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TEORIA dei CIRCUITIIngegneria dell’Informazione
− FUNZIONI DI RETE−
Stefano Pastore
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Corso di Teoria dei Circuiti (105IN)
a.a. 2013-14
Circuiti con un ingresso e una uscita
• Rappresentiamo un circuito LDI stabile e non-degenere di ordine n con gli schemi di figura
2
• Le funzioni di rete (in Laplace) esprimono la relazione esistente tra la (unica) sorgente indipendente (l’ingresso) e la tensione o corrente su una impedenza (l’uscita)
• Indicata genericamente con u(t) la variabile in ingresso e con y(t) la variabile di uscita, le equazioni di stato e di uscita in t sono
• Dove x(t) è un vettore [n x 1], y(t) e u(t)
=+=+=
0)0(
)()()(
)()()(
x
Cx
BAxx
tDutty
tutt&
Dallo stato alle funzioni di rete
• Dove x(t) è un vettore [n x 1], y(t) e u(t) sono scalari
• Le condizioni iniziali sono poste a zero per il fatto che ci interessa solamente il rapporto tra l’ingresso e l’uscita; y(t) rappresenta solamente la soluzione forzata (e non quella libera)
• Le funzioni di rete possono essere un rapporto di tensioni o di correnti, quindi numeri puri, o avere le dimensioni di una trans-impedenza o trans-ammettenza
3
• Trasformando con Laplace si ottiene la funzione di rete H(s)
[ ][ ]
[ ][ ]( )1
1
1
)()(
)()()(
)()(
)()(
)()()(
n
n
n
sUDssY
sDUsUssY
sUss
sUss
sUsss
+−=
+−=
−=
=−+=
−
−
−
BAIC
BAIC
BAIX
BXAI
BAXX
Dallo stato alle funzioni di rete (2)
• H(s) è una funzione razionale fratta a coefficienti reali in s, dove grad(D(s)) = n’ ≤ n
• N(s) e D(s) non contengono fattori comuni che devono essere cancellati nel calcolo
4
[ ]( )[ ]
''
2210
2210
1
1
)(
)()(
)(
)()(
)()(
nn
mn
n
n
sbsbsbb
sasasaa
sD
sNsH
DssU
sYsH
sUDssY
++++++++==
+−==
+−=
−
−
K
K
BAIC
BAIC
• Le radici di D(s) sono chiamate “poli”, quelle di N(s) “zeri”. Sono reali o complesse coniugate
• I poli derivano da: det[sI – A] = 0, espressione che ci dà gli autovalori di A(coincidenti con le radici della equazione caratteristica)
• I poli in genere coincidono con gli autovalori
Funzioni di rete
5
• I poli in genere coincidono con gli autovaloridi A (n = n’), a meno che qualche radice al denominatore non si elida con una corrispondente al numeratore, ovvero se qualche polo e zero coincidono. Questi corrispondono ai modi non-controllabili e non-osservabili. In questo caso n’ < n
• Gli zeri di N(s) possono essere positivi o a parte reale positiva, non influendo sulla stabilità
• H(s) può essere sviluppata in somma di frazioni parziali, da cui si può ottenere la h(t)
• h(t) (risposta alla δ(t)) consiste in una somma
Funzioni di rete (3)
0per
)(
)(
'21'21
'
'
2
2
1
1
≥+++=⇒
−++
−+
−=
t
ecececth
ps
c
ps
c
ps
csH
tpn
tptp
n
n
nL
L
• h(t) (risposta alla δ(t)) consiste in una somma di esponenziali reali e complesse; se tutte le radici, ovvero i poli, sono a parte reale negativa, h(t) va a zero per t ∞, ovvero il circuito è stabile
• Se U(s) = 1 [u(t) = δ(t)], allora: H(s) = Y(s)
La funzione di rete coincide con l’uscita del circuito alimentato da una sorgente impulsiva unitaria
• La stabilità del circuito si vede anche dall’analisi delle funzioni di rete
6
• Esaminiamo H(s) per un circuito stabile sull’asse immaginario, cioè poniamo s = jω
• H(jω) rappresenta il rapporto tra l’uscita e l’ingresso quando la sorgente è una sinusoide a frequenza ω.
