Teoria de Jogos

e Leilões

David Henriques

3º ano LMAC, IST

Jogos

Várias opções (jogadas possíveis) para cada jogador

Independência e simultaneidade das jogadas

Pagamento associado a um tuplo de jogadas (payoff)

Objectivo de maximizar ganho próprio

Estratégias e Vectores de Estratégia

Entradas entre 0 e 1

Vector de Probabilidade:

Probabilidade de escolha de cada jogada

Soma de todas as entradas igual a 1

Espaço compacto

Notação Matricial

4 10

0

0

01 4

Payoffs para o jogador Payoffs para a jogadora

Jogadora joga nas colunas

Jogadora joga nas colunas

Jogador joga nas linhas

Jogador joga nas linhas

vai ao futebol

vai à ópera

vai ao futebol

vai à ópera

vai ao futebol

vai à opera

vai ao futebol

vai à ópera

(4,1) (0,0)

(0,0) (1,4)

Valor Esperado

2q1q

np 1na

2p

1q

21a

1q

np

mq

nma

2p

mq

ma2

12a11a1p1p1p

Valor esperado:

x

xxPE )()(

Com notação matricial:

),( qpeA

mn

jiijajiP

,

1,1

) e (

mn

jiijai )P( j)P

,

1,1

(

,

1,1

mn

jiijji aqp

Jogadas independentes

1p 1q 11a 1p 2q 12a ... 1p mq

ma1

ma1 2112 aqp ... ... mm aqp 22 11 nn aqp ... nmmn aqp

mq

1p ...

...

...

......

... ... ...

11a 12a ma1

21a ma2

1na ... nma...

2p

np

...1q mq2qAqpT

Equilíbrio de NashMelhor Resposta (a uma estratégia q*):

Uma estratégia p* para o jogador 1 diz-se melhor resposta a q* (estratégia para o jogador 2) sse para toda a outra estratégia p possível para jogador 1 se tem

*)*,(*),( 11 qpeqpe

Equilíbrio de Nash:

Um par de estratégias p*,q* (uma para cada jogador) diz-se um equilíbrio de Nash sse são melhores respostas mútuas, i.e: e*)*,(*),( 11 qpeqpe *)*,()*,( 22 qpeqpe

Teorema de Nash (1951)Todo o Jogo com um número finito de estratégias puras tem

pelo menos um equilíbrio de Nash

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer:

Uma função contínua definida de um espaço compacto e convexo em si mesmo tem necessariamente um ponto fixo.

}0),,(),(max{),(

}0),,(),(max{),(

22

11

qpejpeqpb

qpeqieqpa

j

i

QPQPf :

Jjqqpb

qpbqqpf

Iipqpa

qpapqpf

j

Jkk

jjj

i

Ikk

iii

se ),(1

),(),(

se ),(1

),(),(

LeilõesLeilão Inglês:

O jogador que licita mais alto recebe o lote e paga o preço que o segundo jogador com licitação mais alta ofereceu.

Incrementos finitos

Leilão de segundo pagamento:

O jogador que licita mais alto recebe o lote e paga o preço que ofereceu.

Leilão Holandês:

Decréscimos finitosO primeiro jogador a licitar recebe o lote e paga o preço que ofereceu.

Assumpções

Cada jogador i valoriza o lote de forma publica em vi

As licitações são secretas, independentes e simultâneas

Cada jogador faz apenas uma licitação bi

Sob estas condições, os 3 leilões anteriores são o mesmo jogo! (embora com payoffs diferentes)

Payoffs

0I

1I

2I

nI

0II 1II 2II nII0II 1II 2II nII

0I

1I

2I

nI

...

nv 2

nv 2

nv 2

12

1v

b se 0

b se )(2

1

b se

),(

21

2111

2111

211

b

bbv

bbv

bbe

b se

b se )(2

1

b se 0

),(

2122

2122

21

212

bbv

bbv

b

bbe

0 0 ... 0

00 ...

0...

...

11 v

21 v 21 v

...nv 1 nv 1 nv 1

... ... ... ...

)1(2

11 v

)2(2

11 v

)(2

11 nv

...

...

...

0

0 0

... ... ...

0 0 0 ...

...

)1(2

12 v

22

1v

)2(2

12 v

)(2

12 nv

12 v 22 v

22 v

Equilíbrios em LeilõesV1 = v2

V1 > v2+2

V1 = v2+2

V1 = v2+1

)0,..0,1,,0,...,0( vs

vs)0,..0,1,,0,...,0(

vs

vs

2

2

11

1

1

11

11

xxI

IIxx

III

III

v

v

vv

vv

Onde as entradas não nulas correspondem a licitar v1-2 e v1-1

)0,...,0,,,,0,...,0( vs

vs)0,...,0,1,,0,...,0(

0122

2

yyyI

IIxx

v

v

Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1

Onde yn corresponde a licitar v2-n e 210 2

1yyy

)0,...,0,,,,,...,0( vs

vs)0,...,0,1,,0,...,0(

0123

1

2

2

yyyyI

IIxx

v

v

Onde yn corresponde a licitar v2-n e

2310230 2

12

2

1 e

2

1yyyyyyy

Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2-1 e v2

13

2 se )0,..0,,1,0,...,0( vs

10 se )0,..0,3

2,

3

1,0,...,0( vs)0,..0,1,,0,...,0(

3

20 se )0,..0,,1,0,...,0( vs

vs

1

12

2

2

22

xxxI

xxx

xxxI

III

v

v

vv

Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1

Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1

Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1