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Mitchum et al., 1977b

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• La ecuación de propagación de ondas en sólidos elásticos son derivadas por el uso de la ley de Hooke y segunda ley del movimiento de Newton .

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Coceptos basicos de teoria de ondas

El ESFUERZO es la fuerza por unidad de área. Imagina una partícula representada por un volumen infinitesimal alrededor de un punto dentro de un cuerpo sólido con dimensiones

(dx, dy, dz)

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La tension y el esfuerzo

La TENSIÓN se mide la deformación como una fracción del cambio de dimensión o volumen inducida por un ESFUERZO.

La TENSIÓN es una cantidad sin dimensiones. El campo de esfuerzos lejos de la fuente sísmica típica es tan pequeña que no causa ninguna deformación permanente en partículas de roca a lo largo de la trayectoria de propagación.

Por lo tanto, la tensión inducida por ondas sísmicas es muy pequeña, por lo general alrededor de 10^-6.

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Se puede, sin embargo, descomponerse en tres componentes: Pxx que es normal a la superficie, y Pxy y Pxz que son tangencial a la superficie. El primer subíndice se refiere a la dirección de la normal a la de la superficie, y el segundo subíndice se refiere a la dirección del

componente de cizalla.

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Un componente normal de estrés es

tensional si es positivo, y compresivo si es negativo.

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Para comprender el significado físico de los elementos del tensor que contiene la ecuación de derivadas parciales (L-2), en lugar de desplazamiento arbitrario, como se muestra en la Figura L-2, se consideran deformaciones de tipos específicos.

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La Tension es una cantidad sin dimensiones. Hay tres componentes normales de tensión, exx, eyy, y ezz:

Las deformaciones angulares ξ y ζ, en el límite cuando el volumen se vuelve infinitamente pequeño, se puede expresar en términos de componentes de desplazamiento δu y δw, mediante el uso de las relaciones

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• que, mediante la adición de ambos lados,

• De manera similar obtenemos :

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Los cantidades descritas por las ecuaciones (L-3) y (L-5) forman el tensor de deformación:

Restando (L-4a-L-4b) obtenmos

Por definicion

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Las deformaciones angulares dadas por las ecuaciones (L-5a, b, c) se llaman las tensiones de corte, ya que resultan en un cizallamiento del volumen alrededor de un punto dentro de un cuerpo sólido (Figura L-3b). las cantidades dadas por las ecuaciones (L-7a, b, c) están asociados con la rotación sin deformación (figura L-3c).

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El tensor de desplazamiento en la ecuación (L-2) se puede expresar como

Los elementos de las matrices en la ecuación (L-8), entonces se pueden expresar en términos de componentes de la deformación normal exx, eyy y ezz, dado por las ecuaciones (L-3a, b, c), los componentes de la deformación de cizalla, exz, exy, y eyz, dado por las ecuaciones (L-5a, b, c), y el componentes de rotación rígida θxz, θxy, y θyz, dado por las ecuaciones (L-7a, b, c). Todos estos componentes son entonces sustituido en la ecuación (L-2) para obtener:

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Donde el termino n o no es un tensor de

deformacion y no rea toamdo en cuenta en el caso de la propagacion de ondas en rocas

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• Hemos encontrado una relacion entre los componentes del desplazamiento y los tensores de deformacion normales y de corte.

• Ahora es posible relacionar los tensores de esfuerzos (L-1) con los tensores de deformacion normales y de corte. (L-6)

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donde E y σ son constantes de proporcionalidad, que son específicos para el material y se conocen como Módulo de Young y el coeficiente de Poisson, respectivamente.

Se debe notar que partir de la ecuación (L-10a) que el módulo de Young es la relación del esfuerzo longitudinal Pxx a la deformacion longitudinal exx c. Sustituyendo Pxx de la ecuación (L-10a) en la ecuación (L-10b) y teniendo en cuenta que la relación de Poisson es la relación de la contracción lateral definido por el componente de deformación –eyy y la extensión longitudinal definida por componente de deformación exx. Ya que la deformación o tensión es una cantidad sin dimensiones, Young módulo tiene las dimensiones de estrés, y el coeficiente de Poisson es un número puro.

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Al igual que en las ecuaciones (L-10a, b, c), que establece las siguientes relaciones

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Al combinar las ecuaciones (L-10), (L-11), y (L-12), reescribimos las relaciones principales entre la tensión-deformación

Reescribiendo las ecuaciones (L-13a, b, c), obtenemos:

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• Y sumando L-14 a,b,c

Si

Sustituyend L-16 en L-15

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Por último, mediante el uso de las relaciones (L-16) y (L-17), y sustituyendo en las ecuaciones (L-13a, b, c), obtenemos las relaciones entre los esfuerzos principales y componentes de la deformación principales:

donde λ y μ son los módulos de elasticidad para el sólido dado por:

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Ahora considere el volumen en la Figura L-1 bajo componentes de los esfuerzos de cizallamiento, Pxy, Pxz y Pyz.

Las deformaciones asociadas a estos componentes de tensión son las deformaciones por corte, exy, Exz, y eyz. Estos componentes de tensión y deformación también están relacionadas linealmente para sólidos elásticos:

donde la constante de proporcionalidad μ se conoce como el módulo de rigidez. Nota, de la ecuación (L-20a), que módulo de rigidez es la relación el esfuerzo de cizallamiento y deformación por cizallamiento. Mediante la combinación de las ecuaciones (L-18a, b, c) y (L-20a, b, c), obtenemos la relación tensión-deformación para sólidos elásticos:

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Esta es la expresión formal de la ley de Hooke que relaciona el tensor de deformación de la izquierda a la tensor de deformación a la derecha.

La ecuación (L-21) se mantiene para medios sólidos elásticos homogéneos, isotrópicos, de (para las cuales el comportamiento elástico es independiente de la dirección), y para deformaciones que son lo suficientemente pequeñas (habitual caso de las ondas sísmicas) para satisfacer la relación lineal entre el estrés y la tensión.

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Medios isotropicos y anisotropicos

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Ecuacion de onda

Tomando en cuenta lo analizado anteriormente y partiendo de la segunda ley del movimiento de Newton las ecuaciones de onda para las tres direcciones principales y para pequeños desplazamientos y velocidades, y descuidando fuerzas corporales tales como la gravedad que actúa sobre el volumen que rodea los puntos :

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Donde es el operador Laplaciano,

es la deformacion sufrida

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Estas ecuaciones relacionan la deformacion en el tiempo con respecto a los modulos elasticos E (Young) y λ (Lamme)

Resolviendo las ecuaciones se obtiene:

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Velocidades compresionales en medios elasticos isotropicos:

Velocidades de cizalla en medios elasticos isotropicos:

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Ondas P compresionales y de S cizalla

• Ondas P: Movimiento de las Partículas en dirección paralela a la dirección propagación de ondas

• Ondas S: Movimiento de las Partículas en dirección perpendicular a la dirección propagación de ondas

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Modulos elasticos

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Relaciones entre los parámetros elásticos

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• Bibliografia:

• Yilmaz, Öz, 2001, Seismic Data Analysis, Processing, Inversion, and Interpretation of Seismic Data, Volumes I and II, Society of Exploration Geophysics, Tulsa, OK.

• Capitulo 8 Reservoir Geophysics

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