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Ciencias Empresariales Estadística II

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U.

1

CONTENIDO

IDENTIFICACIÓN ................................................................................................................................. 2

PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS......................................................................................... 1

PROGRAMA ANALITICO .................................................................................................................... 1

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS ............................................................................................... 8

1. Introducción ............................................................................................................................. 8

1.1.- Objetivos Generales............................................................................................................ 9

2.- Desarrollo .................................................................................................................................... 9

2.1 Núcleos temáticos ................................................................................................................. 9

2.2.- Bibliografía Comentada. ................................................................................................... 13

2.3.- Material Explicativo ........................................................................................................... 14

2.4.-Ejemplificación .................................................................................................................... 14

2.5.- Métodos a utilizar .............................................................................................................. 14

3 . Conclusiones ........................................................................................................................ 14

4. Glosario de términos técnicos. ............................................................................................. 15

TEXTO GUÍA ...................................................................................................................................... 17

UNIDAD Nº 1. TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDADES ................................................... 17

FENÓMENO ALEATORIO ........................................................................................................ 17

ESPACIO MUESTRAL S ........................................................................................................ 17

EVENTO O SUCESO E ...................................................................................................... 17

PROBABILIDAD EP , P ................................................................................................. 18

COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD qPEP ;;____

......................................................... 20

EVENTOS INDEPENDIENTES ................................................................................................ 22

EVENTO DEPENDENDIENTE ................................................................................................. 22

PROBABILIDAD CONDICIONAL ............................................................................................. 24

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES .......................................................................... 24

PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS BAP ............................. 24

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS BAP ........................................ 25

TEOREMA DE BAYES .............................................................................................................. 27

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ............................................................ 30

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS ..... 30

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA ......... 30

MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .............................................................................. 31

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ................................................................................................ 31

MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA ............................................................ 34

MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON ......................................................................... 37

MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL .............................................................. 38

MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD ........................................................... 39

UNIDAD Nº 2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES ...................................................................... 47

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE .......................................................................................... 47

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ........................................................................... 47

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES .............................................................. 51

UNIDAD Nº 3 ESTIMACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES ...................................... 57



2

DISTRIBUCIÓN T-STUDENT ................................................................................................... 57

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS ........................................................................................... 59

NIVEL DE CONFIANZA 1 .............................................................................................. 59

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL ......................................... 60

DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA ............................................................ 63

MUESTREO y TIPOS DE MUESTREO ................................................................................... 66

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE .......................................................................................... 66

MUESTREO SISTEMÁTICO .................................................................................................... 67

MUESTREO ESTRATIFICADO ................................................................................................ 67

MUESTREO CONGLOMERADO ............................................................................................. 67

UNIDAD Nº 4 VERIFICACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES................................. 68

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA ...................................................................................................... 68

HIPOTESIS NULA H0 ................................................................................................................ 68

HIPOTESIS ALTERNA H1 ......................................................................................................... 68

ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER .............................................................................. 69

ERROR TIPO I........................................................................................................................... 69

ERROR TIPO II.......................................................................................................................... 69

GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS ............................................................................. 77

Práctico nº 1. Teoría elemental de probabilidades .............................................................. 83

Práctico nº 2. Distribución discreta de probabilidades ........................................................ 86

Práctico nº 3. Distribución Normal Standard y distribuciones muestrales ......................... 91

Práctico nº 4. Estimación de parámetros poblacionales ..................................................... 94

Laboratorio # 1 . Aplicaciones de EXCEL en estadística Inferencial ................................. 99

IDENTIFICACIÓN

Modalidad de Estudios Cursos por Encuentros

Gestión Académica

Módulo

Carreras Área Empresarial

Docente Ing. Rubén Toyama U.

Día de Encuentro (Presencial) Sábados

Hora

Aula

Día de Tutoría (Distancia)

Hora



3



1

PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS

PRIMER

ENCUENTRO

SEGUNDO

ENCUENTRO

TERCER

ENCUENTRO

CUARTO

ENCUENTRO

UNIDAD - TEMAS

DE AVANCE

Unidad 1

1.1 al 1.11

Unidad 1

1.12 al 1.19

Unidad 2

2.4 al 2.8

Unidad 3

3.14

Unidad 2

2.1 al 2.3

Unidad 3

3.1. al 3.13

Unidad 4

Evaluación Evaluación

ESTADISTICA II

PROGRAMA ANALITICO

I. JUSTIFICACION

La asignatura de estadística II contribuye a las mallas curriculares de las diferentes carreras en

las que se imparte por constituirse en un pilar fundamental desarrollando en su ejecución los

conocimientos necesarios y suficientes para encarar con solvencia disciplinas muy importantes,

como la investigación de mercados, la investigación de operaciones y la econometría, entre otras.

II. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Aplicar correctamente las herramientas y técnicas sobre muestras representativas que conlleven

a realizar una eficaz inferencia estadística sobre una población que permitan la racional toma de

IDENTIFICACION

Carrera : Ingeniería de Sistemas. Auditoria. Ingeniería Comercial. Sigla : MAT - 222 Materia : Estadística II Carga Horaria : 4 H Encuentros 4 H Tutorías Virtuales Nivel : Quinto Semestre. Requisitos : Estadística I (MAT – 215) En Vigencia : Año 2005



2

decisiones

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Identificar el modelo de probabilidad adecuado a aplicar a una distribución muestral para

un determinado parámetro

Estimar el valor de un parámetro a partir de una muestra representativa mediante una

estimación puntual o intervalar

Plantear adecuadamente las hipótesis estadísticas reconociendo los tipos de errores y

tomar una decisión respecto a la hipótesis adecuada.

Identificar y desarrollar los mecanismos adecuados para determinar el tamaño de una

muestra representativa en función a la naturaleza del problema

Construir e interpretar intervalos de confianza para los diferentes parámetros

poblacionales.

III. CONTENIDOS

Unidad 1. Teoría elemental de probabilidades. Distribución de probabilidades.

Objetivos de la Unidad

- Definir los términos referente a la teoría de probabilidades.

- Desarrollar el cálculo de probabilidades básicas y distribución de probabilidades.

- Adquirir las competencias en el manejo de las tablas de distribución de probabilidades de

las distribuciones.

Contenidos

1.1 Análisis Combinatorio.

1.2 Introducción a la teoría de probabilidades.

1.3 Axiomas fundamentales.

1.4 Cálculo de probabilidades.

1.5 Probabilidad condicional. Teorema de Bayes.

1.6 Esperanza y varianza matemática.

1.7 Distribución de Probabilidades.

1.8 Distribución de probabilidades en variables aleatorias discretas.

1.9 Distribución Binomial.



3

1.10 Distribución de Poisson.

1.11 Distribución de Hipergeométrica.

1.12 Distribución de probabilidades en variables aleatorias contínuas.

1.13 Distribución. Normal.

1.14 Distribución Exponencial.

1.15 Estandarización de la distribución normal.

1.16 Aproximaciones de la distribución binomial a la normal

1.17 Distribución t-student

1.18 Distribución Chi – Cuadrada

1.19 Distribución F de Fisher

Unidad 2. Distribuciones muéstrales.


- Aplicar los mecanismos adecuados para el cálculo de probabilidades en las

distribuciones muestrales.

- Definir adecuadamente los diferentes tipos de muestreo y los casos de aplicabilidad.

Contenidos

2.1 Teorema central del límite

2.2 Distribución muestral de medias.

2.3 Distribución muestral de la proporción.

2.4 Distribución de la diferencia de dos medias muestrales.

2.5 Distribución de la diferencia de dos proporciones.

2.6 Distribución muestral de la varianza.

2.7 Muestreo aleatorio Simple. Error de muestreo

2.8 Muestreo sistemático. Muestreo por conglomerados. Muestreo estratificado.

Unidad 3. Estimación de parámetros poblaciones


- Desarrollar los procedimientos adecuados en la determinación de los intervalos de

confianza para los diferentes parámetros poblacionales.

- Calcular el tamaño de la muestra en diferentes casos.



4

Contenidos

3.1 Introducción

3.2 Estimación de parámetros

3.3 Características de un buen estimador

3.4 Estimación puntual.

3.5 Estimación de parámetros por intervalos de confianza.

3.6 Intervalo de confianza para la media poblacional.

3.7 Intervalo de confianza para la proporción poblacional.

3.8 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales.

3.9 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales.

3.10 Intervalo para la varianza poblacional.

3.11 Intervalo para la razón entre dos varianza poblacionales.

3.12 Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional.

3.13 Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional.

Unidad 4. Verificación de parámetros poblacionales.


- Conceptuar los términos inherentes a la teoría de hipótesis.

- Desarrollar adecuadamente la décima de hipótesis.

- Interpretar los resultados con distintos niveles de confianza.

Contenidos

4.1 Introducción y conceptos.

4.2 Hipótesis estadísticas.

4.3 Hipótesis nula y alternativa.

4.4 Error tipo I y Error tipo II.

4.5 Procedimiento general para la verificación de hipótesis.

4.6 Prueba de hipótesis para una media poblacional única.

4.7 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales.

4.8 Prueba de hipótesis para una proporción poblacional única.

4.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales.

4.10 Prueba de hipótesis para la varianza poblacional y para la razón de dos varianzas

poblacionales.



5

4.11 Prueba de independencia. Prueba de homogeneidad.

Unidad 5. Análisis de Varianza.


- Probar la significancia de las diferencias entre varias medias muestrales.

- Realizar inferencias acerca de si las muestras fueron tomadas de poblaciones que tienen

la misma media.

Contenidos

5.1 Objetivo de análisis de Varianza. Experimentos de factor único.

5.2 Métodos abreviados para calcular variaciones. Modelos matemáticos para el análisis de

varianza.

5.3 Valores esperados de las variaciones. Distribuciones de las variaciones.

5.4 El contraste F para la hipótesis nula de igualdad de medias.

5.5 Tablas de análisis de varianza.

5.6 Experimentos de dos factores.

5.7 Análisis de varianza para experimentos de dos factores.

5.8 Experimentos de dos factores con repetición. Diseño experimental.

IV. METODOLOGIA DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE

El presente curso se desarrollará bajo la guía directa del docente, mediante la conceptuación de

las variadas terminologías aplicadas en el lenguaje de la estadística, el mismo que será llevado a

cabo mediante la participación activa de los estudiantes a través de lluvia de ideas, durante el

desarrollo de la asignatura se realizarán diversos ejercicios prácticos que ilustren de manera

efectiva la aplicación para lograr un aprendizaje significativo en la asignatura.

Para cada tema el alumnado resolverá prácticos en los cuales desarrollará sus habilidades y

competencias a objeto de asimilar de la mejor manera los contenidos procedimentales de la

asignatura.

Se realizarán prácticas en el laboratorio de cómputos para la aplicación de software a las

unidades desarrolladas.



6

En el desarrollo del curso los estudiantes realizarán un proyecto en el cual trabajarán sobre una

problemática en la cual tengan que realizar una investigación determinando el tamaño de la

muestra, realizando inferencias sobre la población a partir de esta muestra significativa

El presente curso se desarrollará bajo la guía directa del docente, mediante la definición de las

terminologías aplicadas en el lenguaje de la estadística, lo cual se desarrollará mediante la

participación activa de los estudiantes a través de lluvias de ideas. Durante el desarrollo de la

materia se desarrollarán variados ejercicios prácticos que ilustren de manera efectiva la

aplicación de los distintos estadígrafos en la variedad de casos aplicables a la realidad a objeto

de lograr un aprendizaje significativo para los diferentes tipos de contenidos contemplados en la

asignatura.

Se realizarán prácticas de ejercicios en clases donde los estudiantes de manera cooperativa

logren un aprendizaje significativo apuntalando así sus conocimientos conceptuales y habilidades

procedimentales

Se desarrollará un trabajo final de aplicación donde los estudiantes muestren los conocimientos y

habilidades adquiridas

V. ACTIVIDADES ACADEMICAS

1. Presentación y defensa del práctico de teoría elemental de probabilidades y distribuciones

de probabilidades

2. Presentación y defensa del práctico de teoría elemental de distribuciones maestrales

3. Presentación y defensa del práctico de estimación de parámetros poblacionales

4. Presentación y defensa del práctico de verificación de parámetros poblacionales. Teoría de

hipótesis

5. Presentación y defensa del práctico de análisis de varianza

VI. MATERIALES Y MEDIOS DIDACTICOS

- Marcadores y pizarra

- Texto guía

- Equipos de multimedia



7

- Laboratorio de Software

VII. TIPOS DE EVALUACION

Para la asignatura se emplearán los tres tipos de evaluación: diagnóstica, formativa y

sumativa.

VIII. FORMAS DE EVALUACIÓN

Materia tipo B. Cursos por Encuentros

Exámenes 60 Pts.

Actividades Académicas 20 Pts.

Investigación 20 Pts.

TOTAL 100 Pts.

IX. BIBLIOGRAFIA

BÁSICA

Toyama Rubén. Estadística II. Cursos por Encuentros. UPDS. Mayo 2007.

COMPLEMENTARIA

1. Walpole Myers. Probabilidad y estadística. Mc Graw Hill. México. 2000.

2. Spiegel – Murray. Probabilidad y estadística Ed. Mc Graw Hill. Colombia. 2001.

3. John E. Freund – Ronald E. Walpole. Estadística matemática con aplicaciones. Ed.

Prentice may hispanoamericana S. A. Mexico. 1990.

4. Paul Neubold. Estadísticas para negocios y la economia. Ed. Prentice Hall. España.

1997.

5. Rufino Moya Calderon – Gregorio Saravia. Probabilidad e inferencia estadística. Ed.

San Marcos. Perú. 2000.

6. Richard Levin – David Rubin. Estadística para administradores. Ed. Prentice may.

Mexico. 1996.

7. Manuel Córdoba Zamora. Estadística descriptiva e inferencial. Ed. Moshera SRL.

2000.

8. Leonard J. Kazmier. Estadística aplicada a la administración y la economía. Ed. Mc

Graw Hill. México. 1990.



8

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Introducción

La estadística es una disciplina que como instrumento de investigación se constituye en pilar

fundamental en la formación de los profesionales de las diferentes áreas del conocimiento, el aporte

a la investigación de la estadística inferencial (Estadística 2) se basa fundamentalmente en que a

través de la estadística inferencial el proceso investigativo se centra en como lograr que los

resultados obtenidos a través de la muestra logre tener mayor significación y pueda ser proyectado

para determinar el verdadero valor del parámetro poblacional.

El aporte de la presente asignatura a las demás asignaturas de las diferentes mallas curriculares es

importante puesto que las competencias adquiridas durante el estudio de la estadística, constituye

la base fundamental para materias como investigación de mercado, investigación en ciencias

sociales, e investigación operativa, así como la parte operativa en el desarrollo de las tesis de

grado que implica una investigación con información primaria la cual en muchos casos es obtenida

a partir de la muestra y debe ser extrapolada a toda la población de interés en la investigación.

Cabe resaltar que el presente texto guía ha sido redactado como producto de 5 años de experiencia

en la enseñanza de la Estadística en la UPDS en el sistema modular presencial, en el texto guía se

ha utilizado un lenguaje claro y sencillo sin perder el sentido técnico propio de la estadística cuyo

lenguaje es imposible de eludir.

Dentro del estudio de la estadística inferencial es de vital importancia el aprendizaje de los

siguientes aspectos:

a) El dominio de palabras técnicas propias de la estadística.

b) Es conocimiento de los conceptos desarrollados en Estadística descriptiva

c) El cálculo eficaz de las probabilidades

d) El cálculo de probabilidades en distribuciones para variables discretas.

e) El cálculo de probabilidades para variable aleatoria continua

f) El cálculo de probabilidades para distribuciones muestrales

g) La determinación de intervalos de confianza

h) El desarrollo de la décima de hipótesis



9

1.1.- Objetivos Generales

Aplicar los criterios pertinentes para la inferencia estadística en la estimación de los parámetros

poblacionales a partir de estadígrafos muestrales.

El objetivo general busca que el estudiante adquiera las competencias necesarias y suficientes

para realizar acertadamente las inferencias estadísticas en la determinación de los diferentes

parámetros poblacionales.

2.- Desarrollo

2.1 Núcleos temáticos

La distribución de los temas en los cuatro núcleos temáticos a lo largo del presente curso

obedece a un sentido de co-linealidad de los contenidos para el aprendizaje adecuado de los

mismos y a aspectos de tiempo para lograr el alcance de los objetivos y adquisición de las

competencias necesarias de parte del estudiante en el estudio de la estadística inferencial en el

presente curso.

