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2. INTEGRAL DUPLA
2.1. CONCEITOS BÁSICOS
2.1.1. Região limitada no plano : R é uma região limitada no plano se existe um retângulo
S([a, b] [c, d]) tal que R esteja contida em S, onde [a, b] está contido no eixo dos X e
[c, d] está contido no eixo dos Y.
2.1.2. Tipos de Região limitada :
a) Uma região R é do tipo T1, se e somente se, a variável independente é x, isto é, para
todo x [a, b] temos uma única função inferior y1 e uma única função superior y2.
x [a, b]
T1 y varia de y1 = função inferior
y2 = função superior
b) Uma região R é do tipo T2, se e somente se, a variável independente é y, isto é, para
todo y [c, d] temos uma única função inferior x1 e uma única função superior x2.
y [c, d]
T2 x varia de x1 = função inferior
x2 = função superior
EXEMPLOS:
Exemplo 1. Seja a região R limitada pelos gráficos de , e .
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
1
XY = c
Y
4
X
Y
y = 2x
x = 2
y = 0
Y = d
x = a x = b
A região destacada no exemplo 1 é tanto do tipo T1 como do tipo T2 , pois:
x [0, 2] y [0, 4]
T1 y varia de y1 = 0 OU T2 x varia de x1 =
y2 = 2x x2 = 2
Exemplo 2. Seja a região R limitada pelos gráficos de , e .
A região acima é somente do tipo T1, pois:
x [0, 2]
T1 y varia de y1 = x
y2 = 4 - x
Atenção: A região acima não é do tipo T2, pois temos duas funções superiores, isto é,
teríamos de dividi-la em duas partes: uma de y = 0 até y = 2 e outra de y = 2 até y = 4.
y [0, 2] y [2, 4]
R1 x varia de x1 = 0 E R2 x varia de x1 = 0
x2 = y x2 = 4 - y
Exemplo 3. Seja a região R limitada pelos gráficos de , e .CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III
Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
2
X
Yy = xy = 4 - x
2
2
4
A região acima é somente do tipo T2, pois:
y [0, 2]
T2 x varia de x1 = y
x2 = 4 - y
Atenção: A região acima não é do tipo T1, pois temos duas funções superiores, isto é,
teríamos de dividi-la em duas partes: uma de x = 0 até x = 2 e outra de x = 2 até x = 4.
x [0, 2] x [2, 4]
R1 y varia de y1 = 0 E R2 y varia de y1 = 0
y2 = x y2 = 4 - x
2.2. MONTAGEM DA INTEGRAL DUPLA
a) 1º Modo : x é a variável independente
x [a, b]
T1 y varia de y1 = função inferior
y2 = função superior
Logo:
b) 2º Modo : y é a variável independente
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
3
4
X
Yy = xy = 4 - x
2
2
y [c, d]
T2 x varia de x1 = função inferior
x2 = função superior
Logo:
EXEMPLOS
Exemplo 1. Seja a região R limitada pelos gráficos de , e .
Observe o gráfico do exemplo 1 da página 1.
x [0, 2] y [0, 4]
T1 y varia de y1 = 0 OU T2 x varia de x1 =
y2 = 2x x2 = 2
Logo: OU
Exemplo 2. Seja a região R limitada pelos gráficos de , e .
Observe o gráfico do exemplo 2 da página 2.
x [0, 2]
T1 y varia de y1 = x
y2 = 4 - x
Logo:
Escrevendo a integral pelo modo T2:
y [0, 2] y [2, 4]
R1 x varia de x1 = 0 E R2 x varia de x1 = 0
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
4
x2 = y x2 = 4 - y
Logo:
Exemplo 3. Seja a região R limitada pelos gráficos de , e .
Observe o gráfico do exemplo 3 da página 3.
y [0, 2]
T2 x varia de x1 = y
x2 = 4 – y
Logo:
Escrevendo a integral pelo modo T1:
x [0, 2] x [2, 4]
R1 y varia de y1 = 0 E R2 y varia de y1 = 0
y2 = x y2 = 4 – x
Logo:
2.3. CÁLCULO DA INTEGRAL DUPLA
EXEMPLOS:
Exemplo 1: Observe o gráfico do exemplo 1 da pág. 1 e a montagem da integral na pág. 4.
a)
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
5
Cálculo auxiliar:
Substituindo na integral dupla, temos a seguinte integral:
Aplicando , temos:
Substituindo os limites de integração superior e inferior, temos:
Assim:
b)
Cálculo auxiliar:
Substituindo na integral dupla, temos a seguinte integral:
Aplicando , temos:
Assim:
Atenção: Observe que efetuando a resolução da integral escrita de modo T1 ou pelo modo
T2 deveremos sempre obter o mesmo resultado.
Exemplo 2: Observe o gráfico do exemplo 3 da pág. 3 e a montagem da integral na pág. 5.
a)
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
6
Cálculo auxiliar:
Substituindo os limites de integração, temos:
Desenvolvendo o quadrado da diferença, temos:
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
Agrupando os termos semelhantes, temos:
Substituindo na integral dupla, temos a seguinte integral:
Substituindo os limites de integração, temos:
Assim:
b)
Cálculo Auxiliar: b1)
Substituindo os limites de integração, temos:
Cálculo Auxiliar: b2)
Substituindo os limites de integração, temos:
Desenvolvendo o quadrado da diferença, temos:
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
Substituindo os resultados de b1 e b2 na integral dupla, temos a seguinte integral:
Aplicando , temos:
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
7
Substituindo os limites de integração, temos:
Assim:
Atenção: Observe que efetuando a resolução da integral escrita de modo T1 ou pelo modo
T2 deveremos sempre obter o mesmo resultado.
