Estadística IITeoría de Probabilidades

Ing. Aldo Ahmed Solís Zenteno

Preparatoria Tapachula

Experimento

• Un experimento probabilístico es un proceso que tiene salidas o resultados bien definidos.– Lanzar una moneda al aire, – Lanzar los dados, – Tomar una carta de un mazo, – Contestar un examen de opción múltiple,

• Es un proceso mediante el cuál se lleva a cabo una o más observaciones.

Eventos

• Un evento es cualquier colección de salidas o resultados de un experimento. – Simple: Ocurre de una sola forma y no se puede

descomponer en otros eventos.– Compuesto: Ocurre en mas de una forma.Ejemplo: Lanzar un dado es un experimento

probabilístico, un evento simple es obtener un 5, un evento compuesto es obtener un número impar, puede ocurrir de tres formas 1,3 o 5.

Espacio Muestral (S)

• El espacio muestral S de un experimento es el conjunto de todos las posibles eventos simples de un experimento– Todas las posibles salidas de un experimento– Suponemos que todos los eventos son igualmente

probables.Experimento Espacio Muestral

Lanzar una moneda S = { Águila, Sol }

Lanzar un dado S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Lanzar dos monedas S = { AA, AS, SA, SS }

Tres tipos de Probabilidad

• Existen 3 tipos de probabilidad:– Subjetiva– Empírica – Clásica

• En este curso estudiaremos con mayor importancia la probabilidad clásica.

Probabilidad Subjetiva

• Es la probabilidad de un evento que se obtiene por simple adivinanza o estimación de su valor basados en el conocimiento las circunstancias relevantes.

Ejemplo:Si está nublado, es probable que llueva.

Probabilidad Empírica

• Es una aproximación de la probabilidad por medio de la frecuencia relativa– Se obtiene realizando un experimento un gran

número de veces y observando las veces que un evento ocurre.

– Si P(A) es la probabilidad relativa de el evento A, entonces:

toexperiemen el repite se que vecesde Número

ocurre que vecesde Número)(

AAP

Probabilidad Empírica

• Una clase está compuesta de 25 estudiantes de diferentes ciudades de la región:

• Calcular las siguientes probabilidades:– Que el estudiante sea de Tapachula– Que el estudiante sea de Tapachula o de Huixtla

Ciudad No. De Estudiantes

Tapachula 4

Huixtla 8

Tuxtla Chico 6

Huehuetán 7

Ley de los grandes números

• Cuando un experimento se repite una y otra vez la probabilidad basada en la frecuencia relativa tiende a aproximarse a la probabilidad real.

Ejemplos

1. De una muestra de 300 personas mayores de los 18 años, 200 consumen alcohol, si seleccionamos a una persona al azar encontrar la probabilidad de que la persona– Consuma alcohol– No consuma alcohol

2. Se hizo un sondeo de las edades de los trabajadores de una fábrica:

Si seleccionamos una persona al azar, encontrar la probabilidad de que sea: Mayor de 39 años, Menor de 40 años, Entre 30 y 39 años, Menor de 60 pero mayor a 39.

Edad 20-29 30-39 40-49 50-59 60 o más

Número 18 27 36 16 3

Probabilidad Clásica

• Utilizaremos una P para denotar probabilidad• Si A es un evento del espacio muestral,

entonces P(A) se lee como probabilidad de que ocurra A.

n(A) es el número de formas en que A puede ocurrir y n(S) es tamaño del espacio muestral

)(

)()(

Sn

AnAP

Probabilidad Clásica1. Se lanzan dos monedas al aire, calcular las siguientes probabilidades:

a) Ambas monedas caigan SOLb) Al menos una sea SOLc) Ninguna sea SOL.