Funzioni di rete sull’asse jω
H(jω) = |H(jω)|ejϕ(ω)
• Il modulo esprime il rapporto tra i moduli delle sinusoidi in uscita e in ingresso, la fase la differenza delle fasi, ovvero il ritardo tra le due sinusoidi
7
• Se avessimo calcolato la funzione di rete come rapporto tra i fasori della y(t) e della u(t), cosa avremmo ottenuto? Facciamo un confronto tra i due metodi
• La trasformata di Laplace di un ingresso u(t) sinusoidale è
Laplace e fasori
ingresso u(t) sinusoidale è
• Il fasore massimo è:
8
ωω
ωωϕϕϕω
ϕϕ
js
Ue
js
Ue
s
UsU
tUtu
uu jj
uu
u
++
−=
=+−=
=+=
−5.05.0
sincos
)]cos([)]([
22
L
uiUeU ϕ=
• Essendo un circuito LDI con una sola sorgente sinusoidale, la soluzione particolare o a regime yp(t) è anch’essa una sinusoide la cui trasformata di Laplace è
ϕωtYty yp =+= )]cos([)]([L
Laplace e fasori (2)
• Il fasore massimo è:
9
ωω
ωωϕϕ
ϕω
ϕϕ
js
Ye
js
Ye
s
YsY
tYty
yy jj
yy
y
++
−=
=+−
=
=+=
−5.05.0
sincos
)]cos([)]([
22
L
yiYeY
ϕ=
• Ricordando che H(s) è un rapporto di polinomi:
444 3444 21
1 5.05.0
)(
)(
5.05.0
)(
)()(
ωω
ωωϕϕ
ϕϕ
js
Ye
js
Ye
sD
sN
js
Ue
js
Ue
sD
sNsY
yy
uu
jj
jj
++
−+=
=
++
−=
−
−
Laplace e fasori (3)
• Il primo fattore rappresenta la soluzione transitoria stabile, il secondo e il terzo (sono complessi coniugati) la soluzione particolare o a regime
• Calcoliamo N1(s), Y e ϕy riducendo il tutto a un unico denominatore e uguagliando i numeratori
10
444 3444 21eparticolar soluzione
)( ωω jsjssD +−
• Si ottiene
Laplace e fasori (4)
( )( )
( )( )( )( )ω
ω
ωωω
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
jsYesD
jsYesD
jsjssN
jsUesN
jsUesN
y
y
u
u
j
j
j
j
−+
+++
+−+==−+
++
−
−
5.0)(
5.0)(
)(
5.0)(
5.0)(
1
• Ponendo s = jω, ovvero vincolando ssul suo asse immaginario, l’espressione si riduce a
11
( )ωϕ jsYesD yj −+ −5.0)(
U
Y
Ue
Ye
jD
jNjH
YejDUejN
u
y
yu
j
j
jj
===→
=
ϕ
ϕ
ϕϕ
ωωω
ωω
)(
)()(
)()(
• Abbiamo ottenuto il seguente risultato, che H(jω) è data dal rapporto tra i fasori Y e U alla corrispondente frequenza angolare ω
• H(jω) rappresenta soltanto la soluzione particolare o a regime con sorgente
Laplace e fasori (5)
particolare o a regime con sorgente sinusoidale, non il transitorio
• Ipotesi fondamentale è che il circuito sia stabile, ovvero che i poli abbiano parte reale negativa. Non ci devono essere poli neanche sull’asse immaginario
12
• H(jω) è una funzione complessa di variabile complessa. Il modulo è una funzione pari di ω, la fase una funzione dispari
Proprietà della H(jω)
( )
)()()(
)()()(
)()()(
*
*
**
ωωω
ωωωωωω
jHjHjH
jHjHjH
jHjHjH
−∠=∠=−∠⇒
==−⇒
==−
• Il modulo è continuo per le funzioni stabili. Il modulo al quadrato dipende da ω2
• La fase è continua tranne quando ci sono delle coppie di zeri immaginari puri (± π)
• H(jω) si può rappresentare o mediante la parte reale e quella immaginaria, oppure mediante modulo e fase
13
)()(
)()()(22
*
ωω
ωωωHMjH
jHjHjH
=
−∠=∠=−∠⇒
• Circuito RC del I ordine lineare
Esempi di funzioni di rete
1)(
)( RsH
sV uu ==
