Upload
tranduong
View
228
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Mosty królewieckie
W Królewcu, na rzece Pregole znajduj¡ si¦ dwie wyspy poª¡czone ze sob¡, a tak»e zbrzegami za pomoc¡ siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek
Czy mo»liwe jest, aby wyruszy¢ z dowolnej cz¦±ci l¡dowej miasta przej±¢ przez ka»dyz mostów dokªadnie jeden raz i powróci¢ do punktu wyj±ciowego (bez przepªywaniaprzez rzek¦)?
2 / 126
Mosty królewieckie
W Królewcu, na rzece Pregole znajduj¡ si¦ dwie wyspy poª¡czone ze sob¡, a tak»e zbrzegami za pomoc¡ siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek
Czy mo»liwe jest, aby wyruszy¢ z dowolnej cz¦±ci l¡dowej miasta przej±¢ przez ka»dyz mostów dokªadnie jeden raz i powróci¢ do punktu wyj±ciowego (bez przepªywaniaprzez rzek¦)?
3 / 126
Mosty królewieckie
W Królewcu, na rzece Pregole znajduj¡ si¦ dwie wyspy poª¡czone ze sob¡, a tak»e zbrzegami za pomoc¡ siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek
Czy mo»liwe jest, aby wyruszy¢ z dowolnej cz¦±ci l¡dowej miasta przej±¢ przez ka»dyz mostów dokªadnie jeden raz i powróci¢ do punktu wyj±ciowego (bez przepªywaniaprzez rzek¦)?
4 / 126
Mosty królewieckie
Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 r. w Bazylei - Szwajcaria, zm. 18 wrze±nia1783 r. w Petersburgu - Rosja) - szwajcarski matematyk, �zyk i astronom, jeden ztwórców nowoczesnej matematyki.
5 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª¡czonych kraw¦dziami. Ka»da kraw¦d¹ madwa ko«ce, które s¡ wierzchoªkami w gra�e.
11 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª¡czonych kraw¦dziami. Ka»da kraw¦d¹ madwa ko«ce, które s¡ wierzchoªkami w gra�e.
12 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª¡czonych kraw¦dziami. Ka»da kraw¦d¹ madwa ko«ce, które s¡ wierzchoªkami w gra�e.
13 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
14 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
15 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
16 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
17 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
18 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¡ w gra�e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tegoci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
19 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, w której »adna kraw¦d¹ si¦ nie powtarza nazywamy drog¡ prost¡.
20 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, w której »adna kraw¦d¹ si¦ nie powtarza nazywamy drog¡ prost¡.
21 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
22 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
23 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
24 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
25 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
26 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
27 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
28 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
29 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
30 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo±¢ kraw¦dzi wychodz¡cych z tego wierzchoªka.
31 / 126
Podstawowe de�nicje
De�nicja
Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo±¢ kraw¦dzi wychodz¡cych z tego wierzchoªka.
32 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
33 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
34 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
35 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
36 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
37 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
38 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
39 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
40 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
41 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
42 / 126
Cykl Eulera
De�nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przezwszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
43 / 126
Cykl Eulera
Twierdzenie (Euler, 1736)
W gra�e istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafuma stopie« parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si¦ parzystaliczba kraw¦dzi.
44 / 126
Cykl Eulera
Twierdzenie (Euler, 1736)
W gra�e istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafuma stopie« parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si¦ parzystaliczba kraw¦dzi.
45 / 126
Problem chi«skiego listonosza
Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«skiMei-Ku Kwan.
Wiadomo, »e listonosz dor¦czaj¡c poczt¦ musi przej±¢ przez wszystkie ulice danegorejonu i powróci¢ na poczt¦.Jak zaplanowa¢ drog¦ listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±niepokonaª jak najkrótsz¡ drog¦?
47 / 126
Problem chi«skiego listonosza
Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«skiMei-Ku Kwan.Wiadomo, »e listonosz dor¦czaj¡c poczt¦ musi przej±¢ przez wszystkie ulice danegorejonu i powróci¢ na poczt¦.
Jak zaplanowa¢ drog¦ listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±niepokonaª jak najkrótsz¡ drog¦?
48 / 126
Problem chi«skiego listonosza
Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«skiMei-Ku Kwan.Wiadomo, »e listonosz dor¦czaj¡c poczt¦ musi przej±¢ przez wszystkie ulice danegorejonu i powróci¢ na poczt¦.Jak zaplanowa¢ drog¦ listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±niepokonaª jak najkrótsz¡ drog¦?
49 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De�nicja
Niech dany b¦dzie graf G . Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw¦dzi grafu G nazywamytakie pomalowanie wszystkich kraw¦dzi grafu, »e s¡siednie kraw¦dzie maj¡ ró»nebarwy.
50 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De�nicja
Niech dany b¦dzie graf G . Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw¦dzi grafu G nazywamytakie pomalowanie wszystkich kraw¦dzi grafu, »e s¡siednie kraw¦dzie maj¡ ró»nebarwy.
51 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Powy»sza de�nicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna dopokolorowania wªa±ciwego danego grafu?
De�nicja
Najmniejsz¡ liczb¦ barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw¦dzi grafu Gnazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem χ̄(G).
52 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Powy»sza de�nicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna dopokolorowania wªa±ciwego danego grafu?
De�nicja
Najmniejsz¡ liczb¦ barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw¦dzi grafu Gnazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem χ̄(G).
53 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jest rzecz¡ oczywist¡, »e je±li najwi¦kszy stopie« wierzchoªka grafu G jest równy d ,to χ̄(G) ≥ d .
