Teoría de Números - Wikipedia

8/18/2019 Teoría de Números - Wikipedia

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Nuestra teoría de números sederiva de la antigua aritmética

griega de Diofanto.1 Portada de laaritmética de Diofanto traducida al

latín por Bachet de Méziriac,edición con comentarios de Pierrede Fermat publicada en 1670.

Teoría de númerosDe Wikipedia, la enciclo pedia libre

La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de dominios enteros (anillosconmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas derivados de su estudio.

Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". Deforma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los números enteros. Tal comocita Jürgen Neukirch:

La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella queocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias.2

El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un tér mino bastanteantiguo, aunque ya no tan popular. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,3 aunque eltérmino también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritméticaelemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Lo s matemáticosque estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.

Índice

1 Campos1.1 Teoría elemental de números1.2 Teoría analítica de números1.3 Teoría de números aditiva1.4 Teoría algebraica de números1.5 Teoría geométrica de números1.6 Teoría combinatoria de números1.7 Teoría computacional de números

2 Historia3 Véase también

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Diofantohttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_formalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peanohttp://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=J%C3%BCrgen_Neukirch&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_integridadhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteroshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/1670http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriachttp://es.wikipedia.org/wiki/Diofantohttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus-cover-Fermat.jpg


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4 Referencias5 Enlaces externos

Campos

Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.

Teoría elemental de números

En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen ala teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de losenteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema deFermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedadesde las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y los

números de F.

Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren consideraciones muy profundas y nuevasaproximaciones, incluyendo las siguientes:

Conjetura de Goldbach sobre que todos los números pares (a partir de 4) son la suma de dos números primos.Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos.Último teorema de Fermat (demostrado en 1995 por Andrew Wiles).Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribución

de los números primos.

Teoría analítica de números

La teoría analítica de números emplea como herramientas el cálculo y el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números enteros.Algunos ejemplos de esta son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann. El problema de Waring, la conjetura de los números primosgemelos y la conjetura de Goldbach también están siendo atacados a través de métodos analíticos.

Teoría de números aditiva

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbachhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_los_n%C3%BAmeros_primos_gemeloshttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Waringhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primoshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wileshttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos_gemeloshttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_los_n%C3%BAmeros_primos_gemeloshttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbachhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_phi_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_M%C3%B6biushttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_multiplicativahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_reciprocidad_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_chino_del_restohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modularhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_perfectohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_enteroshttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclideshttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad


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La teoría de números aditiva trata de una manera más profunda los problemas de representación de números. Problemas típicos son los ya nombrados, problema de Waring y la conjetura de Goldbach. Esta rama se suele utilizar algunos resultados referentes a la teoría analítica de números, tales como elmétodo del círculo de Hardy-Littlewood, a veces se complementa con la teoría de cribas y en algunos casos suelen usarse métodos topológicos.

Teoría algebraica de números

La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, loscuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales.

Teoría geométrica de números

La teoría geométrica de números (tradicionalmente llamada geometría de números) incorpora todas las formas de geometría. Comienza con el teoremade Minkowski acerca de los puntos comunes en conjuntos convexos e investigaciones sobre superficies esféricas.

Teoría combinatoria de números

La teoría combinatoria de números trata los problemas de la teoría de números involucrando ideas combinatorias y sus formulaciones o soluciones. PaulErdős es el creador de esta rama de la teoría de números. Los temas típicos incluyen sistemas cubiertos, problemas de suma cero, diversos conjuntosrestringidos y progresiones aritméticas en un conjunto de enteros. Los métodos algebraicos o analíticos son bastante poderosos en este campo.

Teoría computacional de números

La teoría computacional de números estudia los algoritmos relevantes de la teoría de números. Los algoritmos rápidos para evaluar números primos yfactorización de enteros tienen importantes aplicaciones en criptografía.

«La evolución de la computación ha hecho que la aritmética deje de ser una ciencia contemplativa y de especialistas para transformarse en unaverdadera rama aplicada. La necesidad de nuevos algoritmos de computación requiere- como dice Enzo R. Gentile- vastos y profundos conocimientosaritméticos».

