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1
Corso di Comunicazioni Elettriche
2 – RICHIAMI DI TEORIA DEI SEGNALIProf. Giovanni Schembra
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
2
TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI
2
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
3
Valori caratteristici di un segnale Valore medio temporale (o componente continua):
dttwT
twWWT
TTdcm
2
2
1lim
Potenza media normalizzatadttw
TtwP
T
TT
22
2
2)(
1lim)(
Potenza di picco )()(maxpicco titvP
2)(twPWeff
Valore efficace (r m s) Energia
dttwET
TT
22
2)(lim
EP finita
0 finita PE
Notare che:
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
4
Trasformata di Fourier e spettri di un segnale
detta anche spettro bilatero di w(t) dtetwtwfW ftj 2)()()(
Trasformata e antitrasformata di Fourier
dfefWtw ftj 2)()(
)()( fWtw
3
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
5
Teorema di Raileigh edensità spettrale di energia (DSE) Teorema di Raileigh Permette di
calcolare l’energia di un segnale nel dominio della frequenza
dffWdttwE22
)()(
Definizione: densità spettrale di energia (DSE)per segnali ad energia finita
2)()( fWf E dffE )(E
Definizione: densità spettrale di potenza (DSP)per segnali a potenza finita
T
fWf T
Tw
2)(lim)(P
dove:
T
ttwtwT )()(
dffP w )(P
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
6
Funzione di autocorrelazione
Definizione [per un segnale complesso]:
dttwtwT
twtwRT
TTww )()(*
1lim)()(*)(
2
2
Teorema di Wiener-Khintchine: )()( fR www P
Diversi modi per calcolare la potenza media normalizzata:
)0()()( 22
wwweff RdffWtwP
P
4
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Alcuni segnali notevoli
Delta di Dirac Gradino unitario Segno Sinusoide
7
Impulso rettangolare Impulso triangolare Seno cardinale (sinc) Coseno rialzato Pettine
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
8
Segnali notevoli Funzione delta di Dirac, (x)
Definizione 1: )0()()( wdxxxw
Definizione 2:
0 se0
0 se)( 1)(
x
xxdxx
Definizione 3: dyex xyj 2)(
E’ una funzione generalizzata, che viene studiata in matematica nella teoria delle distribuzioni
Proprietà campionatrice della funzione (x):
)()()( 00 xwdxxxxw
5
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
9
Sinusoide
Spettro bilatero
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
10
Segnali notevoli Funzione impulso rettangolare, (t)
Definizione:
2 se0
2 se1
Tt
Tt
T
t
Funzione impulso triangolare, (t)
Definizione:
Tt
TtT
t
T
t
se0
se1
6
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
11
Segnali notevoli: SENO CARDINALE
x
xx
sin
)(sinc
Segnale SENO CARDINALE, sinc(x)
Definizione: x
xx
sin
)(sinc
T
tAtx sinc)(
TAE
P
tx
x
x
2
0
0)(
Il seno cardinale è un segnale di energia
IMPORTANTISSIMA
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
)( fW
12
Segnali notevoli: COSENO RIALZATODefinizione in frequenza:
Bf
Bfff
ff
ff
fW
0
2cos1
2
1
1
)( 11
1
0fBf
fff 01
occupata banda :B
Fattore di decadimentooppure rolloff
10 r0f
fr
dB 6- a banda :0f
IMPORTANTISSIMA
7
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
13
Segnali notevoli: COSENO RIALZATO
0r • Impulso rettangolare in frequenza• Occupazione minima di banda:
0r
0fB
Definizione in frequenza:)( fW
IMPORTANTISSIMA
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
14
Segnali notevoli: COSENO RIALZATO
200
41
2cos2sinc2)(
tf
tftfftw
Definizione nel tempo:
Coincide con un sinc(2f0 t)0r
)(tw
IMPORTANTISSIMA
8
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Segnali notevoli: SEGNALE PETTINESEGNALE PETTINEDefinizione nel tempo:
0)(pet0
nTttn
T
Definizione in frequenza:
00)(pet0
fnfftn
T
00
1
Tf dove:
)(pet)(pet00 0 fft fT
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16
Spettri di un impulso rettangolare e di un impulso triangolare
TfTT
tsinc
Spettro bilatero
di un impulso rettangolare:
fTTT
ttw 2sinc
Spettro bilatero di un impulso triangolare:
9
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
17
