Teoria Numeros Koshy BorradorEnEspanol

Una Introducción a la Teoría de NúmerosAlgunas aplicaciones con DERIVE

Luis Alejandro Másmela Caita

Junio de 2009

ii

Índice general

Introducción VII

I Primera Parte 1

1. Fundamentos 31.1. Propiedades Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. La Notación Sumatoria y Productoria . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Inducción Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Relaciones de Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5. El Teorema Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6. Números Poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7. Números Piramidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8. Números de Catalán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2. Divisibilidad 472.1. El Algoritmo de la División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Con�guraciones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3. Números Primos y Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.4. Números de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3. Máximo Común Divisor 753.1. Máximo Común Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2. El Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3. El Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . 893.4. Mínimo Común Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4. Features of this Shell 1074.1. Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.1.1. Subsection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2. Tags . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3. Mathematics and Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4. Lists Environments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5. Theorem-Like Environments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

iii

iv ÍNDICE GENERAL

A. Una Introducción al paquete DERIVE 111A.1. ¿QUÉ ES DERIVE? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.2. RECUENTO DE LOS PRINCIPALES COMANDOS . . . . . . . 112

A.2.1. Barra de Títulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.2.2. Barra de Menú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.2.3. Barra de herramientas o de órdenes . . . . . . . . . . . . 113A.2.4. Ventana de álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.2.5. Barra de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.2.6. Barra de introducción de expresiones . . . . . . . . . . . . 113A.2.7. Barra de de letras griegas y símbolos matemáticos . . . . 113

A.3. APLICACIONES CON DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.3.1. Introducir expresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.3.2. Simpli�car Expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114A.3.3. Introducir vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.3.4. Introducir Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

B. Afterword 117

PrefacioThis is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX �eld

at the beginning of this paragraph sets the correct page heading for the Prefaceportion of the document. The preface does not appear in the table of contents.

v

vi PREFACE

Introducción

El texto que a continuación se presenta y que aborda el tema de la Teoría deNúmeros, es una traducción de la primera parte del libro �Elementary NumberTheory with Applications� escrito por Thomas Koshy. Busca esbozar algunostemas que se han seleccionado de dicho libro y que se han desarrollado en unprimer curso de Teoría de Números con estudiantes de primer semestre delProyecto de Matemáticas en la Universidad Distrital Francisco José de Cal-das. Se busca que el estudiante, a través de este curso, se familiarice de maneragradual con diferentes procesos rigurosos de las matemáticas, en especial con losdistintos procesos de demostración, formalizando conceptos que fueron trabaja-dos operativamente en sus cursos anteriores de matemáticas en la secundaria.Se ha pretendido desarrollar este curso a la par con laboratorios en sala de cóm-puto, utilizando el software matemático DERIVE, debido a la simplicidad en sumanejo y a que se convierte en una herramienta que le permite al estudiante,explorar muchas de las conjeturas que él mismo establece a medida que avanzaen el estudio de los distintos temas.

The introduction is entered using the usual chapter tag. Since the intro-duction chapter appears before the mainmatter TeX �eld, it is an unnumberedchapter. The primary di¤erence between the preface and the introduction inthis shell document is that the introduction will appear in the table of contentsand the page headings for the introduction are automatically handled withoutthe need for the markboth TeX �eld. You may use either or both methods tocreate chapters at the beginning of your document. You may also delete thesepreliminary chapters.

vii

viii INTRODUCCIÓN

Parte I

Primera Parte

1

Capítulo 1

Fundamentos

1.1. Propiedades Fundamentales

La teoría de números concierne a una teoría que se desarrolla solamentesobre el conjunto de los números enteros. Es así que de ahora en adelante sedenotará al conjunto de números enteros a través del símbolo Z : 1

Z = f: : :� 2;�1; 0; 1; 2; : : :g

A lo largo de este texto se escribirá "x 2 S"para denotar que "el elemento xpertenece al conjunto S"; de manera similar "x =2 S"denotará que "el elementox no pertenece al conjunto S:"Por ejemplo si hacemos referencia al conjunto deinterés Z; se puede a�rmar que �4 2 Z, mientras que � =2 Z:Los números enteros pueden representarse geométricamente sobre la denom-

inada recta numérica. Ver Figura 1.1.A los enteros 1; 2; 3; :::se les denomina enteros positivos. Ellos también

reciben el nombre de números naturales o números para contar. Se en-cuentran a la derecha del origen (coordenada cero) en la recta númerica. Sedenotará al conjunto de los enteros positivos por Z+ o N :

Z+ = N = f1; 2; 3; : : :g1La letra Z proviene de la palabra alemana Zahlen para números.

Figura 1.1: Recta Numérica

3

4 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS

El conjunto de los enteros positivos, junto con el 0; conforman el conjuntodenominado números enteros W :

W = f0; 1; 2; 3; : : :g

El conjunto de los enteros negativos, a saber, : : : ;�3;�2;�1 se ubican a laizquierda del origen. Es de notar que 0 no es ni positivo ni negativo.Es posible utilizar los números enteros positivos para comparar los números

enteros en general, como en la siguiente de�nición.

La Relación de OrdenSean a y b dos enteros cualesquiera. Entonces a es menor que b; que se

denota por a < b si existe un entero positivo x tal que a+x = b; esto es, si b�aes un entero positivo.Cuando a < b; se puede a�rmar también que b es mayor que a; que se

escribe b > a: 2

Si a no es menor que b, se escribirá a � b; similarmente, a � b denotará quea no es más grande que b:Se sigue de esta de�nición que un entero a es positivo si y solo si a > 0:

De�nición 1 (Ley de la Tricotomía) Dados dos números enteros a y b, haytres posibilidades: a < b; o a = b; o a > b:

Geométricamente, esto signi�ca que si a y b son cualesquiera dos puntos enla recta numérica, entonces es cierta solo una de las siguientes tres a�rmaciones,el punto a esta a la izquierda del punto b; el punto a coincide con el punto b; oel punto a esta a la derecha del punto b:Puede combinarse el menor que y la relación de igualdad para de�nir la

relación menor que o igual. Si a < b o a = b; se escribirá a � b:3 De manerasimilar, a � b signi�ca que a > b o a = b. Se puede notar que a � b si y solo sia � b:

Teorema 2 Denote m��nfx; yg el mínimo de los enteros x y y; y m�axfx; yg sumáximo. Entonces m��nfx; yg+m�axfx; yg = x+ y:

Demostración. (por casos)Caso 1. Sea x � y: Entoncesm��nfx; yg = x ym�axfx; yg = y; así,m��nfx; yg+

m�axfx; yg = x+ y:Caso 2. Sea x > y: Entoncesm��nfx; yg = y ym�axfx; yg = x; así,m��nfx; yg+

m�axfx; yg = y + x = x+ y:

2Los símbolos < y > son introducidos en 1631 por el matemático inglés Thomas Harriet(1560�1621).

3Los simbolos � y � fueron introducidos en 1734 por el matemático francés P. Bougher.

1.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES 5

Valor AbsolutoEl valor absoluto de un número real x; denotado por jxj ; se de�ne por

jxj =�

x si x � 0�x en otros casos

Por ejemplo, j5j = 5; j��j = �(��); j0j = 0:Geométricamente el valor absoluto de un número indica la distancia de éste

al origen de la recta numérica.Aunque el interés recae sólo en las propiedades de números enteros, a menudo

se tratará con números racionales y reales. Las funciones piso y techo son dostales funciones teórico-númericas. Ellas tienen usos importantes en matemáticasdiscretas y ciencias de la computación.

Funciones Piso y TechoEl piso de un número real x; denotado por bxc es el más grande entero � x:

El techo de x; denotado por dxe, es el más pequeño entero � x:4 El piso de xredondea por debajo a x; mientras que el techo redondea a x por encima. Deacuerdo a esto, si x =2 Z; el piso de x es el más próximo entero a la izquierda dex sobre la recta numérica, y el techo de x es el más próximo entero a la derechade x; ver Figura . La función piso f(x) = bxc y la función techo g(x) = dxeson conocidas también como la función mayor entero y la función menor entero,respectivamente.

Por ejemplo�p2�= 1; b�c = 3; b�3; 5c = �4;

�p2�= 2; d�e = 4 y

d�3; 5e = 3:La función piso es práctica cuando los números reales deben ser truncados o

aproximados a un número deseado de cifras decimales. Por ejemplo el númeroreal � = 3;1415926535 : : : truncado a tres cifras decimales está dado por

b1000�c1000

=3141

1000= 3;141;

de otro lado � redondeado a tres cifras decimales es

b1000� + 0;5c1000

= 3;142:

Hay otro uso simple de la función piso. Suponga que se divide el intervalo uni-tario [0; 1) en 50 subintervalos de igual longitud y luego se pretende saber el

4Estas dos notaciones y los nombres, piso y techo, fueron introducidas por Kenneth E.Iverson en los albores de los 60s. Ambas notaciones son variaciones de la original notaciónmayor entero [x] :


subintervalo que contiene el número 0;4567. Ya que b0;4567=0;02c+1 = 23 ésteesta en el subintervalo número 23. De manera general, sea 0 � x < 1: Entoncesx esta en el subintervalo bx=0;02c+ 1 = b50xc+ 1:

Ejemplo 3 (La función de la o�cina de correos) En 2006 la tasa defranqueo en Estados Unidos para un primer tipo de carta de peso x; de no másde una onza fue de 39c/; la tasa para cada onza adicional o fracción hasta 11onzas fue un adicional de 24c/. Así, el franqueo p(x) para una primera clase decarta puede de�nirse como p(x) = 0;39+0;24 dx+ 1e ; 0 < x � 11: Por ejemplo,el franqueo para uan carta que pesa 7.8 onzas es p(7;8) = 0;39+0;24 d7;8 + 1e =$2;07:

Algunas propiedades de la función piso y techo son listadas en el siguienteteorema. Se probará una de ellas; las otras se proponen como ejercicio.

Teorema 4 Sea x cualquier número real y n un número entero. Entonces

1. bnc = n = dne

2. dxe = bxc+ 1 (x =2 Z)

3. bx+ nc = bxc+ n

4. dx+ ne = dxe+ n

5.�n2

�= n�1

2 si n es impar.

6.�n2

�= n+1

2 si n es impar.

Demostración. Todo número real x puede ser escrito como x = k + x0; dondek = bxc y 0 � x0 < 1: Ver Figura . Entonces

x+ n = k + x0 + n

= (k + n) + x0

así

bx+ nc = b(k + n) + x0c= k + n ya que 0 � x0 < 1= bxc+ n

que era lo que se quería mostrar.

Ejercicios 1.1.

Evalúe cada una de las siguientes expresiones, en donde x es un número real.

1.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES 7

1. El matemático inglés Augusto DeMorgan, que vivió en el siglo XIX, unavez comentó que él tenía x años en el año x2. ¿Cuándo nacio él?

Evalúe cada item, asuma que x es un número real.

2. f(x) = xjxj (x 6= 0)

3. g(x) = bxc+ b�xc

4. h(x) = dxe+ d�xeDetermine si:

5. �b�xc = bxc

6. �d�xe = dxe

7. Hay cuatro números enteros entre 100 y 1000 que son, cada uno igual ala suma de los cubos de sus dígitos. Tres de ellos son 153, 371, y 407.Encuentre el cuarto número.

8. Un número entero positivo N de n dígitos es un número de Kaprekarsi la suma del número formado por los últimos n dígitos en N2, y elnúmero formado por los primeros n (o n � 1) dígitos en N2 es igual aN . Por ejemplo, 297 es un número de Kaprekar ya que 2972 = 88209 y88 + 209 = 297. Hay cinco números de Kaprekar < 100. Encuéntrelos.

9. Encuentre la falla en la siguiente "demostración":

Sean a y b números reales tales que a = b: Entonces

ab = b2

a2 � ab = a2 � b2

Factorizando, a(a� b) = (a+ b)(a� b): Cancelando a� b en ambos lados,a = a+ b: Ya que a = b; de esto se tiene que a = 2a: Cancelando a amboslados a, se tiene que 1 = 2:

10. El entero 1105 puede expresarse como la suma de dos cuadrados en cuatroformas diferentes. Encuentrelas.

11. ¿Cuántos cuadrados perfectos pueden mostrarse en la pantalla de unacalculadora de 15 dígitos?

Pruebe cada item, asumiendo que a; b y n son enteros cualesquiera, y xes un número real.

12. jabj = jaj � jbj

13. ja+ bj � jaj+ jbj

14.jn2

k=n� 12

si n es impar.


15.ln2

m=n+ 1

2si n es impar.

16.�n2

4

�=n2 � 14

si n es impar.

17.�n2

4

�=n2 + 3

4si n es impar.

18.jn2

k+ln2

m= n

19. dxe = bxc+ 1 (x =2 Z)

20. dxe = �b�xc

21. dx+ ne = dxe+ nLa distancia desde x hasta y sobre una línea recta, denotada por d(x; y);se de�ne por d(x; y) = jy � xj : Pruebe cada item, asumiendo que x; y y zson enteros cualesquiera.

22. d(x; y) � 0

23. d(0; x) = jxj

24. d(x; y) = 0 si y solo si x = y:

25. d(x; y) = d(y; x)

26. d(x; y) � d(x:z) + d(z; y)

1.2. La Notación Sumatoria y Productoria

Se dará la notación de sumatoria y productoria muy utilizada a lo largo deeste texto. Primero se iniciará con la notación sumatoria.

La Notación SumatoriaSumas tales como ak + ak+1 + � � � + am; pueden escribirse de manera más

compacta usando el símbolo sumatoriaP(letra Griega mayúscula sigma), la

cual se denota con la palabra suma. La notación de sumatoria fue introducidaen 1722 por el matemático francés Joseph Louis Lagrange.Un término típico de la suma referida con anterioridad puede ser ai; así,

la suma anterior es la suma de los números ai con i recorriendo los númerosenteros desde k hasta m que se puede escribir como

Pi=mi=k ai: De esta forma

i=mXi=k

ai = ak + ak+1 + � � �+ am

1.2. LA NOTACIÓN SUMATORIA Y PRODUCTORIA 9

La variable i es el índice de la sumatoria. Los valores k y m son, re-spectivamente, los límites inferior y superior del índice i: El "i = " del límitesuperior es usualmente omitido:

i=mXi=k

ai =mXi=k

ai

Por ejemplo5Xi=1

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52

El índice i es una variable dummy; se puede usar cualquier variable comoíndice sin afectar el valor de la suma, así

mXi=k

ai =mXj=k

aj =mXr=k

ar

Ejemplo 5 EvalúeP1

j=�2 j3(j � 1)2

Solución.

0Xj=�2

j3(j � 1)2 = (�2)3(�2� 1)2 + (�1)3(�1� 1)2 + (0)3(0� 1)2

= �76

Los siguientes resultados son muy usados en la evaluación de sumas �ni-tas, ellos pueden ser probados utilizando inducción matemática, un método deprueba que se presentará más adelante.

Teorema 6 Sean n cualquier entero positivo y c cualquier número real, y a1;a2; ::: ; an; y b1; b2; ::: ; bn un par de secuencias numéricas. Entonces

nXi=1

c = nc (1.1)

nXi=1

cai = cnXi=1

ai (1.2)

nXi=1

(ai + bi) =nXi=1

ai +nXi=1

bi (1.3)

(Este resultado puede ser extendido a cualquier límite inferior k 2 Z:)


Ejemplo 7 EvalúeP3

j=1

�10j2 + 3j

�:

Solución.

3Xj=1

�10j2 + 3j

�= 10

3Xj=1

j2 + 33Xj=1

j

= 10(12 + 22 + 32) + 3(1 + 2 + 3)

= 158

Sumatorias IndexadaLa notación sumatoria puede ser extendida a secuencias con conjuntos de

indices I como sus dominios. Por ejemplo,P

i2I ai denota la suma de los valoresai cuando i recorre todos llos valores de I:Por ejemplo, si I = f1; 3; 5; 7g ; entonces

Pi2I(i

2+1) representa la suma delos valores de i2 + 1 cuando i toma los valores en I; esto es,X

i2I(i2 + 1) = (12 + 1) + (32 + 1) + (52 + 1) + (72 + 1)

= 88

Frecuentemente se requiere evaluar sumas de la formaP

P aij ; donde lossubíndices i y j satisfacen ciertas propiedades P:Por ejemplo, sea I = f1; 2; 3; 4g: Entonces

P1�i�j�4(2i+3j); denota la suma

de los valores de 2i + 3j; donde 1 � i � j � 4: Esto puede ser abreviado comoPi�j(2i+ 3j) proporcionado, obviamente, el conjunto de índices del contexto.

Para encontrar esta suma, se consideran todas las posibles parejas (i; j); dondei; j 2 I e i < j: Así,Xi�j(2i+ 3j) = (2 � 1 + 3 � 2) + (2 � 1 + 3 � 3) + (2 � 1 + 3 � 4) + (2 � 2 + 3 � 3)

+(2 � 1 + 3 � 4) + (2 � 3 + 3 � 4)= 80

Ejemplo 8 EvalúeP

d>1dj6d; donde dj6 signi�ca que d divide a 6:

Solución.Xd>1dj6

d = suma de los enteros positivos d; divisores de 6

= suma de los divisores positivos de 6

= 1 + 2 + 3 + 6 = 12

1.2. LA NOTACIÓN SUMATORIA Y PRODUCTORIA 11

Sumatorias múltiples también son frecuentes en matemáticas. Ellas se evalúanpor lo general de derecha a izquierda. Por ejemplo, la doble sumatoria

Pi

Pj aij

se evalúa comoP

i

�Pj aij

�; como se muestra a continuación.

Ejemplo 9 EvalúeP1

i=�1P0

j=�1 3i2j:

Solución.

1Xi=�1

0Xj=�1

3i2j =1X

i=�1

24 0Xj=�1

3i2j

35=

1Xi=�1

�3i2(�1) + 3i2(0)

�=

1Xi=�1

�3i2

= �3(�1)2 +��3(0)2

�+��3(1)2

�= �6

La Notación ProductoriaLa notación productoria es usada de manera similar a la notación sumatoria,

el producto akak+1 � � � am se denota porQi=mi=k ai; el símbolo productoria

Qcorresponde a la letra Griega mayúscula pi. Como en el caso de la notaciónsumatoria, la "i = " arriba del símbolo productoria es frecuentemente omitida:

i=mYi=k

ai =mYi=k

ai = akak+1 � � � am

Nuevamente, i es una variable dummy.

La función factorial, se usa frecuentemente en teoría de números, y puedede�nirse usando la notación productoria, como se muestra en el siguiente ejem-plo.

Ejemplo 10 La función factorial f(n) = n! (se lee n factorial o el factorialde n) se de�ne como n! = n(n � 1) � � � 2 � 1; donde 0! = 1: Usando la notaciónproductoria

f(n) = n! =nYi=1

i


Ejemplo 11 EvalúeQ4i=2(2i+ 3):

Solución.

4Yi=2

(2i+ 3) = [2(2) + 3] [2(3) + 3] [2(4) + 3]

= 693

Ejemplo 12 EvalueQi;j2Iijj(2i+ 3j) donde I = f1; 2; 3; 4g:

Solución. Se re�ere aquí a la productoria de todas las parejas de la forma(i; j); donde i y j son elementos de I; pero especí�camente aquellas parejasen donde i divide a j: Estas son (1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 4); así, evaluando2i+ 3j en cada una de estas parejas se tiene queY

i;j2Iijj

(2i+ 3j) = (2 � 1 + 3 � 1)(2 � 1 + 3 � 2)(2 � 1 + 3 � 3)

�(2 � 1 + 3 � 4)(2 � 2 + 3 � 4)= 98;560

Ejercicios 1.2Evalúe cada suma.

1.P6

i=1 i

2.P4

j=0(j � 1)

3.P4

k=0(3 + k)

4.P4

i=�1 3

5.P2

j=�2 j(j � 2)

6.P5

k=1(3� 2k)kReescriba cada suma utilizando la notación sumatoria.

7. 1 + 3 + 5 + � � �+ 23

8. 31 + 32 + � � �+ 310

9. 1 � 2 + 2 � 3 + � � �+ 11 � 12

10. 1(1 + 2) + 2(2 + 2) + � � �+ 5(5 + 2)Determine si cada proposición es verdadera.

11.Pn

i=m i =Pn

i=m(n+m� i)

12.Pn

i=m xi =

Pni=m x

n+m�i

1.3. INDUCCIÓN MATEMÁTICA 13

13. Sumas de la forma S =Pn

i=m+1(ai � ai�1) son llamadas sumas telescop-icas. Muestre que S = an � am:

14. Use el Ejercicio 13 y la identidad 1i(i+1) =

1i �

1i+1 ; y encuentre una formula

paraPn

i=11

i(i=1) :

15. Usando el Ejercicio 13 y la identidad (i+1)2 � i2 = 2i+1; desarrolle unaformula para

Pni=1 i:

16. Usando el Ejercicio 13 y la identidad (i+1)3� i3 = 3i3+3i+1; desarrolleuna formula para

Pni=1 i

2:

Evalue.

17.P5

i=1

P6j=1(2i+ 3j)

18.P3

i=1

Pij=1(i+ 3)

19.Q3i=0(i+ 1)

20.Q5j=3(j

2 + 1)

21.Q50k=0(�1)k

Evalue cada ítem, donde p 2 f2; 3; 5; 7; 11; 13g e I = f1; 2; 3; 5g :

22.P

p�10 p

23.Qi2I(3i� 1)

24.P

i;j2Iijj(2i + 3j)

25.Qi;j2Ii�j

ij

26. Encuentre el dígito de las decenas en la sumaP999

k=1 k!

1.3. Inducción Matemática

El principio de inducción matemática (PIM) es una poderosa técnica deprueba que se usará con frecuencia en posteriores capítulos.Muchos resultados interesantes en matemáticas se cumplen para todos los

enteros positivos. Por ejemplo las siguientes proposiciones son verdaderas paracada entero positivo n y todos los números reales x; y; y xi:

(x � y)n = xn � yn

log(x1 � � �xn) =nPi=1

log xi


nPi=1

i = n(n+1)2

n�1Pi=0

ri = rn�1r�1

¿Cómo se puede probar que esos resultados se tienen para cada entero posi-tivo n ? Obviamente, es imposible sustituir cada entero positivo por n y veri�carque la fórmula se mantiene. El principio de inducción puede establecer la validezpara tales fórmulas.Antes de pasar a la inducción matemática, es necesario establecer el principio

de buen-orden, el cual se aceptará como un axioma. (Un axioma es una a�rma-ción que es aceptada como verdadadera; con frecuencia se trata de proposicionesobvias, evidentes.)

El Principio de Buen-OrdenTodo conjunto no vacío de enteros positivos tiene un elemento mínimo.Por ejemplo, el conjunto f17; 23; 5; 18; 13g tiene un elemento mínimo, a saber,

5. Los elementos del conjunto pueden ser ordenados como 5; 13; 17; 18; y 23.

En virtud del principio del buen-orden, el conjunto de enteros positivos esbien ordenado. Se puede notar que el conjunto de enteros negativos no es bienordenado.