• Il polo è: p1 = −2000
14
[ ] )(1000)(
1051
1
2
1)(
1000 ,F1
1
1)(
)(
)(
2000
4
tueth
ssH
RRC
RR
RRsCRR
RsH
sV
sV
t
su
su
susu
u
s
u
−
−
=
⋅+=
⇒Ω===+
++==
µ
• Ingresso a gradino unitario
Esempi di funzioni di rete (2)
[ ] )(55)(
1051
15)(
10)();(10)(
2000
4
tuetv
sssV
ssVtutv
tu
u
ss
+−=⋅+
=
==
−
−
• Ingresso esponenziale
15
[ ] )(55)( tuetvu +−=
[ ] )(26.526.5)(
)1051)(100(
5)(
100
10)();(10)(
1002000
4
100
tueetv
sssV
ssVtuetv
ttu
u
st
s
−−
−
−
+−=⋅++
=
+==
• Ingresso sinusoidale
Esempi di funzioni di rete (3)
[ ] )()46.01000cos(47.446)(
)1051)(10(
5)(
10
10)();()1000cos(10)(
2000
462
62
tutetv
ss
ssV
s
ssVtuttv
tu
u
ss
−+−=
⋅++=
+==
−
−
• Nel dominio dei fasori
16
)46.01000cos(47.4)(
5.01
5
1051
5
1051
1
2
1)(
10);1000cos(10)(
4
4
−=+
=⋅+
=
⋅+=
==
−
−
ttv
jjV
jjH
Vttv
u
u
ss
ω
ωω
• La funzione complessa H(jω) può essere rappresentata graficamente con parametro ω nel piano
• Esempi:
Diagrammi polari o di Nyquist
)(,)( ωω jHjH ℑℜ
1) H(jω) = a + j bω semiretta verticale
2) H(jω) = 1/(a + j bω) semicerchio con centro in (1/2a,0)
17
• Il ritardo di gruppo è definito come
• Esprime il ritardo in secondi dei
Ritardo di gruppo
ωωϕωτ
d
)(d)(
H
−=
• Esprime il ritardo in secondi dei “gruppi“ di frequenze componenti il segnale
• Una fase lineare comporta un ritardo di gruppo costante. È particolarmente importante, per esempio, nella elaborazione delle immagini, perché i contorni non vengono deformati
18
• Per varie ragioni, la scala logaritmica è da preferirsi alla scala lineare nelle rappresentazioni delle funzioni di rete in modulo e fase, sia per la frequenza angolare in ascissa che per il modulo in ordinata
Grandezze logaritmiche
→→
⇒
ottava 2
decade 10log10 ωω
ωωωω
• Le unità introdotte sono il decibel (dB) e il neper (Np)
19
→
⇒
ottava 2
log0
10 ωωω
( )( ) ( )( )
( ))(ln)(
log10)(log10
)(log20)(
Np
210
2
10
10dB
ωωωω
ωω
jHjH
MjH
jHjHH
===
==
dB 686.8)(log20Np 1 10 == e
• A volte si utilizza l’attenuazione α(ω) al posto del modulo, specialmente nel progetto dei filtri elettrici
Attenuazione
( )( )
10
10
)(log20
)(
1log20)(
ω
ωωαdB
jH
jH
=−
=
=
20
( )( )( )2
10
2
10
10
log10
)(log10
ω
ωHM
jH
−=
=−=
( )
( )2)(ln
2
1
)(ln)(
1ln)(
ω
ωω
ωα
jH
jHjHNp
−=
=−=
=
• Per il teorema fondamentale dell’algebra, possiamo scomporre H(s) in un prodotto di fattori con coefficienti reali di primo e di secondo grado. Supponendo che
grad(D(s)) = n, grad(N(s)) = m
Zeri e poli
∏∏ ==
++
+
=
zczr K
zzz
K
zu
s
q
ss
KssH2
1 2
2
111
)(ν
νννν
ν ωωσ
• Dove
• u ≥ 0: n = Kpr + 2Kpc, m = u + Kzr + 2Kzc
• u < 0: n = |u| + Kpr + 2Kpc, m = Kzr + 2Kzc
• Se n > m, ci sono n − m zeri a ∞• Se m = n, non ci sono né zeri né poli a ∞• m > n: non possibile per circuiti non-degeneri
21
∏ ∏= =
++
+
=pr pcK K
pppp
s
q
ssKssH
1 1 2
2
11
)(
ν ννννν ωωσ
• I fattori di secondo grado tengono conto degli zeri e dei poli complessi coniugati. Hanno modulo ω0 (> 0) e angolo con l’asse reale ϕ
• Le radici (poli o zeri) sono
Fattori di secondo grado
2002
