Teoría de Teoría de ConjuntosConjuntos

Dr. Rogelio Dávila PérezDr. Rogelio Dávila PérezITESM, Campus GuadalajaraITESM, Campus Guadalajara

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Teoría de conjuntos

Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones.

Un conjunto se define enumerando a todos sus elementos o indicando las condiciones que deben satisfacer para pertenecer al mismo.

Ejemplo:

Planetas={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter,

Saturno, Urano, Neptuno, Plutón}

A = {x| x es un múltiplo de 3 y x es menor a 17}

Una operación importante es saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado.

9 A -- 9 es un elemento del conjunto A

la_luna Planetas -- la_luna no pertenece al

conjunto de los Planetas.

Teoría de conjuntos

Def. Sea A un conjunto cualquiera, designamos |A| a la cardinalidad del conjunto A, y representa al total de elementos dentro del conjunto.

Es el conjunto vacío, ||=0.

Teoría de conjuntos

Algunos conjuntos importantes:

IQ

I

Zbaba

Q

Z

N

},|{

},3,2,1,0,1,2,3,{

},4,3,2,1{

{ todos aquellos números que no se pueden expresar

como la división de dos enteros ej. raiz de 2, , etc}

Los números naturales

Los números enteros

Los números racionales

Los números irracionales

Los números reales

Teoría de conjuntos

Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, B A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A.

B A xB, (xA)

Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B A, si y solo si, B A pero B A.

B A B A A B

Teoría de conjuntos

Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B A, y A B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B A.

B = A B A A B

Sea U, el conjunto Universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A, denotado Ac, es el conjunto:

Ac= {x| xU xA}

Teoría de conjuntos

Propiedades del complemento:

(Ac)c = A

Ac A = U

A Ac =

Teoría de conjuntos

Operaciones con Conjuntos Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el

conjunto:

A B = {x | x A x B}

Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto:

A B = {x | x A x B}

Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto:

A - B = {x | x A x B}

Diagramas de Venn

A – (B U C)

B – (A U C)

C – (A U B)

(A C) – B

(B C) – A

(A B) – C

A B C

Propiedades de conjuntos

1. Leyes asociativasa) A (B C) = (A B) Cb) A (B C) = (A B) C

a) Leyes conmutativasa) A B = B Ab) A B = B A

b) Leyes distributivas1. A (B C) = (A B) (A C)2. A (B C) = (A B) (A C)

c) Leyes de Identidad:

a) A = A

b) A U = A

Propiedades de conjuntos

4. Leyes de idempotencia

a) A Ac= U

b) A A = A

5. Leyes de acotación A U = U A =

6. Leyes de absorción

a) A (A B) = A

b) A (A B) = A

7. Leyes de involución (Ac)c = A

Propiedades de conjuntos

8. Leyes 0/1

a) c = U

b) Uc = 9. Leyes de De Morgan

a) (A B)c = Ac Bc

b) (A B)c = Ac Bc

Ejercicios

1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos:

a). A– (B C) = (A – B) (A – C)

b). A (B C) = (A B) (A C)

Producto cruz y conjunto potencia

Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto:

A x B = {(x,y) | x A y B}

Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2A o P(A), es el conjunto:

P(A) = {X | X A}

Ejemplos:

Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}:

A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2),

(b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}

P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}

Generalización de Conjuntos

AxxAM

|{ }M

AxxAM

|{

Sea M un conjunto de índices cualquiera:

, para algún

}M, para algún

Inducción Matemática

Definición

Sea el conjunto C = {x N | P(x)}, si se satisface:

PASO BASE: Demostrar que se cumple para 1.

es decir, que P(1) es verdadero.

PASO DE INDUCCIÓN:

Demostrar que P(k) P(k+1)

Si se cumplen ambos pasos, entonces podemos afirmar que:

C = N

es decir, que C es el conjunto de los Naturales.

Ejercicios

1. Demuestre que la suma de los n primeros enteros positivos impares es n2:

1+3+5+…+(2n-1) = n2

2. Demuestre que para todo n que la suma de los primeros enteros positivos elevados al cuadrado es la siguiente:

a1+a2+a3+…+an-1+an =

1. Demuestre que la suma de los n primeros números enteros positivos elevados al cuadrado, es las¡ siguiente:

Inducción Matemática

6)12)(1(

1

2

nnni

n

i