Teora y ejercicios Luis Zegarra Agramont

GEOMETRA VECTORIAL

En diversos cursos de la formacin de un ingeniero, son importantes los vectores ysu representacin desde el punto de vista geomtrico y algebraico, los conceptosque ellos involucran dejan una visin clara del fnomeno que se quiere estudiar, espor esto que en sta formacin bsica son fundamentales y no se pueden omitir.

Los vectores representarn cantidades que tienen magnitud, direccin y sentido.Es costumbre representar un vector por un segmento rectilineo que tiene un puntoinicial y un punto final , en este ltimo punto va una punta de flecha la queE Findica el sentido del vector, a la longitud de dicho segmento se suele definir comola norma o magnitud del vector y se denotar por || || as entoncesEF t

A

Bur

? EFt t

Note que || || 0 para todo vector ? ?t t

En forma ms precisa diremos que la direccin de un vector da la pendiente oinclinacin de la recta portadora y el sentido de un vector indica en qu forma actaa lo largo de dicha recta.

Igualdad

Se define la igualdad si y solo si || || || || y tambin la igualdad en la+ , + ,t tt tdireccin y sentido.

Suma

La suma de vectores se define mediante la ley del paralelogramo como se indica enla figura.

A

ar

br

O

B

barr +

Propiedades:

1) + , , +t tt t

# + , - + , -t t t tt t

3) + ! +t tt

4) + + !t t t

Donde el vector se llama o neutro de la suma, su magnitud es 0 y se! @/->9< 8?69trepresenta por un punto y el vector es el de , que es un + @/->9< 9:?/=>9 +t tvector paralelo, de la misma longitud pero de sentido contrario.

La diferencia se puede definir como la suma de dos vectores es decir+ ,t t+ ,t t

A

ar

br

O

B

barr

Ponderacin

Dado el vector y el nmero real se define el vector como el vector con+ 5 5+t tla misma direccin de pero de longitud Si es un nmero positivo, el+ ll5+ll 5t tsentido de es el mismo que el de y si es un nmero negativo, es de5+ + 5 5+t t tsentido contrario al de Al real se acostumbra a llamar + 5 /=-+6+k

10

Ejemplo 1 Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se dimidian

A B

CD

E

ar

br

Demostracin.

De la figura se tiene EI IH EH 5+ , :, + ,t t t t tt t t

de donde como y son dos vectores no5 : + 5 : " , ! + ,t tt tt

paralelos entonces

y de donde se obtiene 5 : ! 5 : " ! 5 : "# por tanto, las diagonales se bisecan mutuamente.

Los vectores atendiendo a las aplicaciones fsicas se pueden clasificar en:

1. Vectores libres.

2. Vectores deslizantes.

3. Vectores fijos.

Un vector libre no tiene posicin fija en un sistema (plano o espacio). Tal cantidadse puede representar por un nmero infinito de vectores que tienen la mismamagnitud, direccin y sentido.Un vector deslizante tiene una y slo una recta en el sistema a lo largo de la culacta. Puede representarse por cualquier vector que tenga la misma magnitud,direccin y sentido, contenido en esta recta.Un vector fijo tiene un punto de aplicacin y solo uno y por tanto su representacines nica.Con respecto a los vectores fijos es costumbre implantar un punto O, quecomunmente se suele llamar origen, con respecto del cul se fijan todos los vectoresinmersos en un sistema, este sistema se llama sistema de referencia, ms adelanteimplantaremos los referenciales y . # $

En un sistema cualquiera sea O el origen y el vector que lo representa es el vector

!t

Un vector cualquiera fijo en este sistema y con respecto al origen O, lo fijaremos

mediante el llamado , es decir @/->9< ./ :9=3-398 SE +t t

ar

O

A

U

R

ur

rr

Relacin fundamental.

Notemos que con la sustentacin de la diferencia de vectores se tiene la relacinfundamental

EF SF SE , +t t t t t

ar

O

A

B

br

abrr

Divisin de un segmento.

Vector de posicin de un punto que divide a un segmento en una raznT EFdada .-Sean y dos puntos dados sobre una recta y sus vectores de posicinE F + ,t t

con . Un punto divide al segmento en la razn si y solo si+ , T EFt t -

ET TF : + , : : t t t t t tt + ,tt

" - ---

ar

O

A

B

br

P

pr

hora si de donde se infiere que divide al trazo - : T EF7 8+ 7,8 8 7tt t

en la razn .78

Si o bien se obtiene el vector de posicin del punto medio del7 8 "-

segmento que es EF : t + ,tt

#

Variacin de , en forma esquemtica se puede expresar-

" ! ! _ _ "- - -l l E F

Si el punto est en en o en un punto al- - - ! _ " T E F

infinito de esa recta.

