Upload
vuongtu
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Va l e r i a Pe t r i n i , Ph .D. S tuden t DE IS /ARCES - Fondaz i one Ugo Bo rdon i
va l e r i a . pe t r i n i@un ibo . i t
Teoria geometrica della propagazione
Valeria Petrini - Propagazione M
1
Università degli Studi di Bologna - DEIS
Introduzione (1)
Una corretta caratterizzazione dei collegamenti radio non può prescindere dallo studio di alcuni fenomeni che possono influenzare la propagazione in spazio libero:
Presenza di ostacoli che si frappongono tra le antenne provocando una ostruzione alla libera propagazione del fronte d’onda
Ellissoide terrestre che è l’ostacolo più evidente sul quale poggiano le antenne. Le presenza del suolo genera una discontinuità tra dielettrici
Atmosfera terrestre che può portare significative differenze dalla propagazione ideale, provocando un aumento di attenuazione soprattutto ad alte frequenze ma anche effetti di deviazione della direzione di propagazione
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
2
Introduzione (2)
Le onde elettromagnetiche, una volta irradiate dall’antenna trasmittente possono raggiungere l’antenna ricevente in quattro modi: 1. Onda diretta
2. Onda terrestre (superficiale)
3. Onda spaziale
4. Onda di cielo
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
3
Introduzione (3)
Onda diretta: si ha quando trasmettitore e ricevitore si trovano in visibilità radio.
Onda terrestre: si ha quando trasmettitore e ricevitore si trovano vicino al suolo. Questo tipo di onde si propaga al suolo seguendo la curvatura della superficie terrestre.
Onda spaziale: interessa, per comunicazioni tra corrispondenti terrestri, esclusivamente gli strati più bassi dell’atmosfera (troposfera).
Onda di cielo: si genera quando l’indice di rifrazione variabile della ionosfera produce il ritorno verso terra di un segnale lanciato verso lo spazio.
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
4
Guglielmo Marconi
È conosciuto per aver sviluppato un sistema di telegrafia senza fili via onde radio che ottenne una notevole diffusione: evoluzioni della trasmissioni senza fili portarono allo sviluppo dei moderni metodi di comunicazione come la TV, la radio il telefoni cellulari i telecomandi e tutti i sistemi che utilizzano le comunicazioni senza fili.
Il 12 dicembre 1901 ci fu la comunicazione che costituì il primo segnale radio transoceanico. Per raggiungere l’antenna ricevente in Canada avrebbe dovuto rimbalzare due volte sulla ionosfera.
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
5
Introduzione (4)
L’atmosfera terrestre è una miscela di diversi gas atmosferici che può essere descritta come mezzo dielettrico non omogeneo ad indice di rifrazione variabile
Lo studio della propagazione in mezzi ad indice di rifrazione variabile (n(h)) è molto complesso se condotto in modo esatto a partire dalle equazioni di Maxwell
Risulta allora opportuno lo sviluppo di tecniche alternative, tra le quali l’ottica geometrica è una delle più potenti
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
6
Teoria ondulatoria e Teoria geometrica
Evoluzione pensiero scientifico: 1. Teoria geometrica
2. Teoria ondulatoria
3. Teoria vettoriale
TEORIA GEOMETRICA Approccio che da’ alla radiazione elettromagnetica le stesse proprietà dei
corpuscoli. La natura della luce ci permette quindi di analizzare alcuni fenomeni tramite i raggi luminosi (segmenti di retta aventi la direzione del fronte d’onda)
TEORIA ONDULATORIA Il campo elettromagnetico è descritto dalla cosiddetta funzione d’onda
che soddisfa l’equazione delle onde
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
7
€
u r,t( )
€
∇2u(r ,t) − 1v 2∂2u(r ,t)∂t 2 = 0
Teoria geometrica (o dei raggi)
Descrive la propagazione del campo in mezzi non omogenei senza perdite a condizione che gli scostamenti dall’uniformità siano piccoli su lunghezze paragonabili alla lunghezza d’onda.
Esamina, quindi, la propagazione nell’ipotesi di λ→0 (frequenze ottiche) trascurando quindi tutti i fenomeni connessi con la diffrazione individuando semplicemente dei raggi di propagazione dell’energia.