Primer encuentro

Unidad 1. Teoría elemental de probabilidades. Distribución de probabilidades.


- Definir los términos referente a la teoría de probabilidades.

- Desarrollar el cálculo de probabilidades básicas y distribución de probabilidades.

- Adquirir las competencias en el manejo de las tablas de distribución de probabilidades de

las distribuciones.

Contenidos

1.1 Análisis Combinatorio.

1.2 Introducción a la teoría de probabilidades.

1.3 Axiomas fundamentales.

1.4 Cálculo de probabilidades.

1.5 Probabilidad condicional. Teorema de Bayes.

1.6 Esperanza y varianza matemática.

1.7 Distribución de Probabilidades.



10

1.8 Distribución de probabilidades en variables aleatorias discretas.

1.9 Distribución Binomial.

1.10 Distribución de Poisson.

1.11 Distribución de Hipergeométrica.

Síntesis

La unidad 1, es una unidad amplia, por lo que en el primer encuentro nos abocaremos netamente

al cálculo elemental de probabilidades, además que realizaremos el cálculo de probabilidades

para las distribución de probabilidades para variable aleatoria discreta, concretamente las

distribuciones: Binomial, Hipergeométrica y de Poisson.

En el 1º encentro el estudiante debe llegar con una lectura comprensiva de los conceptos

referentes a la teoría elemental de probabilidades, en este 1º encuentro se realizaran las

prácticas para el cálculo de probabilidades, así como también se practicará el cálculo de las

probabilidades para las distribuciones para variable aleatoria discreta como los son la binomial,

Hipergeométrica y Poisson.

Segundo encuentro

1.12 Distribución de probabilidades en variables aleatorias contínuas.

1.13 Distribución. Normal.

1.14 Distribución Exponencial.

1.15 Estandarización de la distribución normal.

1.16 Aproximaciones de la distribución binomial a la normal

1.17 Distribución t-student

1.18 Distribución Chi – Cuadrada

1.19 Distribución F de Fisher

Unidad 2. Distribuciones muéstrales

2.1.Teorema central del límite

2.2 Distribución muestral de medias.

2.3 Distribución muestral de la proporción.



11

Síntesis.

En el 2º encuentro se introducirá a lo que es el cálculo de probabilidades para variable aleatoria

continua y en este encuentro se realizará la práctica del cálculo de probabilidades utilizando la

tabla de la distribución normal Standard, seguidamente, ingresando a lo que es la 2º unidad se

realizará el cálculo de probabilidades para las distribución de probabilidades, concretamente nos

abocaremos a las distribución muestral de medias y de proporciones.

Tercer encuentro

2.4Distribución de la diferencia de dos medias muestrales.

2.5 Distribución de la diferencia de dos proporciones.

2.6 Distribución muestral de la varianza.

2.7 Muestreo aleatorio Simple. Error de muestreo

2.8 Muestreo sistemático. Muestreo por conglomerados. Muestreo estratificado.

Unidad 3. Estimación de parámetros poblaciones

3.1 Introducción

3.2 Estimación de parámetros

3.3 Características de un buen estimador

3.4 Estimación puntual.

3.5 Estimación de parámetros por intervalos de confianza.

3.6 Intervalo de confianza para la media poblacional.

3.7 Intervalo de confianza para la proporción poblacional.

3.8 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales.

3.9 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales.

3.10 Intervalo para la varianza poblacional.

3.11 Intervalo para la razón entre dos varianza poblacionales.

3.12 Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional.

3.13 Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional

Síntesis

En el 3º encuentro, el contenido a desarrollar será el estudio de los diferentes tipos de muestreo y

su aplicación recomendada en cada caso particular, luego pasaremso al estudio de la



12

construcción de los intervalos de confianza para los diferentes parámetros como ser: Intervalos

de confianza para la media poblacional, intervalo de confianza para una proporción poblacional e

intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales

Cuarto encuentro

3.14 Determinación del tamaño de la muestra

Unidad 4. Verificación de parámetros poblacionales.


- Conceptuar los términos inherentes a la teoría de hipótesis.

- Desarrollar adecuadamente la dócima de hipótesis.

- Interpretar los resultados con distintos niveles de confianza.

Contenidos

4.1 Introducción y conceptos.

4.2 Hipótesis estadísticas.

4.3 Hipótesis nula y alternativa.

4.4 Error tipo I y Error tipo II.

4.5 Procedimiento general para la verificación de hipótesis.

4.6 Prueba de hipótesis para una media poblacional única.

4.7 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales.

4.8 Prueba de hipótesis para una proporción poblacional única.

4.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales.

4.10 Prueba de hipótesis para la varianza poblacional y para la razón de dos varianzas

poblacionales.

4.11 Prueba de independencia. Prueba de homogeneidad.

Unidad 5. Análisis de Varianza

Contenidos

Objetivo de análisis de Varianza. Experimentos de factor único.



13

Métodos abreviados para calcular variaciones. Modelos matemáticos para el análisis de

varianza.

Valores esperados de las variaciones. Distribuciones de las variaciones.

Síntesis

En el 4º encuentro se iniciará con la determinación de l tamaño de la muestra para la estimación

de la media poblacional, así como para la proporción poblacional, seguidamente se introducirá en

la unidad de la teoría de hipótesis donde se desarrollarán los pasos para la verificación de las

hipótesis estadísticas, y finalmente se realizará una introducción en los que es el análisis de

varianza.

Nota

Para lograr alcanzar con éxito los objetivos planteados en la asignatura, así como la adquisición

de las competencias planteadas, es importante tomar en cuenta lo siguiente:

Traer a todos los encuentros una calculadora (de preferencia que sea calculadora

científica).

Leer con anticipación al encuentro todos los conceptos desarrollados en el texto guía,

para aclarar dudas durante la clase presencial.

Desarrollar en lo posible (reproducir por cuenta propia) los mismos ejemplos resueltos en

el texto guía.

Estar presente en el aula puntualmente.

2.2.- Bibliografía Comentada

El libro de texto de Estadística Inferencial, elaborado en su totalidad por el Ing. Rubén Toyama,

se constituye en una guía práctica para el aprendizaje de la estadística y surge como resultado

del conjunto de experiencias acumuladas durante 5 años de ejercicio docente en nuestra

universidad.

Se recomienda la realización de cada uno de los ejemplos mostrados en el texto; puesto que, de

esta manera el participante podrá ir adquiriendo las competencias necesarias en lo referente al

cálculo de los estadígrafos que en esta asignatura se desarrollan.

Es también importante en la medida de las posibilidades de tiempo y de recursos, la lecturas de

apoyo de los libros: “Estadística” de Spiegel & Murray para acompañar el aprendizaje y del libro:



14

“Estadística y Muestreo” de Ciro Martinez Bencardino para apoyar en la comprensión de los

cálculos, puesto que en dicho libro se muestran problemas reales y de mayor comprensión.

2.3.- Material Explicativo

El texto guía contiene suficiente material explicativo, puesto que, la redacción de los conceptos

está en un lenguaje claro y de uso cotidiano para mayor comprensión pero sin perder el sentido

técnico del mismo; además, en cada una de los temas existen los ejemplos que en su integridad

desarrollados paso a paso para su mayor comprensión.

2.4.-Ejemplificación

El texto guía ofrece al lector suficiente ejemplificación; puesto que, luego de los conceptos existen

los ejercicios de aplicación en los que se detallan paso a paso la forma en que se debe proceder

para la solución de los diferentes problemas planteados.

2.5.- Métodos a utilizar

En el primer periodo del encuentro físico el docente desarrollará los conceptos necesarios con la

participación activa de los participantes; puesto que, se sobreentiende que ellos han procedido a

la lectura comprensiva de los conceptos, luego se desarrollará un ejemplo práctico con la

participación activa del docente y de los estudiantes. Para proceder en el segundo periodo a la

solución de ejemplos similares en grupos ó células, con la guía permanente del docente.

En los encuentros virtuales se presentarán las tareas planteadas con anterioridad en las clases

presenciales, y se aclararán las dudas que surjan durante la solución de las tareas por parte de

los estudiantes.

3 . Conclusiones

Para concretar el aprendizaje de los temas el estudiante debe desarrollar en su domicilio los

prácticos planteados en el texto guía, pudiendo hacer uso de los encuentros virtuales para la

aclaración de las dudas en la resolución de los mismos.

3.1.- Preguntas y ejercicios para realizar en forma individual o colectiva – con

respuestas.

Los prácticos se encuentran al final del Texto Guía, los mismos se encuentran

elaborados de acuerdo a la secuencia de avance de la asignatura.



15

4. Glosario de términos técnicos

El texto guía contiene la conceptuación de todos los términos propios de la estadística utilizados

en el presente curso, por lo que se recomienda la lectura comprensiva de cada uno de los títulos

y subtítulos desarrollados en el mismo para interconectar la comprensión de los conceptos con la

aplicación práctica en el desarrollo de los problemas de aplicación.



16



17

TEXTO GUÍA

UNIDAD Nº 1. TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDADES

OBJETIVOS

1.- Conceptuar correctamente los siguientes términos: fenómeno aleatorio, posibilidad,

probabilidad, evento o suceso, espacio muestral, eventos mutuamente excluyentes, eventos

independientes, eventos dependientes, complemento de probabilidad , unión de probabilidades,

intersección de probabilidades.

2.- Calcular adecuadamente la probabilidad de diferentes sucesos o eventos.

3.- Realizar operaciones con probabilidades.

FENÓMENO ALEATORIO

Es aquel acontecimiento cuyo resultado final no se puede predecir con exactitud, porque

presenta dos o más opciones.

ESPACIO MUESTRAL S

Es el conjunto de todas las posibilidades que presenta un fenómeno aleatorio.

Ejemplo 1

Al lanzar un dado, el espacio muestral será:

61,2,3,4,5,S1

Ejemplo 2

Al lanzar una moneda dos veces seguidas, el espacio muestral será:

PPSS,PS,SP,S2

Ejemplo 3

Al lanzar una moneda tres veces seguidas, el espacio muestral será:

PPPPPS,PSP,PSS,SPP,SPS,SSP,SSS,S3

EVENTO O SUCESO E

Un evento es un subconjunto del espacio muestral y se lo plantea como: lo que se espera que

suceda. Para los ejemplos anteriores los eventos podrían ser:

1E : Que al lanzar un dado el número obtenido sea par: 2,4,6E1

2E : Que al lanzar una moneda dos veces seguidas el resultado sea diferente: PSSP,E2

3E : Que al lanzar una moneda tres veces seguidas el resultado sea diferente a las otras dos:



18

PPSPSP,PSS,SPP,SPS,SSP,E3

POSIBILIDAD

Una posibilidad es una de varias pociones que presenta un fenómeno aleatorio.

NÚMERO DE POSIBILIDADES n S ; n E

Es la cantidad de elementos que presenta el espacio muestral o el evento. Para los ejemplos

anteriores tenemos:

n 61S

n 83S

n 31E

n 23E

COMPLEMENTO DEL EVENTO (__

E )

Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al espacio muestral y no pertenecen al

evento. Para los ejemplos anteriores:

5,3,1:1

__

E

PPSSE ,:2

__

PPPSSSE ,:3

__

PROBABILIDAD EP , P

La probabilidad de un evento es el grado de certeza de que dicho evento ocurra y se puede

calcular dividiendo el número de posibilidades del evento entre el número de posibilidades del

espacio muestral.

Sn

EnEP )(

totalesdesposibilida de nº

ciertas desposibilida de nºEP

Nota

Los valores de la probabilidad se dan entre 0 y 1. Generalmente se expresa en porcentaje al

multiplicar el resultado por 100.



19

Ejemplo

Para los ejemplos anteriores determinar la probabilidad de los eventos 1,2 y 3.

%50;5,06

3

1

11

Sn

EnEP

%50;5,04

22EP

%75;75,08

63EP

%50;5,04

22

__

EP

La baraja

Una baraja tiene 52 cartas.

26 cartas de cada color.

13 cartas de cada palo.

4 cartas de cada número.

Eventos

A: Que la carta extraída al azar de la baraja sea diamante.

B: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 10 rojo.

C: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 6.

D: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 7 rojo.

E: Que la carta extraída al azar de la baraja sea negra.

Hallar la probabilidad de cada evento

%25;25,052

13AP

%8,3;038,052

2BP

%7,7;077,052

4CP

%8,3;038,052

2DP



20

%50;5,052

26EP

Hallar

%75;75,052

39__

AP

%2,96;962,052

50__

BP

%3,92;923,052

48__

CP


El complemento de la probabilidad de un evento es la probabilidad de que dicho evento no ocurra

y se calcula con la expresión:

EPEPq 1__

Ejemplo

En una sala de reuniones hay 8 abogados de los cuales 3 son mujeres además hay 7 arquitectos

de los cuales 2 son hombres hallar la probabilidad de que la primera persona que salga

aleatoriamente de la sala sea:

a) Arquitecta

b) Hombre

c) De profesión arquitectura

a) %33;33,015

5AP

b) %6,46;466,015

7BP

c) %6,46;466,015

7CP



21

Hallar AP__

%7,66;667,0

333,01

1

__

__

__

AP

AP

APAP

Ejemplo

Graficar las diferentes posibilidades que presenta el fenómeno aleatorio de lanzar dos dados a la

vez, este gráfico debe mostrar los diferentes resultados al sumar los números de los dados.

Construir además un cuadro que muestre los posibles resultados de la suma y las probabilidades

de cada uno de los posibles resultados.

Gráfico

Dado 1

Dado 2

2

3

3 4

4

4

8

5

5

5

5

76

6

6

6

6

8

8

8

8

9

7

7

7

7

7

9

9

9 10

10

10

11

11

12

1

1

2

2 3

3

4

4

5

5

6

6

Posibles Resultados 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nº de Posibilidades 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Probabilidad

Hallar la probabilidad de que la suma sea:

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5



22

a) %7,16;167,036

67SP

b) %7,16;167,036

610SP

c) %7,16;167,036

64SP

d) %7,66;667,036

2495 SP

e) %50;5,036

18º imparnSP

EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la

ocurrencia o no del otro evento.

Ejemplo

E1: Que al lanzar una moneda salga sol.

E2: Que al lanzar un dado salga 3.

E3: Que al extraer una carta de la baraja sea de trébol.

E1 y E2 son independientes.

6

12EP

2

11EP

E2 y E3 son independientes.

EVENTO DEPENDENDIENTE

Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de la ocurrencia de un

acontecimiento previo..

Ejemplo

En un cesto hay 5 bolas blancas y 3 bolas verdes de las cuales se extraen una por una y sin

reemplazo.

5 B

3 V



23

Sean los eventos:

E1: Que la primera bola extraída sea verde.

E2: Que la segunda bola extraída sea verde.

El E2 es dependiente

Si la 1ª es V: 286,07

22EP

Si la 1ª es B: 429,07

32EP

Un evento es dependiente cuando es consecutivo de otro y sin reemplazo.

CALCULO DE LA PROBABILIDAD EN UN EVENTO DEPENDIENTE

Para calcular la probabilidad de un evento dependiente se lo hace a través de la suma de las

probabilidades de los diferentes caminos en que se cumple este evento.

Para el ejemplo anterior calcular 2EP .

212122 ** VPBPVPVPVPEP

%5,37;375,0

2678,0107,0

56

15

28

3

7

3*

8

5

7

2*

8

3

Ejemplo

En un aula hay 3 arquitectos, 5 médicos y 6 abogados de la cual van a salir las personas una por

una y sin reemplazo. Hallar la probabilidad de que la segunda persona sea médico.

%7,35;357,0

2473,01099,0

13

5*

14

9

13

4*

14

5

** 21212 MPMPMPMPMP



24

PROBABILIDAD CONDIONAL

La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro haya

ocurrido.

ABP Se lee: Probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A ha ocurrido.

Ejemplo

En un aula hay 7 mujeres y 9 hombres, de esta aula saldrán las personas una por una y sin

reemplazo. Sean los eventos:

E1: Que la primera persona que salga sea mujer.

E2: Que la primera persona que salga sea hombre.

E3: Que la segunda persona que salga sea mujer

Hallar

a) 4,015

613 EEP

b) 467,015

723 EEP

c) 212123 ** MPMPMPMPMPEP

4375,015

7*

16

9

15

6*

16

72MP

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de

posibilidad que el otro evento ocurra, como en el caso anterior los eventos E1 y E2.