Consecuencias:

1) Tres puntos distintos y son colineales si y solo si existen tresEF G escalares distintos de cero, tales que con : ; < :+ ;, !t tt t t

Dependencia lineal y bases

1. Se dice que el vector es combinacin lineal de los vectores ? + + +t t t t" # 8 solo si existen escalares tales quesi y B3

? B + B + B +t t t t" " # # 8 8

2. Se dice que los vectores son linealmente independientes si y solo+ + +t t t" # 8 si

B + B + B + ! B B B !t t t t" " # # 8 8 " # 8

en caso contrario se dirn linealmente dependientes.

3. Se dice que los vectores + + +t t t" # 8 forman una base si y solo si, son son linealmente independientes y tienen la capacidad de generar todos los del sistema.Consecuencias:

1) En el plano dos vectores y no nulos y no colineales son linealmente+ ,t t

independientes y generan todos los vectores de dicho plano, entonces + ,t t

es una base.

2) En el espacio tres vectores no nulos y no coplanares son linealmente+ , -t tt

independientes y generan todos los vectores de dicho espacio, entonces + , -t tt

es una base.

Ejemplo 2

Demostrar vectorialmente EF llGH SE SFEG FH

O A

B

C

D

ar

br

Demostracin.

Sea una base, entonces si + ,t t por otraEF llGH EF 7GH 7 !t t

parte asSG B+ SH C , GH SH SG C , B+t tt tt t tt t

comoEF , + 7C , B+ " 7B+ 7C ", !t t t tt t t

de donde + , " 7B ! t t es una base 7C " ! B C "7 As, SG SH SGSE SHSF EG FH SE SFSE SF SE SF SE SF EG FH

SE SF EG FH SEEG SFFH SG SHEG FH SE SF SE SF SE SF 5 de donde

SG 5 + SH 5 ,t t

por otra parte

EF , + GH SHSG 5, 5+ 5, + 5EFt t t tt t tt t tt

por tanto .EF llGH

Ejemplo 3.

Demostrar que la recta que une el punto de interseccin de los lados de un trapeciocon el punto de interseccin de sus diagonales, dimidia las bases.

A B

CD

P

N

Q

M

Demostracin.

HGllEF HG EF , + - + . , t t t t tt t t- - - - - . t t a b este es un vector de posicin del punto de intersccin - + . ,t t" "

t t- -- -

de las diagonales y es decir EG HF ; "t - + . ,t t" " t t- -

- - a b analogamente de se tiene que a b a b : #t - , . +t tt t" " - -- -

De y se tiene a b a b" # " ; t- - + " : . +t t t tt- - - sumando miembro a miembro de donde" ; t- " : - .t t t-

este es el vector de posicin de un punto" ; t- " : - .t t" " #

t-- -

entre y que no es otro que el punto y como es puntoTU GH Q 7 t - .tt

# medio de GH

Analogamente se obtiene + , " ; " :t t tt# # 8t

- --

Igualdades que nos indican que y son colineales con y y ademsQ R T U que dimidian a y respectivamente.GH EF

Ejercicios Resueltos

" Demuestre que en todo paralelgramo, el segmento que une un vrtice con el puntomedio del lado opuesto, triseca una diagonal y es trisectado por ella.

A BM

CD

Solucin.

punto medio de Q EF 7 + , , #7 + "t t t tt t"# a bPor ser un paralelgramo EH t FG . + - , "t t tt t por a b. + - t t t #7 + . #7 - #+ t t t t tt . #7 - #+

t t t t$ $ de donde

se tiene que y como se pretenda.ET " QT "TG # TH #

2. Sea el punto medio de la transversal de gravedad del tringulo LaH EI EFGrecta corta a en el punto Determine vectorialmente la razn en queFH EG JJ EGdivide

Solucin.

A B

C

E

DF1

1

11

1

Sea el origen el vertice base, luego se tiene:E , -t t

y , tambin . / . 0 "t t/ , - , - -t t t t# # % " tt t t

- a b Como y son colineales, entonces:JH F

0 . " , t t t! ! !

As: 0 . " , " , " , - #t t t t t, - $ "t t% % % t! ! ! ! ! ! a b

Como es una base de y se deduce que:, - " #t t a b a b y " ! #$ " "% % "! ! -- Luego divide a en la razn J EG " #

3. Si es un tringulo cualquiera los puntos medios de sus lados, EFG PQR EFFG GE EPQRy respectivamente, demostrar que es un paralelgramo.

Demostracin.