E’ utile anche alle frequenze radio se si vuole individuare il percorso della normale del fronte d’onda in un mezzo indefinitamente esteso.
Essendo una teoria scalare, non descrive quei fenomeni che richiedono la conoscenza di tutte le componenti del campo come ad esempio la polarizzazione
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
8
Definizioni
Onda: operata una perturbazione su una grandezza fisica in una regione limitata dello spazio, si dice che si ha un’onda quando tale perturbazione si propaga nelle altre zone dello spazio con velocità e modalità che dipendono dal mezzo e dal tipo di grandezza perturbata
Superficie d’onda: luogo geometrico dei punti dello spazio nei quali la grandezza perturbata varia “concordemente” nel tempo (punti in cui oscilla in fase)
Raggio: data un’onda che si propaga in un dato mezzo si definisce raggio ogni linea dello spazio perpendicolare in ogni punto alla superficie d’onda passante per quel punto
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
9
Equazioni di Maxwell (1)
Consideriamo: Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo
Mezzo omogeneo
Presenza di sorgenti di tipo elettrico
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
10
€
∇ × E = − jωµH∇ × H = jωε E + Ji
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
∇⋅ D = ρ
∇⋅ B = 0
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
∇⋅ Ji = − jωρ
Equazioni di Maxwell Equazioni della
Divergenza
Legge di conservazione
della carica
Equazioni di Maxwell (2)
Per la risoluzione delle equazioni di Maxwell in presenza di correnti elettriche impresse facciamo riferimento alla determinazione dei cosiddetti potenziali
Definisco : potenziale vettore magnetico
L’equazione da risolvere per determinare è un’equazione di Helmoltz non omogenea
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
11
€
A
€
A
€
∇2A +ω 2µεA = −µJi
Equazioni di Maxwell (3)
Ricaviamo, quindi, le espressioni dei campi generati dalle correnti elettriche impresse:
La procedura per risolvere queste equazioni richiede l’uso delle funzioni di Green
Consideriamo una regione illimitata
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
12
€
H =1µ∇ × A
E =∇ ×∇ × Ajωµε
−Jijωε
Q: punto potenziante P: punto potenziato
Equazioni di Maxwell (4)
Considerando che la soluzione è unica se i campi soddisfano le condizioni di radiazione di Sommerfeld:
La soluzione risulta:
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
13
€
limr−r' →∞
r − r' E r( ) = 0
limr−r' →∞
r − r'H r( ) = 0
€
A r( ) =µ4π
JiV∫ r'( ) e−γ r−r'
r − r'dr'
Equazioni di Maxwell (5)
Consideriamo: Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo
Mezzo omogeneo
Assenza di sorgenti
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
14
€
∇ × E = − jωµH∇ × H = jωε E
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ Equazioni di Maxwell
€
∇⋅ D = 0∇⋅ B = 0
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
Equazioni della
Divergenza
€
∇2E +ω 2µεE = 0
€
∇2E −γ 2E = 0∇2H −γ 2H = 0
Equazioni di Helmholtz Omogenee con
€
γ 2 = −ω 2µε
Equazioni di Maxwell (6)
Facendo l’ipotesi di separazione delle variabili le soluzioni risultano:
vettore di propagazione
vettore attenuazione
vettore di fase
vettore posizione
Dal punto di vista fisico, le onde piane uniformi rappresentano una soluzione sufficientemente approssimata se si è in presenza di una regione di spazio omogenea di dimensioni lineari molto maggiori della lunghezza d’onda
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
15
€
E = E 0e−S⋅r
H = H 0e−S⋅rOnda Piana
€
S = a + jk = α ˆ a + jk ˆ k = αˆ a + jβ0ˆ s con
€
S :
€
a :
€
k :
€
r :
€
E = E 0e− jβ 0 r⋅ ˆ s
H = H 0e− jβ 0 r⋅ ˆ s
€
a = 0per
Onda Piana Uniforme
€
β0 = ω µ0ε 0
€
Superfici equifase : piani ⊥k ⇒ raggi rettilinei e paralleli
Equazioni di Maxwell (7)
Consideriamo: Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo
Mezzo non omogeneo con
Assenza di sorgenti
Analogamente al classico passaggio dalle equazioni di Maxwell a quelle di Helmoltz, si può ottenere:
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
16
€
ε r( ) = ε0εr r( )
€
ε0 =136π
10−9 Faradm
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
€
µ = µ0
€
∇ × E r( ) = − jωµH r( )∇ × H r( ) = jωε r( )E r( )
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ Equazioni di Maxwell
€
∇2E r( ) +ω 2µεE r( ) = ∇ ∇⋅ E r( )( )
Equazioni di Maxwell (8)
Poiché la soluzione in un mezzo omogeneo normale è data da un’onda piana, se si ipotizza che nel mezzo non omogeneo, le variazioni siano piccole su distanze confrontabili con la lunghezza d’onda, la soluzione può essere espressa da una funzione con ampiezza non più costante e con superfici equifase non più piane, del tipo:
con
Generalizzazione dell’espressione precedente, considerando e dipendenti dal punto.