54 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jest rzecz¡ oczywist¡, »e je±li najwi¦kszy stopie« wierzchoªka grafu G jest równy d ,to χ̄(G) ≥ d .
55 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Twierdzenie
Je»eli graf G ma nieparzyst¡ liczb¦ wierzchoªków i ka»dy wierzchoªek ma stopie«d > 0, to χ̄(G) > d.
56 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De�nicja
Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamygrafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.
Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciuwierzchoªkach.
57 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De�nicja
Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamygrafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.
Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciuwierzchoªkach.
58 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De�nicja
Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamygrafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.
Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciuwierzchoªkach.
59 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Twierdzenie
Indeks chromatyczny grafu peªnego Kn wynosi:
χ̄(Kn) =
(n − 1 je»eli n parzyste
n je»eli n nieparzyste
χ̄(K4) = 3 χ̄(K5) = 5 χ̄(K7) = 7
60 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Twierdzenie
Indeks chromatyczny grafu peªnego Kn wynosi:
χ̄(Kn) =
(n − 1 je»eli n parzyste
n je»eli n nieparzyste
χ̄(K4) = 3 χ̄(K5) = 5 χ̄(K7) = 7
61 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
62 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
63 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
64 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
65 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
66 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, coprzedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢dokªadne jedn¡ napraw¦.Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, abywszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
67 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku
wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszegodnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawaoznaczona kolorem niebieskim.Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi χ̄(G) = 3, a zatem zgodnie zzaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszymni» trzy dni.
68 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku
wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszegodnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawaoznaczona kolorem niebieskim.
Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi χ̄(G) = 3, a zatem zgodnie zzaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszymni» trzy dni.
69 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku
wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszegodnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawaoznaczona kolorem niebieskim.Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi χ̄(G) = 3, a zatem zgodnie zzaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszymni» trzy dni.
70 / 126
Kolorowanie map
De�nicja
Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takageometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw¦dzie mog¡mie¢ co najwy»ej jeden punkt wspólny, b¦d¡cy wierzchoªkiem przylegªym do z tychkraw¦dziami.
73 / 126
Kolorowanie map
De�nicja
Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takageometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw¦dzie mog¡mie¢ co najwy»ej jeden punkt wspólny, b¦d¡cy wierzchoªkiem przylegªym do z tychkraw¦dziami.
74 / 126
Kolorowanie map
De�nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.
77 / 126
Kolorowanie map
De�nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.
W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.
78 / 126
Kolorowanie map
De�nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.
79 / 126
Kolorowanie map
De�nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.
80 / 126
Kolorowanie map
De�nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwaregiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nychregionów.W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafuprzypisanego tej mapie.
81 / 126
Kolorowanie map
Twierdzenie
Map¦ mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jejwierzchoªek jest stopnia parzystego.
82 / 126
Kolorowanie map
Twierdzenie
Map¦ mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jejwierzchoªek jest stopnia parzystego.
83 / 126
Kolorowanie map
Twierdzenie
Map¦ mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jejwierzchoªek jest stopnia parzystego.
84 / 126
Kolorowanie map
Twierdzenie (O czterech kolorach, 1976)
Ka»da mapa mo»e by¢ pokolorowana wªa±ciwie co najwy»ej czterema kolorami.
87 / 126
Problem komiwoja»era
De�nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
90 / 126
Problem komiwoja»era
De�nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
91 / 126
Problem komiwoja»era
De�nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
92 / 126
Problem komiwoja»era
De�nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
93 / 126
Problem komiwoja»era
De�nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
94 / 126
Problem komiwoja»era
De�nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodziprzez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek opróczpierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
95 / 126
Problem komiwoja»era
Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny Gmiaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir WilliamHamilton (1805-1865) w 1859 roku.
Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w gra�e spójnym, ale do dzi± nies¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e danyspójny graf G ma cykl Hamiltona.
Twierdzenie
Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.
96 / 126
Problem komiwoja»era
Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny Gmiaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir WilliamHamilton (1805-1865) w 1859 roku.
Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w gra�e spójnym, ale do dzi± nies¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e danyspójny graf G ma cykl Hamiltona.
Twierdzenie
Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.
97 / 126
Problem komiwoja»era
Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny Gmiaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir WilliamHamilton (1805-1865) w 1859 roku.
Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w gra�e spójnym, ale do dzi± nies¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e danyspójny graf G ma cykl Hamiltona.
Twierdzenie
Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.98 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1
2(n− 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!
2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2
= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
99 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡.
Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1
2(n− 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!
2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2
= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
100 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1
2(n− 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!
2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2
= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
101 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?
Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1
2(n− 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!
2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2
= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
102 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1
2(n− 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!
2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2
= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
103 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1
2(n− 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2
= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2
= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
104 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1
2(n− 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!
2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2
= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
105 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1
2(n− 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!
2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2
= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
106 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzytymi miastami s¡ dane.Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ zesob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»eraistnieje cykl Hamiltona.Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miastadokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 1
2(n− 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »emetoda ta jest bardzo nieefektywna.Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji nasekund¦, to:dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!
2= 181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2
= 60822550204416000 - czas oblicze« wynosiok. 2 tys. lat.Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
107 / 126
Problem komiwoja»era
W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowalirozwi¡zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA.
121 / 126
Problem komiwoja»era
W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowalirozwi¡zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA.
122 / 126
�ródªa plików gra�cznych
http://pl.wikipedia.org/
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/
http://gtresearchnews.gatech.edu/
125 / 126