va hacia el cliente), una maquina de monedas (el servidor es una máquina) y una gasolinera (los clientes son automóviles).

Otra clase importante es la de sistemas de servicio de transporte. Para algunos de estos sistemas los vehículos son los clientes, como los automóviles que esperan pasar por una caseta de cobro o un semáforo (el servidor), un camión de carga o un barco que esperan que una cuadrilla les dé el servicio de carga o descarga y un avión que espera aterrizar o despegar en una pista (el servidor). (Un estacionamiento es un ejemplo poco usual de este tipo, en el que los carros son los clientes y los espacios son los servidores, pero no existe una cola porque si el estacionamiento está lleno, los clientes se van a otro lado a estacionarse). En otros casos, los vehículos son los servidores, como los taxis, los camiones de bomberos y los elevadores.



Figura Nº 2. Sistemas de Transporte UrbanoFuente: http://www2.diariomotor.com/imagenes/se%c3%b1ales-curiosas-recopilacion-0.jpg

En los últimos años, tal vez la teoría de colas se ha aplicado más a los sistemas de servicio interno en la industria y en los negocios, en donde los clientes que reciben el servicio son internos o parte de la organización. Los ejemplos incluyen sistemas de manejo de materiales, en donde las unidades de manejo de materiales (los servidores) mueven cargas (los clientes); sistemas de mantenimiento, en donde las brigadas de mantenimiento (los servidores) reparan máquinas (los clientes) y puestos de inspección en los que los inspectores de control de calidad (los servidores) inspeccionan artículos (los clientes). Las instalaciones para empleados y los departamentos que dan servicio a empleados también entran en esta categoría. Además, las máquinas se pueden ver como servidores cuyos clientes son los trabajos que se están procesando. Un ejemplo relacionado muy importante es un centro de cómputo en el que la computadora se puede ver como el servidor.

Figura Nº 3. Sistemas IndusctrialesFuente: http://www.cordobaylibardi.com.ar/galeriaimg/sistemas_industriales_adec06.jpg



Es del reconocimiento general que la teoría de colas también se puede aplicar a sistemas de servicio social. Por ejemplo, un sistema judicial es una red de colas, en donde las cortes son las instalaciones de servicio, los jueces (o los jurados) son los servidores y los casos que esperan el proceso son los clientes. Un sistema legislativo es una red de colas parecida, en el que los clientes son los asuntos que el congreso va a tratar. Algunos sistemas de salud pública son sistemas de colas. Al inicio se vio un ejemplo (la sala de emergencia de un hospital), pero también las ambulancias, las máquinas de rayos X y las camas del hospital pueden jugar el papel de servidores en sus propios sistemas de colas. En forma parecida, las familias en espera de viviendas de interés social u otros servicios sociales se pueden concebir como clientes de un sistema de colas.

Figura Nº 4. Sistemas de Salud PúblicaFuente: http://www.diariocorreo.com.ec/imagenes/2008/02/ciudad26.jpg

Aun cuando éstas son cuatro clases amplias de sistemas de colas, la lista todavía no se agota. De hecho, la teoría de colas comenzó a principios de siglo con aplicaciones a ingeniería telefónica (el fundador de la teoría de colas, A.K. Erlang, era un empleado de la Danish Telephone Company en Copenhague), y la ingeniería telefónica constituye todavía una importante aplicación. Lo que es más, cada individuo tienesuspropiaslíneasdeesperapersonales:tareas,librosqueleer,etc.Estosejemplossonsuficientespara sugerir que los sistemas de colas sin duda ocurren con toda frecuencia en muchas áreas de la sociedad.

A MANERA DE CONCLUSIÓN SOBRE TEORIAS DE COLAS

Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de estos sistemas pueden tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad.

Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas formula modelos matemáticos que representan su operación y después usa estos modelos para obtener medidas de desempeño. Este análisis proporciona información vital para diseñar de manera efectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado entre el costo de proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio.



La distribución exponencial juega un papel fundamental en la teoría de las colas para representar la distribución de los tiempos entre llegadas y de servicio, ya que esta suposición permite representar un sistema de colas como una cadena de Markov de tiempo continuo. Por la misma razón, son de gran utilidad las distribuciones tipo fase como la distribución Erlang, en donde se desglosa el tiempo total en fases individuales que tienen distribuciones exponenciales. Haciendo algunas suposiciones adicionales, se han obtenido importantes resultados analíticos sólo para un pequeño número de modelos de colas.