Banda di un segnale Definizione: SEGNALE IN BANDA BASE
)( fW
f
)( fW
f1f 2f2f 1f2f2f
011 ff 1221
2ff
ff
Definizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTE)( fW
f1f 2f1f2f
1221
2ff
ff
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
18
Banda di un segnale
2fB
Definizione: SEGNALE IN BANDA BASE
)( fW
f
)( fW
f1f 2f2f 1f2f2f
Definizione: Banda Assoluta
011 ff 1221
2ff
ff
10
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
19
Banda di un segnale
12 ffB
Definizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTE
)( fW
f1f 2f1f2f
Definizione: Banda Assoluta
1221
2ff
ff
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
20
Segnali a banda limitata
Definizione: un segnale è a banda rigorosamente limitata B se:BffW per 0)( dove B è la banda del segnale
Definizione: un segnale è a durata rigorosamente limitata T se:
Ttttwt 000 ,tper 0)( :che tale
Teorema: un segnale a BANDA LIMITATA non può essere a DURATA LIMITATA un segnale a DURATA LIMITATA non può essere a BANDA LIMITATA
dove T è la durata del segnale
11
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
21
Banda limitata in frequenza Durata limitata nel tempo
Osserviamo che: La Banda di un segnale si misura solo sulle frequenze
positive La Durata di un segnale si misura su tutto l’asse
temporale)(tw
t2T 2T
Segnale di durata T
)( fW
fB B
Segnale di banda B
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
22
Banda "ingegneristica" di un segnale Definizione “ingegneristica” di banda per:
segnali non rigorosamente limitati in banda
oppure segnali con spettro trascurabile per frequenze superiori ad una soglia:
fB
)( fW
f
)( fW
B
12
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
23
Banda "ingegneristica" di un segnale
BANDA A –3 dB:
12 ffB dove
21
21
per )(max2
1)(
e per )(max2
1)(
ffffWfW
fffffWfW
BANDA AL PRIMO NULLO (per i segnali in banda base):
fB
)( fW
321log20 10
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
24
Banda di un segnale
12 ffB
BANDA AL 99%:
12 ffB dove f1 e f2 delimitano l’intervallo in cui viene a trovarsi il 99% della potenza totale del segnale
21
21
per )(max del )(
e per )(max del )(
ffffWdBxfW
fffffWdBxfW
BANDA NULLO-NULLO (per i segnali passa-banda):
12 ffB
Definizione di banda di un segnale: BANDA A –x dB:
13
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
SERIE DI FOURIER E APPLICAZIONE AI SEGNALI PERIODICI
25
TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
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Spettro a righe di un segnale periodico Per un segnale periodico la rappresentazione mediante
serie di Fourier è definita su tutto l’asse temporale Teorema:
se un segnale è periodico di periodo T0, il suo spettro è:
0)( fnfcfW nn
dove
00 1 Tf
segnale delFourier di seriein sviluppo dello ticoefficien :nc
)( 00 fnHfcn
altrimenti0
2 se)(
)(0T
ttwthcon
14
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
27
Potenza normalizzata e Densità spettrale di potenza per un segnale periodico
Potenza di un segnale periodico: per un segnale periodico w(t), la potenza normalizzata è pari a:
22)( n
nw ctwP
Densità spettrale di potenza
02)( fnfcf n
nw
P
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE DEI SEGNALI
28
IMPORTANTISSIMA
15
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Rappresentazione vettoriale dei segnali Sia T il tempo richiesto per trasmettere un
simbolo Consideriamo un segnale si(t) definito
sull'intervallo [0, T]
Il segnale si(t) viene utilizzato per trasmettere nel canale di comunicazione il simbolo ai
Energia del segnale si(t):
29
dttsE i
T
i )(2
0 DEFINIZIONE: Prodotto scalare tra due segnali
reali
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
30
Funzioni ortogonali Definizione: )(tm
)(tncomplesse SONO ORTOGONALI sull’intervallo bta se:
0)()()(),( * dttttt mn
b
amn mn
L’insieme di queste funzioni ha quindi elementi tali che:
nmnmn
b
aKdttt )()( * dove:
mn
mnnm
se1
se0 Delta di Kronecker
nKn 1
Se:
l’insieme è un insieme di funzioni ortonormali )(tn
Kn è l’energia del segnale n
16
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Rappresentazione di un segnale su base ortonormale
Un qualunque segnale si(t) può essere espresso in modo univoco mediante un insieme di funzioni ortonormali, tramite uno sviluppo in serie:
31
1
, )()(m
mmii tsts
Ogni termine si,m rappresenta la componente di si(t)proiettata sul versore m(t). Può essere ricavata come segue:
Prodotto scalare tra il segnalesi(t) e il generico m-esimo versore
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Energia di un segnale multidimensionale Dato un segnale x(t)
rappresentato su una base ortonormale
ha energia:
32
Cioè: l’energia di x(t) corrisponde alla distanza al quadrato del punto x dall’origine degli assi
cioè
M
kkx xE
1
2
17
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Rappresentazione di un segnale su base ortonormale
33
Analogamente a quanto fatto per il calcolo dell'energia, si può dimostrare che:
Il prodotto scalare tra due segnali può essere ottenuto come la somma dei prodotti delle loro componenti
L'insieme delle componenti si,m rappresenta in maniera univoca il segnale si(t)
si(t)
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
Obiettivo: costruire un insieme di funzioni ortonormali che rappresentino
un insieme qualsiasi di funzioni si(t)
Applicazione: costruzione di una base di funzioni ortonormali adatta per
descrivere le forme d’onda utilizzate per trasmettere gli Nsimboli di un alfabeto discreto
Consideriamo N segnali:
34
definiti nell’intervallo [0,T]
nulli altroveN
18
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
Determinare: un insieme di M funzioni ortonormali definite sull'intervallo
[0,T]
tali che tutti gli N segnali si(t) possano essere espressi come combinazione lineare di tali funzioni
Cardinalità dello spazio di tali funzioni ortonormali:
35
NM con N: cardinalità dello spazio dei simboli (numero di segnali)
M: cardinalità dello spazio ortonormale
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
36
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
Operativamente:
Si determina la prima funzione ortonormale
dove Ev1 è l’energia del segnale v1(t)
Si determina la seconda funzione ortonormale
cioè
Proiezione di s2(t) lungo 1(t)
)(1 t
)(1 ts
)(1 t
)(2 ts
)(2 tv
)(2 t
Il segnale v2(t) è ortogonale a 1(t)
19
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
Si continua analogamente con le altre componenti:
37
Si determina la i-esima funzione ortonormale
Caso possibile: 0)( che tale tvi i
ijtj 0)( NM
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
È sufficiente una base con unsolo segnale:
38
ESEMPIO 1: Segnali antipodali )()( 21 tsts
)(1 t2N 1M
Se i due segnali hanno la stessa energia, E
)()( 11 tEts )()( 12 tEts
Ets )(1 Ets )(2
tT
)(1 ts1
tT)(2 ts
1
0
)(1 t
)(1 ts)(2 ts
20
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
N
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
39
ESEMPIO 2: Segnali ortogonali jijitsts ji con ,,0)(),(
0
)(1 t
)(1 ts
)(2 t
)(2 ts
tT
)(1 ts1 t
T
)(2 ts
1
1
Esempio: N2 È vero che sono ortogonali?
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
40
ESEMPIO 3: Segnali biortogonali
ortogonali )( ed )()()()()(
21
42
31
tstststststs
Nel caso in cui i quattro segnali abbiano la stessa energia E, possono essere rappresentati nello spazio bidimensionale come
4N
2M
Detta anche modulazione 4-PSK
21
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
41
ESEMPIO 3: Segnali biortogonali
1
ortogonali )( ed )()()()()(
21
42
31
tstststststs
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
SISTEMI LINEARI TEMPO-INVARIANTI (LTI) E DISTORSIONE
42
TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI
22
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
43
Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)
IMPORTANTE perché ci permetteranno di modellare: Un canale di comunicazione I filtri di trasmissione e ricezione.