02
200
21
5.0011
14
1
242
q
qqqqs
>⇒<−
−±−=−±−= ωωωωω
• |s| = ω0
•
• Per i poli, deve valere per la stabilità: q > 0.5
22
200
21
2
4
11
2
5.0014
1
qj
qs
−±−=
>⇒<−
ωω
q2
1cos −=ϕ
• Vediamo una tabella riassuntiva che associa i valori di q alla tipologia di poli o zeri
Fattori di secondo grado (2)
neg. p.r. complesse radici 5.0
coinc. neg. reali radici 5.0
distinte neg. reali radici 5.00
∞<<=
<<
q
q
q
• N.B. se un fattore contiene due radici reali, viene scomposto in due fattori di primo grado
23
distinte pos. reali radici 05.0
coinc. pos. reali radici 5.0
pos. p.r. complesse radici 5.0
pure eimmaginari radici
neg. p.r. complesse radici 5.0
<<−−=
−<<∞−±∞=
∞<<
q
q
q
q
q
Diagrammi di Bode
• Sono i diagrammi del modulo (in dB) e della fase della H(jω) rispetto al logaritmo in ω
• Si ottengono sovrapponendo i diagrammi dei singoli fattori, grazie alla proprietà additiva del logaritmo e
24
alla proprietà additiva del logaritmo e della fase
• Il procedimento risulta piuttosto semplice, intuitivo e veloce.Quando si utilizzano i diagrammi asintotici, ovvero quelli approssimati, si ottiene il diagramma asintotico di Bode
• Il modulo di un prodotto (rapporto) è uguale al prodotto (rapporto) dei moduli. Il logaritmo di un prodotto (rapporto) di moduli è uguale alla somma (differenza) dei logaritmi dei singoli fattori
• La fase di un prodotto (rapporto) è
Scomposizione della H(jω)
• La fase di un prodotto (rapporto) è uguale alla somma (differenza) delle fasi
• Queste proprietà si possono applicare alla H(jω) se si considerano il modulo in dB e la fase in funzione di ω (log ω)
• In tal caso il modulo in dBe la fase vengono scomposti nella somma (differenza) di fattori di primo e di secondo grado
25
• Si ottiene quindi
( )( )( )
( ) ( )∑∑
∑∑ ==+
+−
++
++===
przr K
p
K
z
H
dB
uK
MjH
1 2
2
1 2
2
22
2
1log101log10
)log(10log10
log10)(
νν
νν σ
ωσω
ωωω
Scomposizione della H(jω) (2)
26
( ) ( )∑∑ ==−+
pczc KK
11log10log10
ννLL
πσ
ωσ
ω
πω
νν
νν
k
jj
uKjH
przr K
p
K
z
2
11
2)(
11
++
+
+∠−
+∠+
++∠=∠
∑∑ ==
K
Considerazioni sulla H(jω)
• Le coppie di zeri immaginari puri sono chiamati zeri di trasmissione del doppio-bipolo
• Il comportamento in continua si
zz jss ωω ±=→=+ 022
27
determina con
• Il comportamento nelle alte frequenze si determina con
)(lim0
ωω
jH→
)(lim ωω
jH∞→
• Fattore costante
Fattori della H(jω)
πωωω
kKjHKKjH
KjH
dB
2)(log20log10)(
)(2
+∠=∠==
=
• Fattore nell’origine
28
ππω
ωωωωω
kujH
ujHjjH
u
dB
u
22
)(
log20)log(10)()()(
2
+=∠
===
• Fattori di primo grado al numeratore
Fattori della H(jω) (2)
log10)( :se
01log10)( :se
1log10)(
1)(
2
2
2
ωωσω
ωσωσωω
σωω
=
≈→>>
=≈→<<
+=
+=
jH
jH
jH
jjH
dBz
zdB
z
29
2)(,
4)(:0
2)(,
4)(:0
0)0(arctan)(
32log10)( :se
log20log20
log10)( :se2
ππσσ
ππσσ
σωω
ωσωσωσωωσω
−=∞∠−=∠<
=∞∠=∠>
=∠→
=∠
=≈→=−=
=
≈→>>
jHjH
jHjH
jHjH
jH
jH
zz
zz
z
dBz
z
zdBz
• Fattori di primo grado al denominatore
Fattori della H(jω) (3)
01log10)( :se
1log10)(
)0(1
1)(
2
2
ωσωσωω
σ
σωω
=−≈→<<
+−=
>+