AB

C

L

MN

Sea O un origen cualquiera, por demostrar que

y EP RQ ER PQt t t t

como son los puntos medios de los lados y entoncesPQR EF FG GE

6 7 8 t + , , - - +t t t tt t

# # #t t

De inmediato

EP 6 + + t t t t+ , , + , - - +t t t t tt t t

# # # # RQt

analogamente para .ER PQt t

4. Se da en un tringulo la transversal de gravedad . Por se traza unaEFG EH Frecta que pasa por el punto medio de sobre Demostrar que:FIJ I EH J EG a b$EJ EG

AB

C

EDF

Demostracin.

Se tiene que y de donde obtenemos. / t , - + .t tt t# #t

y entonces #. , - . #/ + ##/ + , -t t t tt t t t t t

de aqu 4 esta igualdad implica que 4/ , #+ - 0t t tt / , #+ -t t t

t$ $

t

#EJ JG #EJ EJ EJ JG EG $EJ EGt t t t tt t t t

Compare esta forma de solucin con la solucin dada en el problema 2.

5. Demostrar que si en un tringulo las transversales y sonEFG GHEI FJconcurrentes en se tiene:T

HE IF JGHF IG JE "

A B

C

D

F EP

Demostracin. Sean:

HE IF JGHF IG JE : ; ? - + EG #t t t t t t# # #XYGE a b por otra parte

< ; , < , ; " , " -t t t t tt t t- - = > - = - > " - " ,t t t t tt t t# # de aqu

VW < = # - # , # - ,t t t t tt t- # - # - #

VW # FG # $t t VWFG- # - # a b finalmente de y se siguea b a b a b" # $

TU VW XYEF FG GE # #- # - #

16. En un plano se dan los tringulos y si son los puntosEFG PQR T UVmedios de los trazos y demostrar que los centros de gravedad deEP FQ GRlos tringulos y son colineales.EFG PQR TUV

AB

C

P

L

M

NQ

R

Demostracin. Sean los centros de gravedad de los tringulos yK K K EFG PQR" # $

respectivamente, entonces:TUV

1 1 1 t t t+ , - 6 7 8 : ;

colineales WGR = - " 8 #t t t" " a b colineales WFQ = , " 7 $t tt# # a b

De y se deduce a b a b a b" # < %- + " 6 " 8t t t " " t t# ! ! ## ! ! # De y se deduce a b a b a b# $ ; &, - " 8 " 7t t t t " " t" # # "" # # " De y se deduce a b a b a b" $ : '+ , " 7 " 6t tt t " " t! " " !! " " !

De y respectivamente se obtienen:a b a b a b% & ' # ! # ! " # " # ! " ! "- +

analogamente: 7 + < ,8 - = +

entonces tenemos: y tambin. t B , C - , , - -t tt tB C " , -

, -t t , -t t "

BCBC

,-,-

y / 0 t + + - - ++ , ,t t t+ - + ,t t

de estas expresiones establecemos

, - . , , - - ++ , - . ++ , , - -t t t tt t t t

++ , - . ++ , , - -t t tt t+ , - + , -

en forma similar obtenemos

,, + - / ++ , , - - -- + , 0 ++ , , - -t t tt t t t t t+ , - + , - + , - + , -

t

por tanto conclumos

++ , - . ,, + - / -- + , 0 ++ , , - -t t t t tt t t+ , - + , - + , - + , - 3

tt

19. Sea el punto de contacto de la circunferencia inscrita a un tringulo H EFG con el lado Demostrar que el punto medio de el incentro y elEF Q EF M punto medio de son colineales.R GH

A B

C

MD

NIc

ab

Demostracin. Sea el origen un punto arbitrario, entonces se tiene:S

7 3 ++ , , - - W + , -t t t+ , " "tt

# #W #t t

tambin EH W + EH EF , +EH W + W + W +EF - - -t t t t

de aqu . , +t tW + - + W- - t

luego 8 . - + , t t t" - + W W + -# #- #- #t tt

t

Vamos a demostrar que y son ponderados uno del otro, es decirQM QRt t

QM 3 7 + , -t t t t t+ = , = -#W #W #Wt

QR 87 + , - t t t t tW + = , = -- #W #W #Wt

Por tanto son colineales.QR QM Q MRt tW-

20. Dado un tringulo se triseca el lado obtenindose los puntos y SEF EF R QPor se traza una paralela a que es cortada en e por las rectas F SE \ ] SQy respectivamente (Eligiendo como origen)SR Sa) Determinar los vectores de posicin e en trminos de los de y \ ] E Fb) Determinar en que razn divide a a y al trazo \ F] Q S\ R S]

X

OA

B Y

M

N

Solucin.

a) Por hiptesis se tiene: 8 7 t t, #+ + #,t tt t$ $

ahora:

S] SR 8 C , + "t t t t t$ $t #- - - - a b

S\ SQ 7 B + , #t t t t t$ $# t" " " " a b

Por otra parte:

S] SESF C + , $t tt t t t! ! a b S\ SESF B + , %t tt t t t# # a b De y a b a b" $ #$ $ + " , ! + ,t tt tt- -! y como son L.I.