Historia

Los matemáticos en la India se han interesado en encontrar soluciones enteras a las ecuaciones diofánticas desde la época de los Vedas. El primer usogeométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba Sutras, los cuales fueron escritos entre los siglos VIII y VI a. C. Baudhayana (s.

VII a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones diofánticassimultáneas con más de cuatro incógnitas. Apastamba (s. VI a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Apastambahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Baudhayana&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Shulba_Sutrashttp://es.wikipedia.org/wiki/Vedashttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diof%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Enzo_Gentilehttp://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91shttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Minkowskihttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros_algebraicoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_cribashttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_del_c%C3%ADrculo_de_Hardy-Littlewoodhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbachhttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Waring


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Los matemáticos de la época jainia fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos son los mismos o iguales. Reconocen cinco tiposde infinitos diferentes: infinito en una o dos direcciones (unidimensionales), infinito en superficies (bidimensional), infinito en todas partes (tridimensional) y perpetuamente infinito (en un número infinito de dimensiones).

La teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría, Egipto a partir del siglo III a. C.,quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer matemático helenístico que estudió estas ecuacionesfue Diofanto.

Diofanto investigó un método para encontrar las soluciones enteras para las ecuaciones lineales indeterminadas, 4 ecuaciones en las que falta informaciónsuficiente para producir un conjunto único de respuestas discretas. La ecuación es un ejemplo de ellas. Diofanto descubrió que muchasecuaciones indeterminadas pueden ser reducidas a una forma en donde cierta categoría de soluciones son conocidas, incluso a través de una soluciónque no lo es.

Las ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras. Aryabhata en el 499 da la primera descripción explícita de la solución enterageneral de la ecuación diofantina lineal , la cual aparece en su texto Aryabhatiya. El algoritmo kuttaka es considerado como una de las

contribuciones más significativas de Aryabhata en las matemáticas puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinaslineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando estemétodo.

Brahmagupta trabaja en 628 las ecuaciones diofantinas más difíciles, que aparece en su libro 18 dedicado al álgebra y ecuaciones indeterminadas. Utilizael método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas cuadráticas, incluyendo aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal que

. Su Brahma Sphuta Siddhanta fue traducido al árabe en 773 y al latín en 1126. La ecuación fue propuesta

como un problema por el matemático francés Pierre de Fermat. La solución general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada 70años más tarde por Leonhard Euler, aunque la solución general de la ecuación de Pell fue encontrada 100 años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange

en 1767. Sin embargo, varios siglos antes, la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una versión modificada del métodochakravala de Brahmagupta, encontrando la solución general de otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticascuadráticas. El método chakravala para encontrar la solución general de la ecuación de Pell era más simple que el método utilizado por Lagrange 600años más tarde. Bhaskara encuentra también la solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbicas, cuárticas y polinómicas de mayoresgrados. Naraian Pandit perfeccionó aún más las demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados superiores.

Véase también

Problemas de Hilbert

Sucesión de Fibonacci

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Narayana_Pandit_(matem%C3%A1tico_de_la_India)http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_cuarto_gradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_gradohttp://es.wikipedia.org/wiki/1150http://es.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_IIhttp://es.wikipedia.org/wiki/1767http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrangehttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Franciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/1126http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_lat%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/773http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_%C3%A1rabehttp://es.wikipedia.org/wiki/Brahma_Sphuta_Siddhantahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Pellhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_indeterminadahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/628http://es.wikipedia.org/wiki/Brahmaguptahttp://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/499http://es.wikipedia.org/wiki/Aryabhatahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Diofantohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diof%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Alejandr%C3%ADa


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Número áureoTeor ema chino del resto

Referencias

1. ↑ Jean-Paul Collette (1985) , Historia de las matemáticas (volúmenes 1 y 2). Traducción de Alfonso Casal, Madrid: Siglo XXI Editores S.A. ISBN 84-323-

0526-42. ↑ Introducción a la obra Cohomology of number fields:

Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter denanderen Wissenschaften.

3. ↑ Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7.ª edición). Cambridge, England: Cambridge UniversityPress. ISBN 0-521-63446-6.

4. ↑ Br eve historia de la teoría de números (http://usuarios.lycos.es/teoriadenumeros/historia.html), URL último acceso el 05/06/2007.

Enlaces externos

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