2.4. MUDANÇA DA ORDEM DE INTEGRAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA
Existem situações em que a integral escrita de uma forma é de difícil resolução (exige
técnicas de integração ou algo mais). Entretanto invertendo a ordem de integração a
resolução se torna bastante simples.
EXEMPLO 1:
IMPORTANTÍSSIMO:
Ao resolver esta integral encontraríamos o seguinte:
Cálculo auxiliar: Não é uma integral imediata e nem é possível aplicar
uma das técnicas de integração estudadas no Cálculo II. Porém se invertermos a ordem de
integração, encontramos a solução rapidamente.
Lendo a integral dupla, encontramos:
y [0, 1]
T2 x varia de (ou melhor para graficar )CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III
Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
8
Construindo o gráfico e destacando a região R no plano XY, temos:
Invertendo (mudando) a ordem de integração, temos:
x [0, 1]
T1 y varia de
Escrevendo a nova integral, temos:
Agora resolvendo a nova integral dupla, vemos que facilmente encontramos a solução.
Cálculo auxiliar:
Substituindo os limites de integração superior e inferior, temos:
Substituindo na integral dupla, temos:
A integral acima é do tipo , pois enquanto que .
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
9
Y
1
X1
Logo
Substituindo os limites de integração superior e inferior, temos:
EXEMPLO 2:
IMPORTANTÍSSIMO:
Ao resolver esta integral encontraríamos o seguinte:
Cálculo auxiliar: Não é uma integral imediata e nem é possível
aplicar uma das técnicas de integração estudadas no Cálculo II. Porém se invertermos a
ordem de integração, encontramos a solução rapidamente.
Lendo a integral dupla, encontramos:
x
T1 y varia de
Construindo o gráfico e destacando a região R no plano XY, temos:
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
10
X
Yy = x
Invertendo (mudando) a ordem de integração, temos:
y
T2 x varia de
Escrevendo a nova integral, temos:
Agora resolvendo a nova integral dupla, vemos que facilmente encontramos a solução.
Cálculo auxiliar:
Substituindo os limites de integração, temos:
Substituindo na integral dupla, temos:
A integral acima é do tipo onde e
Substituindo os limites de integração, temos:
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
11
0
Portanto ou
2.5. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA
2.5.1. CÁLCULO DE ÁREA
Para determinar a área através de integral dupla utiliza-se como função integrando
. Portanto
x [a, b]
T1 y varia de y1 = função inferior
y2 = função superior
Logo:
y [c, d]
T2 x varia de x1 = função inferior
x2 = função superior
Logo:
Exemplo 1:
Seja a região R limitada pelos gráficos de , , e .
ou
y [-2, 3]
T2 x varia de
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
12
y = -2
y = 3X
Y
Logo:
Cálculo auxiliar:
Substituindo na integral dupla, temos:
Substituindo os limites de integração, temos:
Portanto a área da região R é:
Exemplo 2:
Seja a região R limitada pelos gráficos de e .
x [-4, 1]CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III
Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
13
X-4
Y
1
xy 3
24 xy
T1 y varia de
Logo:
Cálculo auxiliar:
Substituindo na integral dupla, temos:
Substituindo os limites de integração, temos:
Portanto a área da região R é:
2.5.2. CÁLCULO DE MASSA
Seja uma lâmina colocada numa região R do plano XY e cuja densidade (em
unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em R é dada por , onde é
uma função contínua sobre R.
A massa total da lâmina é dada por:
onde ou
Exemplo1: Uma lâmina tem a forma de um retângulo com dois lados consecutivos de
comprimento igual a 2 cm e a 4 cm, conforme figura abaixo. Determine a massa da lâmina,
sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é .
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
14
Y
X2
4
X
OU
Resolvendo ambas as integrais duplas, encontraremos a quantidade de massa como sendo
2.5.3. CÁLCULO DE CARGA
Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região R e a densidade de carga
(em unidades de carga por unidade de área) é dada por num ponto (x, y) em R,
então a carga total é dada por onde ou
Exemplo: A carga é distribuída sobre uma região R delimitada pelo triângulo retângulo de
vértices (0,0), (2,0) e (2,2), de modo que a densidade de carga num ponto (x, y) é dada pela
função . Determine a carga total.
OU
Resolvendo ambas as integrais duplas, encontraremos a quantidade de carga como sendo
unidades de carga
2.5.4. CÁLCULO DE VOLUME
Seja S um sólido, cuja projeção no plano XY nos dá uma região limitada R. Então o volume
deste sólido pode ser determinado por:
onde ou e altura
Exemplo: Determine, através de integral dupla, o volume do sólido limitado pelos planos
, , , , e .
SÓLIDO OBTIDO
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
15
Y
X2
2
X
z
y
x
0z
4z
6y0y 2x
0x
frente
fundo
Altura é z que varia de: (plano)
(plano)
BASE: PROJEÇÃO NO PLANO XY
A região R acima tanto é do tipo T1 quanto do tipo T2. Portanto:
Região T1:
varia de
Assim a integral dupla que representa o volume do sólido acima é:
Região T2:
CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI
16
X
Y
X=0
Y=0
Y=6
X=2
varia de
Assim a integral dupla que representa o volume do sólido acima é:
Resolvendo ambas as integrais duplas, encontraremos unidades.
Referências bibliográficas:
1. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper e Row, 1980.
V. 2.
2. SWOKOWSKI, Earl W.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books,
1994. v. 2
2. ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000 v.2
3. STEWART, James. Cálculo. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. V. 2.
4. GONÇALVES, Mírian B., Cálculo B: Funções de Várias Variáveis Integrais Duplas e
Integrais Triplas. São Paulo: Makron Books, 1999
5. THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. V. 2.
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