El siguiente ejemplo es una aplicación simple del principio de buen-orden.

Ejemplo 13 Pruebe que no hay enteros positivos entre 0 y 1

Demostración (por contradicción). Supongamos que hay un entero positivoa entre 0 y 1 . Sea S = fn 2 Z+ j 0 < n < 1g. Ya que 0 < a < 1; a 2 S, así Ses no vacío. Por lo tanto, por el principio de buen-orden , S tiene un elementomínimo l, donde 0 < l < 1 . Entonces 0 < l2 < l , así l2 2 S . Pero l2 < l , loque contradice nuestra suposición que l es el elemento mínimo de S . Así, nohay enteros positivos entre 0 y 1 .

El principio de buen-orden puede extenderse a casi todos los números, comolo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 14 Pruebe que cada conjunto no vacío de enteros no negativos tieneun elemento mínimo.

Demostración (por casos). Sea S un conjunto de enteros no negativos.Caso 1 Supongamos que 0 2 S . Ya que 0 es menor que todo entero

positivo, 0 es menor que cada elemento diferente de cero en S , así 0 es elelemento mínimo de S .Caso 2 Supongamos que 0 =2 S . Entonces S contiene únicamente enteros

positivos. Así, por el principio de buen-orden, S tiene un elemento mínimo.


De esta forma, en ambos casos, S tiene un elemento mínimo.

Versión Débil de InducciónEl siguiente teorema es pieza fundamental para el principio de inducción.

Teorema 15 Sea S un conjunto de enteros positivos que satisface las siguientespropiedades:

1. 1 2 S .

2. Si k es un entero positivo arbitrario en S , entonces k + 1 2 S:

Luego S = N .

Demostración(por contradicción). Suponga que S 6= N . Sea S0 = fn 2 N j n =2 Sg.Donde S0 6= ? , por el principio de buen-orden, S0 tiene un elemento mínimol0. Entonces l0 > 1 por la condición (1). Dado que l0 es el elemento mínimo deS0 , l0 � 1 =2 S0. Por lo tanto l0 � 1 2 S. Consecuentemente, por la condición(2), (l0 � 1) + 1 = l0 2 S. Esto contradice lo establecido en la suposición.

Este resultado puede ser generalizado, como lo muestra el siguiente teorema.La prueba queda como ejercicio.

Teorema 16 Sea n0 un entero �jo. Sea S un conjunto de enteros que satisfacenlas siguientes condiciones:

1. n0 2 S.

2. Si k es un entero arbitrario � n0 tal que k 2 S , entonces k + 1 2 S.

Luego S contiene todos los enteros positivos n � n0.

Luego de ver los anteriores resultados, se tienen las herramientas para poderdemostrar el teorema de interés y que se enuncia a continuación.

Teorema 17 (Principio de Inducción Matemática) Sea P (n) unaproposición que satisface las siguientes condiciones, donde n 2 Z:

1. P (n0) es verdadera para algún entero n0.

2. Si P (k) es verdadera para un entero arbitrario k � n0, entonces P (k+ 1)también es verdadera.

Luego P (n) es verdadera para cada entero n � n0.


Demostración. Sea S un conjunto de enteros � n0 para los cuales P (n) esverdadera. Donde P (n0) es verdadera, n0 2 S . Por la condición (2), cada vezque k 2 S , k+ 1 2 S , así, por el teorema16, S contiene todos los enteros � n0. Consecuentemente, P (n) es verdadera para cada entero n � n0 .

En la condición (1) del teorema 17 se asume la proposición P (n) como ver-dadera cuando n = n0 . En la condición (2): Si P (n) es verdadera para unentero k � n0 , también lo es para n = k+ 1 . Entonces, aplicando nuevamentela condición (2), P (n0 + 1), P (n0 + 2); : : : se mantienen verdaderas. En otraspalabras , P (n) permanece para cada n � n0 .

El Teorema 17 puede ser establecido directamente desde el principio de buen-orden.

Demostrar un resultado por inducción comprende dos pasos clave:

Paso Básico: Compruebe que P (n0) es cierto.

Paso de Inducción: Asumir que P (k) es cierto para algún entero arbitrariok � n0 (hipótesis inductiva)

A continuación, compruebe que P (k + 1) también es cierto.

Para recordar: Con frecuencia nos preguntamos "¿No es esteun razonamiento circular? ¿No estamos suponiendo lo que queremosdemostrar?"De hecho, no. La confusión deriva una mala interpreta-cion del paso 2 para la conclusión. El paso de inducción muestra queP (k) implica P (k + 1); esto es que si P (k) es verdadero, entoncesP (k + 1) también lo es. La conclusión es: "P (n) es verdadera paracada n � n0".

Ejemplo 18 Pruebe que

1 + 2 + 3 + : : :+ n =n(n+ 1)

2para cada entero positivo n (1.4)

Demostración. (por inducción) Sea P (n) el enunciado

nXi=1

i =n(n+ 1)

2

Paso Básico: Veri�car que P (1) es verdadero (nota: aquí n0 = 1)


donde n = 1; LMD = 1(1+1)2 = 1 =

nXi=1

i =LMI.5 Entonces, P (1) es ver-

dadero.Paso de Inducción: Sea k un entero positivo arbitrario. Se debe mostrar

que P (k) implica P (k + 1). Asuma que P (k) es verdadero,es decir

nXi=1

i =n(n+ 1)

2(hipótesis de inducción)

Se muestra que P (k) implica P (k + 1), es decirk+1Xi=1

i = (k+1)(k+2)2 , empezamos

con LMI en esta ecuación

LMI =k+1Xi=1

i =kXi=1

i+ (k + 1);

"Nota:

k+1Xi=1

xi =

kXi=1

xi

!+ (xk + 1)

#

=k(k + 1)

2+ (k + 1) por hipótesis de inducción

=(k + 1)(k + 2)

2= LMD

Luego si P (k) es verdadero, entonces P (k + 1) también lo es. Así, por in-ducción, P (n) es verdadero para cualquier entero n � 1; esto es, la fórmula valepara cada entero positivo.

Ejemplo 19 Deduzca una formula para la suma de los n primeros enteros po-sitivos impares y luego use la inducción para establecer la conjetura.

Solution 20 Primero, se estudiar las primeras cinco sumas, y luego se iden-ti�ca un patrón para predecir la fórmula de la suma de los n primeros enterospositivos impares. Las primeras cinco sumas son

1 = 12

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

Se puede observar claramente el patrón, entonces se puede establecer que la sumade los n primeros enteros positivos impares es n2;esto es

nXi=1

(2i� 1) = n2 (1.4)

5LMD y LMI son las abreviaciones de lado a mano izquierda y lado a mano derecha,respectivamente, al referirse a una expresión y con el signo de igualdad como referente.


Se mostrará ahora la prueba por el principio de inducción.

Demostración. Cuando n = 1,nXi=1

(2i�1) =1Xi=1

(2i�1) = 1 = 12, entonces el

resultado es válido cuando n = 1. Ahora, asuma que la fórmula es válida cuandon = k,

kXi=1

(2i� 1) = k2:

Para mostrar que es válida cuando n = k + 1, considerese la sumak+1Xi=1

(2i� 1).

Luego tenemos que

k+1Xi=1

(2i� 1) =

kXi=1

(2i� 1) + [2(k + 1)� 1]

= k2 + (2k + 1) por hipótesis de inducción

= (k + 1)2

En consecuencia, si la fórmula es válida cuando n = k, es también válida cuandon = k + 1. Por tanto, por inducción, la fórmula es válida para cualquier enteropositivo n:

Volviendo a la inducción, nosotros encontramos que ambos, los pasos baiscoscomo los pasos de inducción son esenciales para la prueba por inducción, comose puede ver en los dos siguientes ejemplos.

Ejemplo 21 Considere la "fórmula" 1+ 2+ 3+ 5+ � � �+ (2n� 1) = (n� 2)2.Claramente es cierta cuando n = 1. Pero no es cierta cuando n = 2: La verdades que los pasos básicos no aseguran que el enunciado 1+2+3+5+� � �+(2n�1) =(n� 2)2 sea cierto para cualquier entero n:

El siguiente ejemplo muestra que la válidez del paso de inducción es nece-saria, pero no su�ciente para garantizar que P (n) es verdadero para todos losenteros deseados.

Ejemplo 22 Considere la "fórmula"P (n) : 1+2+3+5+� � �+(2n�1) = n2+1.

Suponga que P (k) es verdadero:kXi=1

(2i� 1) = k2 + 1. Entonces

k+1Xi=1

(2i� 1) =kXi=1

(2i� 1) + [2(k + 1)� 1]

= (k2 + 1) + (2k + 1)

= (k + 1)2 + 1


Entonces si P (n) es verdadero, P (k+1) también lo es. Sin embargo, la fórmulano incluye a cualquier entero positivo n. Se puede veri�car que P (1) no se tiene.

Versión fuerte de inducciónAhora se presentará la versión fuerte de inducción. A veces lo cierto de

P (k) puede no ser su�ciente para establecer la veracidad de P (k+ 1). En otraspalabras, la veracidad de P (k+ 1) puede requerir más que la de P (k). En talescasos, se tiene que asumir una hipótesis de inducción más fuerte tal como queP (n0), P (n0 + 1); : : : ; P (k) son todos verdaderos; luego veri�car que P (k + 1)es también verdad. Esta versión fuerte, que puede ser demostrada usando laversión débil de inducción, se estable ce como sigue.

Teorema 23 (Segundo Principio de la Inducción Matemática) Sea P (n)un enunciado que satisfase las siguientes condiciones, donde n 2 Z

1. P (n) es verdadero para cualquier entero n0:

2. Si k es un entero arbitrario � n0 tal que P (n0); P (n0 + 1); : : : ; P (k) sonverdaderos, entonces P (k + 1) también lo es.

Luego P (n) es verdadero para cualquier entero n � n0.

Demostración. Sea S = fn 2 Z j P (n) es verdaderog. Como P (n0) es ver-dadero por la condición (1) n0 2 S.Ahora asumamos que P (n0), P (n0+1); : : : ; P (k) es verdadero para un entero

arbitrario k. Entonces n0; n0 + 1; : : : ; k pertenece a S. Luego por la condición(2), k + 1 también pertenece a S. Por lo tanto por el teorema 16, S contienetodos los enteros n � n0. En otras palabras, P (n) es verdadero para cada enteron � n0:

El siguiente ejemplo muestra la técnica de prueba.

Ejemplo 24 Pruebe que cualquier envío postal cuyo valor es de n (� 2) cen-tavos puede hacerse con estampillas de dos y tres centavos.

Demostración. Sea P (n) el enunciado que a�rma que cualquier envío postalcuyo valor es de n centavos puede hacerse con estampillas de dos y tres centavos.Paso básico (Note que n0 = 2) Dado que un envío de dos centavos se puede

hacer con una estampilla de dos centavos, P (2) es verdadero. Del mismo modo,P (3) es también verdadero.Paso de inducción Supongamos que P (2); P (3); P (4); : : : ; P (k) son ver-

daderos, es decir, cada envío postal de dos centavos hasta de k centavos puedehacerse con estampillas de dos y tres centavos. Para mostrar que P (k + 1) esverdadero, considere un envío postal de k+1 centavos. Ya que k+1 = (k�1)+2,


un envío de k + 1 centavos puede formarse con estampillas de dos y tres cen-tavos si el envío de k� 1 centavos puede realizarse con estampillas de dos y trescentavos. Como P (k � 1) es verdero por la hipótesis de inducción, esto implicaque P (k + 1) también es verdadero.Por lo tanto, por la versión fuerte de inducción, P (n) es cierto para cada

n � 2, es decir, cualquier envío postal de n(� 2) centavos se puede hacer conestampillas de dos o tres centavos.

Ejercicios 1.3Usando Inducción matemática pruebe cada una de las siguientes proposi-

ciones para todo entero n � 1:

1.Pn

i=1(2i� 1) = n2

2.Pn

i=1 i2 = n(n+1)(2n+1)

6

3.Pn

i=1 i3 =

hn(n+1)

2

i24.Pn

i=1 ari�1 = a(rn�1)

r�1 ; r 6= 1

Determine si cada conjunto es bien ordenado. Si su respuesta es no, ex-plique.

5. El conjunto de los enteros negativos.

6. El conjunto de los enteros.

7. fn 2 Njn � 5g

8. fn 2 Zjn � �3g

Probar.

9. Sea a 2 Z: No hay enteros entre a y a+ 1:

10. (Propiedad Arquimediana) Sean a y b enteros positivos. Entonces hay unentero positivo n tal que na � b: (Sugerencia: Use el principio de buenorden y contradicción)

1.4. RELACIONES DE RECURRENCIA 21

1.4. Relaciones de Recurrencia

Las Realaciones de recurrencia o Recursión es una de las más elegantestécnicas para solucionar problemas. Esta es una herramienta muy poderosa quepuede ser apoyada a través de lenguajes de programación.Se iniciará esta sección con un problema muy conocido denominado el Prob-

lema del Apretón de Manos:

Hay n invitados a una �esta. Cada persona estrecha la mano, exactamenteuna vez, con cada uno de los otros invitados. ¿cuántos apretones de manos sehacen?

Si se decide solucionar un problema como éste, la solución puede no ser obvia.Sin embargo, es posible que el problema pueda ser de�nido en términos de unaversión más simple de si mismo. Tal de�nición es una de�nición inductiva.Por consiguiente, el problema dado se puede resolver si la versión simple sepuede resolver.

De�nición de una función recursivaSea a 2 W y X = fa; a + 1; a + 2; : : :g. Una de�nición inductiva de una

función f con dominio X; consiste de tres partes:

Paso de la base Unos pocos valores iniciales f(a); f(a+1); : : : ; f(a+k � 1) se especi�can. Ecuaciones que especi�can tales valores iniciales sedenominan condiciones iniciales.

Paso de recursión Un

a formula para calcular f(n) desde los k precedentes valores funcionalesf(n�1); f(n�2); : : : ; f(n�k) se proporciona. Tal formula es una relaciónde recurrencia (o formula recursiva).

Paso �nal Solamente valores así obtenidos son valores funcionalesválidos. (Por conveniencia, esta cláusula se establece desde la de�niciónrecursiva.)

En una de�nición recursiva de f , f(n) se pueden de�nir usando los valoresde f(k), donde k 6= n; así no todas las funciones de�nidas recursivamente puedende�nirse inductivamente; Ver ejercicios 8-14.Así, la de�nición recursiva de f consiste de un número �nito de condiciones

iniciales y una relación de recurrencia.Puede emplearse recursión para encontrar el mínimo y el máximo de tres o

más números reales. Por ejemplo,m��n fw; x; y; zg = m��n fw; fm��n fx;m��n fy; zgggg;m�ax fw; x; y; zg puede evaluarse de manera similar. Por ejemplo,

m��n f23; 5;�6; 47; 31g = m��n f23;m��n f5;m��n f�6;m��n f47; 31gggg = �6


y

m�ax f23; 5;�6; 47; 31g = m�ax f23;m�ax f5;m�ax f�6;m�ax f47; 31gggg = 47

Los siguientes ejemplos ilustran la de�nición recursiva.

Ejemplo 25 De�na recursivamente la función f factorial.Solución.Llamemos a la función factorial f de�nida por f(n) = n!, donde f(0) = 1.

Luego n! = n(n� 1)!, puede de�nirse la recursividad de la siguiente manera

f(0) = 1 � condición inicialf(n) = n � f(n� 1); n � 1 � relación de recurrencia

Supongamos que queremos calcular f(3) recursivamente. Nosotros debemos con-tinuar aplicando la relación de recurrencia hasta que encuentre la condicióninicial, como se muestra:

f(3) = 3 � f(2) (1.5)

.f(2) = 2 � f(1) (1.6)

.f(1) = 1 � f(0) (1.7)

.f(0) = 0 (1.8)

Ya que f(0) = 1, 1 se sustituye por f(0) en la ecuación (1.6) y f(1) se calcula:f(1) = 1 � f(0) = 1 � 1 = 1. Este valor se sustituye para f(1) en la ecuación(1.5) y f(2) se calcula: f(2) = 2 � f(1) = 2 � 1 = 2. Este valor es utilizado enla ecuación (1.4) para calcular f(3): f(3) = 3 � f(2) = 3 � 2 = 6, como era deesperar.

Ahora, volviendo al problema del apretón de manos.

Ejemplo 26 (El problema del apretón de manos) Hay n invitados en una�esta. Cada persona estrecha lamano a cada uno de los demás exactamente unavez. De�na por recursividad el número de apretones de manos hechos h(n):Solución.Claramente, h(1) = 0, entonces sea n� 2. Sea x uno de los invitados. El

número de apretónes de manos hechos por los n � 1 invitados entre ellos, porde�nición es h(n � 1). Ahora la persona x estrecha su mano con cada uno delos n � 1 invitados, realizando n � 1 apretones de manos. Así el número totalde apretones de manos es igual a h(n� 1) + (n� 1), donde n � 2.


Luego, h(n) puede ser de�nido recursivamente como sigue:

h(1) = 0 � condición inicialh(n) = h(n� 1) + (n� 1) � relación de recurrencia.

Ejemplo 27 (Torre de Brahma) Según una leyenda, al inicio de la creación,Dios apiló 64 discos de oro sobre una de tres clavijas de diamante en unaplataforma de latón en el templo de Brahma en Benares, India (ver Figura 1.2).Pidieron a los sacerdotes de turno mover los discos desde la primera clavija ala tercera , usando la clavija del medio como clavija auxiliar, bajo las siguientescondiciones:

Únicamente un disco será movido en cada turno

Ningún disco puede colocarse sobre un disco más pequeño

Si las clavijas se etiquetan de izquierda a derecha con las letras X, Y yZ. Suponga que hay n discos en la clavija X. Denote por bn el número demovimientos necesarios para trasladar los discos desde la clavija X hasta laclavija Z usando la clavija Y como un intermediaria. De�na bn recursivamente.Solución.Si hay un sólo disco , simplemente se mueve a la clavija deseada. Si se

asumen n � 2 discos, se comienza de manera recursiva por invocar el algoritmopara mover los n� 1 discos superiores a la clavija Y; quedando un solo disco enla clavija X: Durante estos movimientos el disco más grande queda �jo en laclavija X: Después se mueve el disco que queda �jo de la clavija X a la clavijaZ: Por último, de nuevo se invoca el algorítmo de manera recursiva para moverlos n� 1 discos de la clavija Y a la clavija Z:Así el total de movimientos necesarios es bn�1 + 1 + bn�1 = 2bn�1 + 1.

Entonces bn puede ser de�nido recurivamente como sigue:

bn =

�1 si n = 1 � condición inicial2bn�1 + 1 si n � 2 � relación de recurrencia

Figura 1.2: Torre de Hanoi


Por ejemplo,

b4 = 2b3 + 1

= 2[2b2 + 1] + 1

= 4b2 + 2 + 1

= 4[2b1 + 1] + 2 + 1

= 8b1 + 4 + 2 + 1

= 8(1) + 4 + 2 + 1 = 15

De esta forma son 15 movimientos para transferir 4 discos desde X hasta Z.

Note que la de�nición recursiva de una función f no proporciona una fórmulaexplicita para f(n) pero establece un procedimiento sistemático para encontrar-la.ElMétodo Iterativo para encontrar una fórmula para f(n) involucra dos

pasos:

1. Aplique la fórmula iterativa de recurrencia y mire un patrón para predecirla formula explícita.

2. Use inducción para probar que la fórmula es verdadera para cada posiblevalor del entero n:

El siguiente ejemplo ilustra este método.

Ejemplo 28 Solucione la relacion de recurrencia en el ejemplo del problemadel apretón de manos.Solución.Usando iteración, se tiene:

h(n) = h(n� 1) + (n� 1)= h(n� 2) + (n� 2) + (n� 1)= h(n� 3) + (n� 3) + (n� 2) + (n� 1)

...

= h(1) + 1 + 2 + 3 + � � �+ (n� 2) + (n� 1)= 0 + 1 + 2 + 3 + � � �+ (n� 1)

=n(n� 1)

2:

Ejercicios 1.4En los ejercicios 1-4, calcule los primeros cuatro términos de la secuencia

de�nida recursivamente.


1. a1 = 1

an = an�1 + 3; n � 2

2. a1 = 1

an =nn�1an�1; n � 2

3. a1 = 1; a2 = 2

an = an�1 + an�2; n � 3

4. a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3

an = an�1 + an�2 + an�3; n � 4

De�na recursivamente cada secuencia numérica.

5. 1; 4; 7; 10; 13; :::

6. 0; 3; 9; 21; 45; :::

7. 1; 2; 5; 26; 677; :::

La función-91 de�nida por John McCarthy, se de�ne recursivamente comosigue:

f(x) =

�x� 10 Si x > 100f(f(x)) Si 0 � x � 100

Calcule:

8. f(99)

9. f(98)

10. f(f(99))

11. f(f(91))

12. Muestre que f(99) = 91

13. Pruebe que f(x) = 91 para 90 � x � 100

14. Pruebe que f(x) = 91 para 0 � x < 90


1.5. El Teorema Binomial

Los binomios son sumas de dos términos, y aparecen a menudo en matemáti-cas. Esta sección muestra la forma de expandir potencias enteras positivas demanera sistemática. Los coe�cientes en una expansión binomial tienen variaspropiedades interesantes.Se empezará con un análisis de los coe�cientes binomiales.

Coe�cientes BinomialesSean n y r enteros no negativos. El coe�ciente binomial6

�n

r

�está de�nido

por �n

r

�=

n!

r!(n� r)! si r � n;

y es 0 en otro casos; esto también se denota por C(n; r) o nCr.Por ejemplo, �

5

3

�=

5!

3!(5� 3)!

=5;4;3;2;1

3;2;1;2;1= 10

Se desprende de la de�nición que�n

0

�= 1 =

�n

n

�:

Hay muchos casos en los que necesitamos para calcular los coe�cientes bino-

6El término coe�ciente binominal fue introducido por el alemán algebrista Michel Stifel(1486-1567). En su trabajo más conocido, Arithmetica Integra (1544) Stifel da los coe�cientesbinomiales para n � 17. La notación de paréntesis binivel para coe�ciente binomial fue intro-ducida por el matemático y físico alemán Baron Andreas von Ettinghausen (1796�1878).Von Ettinghausen, nacio en Heidelberg,asistió a la Universidad de Viena en Austria. Durante dos años trabajó como asistente de

matemáticas y física en la Universidad. En 1821 se convirtió en profesor de matemáticas, y en1835, profesor de física y director del Instituto de Física. Trece años más tarde, se convirtióen el director de Estudios de Matemáticas e Ingeniería de la Academia de Viena.Un pionero en la física matemática, von Ettinghausen trabajó en el análisis, álgebra,

geometría diferencial, mecánica, óptica y electromagnetismo.

1.5. EL TEOREMA BINOMIAL 27

miales�n

r

�y�

n

n� r

�: Ya que

�n

n� r

�=

n!

(n� r)! [n� (n� r)]!

=n!

(n� r)!r! =n!

r! (n� r)!