Los modelos de disciplina de prioridades son útiles para la situación común en la que se da prioridad a algunas categorías de clientes sobre otras para recibir el servicio.

En otra situación común los clientes deben recibir servicio en distintas estaciones o instalaciones. Los modelos de redes de colas se usan cada vez más en estas situaciones. Esta es una área especialmente activa en la investigación actual.

Cuando no se dispone de un modelo manejable que proporcione una representación razonable del sistema bajo estudio, un enfoque usual es obtener los datos de desempeño pertinentes mediante el desarrollo de un programa de computadora para simular la operación del sistema.

La teoría de colas ha demostrado ser una herramienta muy útil y se pronostica que su uso seguirá ampliándoseconformecrezcaelreconocimientodelosbeneficiosdelossistemasdecolas.



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Cuestiones de repaso

Como medidor de asimilación de los contenidos, desarrollaremos las siguientes cuestiones de repaso; le recomendamos que responda las preguntas de auto evaluación y para su información registre el nivel de desempeño que observó, esto le permitirá saber los temas que debe volver a revisar si su desempeño lo considera medio, y en caso de observar un desempeño malo, recuerde que puede solicitar tutoría mediante el campus virtual o telefónicamente.

No. Cuestión

Después de responder, el desempeño ha sido:

Malo MedioMuy

bueno

1.1. ¿Quésignificateoríadecolas?

1.2. ¿Enquéconsistenlosmodelosdelíneadeespera?

1.3.¿Cómo también se le conoce a las característicasoperativas para una cola?

1.4.Identifique algunas áreas en las cuales se utilizaría la teoría de colas como un factor importante para mejorar el servicio.

1.5.Determine como ayudó el modelo de línea de espera usado en CITIBANK.

1.6.¿Cómopuedeusteddeterminarquelalíneadeesperaes de un solo canal?

1.7.¿Cuál es la ventaja que tiene la distribución deprobabilidad de Poisson?

1.8. ¿Quéesuntiempodeservicio?

1.9.¿Qué tipo de distribución de probabilidad puedenutilizar los tiempos de servicio?

1.10.Describa algunos ejemplos prácticos en el que se puede sintetizar las diversas disciplinas de la línea de espera de una cola



Interactividad a través de los Foros del Campus Virtual

Ingrese periódicamente al campus virtual que se encuentra en la siguiente dirección: http://www.utpl.edu.ec, allí existe un link en donde dice Entorno Virtual de Aprendizaje digite su usuario y contraseña personal luego haga clic en el botón Entrar y de respuesta a las siguiente pregunta que se ha previsto como parte del foro, su aporte es importante.

• ¿Cuándoexisteeldenominadoperíodotransitorioenunaoperaciónestable?

Ejercicios

Para reforzar el nivel de conocimientos del presente capítulo se deben realizar las siguientes actividades.

• Revisar el impacto y las soluciones que dio el modelo utilizado en el CITIBANK, analícelo de manera profunda en el contexto de un modelo de optimización de costos.

Documentación adicional

Para ampliar la información del texto base se dispone de bibliografía adicional, que estará disponible como anexo en la guía de estudio o en digital, a estos últimos recursos podrá acceder a través del campus virtual.

Descripción del documento Archivo disponible en UTPLONLINE

Este documento nos hace referencia a información relacionada al capítulo, que es de vital importancia para aclarar algunos conceptos y ejemplos vertidos en el mismo, por lo que se sugiere sea revisado conjuntamente con el texto base.

Material de Apoyo Cap1



Datos Generales:

Texto baseANDERSON David, SWEENEY Dennis, WILLIAMS Thomas., “Métodos Cuantitativos para los negocios “, Thomson. Edición, 2004, 822 pág. ISBN; 970-686-372-9.

Capítulo 14. Modelos de Líneas de Espera

Páginas 604 - 609Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido

4 horas

Propósito:

El propósito de este capítulo es mostrar los resultados que arrojan las diferentes fórmulas acerca de las medidas de desempeño de la línea de espera. Estos valores cuantitativos le permitirán evaluar el tipo de servicio. Además encontrar las variables asociadas a los usuarios en un tiempo determinado.