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
44
Caratterizzazione di un sistema lineare I sistemi lineari stazionari sono caratterizzati dalla
conoscenza della risposta impulsiva:
)()( )()( Se thtyttx
Risposta in frequenza:
)(
)()(
fX
fYfH
Risposta in potenza:
2)(
)(
)()( fH
f
ffG
x
yh
P
P
23
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
45
Trasmissione senza distorsione Canale di comunicazione ideale:
canale che non introduce distorsione cioè, se il segnale all’uscita del canale è una versione ritardata
dell’ingresso
d
d
Tfj
Tfj
d
eAfH
efXAfY
TtxAty
ˆ2
ˆ2
)(
)()(
ˆ)(
Condizioni equivalenti di assenza di distorsione:
costante)( fH
dfH Tf ˆ2)(
non c’è distorsione di ampiezza
non c’è distorsione di fase(fase lineare con la frequenza)
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
46
Distorsione in casi reali
Intervallo in cui il canale non distorce in
ampiezza
Intervallo in cui il canale non distorce in
fase
24
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE
47
TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
48
Teorema del campionamento Un segnale w(t) a banda rigorosamente limitata, B, può essere
ricostruito esattamente a partire dai propri campioni, purchè la frequenza di campionamento sia Bfs 2 Condizione di Nyquist
Ricostruzione nel dominio della frequenza:
sssr f
fT
B
fTfH
2)(
)( fW )( fW)( fHr
Formula di interpolazione cardinale
s
ss
nr T
nTtTnwthwtw sinc)()(*)(
Ricostruzione nel dominio tempo:
25
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
49
VARIABILI ALEATORIE
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Indici caratteristici di una variabile aleatoria
dxxfxE
Valore medio
kk
k xpE
per v.a. CONTINUA per v.a. DISCRETA
dxxfxEm
22
2
Valore quadratico medio
222 k
kk xpEm
per v.a. CONTINUA per v.a. DISCRETA
Varianza22
2 m
26
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
51
La variabile aleatoria uniforme
bx
bxaab
axax
xF
se1
se
se0
altrove
se1
bxaabdx
dFxf
ya b
1/(b-a)
1
f (y)Y
F (y)Y xF
xf
x
2
ba
3
222 baba
m
12=
22 ab
Grafici e parametri caratteristici:
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
52
Variabile aleatoria gaussiana o normale Una variabile aleatoria continua è gaussiana o normale se:
2
2
2
22
1
x
exf caratterizzata davarianza2
mediovalor
xf
x
5.06.3
14.2
21.1
2
2
2
27
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
53
Variabile aleatoria normale standard Una variabile aleatoria continua è normale standard se:
è normale con valor medio:
e varianza:
01.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0
n
fN(n)
(n) Q(n)
xf N )(
)()( xFx N
xxQ 1)(
x
12
dxexFx xx
N 2/)( 2
2
1)(
2)(
2
2
1 xN exf
Funzione distribuzione cumulativa
Funzione densità di probabilità
non esprimibile in forma chiusa
)(1)( xxQ
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
54
Funzioni erf(x) ed erfc(x)
dexx 2
0
2)(erf
dexx
x
22)(erf1)(erfc
Funzione error function Funzione error function complementare
2
erf2
1
2
1)(
xx
Legame tra v.a. normale standard funzione erf
2erfc
2
11)(
xx
28
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
55
Calcolo della probabilità di un intervallo Variabile aleatoria normale caratterizzata da valor
medio e varianza generici
2, N
xxF )(
Probabilità che una v.a. Gaussiana assuma valori in un intervallo [a,b]
ab
baPr
22 2erfc
2erfc
2
1Pr
baba
b
Qa
QbaPr )()(Pr aFbFba
0)()( F2)(
1)(
erfc
Q
NOTA (per calcolare ) bPr
a
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Calcolo della probabilità di un intervallo
29