=

�n

r

�aquí, no es necesario evaluar ambos, lo que reduce signi�cativamente nuestro

trabajo. Por ejemplo,�25

20

�=

�25

25� 20

�=

�25

5

�= 53130:

El siguiente teorema muestra una importante relación de recurrencia quesatisfacen los coe�cientes binomiales. Se conoce como la identidad de Pascal,debida al extraordinario matemático y �lósofo francés Blaise Pascal.

Teorema 29 (Identidad de Pascal) Sean n y r enteros positivos con r � n:Entonces �

n

r

�=

�n� 1r � 1

�+

�n� 1r

�:

Demostración. Se simpli�cará la expresión del LMD y demostrará que es igual

a la expresión del LMI:�n� 1r � 1

�+

�n� 1r

�=

(n� 1)!(r � 1)! (n� r)! +

(n� 1)!r! (n� r � 1)!

=r (n� 1)!

r (r � 1)! (n� r)! +(n� r) (n� 1)!

r! (n� r) (n� r � 1)!

=r (n� 1)!r! (n� r)! +

(n� r) (n� 1)!r! (n� r)!

=(n� 1)! [r + (r � n)]

r! (n� r)! =(n� 1)!nr! (n� r)!

=n!

r! (n� r)!

=

�n

r

�así el teorema queda demostrado.


Triángulo de PascalLos diferentes coe�cientes binomiales

�n

r

�; donde 0 � r � n; pueden ser

arreglados en forma de un triángulo, llamado triángulo de Pascal7�0

0

��1

0

� �1

1

��2

0

� �2

1

� �2

2

��3

0

� �3

1

� �3

2

� �3

3

��4

0

� �4

1

� �4

2

� �4

3

� �4

4

�

1 � t �la 01 1 � t �la 1

1 2 1 � t �la 21 3 3 1 � t �la 3

1 4 6 4 1 � t �la 4

El triángulo de Pascal tiene muchas propiedades interesantes:

Cada �la empieza y termina en 1.

El triángulo de Pascal es simétrico sobre una línea vertical que pasa porel centro. Esto es así por Teorema 29.

Cualquier número en el interior de cada �la es la suma de los números aizquierda y a derecha de la �la inmediatamente superior. Esto es así envirtud de la identidad de Pascal.

La suma de los números en cualquier �la es una potencia de 2. Corolario31 veri�cará esto.

La n�ésima �la puede utilizarse para determinar 11n. Por ejemplo, 113= 1331 y 114 = 14641. Para calcular altas potencias de 11, se debe tenercuidado ya que algunos de los números envuelven la participación de doso más dígitos. Por ejemplo, para calcular 115 lista de la �la 5:

1 5 10 10 5 1

De derecha a izquierda, liste los dígitos simples. Cuando llegamos a unnúmero de dos dígitos, escribimos los digitos de las unidades y llevamos

7Aunque el triángulo de Pascal es el nombre de Pascal, esto actualmente aparece primeroen 1303 en una obra del matemático chino Chu Shi-Kie.


los digitos de las decenas al número de la izquierda. Añadiendo el númeroque llevaba al de su izquierda. Continuando este proceso a la izquierda.El número resultante es 161051, que corresponde a 115.

El siguiente teorema muestra cómo los coe�cientes binomiales pueden usarsepara encontrar la expansión del binomio (x+ y)n:

Teorema 30 (El Teorema Binomial)8Sean x y y número reales, y n algúnentero no negativo. Luego

(x+ y)n=

nPr=0

�n

r

�xn�ryr:

Demostración. (inducción débil) Cuando n = 0, LMI = (x+ y)0 = 1 y LMI

=P0

r=0

�n

r

�x0�ryr = x0y0 = 1, así LMI=LMD.

Supongamos P (k) es cierto para algunos k � 0:

(x+ y)k =kXr=0

�k

r

�xk�ryr

Entoces

(x+ y)k+1 = (x+ y)k(x+ y)

=

"kXr=0

�k

r

�xk�ryr

#(x+ y)

=kXr=0

�k

r

�xk+1�ryr +

kXr=0

�k

r

�xk+1�ryr

=

"�k

0

�xk+1 +

kXr=1

�k

r

�xk+1�ryr

#+"

k�1Xr=0

�k

r

�xk�ryr+1 +

�k

r

�yk+1

#

=

�k + 1

0

�xk+1 +

kXr=1

�k

r

�xk+1�ryr +

k�1Xr=0

�k

r � 1

�xk+1�ryr +

�k + 1

k + 1

�yk+1

8El teorema binomial para n = 2 se puede encontrar en el trabajo de Euclides (ca. 300 B.C.).


=

�k + 1

0

�xk+1 +

kXr=1

��k

r

�+

�k

r � 1

��xk+1�ryr +�

k + 1

k + 1

�yk+1

=

�k + 1

0

�xk+1 +

kXr=1

�k + 1

r

�xk+1�ryr +

�k + 1

k + 1

�xk+1

=k+1Xr=0

�k + 1

r

�xk+1�ryr

Así, por inducción, la fórmula es válida para todo entero n � 0:

Se deduce del teorema binomial que los coe�cientes binomiales en la expan-sión de (x+ y)n son los distintos números en la n�ésima �la del triángulo dePascal.El teorema binomial se puede usar para establecer varias identidades in-

teresantes involucrando los coe�cientes binomiales, como lo muestra el siguientecorolario9 .

Corolario 31nXr=0

�n

r

�= 2n

esto es, la suma de los coe�cientes binomiales es 2n:

Esto se sigue haciendo x = 1 = y en el teorema binomial.

Ejercicios 1.5(Doce Días de Navidad) Supongamos que el primer día de la Navidad has

enviado a tu amor 1 regalo, 1 + 2 regalos en el segundo día, 1 + 2 + 3 regalosal tercer día, y así sucesivamente.

1. Mostrar que el número de regalos enviados en el n�ésimo día es�n+ 1

2

�,

donde 1 � n � 12:

2. Mostrar que el número total de los regalos enviados en el n�ésimo día es�n+ 2

3

�, donde 1 � n � 12:

Encontrar el coe�ciente en cada caso.

3. x2y6en la expansion de (2x+ y)8 .

9Un corolario es un resultado que se desprende del anterior teorema.


4. x4y5en la expansion de (2x� 3y)9:

Usando el teorema binomial, expandir.

5. (2x� 1)5

6. (x+ 2y)6

Encontrar el termino medio en la expansion binomial de cada caso.

7.�2x+ 2

x

�88.�x2 + 1

x2

�10Encontrar el mas grande coe�ciente binomial en la expansion de cada caso.

9. (x+ y)5

10. (x+ y)6

11. (x+ y)7

12. (x+ y)8

13. Usando los ejercicios 9-12, encontrar el mayor coe�ciente en la expansiónbinomial (x+ y)n.

Los números de Bell Bn son llamados así en honor al matemático Americano-Escoses Eric T. Bell (1883-1960). Éstos son utilizados en combinatoria y sede�nen recursivamente como sigue:

B0 = 1

Bn =n�1Xi=0

�n

r

��n� 1i

�Bi; n � 1:

Calcular los siguientes números de Bell.

14. B2

15. B3

16. B4

17. B5

18. Veri�car que�n

r

�= n

r

�n� 1i� 1

�:


19. Probar que�2n

n

�es un entero par. (L. Moser, 1962)

Probar cada una de las siguientes proposiciones.

20. (n+ 1) j�2n

n

�; cuando se escribe ajb signi�ca que a es un factor de b y

n � 0.

21.nXr=0

�2n

2r

�=

nXr=1

�2n

2r � 1

�(Sugerecia: Use el Corolario 1.1)

22.nXr=0

2r�n

r

�= 3n

23.nXr=0

�n

r

��n

n� r

�=

�2n

n

�(Sugerencia: Considere (1 + x)2n = (1 + x)n(1 + x)n )

24.nXi=1

�n

i� 1

��n

i

�=

�2n

n+ 1

�(Sugerencia: Considere (1 + x)2n = (x+ 1)n(1 + x)n .)

Evalúe cada suma.

25. 1�n

1

�+ 2

�n

2

�+ 3

�n

3

�+ � � �+ n

�n

n

�(Sugerecia: Denote con S la suma. Utilice S y la suma en el orden inversopara calcular 2S)

26. a�n

0

�+ (a+ d)

�n

1

�+ (a+ 2d)

�n

2

�+ � � �+ (a+ nd)

�n

n

�

(Sugerencia: Utilice la misma sugerecia del Ejercicio 25)

27. Muestre que C(n; r�1) < C(n; r) si y sólo si r < n+ 1

2cuando 0 � r < n:

28. Usando el ejercicio 27, pruebe que el mayor coe�ciente binomial C(n; r)ocurre cuando r = bn=2c

Usando induccion, pruebe.


29.�n

0

�+

�n+ 1

1

�+

�n+ 2

2

�+ � � �+

�n+ r

r

�=

�n+ r + 1

r

�(Sugerencia: Use la identidad de Pascal)

30. 1�n

1

�+ 2

�n

2

�+ � � �+ n

�n

n

�= n2n�1

31.�n

0

�2+

�n

1

�2+

�n

2

�2+ � � �+

�n

n

�2=

�2n

n

�(Identidad de Lagrange)

A partir de la expansion binomial

(1 + x)n =

nXr=0

�n

r

�xr;

se puede mostrar que

n(1 + x)n�1 =nXr=1

�n

r

�rxn�1:

Usando este resultado, pruebe.

32. 1�n

1

�+ 2

�n

2

�+ 3

�n

3

�+ � � �+ n

�n

n

�= n2n�1

33. 1�n

1

�+ 3

�n

3

�+ 5

�n

5

�+ � � � = 2

�n

2

�+ 4

�n

4

�+ 6

�n

6

�+ � � � = n2n�2

34. Conjeture una fórmula paranXi=2

�i

2

�:

35. Prube la formula que supuso en el Ejercicio 34.

36. Conjeture una formula paranXi=3

�i

3

�37. Probar la formula supuesta en el Ejercicio 36.

38. Usando los ejercicios 34-37, prediga una formula paranXi=k

�i

k

�:


Figura 1.3: Números Triangulares.

1.6. Números Poligonales

Un número poligonal es aquel número que pueden con�gurarse en un polí-gono regular. Ellos proporcionan un fascinante eslabón entre la teoría de númerosy la geometría. No sorprende que los números poligonales tengan un origen an-tiguo, y efectivamente se cree que ellos fueron inventados por los pitagóricos en1665. Pascal publicó un libro sobre ello llamado Tratado sobre números cifrados.Los números poligonales, también conocidos como números cifrados en el

plano, son enteros positivos que pueden ser representados por polígonos regu-lares en un modelo sistemático. Se mostrará algunos tipos de tales números:números triangulares, números cuadrados, números pentagonales y númeroshexagonales.En bolos los diez pinos son ordenados inicialmente en un despliegue triangu-

lar. De manera similar, las 15 bolas en el juego de pool son inicialmente colocadasen una forma triangular. Ambos números 10 y 15 son números triangulares.De acuerdo a lo expresado, se presenta la siguiente de�nición.

Números TriangularesUn número triangular es un entero positivo que puede ser representado grá-

�camente por un arreglo triangular equilatero. El n�ésimo número triangularse denota por tn, con n � 1:Los primeros cuatro números triangulares son, 1; 3; 6; y 10 y ellos se rep-

resentan en la Figura 1.3 Ya que la i�ésima �la, de arriba hacia abajo, en eli�ésimo número triangular tiene i puntos, tn es igual a la suma de los n primerosenteros positivos, esto es

tn =nXi=1

i =n(n+ 1)

2.

Por ejemplo, t4 = (4� 5)�2 = 10 y t36 = (36� 37)�2 = 666:

1.6. NÚMEROS POLIGONALES 35

Figura 1.4: Números Cuadrados

Luego

tn =

�n+ 1

2

�;

de esta forma, los números triangulares pueden ser leidos en el triángulo dePascal.Ya que en cada con�guración triangular cada �la contiene un punto más que

la �la anterior, tn puede ser de�nida recusivamente, ver Tabla 1.

Tabla 1

Una Formula Recursiva para tn

t1 = 1

tn = tn�1 + n; n � 2

Como un ejemplo, ya que t3 = 6; t4 = t3 + 4 = 6 + 4 = 10:El Ejercicio 1 de esta sección plantea resolver la relación de recurrencia para

encontrar una formula explícita para tn:

Números CuadradosEnteros positivos que pueden ser representados por arreglos cuadrados (de

puntos) se denominan números cuadrados. El n�ésimo número cuadradose denota por sn. La Figura muestra los primeros cuatro números cuadrados,1; 4; 9 y 16. En general sn = n2; n � 1: Como antes, sn también puede de�nirserecursivamente. La Figura 1.5 permite ver como esto puede considerarse. Puedeverse un patrón, en donde el número de puntos en cada arreglo (excepto el


Figura 1.5: Recursividad para números cuadrados

primero), es igual al número de puntos en el arreglo anterior más dos veces elnúmero de puntos en la �la del anterior arreglo más uno; esto es,

sn = sn�1 + 2(n� 1) + 1= sn�1 + 2n� 1

Así, se tiene la siguiente de�nición recursiva de sn :

Una Formula Recursiva para Sn

s1 = 1

sn = sn�1 + 2n� 1; n � 2

Ahora se demostrará una relacion entre tn y sn. El siguiente teorema cono-cido por el matematico griego Theon de Smyrna (ca. A.D. 100) Y Nicomachus,establece algebráicamente que sn = tn + tn�1:

Teorema 32 La suma de dos numeros triangulares consecutivos es un cuadra-do.Demostración.

tn + tn�1 =n(n+ 1)

2+n(n� 1)

2

=n

2(n+ 1 + n� 1) = n

2(2n)

= n2 = sn:

A continuación se presentan algunos resultados a través de dos teoremascuyas demostraciones se dejan como ejercicio.

1.6. NÚMEROS POLIGONALES 37

Figura 1.6: Números Pentagonales

Teorema 33t2n�1 + t

2n = tn2 :

Teorema 348tn + 1 = (2n� 1)2

8tn�1 + 4n = (2n)2

El siguiente turno es para los números pentagonales10 pn:

Números PentagonalesLos primeros tres números pentagonales son 1; 5 y 12 son ilustrados en la

Figura 1.6 y se puede notar que

pn =n(3n� 1)

2

(Ver sección de ejercicios).Una interesante relación que conecta números triangulares, cuadrados y pen-

tagonales puede establecerse de la siguiente forma,

tn�1 + sn = pn; n � 2;

esto puede veri�carse algebráicamente y se deja como ejercicio para el lector.

A continuación se discutira respecto a los números hexagonales 11 hn:

10El pre�jo griego penta signi�ca cinco11El pre�jo griego hexa signi�ca seis


Figura 1.7: Números hexagonales

Números HexagonalesLa Figura 1.7 muestra la representación grá�ca de los primeros tres números

hexagonales 1; 6 y 15. Se puede veri�car que

hn = n(2n� 1); n � 1

(Ver sección de ejercicios).Los números triangulares, pentagonales y hexagonales satisfacen la relación

pn + tn�1 = hn

se puede veri�car esto (Ver sección de ejercicios).

Ejercicios 1.6

1. Resuelva la relación de recurrencia para tn:

2. Encuentre el valor de n tal que tn = 666: (El número 666 se conoce comoel número de la bestia)

3. Resuelva la relación de recurrencia para sn:

4. Muestre que 8tn + 1 = s2n+1: Diofanto

5. De�na recursivamente el n�ésimo número pentagonal pn:

6. Usando la relación en el ejercicio 5, encuentre una formula explícita parapn:

Pruebe para n � 2.

7. t2n�1 + t2n = tn2

8. pn + tn�1 = hn

1.7. NÚMEROS PIRAMIDALES 39

Figura 1.8: Números Piramidales Triangulares

9. De�na recursivamente el n�ésimo número hexagonal hn:

10. Usando la relación de recurrencia en el ejercicio 9, encuentre una formulaexplícita para hn:

1.7. Números Piramidales

Ahora se estudiará �guras sólidas de números, las cuales están comprendidaspor enteros positivos que pueden ser representados de forma piramidal. Se ob-tienen realizando sumas sucesivas de los correspondientes números poligonales.Los números de lados en la base de una pirámide se incrementa a partir detres, de esta forma se obteniendo los diversos números piramidales, como lostriangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales y así sucesivamente.

Se iniciará con el más simple de los números piramidales, los números pi-ramidales triangulares, también conocidos como números tetraédricos.

Números Piramidales TriangularesEl n�ésimo número piramidal triángular Tn es la suma de los n primeros

números triangulares tn. Los cuatro primeros números son de la forma: T1 = 1;T2 = t1+t2 = 1+3 = 4; T3 = t1+t2+t3 = 1+3+6 = 10; y T4 = t1+t2+t3+t4 =1+3+6+10 = 20. La Figura 1.8 permite observar la obtención de los diferentesnúmeros piramidales triangulares, apilando canicas en el orden mostrado.Los diferentes números pirámidales triángulares pueden construirse utilizan-

do la regularidad presentada en la Tabla 1.9. Luego, para obtener el 5o númeropiramidal triangular se suma el 4o número piramidal triangular con el 5o número


triangular. De manera general Tn = Tn�1 + tn; que equivale a, Tn = Tn�1 +[n(n+ 1)]=2:Ya que

Tn =nXi=1

ti;

de la sección anterior se tiene que:

Tn =nXi=1

i(i+ 1)

2

=n(n+ 1)(n+ 2)

6

=

�n+ 2

3

�Por consiguiente, Tn también puede ser leído en el triángulo de Pascal.

Números Piramidales CuadradosAquí la base de la piramide para la obtención de los número piramidales

cuadrados es, efectivamente un cuadrado. Y cada nivel contiene sn puntos. LaFigura 1.10 muestra la construcción del 4o número piramidal cuadrado, utilizan-do una estructura a partir de canicas.Los primeros cuatro números piramidales cuadrados son 1, 5, 14 y 30.

Los números cuadrados pirámidales, notados Sn; pueden construirse fácilmenteusando la estructura presentada en la Figura 1.11.Luego el n�ésimo númeropiramidal cuadrado se puede obtener

Sn =

nXk=1

sk =

nXk=1

k2

=n(n+ 1)(2n+ 1)

6:

Números Piramidales PentagonalesLa n�ésima �la de una pirámide pentagonal representa el n�ésimo número

pentagonal pn, los primeros cinco números pirámidales pentagonales son 1,

Figura 1.9: Regularidad Números Piramidales Triangulares

1.7. NÚMEROS PIRAMIDALES 41

Figura 1.10: Construcción del 4o número piramidal cuadrado

Figura 1.11: Regularidad Números Piramidales Cuadrados

6, 18, 40, y 75. Una vez más, se presenta mediante la Figura 1.12 la regularidadpara su construcción.Se propone como ejercicio encontrar una fórmula explícitapara el n�ésimo número piramidal pentagonal notado Pn.

Figura 1.12: Regularidad Números Piramidales Pentagonales

Finalmente se hablará de los números pirámidales hexagonales Hn:

Números Piramidales HexagonalesLa n�ésima �la de una piramide hexagonal representa el n�ésimo número

hexagonal hn, los primeros cinco números pirámidales hexagonales son 1,7, 22, 50 y 95. De igual manera, se propone como ejercicio, con base en la Figura1.13, encontrar una formula explícita para Hn.

Ejercicios 1.7

1. Encuentre los primeros cuatro números triangulares que son cuadrados.


2. Usando la relación de recurrencia Tn = Tn�1 +n(n+1)

2 donde T1 = 1;encuentre una formula explícita para el n�ésimo número triangular pi-ramidal Tn:

3. De�na recursivamente en n�ésimo número piramidal cuadrado Sn.

4. Usando el ejercicio 3, encuentre una formula explicita para Sn:

5. Encuentre una formula para el n�ésimo número piramidal pentagonal Pn:

6. De�na recursivamente el n�ésimo número piramidal pentagonal Pn:

7. Use el ejercicio 6, encuentre una formula explícita para Pn:

8. Encuentre una formula para el n�ésimo número piramidal hexagonal Hn:

9. De�na recursivamente el n�ésimo número piramidal hexagonal Hn:

10. Use el ejercicio 9, encuentre una formula explícita para Hn:

1.8. Números de Catalán

Los números de Catalan son un un conjunto de números que encajan demanera perfecta dentro de este contexto, ellos son excelentes candidatos para laexploración, la experimentación y para establecer conjeturas. Como los númerosde Fibonacci y de Lucas, ellos tienen, como Martin Gardner escribió en la Scien-ti�c American, "la misma encantadora propensión para aparecer de improviso,en particular en problemas combinatorios "(1976). Aquellos sitios inesperadosen donde aparecen incluyen el álgebra abstracta, la teoría combinatoria, la in-formática, la teoría grafos, y la geometría.Los números de Catalán son llamados así luego de que el matemático bel-

ga Eugene C. Catalán, los descubriera en 1838, mientras él estudiaba las se-cuencias gramaticalmente correctas de paréntesis. Antes, alrededor de 1751, elexcepcional matemático suizo Leonhard Euler los encontró estudiando las tri-angulaciones de polígonos convexos.

Figura 1.13: Regularidad Números Piramidales Hexagonales

1.8. NÚMEROS DE CATALÁN 43

Figura 1.14: El Problema de la Triangulación de Euler

El Problema de la Triangulación de EulerSe inicia el estudio de los números de Catalán Cn; con la investigación de

Euler del problema de la triangulación:

Problema 35 Encuentre el número de formas An; en que el interior de unn�ágono convexo12 puede ser dividido en áreas triangulares no superpuestasdibujando diagonales que no se cruzan, donde n � 3:

Hay sólo un forma de dividir un triángulo en áreas triangulares, dos modosdiferentes de dividir en áreas triangulares un cuadrado, cinco modos diferentesde dividir en áreas triangulares un pentágono, y 14 modos diferentes de dividirun hexágono, como se muestra en la Figura 1.14. Así, se tienen los números deCatalán 1, 2, 5, y 14.Se propone como ejercicio para el lector encontrar las 5formas de dividir en áreas triangulares el pentagono.

Euler usa un argumento inductivo para establecer la formula

An =2 � 6 � 10 � � � � � (4n� 10)

(n� 1)! para n � 3

para incluir los casos n = 0; 1; 2 haciendo k = n� 3 se tiene

Ak+3 =2 � 6 � 10 � � � � � (4k + 2)

(k + 2)!para k � 0

Así, A3 = 1; A4 = 2; A5 = 5; se obtienen de la anterior expresión asignandovalores de k = 0; k = 1 y k = 2 y que corresponden a los números de Catalán

12Un n�ágono convexo es un polígono con n lados tal que todas sus diagonales quedantotalmente en el interior del polígono.


C1; C2; C3 respectivamente. Cambiando dos espacios a la derecha se tiene queCn = An+2; luego

Cn = An+2 =2 � 6 � 10 � � � � � (4n� 2)

(n+ 1)!para n � 1;

pero

Cn =2 � 6 � 10 � � � � � (4n� 2)

(n+ 1)!

=(4n� 2)n+ 1

2 � 6 � 10 � � � � � (4n� 6)n!