! " ! # #$ $- -! ! - $

De y a b a b# % " "# " #$ $ # # + " , ! t # $ "t t As entonces resultan:

C , # + B + ,t t t tt t"#

b) De B + , , B + F\ SE t t t t" " " F\ "# # # SE #t t t t

tambin por tanto C B + \] SE t t t$ $ \] $ F\ "# # SE # \] $t t

Ahora S\ SQ SQ Q\ SQ Q\ "SQ t t t t t t t" " "

SQ " #Q\ " " "

Finalmente S] SR SR R] SR t t t t t SRR]- -" " " #-

Ejercicios propuestos

1. Los vectores y forman lados consecutivos de un hexgono regular, el extremo+ ,t tde +t , + ,t ttcoincide con el origen de En trminos de y hallar los vectores queforman los otros cuatro lados.

2. Demostrar que en todo tringulo, el trazo que une los puntos medios de dos ladoses paralelo al tercero e igual a su mitad.

3. En un tringulo los puntos y son los puntos medios de los lados.EFG PQ RUna recta cualquiera por corta a en y a en Demostrar queG QR T PQ UET FUes paralela a

4. Demostrar que el baricentro de un tringulo, es tambin el baricentro del tringulocuyos vrtices son puntos que dividen a los lados de aquel en una misma razn.

5. Demuestre que en todo tringulo, las alturas concurren en un punto.

6. Si son los vectores de posicin de determinar de modo que+ , EF Gt tEG $EF H FH #FEt t t ty determinar de modo que

7. Si son puntos fijos y un punto variable de modo que la fuerzaEFG Tresultante de y pasa por hallar el lugar geomtrico de TE TF G T t t

8. Demostrar que si son los puntos medios de los lados de un tringuloHI JEFG Sentonces cualquiera sea el origen se verifica

+ , - . / 0t t tt t t

9. Se dibujan vectores desde el centro de un pentgono regular a sus vrtices.Demostrar que su suma es cero.

10. Demostrar que las diagonales de un paraleleppedo de lados se bisecan ,+ , -t ttmutuamente.

11. Dado un tringulo , se toman los puntos y en los lados y ,EFG H I FG GErespectivamente. Demostrar que los segmentos y no pueden dimidiarseEH FImutuamente.

12. Demostrar que si en un paralelgramo es un punto del lado unEFGH T EF Upunto en el lado y adems y se cortan en y se cortanGH EU HT P UF GTen y y se cortan en , entonces los puntos y sonQ EG FH R PQ Rcolineales.

13. En un tringulo , las trasversales de gravedad y se cortanEFG EE FF GGw w wen Se toma el punto medio de y el punto medio de DemostrarK H KE I KFque es un paralelgramo.HIE Fw w

14. Dado un cuadriltero se traza por una paralela al lado EFGH F FJ GH Jsobre y por una paralela al lado sobre Demostrar queEG G GK EFK FHJK EHes paralela a

15. Demostrar que las alturas de un tringulo de ngulos , , concurren a unEFG ! " #punto ortocentro) cuyo vector de posicin es

>1 + >1 , >1 -t tt>1 >1 >1! " #! " #

16. Demostrar que las simetrales de un tringulo de ngulos , , EFG ! " #concurren a un punto(circuncentro) cuyo vector de posicin es

=/8 # + =/8 # , =/8 # -t tt=/8 # =/8 # =/8 #

! " #! " #

" S L EFG7 a) Si es el circuncentro y el ortocentro de un tringulo demostrarque: y que: SESF SG SL LELF LG #LSt tt t tt t t

b) Demostrar que si es dimetro de la circunferencia circunscrita al tringuloEHEFG EL LF LG EHt t ttentonces:

18. Por los vrtices y de un tringulo se trazan rectas que cortan a losE F G EFGlados opuestos en y respectivamente. Si son concurrentes,T U V ET FUGVentonces

FT GU EVTG UE VF "

19. En un cuadriltero el punto en que las diagonales y seEFGH U EG FHintersecan, divide a estos segmentos en las razones y respectivamente. En% #$ $que razn divide el punto en el que se intersecan los lados y a estosT EF GHsegmentos.

20. Dado un ngulo se toma sobre y se traza por una paralela a\S] J S] JS\ I S F IJque corta en a una recta que pasa por Sea el punto medio de Por se traza una recta que corta en y respectivamente, a yF EG H S\SIS] Demostrar que:

EG EHGF HF