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
17
€
E r( ) = E 0 r( )e− jβ 0S r( )
H r( ) = H 0 r( )e− jβ 0S r( )
€
E 0
€
H 0€
β0 = ω µ0ε 0
Ottica geometrica classica (1)
Riprendiamo:
e
Sapendo che:
Da cui si ottiene:
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
18
€
∇2E r( ) +ω 2µεE r( ) = ∇ ∇⋅ E r( )( )
€
D r( ) = ε r( )E r( )
€
∇⋅ D = 0
€
⇒ ∇⋅ E r( ) = −∇εr r( )εr r( )
E r( )
€
n = εr r( )
€
⇒ ∇⋅ E r( ) = −∇ ln n2 r( )( )E r( )
€
∇2E r( ) + β02n r( )E r( ) = −2∇ ∇ ln n r( )( )E r( )[ ]
Ottica geometrica classica (2)
Cerchiamo per una soluzione
del tipo
Sapendo che: e
Otteniamo:
N.B. Nell’espressione ho trascurato la dipendenza da
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
19
€
∇2E r( ) + β02n r( )E r( ) = −2∇ ∇ ln n r( )( )E r( )[ ]
€
E r( ) = E 0 r( )e− jβ 0S r( )
€
∇⋅ f A( ) = ∇f A + f∇⋅ A
€
∇⋅ ∇F = ∇2F
€
r€
E 0 n2 − ∇S 2[ ] +1jβ0
E 0∇2S + 2∇S E 0∇ ln n( )[ ] + 2∇S∇E 0{ } − 1jβ0( )2
∇2E 0 + 2∇ E 0∇ ln n( )[ ]{ } = 0
Ottica geometrica classica (3)
Dividendo parte reale e parte immaginaria e volendo trovare soluzioni asintotiche per λ→0, otteniamo:
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
20
€
∇S 2 = n2
E 0∇2S + 2∇S E 0∇ ln n( )[ ] + 2 ∇S∇( )E 0
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ €
Equazione iconale
Equazione del trasposto
Equazione dei raggi (1)
Risolvendo l’equazione iconale si può calcolare
Le superfici per cui = costante sono i fronti d’onda i quali definiscono le traiettoria del segnale in quanto permettono di individuare i raggi
Detto il versore che indica la direzione locale di propagazione, si ha:
La direzione locale di determina le traiettorie dei raggi
Obiettivo: determinare le traiettorie dei raggi a partire dai termini noti, ovvero dalla distribuzione dell’indice di rifrazione
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
21
€
S r( )
€
S r( )
€
ˆ s
€
ˆ s =∇S r( )n r( )
Direzione del raggio
Equazione dei raggi (2)
Introduciamo la coordinata curvilinea s del raggio:
Consideriamo il versore tangente al raggio in un punto generico:
Equazione parametrica della traiettoria
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
22
€
s P( ) = dx 2 + dy 2 + dz2P0
P
∫
€
ˆ s (s) =dxˆ x + dyˆ y + dzˆ z dx 2 + dy 2 + dz2
=dr s( )
ds
€
r(s) :€
⇒ n s( ) dr(s)ds
= ∇S(s)
Equazione dei raggi
Equazione differenziale dei raggi (1)
Ciò che si è ricavato è che, sotto opportune ipotesi, la soluzione consiste in un campo TEM locale, la cui direzione di propagazione è ricavabile a partire da S
Derivando l’equazione dei raggi rispetto ad s si ottiene:
Da cui si ottiene:
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
23
€
dds
n(s) dr(s)ds
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
dds
∇S(s)( )
€
dds
∇S(s)( ) = ∇dds
S(s)⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = ∇ ∇S(s) ⋅ ˆ s ( ) = ∇n(s)
€
⇒dds
n(s) dr(s)ds
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ = ∇n(s) Equazione differenziale
dei raggi
Equazione differenziale dei raggi (2)
L’equazione differenziale dei raggi ha il grande vantaggio di poter descrivere le traiettoria dei raggi sapendo solo l’andamento di
Trattandosi di un’equazione differenziale del II ordine ha infinite soluzioni; per individuare il raggio occorrono 2 condizioni al contorno:
L’integrazione dell’equazione differenziale dei raggi può essere fatta numericamente con le tecniche di tracciamento dei raggi (Ray Tracing), molto più vantaggiose dell’integrazione diretta dell’equazione dell’iconale
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
24
€
n r( )
Traiettoria dei raggi (1)
In un generico punto della traiettoria è possibile definire il vettore curvatura associato a r(s):
Indicando con R il raggio di curvatura locale si ha anche:
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
25
€
c =d2r (s)
ds2 =dˆ s (s)
ds
Il versore segue la tangente alla traiettoria, mentre è normale ad esso e sono situati entrambi sul piano osculatore
Traiettoria dei raggi (2)
Ricordando l’equazione differenziale dei raggi:
Dalla definizione di e otteniamo:
Moltiplicando scalarmente per :
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
26
€
ˆ s
€
c
€
∇n(s) =dds
n(s) dr(s)ds
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
dds
n(s) drds
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
dds
n(s)ˆ s (s)( ) =dn(s)
sˆ s (s) +
dˆ s ds
n(s) =dn(s)
dsˆ s (s) + cn(s)
€
ˆ c
€
∇n(s) ⋅ ˆ c =dn(s)
dsˆ s ⋅ ˆ c
0 + n(s)c ⋅ ˆ c ⇒ ∇n(s) ˆ c = n(s)c ⇒ c =
∇n(s)n(s)
ˆ c
Traiettoria dei raggi (3)
Sapendo che:
L’ultima relazione mostra che la direzione di è sempre concorde con quella di , ovvero che il raggio tende sempre a piegare verso la regione a indice di rifrazione maggiore (equivalente della legge di Snell)
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
27
€
c =1R
€
⇒1R
=∇n(s)n(s)
⋅ ˆ c ≥ 0 Equazione della Curvatura
€
∇n
Esempio (1)
ATMOSFERA OMOGENEA ⇒ mezzo ad indice di rifrazione costante
Equazione differenziale dei raggi:
Equazione della curvatura:
⇒ Le traiettorie sono rettilinee in un mezzo omogeneo, ciascuna con direzione a e passante per r=b
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
28
€
⇒ n r( ) = costante
€
⇒ n d2rds2
= 0 ⇒ r = as + b€
∇n =dds
n drds
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
1R
=∇nn⋅ ˆ c
€
⇒1R
= 0
Esempio (2)
MEZZO A STRATIFICAZIONE SFERICA
L’equazione differenziale dei raggi risulta:
Moltiplicando vettorialmente per :
Legge di Snell per mezzi a stratificazione sferica: è alla base della propagazione ionosferica e troposferica, che sfruttano la possibilità di avere il rientro a terra dell’onda oltre l’orizzonte geometrico
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
29
€
n = n r( ) ⇔ ∇n r( ) =dn r( )
drˆ r
€
dds
n r( )0
dr(s)ds
+ n r( ) dds
dr(s)ds
ˆ s
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
= ∇n r( )
€
⇒dds
ˆ s (s) ⋅ n r( ) =dn r( )
drˆ r
€
r
€
dds
r × n r( )ˆ s (s)( ) = r ×dn r( )
drˆ r = 0
€
⇒ r × n r( )ˆ s = costante
€
⇒ n ⋅ r sin(ψ) = costante
Principio di Fermat
Si considerino in un dato mezzo due punti P1 e P2 e un percorso che li colleghi; si definisce cammino ottico il seguente funzionale:
PRINCIPIO di FERMAT: la traiettoria di un raggio rappresenta un minimo del cammino ottico
Il principio di Fermat può essere un’alternativa alla risoluzione dell’equazione differenziale dei raggi; ad esempio in un mezzo omogeneo (n=cost) si ha:
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
30
€
L1,2 ˆ = n(s)dsP1
P2∫
Onda piana locale e intensità (1)
Riscriviamo:
Sostituendo le soluzioni nelle equazioni di Maxwell e considerando:
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