=(4n� 2)n+ 1

Cn�1

Cuando n = 1 se tiene que C1 = C0; pero ya que C1 = 1; de�niendo C0 = 1 sepuede escribir la recursividad de los números de Catalán como sigue.

Una De�nición Recursiva de Cn

C0 = 1

Cn =(4n� 2)n+ 1

Cn�1 si n � 1:

Una Formula Explícita para CnPara la solución de la relación de recurrencia presentada antes se tiene,

Cn =(4n� 2)n+ 1

Cn�1

=(4n� 2)n+ 1

(4n� 6)n

Cn�2

=(4n� 2)n+ 1

(4n� 6)n

(4n� 10)n� 1 Cn�3

...

=(4n� 2)(4n� 6)(4n� 10) � � � 6 � 2

(n+ 1)n(n� 1) � � � 3 � 2 C0

= 2n(2n� 1)(2n� 3)(2n� 5) � � � 3 � 1

(n+ 1)!

= 2n(2n� 1)(2n� 3)(2n� 5) � � � 3 � 1

(n+ 1)!

�2 � 4 � � � � � (2n)2 � 4 � � � � � (2n)

�= 2n

(2n)!

(n+ 1)!

1

2n [1 � 2 � � � � � n]

= 2n(2n)!

(n+ 1)!

1

2nn!

=1

(n+ 1)

(2n)!

n!n!=

1

n+ 1

�2n

n

�:

1.8. NÚMEROS DE CATALÁN 45

Ya que (n + 1)j�2n

n

�(se propone esta a�rmación como ejercicio para el

lector)13 , de esto se sigue que todo número de Catalan es entero positivo. Acontinuación se presentan los primeros números de Catalan:

1; 1; 2; 5; 14; 42; 132; 429; 1430; 4862; 16796; 58786; :::

Se sigue desde la formula explícita que todo número de Catalán Cn puedeextraerse desde el triángulo de Pascal: Dividiendo cada coe�ciente binomial

central�2n

n

�entre (n+ 1);

#�0

0

��1

0

� �1

1

��2

0

� �2

1

� �2

2

��3

0

� �3

1

� �3

2

� �3

3

��4

0

� �4

1

� �4

2

� �4

3

� �4

4

�"

Ejercicios 1.8Probar.

1. Cn =1

n

�2n

n� 1

�

2. Cn =�2n

n

��2n

n� 1

�

3. Cn+1 =�2n

n

��2n

n� 2

�

4. Cn =1

2n+ 1

�2n+ 1

n

�

5. Cn =�2n� 1n� 1

��2n� 1n� 2

�

6. Cn = 2�2n

n

��2n+ 1

n

�13ajb signi�ca que a es factor de b, o que a divide a b.


7. Cn =�2n+ 1

n+ 1

�� 2�2n

n+ 1

�Usando la formula recursiva

Cn =

b(n�1)=2cXr=0

�n� 12n

�2n�2r�1Cr

calcule Cn para cada valor de n:

8. n = 5

9. n = 6

Capítulo 2

Divisibilidad

Este Capítulo continua con el estudio de las propiedades de los enteros yexplora los números primos, los cuales son un componente básico de éste con-junto, los números compuestos y una clase particular de números denominadosnúmeros de Fermat.

2.1. El Algoritmo de la División

El algoritmo de división es una �na aplicación del principio del buen orden ya menudo se emplea como método de comprobación del proceso de la división.Suponga que un entero a se divide por un entero positivo b. Entonces se

consigue un único cociente q y un único residuo (o resto) r, donde el residuosatisface la condición 0 � r < b; a es el dividendo y b es el divisor. Estoformalmente se establece de la siguiente forma.

Teorema 36 (El Algoritmo de la División) Sea a cualquier entero y b unentero positivo. Entonces existen enteros únicos q y r tales que

a = b � q + r

donde 0 � r < b:

Demostración. La prueba consiste en dos partes. Primero se establecera laexistencia de los enteros q y r y luego se mostrará que ellos son únicos.Demostración de la existenciaConsidere el conjunto S = fa� bnj(n 2 Z) y (a� bn � 0)g : Claramente,

S �W: Se desea mostrar que S tiene un mínimo elemento. Para este �n, primerose muestra que S es un subconjunto no vacio de W :

47

48 CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD

Caso 1. Suponga a � 0: Entonces a = a� b �0 2 S; así S contiene un elemento.

Caso 2. Suponga a < 0: Ya que b 2 Z+; b � 1: Entonces �ba � �a; esto es,a� ba � 0: Consecuentemente, a� ba 2 S:

En ambos casos, S contiene al menos un elemento, así S es un subconjuntono vacío deW: Por tanto, por el principio del buen orden, S contiene un mínimoelemento r:Ya que r 2 S, existe un entero q tal que r = a� bq; donde r � 0:Por mostrar que r < b :Se mostrará esto por contradicción. Escogiendo r � b: Entonces r � b � 0:

Pero r � b = (a � bq) � b = a � b(q + 1): Ya que a � b(q + 1) es de la formaa� bn y es � 0; a� b(q + 1) 2 S; esto es, r � b es más pequeño que r y está enS: Esto contradice la forma de escoger r; así r < b.Así, hay enteros q y y talque a = bq + r; donde 0 � r < b:Demostración de la unicidadSe quiere ahora mostrar que los enteros q y r son únicos. Asumiendo que

hay enteros q; q0; r y r0 tal que a = bq + r y a = bq0 + r0; donde 0 � r < b y0 � r0 < b:Asumiendo, por conveniencia, que q � q0: Entonces r0�r = b(q�q0): Ya que

q � q0; q � q0 � 0 y ya que r0 � r � 0: Pero, ya que r0 < b y r < b; r0 � r < b:Suponga que q > q0; esto es, q � q �0 1: Entonces b(q � q0) � b; esto es,

r0 � r � b: Que es una contradicción ya que r0 � r < b: Por tanto, q � q0; así,q = q0; y ya que, r = r0: Luego, los enteros q y r son únicos, completando laprueba de unicidad.

Aunque tradicionalmente se haya dado a este teorema el nombre de algoritmode división, éste no presenta un algoritmo para encontrar q y r. Ellos se puedenencontrar usando el método largo de la división.

Ejemplo 37 Encuentre el cociente q y el residuo r cuando

1. 207 se divide por 15

2. �23 se divide por 5Solución.

1. 207 = 15 � 3 + 12; así q = 13 y r = 12:

2. Ya que �23 = 5 � (�4) + (�3); se estaría tentado a decir que q = �4 yr = �3: El residuo, sin embargo, nunca puede ser negativo. Pero �23 sepuede escribir como �23 = 5 � (�5) + 2; donde 0 � r(= 2) < 5 (Ver larecta numérica en la Figura 2.1). De esta forma, q = �5 y r = 2:

2.1. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 49

Figura 2.1: Ilustración de la division de �23 entre 5 en la recta numérica.

Puede notarse que la ecuación a = bq + r puede escribirse

a

b= q +

r

b;

donde 0 � r=b < 1: Consecuentemente, q = ba=bc y r = a� bq = a� b � ba=bc :

Operadores Div y ModLos operadores binarios, div y mod, son frecuentemente usados en el área de

las matematicas discretas y computacionales para encontrar cocientes y residuos.Se pueden de�nir de la siguiente forma:

adiv b = cociente cuando a se divide entre b

amod b = residuo cuando a se divide entre b

Por ejemplo, 23 div 5 = 4; y 23mod 5 = 3; �23 div 5 = �5; y �23mod 5 = 2;como se argumento en el ejemplo anterior.De las de�niciones anteriores se puede escribir

q = adiv b = ba=bc

yr = amod b = a� bq = a� b � ba=bc :

El Principio del Palomar y el Algoritmo de la DivisiónEl principio del palomar también conocido como el principio de las

cajas de Dirichlet luego de que el matemático alemán Gustav Peter LejeuneDirichlet lo usara extensivamente en sus trabajos sobre teoría de números. Esteprincipio puede ser utilizado en variadas situaciones.Suponga m palomas volando hacia n palomares, donde m > n: ¿Cuál es su

conclusión? Ya que hay más palomas que palomares, al menos dos palomas seposarán en el mismo palomar; en otras palabras, hay palomares que contendrándos o más palomas.

Se establecerá y probará a continuación una versión simple del principio depalomar.


Teorema 38 (El Principio del Palomar) Si m palomas son asignadas an palomares, donde m > n; entonces al menos dos palomas ocupan el mismopalomar.

Demostración. (por contradicción) Suponga que la conclusión es falsa; estoes, no hay dos palomas que ocupan el mismo palomar. Entonces toda palomapuede ocupar un distinto palomar, así n � m; lo cual contradice la hipótesisque m > n. Así, dos o más palomas ocupan el mismo palomar.

Ejemplo 39 El principio del palomar permite probar que en nuestra ciudadexisten dos personas que tienen el mismo número de pelos en la cabeza. Lasituación se puede argumentar de la siguiente manera, suponga que una personatiene a lo más 150.000 pelos en la cabeza, habrán calvos (0 pelos en la cabeza),personas con tendencia a la calvicie (digamos 100 pelos en la cabeza), en �n,ellos se podrían clasi�car dependiendo del número de pelos en la cabeza. Supongaque en un primer cuarto entran todos los calvos, en un segundo cuarto entranlos que tienen un pelo y así sucesivamente en el último cuarto entran los quetienen 150 mil pelos. De esta forma se tendrían 150.001 cuartos en donde estántodos los habitantes de nuestra ciudad. Bajo estos supuestos, si nuestra ciudadtiene más de 150.001 habitantes1 , por el teorema del palomar, necesariamentedebe existir un cuarto que tiene al menos dos personas, esto es, tienen la mismacantidad de pelos en la cabeza.

A continuación se presenta la relación de divisibilidad.

La Relación de DivisibilidadSuponga que en el algoritmo de la división r = 0: Entonces a = bq+ 0 = bq:

Se pude a�rmar que b divide a a; b es factor de a; a es divisible por b; o a es unmúltiplo de b; y se escribe bja: Si b no es factor de a; se escribe b - a:Por ejemplo, 3j12; 5j30; pero 6 - 15:

Ejemplo 40 Sea b un entero � 2: Suponga que b + 1 enteros se seleccionadosaleatoriamente. Probar que la diferencia de dos de ellos es divisible por b:Solución. Sea q el cociente y r el residuo cuando un entero a se divide

por otro entero b: Entonces, por el algoritmo de la división, a = bq + r; donde0 � r < b: Los b + 1 enteros dan b + 1 residuos (palomas), pero hay solamenteb posibles residuos (palomares). Por tanto, por el principio del palomar, dos delos residuos deben ser iguales.

1La siguiente página de Internet permite, oprimiendo la tecla F5, saber cuántos habitantestiene la ciudad de Bogotá en un instante, en el momento en que se escribe este texto hay7.261.523 habitantes:http://www.sdp.gov.co:8443/www/formula_contador.php


Sean x y y los corrrespondientes enteros. Entonces x = bq1+ r y y = bq2+ rpara algunos cocientes q1 y q2: Por tanto,

x� y = (bq1 + r)� (bq2 + r)= b (q1 � q2)

así, x� y es divisible por b:

Un Acertijo IntrigantePiense en un número de tres dígitos abc: Multiplique el número abc y sus

sucesivas respuestas por 7; 11 y 13; respectivamente. Su respuesta es el númeroabcabc: ¿Sorprendido? ¿Puede usted explicar el porqué de este resultado?

A continuación se estudian varias propiedades de la divisibilidad. Se deja allector sus pruebas como ejercicios.

Teorema 41 Sean a y b enteros positivos tales que ajb y bja: Entonces a = b:

Teorema 42 Sean a; b, c, � y � enteros cualesquiera.2 Entonces

1. Si ajb y bjc; entonces ajc: (Propiedad Transitiva)

2. Si ajb y ajc; entonces aj(�b+ �c):

3. Si ajb; entonces ajbc:

Observación La expresión �b+ �c se llama combinación lineal de b y c:Así, por la parte 2, si a es un factor de b y c; entonces a es también combinaciónlineal de b y c: En particular, aj(b + c) si � = � = 1 y aj(b � c) si � = 1 y� = �1:

La función piso puede usarse para determinar el número de números enterospositivos menores o iguales que un número entero positivo a y divisible por unnúmero entero positivo b, como el siguiente teorema muestra.

Teorema 43 Sean a y b enteros positivos. Entonces el número de enteros po-sitivos � a y divisible por b es ba=bc :

Demostración. Suponga que hay k enteros positivos � a y divisibles por b:Se necesita mostrar que k = ba=bc : Los múltiplos positivos de b menores oiguales que a son a; 2b; :::; kb: Claramente, kb � a; esto es, k � a=b: Más aun,(k + 1)b > a: Así, k + 1 > a=b o a=b� 1 < k: Por lo tanto,

a

b� 1 < k � a

b:

2� y � son las letras griegas alfa y beta.


Así, k es el más largo entero menor o igual a a=b; luego k = ba=bc :

Por ejemplo, el número de enteros positivos � 2076 y divisibles por 19 esb2076=19c = b109; 26316c = 109:

A continuación, se consideraran algunos aspectos de conjuntos y de el prin-cipio de inclusión-exclusión.

Unión, Intersección y ComplementoSea A un conjunto �nito y sea jAj el número de elementos en A: Por ejemplo,

si A = f3; 5; 8; 17g ; entonces jAj = 4: (En el Capítulo 1, se utilizó las barrasverticales para denotar el valor absoluto de un número, pero aqui denotará elnúmero de elementos en un conjunto. El signi�cado de la notación debe poderdeducirse dependiendo del contexto.)Sean A y B dos conjuntos . Su unión A [ B es el conjunto de elementos

pertenecientes a A o a B; su intersección A \ B consiste en los elementoscomunes; A0 denota el complemento de A; esto es, el conjunto de elementos enel conjunto universal que no están en A:A continuación se estudiará el principio de inclusión-exclusión.

Teorema 44 (El Principio de Inclusión-Exclusión) Sean A1; A2; :::; An nconjuntos �nitos. Entonces��

n[i=1

Ai

�� =X1�i�n

jAij �X

1�i<j�njAi \Aj j

+X

1�i<j<k�njAi \Aj j � � � �+ (�1)n+1

��n\i=1

Ai

�� :Los siguientes dos ejemplos son simple aplicaciones de este teorema.

Ejemplo 45 Encuentre el número de enteros positivos � 2076 y divisibles porambos, 4 y 5:Solución. Sea

A = fx 2 Njx � 2076 y divisibles por 4g

yB = fx 2 Njx � 2076 y divisibles por 5g :

Entonces

jA [Bj = jAj+ jBj � jA \Bj= b2076=4c+ b2076=5c � b2076=20c= 519 + 415� 103 = 831:


Así, entre los primeros 2076 números enteros positivos, hay 2076�831 = 1245números enteros no divisibles por 4 o 5.

Ejemplo 46 Encuentre el número de enteros positivos � 3000 y divisibles por3; 5 o 7:Solución. Sean A, B y C los conjuntos enteros positivos � 3000 y divisibles

por 3; 5 o 7: Por el principio de inclusión-exclusión,

jA [B [ Cj = jAj+ jBj+ jCj � jA \Bj � jB \ Cj � jA \ Cj+ jA \B \ Cj= b3000=3c+ b3000=5c+ b3000=7c � b3000=15c� b3000=35c � b3000=21c+ b3000=105c

= 1629:

Ahora se retornará al algoritmo de la división y se discutirá sobre algunaspropiedades de la divisibilidad que envuelve enteros pares e impares.

Enteros Pares e ImparesSuponga que enel algoritmo de la división se hace b = 2: Entonces se tiene

a = 2q + r; donde 0 � r < 2: Así, r = 0 o r = 1: Cuando r = 0; a = 2q; talesenteros son enteros pares. Cuando r = 1; a = 2q + 1; tales enteros son enterosimpares. Se sigue de esta de�nición que todo entero es uno de dos, par o impar,pero no ambos.Los Pitagóricos consideraron los números impares como masculinos y buenos,

y los números pares como femeninos y malos. El número 1 no fue considerado nimasculino ni femenino. El número 5; es la suma del primer número masculino yel primer femenino, por tanto fue considerado como el simbolo del matrimonio.Algunos �lósofos, soportados por la temprana teología cristiana, identi�caronlos números con Dios.Las siguientes propiedades también fueron conocidas por los Pitagóricos. Su

demostración se propone como ejercicio.

La suma de dos enteros pares es par.

El producto de dos enteros pares es par.

La suma de dos enteros impares es par.

El producto de dos enteros impares es par.

La suma de un entero par y uno impar es impar.

El producto de un entero par y uno impar es par.

Si el cuadrado de un entero es par, entonces el entero es par.

Si el cuadrado de un entero es impar, entonces el entero es impar.


Ejercicios 2.1Encuentre el cociente y el residuo cuando el primer entero se divide por el

segundo.

1. 78; 11

2. 57; 75

3. �325; 13

4. �23; 25Denote con f(n) el número de factores positivos del entero n: De estaforma evalue.

5. f(16)

6. f(12)

7. f(15)

8. f(17)

Encuentre el número de enteros positivos � 3076 y

9. Divisibles por 19


11. No divisibles por 17


Encuentre el número de enteros positivos en el rango de 1976 hasta 3776que son





Marque como verdadero o falso, suponiendo que a; b y c son enteros arbi-trarios.

17. 1ja

18. Si ajb; entonces aj � b

19. aj0

20. Si ajb y bja; entonces a = b:

21. Si ajb; entonces a < b:


22. Si ajb; entonces ajb:

23. Si ajb y bjc entonces ajc:

24. Si a - b; entonces b - a:

25. Cero no divide ni a pares ni a impares.

26. No hay ningún residuo cuando un entero par se divide por 2:

Probar o refutar cada proposición, asumiendo a; b y c son enteros arbi-trarios.

27. Si a2 = b2 entoces a = b.

28. Si ajb y bja; entonces a = b:

29. Si aj(b+ c); entonces ajb y ajc:

30. Si ajbc entonces ajb y ajc:Evalue asumiendo d entero positivo.

31.P

dj12 d

32.P

dj12 1

33.P

dj18�1d

�34.

Pdj18

�18d

�35. Un número desnudo es un número natural n tal que cada uno de sus dígitos

es un factor de n: Encuentre los números desnudos impares de tres dígitosque no contienen dígitos repetidos.

Sea f una función de�nida recursivamente por

f(n) =

�1 si 3jnf(n+ 1) en otro caso

36. Encuentre f(16)

37. Encuentre una formula explícita para f(n):

Probar cada proposición, asumiendo a y b son enteros positivos.

38. Si ajb y bja; entonces a = b.

39. Si ajb y cjd; entonces acjbd.

40. La suma y el producto de cualquier dos enteros pares son pares.


2.2. Con�guraciones Numéricas

Las con�guraciones de números son una diversión tanto para a�cionados co-mo para profesionales. A menudo el interés recae en añadir una o dos �las almodelo construido, entonces se debe tener capacidad para reconocer el modelopara tener éxito en el arte de razonamiento inductivo. Esto requiere tanto ha-bilidad como ingenio. En dos de los siguientes ejemplos, pruebas matemáticasestablecen la validez del modelo.La siguiente fascinante con�guración numérica fue publicada en 1882 por el

matemático francés François-Edouard-Anatole Lucas.

Ejemplo 47 Estudie la siguiente con�guración numérica y adicione dos o máslíneas.

1 � 9 + 2 = 11

12 � 9 + 3 = 111

123 � 9 + 4 = 1111

1234 � 9 + 5 = 11111

12345 � 9 + 6 = 111111

123456 � 9 + 7 = 1111111...

Solución. Aunque el modelo aquí sea muy obvio, se hacen unas observa-ciones, se estudia, se buscar un comportamiento similar, y se aplica el modelopara añadir dos líneas más:

El LMI de cada ecuación es la suma de dos números. El primer númeroes el producto del número 123:::n y 9.

El valor de n en la primera ecuación es 1, en la segunda es 2, en la terceraes 3, etc.

Observando los segundos sumandos en el LMI: 2; 3; 4; 5; :::: Esta es unasecuencia creciente que comienza en 2, así el segundo sumando en lan�ésima ecuación es n+ 1.

El LMD de cada ecuación es un número cada vez mayor de 1s, la n�ésimaecuación contiene n+ 1 unos.

Así, el modelo que es: El primer número en la línea n�ésima es 123:::n;el segundo número es siempre 9; el segundo sumando es n + 1; y el LMD estácompuesto de n+ 1 unos.Así las dos siguientes líneas son

1234567 � 9 + 8 = 11111111

12345678 � 9 + 9 = 111111111

2.2. CONFIGURACIONES NUMÉRICAS 57

Ejemplo 48 Estudie la con�guración numérica y adicione dos o más �las:

1 � 8 + 1 = 9

12 � 8 + 2 = 98

123 � 8 + 3 = 987

1234 � 8 + 4 = 9876

12345 � 8 + 5 = 98765

123456 � 8 + 6 = 987654...

Solución. Un mirada a varias �las revela el modelo siguiente: El primerfactor del producto en el LMI de la ecuación n�ésima tiene la forma 123:::n; elsegundo factor es siempre 8. El segundo sumando en la ecuación es n. El númeroen el LMD de la ecuación n�ésima contiene n dígitos, cada uno comienza conel dígito 9, y de izquierda a derecha cada dígito disminuye en 1.

Así las dos siguientes líneas de la con�guración son

1234567 � 8 + 7 = 9876543

12345678 � 8 + 8 = 98765432

¿Qué garantiza que estos dos modelo se sostendrán? En general, las con-clusiones alcanzadas después de la observación del modelo no tienen que serverdaderas. En otras palabras, el razonamiento inductivo no necesariamentenos conduce a conclusiones verdaderas.

Por ejemplo, considere la secuencia 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6:::: Claramente, hay unmodelo. ¿Cuál es el siguiente número en la secuencia? ¿Es el 7? Éste es segu-ramente una posibilidad, pero el siguiente número también podría ser 0 paraobtener el modelo 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 1; 2::::

Por suerte, es posible establecer la validez de cada modelo usando pruebasmatemáticas, como lo muestran los dos ejemplos siguientes.

Ejemplo 49 Establezca la validez del Ejemplo 47.Demostración. Se quiere probar que

123:::n� 9 + (n+ 1) = 11 : : : 11| {z }n+1 unos


LMI = 123:::n� 9 + (n+ 1)= 9

�1 � 10n�1 + 2 � 10n�2 + 3 � 10n�3 + � � �+ n

�+ (n+ 1)

= (10� 1)�1 � 10n�1 + 2 � 10n�2 + 3 � 10n�3 + � � �+ n

�+ (n+ 1)

=�10n + 2 � 10n�1 + � � �+ n � 10

��10n�1 + 2 � 10n�2 + � � �+ n

�+ (n+ 1)

= 10n + 10n�1 + 10n�2 + � � �+ 10 + 1= 11 : : : 11| {z }

n+1 unos

= LMD

(Sería interesante ver si este resultado se mantiene para cualquier entero posi-tivo n; inténtelo.)