=
jH
jH
jjH
dBp
pdB
p
p
30
2)(,
4)(,0)0(
arctan)(
32log10)( :se
log20log20
log10)( :se
01log10)( :se
2
2
ππσ
σωω
ωσωσωσωωσω
ωσω
−=∞∠−=∠=∠
→
−=∠
−=−≈→=+−=
=
−≈→>>
=−≈→<<
jHjHjH
jH
jH
jH
jH
p
p
dBp
p
pdBp
dBp
• Fattori di secondo grado al numeratore (ωz > 0)
Fattori della H(jω) (4)
zzz
zzz
q
j
j
q
jjH
ωω
ωω
ωω
ωωω
+
−=
=++=
2
2
2
2
1
)(1)(
31
• Modulo (continuo)
Fattori della H(jω) (5)
dBz
zzzdB
jH
qjH
01log10)( :se
1log10)(22
2
2
=≈→<<
+
−=
ωωω
ωω
ωωω
32
z
zdBz
z
zdBz
q
qjH
jH
log20
1log10)( :se
log40log40
log10)( :se
2
4
4
−=
=
≈→=
−=
=
≈→>>
ωωω
ωωωωωωω
• Fase (continua)
Fattori della H(jω) (6)
( )( ) ππω
ωω
πωω
ωωω
ωω
++=∠>
+
−=∠
<
2karctan)( :se
2karctan)(
:se
22
jH
qjH
z
zz
z
z
K
33
πωω
πωωω
πωω
πωωω
−→∠⇒∞→
−→∠⇒→
<→∠⇒∞→
→∠⇒→
>=∠
−
−
)(2
)(
0 :se )(
2)(
0 :se 0)0(
jH
jH
qjH
jH
qjH
z
z
z
z
• I diagrammi di Bode del modulo e della fase di una coppia di zeri complessi coniugati (qz > 0)
Fattori della H(jω) (7)
34
• Coppia di zeri immaginari puri
• La funzione H(jω) è reale, quindi il
Fattori della H(jω) (8)
2
2
2
2
1)(
1)(zz
jjH
ωω
ωωω −=+=
• La funzione H(jω) è reale, quindi il modulo coincide con il valore assoluto
• La fase è 0 perω < ωz, mentre diventa π per ω > ωz, presentando una discontinuità nell’origine
35
• Fattori di secondo grado al denominatore (ωp > 0, qp > 0)
Fattori della H(jω) (9)
ppp
j
j
q
jjH
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
+
−=
=++
=
2
2
2
1
1
)(1
1)(
36
ppp q ωω+
− 21
ω=0(0,0)
ω=ωp
ω=∞(1,0)
• Modulo (continuo)
Fattori della H(jω) (10)
dBp
pppdB
jH
qjH
01log10)( :se
1log10)(
22
2
2
=−≈→<<
+
−−=
ωωω
ωω
ωωω
37
( )( )p
pdBp
p
pdBp
dBp
qqjH
jH
log20 log10)( :se
log40log40
log10)( :se
2
4
4
==≈→=
+−=
=
−≈→>>
ωωω
ωωωωωωω
• Fase (continua)
Fattori della H(jω) (11)
( )ωω
πωω
ωωω
ωω
>
+
−−=∠
<
:se
2karctan)(
:se
22qjH
p
pp
p
p
38
( )
πωω
πωωω
ππωωω
−→∠⇒∞→
−→∠⇒→
=∠
+−=∠>
−
)(2
)(
0)0(
2karctan)( :se
jH
jH
jH
jH
p
p
K
• I diagrammi di Bode del modulo e della fase di una coppia di poli complessi coniugati stabili
Fattori della H(jω) (12)
39
• Si ottengono sovrapponendo i diagrammi asintotici dei singoli fattori, grazie alla proprietà additiva del logaritmo e della fase
• Il procedimento risulta piuttosto semplice, intuitivo e veloce in quanto i diagrammi asintotici, ovvero
Diagrammi asintotici di Bode
diagrammi asintotici, ovvero approssimati, sono funzioni lineari a tratti
• Per quanto riguarda gli errori, si commette al massimo un errore di 3 dBse non ci sono fattori di secondo grado e se i poli e gli zeri distano tra loro almeno una decade
40
Esempio di diagramma di Bode
+
+
+−=
=++
+−=
9001
21
301
20
1
)900)(2(
)30(3)(
ss
sss
ssH
• Funzione con denominatore di secondo grado e numeratore di primo grado, uno zero all’infinito. Uno zero al finito e due poli reali negativi: circuito stabile
• Kdb = −26, ∠K = ±π• z1 = −30, p1 = −2, p2 = −900
• log 2 = 0.3, log 30 = 1.5, log 900 = 2.9
41
9002
• I diagrammi esatti sono
Esempio di diagramma di Bode (2)
42