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Calcolo della probabilità di un intervalloEsempio: Gaussiana con media 5 e varianza 10
0Tabella5.0
0Tabella5.0
10
5)()10,5(
x
xFN 10
5
xdove
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Calcolo della probabilità di un intervalloEsempio: Gaussiana con media 5 e varianza 10
0Tabella5.0
0Tabella5.0
10
5)()10,5(
x
xFN10
5
xdove
Per esempio:21.2
10
51212
x
9864.04864.05.0
)21.2(5.012Pr
Tabellax
30
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Calcolo della probabilità di un intervalloEsempio: Gaussiana con media 5 e varianza 10
0Tabella5.0
0Tabella5.0
10
5)()10,5(
x
xFN 10
5
xdove
Per esempio:21.2
10
522
x
0136.04864.05.0
)21.2(5.02Pr
Tabellax
NOTA: 12Pr12Pr xx
Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali
Altra tabella utile
60
DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARD E COMPLEMENTAREx (x) Q(x) x (x) Q(x)
-7.0000e+000 1.2798e-012 1.0000e+000 2.0000e-001 5.7926e-001 4.2074e-001
-6.8000e+000 5.2309e-012 1.0000e+000 4.0000e-001 6.5542e-001 3.4458e-001
-6.6000e+000 2.0558e-011 1.0000e+000 6.0000e-001 7.2575e-001 2.7425e-001
-6.4000e+000 7.7688e-011 1.0000e+000 8.0000e-001 7.8814e-001 2.1186e-001
-6.2000e+000 2.8232e-010 1.0000e+000 1.0000e+000 8.4134e-001 1.5866e-001
-6.0000e+000 9.8659e-010 1.0000e+000 1.2000e+000 8.8493e-001 1.1507e-001
-5.8000e+000 3.3157e-009 1.0000e+000 1.4000e+000 9.1924e-001 8.0757e-002
-5.6000e+000 1.0718e-008 1.0000e+000 1.6000e+000 9.4520e-001 5.4799e-002
-5.4000e+000 3.3320e-008 1.0000e+000 1.8000e+000 9.6407e-001 3.5930e-002
-5.2000e+000 9.9644e-008 1.0000e+000 2.0000e+000 9.7725e-001 2.2750e-002
-5.0000e+000 2.8665e-007 1.0000e+000 2.2000e+000 9.8610e-001 1.3903e-002
-4.8000e+000 7.9333e-007 1.0000e+000 2.4000e+000 9.9180e-001 8.1975e-003
-4.6000e+000 2.1125e-006 1.0000e+000 2.6000e+000 9.9534e-001 4.6612e-003
-4.4000e+000 5.4125e-006 9.9999e-001 2.8000e+000 9.9744e-001 2.5551e-003
-4.2000e+000 1.3346e-005 9.9999e-001 3.0000e+000 9.9865e-001 1.3499e-003
-4.0000e+000 3.1671e-005 9.9997e-001 3.2000e+000 9.9931e-001 6.8714e-004
31
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Altra tabella utile
61
-3.8000e+000 7.2348e-005 9.9993e-001 3.4000e+000 9.9966e-001 3.3693e-004
-3.6000e+000 1.5911e-004 9.9984e-001 3.6000e+000 9.9984e-001 1.5911e-004
-3.4000e+000 3.3693e-004 9.9966e-001 3.8000e+000 9.9993e-001 7.2348e-005
-3.2000e+000 6.8714e-004 9.9931e-001 4.0000e+000 9.9997e-001 3.1671e-005
-3.0000e+000 1.3499e-003 9.9865e-001 4.2000e+000 9.9999e-001 1.3346e-005
-2.8000e+000 2.5551e-003 9.9744e-001 4.4000e+000 9.9999e-001 5.4125e-006
-2.6000e+000 4.6612e-003 9.9534e-001 4.6000e+000 1.0000e+000 2.1125e-006
-2.4000e+000 8.1975e-003 9.9180e-001 4.8000e+000 1.0000e+000 7.9333e-007
-2.2000e+000 1.3903e-002 9.8610e-001 5.0000e+000 1.0000e+000 2.8665e-007
-2.0000e+000 2.2750e-002 9.7725e-001 5.2000e+000 1.0000e+000 9.9644e-008
-1.8000e+000 3.5930e-002 9.6407e-001 5.4000e+000 1.0000e+000 3.3320e-008
-1.6000e+000 5.4799e-002 9.4520e-001 5.6000e+000 1.0000e+000 1.0718e-008
-1.4000e+000 8.0757e-002 9.1924e-001 5.8000e+000 1.0000e+000 3.3157e-009
-1.2000e+000 1.1507e-001 8.8493e-001 6.0000e+000 1.0000e+000 9.8659e-010
-1.0000e+000 1.5866e-001 8.4134e-001 6.2000e+000 1.0000e+000 2.8232e-010
-8.0000e-001 2.1186e-001 7.8814e-001 6.4000e+000 1.0000e+000 7.7689e-011
-6.0000e-001 2.7425e-001 7.2575e-001 6.6000e+000 1.0000e+000 2.0558e-011
-4.0000e-001 3.4458e-001 6.5542e-001 6.8000e+000 1.0000e+000 5.2309e-012
-2.0000e-001 4.2074e-001 5.7926e-001 7.0000e+000 1.0000e+000 1.2799e-012
0.0 5.0000e-001 5.0000e-001