Se estudiará un ejemplo adicional.

Ejemplo 50 Adicione dos o más �las en el siguiente modelo, conjeture unaformula para la n�ésima �la, y pruebela:

9 � 9 + 7 = 88

98 � 9 + 6 = 888

987 � 9 + 5 = 8888

9876 � 9 + 4 = 88888

98765 � 9 + 3 = 888888...

Solución.

Las siguientes dos �las de con�guraciones son

987654 � 9 + 2 = 8888888

9876543 � 9 + 1 = 88888888

La con�guración general esta dada por

987:::(10� n) � 9 + (8� n) = 888 : : : 888| {z }n+1 ochos

; 1 � n � 8

Para probar la conjetura:

2.2. CONFIGURACIONES NUMÉRICAS 59

Demostración.

LMI = 987:::(10� n) � 9 + (8� n)= (10� 1)[9 � 10n�1 + 8 � 10n�2 + 7 � 10n�3 + � � �+ (11� n)10

+(10� n)] + (8� n)= [9 � 10n + 8 � 10n�1 + � � �+ (11� n)102 + (10� n)10]�

[9 � 10n�1 + 8 � 10n�2 + � � �+ (11� n)10 + (10� n)] + (8� n)= 9 � 10n � (10n�1 + 10n�2 + � � �+ 10)� (10� n) + (8� n)= 9 � 10n � (10n�1 + 10n�2 + � � �+ 10 + 1)� 1= 10 � 10n � (10n + 10n�1 + � � �+ 10 + 1)� 1

= 10n+1 � 10n+1 � 19

� 1; ya quekXi=0

ri =rk+1 � 1r � 1 (r 6= 1)

=8(10n+1 � 1)

9

Pero10n+1 � 1 = 99 : : : 99| {z }

n+1 nueves

así10n+1 � 1

9= 11 : : : 11| {z }

n+1 unos

:

Por tanto,

LMI =8(10n+1 � 1)

9= 88 : : : 88| {z }

n+1 ochos

= LMD

Ejercicios 2.2Encuentre los siguientes dos elementos de cada secuencia.

1. 1; 3; 6; 10; 15; :::

2. 1; 4; 7; 10; 13; :::

3. 1; 5; 12; 22; 35; :::

4. 1; 6; 15; 28; 45; :::

5. 1; 4; 10; 20; 35; :::

6. 1; 5; 14; 30; 55; :::

7. 1; 1; 2; 3; 5; 8; :::

Adicione dos o más �las a cada con�guración numérica.


8.

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16

9.

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

10.

1 + 0 � 1 = 1

1 + 1 � 3 = 4

1 + 2 � 4 = 9

1 + 3 � 5 = 16

11.

23 � 2 = 1 � 2 � 333 � 3 = 2 � 3 � 443 � 4 = 3 � 4 � 553 � 5 = 4 � 5 � 6

12.

1 � 1 = 1

11 � 11 = 121

111 � 111 = 12321

1111 � 1111 = 1234321

11111 � 11111 = 123454321

13.

7 � 7 = 49

67 � 67 = 4489

667 � 667 = 444889

6667 � 6667 = 44448889

66667 � 66667 = 4444488889

2.3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS 61

14.

123456789 � 9 = 111111111

123456789 � 18 = 222222222

123456789 � 27 = 333333333

123456789 � 36 = 444444444

123456789 � 45 = 555555555

15.

4 � 4 = 16

34 � 34 = 1156

334 � 334 = 111556

3334 � 3334 = 11115556

33334 � 33334 = 1111155556

16.

102 � 10 + 1 = 91

104 � 102 + 1 = 9901

106 � 103 + 1 = 999001

108 � 104 + 1 = 99990001

1010 � 105 + 1 = 9999900001

17-24. Conjeture una formula para la n�ésima �la en cada una de las con�gura-ciones en los ejercicios del 9 al 16.

25-29. Establezca la validez de su formula en los ejercios 17-20 y 24.

2.3. Números Primos y Compuestos

Los números primos están contenidos en la familia de los números enterospositivos. Por medio de dos algoritmos que son usados a menudo, podemos

determinar si un número entero positivo es primo. Algunos enteros positivostienen exactamente dos factores positivos, otros tienen más de dos. Por ejemplo,3 tiene exactamente 2 factores positivos, 1 y 3; otros como el 6 tienen por ejemplo4, estos son: 1, 2, 3 y 6.

Ahora de acuerdo con lo que se ha analizado, se dará la siguiente de�nición:


Números Primos y CompuestosUn entero positivo > 1 es un número primo (o simplemente un primo) si solo

tiene dos factores primos, uno y él mismo. Un entero positivo mayor que unoque no sea un primo, es un número compuesto (o simplemente un compuesto).Se notará por de�nición que 1 no es ni número primo, ni tampoco número

compuesto, este es justamente la unidad multiplicativa o la unidad.Los diez primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29; los diez

primeros números compuestos son 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16 y 18.Siguiendo la de�nición, el conjunto de números positivos pueden ser divididos

en tres clases:El conjunto de los primos, el conjunto de los compuestos, y el conjunto f1g.

¿Cuántos primos hay? ¿Hay alguna forma sistemática para determinar si unnúmeros positivo es primo?Para responder a la primera pregunta, es necesario el siguiente Lema3 , el

cual se prueba por inducción. Puede también probarse por contradicción.

Lema 51 Todos entero n � 2 tienen un factor primo.

Demostración. (induccion fuerte) La proposición dada es claramente ciertacuando n = 2: Ahora se asumirá que también es verdadera para todos los enterospositivos n � k, donde k � 2. Ahora se considerará el entero k + 1.Caso 1. Si k+1 es un primo, entonces k+1 tiene un factor primo (él mismo).Caso 2 Si k + 1 no es un primo, k + 1 es un número compuesto, entonces

éste debe tener un factor d � k. Ahora, por hipótesis de inducción, d tiene unfactor primo p. Luego, p es un factor primo de k + 1, por el Teorema 42.Así, por la versión fuerte de inducción, la proposición es verdadera para

todo entero � 2; Luego hemos demostrado que todo número entero � 2 tieneun factor primo.

Puede probarse que hay un número in�nito de primos. Este resultado ele-gante presentado por Euclides, es muy usado en teoría de números. Se usaráesencialmente su técnica proveniente del libro IX de los Elementos, para suprueba. Pueden observarse pruebas alternativas de este resultado.

Teorema 52 Hay in�nitos números primos.

Demostración. (por contradicción) Asuma que hay un número �nito deprimos, p1; p2; :::; pn. Considere el entero N = p1; p2:::pn+1: Ya que N � 2, porLema 51 N es divisible por algún primo pi, donde 1 � i � n. Ya que pijN ypijp1p2 � � � pn; entonces pij(N � p1p � � � pn), por Teorema 42; es decir, ij1 lo cuales imposible.Así, la suposición hecha es falsa, por tanto tienen que haber in�nitos números

primos.3Un lema es un menor resultado usado para probar un teorema.


La prueba de este teorema gira en la escogencia del número En = p1p2:::pn+1, donde pi denota el i�ésimo primo e i � 1. Los primeros 5 valores de En sonE1 = 3; E2 = 7; E3 = 31; E4 = 211 y E5 = 2311, todos primos. Desafortunada-mente, no todos los valores de En son primos. En 1996 A. A. K. Majumdar dela universidad Jahangirnagar , Bangladesh estableció un cota superior para En,cuando n � 6: En < (pn+1)n�2: Esto se puede establecer usando inducción.

Primos y PiAhora se hace una interesante disgresión. En 1734 el gran matemático suizo

Leonard Euler mostró que la suma de primos recíprocosP

p1p diverge. Sin em-

bargo, el producto in�nitoQp

�1� 1

p2

�converge a un límite �. De hecho, puede

mostrarse que1

�=

1Xn=1

1

n2=1

12+1

22+1

32+ � � � :

En 1734 Euler también mostró queP1

n=11n2 =

�2

6 entonces � = 6�2 :

4

Así pues,Qp

�1� 1

p2

�= 6

�2 � 0;6079271018:

Ahora que ya se sabe que hay un número in�nito de primos, ¿puede en-contrarse algoritmos para determinar la primalidad de enteros � 2?. El granmatemático alemán Gauss escribió en 1801 en Disquisitiones Arithmeticae:� Elproblema de distinguir número primos de números compuestos... se conoce porser uno de los más importantes y útiles en la aritmética... Mas allá, la dignidadde la ciencia en si requiere que todo posible signi�cado sea explorado para lasolución de un problema muy elegante y muy celebrado�. Afortunadamente, hayun algoritmo que está basado en siguiente resultado.

Teorema 53 Todo numero compuesto n tiene un factor primo �pn:

Demostración. (por contradicción) Ya que n es compuesto, hay enterospositivos a y b tales que n = ab, donde 1 < a < n y 1 < b < n Supongaa >pn y b >

pn. Entonces n = ab >

pnpn = n, lo cual es imposible. Por lo

tanto, a �pn o b �

pn. Ya que ambos, a y b son enteros. de esto se sigue que

a � bpnc o b � b

pnc.

Por Lema 51 todo entero positivo � 2 tiene un factor primo. Tal factor de ao b también es un factor de a � b = n, por lo tanto n debe tener un factor primo�pn:

Observación Se sigue del Teorema anterior que si n no tiene factoresprimos � b

pnc ; entonces n es un número primo; en otro caso, n es un número

compuesto.

4� es la letra griega nu.


Este hecho puede usarse para determinar cuando un entero n � 2 es primo,como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 54 Determinar si 1601 es un número primo.Solución. Primero se lista todos los números primos �

�p1601

�. Estos son

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37.

Dado que ninguno es factor de 1601, es un número primo.

La Criba de EratóstenesEl Teorema 53 también es la base de un antiguo algoritmo, la �criba� de

Eratóstenes, usado para encontrar todos los primos � a un entero positivo n.Es un e�ciente algoritmo para n < 106 . Se Ilustra el mecanismo de la �criba�para n = 100 en la Figura 2.2.

Para encontrar todos los primos � 100, primero se enlistan todos los en-teros positivos del 1 al 100. Entonces eliminamos al 1 y a todos los númeroscompuestos � 100 como sigue. Por el Teorema 53, cualquier número compuesto� 100 debe tener un factor primo �

�p100�, que es, � 10. Pero los primos � 10

son 2; 3; 5; 7, entonces los números compuestos � 100 son aquellos númerospositivos divisibles por alguno de ellos.Para eliminar los no primos de la lista primero se comienza con el 1 ya que no

es primo (coloreamos con gris su recuadro), ahora a todos los múltiplos de 2; 3;5; 7 pero no a ellos ya que son primos. Los números ya eliminados no necesitanser sombreados nuevamente. Los que quedan son los primos � 100.Hay 25 números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,

59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Aunque la �criba�parezca un buen proceso,a medida que n crezca el método se hace ine�ciente. De hecho, no existe unmétodo práctico para probar la primalidad de números grandes.

Figura 2.2: Criba de Eratóstenes


Teóricos de los números a menudo sueñan con encontrar formulas que generennúmeros primos para valores consecutivos de un variable entera n. Euler encon-tró una formula en 1772: E(n) = n2�n+41 la cual sirve para enteros positivosn � 40. Pero cuando n = 41; E(41) = 412� 41+ 41 = 412 que no es un númeroprimo.En 1798 Adrien-Marie Legendre (1752�1833) encontró la formula L(n) =

n2 + n + 41 que puede generar primos cuando 1 � n � 40. Note que L(n) =E(�n). Sin embargo, nadie nunca ha construido con éxito un polinomio f(n)que genere números primos para todos los enteros n. La raazón se aclara en elsiguiente ejemplo:

Ejemplo 55 Probar que no existe un polinomio con coe�cientes enteros quegenere primos para todo entero n:Demostración. (por contradicción) Suponga que existe tal polinomio, f(n) =akn

k + ak�1nk�1 + :::+ a1n+ a0, donde ak 6= 0. Sea b un entero. Ya que f(n)

es siempre un primo, f(b) debe ser un primo p; esto es,

f(b) = akbk + ak�1b

k�1 + :::+ a1b+ a0 = p (2.1)

Sea t un entero arbitrario. Entonces

f(b+ tp) = ak(b+ tp)k + ak�1(b+ tp)

k�1 + � � �+ a1(b+ tp) + a0= (akb

k + ak�1bk�1 + � � �+ a1b+ a0) + p � g(t)

donde g(t) es un polinomio en t: Así,

f(b+ tp) = p+ pg(t), por la ecuación (2.1)

= p[1 + g(t)]

Entonces pjf(b+ tp). Pero todo valor de f es primo, luego f(b+ tp) debe serprimo y de ahí f(b + tp) = p. Así, f(b) = p = f(b + tp). Esto implica que ftoma en el mismo valor in�nitamente veces, ya que t es un entero arbitrario.Pero f(n) es un polinomio de grado k; entonces no puede asumir el mismo

valor más de k veces, siendo esto una contradicción.Así pues, no existe ningún polinomio con coe�cientes enteros que genere solo

números primos.

Una Función Teórico-NuméricaSea x un número real positivo. Entonces �(x) denota el numero de primos

� x.Por ejemplo, �(10) = 4; �(28;75) = 9 y �(100) = 25.Usando la notación de sumatoria �(x) se puede de�nir como:

�(x) =Xp�x1;donde p denota un primo.


La siguiente fórmula para �(n) donde n es un entero positivo, puede serestablecida usando el principio de inclusión-exclusión. Su prueba es complicaday aquí se omite.

Teorema 56 Sea p1; p2; :::; pt ser primos �pn. Entonces

�(n) = n� 1 + �(pn)�

Xi

�n

pi

�+Xi<j

�n

pipj

�

�Xi<j<k

�n

pipjpk

�+ :::+ (�1)t

�n

p1p2:::pt

�

El siguiente ejemplo ilustra el resultado.

Ejemplo 57 Usando el teorema 2.10 encontrar el número de primos� 100.Solución.Aquí n = 100: Entonces �(

pn) = �(

p100) = �(10) = 4; Hay 4 primos

� 10, son 2; 3; 5; 7 llamémoslos p1; p2; p3; and p4, respectivamente. Entonces porel teorema 2.10

�(100) = 100� 1 + 4��100

2

�+

�100

3

�+

�100

5

�+

�100

7

��+

��100

2 � 3

�+

�100

2 � 5

�+

�100

2 � 7

�+

�100

3 � 5

�+

�100

3 � 7

�+

�100

5 � 7

��

100

2 � 3 � 5

�+

�100

2 � 3 � 7

�+

�100

2 � 5 � 7

�+

�100

3 � 5 � 7

��+

��100

2 � 3 � 5 � 7

��= 103� (50 + 33 + 20 + 14) + (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2)� (3 + 2 + 1 + 0) + 0= 25

Lo cual es consistente con la deducción hecha a partir de la criba de Erastótenes.

Aunque la fórmula para �(n) en el Teorema 56 es elegante en el sentido queda el número exacto de cantidad de primos, no es muy práctica cuando n es muygrande. Es aquí donde el teorema del número primo, uno de los más celebradosresultados en teoría de números, llega a ser extremadamente útil. Este da unvalor aproximado de �(n ), cuando n es muy grande.


Teorema 58 (El Teorema del Número Primo)

l��mx!1

�(x)

x= lnx= 1

Esto es, mientras x se haga mas grande �(x) se aproxima a x= lnx:4

Gauss notó la similitud entre los valores de �(x) y x= lnx, mientras x se hagamás grande y conjeturó el teorema en 1793, pero no dió una prueba. En 1850 elmatematico ruso Pafnuty Lvovich Chebychev hizo signi�cativos progresos haciala prueba, el probó que existen constantes positivas tales que

ax

lnx< �(x) < b

x

lnx

donde x � 2:

En 1870, el matemático alemán Ernest Meissel (1826-1895) mostró que hay5;761;455 números primos menores que 108. En 1893, cien años después dela conjetura de Gauss, el matemático danés N. P. Bertelsen a�rmó que hay50;847;478 números primos menores que 109. En 1959, sin embargo, DerrickH.Lehmer (1905-1991) mostró que la respuesta de Bertelsen era incorrecta yque el número correcto era 50;847;534. También mostro que existen 455;052;512menores que 1010

En 1896, sin embargo, el matemático Frances Jacques Hadamard (1865-1963)y el matemático Belga Charles-Jean-Gustave-Nicholas de la Valleé-Poussin (1866-1962), trabajando independientemente, probó el teorema usado matemáticasavanzadas.

Esta prueba era un jalón en el desarrollo de teoría de los números. Pero en1950, el matemático húngaro Paul Erdös (1913-1996) y el matemático noruegoAlte Selberg (1917-) demostró el teorema usando cálculo elemental.Según el teorema de número primo, cuando x es su�cientemente grande,

�(x) puede ser aproximado por x= lnx (mirar columnas 2 y 3 en la Tabla 2.4).Pero una mejor aproximación es la función li(x), de�nida por Gauss en 1792 ala edad de 15 años,

li(x) =Z x

2

dt

ln t

Se pude notar en la tabla que �(x)li (x) se aproxima a 1 más rápidamente

que �(x)x= ln x : En efecto, li(x) es una aproximación superior para valores pequeños

de x:

4 lnx denota el logaritmo natural de x:


x �(x) �(x)x= ln x

�(x)li (x)

103 168 1;160 0;9438202104 1229 1;132 0;9863563105 9592 1;104 0;9960540106 78498 1;085 0;9983466107 664579 1;071 0;9998944108 5761455 1;061 0;9998691109 50847534 1;054 0;99996651010 455052512 1;048 0;9999932

En 1985, sin embargo, R. H. Hudson de la Universidad de Carolina del surmostró que no es verdad para valores arbitrarios de x. Cuatro años después, C.Bays de la Universidad de Carolina del Sur y Hudson mostraron que �(x) > li(x)en la vecindad de 1;39822� 10316:Aunque se haya establecido la in�nitud de los números primos, ¿Qué se

puede decir acerca de la distribución de los primos? ¿Cómo se distribuyen entrelos enteros positivos? ¿Hay enteros consecutivos que son primos? ¿Hay enterosimpares consecutivos que son primos?.

Primero, no hay pauta para distribuir los primos. Por ejemplo, 2 y 3 son losúnicos dos enteros consecutivos que son primos. También se sabe que 3, 5, y 7son los único tres enteros impares consecutivos que son primos. Aunque hay sólodos enteros consecutivos que son primos, nosotros podemos encontrar cualquiernúmero de enteros consecutivos que son números compuestos, como nos mues-tra el siguiente teorema. Este teorema muestra que los primos se encuentranen intervalos imprevisibles. Su prueba es una prueba de existencia, así que senecesita porporcionar n de tales números compuestos.

Teorema 59 Para todo entero positivo n, hay n enteros consecutivos que sonnúmeros compuestos.Demostración. Considere n enteros consecutivos (n+1)!+2; (n+1)!+3; :::; (n+1)! + (n + 1), con n � 1. Suponga que 2 � k � n + 1, entonces kj(n + 1)!, asíkj[(n + 1)! + k], por Teorema 42, para cada k. Por lo tanto, cada uno de ellosson un número compuesto.

Así, los n enteros consecutivos (n+1)! + 2; (n+1)! + 3; :::; (n+1)! + (n+1)son compuestos.El ejemplo siguiente ilustra el teorema.

Ejemplo 60 Encuentre seis enteros cosecutivos que sean compuestos.Solución. Por el Teorema 59, hay seis enteros consecutivos que empiezan

con (n+ 1)! + 2 = (6 + 1)! + 2 = 5042, a saber, 5042, 5043, 5044, 5045, 5046 y5047: Aunque la cadena consecutiva más pequeña y que puede verse en la Figura2.2 es 90, 91, 92, 93, 94, y 95.


Ejercicios 2.3Marque verdadero o falso, asumiendo a, b, d y n son enteros positivos arbi-

trarios.

1. Un entero positivo no primo es compuesto.

2. Un entero positivo no compuesto es un primo.

3. Todo primo es impar.

4. No hay primos mayores que googolplex.5

5. Si p es primo entonces p+ 2 es un primo.

6. Si p es primo entonces p2 + 1 es un primo.

7. Hay in�nitos números primos.

8. Hay un in�nito número de números compuestos.

9. Si p es primo tal que pjab; entonces pja o pjb:

10. Hay primos de la forma n! + 1

Determine si cada número es primo o compuesto.

11. 129

12. 217

13. 1001

14. 1729

Usando el Teorema 56, calcule el número de primos � n para cada valorde n:

15. 47

16. 61

17. 96

18. 131

19. Encuentre cinco enteros consecutivos < 100 que sean números compuestos.

Encuentre n enteros consecutivos que sean compuestos para cada valor den:

20. siete

21. ocho5Un googolplex es un número desmesuradamente elevado que corresponde a 10 elevado a

un googol, es decir, 10googol ó 1010100

(un 1 seguido de googol ceros).


22. nueve

23. diez

24. Liste los primos de la foma n2 + 1 y < 100:

Encuentre los factores positivos en cada caso, asumiendo p y q primosdistintos.

25. pq

26. p2q

27. pq2

28. p2q2

Sea q1 = 2 y qn = q1q2 � � � qn�1 + 1; donde n � 2:

29. Encuentre los cuatro primeros primos de la forma qn

30. Encuentre los números compuestos más pequeños de la forma qn:

31. De�na qn recursivamente.

Probar.

32. 2 y 3 so los dos únicos enteros consecutivos que son primos.

33. 3, 5 y 7 son los tres únicos enteros impares consecutivos que son primos.

34. Si p y p2 + 8 son primos, entonces p3 + 4 es también un primo. (D. L.Silverman, 1968)

35. Si p es primo y 1 � k � p; entonces pj�pk

�36. Sean p y q primos impares sucesivos y p+q = 2r: Entonces r es compuesto.

(J. D. Baum, 1966)

2.4. Números de Fermat

Los números de la forma fn = 22n

+ 1 fueron estudiados por el excepcionalmatemático frances Pierre de Fermat y son llamados "números de Fermat".Los cinco primeros números de Fermat son f0 = 3, f1 = 5, f2 = 17, f3 = 257, yf4 = 65537.El siguiente teorema, presenta una interesante relación de recurrencia que se

satisface para fn.

Teorema 61 Denote por fn el n�ésimo número de Fermat, entonces fn =f2n�1 � 2fn�1 + 2, donde n � 1.

2.4. NÚMEROS DE FERMAT 71

Demostración. Para ésta demostración, se substituirá fn�1 = 22n�1

+ 1 en laexpresión f2n�1 � 2fn�1 + 2, y simpli�candola se demostrará que es igual a fn:

f2n�1 � 2fn�1 + 2 = (22n�1

+ 1)2 � 2(22n�1

+ 1) + 2

=h(22

n�1)2 + 2(22

n�1) + 1

i� 2(22

n�1)� 2 + 2

= 22n

+ 1

= fn.

Esto completa la demostración.