Ejemplo

Sean los eventos

D: Que Juan Pérez pase todo el sábado en Aqualand.

F: Que Juan Pérez pase ayudantía todo el sábado en la UPDS.

Nota

Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes la probabilidad de que la intersección es cero.

PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS BAP

La probabilidad de la intersección, es la probabilidad de que ocurran los eventos A y B y se

calcula con la siguiente expresión.



25

BPAPBAP * Independientes

ABPAPBAP * Dependientes

0BAP Mutuamente excluyentes

Para el ejemplo anterior calcular la probabilidad:

a)

%5,17;175,015

6*

16

7* 13131 EEPEPEEP

b)

sexcluyentemutuamentesonporqueEEP 021

Sea:

E4: Al lanzar una moneda salga sol.

c)

%12,28;2812,032

9

2

1*

16

9* 4242 EPEPEEP

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS BAP

La probabilidad de la unión de dos eventos es la probabilidad de que ocurra un evento o el otro y

se calcula con las expresiones.

BAPBPAPBAP

BPAPBAP si son mutuamente Excluyentes

Ejemplo

En una jaula hay 10 loros y 12 tordos de la cual saldrán una por un y sin reemplazo

aleatoriamente.

Sean los eventos:

E1: Que el primero que salga sea loro.

E2: Que la primera ave que salga sea tordo.

E3: Que el segundo que salga sea loro.

E4: Que al extraer una carta de la baraja sea de trébol

E5: Que al lanzar dos dados la suma sea mayor a 9.



26

Hallar

a) 2EP

b) 21 EEP

c) 31 EEP

d) 42 EEP

e) 51 EEP

Solución

a)

%45,454545,021

10*

22

12

21

9*

22

10

** 21213 LPLPLPLPEP

b)

021 EEP Porque son mutuamente excluyentes

c)

= 26,07402,01 ; %26

313131 EEPEPEPEEP = 7403,02597,05454,022

10

13131 / EPPEPEEP = 2597,021

12

22

10

212123 TPTPTPTPTPEP

Aquí

021 EEP

d) 42 EEP

3

__

13

__

1 1 EEPEEP



27

1364,052

13*

22

12

*

6590,01364,052

13

22

12

%1,34;341,06590,01

1

4242

424242

4242

__

EPEPEEP

EEPEPEPEEP

EEPEEP

e)

3787,08333,0*22

10

*

8333,01667,01

1

%91,90;9091,0

3787,08333,022

10

5

__

15

__

1

55

__

5

__

15

__

15

__

1

EPEPEEP

EPEP

EEPEPEPEEP

TEOREMA DE BAYES

Si se tiene dos o más fuentes Ai , fuente (entiéndase como fuente el lugar de donde proviene)

además se conoce la proporción de cada uno de las fuentes.

Se conoce además la proporción de los elementos de cierta clase (D) en cada una de las fuentes

Ai .

Si aleatoriamente se encuentra un elemento (D), entonces la probabilidad de que éste elemento

(D), provenga de la fuente Ai viene dado por la expresión:

AiDPAiP

AiDPAiPDAiP

/*

/*/

Donde: (D) son los de cierto tipo



28

Ejemplo

1. En una investigación precia o una elección se determino que la proporción entre votantes de

clase baja que votarían por un cierto candidato D es de 40%; la proporción entre votantes de

clase media que votarían por ese candidato D es de 30% y la proporción de votantes de clase

alta que votarían por el candidato D es de 20%. El día de las elecciones se le pregunta a un

votante elegido aleatoriamente por quien votaría y el respondió por el candidato D. Sabiendo que

el 15% de los votantes son de clase alta, el 45% son de clase media y el resto son de clase baja.

Hallar:

a) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase alta.

b) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase media.

c) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase baja.

Datos

40,0

45,0

15,0

BP

MP

AP

40,0

30,0

20,0

BDP

MDP

ADP

BDBPMDPMPADPAP

ADPAPADP

***

*

a)

%23,90923,040,0*40,030,0*45,020,0*15,0

20,0*15,0ADP

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama 29

b)

%53,414153,0325,0

30,0*45,0BDP

c)

%23,494923,0325,0

4,0*4,0CDP

2. Una fábrica produce cierto tipo de productos con tres máquinas. Los respectivos cálculos de

producción diaria son: uMuMuM 5000;2800;3200 321 La experiencia nos

muestra que el 1% de la producción de la máquina 1 son defectuosas, la correspondiente

proporción de defectuosas para las otras máquinas son respectivamente: 2%; 3%. Si se extrae

una unidad de la mezcla homogénea de productos y se descubre que es defectuoso ¿Cuál es la

probabilidad de que dicha unidad provenga?

a) De la máquina 1.

b) De la máquina 2.

c) De la máquina 3.

1

2

3

3200 29,10%

2800 25,45%

5000 45,45%

P M

P M

P M

03,0

02,0

01,0

3

2

1

MDP

MDP

MDP

013635,009,5909,2

909,2

03,0*7545,002,0*2545,001,0*2909,0

01,0*2909,033

3

1MDP

%05,222205,006184,0

013635,0

%26,121226,006187,0

09,5

%69,656569,0

3

3

2

1

MDP

MDP

MDP

EL FACTORIAL X!

El factorial de un número x se define como el producto de todos los números naturales desde 1

hasta x.

Se define también 0!=1


Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 30

COMBINATORIA nCr

Se define la combinatoria nCr con n y r N y rn como el número de formas en que n

elementos se pueden agrupar en grupos de r sin importar el orden.

!!

!

rnr

nnCr

Ejemplo

Un campeonato de baloncesto cuenta con 9 equipos que en su fase clasificatoria tienen que jugar

todos contra todos, en partidos de ida y de vuelta.

¿Cuántos partidos se tiene que jugar?

2

9

r

n

3629 C

722*36

Se tienen que jugar 72 partidos.

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Los modelos de distribución de probabilidad son expresiones que nos permiten calcular la

probabilidad de que una variable x tome los diferentes valores de su dominio:

Los modelos de distribución de probabilidad se clasifican en modelos para variables discretas y

modelos para variable continua.

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS

Entre los principales modelos de distribución para variables discretas tenemos:

- Modelo binomial

- Modelo hipergeométrico

- Modelo poisson

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA

Entre los principales modelos de distribución para variables continuas tenemos:

- Normal

- t-student



- F-fisher

MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Sea x una variable aleatoriamente discreta, ésta seguirá un desarrollo binomial si cumple cuatro

condiciones.

1) El fenómeno aleatorio se repite n veces.

2) El fenómeno aleatorio sólo tiene dos posibles resultados, el éxito y el fracaso.

3) Las sucesivas veces en que se realiza el fenómeno son independientes (con reemplazo).

4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es constante.

Si una variable aleatoria discreta cumple estas cuatro condiciones, decimos que se distribuye

como una binomial y se define como una secuencia de pruebas independientes con probabilidad

de éxito constante y a dicha variable x la definimos como “x” número de éxitos en n pruebas.

Rango o recorrido: 0,1,2,…n

Para determinar la probabilidad en una distribución binomial se debe conocer n y p.

Donde:

n: nº de pruebas.

p: probabilidad de éxito.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Es la expresión que nos dará la probabilidad de tener x éxitos en n pruebas. Para el caso de la

distribución binomial la función de probabilidad es:

xnxqpnCxxXPxf *

Donde:

pq 1

Nota:

La p y q se expresa en tanto por uno en las formulas.

Ejemplo 1

Se sabe que un determinado vendedor de libros en particular tiene la probabilidad de éxito de

20%.

a) Hallar la probabilidad de que en 10 visitas logre 4 ventas.

b) Hallar la probabilidad de que en 11 visitas logre 3 o menos ventas.



c) Hallar la probabilidad de que en 9 visitas logre entre 3 y 5 ventas.

d) Hallar la probabilidad de que en 13 visitas logre por lo menos 3 ventas.

Solución

a)

Datos

%81,8

0881,0

8,0*2,0*41044104

CXP

I La probabilidad de que el vendedor en 10 visitas logre 4 ventas es aproximadamente 8,81%.

b)

Datos

?3

8,0

2,0

11

XP

q

p

n

8387,0

2214,08,0*2,0*3113

2953,08,0*2,0*2112

2362,08,0*2,0*1111

0858,08,0*2,0*0110

32103

83

92

101

110

CXP

CXP

CXP

CXP

XPXPXPXPXP

I La probabilidad de que en 11 visitas logre 3 o menos ventas es aproximadamente 83,9%.

c)

Datos

?53

8,0

2,0

9

XP

q

p

n

8,02,01

2,0

4

10

q

p

x

n



852,0

016,08,0*2,0*595

066,08,0*2,0*494

176,08,0*2,0*393

45

54

63

CXP

CXP

CXP

I La probabilidad de que en 9 visitas logre entre 3 y 5 ventas es aproximadamente

d)

Datos

?3

8,0

2,0

13

XP

q

p

n

4983,0

2680,08,0*2,0*2132

1786,08,0*2,0*1131

0549,08,0*2,0*0130

%51;51,04983,01

21013

112

121

130

CXP

CXP

CXP

XPXPXPXP

I La probabilidad de que en 13 visitas logre por lo menos 3 ventas es aproximadamente 51%

Ejemplo 1

Se conoce que el 25% de los estudiantes de un curso han reprobado la materia:

a) Si se le pregunta aleatoriamente a 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo, cual es la

probabilidad de que dos o más hayan reprobado la materia.

b) Si se le pregunta aleatoriamente a 12 estudiantes uno por uno y con reemplazo, cual es la

probabilidad de que por lo menos 3 hayan aprobado la materia.

Solución

a)

Datos

75,025,01

25,0

10

q

p

n



?2XP

112 XPXP

1012 XPXPXP

%,;,, 6757560244012XP

0563075025000100

010 ,,*,*CXP

1877075025011101

110 ,,*,*CXP

= 0,244

I La probabilidad de que 2 o menos hayan reprobado la materia es aproximadamente el 75,6%.

b)

Datos

?3

25,0

75,0

12

XP

reprobadoq

aprobadop

n

0

025,0*75,0*2122

025,0*75,0*1121

025,0*75,0*0120

%100;101

21013

022

111

120

CXP

CXP

CXP

XPXPXPXP

I La probabilidad de que por lo menos 3 hayan aprobado la materia es del 100%.

MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Sea “x” una variable aleatoria ésta seguirá un desarrollo hipergeométrico si cumple las siguientes

condiciones:


2) El fenómeno aleatorio tiene únicamente 2 posibles resultados: el éxito y el fracaso.

3) Las sucesivas pruebas en que se repite el fenómeno aleatorio tiene probabilidad de éxito

variable

(sin reemplazo).



4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es variable.

Si la variable aleatoria cumple estas cuatro condiciones, se dice que se distribuye, como una

hipergeométrica que la definimos como una secuencia de pruebas dependientes, con

probabilidad de éxito variable.

Para que en la practica se presente una distribución hipergeométrica deben existir N objetos en

total llamado población de los cuales m son los de cierta clase en los que estamos interesados,

además existe N-m=objetos de otra clase, si del total de objetos N se selecciona al azar una

muestra de tamaño n uno por uno y sin reemplazo se tiene una distribución hipergeométrica y

cuya variable x la definimos como número de objetos de cierta clase en una muestra n.

nmsin

nmsimrecorridooRango

1,0

1,0

Para poder encontrara la probabilidad en una distribución hipergeométrica es necesario conocer

N, m, n.

nN

xnmNxm

C

CCxXPxf

*

Donde:

N: población

n: muestra

m: los de cierta clase

N-m: los de otra clase

Ejemplo

De 24 estudiantes que rindieron el 1er. Parcial 10 reprobaron el examen, si se selecciona una

muestra aleatoria de 6 estudiantes 1 por 1 y sin reemplazo cual es la probabilidad de que:

a) Exactamente cuatro hayan reprobado el examen.

b) Por lo menos 5 hayan reprobado el examen.

c) Menos de tres hayan aprobado el examen.

Solución

a)



Datos

?4

14

10

6

24

XP

aprobadosmN

reprobadosm

n

N

%,;,*

21414204624

4614410

C

CCXP

I La probabilidad de que en una muestra de 6 estudiantes, 4 sean reprobados es 14,2%.

b)

Datos

?5

14

10

6

24

XP

mN

m

n

N

%,;,**

782027805

655

624

66146105614510

C

CCCCXP

C

XPXPXP

nN

I La probabilidad de que en una muestra de 6 estudiantes por los menos 5 hayan reprobado es

2,78%.

c)

Datos

?3

10

14

6

24

XP

reprobadosmN

aprobadosm

n

N

2103 XPXPXPXP



%;,***

171703624

410214510114610014

C

CCCCCCXP

MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Sea x una variable aleatoria discreta esta seguirá un modelo de distribución de poisson si en

ellas no se presentan una repetición de un fenómeno aleatorio y no existe probabilidad de éxito o

fracaso, por el contrario existe un fenómeno aleatorio dentro de un tiempo dado, superficie dada

o volumen dado, entonces la variable poisson se define como:

x: nº de veces que ocurre un cierto evento en un tiempo dado, superficie dada o volumen dado.

Rango ó recorrido: ...3,2,1,0

Para que la distribución de poisson que de totalmente definida tiene que conocerse el promedio

, en que el fenómeno se repite por unidad de tiempo, superficie o volumen.

Función de probabilidad

!

*

x

exXPxf

x

Ejemplo

Sea observado que en una estación de servicio en promedio ingresaran 3 vehículos cada 30

minutos, Cual es la probabilidad de que:

a) En 30 minutos ingresen exactamente 5 vehículos.

b) En 20 minutos como máximo ingrese 1 vehículo.

Solución

a)

min30/3vehix

%;,!

*10100

5

35

53eXP

La probabilidad de que en 30 minutos ingresen 5 vehículos es 10%.

b)

101 XPXPXP



2

min20/2

min20

min303

x

vehix

x

vehi

%6,40;406,0271,0135,01

!1

2*

!0

2*1

1202

XP

eeXP

DISTRIBUCIÓN NORMAL

MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL

Sea x una variable aleatoria continua ésta se distribuirá normalmente si su recorrido es toda recta

real, es decir ésta distribuida en el intervalo ;

La normal general tiene como parámetros la media y la varianza y se la conoce con el nombre de

distribución simétrica, campana de Gauss-Jordan ó curva normal.

Función de probabilidad P(x). Para la distribución normal general la función de normal general

viene dada por:

2

2

1

2

1x

exf

PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL

1.- El área bajo la curva representa la probabilidad.

2.- La curva normal es simétrica con respecto al valor de la media.

m

p=1

3.- La curva normal tiene un punto máximo para el valor x .

4.- La curva normal tiene dos puntos de inflexión (puntos donde cambia la concavidad) en:

x y x



Asíntota es una línea cualquiera recta que se acerca a la función sin tocarla.

5.- La curva normal es asintótica en sus extremos.

Para realizar el cálculo de probabilidades, es decir el área bajo la curva se debe integrar la

función de probabilidad, cosa que es muy difícil y en su lugar integramos las tablas estadísticas.

MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD

Es una distribución derivada de la normal general que obtenemos realizando un cambio de

variable a la función inicial, para esto realizaremos el proceso de la estandarización o tipificación

que consiste en restar a cada valor de la variable la media poblacional y dividir este

resultado entre la desviación standard poblacional

xz

La función de probabilidad quedaría:

2

2

1

2

1 z

exf

Gráfico simétrico

)(z )(z0z

x

z

Ambos lados son

iguales porque el

gráfico es simétrico

CARACTERÍSTICAS DE LA NORMAL STANDARD

Los valores de z siguen las siguientes condiciones:

En el centro 0z (cero); desde el centro hacia la derecha los valores de z son positivos y hacia

la izquierda son negativos.

RELACIÓN ENTRE DESVIACIÓN STANDARD POBLACIONAL Y LA CURVA NORMAL



El valor de la desviación standard poblacional influye sobre la probabilidad que es el área bajo la

curva de la siguiente manera:

El área bajo la curva normal entre los puntos de la variable y es igual a 68%.

68%

El área bajo la curva entre los puntos de la variable 2 y 2 es 95%.

22

95%

El área bajo la curva entre las áreas de la variable 3 y 3 es 99,7%.

33

99,7%

xz

2

2

1

2

1 z

exf

El uso de la tabla estadística para la distribución normal standard (apéndice II).