2. Encontrar la probabilidad de los siguientes eventos en el lanzamiento de un dado:

a) Obtener un dosb) Obtener un número parc) Obtener un número menor a 5

3. Una urna con canicas contiene 8 rojas, 5 amarillas, 3 negras y 4 rosas. Si se selecciona una canica al azar, calcular la probabilidad de que sea:

a) Una canica rojab) Una canica rosa o negrac) Una canica que no sea amarillad) Una canica naranja

Eventos Mutuamente Excluyentes

Decimos que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, si A y B no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir Ejemplo

Experimento: Lanzar un dado Evento A: Obtener un número Par

Evento B: Obtener un número Impar , por lo tanto A y B son

mutuamente excluyentes

BA

BA

Ejemplo

• ¿Cuál de los siguientes eventos son mutuamente excluyentes?– Obtener un as o un trébol al tomar un carta– Obtener un número par o un número menor a 4 al

lanzar un dado– Obtener en la suma 7 o 11 al lanzar dos dados– Seleccionar un estudiante de primer año o una

mujer– Seleccionar un trabajado de tiempo completo o uno

de tiempo parcial

Axiomas de Probabilidad

• Consideremos un experimento con espacio muestral S, para todo evento E que pertenece a S asumimos que existe un número P(E) que cumple con los siguientes axiomas:

. ocurra que de adprobabilid la denota )( Donde

)(...)(

:entonces ,) si decir (es sexcluyente mutuamente

eventos de secuencia unaforman ,,, Si :3 Axioma1)( :2 Axioma

1)(0 : 1 Axioma

1321

321

EEP

EPEEEP

jiEE

EEESPEP

ii

ji

Algunas Reglas de Probabilidad• La probabilidad de un evento va de 0 a 1.• Si un evento no puede ocurrir, la probabilidad es 0.• Si un evento ocurre certeramente, la probabilidad es

1.• La suma de las probabilidades de todas las salidas del

espacio muestral es 1.• La probabilidad de que un evento no ocurra es igual

a 1 menos la probabilidad de que ocurra

0 10.5

Imposible

Improbable Probable

Certero50 – 50

Eventos Complementarios

• El complemento de un Evento E consiste en todas la posibles salidas donde no ocurre E, es decir:

• La demostración se deja de ejercicio al alumno

1)()()(1)(

EPEPEPEP

Ejemplo (Complementarios)

• Si la posibilidad de que llueva es de 0.60, ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva?

• Al lanzar un dado ¿Cuál es la probabilidad de que sea no sea Par?

• Al lanzar dos monedas ¿Cuál es la probabilidad de no obtener dos veces SOL ?

Regla Aditiva

• La P(A U B) se puede expresar como P(A ó B) y es lo mismo que P(Ocurra A, Ocurra B u Ocurran Ambos) y se puede calcular con la siguiente formula:

• ¿Qué pasa si A y B son disjuntos?)()()()( BAPBPAPBAP

)()()( BPAPBAP

Ejemplos 1 • Se lanza un dado. Encontrar la probabilidad de que el resultado sea

un número par o un número menor a 4.• Se lanzan dos dados. Encontrar la probabilidad de que el resultado

del primer dado sea igual al del segundo dado o que la suma de ambos sea 8.

• En un rally político tenemos 8 demócratas y 10 republicanos, 6 de los demócratas y 5 de los republicanos son mujeres. Si seleccionamos un persona al azar encontrar la probabilidad de que sea mujer o demócrata.

• La probabilidad de que un estudiante posea una computadora es de 0.92 y de que tenga automóvil es de 0.53, la probabilidad de que tenga ambas cosas es de 0.49, encontrar la probabilidad de que tenga un automóvil o una computadora.

Ejemplos 2 (M.E.)

1. Si lanzamos un dado calcular la probabilidad de obtener un 2 o un 3

2. Para formar un comité de estudiantes, tenemos 5 alumnos de primer año, 6 de segundo año y 2 de tercer año. Calcular la probabilidad de que el Presidente sea de 1ero o 2do año.

3. Se selecciona una carta al azar encontrar la probabilidad de que sea un AS o un REY.

Caso de Estudio: Ruleta