Este Teorema conduce a una de�nición recursiva de fn:

Una de�nición recursiva de fn

f0 = 3

fn = f2n�1 � 2fn�1 + 2, n � 1

Por ejemplo,f1 = f

20 � 2f0 + 2 = 9� 2(3) + 2 = 5

yf2 = f

21 � 2f1 + 2 = 25� 2(5) + 2 = 17

Podemos hacer una observación interesante sobre los números de Fermat.Note que los números f2 = 17, f3 = 257, f4 = 65537, f5 = 4294967297, y f6 =18446644033331951617 todos acaban en el mismo dígito decimal, 7. ¡Asombroso!¿Qué podría usted conjeturar acerca de los números de Fermat?Aquí está otra observación interesante: Los primeros cinco números de Fer-

mat 3, 5, 17, 257, y 65537 son primos. Fermat conjeturó que cada número de laforma 22

n

+ 1 era un número primo.Sin embargo, en 1732 Euler estableció la falsedad de su conjetura producien-

do un contraejemplo. Él mostró que f5 es divisible por 641: f5 = 4294967297 =641�6700417. Una demostración alternativa fue propuesta en 1926 por el matemáti-co belga M. Kraitchik (1882-1957) en su Théorie des nombres.El siguiente ejemplo proporciona una demostración elemental e inteligente,

por G. T. Bennett. La belleza de su demostración desmiente el hecho de que f5sea primo, ya que tiene un factor diferente a él mismo y la unidad.

Ejemplo 62 Demuestre que 641jf5

Solution 63 Primero note que

641 = 5 � 27 + 1 (2.2)


Ahora

225

+ 1 = 232 + 1 = 24 � 228 + 1= 16 � 228 + 1 = (641� 625) � 228 + 1= (641� 54);228 + 1 = 641(2)28 � (5 � 27)4 + 1= 641(2)28 � (641� 1)4 + 1, por ecuación (2.2)= 641(2)28 � (6414 � 4(641)3 + 6(641)2 � 4(641) + 1) + 1= 641(228 � 6413 + 4(6412)� 6(641) + 4)

4294967297 = 641(6700 417)

Una demostracion alternativaEn 1995, Stanley Peterburgsky, estudiando en la New England Academy

of Torah, Rhode Island, demostró que f5 es compuesto ya quef5641 puede ser

expresado como la suma de dos cuadrados. Para ver esto, recuerde que (a2 +b2)(c2 + d2) = (ac+ bd)2 + (ad� bc)2 para cualesquier números enteros a, b, c,y d. Entonces

(a2 + b2)

(c2 + d2)=(ac+ bd)2 + (ad� bc)2

(c2 + d2)2

Ahora, sea a = 216, b = 1, c = 4, y d = 25. Entonces

f5641

=(216)2 + 12

(4)2 + (25)2

=(216 � 4 + 25)2 + (25 � 216 � 4)2

6412

= 4092 + 25562

Lamentablemente, no se conoce nada sobre la in�nitud de los primos deFermat. Esto todavía deja un problema no resuelto. De hecho, ningún primode Fermat más allá de f4 ha sido encontrado; El primo de Fermat mas grandeconocido sigue siendo f4, mientras que el más grande compuesto es f2478782,descubierto en 2003.¿Cada número de Fermat es cuadrado-libre, es decir sin factores cuadra-

dos? Esto ha sido conjeturado tanto por Lehmer como por A. Schinzel, el hechode que en los números de Fermat hay in�nitos cuadrados-libres.El siguiente resultado, obtenido por Lucas, es un instrumento sumamente

útil en la factorización prima de fn. En 1747, Euler demostró que cada factorprimo de fn debe ser de la forma A �2n+1+1. En 1879, Lucas rede�nió el trabajode Euler mostrando que A debe ser un número entero par 2k. Esto conduce alsiguiente teorema.

Teorema 64 Todo factor primo de fn es de la forma k � 2n+2+1, donde n � 2

2.4. NÚMEROS DE FERMAT 73

De acuerdo con la a�rmación de éste teorema, si fn no tiene ningun factorprimo de la forma k�2n+2+1, entonces fn debe ser un número primo. El siguienteejemplo rati�ca este hecho.

Ejemplo 65 Demuestre que f4 = 65537 es primo.

Solution 66 Para ello será su�ciente mostrar que f4 no tiene ningún factorprimo propio. Ya que cada factor primo de f4 es de la forma 26k+1 = 64k+1,si f4 es compuesto, este debe tener un factor primo �

�p65537

�, esto es � 256.

El único primo de la forma 64k + 1 y � 256 es 193, pero 193 - 65537; entoncesf4 es un primo.

Como dato curioso, en 1963, S. W. Golomb del Instituto de Tecnología deCalifornia estableció que la suma de los recíprocos de números de Fermat es unnúmero irracional.Finalmente, hay un eslabón notable entre los primos de Fermat y la con-

strucción de polígonos regulares con regla y compás, donde la regla es empleadasolamente para dibujar líneas, y el compás para trazar arcos. En 1796, Gaussdemostró el siguiente teorema famoso.

Teorema 67 Un polígono regular de n lados es construible con regla y compassi y sólo si n es de la forma f1f2 : : : fk o 2kf1f2 : : : fk , donde k � 0 y f1, f2,: : :, fk son primos de Fermat distintos.

Los antiguos Griegos conocían la construcción de los polígonos regulares delados 2k, 3 � 2k, 5 � 2k y 15 � 2k. (Note que 3 y 5 son primos de Fermat.) Ellostambién conocían la construcción de los polígonos de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, y 16lados, pero no la construcción del polígono regular de 17 lados. Cuando Gauss, ala edad de 19 años, demostró que el polígono regular de 17 lados es construible,se puso tan eufórico por su descubrimiento que decidió dedicar el resto de su vidaa las matemáticas. Él también solicitó que un polígono regular de 17 lados fueragrabado sobre su lápida. Aunque su deseo nunca fuera cumplido, tal polígonose puede encontrar sobre un monumento a Gauss en el lugar de su nacimientoen Brunswick, Alemania.( Una discusión cuidadosa de tales construcciones geométricas requiere téc-

nicas avanzadas del álgebra abstracta, a saber, la teoría de Galois.)

Ejercicios 2.4

1. Usando recursión, calcule los números de Fermat f3 y f4:

2. Haga una conjetura acerca de los dígitos de las decenas en el valor decimalde fn:


3. Establezca su conjetura en el Ejercicio 2. (Sugerencia: Use inducción.)

Probar las siguientes proposiciones.

4. Si 2m + 1 es un primo, entonces m debe ser una potencia de 2.

5. Si 2m � 1 es un primo, entonces m debe ser una potencia de 2.

6. Pruebe o refute: Si m es primo, entonces 2m � 1 es un primo.

7. Pruebe que 3 es el único número de Fermat que es número triangulartambién. (S. Asadulla, 1987)

(Sugerencia; Use los Ejercicios 2 y 3)

8. Vuelva a hacer el Ejercicio 7 utilizando el hecho que el producto de dosnúmeros enteros es una potencia de 2 si y sólo si ambos números enterosson potencias de 2.

Capítulo 3

Máximo Común Divisor

Este capítulo trata la teoría de la divisibilidad. Se comienza explorando losfactores comunes de dos o mas números enteros positivos.Se establece el teo-rema fundamental de la aritmética, la piedra angular de la teoría de números,y luego se miran los múltiplos comunes de dos o mas números enteros positi-vos. Finalmente, se trabajan algunas clases importantes de ecuaciones linelaesdiofanticas.

3.1. Máximo Común Divisor

Un entero positivo puede ser un factor de dos enteros positivos, a y b. Talesfactores son divisores comunes, o factores comunes, de a y b.Por ejemplo, 12 y 18 tiene cuatro divisores comunes, que son , 1, 2, 3, y 6;

mientras que 12 y 25 tienen exactamenete un factor común, que es, 1.Muchas veces no se está interesado en todos los divisores comunes de a y b,

pero si en el divisor común más grande, así se tiene la siguiente de�nición.

Máximo Común DivisorEl màximo común divisor (MCD) de dos enteros a y b, ninguno de los dos

cero, es el más grande entero positivo que divide a a y a b y se denota por (a; b).Por ejemplo, (12; 18) = 6, (12; 25) = 1, (11; 19) = 1, (�15; 25) = 5 y (3; 0) =

3.

Observación Ya que (a;�b) = (�a; b) = (�a;�b), la discusión se centraen MCDs de enteros positivos.

¿Cómo se sabe si el MCD de a y b siempre existe? Ya que 1ja y 1jb, 1 escomún divisor de a y b, así que ellos tienen un divisor común que es 1. Si d escomún divisor, entonces d � a y d � b, así d � m��n fa; bg. Luego el conjunto defactores comunes es �nito, así (a; b) existe.

75

76 CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Una segunda pregunta importante es la unicidad: ¿Es el MCD de a y b único?Para poder hablar de MCD de a y b (Ésto se propone como ejercicio para ellector).La de�nición verbal precedente de MCD, aunque simple y clara, no es tan

práctica, por eso se escribirá simbolicamente.

Una De�nición Simbólica de MCDUn entero positivo d es el MCD de dos enteros positivos a y b si

dja y djb; y

si d0ja y d0jb, entonces d0 � d, donde d0 es también un entero positivo.

Así, d = (a; b) si se satisfacen las condiciones:

d debe ser un factor común de a y b.

d debe ser el más grande factor común de a y b; en otros términos, cualquierotro factor común d0 debe ser � d.

En la siguiente sección, se desarrollará un método e�caz para encontrar elMCD de dos enteros positivos.Hay enteros positivos cuyo MCD es 1. Por ejemplo, (6; 35) = 1. De acuerdo

con lo anterior, se da la siguiente de�nicion.

Enteros Primos RelativosDos enteros positivos a y b son primos relativos si su MCD es 1; eso es, si

(a; b) = 1.Así, 6 y 35 son primos relativos; como lo son 11 y 24.Esta posible relación entre los enteros será útil en próximas discusiones.

Lema 68 Denote por fi el i�ésimo número de Fermat. Entonces f0f1 � � � fn�1 =fn � 2, donde n � 1:

Demostración. (Por Inducción) Cuando n = 1, LMD= f0 = 3 = 5�2 =LMI.Así, el resultado se mantiene cuando n = 1.Ahora se asumirá que el resultado es verdadero cuando n = k:

f0f1 � � � fk�1 = fk � 2

Entonces

f0f1 � � � fk�1fk = (f0f1 � � � fk�1)fk= (fk � 2)fk, por hipótesis de induccion= (22

k

� 1)(22k

+ 1)

= 22k+1

� 1 = (22k+1

+ 1)� 2= fk+1 � 2

3.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 77

Así, si el resultado es verdadero cuando n = k, también es verdadero cuandon = k + 1. De esta forma, por inducción, el resultado se tiene para cada enteron � 1.

La formula en este lema, conocida como identidad de Duncan, se des-cubrió en 1964 por D.C Duncan.Usando este resultado, se puede mostrar que culquier dos números de Fermat

son primos relativos; este resultado fue establecido en 1925 por G. Polya de launiversidad de Stanford.

Teorema 69 (Polya, 1925) Sean m y n enteros distintos no negativos. En-tonces fm y fn son primos relativos.

Demostración. Asumiendo, por conveniencia, que m < n. Sea d = (fm; fn).Entonces djfm y djfn. Pero fn�2 = f0f1 � � � fm � � � fn�1, por el Lema 68. Puestoque djfm, djf0f1 � � � fm � � � fn. Así d=(fn � 2), pero d j fn; Por tanto, dj2, porTeorema 42. Por consiguiente , d debe ser 1 o 2. Pero los números de Fermatson todos impares, así d 6= 2. Entonces, d = 1; eso es, (fm; fn) = 1:

El resultado de Polya puede generalizarse: Sea gn = (2k)2n

+1, donde k > 0.Entonces (gm; gn) = 1, asumiendo m 6= n.Usando estos dos resultados, podemos demostrar ahora de nuevo que hay

in�nitos primos.

Teorema 70 Existen in�nitos números primos.

Demostración. Por Lema 51, cada numero de Fermat tiene un factor primo.Por consiguiente, por el teorema de Polya, no hay dos números distintos deFermat que tengan factores primos comunes, signi�cando que cada uno tiene unfactor primo distinto. Así, ya que hay in�nitos números de Fermat, hay tambiénin�nitos primos.

A continuación se presenta una con�uencia asombrosa de teoría del número,probabilidad y análisis.

Números Primos Relativos y PiEn la Sección 2.3, se encuentra un eslabon cercano entre los números primos

y el número �, dado por la formulaY

p2P(1 � 1=p2) = 6=�2. Usando técnicas

avanzadas, se puede mostrar que el producto in�nito representa el recíproco de laprobabilidad que dos números enteros positivos seleccionados al azar sean primosrelativos.1 Así, la probabilidad que dos números enteros positivos seleccionadosal azar sean primos relativos esta dada por

Yp2P

1=(1� 1=p2) = 6=�2.

1Ver Ogilvy y Anderson.


A continuación se centrará la atención en algunas usadas propiedades intere-santes del los MCDs.

Teorema 71 Sea (a; b) = d. Entonces

1. (a=d; b=d) = 1

2. (a; a� b) = d

Demostración.

1. Sea d0 = (a=d; b=d). Se Debe mostrar que d0 = 1:

Ya que d0 es un factor común de a=d y b=d, a=d = ld0 y b=d = md0 paraalgunos enteros l y m. Entonces a = ldd0 y b = mdd0, de este modo dd0 esun factor común de a y b. Entonces, por de�nición, dd0 � d, de este modod0 � 1. Así, d0 es un entero positivo tal que d0 � 1, entonces d0 = 1. Portanto, si (a; b) = d, entonces a=d y b=d son primos relativos.

2. Sea d0 = (a; a� b). Se debe mostrar que d = d0, se mostrará que d � d0 yd0 � d. Para mostrar que d � d0:Entonces d es un común divisor de a y b, a = md y b = nd para algunosenteros m y n. Entonces a� b = (m� n): Así dja y dj(a� b); entonces des común divisor de a y a � b. Luego, por de�nición, d debe ser menor oigual que (a; a� b); esto es d � d0.Para mostrar que d0 � d:Entonces d0 es un factor común de a y a � b, a = �d0 y a � b = �d0

para algunos enteros � y �. Entonces a � (a � b) = �d0 � �d0; esto es,b = (�� )d0. Así, d0 es común divisor de a y b, entonces d0 � d.

De esta forma, d � d0 y d0 � d, entonces d = d0.

Se sigue, por la parte (2) de este teorema que (a; a+b) = (a; b). (Ver ejercicio38).A continuación, se prueba que el MCD de a y b se puede expresar como la

suma de múltiplos de a y b; pero primero se presenta una de�nición.

Combinación LinealUna combinacion lineal de los enteros a y b es la suma de múltiplos de a y

b, esto es, una suma de la forma �a+ �b, donde � y � son enteros.Por ejemplo, 2 � 3 + 5 � 7 es una combinacion lineal de 3 y 7; así como (�4) �

3 + 0 � 7.Ahora se establece y demuestra el resultado mencionado en el párrafo prece-

dente. Su prueba es una elegante aplicación del principio del buen orden.


Teorema 72 (Euler) El MCD de enteros positivos a y b es la combinacionlineal de a y b.

Demostración. Sea S el conjunto de combinaciones lineales positivas de a y b;esto es, S = fma+ nb j ma+ nb > 0; con m;n 2 Zg :Se mostrará que S tiene al menos un elemento:Ya que a > 0, a = 1 �a+0 �b 2 S, entonces S no es vacío. Así, por el principio

de buen orden, S tiene un mínimo elemento d.Para mostrar que d = (a; b):Ya que d pertenece a S, d = �a+ �b para algunos enteros � y �.

1. Primero mostraremos que dja y djb:Por el algoritmo de la división, existen enteros q y r tal que a = dq + r,donde 0 � r < d. Sustituyendo d,

r = a� dq= a� (�a+ �b)q= (1� �q)a+ (��q)b

Esto muestra que r es una combinación lineal de a y b.

Si r > 0, entonces r 2 S. Ya que r < d, r es menor que el elemento máspequeño en S, lo cual es una contradicción. Así r = 0; por tanto, a = dq;luego dja:Similarmente, djb: Así d es un común divisor de a y b:

2. Por mostrar que cualquier divisor común positivo d0 de a y b es � d:Sea d0 j a y d0 j b, d0 j (�a+�b), por el teorema 42; esto es, d0 j d. Entoncesd0 � d.

Así, por las partes (1) y (2), d = (a; b).

Observación Se sigue, por este teorema que el MCD (a; b) siempre puedeexpresarse como una combinacion lineal �a + �b. En efecto, esta es la máspequeña de tales combinaciones lineales positivas.

Un modo de encontrar tal combinación lineal es por ensayo y error, especial-mente cuando a y b son pequeños, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 73 Exprese (28; 12) como combinacion lineal de 28 y 12.Solución. Primero se tiene que (28; 12) = 4. Luego, se deben encontrar

enteros � y � tal que � � 28 + � � 12 = 4. Por ensayo y error, � = 1 y � = �2da como resultado 1 � 28 + (�2) � 12 = 4.


Observación Note que los valores de � y � en la combinación lineal notiene porque ser única. En el anterior ejemplo se puede notar que (�5) � 28 +12 � 12 = 4.

Una segunda forma de encontrar � y � es usando una tabla de múltiplos dea y b y entonces escoger la combinación correcta, como lo muestra la siguienteTabla.

28 28 56 84 112 140 � � �12 12 24 36 48 60 � � � 144 � � �

En la siguiente sección se presenta un método sistemático para encontrar �y �.El Teorema 72 se puede usar para re�nar la de�nición de MCD y sacar

obtener varios resultados útiles acerca de MCDs.

Teorema 74 Si d = (a; b) y d0 es cualquier comun divisorde a y b, entoncesd0 j d.

Demostración. Puesto que d = (a; b), por Teorema 72, existen � y � tal qued = �a + �b:Como d0ja y d0jb, por Teorema 42, d0j (�a+ �b); de esta manerad0jd.

Así, cada común divisor d0 de a y b es un factor de su MCD d, y d0 � d. Demanera inversa, suponga que

dja y d jb ; y

si d0ja y d0jb, entonces d0jd: Entonces d0 � d; así d = (a; b).

Por tanto, la de�nición simbólica de MCD puede modi�carse como sigue.

Una De�nición Alternativa de MCDUn entero positivo d es el MCD de a y b si

dja y djb; y

si d0ja y d0jb, entonces d0jd, donde d0 es un entero positivo.

Teorema 75 Sean a,b, y c enteros positivos. Entonces (ac; bc) = c (a; b) :

La prueba de esto es bastante simple y se deja como ejercicio.


Teorema 76 Dos enteros positivos, a y b, son primos relativos si y solo si hayenteros � y � tales que �a+ �b = 1.

Demostración. Si a y b son primos relativos, entonces (a; b) = 1. Por tanto,por Teorema 72, existen enteros � y � tal que �a+ �b = 1.Recíprocamente, suponga que existen � y � tales que �a + �b = 1. Para

demostrar que (a; b) = 1; sea d = (a; b). Entonces por Teorema 42 dj (�a+ �b);esto es dj1, así d = 1. Por tanto, a y b son primos relativos.

Se puede deducir la parte (1) del Teorema 71 a partir de este Teorema, yeste es útil para resolver el ejercicio propuesto número 41.

Corolario 77 Si d = (a; d), entonces (a=d; b=d) = 1:

El siguiente Corolario se sigue del Teorema 72 (Vea ejercicio 43)

Corolario 78 Si (a; b) = 1 = (a; c);entonces (a; bc) = 1:

Supongamos ajc y bjc. ¿Signi�ca ésto que abjc ? No. Por ejemplo, 3j12 y 6j12,pero 3 � 6 - 12. El siguiente corolario proporciona un criterio por el cual abjc.

Corolario 79 Si ajc y bjc, y (a; b) = 1, entonces abjc:

Demostración. Como ajc; c = ma para algún entero m. Similarmente, c = nbpara algún entero n. Ya que (a; b) = 1, por Teorema 75, �a + �b = 1 paraalgunos enteros � y �. Entonces �ac + �bc = c: Ahora sustituyendo nb por lapriemera c y ma para el la segunda:

�a(nb) + �b(ma) = c

Esto es, �b (n�+m�) = c; así abjc:

Se debe recordar que ajbc no signi�ca que ajb o ajc; aunque bajo algunascondiciones esto se cumple. El siguiente corolario explica cuando esto es ver-dadero.

Corolario 80 (Euclides) Si a y b son primos relativos, y si ajbc; entonces ajc:


Demostración. Dado que a y b son primos relativos, por Teorema 75, existenenteros � y � tal que �a+ �b = 1; entonces �ac+ �bc = c ya que aj�ac y aj�bc, aj�ac+ �bc por Teorema 42; esto es ; ajc:

La de�nición de MCD puede extenderse a tres o más enteros positivos, comomuestra la siguiente de�nición.

El MCD de n Enteros PositivosEl mcd de n (� 2) enteros positivos a1; a2; :::; an es el entero positivo más

grande que divide a cada uno de los ai. Éste se denota por (a1;a2; :::; an) :El siguiente ejemplo ilustra esta de�nición.

Ejemplo 81 Encuentre (12; 18; 28), (12; 36; 60; 108), (15; 28; 50).Solución.

a) El entero positivo más grande que divide a 12; 18 y 28 es 2, así, (12; 18; 28) =2:

b) 12 es el factor más grande de 12, y 12 es factor de 12, 36, 60, y 108; así,(12; 36; 60; 108) = 12:

c) Ya que (15; 28) = 1 el factor común más grande de 15, 28 y 50 es 1; estoes (15; 28; 50) = 1:

El Teorema 72 puede ampliarse a n números enteros. Pero primero, se am-pliará la de�nición de una combinacion lineal de n enteros positivos.

Una Combinación Lineal de n Enteros PositivosUna combinación lineal de n enteros positivos a1; a2; :::an es una suma de

la forma �1a1 + �2a2 + :::+ �nan donde �1; �2; :::; �n son enteros.Por ejemplo, (�1) � 12 + 1 � 15 + 0 � 21 es una combinación lineal de 12; 15 y

21; Así como también lo es 3 � 12 + (�2) � 15 + (�5) � 21:Ahora se establece la extensión del Teorema 72 y se deja la prueba como un

ejercicio.

Teorema 82 El MCD de los enteros positivos a1; a2; :::; an;es el menor enteropositivo que es combinación lineal de a1; a2; :::; an:

El siguiente ejemplo ilustra este Teorema.

Ejemplo 83 Exprese (12; 15; 21), en una combinación lineal de 12; 15; 21:Solución. Primero se puede notar que (12; 15; 21) = 3. Después se encuen-

tran números enteros �, � y , por ensayo y error, tal que ��12+� �15+ �21 = 3;� = �1 , � = 1 , = 0 es una de tal combinación: (�1) � 12+1 � 15+0 � 21 = 3:


El siguiente teorema muestra como la recursión puede usarse para encontrarel MCD de tres o más números enteros.