Nota

Cuando los dos signos son diferentes se suman, cuando los signos de z son iguales se restan

Cuando z es mayor a 3,9 se asume que 5,0p .

EJEMPLOS

Dado el valor z hallar P

1.- Hallar P entre 0z y 12,1z



0z 12,1

Con 3686,012,1 Pz tabla

2.- Hallar P entre -1,28z y 0z

0z28,1

Con 3997,028,1 Pz tabla

3.- Hallar P entre 1,2z y 08,1z

8420,0

3599,008,1Con

4821,01,2Con

*

22

11

P

Pz

Pz

tabla

tabla


2z1zz

4826,011,2Con

2910,081,0Con

22

11

Pz

Pz

tabla

tabla

1916,02910,04826,0 ** PP


1044,03790,04834,0 ** PP

6.- Hallar P a la izquierda de 13,1z

3708,015,1Con 1Pz

1292,03708,05,0*P

7.- Hallar P a la derecha de 88,01z

3106,01P 5,02P

8106,0*

21 PPP



8.- Hallar P a la derecha de 1z

3413,01P

1587,03413,05,0 ** PP

Dado el valor P (área) determinar el valor de z

1.- Hallar el valor de z si 3531,0P

Sea 05,13531,0 zP

2.- Hallar z si el área a su derecha es 0,0582

57,14418,00582,05,0 ZP

3.- Hallar z si el área a su derecha es 0,8461

02,13461,05,08461,0 z

4.- Hallar z si el área entre 2 valores de z es 28472,0*P

8472,0

4236,0

4236,0

*

2

1

P

P

P

43,1

43,1

2

1

z

z

INTERPOLAR

Es realizar una operación para encontrar un valor que no aparece en la tabla.

Ejemplos

Si 4874,0P .Hallar z

24,24875,0

4874,0

23,24871,0

zc

ad

b

2475,2

0075,024,2

23,2

0075,0

01,023,224,2

0003,04871,04874,0

0004,04871,04875,0

z

z

dz

d

c

b

a

0075,0

0004,0

0003,0*01,0*

________

________

d

a

bcd

dc

ba

Hallar z para 3,0P



85,03023,0

3,0

23,22996,0

z

z

zc

ad

b

8414815,0

0014815,084,0

0014815,0

0004,0

01,0

0027,0

z

z

d

c

b

a

0014815,00027,0

0004,0*01,0

________

________

d

dc

ba

Ejemplos

1.- Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con

una media de 650 Kg. y una desviación standard de 100 Kg. Hallar la probabilidad de que la

demanda mensual sea superior a 500 Kg.

Datos

650 Kg.

100Kg.

?500xP

50,1100

650500z

500 650x

z

*P

05,1

4332,05,1 1Pz tabla

%7,60668,0

4332,05,0

*

*

P

P

2.- Suponga que el ingreso mensual por familia en una comunidad tiene una distribución normal

con una media de 600 $ y una varianza de 10000 $.

a) Calcular la probabilidad de que al interrogar sobre el ingreso mensual a una familia elegida

aleatoriamente esta responda que es menor a 450 $us.

Datos

600$us

10000$us



450xP

50,1100

150

10000

600450z

450 600x

z

*P

05,1

%7,60668,04332,05,0

4332,05,1

*

1

P

Pz

b) Determinar la proporción de familias cuyo ingreso mensual este entre 500 $us y 680 $us.

Datos

600$us

100$us

?680500 xP

6294,0

2881,08,0100

600680

3413,01100

600500

2

1

z

z

%94,62*P

x

z000,1

600

6294,0*P

680500

80,0

I La proporción de familias con ingreso mensual entre 500 y 680 $us es 62,94%.

3.- Los pesos de los conscriptos en un cuartel se distribuyen normalmente con una media de 69

Kg. y una varianza de 52 kg2. A partir de esta información determinar:



a) Cual es la proporción de conscriptos que pesan 65 ó más Kg.

b) Si se escoge aleatoriamente a un conscripto cual es la probabilidad de que su peso este

comprendido entre 60y 75 Kg.

c) Que peso deja por encima de 100 al 60% del total de los pesos.

d) Entre que pesos se encuentra el 68% del total de pesos, los pesos centrales

Solución

a) Datos

69Kg.

52Kg2.

?65xP

5547,0211,7

696565xP

%88,70;7088,0*

2088,05,0*

2088,05547,0

P

P

Pz

z055,0

6952x

I La proporción de los conscriptos que pesan más de 52 Kg. es de 70,88%.

b) Datos

69Kg.

52Kg2.

?.75.60 KgxKgP

83,0211,7

697575

25,1211,7

696060

xP

xP

6911,0

2967,083,0

3944,025,1

*

22

11

P

Pz

Pz



z025,1

69 75x

60

83,0

I La probabilidad de que pesen 60 y 75 Kg. es de 69,11%.



UNIDAD Nº 2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES

INTRODUCCIÓN

Las distribuciones muestrales son distribuciones de probabilidades de los indicadores

estadísticos muestrales, es decir de los estimadores para muestras del tamaño n seleccionados

de una población determinada N . De las distribuciones muestrales lo que nos interesa conocer

es su media y su varianza es decir como se distribuye cada estimador estadístico, cual es su

forma para luego realizar inferencia respecto a los parámetros poblacionales, es decir que en

base a indicadores estadísticos muestrales podamos averiguar el comportamiento de los

parámetros de la población.

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

El teorema central del límite sostiene que en la mayoría de los estimadores estadísticos a medida

que aumenta el tamaño de la muestra el estimador se distribuye aproximadamente como una

normal y el estimador tiende a ser el verdadero valor del parámetro. El teorema constituye la base

de toda la teoría del muestreo.

Ejemplo

Si deseamos estimar y tenemos de una muestra el valor _

x .

Si n es grande entonces _

x se acerca al valor de .

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

Si la distribución es normal y el tamaño de la muestra es grande 30n entonces la media

muestral se distribuye como una normal stándard y en este caso el valor de z se calcula con la

expresión:

x

xZ

Donde:

medialadetípicoErrorx

:



nx

Reemplazando

_

xz

n

0z

x

z

Si el tamaño de la población “N” es finito (se conoce población) y además se cumple que:

050,N

n

Entonces:

_

1

xz

N n

Nn

Ejemplo

Se conoce que los pesos en Kg. de los estudiantes de una determinada universidad se distribuye

normalmente con una media de 72 Kg. Y con una varianza de 58 Kg2.

a) Si se selecciona una muestra aleatoria de 35 estudiantes, ¿cual es la probabilidad de que esta

media sea inferior a 75 Kg.?

Datos

2

_

72

58

35

75 ?

Kg

Kg

n

P x



_

75 722,33

58

35

xz

n

1

1

2,33 0,4901

* 0,5

* 0,9901;99,09%

z p

p p

p

0z

x

z72 75

*p

b) Hallar la probabilidad de que la media muestral este entre 70 y 77 Kg.

Datos

(70 77) ?P x

0z

x

z72 77

1z 2z

70

_

1 1

2 2

70 721,55 0,4394

58

35

77 723,88 0,4999

58

35

* 0,9393;93,93%

xz p

n

z tabla p

p



La probabilidad de que la media muestral este entre 70 y 77 es de 93,93%.

c) Cual es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 68 y 70 Kg.

0z

x

z727068

1 1

2 2

68 72 353,99 0,4991

58

70 72 351,55 0,4394

58

0,0597

z p

z p

La probabilidad de que la media muestral este entre 68 y 70 es 5,97%.

Ejemplo 2

1200 postulantes darán examen de ingreso para una facultad de la U pública, estas notas se

distribuyen normalmente con una media de 54,5 pts. Y una desviación estándar de 5,5 pts.

a) Halla la probabilidad de que una nota elegida al azar este entre 49 y 53 pts.

b) Si se toma una muestra aleatoria de 80 calificaciones cual es la probabilidad de que la media

se la muestra sea mayor a 56 pts.

Solución

a) Datos

54,5

5,5

(9 53) ?P x

1 1

2 2

49 54,51 0,3413

5,5

53 54,50,27 0,1064

5,5

0,2349

xz p

z p

0z

x

z54,55349

La probabilidad de que una nota elegida al azar este entre 49 y 53 pts. es de 23,49%

b) Datos



( 56) ?

80

P x

n

0,05

*1

56 54,5 1,52,52 0,4941

0,61 0,9665,5 1200 80*

1200 180

* 0,5 0,4941 0,0059;0,59%

x nz si

NN n

Nn

z p

p

0z

x

z54,5 56

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES

PROPORCIÓN POBLACIONAL

Una proporción poblacional es un parámetro de la población definido como el cociente (división)

entre el número de unidades que cumple una cierta característica iA y el tamaño de la población

N .

iAP

N

Una proporción muestral “p” es un estimador de la proporción poblacional y esta definida como el

cociente entre el número de unidades que tiene cierta característica en la muestra ia y el tamaño

de la muestra n

iap

n

Las proporciones pueden expresarse en tanto por uno o en tanto por ciento al multiplicarlo por

100.

Si en una población que se distribuye como una normal se extrae una muestra de tamaño n y en

ella se identifican un cierto número de elementos que tiene una característica específica y a partir

de ella se estima la proporción poblacional, entonces para realizar el calculo de probabilidad con

respecto a una proporción muestral se utiliza como estadístico la normal stándard.



El estadístico ""z para la distribución muestral de proporción se calcula con la expresión:

p

Ppz donde:

n

QPp

*

Donde:

p proporción muestral

P proporción poblacional

lpoblacionaproporciónladeocomplementQ

Reemplazando

n

QP

Ppz

*

Si el tamaño de la población “ N ” es finito y el cociente 0,05n

N entonces la formula anterior

debe ser dividida entre el factor de finitud: 1N

nN

Y la expresión de z se convierte en:

1N

nN

n

QP

Ppz

**

Ejemplo

De una población 1200 estudiantes de cierta carrera de la U pública, se han seleccionado una

muestra aleatoria de 200 estudiantes y en ellos se investiga los que están de acuerdo con las

propuestas de un candidato a Rector para las elecciones. A partir de investigaciones previas se

conoce que la proporción de los que están de acuerdo con la propuesta de dicho candidato es

15%.

a) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior al 18%.



Datos

?,180pP

200n

150,P

85015011 ,.PQ

1200N

1N

nN

n

QP

Ppz

**

301

11200

2001200

200

850150

150850,

*,*,

,,z

En la tabla encontramos que para 301,z por tabla 4032,01p

Como 4032,05,0*p

9032,0*p ; 90,3 %

b) Hallar la probabilidad de que la proporción muestral este entre 12% y el 17%.

0,12 17P p

0z

x

z0,15 0,170,12

1

2

1 2

0,12 0,151,30 0,4032

0,15 0,85 1200 200*

200 1200 1

0,17 0,150,87 0,3078

0,15 0,85 1200 200*

200 1200 1

0,711;71,1%

z p

z p

p p

c) Hallar la probabilidad de que la proporción muestral este comprendida entre 18% y 22%.



0,18 0,22P p

0z

x

z0,15 0,220,18

40320301

11200

2001200

200

850150

1501801 ,,

*,*,

,,pz

49880033

11200

2001200

200

850150

1502202 ,,

*,*,

,,pz

%,;,,,* 56909560403204988012 ppp

d) Entre que valores de proporción se encuentran el 50% de las proporciones muestrales más

cercanas a la proporción poblacional.

2 0,25nP p p p

x

z0,15

1z 2z

1 0,25p2 0,25p

* 0,5P

0,0032

0,01

0,0014

a

b

c

0043000320

00140010,

,

,*,*

a

cbd



1

2

0,67 0,0043

0,6744

0,6744

z

z

z

Despejando p del expresión:

1N

nN

n

QP

Ppz

**

Tenemos PN

nN

n

QPzp

1*

*

Calculando p1 y p2:

15011200

2001200

200

850150674401 ,*

,*,,p

150015501 ,,p

%,;, 41313401p

De la misma manera se calcula el valor de 2p con la diferencia de que al estar 2z a la derecha

este valor es positivo 67440,z y así 2p será:

15011200

2001200

200

850150674402 ,*

,*,,p

150015502 ,,p

%,;, 51616502p

Rta.

El 50% de las proporciones muestrales, las más cercanas a la proporción poblacional se

encuentran entre 13,4% y 16,5%.





UNIDAD Nº 3 ESTIMACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES

INTRODUCCIÓN

En esta unidad analizaremos de qué manera se puede estimar el valor de un parámetro

poblacional a partir de datos muestrales, los parámetros que analizaremos en la presente unidad

serán la media, la proporción y la diferencia de medias. Para esto es importante en ciertos casos

la utilización de la distribución t-student.

DISTRIBUCIÓN T-STUDENT

La distribución t-student es una distribución derivada de la normal Standard y se utiliza para

muestras pequeñas es decir 30n .

El área bajo la curva representa a la proporción ó probabilidad por lo tanto el área bajo la curva

de la distribución t-student es igual a 1; la gráfica de la distribución t-student tiene una forma

similar a la gráfica de la distribución normal Standard; el valor del estadístico “t” en el centro del

gráfico es igual a 0; los valores de “t” en el lado derecho son de signo positivo (+) y los valores de

“t” en la izquierda son de signo negativo (-).

t 0tt

t

1P

CARACTERÍSTICAS DE LA TABLA T-STUDENT

La tabla t-student (apéndice III), nos muestra los valores de la variable t en el cuerpo de la tabla

(adentro), en la parte superior se encuentran las probabilidades o proporciones para ciertos

valores los cuales son 99,5%, 99%, 97,5%...

Los grados de libertad en una estimación se definen como la diferencia entre el tamaño de la

muestra y la cantidad de parámetros que se está estimando k entonces kn

generalmente 1k por lo tanto 1n

En la parte izquierda de la tabla aparecen los grados de libertad ,

1n

Para valores menores a 50% se trabaja por el complemento para entrar a la tabla.



0,1

0 ,10 0 ,9t t

USO DE LA TABLA

Ejemplo 1

Hallar 0,95t para 9222 ,t

Ejemplo 2

Hallar 0,75t para 687020 ,t

El ejemplo anterior se expresa

20750 contP t , 0t 0,687t

0,75

t

Ejemplo 3

Hallar “t” si:

0,1 19P t t y n

0,1 0,9 0,9 1,33t t t

1

19 1

18

n

t 0t

0,1

Ejemplo 4

Hallar “t” si:

1530 nytP t ,

0,7

0,3 0,7

15 1

14 0,537t

t t

t0t 0, 537t

Ejemplo 5

Hallar “t” si:

0,95 7P t t t y n



0,975

60,975 2,45

t

t1t 2t0t

0,95

0,025

ESTIMACIÓN

Es el proceso mediante el cual se enuncia el probable valor de un parámetro poblacional a partir

de el valor de un estadígrafo muestral

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Consiste en utilizar cierta magnitud muestral y a partir de ella estimar el verdadero valor del

parámetro poblacional, en esta estimación no se especifica el grado de certeza con que se

realiza la estimación.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

Consiste en construir un intervalo con cierto nivel de confianza 1 , también llamado nivel de

certeza y se afirma que dentro de los límites del intervalo se encuentra el verdadero valor del

parámetro poblacional, es decir que con cierto nivel de confianza se espera que dentro de este

intervalo se encuentre el verdadero valor del parámetro poblacional.

NIVEL DE CONFIANZA 1

Es el grado de confianza expresado en probabilidad con que se afirma, que el verdadero valor del

parámetro poblacional se encuentra dentro de los límites del intervalo.

x1x 2x

1

z z0zz

NIVEL DE SIGNIFICANCIA

Este valor representa el grado o nivel de desconfianza o no certeza de que el verdadero valor del

parámetro se encuentre dentro del límite del intervalo.



INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL

Si de una población que se distribuye normalmente se selecciona una muestra aleatoria grande

mayor a 30 30n y se tiene una varianza poblacional conocida entonces el intervalo de

confianza se construye a partir del estadístico normal estándar

x

1

z2

z0zz

1 1

2 1 1

2

cola cola

cola

cola

1 0,9

1 0,9

0,10,05 / 2

2 2

Para hallar el intervalo de confianza se debe llevar a un extremo y al otro extremo del valor de la

media poblacional al valor de la media muestral _

x sumando y restando el estadístico 2

z

multiplicado por el error estándar de la media muestral nx

Reemplazando

122 n

zxn

zxP

Si el tamaño de la muestra es pequeño 30n y la población es normalmente distribuida se

utiliza el estadístico 2

t y la construcción del intervalo de confianza para el verdadero valor de la

media poblacional, se realiza mediante la expresión:

122 n

Stx

n

StxP

Ejemplo 1

Las calificaciones de los estudiantes de un curso se distribuyen normalmente con una varianza

de 149 pts2. Si se selecciona una muestra aleatoria de 40 estudiantes y en ella se calcula la



media de 65 pts. Construya un intervalo de confianza al 90% para el verdadero valor de la nota

promedio poblacional.