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Altro grafico utile
62
32
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PROCESSI ALEATORI
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Processi aleatori Segnali aleatori:
spesso dei segnali x(t) trattati, elaborati, o ricevuti non si conosce a priori la forma d’onda nel tempo
Processi aleatori: un processo aleatorio è un modello matematico per i segnali
aleatori Processo aleatorio: definizione
collezione di un numero finito o infinito di funzioni del tempo (segnali determinati) corrispondenti a diversi risultati di un esperimento aleatorio
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Processi aleatori
L’aleatorietà del processo sta nel fatto che a priori non è possibile sapere quale sarà il segnale
Eseguito l’esperimento, il processo diventa a posteriori un segnale determinato x(t, i), detto funzione campione o realizzazione
X(t,) è il processo aleatorio
x(t,i) funzione campione
X(ti ,) variabile aleatoria
x(tj,i) numero
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66
Indici statistici di un processo aleatorio
Valor medio (ordine 1)
discreto proc.))((
continuo proc.)();(
)(
iii
X
xtXPx
tdxtxxf
tXE
Funzione di autocorrelazione (ordine 2)
)()(),( 2121 tXtXEttRXX
})(,)({ 21 i j
jiji xtXxtXPxx
21212121 ),;,( dxdxttxxfxx X Processo continuo
Processo discreto
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67
Processi stazionari in senso lato Un processo si dice stazionario in senso lato (SSL) se:
non dipende dal tempo )(tXE
1221 con , ttRttR XXX
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PROCESSI ALEATORI NOTEVOLI
68
PROCESSI ALEATORI
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Processi aleatori Gaussiani
Definizione: un processo aleatorio X(t) è Gaussiano se le n variabili aleatorie [X(t1),
…, X(tn)] da esso estratte agli istanti [t1, …, tn] risultano congiuntamente Gaussiane per ogni n, e per qualunque n-upla di istanti
IMPORTANTISSIMA
Proprietà fondamentali: se un processo Gaussiano è stazionario in senso lato, allora è anche
stazionario in senso stretto due processi gaussiani, se incorrelati, sono anche indipendenti
DA IMPARARE A MEMORIA
NON CONFONDERE I PROCESSI ALEATORI GAUSSIANICON
LE VARIABILI ALEATORIE GAUSSIANE
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70
Rumore bianco Il rumore bianco è un processo aleatorio (cioè un
modello matematico astratto) caratterizzato da:
f
)( fSX
20N
20N
)(XXR
0 e 2
)( 0 XX
NfS
IMPORTANTISSIMA
Media nulla Potenza infinta
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71
Rumore bianco
RXX () è un impulso. Quindi, presi due istanti anche vicinissimi, i valori assunti dal processo nei due istanti sono incorrelati
Il rumore bianco non esiste nella realtà poiché risulta a potenza infinitaEsso serve come modello di un’ampia gamma di segnali, per i quali si può assumere che non ci sia correlazione tra i valoriassunti dal segnale in tempi diversi
Tra i rumori bianchi un caso particolare è costituito dal rumore termico dovuto all’agitazione termica degli elettroni
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Filtraggio di processi aleatori Gaussiani Conservazione della Gaussianità
Processo di ingresso:• Gaussiano• Stazionario in senso lato (e
quindi anche in senso stretto)
Sistema:• Lineare Stazionario
Processo di uscita:• Gaussiano• Stazionario in senso lato (e
quindi anche in senso stretto)
Processo di ingresso:• Gaussiano• Stazionario in senso lato (e
quindi anche in senso stretto)
Sistema:• Lineare NON Stazionario
Processo di uscita:• Gaussiano