Teorema 84 Sea a1; a2; :::an n (� 3) enteros positivos. Entonces (a1; a2; :::; an) =((a1; a2; :::; an�1) ; an) :

Demostración. Sea d = (a1; a2; :::; an) ; d0 = (a1; a2; :::; an�1) yd00 = (d0; an) :

mostramos que d0 = d00 :

Se mostrará que djd00 :Dado que d = (a1; a2; :::; an) ; djai para todo i: Así djd0 y djan: Entoncesdj (d0; an) ; esto es djd00:

Se mostrará que d00jd :Ya que d00 = (d0; an) ; d

00jd0 y d00jan: Pero d00jd0 implica que d00jai para1 � i � n� 1: Así d00jai para 1 � i � n; por tanto d00jd:

Luego, djd00 y d00jd; así d = d00; por el Teorema 41.

El siguiente ejemplo ilustra este teorema.

Ejemplo 85 Usando recursión, evalue (18; 30; 60; 75; 132) :Solución.

(18; 30; 60; 75; 132) = ((18; 30; 60; 75) ; 132) = (((18; 30; 60) ; 75) ; 132)

= ((((18; 30) ; 60) ; 75) ; 132) = (((6; 60; ) ; 75) ; 132)

= ((16; 75) ; 132) = (3; 132)

= 3:

El corolario a continuación se obtiene por inducción y el Teorema 84. Sepuede establecer una prueba y se deja como ejercicio. (Ejercicio 55.)

Corolario 86 Si d = (a1; a2; :::; an) :Entonces djai para todo entero i, donde1 � i � n:

El siguiente corolario es una extensión del Corolario 80.

Corolario 87 Si dja1a2:::an y (d; ai) = 1 para 1 � i � n� 1, entonces djan:


Antes de enunciar otro corolario, se introduce la siguiente de�nición.

Primos Relativos por ParesLos enteros positivos a1; a2; :::; an son primos relativos por pares, si todo

par de enteros son primos relativos, esto es , (ai; aj) = 1; siempre i 6= j:Por ejemplo, los enteros 8; 15; y 49 son primos relativos por pares, mientras

que los enteros 6; 25; 77; y 91 no son primos relativos por pares.El siguiente resultado se deduce del Teorema 76.

Corolario 88 Si los enteros positivos a1; a2; :::; an son pares de primos relativosentonces (a1; a2; :::; an) = 1:

Por ejemplo, ya que los enteros 8, 15 y 49 son primos relativos por pares,(8; 15; 49) = 1:

Observación Se debe tener en cuenta que el recíproco de este corolariono es verdadero; esto es, si (a1; a2; :::; an) = 1; entonces los enteros a1; a2; :::; anno necesariamente son primos relativos por pares. Por ejemplo (6; 15; 49) = 1;pero 6; 15 y 49 no son primos relativos por pares, ya que (6; 15) = 3:

Ejercicios 3.1Marque verdadero o falso, asumiendo a; b y c son enteros positivos y p es un

primo arbitrario.

1. (a; b) = (b; a)

2. (a; b) = (a; a� b)

3. (a; b) = (a; a� 2b)

4. (a; a+ 2) = 1

5. (p; p+ 2) = 1

6. (ac; bc) = c (a; b)

7. Si (a; b) = 1, entonces a y b son primos relativos.

8. Si (a; y b) son primos relativos entonces(a; b) = 1:

9. Si (a; b) = 1 = (b; c), entonces (a; c) = 1:

10. Si (a; b) = 2 = (b; c) entonces (a; c) = 2:

11. Si (a; b) = d; entonces (a+ b; a� b) = dExprese el mcd de cada par de números como combinación lineal.


12. 18; 28

13. 24; 28

14. 15; 28

15. 21; 26

Denote con f (n) el números de enteros positivos � n y primos relativosa él. Por ejemplo, f (1) = 1; f (2) = 1, f (3) = 2 y f (4) = 2: Encontrar.

16. f(10)

17. f(13)

18. f(18)

19. f(24)

20. EvalúeP

djn f(d) para n = 12; 18; 19 y 25:

21. Usando el Ejercicio 20, prediga una formula paraP

djn f(d)

22. Encuentre el mínimos valores posible de (a; b):

Encuentre (a; b) si

23. b = 1

24. b = a+ 1

25. b = a2

26. b = na

Exprese el MCD de los números dados como una combinación de losnúmeros.

27. 12; 15; 18

28. 12; 18; 20; 24

Use recursión para evaluar.

29. (12; 18; 28; 38; 44)

30. (14; 18; 21; 36; 48)

31. (a2b; ab3; a2b2; a3b4; ab4)

Refute cada proposición.

32. Si (a; b) = 1 = (b:c) ; entonces (a; c) = 1:

33. Si (a; b) = 2 = (b:c) ; entonces (a; c) = 2:

Pruebe cada ítem, asumiendo que a; b; c; d; k;m; y n son enteros positivosarbitrarios, p algún primo y fn el n�ésimo número Fermat.


34. El MCD de cualquier par de números enteros es único.

35. (a;�b) = (a; b)

36. (�a; b) = (a; b)

37. (�a;�b) = (a; b)

38. (a; a+ b) = (a; b)

39. (ac; bc) = c(a; b)

40. Si p - a; entonces p y a son primos relativos.

41. Usando el Teorema 76, pruebe que si d = (a; b); entonces (a=d; b=d) = 1:

42. Si d = (a1; a2; :::; an); entonces djai para todo entero i; donde 1 � i � n:

43. Si (a; b) = 1 = (a; c); entonces (a; bc) = 1:

44. Sea gn = (2k)2n

+ 1; donde n � 0: Entonces (gm; gn) = 1; donde m 6= n:

45. Sea n > m � 0: Muestre que fmj(fn � 2):

46. Usando en Ejercicio 45, muestre que (fm; fn) = 1; donde m 6= n:

47. Usando el Teorema 69 e inducción, pruebe que hay in�nitos primos.

3.2. El Algoritmo de Euclides

Existen varios procedimientos para encontrar el MCD de dos enteros posi-tivos. Un algoritmo e�ciente es el Algoritmo de Euclides, llamado despuésEuclidiano, quien lo incluyo en el Libro VII de su extraordiario trabajo, Loselementos. El algoritmo, sin embargo, probablemente era antes conocido. Éstaes una herramienta fundamental en la teoría de números algorítmica.

El siguiente teorema establece la base para el algoritmo de Euclidiano.

Teorema 89 Sean a y b enteros positivos y r el residuo, cuando a se divididepor b. Entonces (a; b) = (b; r):

Demostración. Sea d = (a; b) y d0 = (b; r). Se debe probar que d = d0; essu�ciente mostrar que djd0 y d0jd . Por el algoritmo de la división, existe unúnico cociente q tal que

a = bq + r (3.1)

Se mostrará que djd0:

3.2. EL ALGORITMO DE EUCLIDES 87

Ya que d = (a; b), dja y djb, así djbq, por el Teorema 42. Entonces dj(a�bq);de nuevo por el Teorema 42. En otras palabras , djr, por la ecuación (3.1). Deeste modo, djb y djr, así dj(b; r); esto es djd0.Similarmente, puede mostrarse que d0jd (ver Ejercicio 9). Así, por el Teorema

41, d = d0; esto es, (a; b) = (b; r):

El siguiente ejemplo ilustra este teorema.

Ejemplo 90 Ilustrar el Teorema 89 con a = 120 y b = 28.Solución. Primero, se puede veri�car que (120; 28) = 4.Ahora , por el algoritmo de la división, 120 = 4 � 28 + 8 , entonces por el

Teorema 89, (120; 28) = (28; 8). Pero (28; 8) = 4. Por lo tanto, (128; 28) = 4:

El siguiente ejemplo ilustra como el Teorema 89 puede ser utilizado paraencontrar (a; b).

Ejemplo 91 Usando el Teorema 89, evalúe (2076; 1776).Solución. Aplicando el algoritmo de la división con 2076 (el mayor de los

dos números) como el dividendo y 1776 como el divisor:

2076 = 1 � 1776 + 300

Aplicando el algoritmo de la división con 1776 como el dividendo y 300 como eldivisor:

1766 = 5 � 300 + 276

Continuando este procedimiento hasta llegar al residuo cero:

2076 = 1 � 1776 + 3001766 = 5 � 300 + 276300 = 1 � 276 + 24276 = 11 � 24 + 12 � último residuo diferente de cero24 = 2 � 12 + 0

Aplicando repetidamente el Teorema 89 se tiene:

(2076; 1776) = (1776; 300) = (300; 276)

= (276; 24) = (24; 12)

= 12

por tanto , el último residuo diferente de cero en este procedimiento es el MCD.


Ahora se justi�cará este algoritmo, aunque sea algo obvio.

El Algoritmo EuclidianoSean a y b dos enteros positivos con a � b: Si a = b, entonces (a; b) = a,

así se asume a > b. (Si esto no es verdad entonces se intercambian.) Sea r0 =b. Entonces aplicando sucesivamentes el algoritmo de la división, se tendrá lasecuencia de ecuaciones:

a = q0r0 + r1; 0 � r1 < r0r0 = q1r1 + r2; 0 � r2 < r1r1 = q2r2 + r3; 0 � r3 < r2

...

Continuando de esta manera, se obtiene la siguente secuencia de residuos:

b = r0 > r1 > r2 > r3 > � � � � 0

Dado que los residuos son no negativos y son cada vez más y más pequeños,esta secuencia debería eventualmente terminar con el residuo rn+1 = 0. Así, lasdos últimas ecuaciones en el procedimiento anterior son

rn�2 = qn�1rn�1 + rn; 0 � rn < rn�1

yrn�1 = qnrn

Se sigue por inducción que (a; b) = (a; r0) = (r0;r1) = (r1; r2) = � � � =(rn�1; rn) = rn; el último residuo diferente de cero (ver Ejercicio 10).El siguiente ejemplo también demuestra el Algoritmo Euclidiano.

Ejemplo 92 Aplique el algoritmo euclidiano para encontrar (4076; 1024).Solución.Por la aplicación sucesiva del algoritmo de la división se tiene:

4076 = 3 � 1024 + 10041024 = 1 � 1004 + 201004 = 50 � 20 + 4 � último residuo diferente de cero20 = 5 � 4 + 0

ya que el anterior residuo diferente de cero es 4, (4076; 1024) = 4.

Ejercicios 3.2Usando el algoritmo euclidiano, encuentre el MCD de los enteros dados.

1. 1024; 1000

3.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA 89

2. 2024; 1024

3. 2076; 1076

4. 2076; 1776

5-8. Usando el algoritmo euclidiano, exprese el MCD de cada pareja en losEjercicios 1-4 como una combinación lineal de los números dados.

9. Sea a y b dos enteros positivos, y r el residuo cuando a se divide por b:Sea d = (a; b) y d0 = (b; r): Pruebe que d0jd:

10. Sea a y b enteros positivos con a � b: Usando la secuencia de ecuacionesen el algoritmo euclideano, pruebe que (a; b) = (rn�1; rn); donde n � 1:

3.3. El Teorema Fundamental de la Aritmética

Continuando ahora con el estudio de los primos. Se puede establecer, sintemor a equivocarse, la a�rmación de que los números primos son los ladrillosde todos los enteros. En otros términos, enteros � 2 son construidos a partir deprimos; es decir, cada entero � 2 puede descomponerse en primos. Este resul-tado, llamado El Teorema Fundamental de la Aritmética, es ciertamentela piedra angular de la teoría de números y uno de sus resultados principales.Éste aparece en Los Elementoe de Euclides.Antes de enunciarlo formalmente y demostrarlo, se necesitan dos dos lemas

fundamentales. A lo largo de estos lemas, se asumirá que todas las letras denotannúmeros enteros positivos.

Lema 93 Si p es un primo y pjab, entonces pja o pjb.

Demostración. Suponga que a - p: Entonces p y a son primos relativos, por elTeorema 76, hay enteros � y � tal que �p+ �a = 1. Multiplicando ambos ladosde esta ecuación por b; se tiene �pb+ �ab = b. Como pjp y pjab, pj(�pb+ �ab)por el Teorema 42; es decir, pjb.

El siguiente lema extiende este resultado a tres o más factores, usando in-ducción.

Lema 94 Sea p un primo y pja1a2 � � � an dónde a1; a2 � � � ; an son enteros posi-tivos, entonces pjai para algún i dónde 1 � i � n.


Demostración. (por inducción débil) Cuando n = 1, el resultado se daclaramente. Así que suponga que es verdad para un entero positivo arbitrariok : Si pja1a2 � � � ak, entonces pjai para algún i. Suponga que pja1a2ak+1, esdecir, pj(a1a2 � � � ak)ak+1. Entonces, por el Lema 93, pja1a2 � � � ako pjak+1. Sipja1a2 � � � ak, entonces pjai, para algún i dónde 1 � i � k. Por tanto, pjai dónde1 � i � k, o pjak+1. En cualquier caso, pjai para algún i; dónde 1 � i � k + 1.Así, por inducción, el resultado se tiene para cada entero positivo n.

El siguiente resultado se sigue de este lema.

Corolario 95 Si p; q1; q2 � � � ; qn son primos tales que pjq1q2 � � � qn, entonces p =qi para algún i; dónde 1 � i � n.

Demostración. Como pjq1q2 � � � qn, por el Lema 94, pjqi para algún i. Pero py qi son primos, por lo que p = qi:

Podemos ahora declarar y establecer el teorema fundamental de aritmética,el resultado más fundamental en la teoría de números. La prueba consiste endos partes y una parte larga, por lo que necesitamos seguirlo cuidadosamente.

Teorema 96 (El Teorema Fundamental de la Aritmética) Todo enterocualquiera n � 2 es un primo o puede expresarse como un producto de primos.La factorización en primos es única salvo el orden de los factores.

Demostración. Primero, se mostrará por inducción fuerte que n o es un primoo puede expresarse como un producto de primos. Entonces se establecerá launicidad de tal factorización.1. Sea P (n) la proposición que n es un primo o puede expresarse como un

producto de primos.Se mostrará que P (n) es verdad para cada entero n � 2:Como 2 es un primo, claramente P (2) es verdad.Ahora suponga que P (2) ; P (3) :::; P (k) son verdaderas; es decir, todo entero

desde 2 hasta k o es un primo o puede expresarse como un producto de primos.Si k + 1 es un primo, entonces P (k + 1) es verdad. Así que, suponga que

k + 1 es compuesto. Entonces k + 1 = ab para algunos enteros a y b dónde1 < a; b < k + 1. Por la hipótesis de inducción, a y b o son primos o puedenexpresarse como los productos de primos; en cualquier caso, k + 1 = ab puedeexpresarse como un producto de primos. Así, P (k + 1) también es verdad.Así, por inducción fuerte, el resultado se tiene para cada entero n � 2.2. Para establecer la unicidad de la factorización:Sea n un número compuesto con dos factorizaciones en primos: n = p1p2 � � � pr =

q1q2 � � � qS . Se mostrará que r = s y que cada pi es igual a algún qj ; dónde1 � i; j � r; es decir, los primos q1; q2 : : : ; qs son una permutación de los primosp1; p2:::; pr.


Asuma, por conveniencia que r � s. Como p1p2 � � � pr = q1q2 � � � qs, p1jq1q2 � � � qs,por el Corolario 95, p1 = qi para algún i. Dividiendo ambos lados por p1, setiene:

p2 � � � pr = q1q2 � � � qi�1qi+1 � � � qi+1 � � � qs

Ahora p2 divide el LMD, y de nuevo por el Corolario 95, p2 = qj para algúnj. Cancelando p2 a ambos lados:

p3 � � � pr = q1q2 � � � qi�1qi+1 � � � qj�1qjqj+1 � � � qs

Como r � s, al continuar así, se cancela cada pt con algún qk. Esto nos da1 al �nal en el LMI. Entonces el LMD no puede ser un primo o un productode primos, ya que, un primo o un producto de primos nunca puede dar 1; así,se deben haber agotado todas las qks. Por consiguiente, r = s y por tanto losprimos q1; q2:::; qs son loa mismos primos p1; p2 � � � ; pr en algún orden. Así, lafactorización de n es única, salvo por el orden en el cual los primos fueronescritos.

Se sigue de este teorema que cada número compuesto n puede factorizarseen primos. Tal factorización es llamada factorización en primos de n.Por ejemplo, 5544 = 2 � 2 � 3 � 7 � 2 � 11 � 3 es una factorización en primos de

5544. Usando la notación exponencial, este producto es a menudo escrito como5544 = 23 � 32 � 7 � 11. Tal producto es la descomposición en potencias defactores primos de n; si los primos se escriben en el orden creciente, entoncesesta es la descomposición canónica.

Descomposición CanónicaLa descomposición canónica de un entero positivo n es de la forma n =

pa11 pa22 � � � p

akk , donde p1; p2 � � � ; pk son distintos primos con p1 < p2 < � � � < pr

y cada exponente ai es un entero positivo.Hay dos técnicas normalmente usadas para encontrar la descomposición

canónica de un número compuesto. El primer método involucra hallar todoslos factores primos, empezando con el más pequeño primo, como el siguienteejemplo muestra.

Ejemplo 97 Halle la descomposición canónica de 2520.Solución. Empezando con el más pequeño primo 2, desde que 2j2520,2520 =

2 � 1260. Ahora 2 es un factor de 1260, por lo que 2520 = 2 � 2 � 630; 2j630 denuevo, por lo que 2520 = 2 � 2 � 2 � 315. Ahora 2 - 315, pero 3 si lo hace, porlo que 2520 = 2 � 2 � 2 � 3 � 105; 3 también es un factor de 105, por lo que2520 = 2 � 2 � 2 � 3 � 3 � 35. Continuando así conseguimos:

2520 = 2 � 2 � 2 � 3 � 3 � 5 � 7 = 23 � 32 � 5 � 7

qué es la descomposición canónica deseada.


Este método puede consumir mucho tiempo si el número n es bastantegrande. El segundo método que es generalmente más e�caz, involucra expresarexplícitamente n como el producto de dos enteros positivos, no necesariamenteprimos, y se continua expresando cada factor en factores hasta que todos losfactores obtenidos sean primos. Entre más grandes sean los factores el métodose hará más corto. El siguiente ejemplo clari�ca este método, bastante fácil.

Ejemplo 98 Halle la descomposición canónica de 2520 por el segundo método.Solución. Note que 2520 = 40 � 63. Por lo que ninguno de los factores es

primo, dividiendo nuevamente: 40 = 4 � 10 y 63 = 7 � 9, se tiene que 2520 =(4 � 10) � (7 � 9). Como 4, 10 y 9 son compuestos, reexpresando cada uno de ellosse tiene: 2520 = (2 � 2) (2 � 5) (7) (3 � 3). Ahora todos los factores son primos, porlo que el procedimiento para. Se obtiene entonces la descomposición canónica:2520 = 23 � 32 � 5 � 7.

La descomposición canónica de un número compuesto puede usarse paraencontrar sus factores positivos, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 99 Halle los factores positivos de 60.Solución. Primero, note que 60 = 22 � 3 � 5. Por el teorema fundamental de

la aritmética, cada factor de 60 es de la forma 2a � 3b � 5c, dónde 0 � a � 2,0 � b y c � 1. Así, los distintos factores son:

20 � 30 � 50 = 1 20 � 30 � 51 = 5 20 � 31 � 50 = 3 20 � 31 � 51 = 1521 � 30 � 50 = 2 21 � 30 � 51 = 10 21 � 31 � 50 = 6 21 � 31 � 51 = 3022 � 30 � 50 = 4 22 � 30 � 51 = 20 22 � 31 � 50 = 12 22 � 31 � 51 = 60

(Así, 60 tiene 12 factores. ¿Podría pensar en una buena manera de encontrarel número de factores positivos sin listarlos?)

El siguiente ejemplo presenta una aplicación bonita del teorema fundamentalde la aritmética y la función piso. Muestra muy bien que se puede determinarel número de ceros un valor decimal de n!, sin calcularlo. (Por ejemplo, 11! =39;916;800 tienen dos ceros al �nal.)

Ejemplo 100 Halle el número de ceros �nales en 234!.Solución. Por el teorema fundamental de aritmética, 234! puede factor-

izarse como 2a � 5b � c; donde a y b son enteros positivos (¿por qué?) y c denotael producto de primos de la misma manera que 2 y 5. Claramente, a > b (¿por


qué?). Cada cero �nal en 234! corresponde a 10 en una factorizacion y viceversa;cada 10 es el producto de un 2 y un 5.

(No. de ceros �nales en 234!) =

�No. de productos de la forma 2 � 5en una factorización prima de 234!

�= el mínimo de a y b (¿por qué?)

= b

Para encontrar b, procedemos como sigue:No. de enteros positivos � 234 y divisibles por 5 = b234=5c = 46.Cada uno de ellos contribuye en un 5 a la factorización en primos de 234!.No. de enteros positivos � 234 y divisibles por 25 = b234=25c = 9.Cada uno de ellos contribuye en un 5 adicional a la factorización en primos

de 234!.No. de enteros positivos � 234 y divisibles por 125 = b234=125c = 1.Contribuye todavía en un 5 adicional a la factorización en primos.Ninguna potencia superior de 5 contribuye en un 5 a la factorización prima

de 234!, así el número total de 5s en la factorización prima es igual a 46+9+1 =56. Así, 234! tiene 56 ceros �nales.

Se sigue de este ejemplo que el exponente más alto e de un primo p quedivide n! se obtiene como

e = bn=pc+ bn=p2c+ bn=p3c+ � � �

Sea k el entero más pequeño tal que pk > n. Entonces�n=pk

�= 0, por lo

que la suma es �nita.Por ejemplo, el exponente más grande de 2 que divide 97! es

e = b97=2c+ b97=22c+ b97=23b+b97=24c+ b97=25c+ b97=26c= 48 + 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 94

De manera interesante, hay una relación íntima entre el número de unos enla representación binaria de 97 y el exponente más alto de 2 que divide 97!.Para ver esto, note que 97 = 1100001dos, por lo que la representación binariacontiene tres 1s y 97 = 94 + 3.De manera general, se tiene el siguiente resultado debido al matemático

francés Adrian Mari Legendre.

Teorema 101 Denotando por e el exponente más alto de 2 que divide n! y b elnúmero de 1s en la representación binaria de n. Entonces n = e+ b:

Demostración. Sea n = (akak�1 : : : a1a0)dos = a0 + a1 � 2 + � � � + ak � 2k. Sea1 � i � k. Entonces:�

n

2i

�=

�a0 + a1 � 2 + � � �+ ai�1 � 2i�1

2i

�+ ai + ai+1 � 2 + � � �+ ak � 2k�1


Pero

a0 + a1 � 2 + � � �+ ai�1 � 2i�1 � 1 + 2 + 22 + � � �+ 2i�1

= 2i�1

< 2i;

así �a0 + a1 � 2 + � � �+ ai�1 � 2i�1

2i

�= 0 (3.2)

Por consiguiente, �n

2i

�= ai + ai+1 � 2 + � � �+ ak � 2k�i (3.3)

Entonces,

kXi=1

�n

2i

�= a1 + a2 � 2 + a3 � 22 + � � �+ ak � 2k�1

+a2 � 1 + a3 � 2 + � � �+ ak � 2k�2

+a3 � 1 + � � �+ ak � 2k�3...