Datos

22 149 pts entonces pts149

40n

ptsx 65

901 ,

x

1

z2

z0zz

190,

901 ,

10, dividiendo ambos miembros entre 2 tenemos:

2

10

2

,

0502

,

Con 0502

, tenemos que según la tabla de z

1 0, 4500P

Interpolando

0,4495 1,64

0,4500 1,645

0,4505 1,65

z

64512

,z

Reemplazando en 122 n

zxn

zxP



149 14965 1,645 65 1,645 0,9

40 40

65 3,17 65 3,17 0,9

61,82 68,17 0,9

P

P

P

Con un nivel de confianza del 90% se puede afinar que el verdadero valor del promedio de notas

está entre 61,82 pts. Y 68,17 pts.

Calcular el intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95%

1 0,95

1 0,95

0,05

0,0252

Con

02504501 ,,P 47501 ,P

Con 47501 ,P en la tabla encontramos que: 9612

,z

x

0zz

0,025

0,95

Reemplazando

149 14965 1,96 65 1,96 0,9

40 40

65 3,78 65 3,78 0,9

61,2 68,78 0,9

P

P

P

I. Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que el verdadero valor del promedio de

notas esta entre 61,22 pts. Y 68,78 pts.

Ejemplo 2



Se han tomado los pesos de 11 estudiantes de un curso muy numeroso el cual se construye de

una muestra aleatoria, estos pesos son los siguientes: 58, 61, 64, 69, 66, 62, 62, 60, 62, 63, 65

Kg.

Construya un intervalo de confianza a un nivel de confianza del 95 %

Datos

11

1 0,95

n

x

0zz

0,025

0,95

1 0,95

0,05 2

0,0252

0,95 0,025 0,975

3,015 3,01562,91 2,23 62,91 2,23 0,95

11 11

62,91 2,027 62,91 2,027 0,95

60,88 64,94 0,95

P

P

P

Con un nivel de confianza del 95%. Se puede afirmar que el verdadero valor del promedio

poblacional se encuentra entre 60,88 y 64,94 Kg.

DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA

Tamaño de la muestra para la estimación de una media poblacional.

El tamaño mínimo de la muestra para estimar una media se realiza o calcula en 2 pasos:

1º Paso

2

2

2

2

*

ºe

z

n

2º Paso



N

n

nn

º1

º

Donde:

nº: (casi muestra)

e : error que podemos cometer (absoluto)

Si e está en % entonces %_

exe

Si no tenemos N o es muy grande no se puede calcular el paso 2.

Tamaño de la muestra para estimar una proporción poblacional.

1º Paso

2

2

2

**

ºe

qpz

n

2º Paso

N

n

nn

º1

º

Nota:

Si 2 no es conocido se hace una prueba piloto y se reemplaza E2con S2.

Si no se puede determinar qp, se asume 5,0;5,0 qp , porque esta combinación nos

produce un mayor producto qp* .

El error en la formula para estimar proporciones siempre esta en unidades relativas, al

reemplazar en la fórmula se expresa en tanto por uno.

Ejemplo1

Un sindicato tiene 1000 afiliados los cuales deben renovar su directorio se desea determinar el

tamaño de la muestra para estimar la proporción que apoyará al candidato A, esta estimación se

desea determinar con una confianza del 90%. Para esto se realiza una prueba piloto con 20

afiliados elegidos aleatoriamente y se encuentra en esta muestra que 8 apoyaran al candidato A.

suponer que se va a cometer un error del 5%.

Datos



?

9,01

1000

n

N

Prueba piloto

De 20 personas entrevistadas 8 apoyarán al candidato A, entonces:

20

8p 4,0p y 6,0q

05,0%5e

1 0,9

1 0,9

0,1

0,10,05

2 2

z

0,9

xz0,4495 1,64

0,4500 1,645

0,4505 1,65

z

0,052

^ ^2

2

2

2

/ 2 * *º

1,645 *0,4*0,6º 259,78

0,05

259,78º 206,2 207

259,781

1000

z p qn

E

n

n lo redondeo a un número mayor

Ejemplo2

Se desea saber el tamaño de la muestra para estimar la edad promedio en una Universidad

Privada que tiene 7000 alumnos, si se sabe que la desviación standard es de 3 años. Asumir que

el error que se puede cometer es de 5% y la estimación deseamos hacerla a un nivel de

confianza del 95%. Mediante una prueba piloto se determino que el promedio de edad era de 21

años.



Solución

2 2

_

?

7000

3 9

5% 0,05

1 1 0,95

0,05

0,050,025

2 2

%*

0,05*21 1, 25

n

N

años

E

E E x

E

z

0,95

xz1 20,3 0,025 0,475 1,96p z

0,0252

2 2

2

1,96 * 3º 31,36

1,05

31,36º 31,22 32

31,361

7000

n

n lo redondeo a un número mayor

MUESTREO y TIPOS DE MUESTREO

Los muestreos son técnicas para recolectar datos a partir de una población al realizar un

muestreo se debe aplicar diseños muestrales entre los que tenemos:

Aleatorio

Sistemático

Estratificado

Conglomerado

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

Es una técnica de muestreo en la cual todas las unidades observadas tienen la misma



probabilidad de ser elegidos y tomados como parte de la muestra.

MUESTREO SISTEMÁTICO

Está técnica de muestreo tiene la característica de que los elementos seleccionados para la

muestra son elegidos en base a una secuencia planificada. Generalmente se aplica en un

muestreo llevado a cabo en líneas de producción (fábricas).

MUESTREO ESTRATIFICADO

Es una técnica de muestreo donde las unidades observadas son heterogéneas y se encuentran

formando segmentos de la población entre los principales ejemplos podemos citar poblaciones

agrupadas por segmentos sociales, segmentos académicos, segmentos políticos, económicos,

etc.

MUESTREO CONGLOMERADO

Es una técnica de muestra en la que las unidades observadas se encuentran agrupadas en

sindicatos, facultades dentro de una Universidad, sucursales bancarias departamentales en el

país.



UNIDAD Nº 4 VERIFICACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES

INTRODUCCIÓN

La verificación de hipótesis es un procedimiento mediante el cual se puede tomar decisiones

acerca de la población este procedimiento también se llama prueba de hipótesis o décima de

hipótesis.

La verificación de hipótesis permite determinar cual es la región crítica de rechazo (Re) y cual es

la región de aceptación (Ra). Las regiones se determinan mediante el estadístico adecuado.

Si el estadístico calculado ó obtenidos mediante formulas cae en la zona de rechazo entonces se

rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna por el contrario si cae en la región de

aceptación se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alterna.

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

Una hipótesis estadística es afirmación acerca de un parámetro poblacional sobre la cual hay

inseguridad en el momento de formularla y es expresada de tal forma que puede ser aceptada ó

rechazada.

Es un supuesto acerca de un parámetro poblacional ya sea media aritmética, proporción y

varianza,etc.

Existen 2 clases de hipótesis estadísticas

HIPOTESIS NULA H0

Es aquella que por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro, que se va a

constatar con el resultado muestral.

HIPOTESIS ALTERNA H1

Es aquella hipótesis que defiere de la hipótesis nula, es decir: ofrece una alternativa, afirmando

que la hipótesis nula es falsa.

H0 H1 TABLA

2 Colas

1cola

1cola



ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER

Al momento de tomar una decisión sobre las hipótesis planteadas hay la posibilidad de cometer

dos tipos de errores.

ERROR TIPO I

Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera

ERROR TIPO II

Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

Gráficamente tenemos:

VERDADERA FALSA

ACEPTAR Decisión

Correcta

Error Tipo II

RECHAZAR Error Tipo I Decisión

Incorrecta

PASOS PARA EL PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS

1) Planteamiento de Hipótesis

2) Especificar el nivel de confianza

3) Recolección de datos

4) Selección del estadístico pertinente z ó t

5) Determinación de la zona de aceptación y rechazo (Ra) y (Rr). (Tabla).

6) Determinación o calculo de Zi ó ti (Formula).

7) Toma de decisión

FORMULAS PARA ESTADÍSTICOS

Muestra Grande

P/u

_

xZc

n

Muestra Pequeña

_

c

xt

S

n



P/p

^

*

p pZc

p q

n

Ejemplo 1

Según la información histórica de una fábrica se sabe que ésta produce el 50% de los productos

en calidad superior. Se desea verificar esta situación y para esto se tomo una muestra aleatoria

de 36 productos y se detectó que 27 estaban con calidad superior. Verificar a un nivel de

confianza de 95% si la proporción de los productos de calidad superior actual es mayor a la

proporción histórica.

Solución

1)

0 0: 0,5 : 0,5H p H p

2)

1 0,95

0,05

3)

^

36

27

270,75

36

n productos

calidad

p

4)

^

*

p pZc

p q

n

5)

1,64Z

AR

x

0,5 0,05 0,45 1,645p Z

0,05

RR

6)



0,75 0,53

0,5*0,5

36

Zc

7) Se rechaza la H0 de que 5p y se acepta la H1 de que 5p

A un nivel de confianza del 95% se verifica que la proporción de productos de calidad superior es

mayor a la histórica.

Ejemplo 2

Un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una embotelladora por un deficiente

llenado que debe ser un promedio 32,5 oz para ello toma una muestra de 60 botellas

encontrando que el contenido medio es 31,9 oz, se sabe que la máquina embotelladora debe

producir un llenado con una desviación standard de 3,6 oz. A un nivel de significancia de 5%

puede el inspector concluir que están llenando por debajo de su especificación de contenido.

Solución

1)

0 0: 32,5 : 32,5H H

2)

0,05

3)

_

60

31,9

3,6

n

x oz

4)

_

xZc

n

5)

1,64Z

AR

x

1 0,45 1,645tp Z

0,05

RR



6)

31,9 32,51,29

3,6

60

Zc

7)

Como cayó en la RA entonces es valida la H0 y el inspector no debe concluir que se está

embotellando el producto por debajo de su especificación a un nivel de significancia del 5%.

Ejemplo 3

Se sabe que la proporción de habitantes de una región que consume habitualmente un producto

es de 50%, si se extrae una muestra de 100 habitantes y en ella 63 afirmaron que consumían

dicho producto. Verificar a un nivel de confianza del 95% que la proporción de habitantes que

consumen dicho producto sigue siendo 50%.

Solución

1)

0 1: 0,5 : 0,5H p H p

2)

1 0,95

0,05

0,0252

3)

^

100

63

630,63

100

n

consumian

p

4)

^

*

p pZc

p q

n

5)



1,96tz

AR

x1,96z

1 10,5 0,025 0,475 0,475 1,96tp con p Z

0,0252

RRRR

6)

0,63 0,52,6

0,5*0,5

100

Zc

7)

Se rechaza la H0 y se acepta la H1. Se verifica que la proporción de la población que consume

dicho producto no sigue siendo 50% a un nivel de confianza del 95%.

Ejemplo 4

Un agrónomo mide el contenido de humedad en cierta variedad de trigo que fue secado, si tomo

una muestra de 16 toneladas la cual la subdivida en 16 muestras midiéndose el contenido de la

humedad que se presentan a continuación.

7,2 6,8 7,3 7,0 7,3 7,3 7,5 7,3

7,4 7,2 7,6 7,1 7,4 6,7 7,4 6,9

Si el contenido de humedad excede a 7,1 el proceso de secado debe continuar ¿Deberá

continuar con el proceso de secado tomando un nivel de confianza del 95%?

Solución

1)

0 1: 7,1 : 7,1H H

2)

1 0,95

0,05

3)



_

7, 21

0, 25

16

x

S

n

4)

_

c

xt

S

n

5)

1,75ctx

0,05 0,951,75

1 16 1 15ct

n

0,05

RRAR

6)

7.21 7,1 0,111,76

0,25 0,0625

16

ct

7)

Se rechaza la H0 y se acepta la H1. A un nivel de confianza del 95% se concluye que se debe

continuar con el proceso secado por que 7,1 .

Ejemplo 5

Un fabricante de productos naturales afirma que su medicina puede reducir la fiebre en 90% de

los casos de alergia.

En una muestra de 200 personas con alergia su medicina redujo la fiebre en 160 personas.

Determinar si la afirmación del fabricante es legitima a un nivel de significancia de 1%.

Solución

1)

0 1: 0,9 : 0,9H p H p

2)

0,01



3)

^

200

1600,8

200

n

p

4)

^

*

p pZc

p q

n

5)

2,3267tZ

AR

x

0,01

RR

0,4898 2,32 0,0002*0,01

0,4900 0,0003

0,00670,4901 2,33

z

6)

0,8 0,94,72

0,9*0,1

200

Zc

7)

Se rechaza H0 y se acepta H1. La afirmación del fabricante no es cierta a un nivel de significancia

de 1%.

Ejemplo 6

Un trabajador social que cree que el peso promedio de los muchachos de 10 años que viven e un

sector rural determinado es inferior a 34 Kg. Una muestra aleatoria de 25 muchachos tomada en

esa población arrojo un peso promedio de 30 Kg. Y una desviación típica de 10 Kg. Verificar la

aceleración del trabajador social a un nivel de significancia del 5%.

Solución

1)

0 1: 34 : 34H H

2)



0,05

3)

_

25

30

10

n

x

S

4)

_

c

xt

S

n

5)

1,71ct

AR

x

0,05 0,951,71

1 25 1 24ct

n

0,05

RR

6)

30 34 42

10 2

25

ct

7)

Se rechaza H0 y se acepta H1. La aceleración del trabajador social es legítima.



GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS

COMPLEMENTO DEL EVENTO (__

E )

Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al espacio muestral y no pertenecen al

evento.


El complemento de la probabilidad de un evento es la probabilidad de que dicho evento no ocurra. ERROR TIPO I

Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadero.

ERROR TIPO II

Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falso.

ESPACIO MUESTRAL S

Es el conjunto de todas las posibilidades que presenta un fenómeno aleatorio.

ESTIMACIÓN

Es el proceso mediante el cual se enuncia el probable valor de un parámetro poblacional a partir

del valor de un estadígrafo muestral.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Consiste en utilizar cierta magnitud muestral y a partir de ella estimar el verdadero valor del

parámetro poblacional, en esta estimación no se especifica el grado de certeza con que se

realiza la estimación.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

Consiste en construir un intervalo con cierto nivel de confianza 1 , también llamado nivel de

certeza y se afirma que dentro de los límites del intervalo se encuentra el verdadero valor del

parámetro poblacional, es decir que con cierto nivel de confianza se espera que dentro de este

intervalo se encuentre el verdadero valor del parámetro poblacional.

EVENTO O SUCESO E



Un evento es un subconjunto del espacio muestral y se lo plantea como: lo que se espera que suceda.

EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la

ocurrencia o no del otro evento.

EVENTO DEPENDENDIENTE

Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de la ocurrencia de un

acontecimiento previo.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de

posibilidad que el otro evento ocurra.

FENÓMENO ALEATORIO

Es aquel acontecimiento cuyo resultado final no se puede predecir con exactitud, porque

presenta dos o más opciones.

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

Una hipótesis estadística es afirmación acerca de un parámetro poblacional sobre la cual hay

inseguridad en el momento de formularla y es expresada de tal forma que puede ser aceptada ó

rechazada.

Es un supuesto acerca de un parámetro poblacional ya sea media aritmética, proporción y

varianza, etc.

Existen 2 clases de hipótesis estadísticas.

HIPOTESIS NULA 0H

Es aquella que por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro, que se va a

constatar con el resultado muestral.

HIPOTESIS ALTERNA 1H

Es aquella hipótesis que defiere de la hipótesis nula, es decir: ofrece una alternativa, afirmando

que la hipótesis nula es falsa.



MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Los modelos de distribución de probabilidad son expresiones que nos permiten calcular la probabilidad de que una variable x tome los diferentes valores de su dominio: MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Sea x una variable aleatoriamente discreta, ésta seguirá un desarrollo binomial si cumple cuatro

condiciones.