• I diagrammi asintotici sono
Esempio di diagramma di Bode (3)
• Si nota come il modulo asintotico approssimi abbastanza bene il modulo esatto, mentre la fase asintotica risulti piuttosto grossolana
43
+
++
+
+=
=+++
++=
4001
26131
1001
501
52
75
)400)(262(
)100)(50(3)(
2
2
sss
sss
sss
ssssH
Esempio 2 di diagramma di Bode
• Funzione con denominatore e numeratore di terzo grado, uno zero nell’origine e nessun zero all’infinito. Tre zeri al finito e tre poli, di cui due complessi coniugati, con parte reale negativa: circuito stabile
• Fattore secondo grado: ωp = sqrt(26), qp = sqrt(6.5) = 2.55, qpdB = 8.1 dB
44
• Kdb = 3.18, 20 log 3 = 9.54
• z1 = 0, z2 = −50, z3 = −100
• 1p2 = −1 ± j5, p3 = −400
• log 50 = 1.7, log 100 = 2
• log (sqrt(26)) = 0.7, log 400 = 2.6
Esempio 2 di diagramma di Bode (2)
45
• I diagrammi asintotici sono
Esempio 2 di diagramma di Bode (3)
46
• Consideriamo un risonatore reale serie alimentato da una sorgente di tensione sinusoidale.
Circuito risonante reale serie
• Abbiamo visto che il circuito presenta frequenze naturali complesse coniugate, ovvero risuona, imponendo
47
022 zC
LR =<
• Esaminiamo il circuito a regime e calcoliamo la funzione di rete H(jω) relativa alla tensione sulla resistenza
Circuito risonante reale serie (2)
=
=
−+=
++=
CL
R
jCj
LjR
RjH
ωωω
ωω
1
11
11
)(
• Definendo la frequenza di risonanza ω0
e il fattore di qualità Qs
48
−+=
LCLC
C
L
R
j
ωω 1
1
1
CRR
L
C
L
RQ
LC
s0
0
0
11
1
ωω
ω
===
=
• Si ottiene
1)(
1
1)(
0
0
0
=
−+
=
ωωω
ωω
ω
jH
jQ
jH
s
Circuito risonante reale serie (3)
• Infine, introducendo la frequenza normalizzata: Ω = ω/ω0
49
1)( 0 =ωjH
1)1(
11
1)(
=
Ω−Ω+
=Ω
jH
jQjH
s
• Se Ω1·Ω2 = 1 H(jΩ1) = H*(jΩ2)
• Il modulo è geometricamente simmetrico rispetto alla frequenza di risonanza, la fase anti-simmetrica
• Calcoliamo le frequenze per cui il modulo di H(jΩ) è uguale a 1/sqrt(2), ovvero la banda passante a 3 dB
Circuito risonante reale serie (4)
ovvero la banda passante a 3 dB
50
++−=Ω
++=Ω
±=
Ω−Ω
=
Ω−Ω→=Ω
−
+
14
1
2
1
14
1
2
1
11
11
2
1)(
2
2
222
ss
ss
s
s
Q
QjH
• Ne risulta che
• Più alto è Qs, più stretta è la banda ∆Ωe maggiore è la simmetria aritmetica dei due punti rispetto a quella
Circuito risonante reale serie (5)
=ΩΩ
=Ω−Ω
−+
−+
1
1
sQ
dei due punti rispetto a quella geometrica
• La fase nei punti significativi vale
51
2)(
4)(,0)1(
4)(,
2)0(
π
π
ππ
−=∞∠
−=Ω∠=∠
=Ω∠=∠
+
−
jH
jHjH
jHjH
• Ritornando alla frequenza non normalizzata ω0, le relazioni diventano
• Più alto è Qs, più stretta è la banda ∆ωe maggiore è la simmetria aritmetica
Circuito risonante reale serie (6)
=
=−
−+
−+
20
0
ωωω
ωωωsQ
e maggiore è la simmetria aritmetica dei due punti rispetto a quella geometrica
• La fase nei punti significativi vale
52
2)(
4)(,0)(
4)(,
2)0(
0
π
πωω
πωπ
−=∞∠
−=∠=∠
=∠=∠
+
−
jH
jHjH
jHjH
• Disegniamo i diagrammi lineari del modulo e della fase
Circuito risonante reale serie (7)
53
• Disegniamo il diagramma di Nyquist
Circuito risonante reale serie (8)
54