31
€
E = E 0e− jβ 0S
H = H 0e− jβ 0S
€
∇ × E = − jωµ0H∇ × H = jωεE
Equazioni di Maxwell Soluzione equazioni di Maxwell
€
∇ × f A( ) = ∇f × A + f∇ × A
€
⇒
∇S × E 0 − η0H 0 =1jβ0
∇ × E 0
∇S × H 0 +ε rη0
E 0 =1jβ0
∇ × H 0
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
Onda piana locale e intensità (2)
Conformemente all’intenzione di determinare soluzioni asintotiche perλ→0 (f→∞) possono essere trascurati i secondi membri delle precedenti esperessioni
Considerando l’equazione iconale:
N.B. Nelle espressioni ho trascurato la dipendenza da r
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
32
€
∇S = nˆ s
€
⇒
H 0 =nη0
ˆ s × E 0 =ˆ s × E 0
η
E 0 = −nε r
η0ˆ s × H 0 =nε r
η0 H 0 × ˆ s
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
Onda piana locale e intensità (3)
Il vettore di Poynting vale: e quindi l’energia si propaga nella direzione dei raggi ottici
In conclusione, per descrivere compiutamente la soluzione fornita dall’ottica geometrica è sufficiente risolvere l’equazione iconale e successivamente tutto è descrivibile attraverso un’unica funzione scalare, l’intensità, costituita dal modulo del vettore di Poynting
Queste conclusioni giustificano il fatto che nell’ottica si sia effettuata una teoria scalare, in quanto ci si basa solo sulle traiettorie dei raggi e sulla loro intensità per descrivere la propagazione
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
33
Riepilogo
Mezzo non omogeneo: Equazione da risolvere:
Soluzione: generalizzazione onda piana
Equazione iconale: Equazione dei raggi:
Equazione della curvatura: i raggi tendono sempre a curvare verso la regione ad indice di rifrazione maggiore;
Mezzo omogeneo: traiettorie rettilinee Mezzo a stratificazione sferica: propagazione ionosferica e troposferica
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
34
€
ε r( ) = ε0εr r( )
€
∇2E r( ) +ω 2µεE r( ) = ∇ ∇⋅ E r( )( )
€
E r( ) = E 0 r( )e− jβ 0S r( )
H r( ) = H 0 r( )e− jβ 0S r( )
€
∇S 2= n2
€
n s( ) dr(s)ds
= ∇S(s)
Onda piana locale e intensità (4)
Il discorso fin qui fatto presenta tuttavia dei limiti; si consideri un tubo di flusso dell’energia (superficie costituita lateralmente da una famiglia di raggi e ortogonalmente da due porzioni di superficie equifase)
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
35
Legge di intensità dell’ottica geometrica
Onda piana locale e intensità (5)
Si è ricavato che l’intensità è inversamente proporzionale alla superficie di base del tubo di flusso
Tale legge cade in difetto qualora si verifichi la convergenza di tutti i raggi in un punto, detto fuoco
SPREADING FACTOR: è un fattore che tiene conto dell’eventuale allargamento del fronte d’onda con la propagazione; la potenza trasportata da un raggio può pertanto diminuire con la distanza anche se il mezzo è privo di perdite
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
36
Onda piana locale e intensità (6)
Se il mezzo è omogeneo (quindi la propagazione avviene per raggi rettilinei) e si ha una generica onda (cioè una generica sorgente) si può dimostrare che:
I casi tipici sono solitamente tre:
Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS
37
C3 ρ
ρ
1
0
2
s dA
dA
C1
C4
C2
in cui ρ1 e ρ2 sono i raggi di curvatura principali e C1C2 e C3C4 sono le caustiche dell’onda