2) El fenómeno aleatorio sólo tiene dos posibles resultados, el éxito y el fracaso.

3) Las sucesivas veces en que se realiza el fenómeno son independientes (con reemplazo).

4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es constante.

Si una variable aleatoria discreta cumple estas cuatro condiciones, decimos que se distribuye

como una binomial y se define como una secuencia de pruebas independientes con probabilidad

de éxito constante y a dicha variable x la definimos como “x” número de éxitos en n pruebas.

Rango o recorrido: 0,1,2,…n

Para determinar la probabilidad en una distribución binomial se debe conocer n y p.

Donde:

n: nº de pruebas.

p: probabilidad de éxito.

MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Sea “x” una variable aleatoria ésta seguirá un desarrollo hipergeométrico si cumple las siguientes

condiciones:


2) El fenómeno aleatorio tiene únicamente 2 posibles resultados: el éxito y el fracaso.

3) Las sucesivas pruebas en que se repite el fenómeno aleatorio tiene probabilidad de éxito

variable

(sin reemplazo).

4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es variable.

Si la variable aleatoria cumple estas cuatro condiciones, se dice que se distribuye, como una

hipergeométrica que la definimos como una secuencia de pruebas dependientes, con

probabilidad de éxito variable.

Para que en la practica se presente una distribución hipergeométrica deben existir N objetos en

total llamado población de los cuales m son los de cierta clase en los que estamos interesados,



además existe N-m=objetos de otra clase, si del total de objetos N se selecciona al azar una

muestra de tamaño n uno por uno y sin reemplazo se tiene una distribución hipergeométrica y

cuya variable x la definimos como número de objetos de cierta clase en una muestra n.

nmsin

nmsimrecorridooRango

1,0

1,0

Para poder encontrara la probabilidad en una distribución hipergeométrica es necesario conocer

N, m, n.

nN

xnmNxm

C

CCxXPxf

*

MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Sea x una variable aleatoria discreta esta seguirá un modelo de distribución de poisson si en

ellas no se presentan una repetición de un fenómeno aleatorio y no existe probabilidad de éxito o

fracaso, por el contrario existe un fenómeno aleatorio dentro de un tiempo dado, superficie dada

o volumen dado, entonces la variable poisson se define como:

x: nº de veces que ocurre un cierto evento en un tiempo dado, superficie dada o volumen dado.

Rango ó recorrido: ...3,2,1,0

Para que la distribución de poisson que de totalmente definida tiene que conocerse el promedio

, en que el fenómeno se repite por unidad de tiempo, superficie o volumen.

Función de probabilidad

!

*

x

exXPxf

x

MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD

Es una distribución derivada de la normal general que obtenemos realizando un cambio de

variable a la función inicial, para esto realizaremos el proceso de la estandarización o tipificación

que consiste en restar a cada valor de la variable la media poblacional y dividir este

resultado entre la desviación standard poblacional

xz

La función de probabilidad quedaría:



2

2

1

2

1 z

exf

MODELO DE DISTRIBUCIÓN T-STUDENT

La distribución t-student es una distribución derivada de la normal Standard y se utiliza para

muestras pequeñas es decir 30n .

MUESTREO

Los muestreos son técnicas para recolectar datos a partir de una población.

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

Es una técnica de muestreo en la cual todas las unidades observadas tienen la misma

probabilidad de ser elegidos y tomados como parte de la muestra.

MUESTREO SISTEMÁTICO

Está técnica de muestreo tiene la característica de que los elementos seleccionados para la

muestra son elegidos en base a una secuencia planificada. Generalmente se aplica en un

muestreo llevado a cabo en líneas de producción (fábricas).

MUESTREO ESTRATIFICADO

Es una técnica de muestreo donde las unidades observadas son heterogéneas y se encuentran

formando segmentos de la población entre los principales ejemplos podemos citar poblaciones

agrupadas por segmentos sociales, segmentos académicos, segmentos políticos, económicos,

etc.

MUESTREO CONGLOMERADO

Es una técnica de muestra en la que las unidades observadas se encuentran agrupadas en

sindicatos, facultades dentro de una Universidad, sucursales bancarias departamentales en el

país.

NIVEL DE CONFIANZA 1

Es el grado de confianza expresado en probabilidad con que se afirma, que el verdadero valor del

parámetro poblacional se encuentra dentro de los límites del intervalo.



NIVEL DE SIGNIFICANCIA

Este valor representa el grado o nivel de desconfianza o no certeza de que el verdadero valor del

parámetro se encuentre dentro del límite del intervalo.

POSIBILIDAD

Una posibilidad es una de varias pociones que presenta un fenómeno aleatorio.

PROBABILIDAD PEP ,

La probabilidad de un evento es el grado de certeza de que dicho evento ocurra y se puede

calcular dividiendo el número de posibilidades del evento entre el número de posibilidades del

espacio muestral.

PROBABILIDAD CONDIONAL

La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro haya

ocurrido.

ABP Se lee: Probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A ha ocurrido.

PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS BAP

La probabilidad de la intersección, es la probabilidad de que ocurran los eventos A y B.

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS BAP

La probabilidad de la unión de dos eventos es la probabilidad de que ocurra un evento o el otro

PROPORCIÓN POBLACIONAL

Una proporción poblacional es un parámetro de la población definido como el cociente (división)

entre el número de unidades que cumple una cierta característica Ai y el tamaño de la población

N.

iAP

N

PROPORCIÓN MUESTRAL

Una proporción muestral “p” es un estimador de la proporción poblacional y esta definida como el

cociente entre el número de unidades que tiene cierta característica en la muestra ia y el tamaño

de la muestra n



iap

n

Las proporciones pueden expresarse en tanto por uno o en tanto por ciento al multiplicarlo por

100..

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

El teorema central del límite sostiene que en la mayoría de los estimadores estadísticos a medida

que aumenta el tamaño de la muestra el estimador se distribuye aproximadamente como una

normal y el estimador tiende a ser el verdadero valor del parámetro. El teorema constituye la base

de toda la teoría del muestreo y poblacional.

Práctico nº 1. Teoría elemental de probabilidades

I. Cálculo de probabilidades

1. Hallar la probabilidad en porcentaje de que:

a) Al lanzar 2 dados la suma sea menor que 5

b) Al lanzar 1 dado el Número sea mayor que 4

c) Al lanzar 2 dados el producto sea igual o mayor que 25

d) Al lanzar 2 dados la suma de los números sea mayor que 12

e) Al sacar una sola carta al azar de la baraja esta sea 10 de diamantes ó 2 de corazones.

f) Al sacar una carta al azar de la baraja esta no sea trébol

2. Sean:

E1= Sacar trébol de la baraja en la 1º extracción

E2= Sacar 3 de corazones de la baraja en la 1º extracción

Hallar )( 21 EEp

3. Sean:

E1 = Sacar trébol de la baraja en la 1º extracción

E2 = Sacar un 8 de la baraja en la 1º extracción

Hallar: )( 21 EEP

4. Una caja contiene 6 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas verdes. Hallar la probabilidad en

porcentaje de que:



a) Sacar una bola roja en la 1º extracción

b) Sea E1 = Sacar una bola verde en la 1º extracción y con reemplazamiento

E2 = Sacar una bola verde en la 2º extracción

Hallar: )( 21 EEP

c) No sacar una bola blanca en la 1º extracción

5. Si se lanzan dos dados a la vez hallar la probabilidad de que:

a) La suma sea por lo menos 8

b) Sean:

E1 = Sacar 7 ó 8 en la suma

E2 = Sacar 4 como máximo en la suma

Hallar )( 21 EEp además hallar

)( 21 EEP

6. En una sala de aulas hay 8 rubios de los cuales 3 son hombres y 5 mujeres. Además hay 7

morenos de los cuales 4 son hombres y 3 son mujeres. Sean los eventos

E1 = Que la primer persona que salga al azar sea hombre y no retorne

E2 = Que la segunda persona que salga sea mujer

E3 = Que la primer persona que salga sea morena y con reemplazamiento

E4 = Que la segunda persona que salga sea rubia

E5 = Que la primer persona que salga sea mujer rubia y no retorne

E6 = Que al lanzar dos dados la suma sea mayor que 9

Hallar:

a) )( 21 EEP b) )( 43 EEP c) )( 25 EEP d) )( 65 EEP e) )( 65 EEP

7. En una canasta hay muy bien mezcladas 7 bolas verdes, 3 bolas blancas y 5 manzanas

rojas. Sean los eventos:

E1 = La primer bola en ser extraída sea blanca o roja y sin remplazamiento

E2 = La segunda bola extraída sea verde

E3 = La primer bola extraída sea roja y sin reemplazamiento

E4 = La segunda bola extraída sea roja

E5 = La suma al lanzar dos dados sea 5 ó menos



E6 = La primer bola extraída sea blanca

Hallar:

a) )( 21 EEP

b) )( 43 EEP

c) )( 23 EEP

d) )( 51 EEP

e) )( 53 EEP

f) )( 63 EEP

8. Sean los eventos:

A = Obtener 1 sola vez sol al lanzar la moneda 2 veces

B = Que la suma sea 10 ó más al lanzar dos dados juntos

C = Obtener sol 1 sola vez al lanzar una moneda 3 veces

Calcular la probabilidad:

a) )( BAP

b) )( CAP

c) )( ABP

d) )( CBP

e) )( CAP



Práctico nº 2. Distribución discreta de probabilidades

Distribuciones discretas de probabilidades

1. Se ha estimado que el 10 % de los jugadores de una liga de baloncesto son pelirrojos, si

se selecciona una muestra aleatoria de 12 basquetbolistas uno por uno y con reemplazo.

¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La tercera parte sea pelirrojo

b) Como máximo dos sean pelirrojos

c) 7 no sean pelirrojos

d) 4 o más sean pelirrojos

2. Se sabe que el 25 % de los estudiantes de un curso han reprobado la materia, si se

selecciona aleatoriamente a 13 estudiantes uno por uno y con reemplazo y se averigua

su nota. Determinar:

a) La probabilidad de que 4 hayan reprobado la materia

b) La probabilidad de que 2 o menos hayan reprobado la materia

c) La probabilidad de que más de 2 hayan reprobado la materia

d) La probabilidad de que 9 o más hayan aprobado la materia

3. En una clase hay 20 alumnos, 15 de ellos no están conformes con el texto que utilizan.

Se les pregunta a 4 de ellos escogidos al azar uno por uno y sin reemplazo su opinión

acerca de dicho texto. Cuál es al probabilidad de que:

a) 3 de ellos estén conformes con su texto

b) Como máximo 2 no estén conformes con su texto

c) Como máximo 3 estén conformes con su texto

d) Si se extraen 4 de ellos escogidos al azar uno por uno y con

reemplazo, cuál es la probabilidad de que 3 o más no estén de

conformes con el texto

e) Si se extraen 6 de ellos uno por uno y con reemplazo cuál es la

probabilidad de que como máximo 2 esté conforme con el texto.

4. Se sabe que el 40 % de los estudiantes de la U.A.G.R.M. son provenientes de alguna

provincia. Si se toma una muestra aleatoria de 16 estudiantes al azar uno por uno y con



reemplazo. Calcular la probabilidad de que:

a) 4 de ellos sean de provincia

b) 3 o menos sean de provincia

c) Más de 11 no sean de provincia

d) 12 o más sean de provincia

5. En una clase de Cálculo 1 hay 32 estudiantes, de los cuales 18 son de Auditoria. Si se

toma una muestra al azar de 13 estudiantes, uno por uno y sin reemplazo. Calcular:

a) La probabilidad de que 2 o menos sean estudiantes de auditoría

b) La probabilidad de que 4 o más sean estudiantes de auditoría

c) La probabilidad de que 8 de ellos no sean estudiantes de auditoría

d) Si se toma una muestra aleatoria de 8 estudiantes, uno por uno y con reemplazo

cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 de ellos no sean de auditoría

6. Se sabe que el 22% de los estudiantes de medicina de la UCB son extranjeros. Si se

toma una muestra al azar de 12 estudiantes uno por uno y con reemplazo. Hallar la

probabilidad de que:

a) 2 o menos estudiantes sean extranjeros

b) mas de 9 estudiantes asean extranjeros

c) 7 estudiantes sean bolivianos. En promedio 6 personas utilizan un cajero

automático cada hora, en el periodo de horas más transcurridas de cierta

agencia bancaria; Cuál es la probabilidad de encontrar:

d) Exactamente 6 persona utilizar el cajero en una hora

e) Menos de 6 personas utilizar el cajero en 1,5 horas

f) Que nadie utilice dicho cajero en el lapso de 10 minutos

7. Una persona que pesca en cierto lugar del río Beni puede esperar pescar 1,6 peces por

hora. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que pesca en ese lugar.

a) En una hora no logre pescar nada

b) Saque exactamente un pez en una hora

c) Saque al menos 3 peces en 1,5 horas

8. En un aula hay 50 estudiantes de los cuales 18 son partidarios del partido colorado, si se

extrae una muestra aleatoria de 13 estudiantes uno por uno y sin reemplazo, cual es la

probabilidad de que

a) A lo sumo 4 sean partidarios del partido colorado

b) Por lo menos 5 sean partidarios del partido colorado



c) Más de 3 no sean partidarios del partido colorado

d) Si se extrae una muestra de 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo cuál es

la probabilidad de que como máximo 3 sean partidarios del partido colorado

e) Si se extrae una muestra de 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo, cuál

es la probabilidad de que 6 o menos no sean partidarios del partido colorado

9. En un hospital se tiene un promedio de 3 pacientes admitidos de emergencia por hora,

determinar la probabilidad de que:

a) En una hora sea admitido un paciente de emergencia

b) En 3 horas sean admitidos 6 o menos pacientes de emergencia

c) En media hora sea admitido a lo sumo 1 paciente de emergencia

10. Los defectos de cierta clase de tejido de lana ocurren al azar con un promedio de 1 por

cada 100 pies cuadrados. Calcular la probabilidad de que en una pieza de 50 por 10 pies

no contenga defectos.

11. Un estudiante de la facultad de medicina tiene la certeza de aprobar una asignatura

cualquiera con una probabilidad de 0.8. Si tiene inscrito 8 asignaturas cual es la

probabilidad de que:

a) Apruebe 6 asignaturas

b) Repruebe 3 asignaturas

c) Apruebe como máximo 5 asignaturas

d) Apruebe todas las asignaturas

12. Una canasta tiene 13 bolas de las cuales 5 son rojas.

a) Si se extraen 4 bolas una por una sin reposición ¿cuál es la probabilidad de que

2 sean rojas?

b) Si se extraen 5 bolas una por una sin reposición ¿cuál es la probabilidad de que

más de 2 no sean rojas?

c) Si se extraen 7 bolas una por una sin reposición ¿cuál es la probabilidad de que

como máximo 3 sean rojas?

d) Si se extraen 6 bolas una por una y con reposición ¿cuál es la probabilidad de

que como máximo 2 sean rojas?

e) Si se extraen 7 bolas una por una y con reposición ¿cuál es la probabilidad de

que 5 o menos no sean rojas?

13. En un área geográfica determinada se sabe que el 40% de la población pertenece al

partido demócrata. Si se selecciona una muestra aleatoria de 12 personas con reposición



Cuál es la probabilidad de que:

a) Como máximo 4 pertenezcan al partido demócrata

b) Como mínimo 3 no pertenezcan al partido demócrata

c) Entre 3 y 5 pertenezcan al partido demócrata

Teorema de Bayes

1. Una empresa tiene fábricas en Chicago y en Houston, la fábrica en Chicago

produce el 40 % del total de unidades, con un índice de defectos del 10 %, la de

Houston tiene un índice de defectos del 20 %. Si una unidad extraída al azar se

encuentra defectuosa ¿De dónde es más probable que provenga de Chicago o

de Houston? R. De Houston, porque 75.0/ DHP

2. Estudios de la asociación nacional de educación indican que el 30 % de los

maestros de la nación dejan la profesión antes de los 10 años. Además que el 60

% de los que abandonan son titulados superiores, mientras que el 20 % de los

que no abandonan son también lo son. El profesor favorito de la clase acaba de

obtener su título superior ¿Cuál es la probabilidad de que abandone a los

estudiantes y acepte otro trabajo en otro rubro? R.56.25%

3. Una fábrica produce ciertos tipos de productos con 3 máquinas, los respectivos

cálculos de producción son:

Máq. 1: 3200 unidades



La experiencia muestra que 1 % de los artículos fabricados por la Máq. 1 son

defectuosos, las correspondientes fracciones de las defectuosas de las otras

máquinas son 2 % y 3 % respectivamente. Se extrae in artículo aleatoria mente

del total de producción de un día, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga

a) de la Maq 1 b) de la Maq 2 c) De la Maq 3? R. 13,4 %; 23,5 %; 63%.