Conceptos Clave:

Población de clientes.

Conjunto de todos los clientes posibles de un sistema de colas.

Proceso de llegada.

La forma en que los clientes de la población llegan a solicitar un servicio.

Proceso de colas.

La forma en que los clientes esperan a que se les dé un servicio.

Proceso de servicio.

Forma y rapidez con que son atendidos los clientes.

Proceso de salida.

Forma en que los productos o los clientes abandonan un sistema de colas.

Sistema de colas de un paso.

Sistema en el cual los productos o los clientes abandonan el sistema después de ser atendidos en un solo centro o estación de trabajo.

Características operativas

Conocida también dentro de la teoría de colas como Medidas de desempeño.

Modelos de Línea de espera de un solo canal

Capítulo 2



El estado estable de un sistema de colas se aproxima a la realidad, por eso nuestro tratamiento de los procesos de colas o líneas de espera consideran únicamente el estado estable.

En estado estable es posible evaluar el rendimiento de un sistema en función de algunos parámetros o características operativas.

CARACTERÍSTICAS OPERATIVAS DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIOS EXPONENCIALES

- El tiempo promedio de espera de los clientes recién llegados al sistema en espera de ser atendidos está asociado con Wq.

- El tiempo promedio en el sistema que un cliente invierte incluyendo el tiempo de espera y de servicio es denotado con W.

- El número de clientes esperando en la cola para ser atendidos nos define la longitud media de la cola, representada con Lq.

- El número promedio de clientes en el sistema es el número medio en el sistema, representado L.

- La probabilidad de que un cliente que llegue tenga que esperar para ser atendido, la medida de rendimiento asociada es la probabilidad de bloqueo, representada por pk.

- La probabilidad de que un servidor esté ocupado, su medida de rendimiento esta asociada con la utilización y representado con U.

Elcálculoespecíficodelasmedidasderendimientodependedelaclasedesistemadecolas,esdecirde los procesos de llegada y de servicio

Dados los siguientes parámetros:

λ = número promedio de llegadas por unidad de tiempo μ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en una estación

Se cumplen las siguientes relaciones:

De las tres ecuaciones anteriores podemos deducir la siguiente:



CARACTERÍSTICAS OPERATIVAS EN MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON POBLACIONES FINITAS DE DEMANTES

Estas características operativas están determinadas a ser aplicadas para el modelo M/M/1 con una poblaciónfinitadedemandantes,donde

EJERCICIOS

Problema A.

Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día enpromedio (asumaunadistribuciónde Poisson). A ella le tomaaproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial).Suponiendo que la secretaria trabaja ocho horas diarias

Datos:

l = 20 / 8 = 2.5 cartas/hora

m = (1 / 20 min)(60 min/ 1 hora) = 3 cartas/hora

La tasa de utilización de la secretaria estará definida por:

El tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografíe una carta se deducirá de la siguiente manera:

horas



Ahora el numero promedio de cartas que estarán en la línea de espera:

Sideseáramosconocerlaprobabilidaddequelasecretariatengamasdecincocartasquemecanografiar,se determinaría de la siguiente manera:

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1 0.694

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3 0.482

4 0.401

5 0.334

6 0.279

Problema B.

Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar:

Datos:

l = 1 / 6 = 0.167 perros/min

m = 1 / 3 = 0.34 perros/min

LaprobabilidaddequeSamestedeociosodefinirádelasiguientemanera:

Ahora la proporción de tiempo en que Sam está ocupado.



El número total de perros que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados

El numero promedio de perros que esperan a ser vacunados.

Problema C.

Lasllamadaslleganalconmutadordeunaoficinaaunatasadedosporminuto,éltiempopromediopara manejar cada una de estás es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación.

Datos:

l = 2 llamadas/minutos

m = (1 / 20 seg)(60 seg) = 3 llamadas/minuto

La probabilidad de que el operador este ocupado se definirá:

El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador:

El numero de llamadas que esperan ser contestadas

Problema D.

Alprincipiodelatemporadadefutbol,laoficinadeboletosseocupamuchoeldíaanterioralprimerjuego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos.

Datos:

l = (4 / 10) = 0.4 c/min

m = (1 /2 ) = 0.5 c/min



Elnumeropromediodegenteenlíneasedefinirádelaformasiguiente:

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Documents

teoria de colas.pdf