4. Una compañía de seguros de automóviles ha asegurado a 35000 conductores de

la clase A (Riesgos buenos), a 50000 conductores de la clase B (Riesgos

medianos) y a 15000 conductores de la clase C (Riesgos malos), la probabilidad

de que el conductos de la clase A, B ó C tenga 1 ó más accidentes durante 1 año

es de 0.01, 0.04 y 0.15 respectivamente. La compañía vende a la señora garcía

una póliza de seguro y en un año tiene un accidente. ¿Cuál es la probabilidad de

que la Sra. Sea a) conductor de clase A, b) conductor de clase B c) conductor

de clase C R. 7,6 %; 43,5 % 48,9 %



Práctico nº 3. Distribución Normal Standard y distribuciones muestrales

1. Hallar el valor de z tal que:

a) El area a su derecha sea 0,2266

b) El area a su izquierda sea 0,0314

c) El area entre z1 =-0,23 y z sea de 0,5722

d) El area entre –z y z sea de 0,9

2. Hallar el valor del area:

a) A la derecha de z=-1,12

b) A la izquierda de z=-2,10

c) A La derecha de z=0,88

d) Entre z=-1,1 y z=1,1

e) Entre z=-2,07 y z=-095

f) Entre z=1 y z=3,12

g) Entre z=1,56 y z=5

h) A la izquierda de z=4.8

3. Utilizando la tabla de la distribución normal Standard hallar el valor de z tal que:

a) P(Z z)=0.8708

b) P(Z z)=0.3665

c) P(Z z)=0.9913

d) P(Z z)=0.0033

e) P(Z z)=0.0885

f) P(Z z)=0.9236

g) P(Z z)=0.2514

h) P(Z z)=0.9744

i) P(-z Z z)=0.7924

j) P(-z Z z)=0.0.9476

4. Utilizando la tabla de la distribución normal Standard hallar el valor de z que satisfaga la



condición planteada en el gráfico siguiente:

a) Si 1- = 0.95

b) Si 1- = 0.90

c) Si 1- = 0.98

d) Si 1- = 0.99

5. Si las estaturas de 300 estudiantes están normalmente distribuidas con una media de 68

in y desviación típica de 3 in ¿Cuántos estudiantes tienen alturas:

a) Mayor que 72 in

b) Menor o igual a 64 in

c) Entre 65 y 71 in

6. La nota media en un examen es de 72 pts, la desviación típica es de 9. El 10 % del curso

recibirá grado A ¿Cuál es la nota mínima para optar a el?

7. Los pesos en Kg. de los estudiantes del curso se distribuyen normalmente con media de

75 Kg. y varianza de 120 kg2 ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Al seleccionar un estudiante al azar su peso esté comprendido entre 77 y 80 Kg.

b) ¿A partir de qué peso queda por encima de si el 90 % de los pesos?

c) ¿Hasta que peso de los estudiantes están los que constituyen el 10 % inferior de

todos los pesos?

8. Se conoce que los pesos en Kg. de los estudiantes de Economía se distribuyen

normalmente con media igual a 72 kg y varianza de 58 kg2. Si se selecciona una muestra

aleatoria de 30 estudiantes de esta carrera

a) ¿cuál es la probabilidad de que esa media muestral sea superior a la media

poblacional?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 75 kg.

c) Que la media muestral esté comprendido entre 70 y77 kg

d) Que la media muestral esté entre 68 y 70 kg

e) ¿Cuál es el peso que deja por encima de si al 99 % de las medias muestrales?

9. De una población con media 12,2 y desviación típica de 4,1 se toma una muestra de 50:



a) ¿Cuál es el error típico?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral este entre 10 y 14?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 8?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 14?

10. Las estaturas de 3000 estudiantes varones de una universidad están normalmente

distribuidas con una media de 68 pulg. y desviación típica de 3 pulg si se toma 80

muestras de 25 estudiantes cada una, en cuantas esperaríamos encontrar una media

muestral de:

a) Entre 66,8 y 68,3 pulg

b) Menor que 66,4 pulg

11. La media de clientes en Madison es de 40,7 clientes diarios con una desviación típica de

12,9 clientes. Si se toma una muestra de 100 días:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº medio de clientes sea superior a 43?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número medio de clientes sea inferior a 45?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de clientes esté entre 30 y 50

clientes?

12. Suponer que las calificaciones del primer examen parcial de la asignatura de Cálculo 1

tiene una distribución normal, a este examen se presentaron 44 alumnos para rendirlo, la

media del examen es de 65 Pts. Y la desviación estándar de 10 Pts. Calcular el nº de

alumnos que

a) aprobaron el examen.

b) Reprobaron el examen

c) Sacaron nota mayor a 85

d) Sacaron nota entre 65 y 85

13. Por el problema de accidentes que ocurren en la carretera Santa Cruz – Montero, transito

ha decidido colocar una estación de control de velocidad 100 mt antes de la entrada al

aeropuerto Viru Viru, ella consiste en apuntar una pistola radar a la movilidad que pasa y

el instrumento determina la velocidad a la que viaja, si consideramos que la velocidad a

la que viajan las movilidades está normalmente distribuida con una media de 70 Km/h y

una varianza de 150 km2/hs2. Si sabemos que la máxima velocidad permitida es de 90



km/h, determinar:

a) La proporción de los vehículos infractores

b) Se ha determinado que por ese punto pasa un promedio de 1 vehículo cada 12

sg y la multa aplicada a cada infractor es de 100 bs ¿Cuál debe ser la

recaudación mínima del encargado del pto de control en 12 hs?

c) ¿Cuál es la recaudación si a aquellos que sobrepasen los 120 km/h se le recarga

el 30 % a la multa?

14. Según la revista Soler el 60 % de todos los directores de empresas están de acuerdo en

que los programas de ordenador se deben escribir de manera que puedan enlazarse con

redes locales. Si se toma una muestra aleatoria de 112

a) ¿Cuál es el error típico de la proporciones muestrales?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor a 5 %?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior a 70 %?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que esta proporción esté entre 40 y 80 %?

15. En una investigación realizada en 1993 se encontró que el 34 % de los ejecutivos

utilizaban aplicaciones basadas en Windows en su ordenador:

a) ¿Si se toma una muestra 50. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción

muestral sea superior a 30 %?

b) ¿Si se toma una muestra de 110 cual es la probabilidad de que la proporción

muestral sea a 40?

16. De una población de 1200 estudiantes de la universidad publica se ha seleccionado una

muestra de aleatoria de 200 estudiantes, a partir de investigaciones previas se ha

establecido que la proporción poblacional que está de acuerdo con ese candidato es 15

%.

a) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 20 %

b) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 18 %

c) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 12 y 17 %

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 18 y 22%?

Práctico nº 4. Estimación de parámetros poblacionales



1. Una muestra aleatoria de 100 lugares de una ciudad indica que el promedio de los

ingresos mensual es de 500 $us. Encuentre el intervalo de confianza de 95 % para una

media poblacional de los ingresos de todos los lugares de la ciudad, suponga

us$50

2. Las calificaciones de los estudiantes del curso se distribuyen normalmente con varianza

149 pto2 si se selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y se calcula una

media de las notas obteniéndose X = 65 pto

a) construya un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera nota media

poblacional.

b) Construya un intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95 % para la

verdadera nota media poblacional

c) Resolver el inciso anterior para un grado de confianza de 98 %

3. Un analista de investigación de mercado escoge una muestra aleatoria de 100 clientes

de un conjunto de 500 clientes de una gran tienda. Se encuentra que los clientes

gastaron un promedio de 2500 Bs cada vez, si con este valor de la muestra se estima

que el gasto promedio de la población finita varia de 2446 Bs a 2554 Bs ¿Qué nivel de

confianza se utilizó? Supóngase que la desviación estándar de la población es de 300

Bs.

4. Sean los pesos en Kg de 10 estudiantes de un curso los cuales constituyen la muestra

54666360645860656257

a) construya un intervalo de confianza al 90 % para el verdadero valor del peso

medio poblacional

b) ¿Cuál es el error de estimación?

c) Construya un intervalo de confianza para un nivel de significancia de 1 %

5. La media y la desviación Standard de los depósitos en una cooperativa de un grupo de

65 socios está dado por X =1350 Bs y = 85 Bs Construya un intervalo de confianza

para media con una confianza del 90 %.

6. De los 12000 estudiantes de la facultad de ciencias económicas se toma una muestra



aleatoria de 600 a los cuales se les preguntó si estaban de acuerdo con cierto candidato

a rector y respondieron afirmativamente 130.

a) Construya un intervalo de confianza del 95 % para la verdadera proporción

poblacional de los estudiantes que están de acuerdo con ese candidato.

b) Construya un intervalo de confianza para el verdadero valor de la proporción

poblacional a un nivel de confianza de 99 %

7. Un sondeo de 100 votantes elegidos al azar en un distrito indica que el 55 % de ellos

estaban a favor de un cierto candidato.

a) Hallar los límites de confianza a 95 % para la para la proporción de todos los

votantes a favor de ese candidato.

b) Hallar el intervalo de confianza para un índice de 99 %

8. Una empresa encuestadora utilizó una muestra aleatoria de 600 electores que acababan

de votar y encontró que 240 votaron por el candidato “A”.

a) Estimar entre que porcentajes de electores votaron por el candidato “A” en toda

la población, a un nivel de significancia del 5 %

b) Resolver el inciso anterior a un nivel de significancia de 2 %

c) Si la proporción de aceptación se estima en 40 % ¿Cuál es el máximo error de

estimación si se quiere tener un nivel de confianza de 98 %?

d) ¿Qué tan grande debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 94 %

de que el error de estimación sea como máximo del 2 %?

9. Una muestra al azar de 50 notas de matemáticas de entre un total de 200 revela una

media de 75 y una desviación típica de 10.

a) ¿Cuáles son los límites de confianza al 95 % para las determinaciones de media

de las 200 notas?

b) ¿Con que grado de confianza podemos decir que la media poblacional de notas

sea de 75 1?

10. Existe un sindicato de 100 afiliados, los cuales deben renovar su directorio, se desea

determinar el tamaño de la muestra para estimar la proporción que apoyará al candidato

“A” con un nivel de confianza del 90 %, para esto se hace una prueba piloto de 20



afiliados elegidos aleatoriamente y en ellos se encuentra que 8 apoyarán al candidato “A”

Determinar el tamaño de la muestra suponiendo un error global del 5 %

11. Se desea estimar el peso promedio de una población de cierta especie de pez marino en

el mes de Octubre y para ello de determina a partir de una prueba piloto que el peso

promedio muestral es de 10 Kg, Se conoce que la varianza poblacional en esta especie y

para este mes es de 40 Kg2 Determinar el tamaño de la muestra necesario para estimar

con un nivel de confianza del 95 % considerando que se puede cometer un error del 3 %

12. Cierto candidato por una agrupación ciudadana desea postularse como candidato a

diputado uninominal, para ello hace un sondeo y encuentra que la preferencia hacia su

candidatura es del 35 % en una determinada unidad vecinal que tiene 7500 habitantes

¿Cuál es el número mínimo de personas que deberá muestrear para tener una confianza

del 90 % y un error del 9 % de que pueda ser ganador. ¿Cuáles son los límites de

confianza?

13. Se desea estimar la verdadera proporción de trabajadores que están a favor de la nueva

legislación laboral. Se hizo un sondeo y se determinó que de 100 encuestados 30

estaban a favor y 70 estaban en contra, construya un intervalo de confianza para la

verdadera proporción poblacional a un nivel de confianza de 90 %. Determine el error de

estimación.

14. En un laboratorio de psicología los investigadores hicieron llegar por diferentes

conductos una sustancia tóxica al sistema nervioso central de varios animales

experimentales. La variable fundamental en este experimento era el tiempo en horas en

que existe entre la administración de la sustancia tóxica y la aparición de los síntomas.

Los datos obtenidos fueron los siguientes:

n X

S2

Conducto A 11 40 10

Conducto B 7 31 20.9

a) Construya un intervalo de confianza a un nivel de confianza al 90 % para la diferencia

entre las medias maestrales.

b) Resuelva el inciso anterior un nivel de confianza de 95 %



15. Se está investigando los rendimientos en dos grupos de estudiantes, y a partir de

muestras aleatorias de ellos se obtuvo la siguiente información:

n X

S2

Grupo I 8 89 36

Grupo II 7 78 48

a) Construya un intervalo de confianza para la verdadera diferencia de medias

poblacionales con un nivel de significancia de 10 %

b) Repita el inciso anterior a un nivel de significancia de 5 %

16. Una muestra de 200 baterías de radio de la marca A muestra una duración media de 140

hs y una desviación típica de 10 hs Y otra muestra de 120 baterías de radio de la marca B

tiene una duración promedio de 125 hs y una desviación típica de 18 hs. Construya un

intervalo de confianza para la verdadera diferencia de promedios de duración De ambas

marcas de baterías a) para 95.01 b) para 90.01



Laboratorio # 1 . Aplicaciones de EXCEL en estadística Inferencial

Objetivos:

1. Aplicar el EXCEL en el cálculo de probabilidades para distribuciones Binomial,

Hipergeométrica, Poisson y Normal.

2. Aplicar el EXCEL en la resolución de problemas en los que se utilicen distribuciones de

probabilidades.

Generalidades.

Una de las aplicaciones más importantes de EXCEL es la utilización de funciones, entre estas, se

destaca el conjunto de funciones estadísticas.

Las funciones se encuentran en EXCEL en la pantalla principal con el símbolo de fx , al hacer

clic en dicha ficha, se desplaza el cuadro de diálogos Insertar función, en la segunda ventana

“Insertar categoría” se hace clic en “Estadísticas” y en la ventana “seleccionar una función” se

busca la función que se desea utilizar.

“Distribución Binomial”

Para el cálculo de probabilidades para distribuciones que se comportan como una binomial, se

siguen los pasos que se mencionó en el párrafo anterior, y en el momento de “Seleccionar

función” se elige DISTR.BINOM, Luego aparecerá el cuadro de diálogos “Argumentos de

función”, En este cuadro de diálogos se necesita llenar cuatro ventanas que son: Núm_éxito,

Ensayos, Prob_éxito y Acumulado.

Núm_éxito Es la cantidad de éxitos que se desea encontrar

Ensayos Es el tamaño de la muestra o número de pruebas

Prob_éxito Es la probabilidad de éxitos que se tiene

Acumulado Es una ventana de valor lógico, con dos opciones, si colocamos “verdadero”

calculará pa probabilidad acumulada para los valores de x desde 0 hasta el valor Num_éxito. Si

colocamos el valor “Falso” Calculará la probabilidad para el valor dado Num_éxito solamente.

Ejemplo 1. Calcular la probabilidad en una distribución binomial con probabilidad de éxito de 60

% para un tamaño de muestra de n=6 para obtener:

a) x=2 éxitos solamente

b) x=2 ó menos



Solución.

Se hace “clic” en la ficha fx , en el cuadro de dialogo que aparece, en la ventana seleccionar una

categoría se busca la categoría “Estadísticas”, y se selecciona la función: DISTR.BINOM, En el

siguiente cuadro de diálogos que aparecerá se rellena las cuatro ventanas que aparecen. En

primer lugar vamos a resolver el inciso a) del problema, para lo cuál en la 1º ventana colocamos

2, en 2º ventana colocamos 6, en la 3º ventana colocamos 0,6 y en la 4º ventana colocamos de

valor lógico, como deseamos calcular la probabilidad para 2 éxitos solamente colocamos la

palabra “Falso” hacemos clic en Aceptar y aparece la respuesta, que en este caso es 0,13824.

Esto equivale a lo que en la calculadora es: 32

25 4,06,0C

Para resolver el inciso b) Se repite todo el proceso anterior, colocando en la 4º ventana el valor

lógico “Verdadero” porque se desea conocer el valor acumulado, y se obtiene la respuesta de

0,1792, el cual es el resultado del cálculo de probabilidad 2xP

Ejemplo 2. Se encuentran 5 amigos cierto día,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos hayan nacido un día martes?

Rta. 12,85 %

b) ¿Cuál es la probabilidad de que de una muestra de 8 amigos a lo sumo 4 hayan nacido

(un viernes o un sábado o un domingo)? Rta. 77,9 %

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 amigos por lo menos 6 no hayan

nacido (un viernes o un sábado o un domingo)? Rta. 56,01 %

d) ¿Cuál es la probabilidad de que de una muestra de 12 amigos entre 3 y 6 amigos hayan

nacido (o lunes o martes)? Rta. 67,17 %

Distribución Poisson.

Para la distribución de Poisson procedemos igual que para la distribución Binomial, en este caso

escogemos la POISSON aparecerá el cuadro de dialogo que tiene 3 ventanas de entrada que

son X, media y Acumulado. Siendo

X: El número de elementos que cumplirán la condición

Media: El promedio

Acumulado: Valor lógico, siendo “Falso” para un determinado resultado y “verdadero” para el

acumulado desde 0 hasta x.



Ejemplo 1. Supongamos que 2 y deseamos calcular

a) P(x) cuando x=0, x=1, x=2, x=3 y x=4

b) P(x) cuando x=3

Solución: Seguimos los pasos hasta llegar a la función POISSON,

a) En la ventana X colocamos el en número 4, en la ventana Promedio colocamos el

promedio que es 2, y en la ventana Acumulado colocamos el valor lógico “Verdadero”

porque lo que queremos es el acumulado desde X=0 hasta x=4 y la respuesta es:

94,73%

b) Procedemos como en el caso anterior, colocando en la ventana de X el valor 3, en la

ventana Promedio colocamos el promedio que es 2, y en la ventana Acumulado

colocamos el valor lógico “Falso” porque solo queremos obtener el valor POISSON para

el valor puntual de x=3. y la solución es: 18,04 %

Ejemplo 2. En un proceso de manufactura textil se tiene que el promedio de defectos es de 6 por

cada 30 mt de tela. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos 2 fallas o defectos

a) En una pieza de 30 mts.

b) En una pieza de 10 mts.

Solución: a) 98,27 % b) 59,4 %

Ejemplo 3. Supongamos que, en promedio, una de cada 2000 casas, en cierta zona de

Buenos Aires se incendia durante el año. Si hay 6000 casa en dicha zona ¿Cuál es la

probabilidad de que :

a) Más de 3 casas se incendien durante el año.

b) Exactamente 2 se incendien durante el año

Distribución Hipergeométrica

Para la distribución hipergeométrica procedemos igual que en el caso anterior escogiendo la

función DISTR_HIPERGEOM , en la ventana Muestra _ éxito colocamos el número de éxitos

en la muestra que deseamos encontrar, es decir x, en la ventana Núm_de_muestra

colocamos el tamaño de la muestra es decir n, en la ventana Población_éxito colocamos el

número de éxitos en la población o sea m, y en la ventana Num_de_población colocamos el

tamaño de la población o sea N. Seguidamente hacemos clic en “Aceptar” y se desplegará el

resultado, esta función no genera el resultado acumulado.



Ejemplo 1. De 24 estudiantes que rindieron el examen parcial, 10 reprobaron el examen:

a) Si se selecciona una muestra aleatoria de 6 estudiantes, uno por uno y sin reemplazo,

cuál es la probabilidad de que 4 de ellos hayan reprobado el examen. (Rta. 14,19 %)

b) Si se selecciona una muestra aleatoria de 6 estudiantes, cual es la probabilidad de que

por lo menos 5 hayan reprobado el examen. (Rta. 2,77 %)

c) Si se selecciona igualmente una muestra aleatoria de 7 estudiantes, cual es la

probabilidad de que menos de 3 hayan aprobado el examen.

Distribución Normal.

Para calcular el area bajo la curva de la normal Standard, EXCEL calcula el acumulada desde la

izquierda hasta el valor de z correspondiente al valor de x, luego de aplicar la expresión:

xz , para entenderlo mejor veremos un ejemplo en el que 8,64x 3,62 y

4,2 ; reemplazando en la formula el valor de z será 1,041667 con este dato redondeado a

1,04 yendo a la tabla del apéndice II de Schawn encontramos que el area bajo la curva desde

0z , hasta 04,1z es 0,3508. Este procedimiento utilizando EXCEL se procede de la

siguiente manera: Se despliega la función DISTR_NORM y aparecerá un cuadro de diálogos que

tiene 4 ventanas, en la ventana X se coloca el valor de la variable, en la ventana Media se

coloca el valor de la media poblacional , en la ventana Desv_Estandard se coloca el valor de

, en la ventana acum. Se coloca el valor verdadero, luego clic en Aceptar y se desplegará el

area bajo la curva, desde la izquierda hasta el valor de



Apendice II Áreas bolo

la curva normWi

estándar ,

c b s d e F

z 0 1 ` 2 3- 4 5 6 7 8 9

0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199. .0239 .0279 .0319 .

0

3

5

9

0.1

0.2

.0398

.0793 .0438

.0832

.0478

.0871

.0517

.0910

.055/

.0948

.0598,

.0987

A636

.1026

.0675

.1064

.0714

.1103

.

0

7

5

4

.

1

1

4

1

0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .

1

5

1

7

0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .

1

8

7

9

0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .

2

2

2

4

0.6 .2258 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .

2

5

4

9

0.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .

2

8

5

2

0.8 .2881 .2910 .g939 .2967 .2996 .3023 .3051 .3078 .3106 .

3

1

3

3

0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .

3

3

8

9

1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .

3

6

2

1

1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .

3

8

3

0

1.2

1.3

.3849

.4032 .3869

.4049

. 3 8 ,

.400

.3907

.4082

.3925

.4099

.3944

.4115

.3962

.4131

.3980

.4147

.3997

.4162

.

4

0

1

5

.

4

1

7

7

1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4A1 .4265 .4279 .4292 .4306 .

4

3

1

9

1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4406 .4418 .4429 .

4

4

4

1

1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .

4

5

4

5

1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .

4

6

3

3

1.8 .4641 .4649 .4.656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .

4

7

0

6

1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .

4

7

6

7

2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 _ .4.793 .4798 .4803 .4808 .4812 .

4

8

1

7

2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 '' .4-838 .4842 14846 .4850 .4854 .

4

8

5

7

2.2

2.3

.4861

.4893 .4864

.4896

.488a,

.4898

.4871

.4901

..,.4875

".4904

.4878

.4906

.4881

.4909

.4884

.4911

.4887

.4913

.

4

8

9

0

.

4

9

1

6

2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .

4

9

3

6

2.5 .4938 ' .494C. .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .

4

9

5

2

2.6 .4953 .4155 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .

4

9

6

4

2.7 .4965 .4966 - .4937 .4968 .4939 .4970 .4971 .4972 .4973 .

4

9

7

4

2.8 .4974 .4975 .7.41:76 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .

4

9

8

1

2.9 .4981 .4982 .4982 _4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 4

9

8

6

3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 ' .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .

4

9

9

0

3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .

4

9

9

3

3.2 .4993 .4993 .4994 :.4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .

4

9

9

5



3.3 .4995 .4995 .4995 , .4996 .4996 .49N .4996 .4996 .4996 .

4

9

9

7

3.4 .4997 .4997 ,4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .

4

9

9

8

3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .

4

9

9

8

3.6 .4998 ' .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 '

.

4

9

9

9

3.7 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .

4

9

9

9

3.8 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999- .4999 .4999 .4999 .4999 .

4

9

9

9

3.9 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .

5

0

0

0



Apéndice II I

Valores percentiles (tn)

pars la distr ibución t de Student, con v grados de liber tad (área sombreada = p )

V 1.995 (49 1.975 t.ns 1,90 1.110 1.75 t .70 •

(.55

1 63.66 31.82 12.71 6.31 3.08 1.376 1.000 .727 .325 .158 2 9.92 6.96 4.30 2.92 1.89 1.061 .816 .617 .289 .142

3 5.84 4.54 3.18 2.35 1.64 .978 .765 .584 .277 .137 4 4.60 3.75 2.78 2.13 1.53 .941 .741 .569 .271 .134

5 4.03 3.36 2.57 2.02 1.48 .920 .727 .559 .267 .132 6 3.71 3.14 2.45 1.94 1.44 .906 .718 .553 .265 .131

7 3.50 3.00 2.36 1.90 1.42 .896 .711 .549 .263 .130

8 3.36 2.90 2.31 1.86 1.40 . .889 .706 .546 .262 .130

9 3.25 2.82 2.26 1.83 1.38 .883 .703 .543 .261 .129

10 3.17 2.76 2.23 1.81 1.37 • .879 .700 .542 .260 .129

11 3.11 2.72 2.20 1.80 1.36 .876 .697 .540 .260 .129

12 3.06 2.68 2.18 1.78 1.36 .873 .695 .539 .259 .128

13 3.01 2.65 2.16 1.77 1.35 .870 .694 .538 .259 .128 14 2.98 2.62 2.14 1.76 1.34 .868 .692 .537 .258 .128

15 2.95 2.60 2.13 1.75 1.34 .866 .691 .536 .258 .128

16 2.92 2.58 2.12 1.75 1.34 .865 .690 .535 .258 .128

17 2.90 2.57 2.11 1.74 1.33 .863 .689 .534 .257 .128

18 2.88 2.55 2.10 1.73 1.33 .862 .688 .534 .257 .127

19 2.86 2.54 2.09 1.73 1.33 .861 .688 .533 .257 .127

20 2.84 2.53 2.09 1.72 1.32 .860 .687 .533 .257 .127

21 2.83 2.52 2.08 1.72 1.32 .359 .686 .532 .257 .127

22 2.82 2.51 2.07 1.72 1.32 .858 .686 .532 .256 .127

23 2.81 - 2.50 ' 2.07

1.71 1.32 .858 .685 .532 .256 .127

24 2.80 2.49 2.06 1.71 1.32 .857 .685 .531 .256 .127

25 2.79 2.48 2.06 1.71 1.32 .856 .684 .531 .256 .127

26 2.78 2.48 2.06 1.71 1.32 .856 .634 .531 .256 .127

27 2.77 2.47 2.05 1.70 1.31 .855 .684 .531 .256 .127

28 2.76 2.47 2.05 1.70 1.31 .855 .683 .530 .256 .127

29 2.76 2.46 2.04 1.70. 1.31 .854 .683 .530 .256 .127

30 2.75 2.46 2.04 1.70 ' 1.31 .854 .683 '.5N0 .258 .127

40 2.70 2.42 2.02 1.68 1.30 .851 .681 .529 .255 .126



60 •

2.66

2.39 2.00 1.67 1.30 .848 .679 .527 .254 .126

120 2.62 2.36 1.90 1.66 1.29 .845 .677 .526 .254 .126

oo 2.58 2.33 1.96 1.645 1.28 .842 .674 .524 .253 .126

Fuente: R. A. Fisher y F. Yates, Statistical Tables for Biological. Agricultural and Medical Research (5n. edici6n),

tabla Oliver y Boyd Ltd., Edinburgh, bajo permiso de los autores y los editores.



Apéndice IV

Valores percentiles (4) para la distribution

chi cuadrada, con v grados de libertad

(area sombreada = p)

V _2

X 995 _2 X.99

2 X.975

2 X 95

_2 A.90

_2 X.75

_2 A.50

_2 A.25

2 X.10

2

N.05

2 X.025

2 X.01

1

X.005

1 7.88 6.63 5.02 3.84 2.71 1.32 .455 .102 .0158 .0039 .0010 .0002 .0000

2 10.6 9.21 7.38 5.99 4.61 2.77 1.39 .575 .211 .103 .0506 .0201 .0100

3 12.8 11.3 9.35 7.81 6.25 4.11 2.37 1.21 .584 .352 .216 .115 .072

4 14.9 13.3 11.1 9.49 7.78 5.39 3.36 1.92 1.06 .711 .484 .297 .207

5 16.7 15.1 12.8 11.1 9.24 6.63 4.35 2.67 1.61 1.15 .831 .554 .412

6 18.5 16.8 14.4 12.6 10.6 7.84 5.35 3.45 2.20 1.64 1.24 .872 .676

7 20.3 18.5 16.0 14.1 12.0 9.04 6.35 4 .25 2 .83 2 .17 1 .69 1 .24 . 989

8 22.0 20.1 17.5 15.5 13.4 10.2 7.34 5.07 3.49 2.73 2.18 1.65 1.34

9 23.6 21.7 19.0 16.9 14.7 11.4 8.34 5.90 4.17 3.33 2.70 2.09 1.73

10 25.2 23.2 20.5 18.3 16.0 12.5 9.34 6.74 4.87 3.94 3.25 2.56 2.16

11 26.8 24.7 21.9 19.7 17.3 13.7 10.3 7.58 5.58 4.57 3.82 3.05 2.60

12 28.3 26.2 23.3 21.0 18.5 14.8 11.3 8.44 6.30 5.23 4.40 3.57 3.07

13 29.8 27.7 24.7 22.4 19.8 16.0 12.3 9.30 7.04 5.89 5.01 4.11 3.57

14 31.3 29.1 26.1 23.7 21.1 17.1 13.3 10.2 7.79 6.57 5.63 4.66 4.07

15 32.8 30.6 27.5 25.0 22.3 18.2 14.3 11.0 8.55 7.26 6.26 5.23 4.60

16 34.3 32.0 28.8 26.3 23.5 19.4 15.3 11.9 9.31 7.96 6.91 5.81 5.14

17 35.7 33.4 30.2 27.6 24.8 20.5 16.3 12.8 10.1 8.67 7.56 6.41 5.70

18 37.2 34.8 31.5 28.9 26.0 21.6 17.3 13.7 10.9 9.39 8.23 7.01 6.26

19 38.6 36.2 32.9 30.1 27.2 22.7 18.3 14.6 11.7 10.1 8.91 7.63 6.84

20 40.0 37.6 34.2 31.4 28.4 23.8 19.3 15.5 12.4 10.9 9.59 8.26 7.43

21 41.4 38.9 35.5 32.7 29.6 24.9 20.3 16.3 13.2 11.6 10.3 8.90 8.03

22 42.8 40.3 36.8 33.9 30.8 26.0 21.3 17.2 14.0 12.3 11.0 9.54 8.64

23 44.2 41.6 38.1 35.2 32.0 27.1 22.3 18.1 14.8 13.1 11.7 10.2 9.26

24 45.6 43.0 39.4 36.4 33.2 28.2 23.3 19.0 15.7 13.8 12.4 10.9 9.89

1 •

25 46.9 44.3 40.6 37.7 34.4 29.3 24.3 19.9 16.5 14.6 13.1 11.5 10.5 26 48.31 45.6 41.9 38.9 35.6 30.4 25.3 20.8 17.3 15.4 13.8 12.2 11.2

27 49.6 47.0 43.2 40.1 36.7 31.5 26.3 21.7 18.1 16.2 14.6 12.9 11.8

28 51.0 48.3 44.5 41.3 37.9 32.6 27.3 22.7 18.9 16.9 15.3 13.6 12.5

29 52.3 49.6 45.7 42.6 39.1 33.7 28.3 23.6 19.8 17.7 16.0 14.3 13.1

30 53.7 50.9 47.0 43.8 40.3 34.8 29.3 24 .5 20.6 18.5 16.8 15.0 13.8

40 66.8 63.7. 59.3 55.8 51.8 46 . 6 . 39.3 33.7 29.1 26.5 24.4 22.2 20.7



50 79.5 76.2 71.4 67.5 63.2 56.3 49.3 42.9 37.7 34.8 32.4 29.7 28.0

60 92.0 88.4 83.3 79.1 74.4 67.0 ' 59.3 52.3 46.5 432 40.5 37.5 35.5

70 104.2 100.4 95.0 90.5 85.5 77.6 69.3 61.7 55.3 51.7 48.8 45.4 43.3

80 116.3 112.3 106.6 101.9 96.6 88.1 79.3 71.1 64.3 60.4 57.2 53.5 51.2

90 128.3 12411 118.1 113.1 107.6 . 98.6 89.3 80.6 73.3 69.1 65.6 61.8 59.2 100 140.2 135.8 129.6 124.3 118.5 109.1 99.3 90.1 82.4 77.9 74.2 70.1 67.3

fruente: Catherine M. Thompson, Table of percentage points of the x

2 distribution, Biometrika, Vol. 32 (1941), bajo

permiso del autor y el

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