+ak � 1

Esto es,

e = a1 + a2 (1 + 2) + a3�1 + 2 + 22

�+ � � �+ ak

�1 + 22 + � � �+ 2k�1

�(3.4)

= a1 (2� 1) + a2�22 � 1

�+ a3

�23 � 1

�+ � � �+ ak

�2k � 1

�(3.5)

=�a0 + a1 � 2 + a2 � 22 + � � �+ ak � 2k

�� (a0 + a1 + � � �+ ak) (3.6)

= n� b (3.7)

Así, n = e+ b.

Las descomposiciones canónicas de enteros positivos proporciona un nuevométodo encontrar MCDs, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 102 Usando las descomposiciones canónicas de 168 y 180, para en-contrar su MCD.Solución. Se puede veri�car que 168 = 23 � 3 � 7 y 180 = 22 � 32 � 5. Los

únicos factores primos comúnes son 2 y 3, por lo que 5 o 7 no pueden apareceren su MCD. Como 2 aparece tres veces en la descomposición canónica de 168,pero sólo dos veces en la descomposición canónica de 180, 22 son un factoren el MCD. De manera similar, 3 también es un factor común, por lo que(168; 180) = 22 � 3 = 12.


Observación

(168; 180) = 22 � 3 = 22 � 31 � 50 � 70 = 2minf3;2g � 3minf1;2g � 5minf1;0g � 7minf1;0g

Esta técnica puede generalizarse como sigue. Sea a y b enteros positivos conlas siguientes descomposiciones canónicas:

a = pa11 pa22 � � � pann y b = pb11 p

b22 � � � pbnn

donde ai; bi � 0. (permitiendo que los exponentes sean cero, siempre se puedeasumir que ambas descomposiciones contienen la mismas bases primas pi.) En-tonces:

Observación

(a; b) = pminfa1;b1g1 p

minfa2;b2g2 pminfan;bngn

Se dará nuevamente un vistazo a la distribución de los primos, que se estudioen el capítulo precedente.

Revisión de Distribución de PrimosPor el algoritmo de la división, cada entero es de la forma 4n + r, dónde

r = 0; 1; 2, o 3; así que cada entero impar es de la forma 4n + 1 o 4n + 3. Porejemplo, 13 y 25 son de la forma 4n+1: 13 = 4 � 3+ 1 y 25 = 4 � 6+ 1, mientrasque 11 y 31 son de la forma 4n+ 3: 11 = 4 � 2 + 3 y 31 = 4 � 7 + 3.Observando los enteros positivos de la forma 4n + 3. Los primeros once de

tales números son 3; 7; 11; 15; 19; 23; 27; 31; 35; 39 y 43 de los cuales siete(aproximadamente 64%) son primos.¿Qué se podría conjeturar razonablemente de esta observación? Si se su-

pusiera que hay in�nitos primos de la forma 4n + 3, se estaría en lo correcto.Antes de que se establezca la validez de esta suposición dada, se necesita que seproponga un fundamento en forma del siguiente lema.

Lema 103 El producto de dos enteros cualesquiera de la forma 4n+1 tambiénes de la misma forma.

Demostración. Sean a y b dos enteros cualesquiera de la forma 4n+1, suponga,a = 4`+ 1 y b = 4m+ 1 para algunos enteros ` y m. Entonces

ab = (4`+ 1) (4m+ 1)

= 16`m+ 4`+ 4m+ 1

= 4 (4`m+ `+m+ 1)

= 4k + 1 donde k = 4m+ `+m es un entero

Así, ab también es de la misma forma.Este resultado puede extenderse a cualquier número �nito de tales enteros y

la prueba se deja como ejercicio.


Ahora se está listos para demostrar la siguiente conjetura. Observe que lademostración es similar a la demostracion de Euclides que estableció la in�nidadde primos.

Teorema 104 Hay in�nitos primos de la forma 4n+ 3.

Demostración. Suponga que sólo hay �nitos primos de la forma 4n+3, es decir,p0; p1; p2 � � � ; pk dónde p0 = 3. Considere el entero positivo N = 4p1p2 � � � pk+3.Claramente, N > pk y también es de la misma forma.

Caso 1 Si el propio N es primo, entonces N sería mayor que el primo pk; elmás grande de la forma 4n+ 3 que es una contradicción.

Caso 2 Suponga que N es compuesto. Como N es impar, todo factor de N esde la forma 4n+1 o 4n+3. Si cada factor es de la forma 4n+1, entonces,por el Lema 103, N sería de la misma forma. Pero, como N es de la forma4n + 3, por lo menos uno de los factores primos, digamos, p, debe ser dela forma 4n+ 3.

Subcaso 1 Sea p = p0 = 3. Entonces 3jN , por lo que 3j (N � 3) por el Teorema42; esto es, 3j4p1p2 � � � pk. Así, por el Lema 94, 3j2 o 3jpi, donde 1 � i � k,pero los dos son imposibles.

Subcaso 2 Sea p = pi donde 1 � i � k. Entonces pjN y pj4p1p2 � � � pk, por loque pj (N � 4p1p2 � � � pk), es decir, pj3, que es de nuevo una contradicción.

Ambos casos nos llevan a una contradicción, por lo que la suposición debeser falsa. Así, hay un número in�nito de primos de la forma dada.

Ahora que se ha establecido la in�nitud de los números primos de la forma4n + 3, se hace la siguiente pregunta lógica: ¿Hay in�nitos primos de la forma4n + 1? Afortunadamente, la respuesta es de nuevo un sí. De hecho, ambosresultados son juicios incidentales del siguiente resultado notable, demostradopor Dirichlet en 1837, pero declarados originalmente por Legendre en 1785. Suprueba es sumamente complicada, por lo que se omite.

Teorema 105 (Teorema de Dirichlet) Si a y b son primos relativos, en-tonces la sucesión aritmética a; a+ b; a+2b; a+3b : : : contiene in�nitos primos.

Por ejemplo, sea a = 3 y b = 4; entonces la sucesión 3; 4 � 1 + 3; 4 � 2 + 3;4 � 3 + 3 : : : contiene un número in�nito de primos, a saber, primos de la forma4n+ 3.Igualmente, escogiendo a = 1 y b = 4, de esto se sigue que hay un número

in�nito de primos de la forma 4n+ 1.


Más aun, hay otro ejemplo, escoja a = 7 y b = 100. Entonces a + nb =100n+7, así la sucesión 7; 107; 207; 307 : : : contiene un número in�nito de primos,y terminan en 7.

Ejercicios 3.3Encuentre la descomposición canónica de cada número compuesto.

1. 1947

2. 1661

3. 1863

4. 1976

5. 227 + 1

6. 248 � 1

7. 10; 510; 100; 501

8. 1; 004; 006; 004; 001

Encuentre los factores positivos en cada caso, asumiendo que p y q sondistintos primos.

9. p

10. p2

11. pq

12. pq2

Encuentre los factores positivos de cada número compuesto.

13. 48

14. 90

15. 210

16. 1040

Encuentre el número de ceros en el valor decimal de cada número.

17. 100!

18. 376!

19. 609!

20. 1010!

Encuentre los valores de n para los que n! contiene el número de cerosdado.


21. 58

22. 93

Encuentre el MCD de cada par de números, asuma que p; q; y r son dis-tintos primos.

23. 23 � 3 � 5; 2 � 32 � 53 � 72

24. 24 � 32 � 75; 34 � 5 � 112

25. p2q3; pq2r

26. p3qr3; p3q4r5

Usando las descomposiciones canónicas, encuentre el MCD de cada par denúmeros.

27. 48; 162

28. 72; 108;

29. 175; 192

30. 294; 450

Encuentre el número de ceros en la representación binaria de cada entero.

31. 28

32. 32

33. 208

34. 235

35. Usando los Ejercicios 31-34, prediga el número de ceros en la representaciónbinaria de el entero positivo n.

Encuentre la más alta potencia de cada uno de los númesor que divides a1001!

36. 2

37. 3

38. 5

39. 7

Usando el Teorema 101, encuentre el número de unos en la representaciónbinaria de cada entero.

40. 234

41. 1001


42. 1976

43. 3076

44. Usando el Ejemplo 100, conjeture sobre el número de ceros que tiene elvalor decimal de n!

Demuestre cada ítem, aumiendo que p es un primo, y a; b; y n son enterospositivos.

45. Si pja2, entonces pja.

46. Si pjan, entonces pja.

47. El producto de de n enteros del forma 4k + 1 también es de la mismaforma.

48. Si (a; b) = 1, entonces (an; bn) = 1.

49. Si (an; bn) = 1, entonces (a; b) = 1.

50. Hay in�nitos primos de la forma 2n+ 3.

51. Hay in�nitos primos de la forma 8n+ 5.

52. Todo entero positivo n puede escribirse como n = 2em, donde e � 0 y mes un entero impar.

53. Cada entero positivo n puede escribirse como n = 2a5bc, dónde c no esdivisible por 2 o 5.

54. Un entero positivo es un cuadrado si y sólo si cada exponente en su de-scomposición canónica es entero par.FEncuentre el número de factores positivos de cada caso, asuma que p, q,y r son distintos primos.

55. pq

56. pq2

57. p2q2

58. pq2r3FEncuentre la suma de los factores positivos en cada caso, asumiendo quep, q, y r son distintos primos.

59. pi

60. pqj

61. piqj


62. piqjrk

Un entero positivo es un cuadrado-libre si no es divisible por el cuadradode cualquier entero positivo > 1. Por ejemplo, 105 = 3 � 5 � 7 es cuadrado-libre.

63. Un entero > 1 es cuadrado-libre si y sólo si su factorización prima consistede distintos primos.

64. Cualquier entero n > 1 puede escribirse como el producto de un cuadradoy un entero cuadrado-libre.

3.4. Mínimo Común Multiplo

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos enteros positivos a y b está es-trechamente relacionado con su MCD. De hecho, se utiliza el mcm cada vez quesumamos y restamos fracciones. Ahora se explorará dos métodos para encon-trar el mcm de a y b. El primer método que se empleará es la descomposicióncanónica, y el segundo emplea su MCD. Se empezará con una de�nición.

Mínimo Común MultiploEl mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a y b es el menor entero

positivo divisible tanto por a como por b, y se denota como [a; b] :Suponga que se quiere evaluar [18; 24] : Ya que los múltiplos de 18 son

18; 36; 54; 72; 90; � � � y de 24 son 24; 48; 72; 96; � � � Así, sus múltiplos comunesson 72; 144; 216; � � � Por tanto [18; 24] =su mcm= 72:Las dos preguntas que normalmente nos podemos hacer son si el mcm de dos

enteros ¿siempre existe? Ya que ab es un múltiplo de ambos a y b; el conjuntode comunes múltiplos es simpre diferente de vacio; así, por el principio del buenordenamiento, el conjunto tiene un mínimo elemento; por tanto, [a; b] siempreexiste.Y la otra pregunta que surge es ¿si el mcm es único? La respuesta es nueva-

mente a�rmativa (Su demostración se propone como ejercicio)A continuación se presentará una de�nición simbólica del mcm.

Una De�nición Simbólica del mcmEl mcm de dos números enteros positivos a y b es el entero positivo m tal

que:

ajm y bjm; y

si ajm0 y bjm0; entonces m � m0; donde m0 es un entero positivo.

3.4. MÍNIMO COMÚN MULTIPLO 101

La descomposición canónica de a y b se puede emplear para encontrar sumcm. Suponga que queremos encontrar [90; 168]: Note que 90 = 2 � 32 � 5 y168 = 23 � 3 � 7: Observando las potencias primas, se sigue que su mcm debe sermúltiplo de 23; 32; 5 y 7; así su mcm es 23 � 32 � 5 � 7 = 2520:

Observación

[90; 168] = 23 � 32 � 5 � 7= 2m�axf1;3g � 3m�axf2;1g � 5m�axf1;0g � 7m�axf0;1g

Esto nos lleva a la siguiente generalización.

Sean a; b enteros positivos con las siguientes descomposiciónes canónicas

a = pa11 pa22 p

a33 � � � pann y b = pb11 p

b22 p

b33 � � � pbnn con ai; bi � 0:

(De nuevo, se supone que ambas desomposiciones canónicas contienen ex-actamente las mismos bases primas pi:) Luego:

Observación

[a; b] = pm�axfa1;b1g1 p

m�axfa2;b2g2 � � � pm�axfan;bngn

El siguiente ejemplo ilustra la técnica anterior.

Ejemplo 106 Encuentre el mcm de 1050 y 2574 usando la decomposición canóni-ca.Solución. Tenga en cuenta que:

1050 = 2 � 3 � 52 � 7 y 2574 = 2 � 32 � 11 � 13

Por lo tanto

[1050; 2574] = 2m�axf1;1g � 3m�axf1;2g � 5m�axf2;0g � 7m�axf1;0g � 11m�axf1;0g � 13m�axf0;1g

= 21 � 32 � 52 � 71 � 111 � 131 = 450;450

A continuación, se desarrollará una estrecha relación entre el MCD y el mcmde dos enteros positivos. Pero primero, se estudiará un ejemplo y se dará unaobservación.Observe que (18; 24) = 6 y [18; 24] = 72: También, 6 � 72 = 18 � 24. En otras

palabras

[18; 24] =18 � 24(18; 24)

El siguiente teorema muestra que esto no es una coincidencia, que siempre se dael caso. Se trata de una aplicación directa del Teorema 2 y de la descomposicióncanónica.


Teorema 107 Sean a y b enteros positivos. Entonces

[a; b] =ab

(a; b):

Demostración. Sean a = pa11 pa22 p

a33 � � � pann y b = pb11 p

b22 p

b33 � � � pbnn , las descom-

posiciones canónicas de a y b; respectivamente. Entonces

(a; b) = pm��nfa1;b1g1 p

m��nfa2;b2g2 p

m��nfa3;b3g3 � � � pm��nfan;bngn

y[a; b] = p

m�axfa1;b1g1 p

m�axfa2;b2g2 p

m�axfa3;b3g3 � � � pm�axfan;bngn

Por tanto,

(a; b) � [a; b] =�pm��nfa1;b1g1 � � � pm��nfan;bngn

��pm�axfa1;b1g1 � � � pm�axfan;bngn

�= p

m��nfa1;b1g+m�axfa1;b1g1 � � � pm��nfan;bng+m�axfan;bngn

= pa1+b11 pa2+b22 � � � pan+bnn

= (pa11 pa22 p

a33 � � � pann )

�pb11 p

b22 p

b33 � � � pbnn

�= ab

Así,

[a; b] =ab

(a; b)

que era lo que se quería demostrar.

Este teorema proporciona una segunda forma de cálcular [a; b], siempre quese conozca (a; b), como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 108 Use (252; 360); y calcular [252; 360]:Solución. Tenga en cuenta que 252 = 22 � 32 � 7 y 360 = 23 � 32 � 5; así

(252; 360) = 22 � 32 = 36: Por tanto, por el teorema anterior

[252; 360] =252 � 36036

= 2520

Retornando al Teorema 107, suponga que (a; b) = 1: Entonces [a; b] = ab:

Corolario 109 Dos enteros positivos a y b son primos relativos si y solo si[a; b] = ab:


Por ejemplo, ya que 15 y 28 son primos relativos, [15; 28] = 15 � 28 = 420:Como en el caso del MCD, la idea de mcm puede también ser extendida a

tres o más enteros positivos. Por ejemplo 24 = 23 � 3; 28 = 22 � 7 y 36 = 22 � 32:Por tanto,

[24; 28; 36] = 2m�axf3;2;2g � 3m�axf1;0;2g � 7m�axf0;1;0g

= 23 � 32 � 71

= 504

Nuevamente, como en el caso de MCD, la recursividad puede ser aplicadapara evaluar el mcm de tres o más enteros positivos, como lo muestra el siguienteresultado. La prueba se deja como ejercicio para el lector.

Teorema 110 Sean a1; a2; � � � ; an n (� 3) enteros positivos. Entonces

[a1; a2: � � � an] = [[a1; a2: � � � an�1] ; an]

El siguiente ejemplo ilustra este resultado.

Ejemplo 111 Use recursión para evaluar [24; 28; 36; 40] :Solución.

[24; 28; 36; 40] = [[24; 28; 36] ; 40] = [[[24; 28] ; 36] ; 40]

= [504; 40] = [[168; 36] ; 40]

= 2520

(Usted puede veri�car el resultado usando la descomposición canónica de 24, 28,36 y 40.)

Los siguientes dos resultados se siguen del Teorema 110.

Corolario 112 Si los enteros positivos a1; a2; � � � ; an son primos relativos porpares, entonces [a1; a2; � � � ; an] = a1a2 � � � an:

Por ejemplo, 12, 25 y 77 son primos relativos por pares, así [12; 25; 77] =12 � 25 � 77 = 23;100:¿Es el recíproco de este resultado cierto?.

Teorema 113 Si m1ja y m2ja entonces [m1;m2] ja:


Demostración. Llamando [m1;m2] = t , se tiene m1jt y m2jt: Además, sim1jt0 y m2jt0, debe ocurrir que t � t0:Se quiere probar que tja:Por el algoritmo de la división a = tq + r con 0 � r < t; o de manera

equivalenter = a� tq; con 0 � r < t:

Suponga que 0 < r < t; como m1ja y m1jt entonces por el Teorema 42m1ja� tq, es decir m1jr: De igual forma, como m2ja y m2jt entonces m2ja� tq;es decir m2jr:Ya que por de�nición y como se enuncio inicialmente, si existe otro común

múltiplo de m1 y m2; este tiene que ser mayor que [m1;m2] = t; entonces r � tque contradice el supuesto que 0 < r < t; por lo tanto r = 0; así tja:

Corolario 114 Si m1;m2; � � � ;mk y a son enteros positivos tales que mijapara 1 � i � k: Entonces [m1;m2; � � � ;mk] ja:

Demostración. (inducción fuerte sobre k) Claramente se puede ver que secumple para k = 1; y el Teorema 113 muestra que igualmente se cumple parak = 2:Suponga que se cumple para todos los enteros desde 1 hasta t. Ahora suponga

quemija con 1 � i � t+1: Entonces por hipótesis de inducción [m1;m2; : : : ;mt]jay además mt+1ja; así, otra vez por la hipótesis, [[m1;m2; : : : ;mt];mt+1]ja; estoes, [m1;m2; : : : ;mt+1]ja por el Teorema 110. Luego, por inducción, el resultadoes verdadero para cada entero k.

Ejercicios 3.4Marque verdadero o falso, asumiendo que a,b y c son enteros positivos arbi-

trarios y p es un número primo.

1. El mcm de dos primos es su producto.

2. El mcm de dos enteros positivos consecutivos es su producto.

3. El mcm de dos primos distintos es su producto.

4. Si (a; b) = 1; entonces [a; b] = ab:

5. Si p - a; entonces [p; a] = pa:

6. Si (a; b) = 1; entonces a = 1 = b:

7. Si [a; b] = b; entonces a = 1:

8. Si [a; b] = b; entonces ajb:

9. Si [a; b] = ab; entonces a = b:


10. Si [a; b] = ab y [b; c] = bc; entonces [a; c] = ac:

Encuentre el mcm de cada par de enteros.

11. 110; 210

12. 65; 66

Encuentre [a; b] si

13. ajb

14. bja

15. a = 1

16. a = b

17. a y b son distintos primos.

18. b = a+ 1

Encuentre [a; b] si

19. (a; b) = 3 y ab = 693:

20. ab = 156 y a y b son primos relativos.

21. Encuentre el entero positivo a si [a; a+ 1] = 132:

22. Encuentre el par de primos p y q tal que [p; q] = 323:

Encuentre los enteros positivos a y b tales que

23. (a; b) = 20 y [a; b] = 840

24. (a; b) = 18 y [a; b] = 3780

25. ¿Cuál es su conclusión si (a; b) = [a; b]? ¿Por qué?

Usando recursividad, encuentre el mcm de los enteros dados.

26. 12; 18; 20; 28

27. 12; 15; 18; 25; 20

28. Pruebe o refute: [a; b; c] = abc=(a; b; c)


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with your own.Replace this text with the body of your book. Do not delete theTeX �eld found above in a paragraph by itself or the numbering of di¤erentobjects will be wrong.Changes to the typeset format of this shell and its associated LATEX format-

ting �le (book.cls) are not supported by MacKichan Software, Inc. If you wishto make such changes, please consult the LATEX manuals or a local LATEX expert.If you modify this document and export it as �Standard LaTeX Book.shl�

in the Shells\Standard LaTeX directory, it will become your new StandardLaTeX Book style shell.The typesetting speci�cation selected by this shell document uses the default

class options. There are a number of class options supported by this typesettingspeci�cation. The available options include setting the paper size and the pointsize of the font used in the body of the document. Select Typeset, Options andPackages, the Class Options tab and then click the Modify button to see the classoptions that are available for this typesetting speci�cation.

Capítulo 4

Features of this Shell

4.1. Section

Use the Section tag for major sections, and the Subsection tag for subsec-tions.

4.1.1. Subsection

This is just some harmless text under a subsection.

Subsubsection

This is just some harmless text under a subsubsection.

Subsubsubsection This is just some harmless text under a subsubsubsection.

Subsubsubsubsection This is just some harmless text under a subsub-subsubsection.

4.2. Tags

You can apply the logical markup tag Emphasized.You can apply the visual markup tags Bold, Italics, Roman, Sans Serif,

Slanted, Small Caps, and Typewriter.You can apply the special, mathematics only, tags BLACKBOARD BOLD,

CALLIGRAPHIC, and fraktur. Note that blackboard bold and calligraphic arecorrect only when applied to uppercase letters A through Z.You can apply the size tags t in y , scriptsize, footnotesize, small, normalsize, large,

Large, LARGE,huge andHuge.107

108 CAPÍTULO 4. FEATURES OF THIS SHELL

This is a Body Math paragraph. Each time you press the Enter key, Scienti�cWorkPlace switches to mathematics mode. This is convenient for carrying out�scratchpad�computations.Following is a group of paragraphs marked as Short Quote. This environment

is appropriate for a short quotation or a sequence of short quotations.

The buck stops here. Harry Truman

Ask not what your country can do for you; ask what you can do foryour country. John F Kennedy

I am not a crook. Richard Nixon

It�s no exaggeration to say the undecideds could go one way or an-other. George Bush

I did not have sexual relations with that woman, Miss Lewinsky. BillClinton

The Long Quotation tag is used for quotations of more than one paragraph.Following is the beginning of Alice�s Adventures in Wonderland by Lewis Car-roll:

Alice was beginning to get very tired of sitting by her sisteron the bank, and of having nothing to do: once or twice she hadpeeped into the book her sister was reading, but it had no picturesor conversations in it, �and what is the use of a book,�thought Alice�without pictures or conversation?�So she was considering in her own mind (as well as she could,

for the hot day made her feel very sleepy and stupid), whether thepleasure of making a daisy-chain would be worth the trouble of get-ting up and picking the daisies, when suddenly a White Rabbit withpink eyes ran close by her.There was nothing so very remarkable in that; nor did Alice think

it so very much out of the way to hear the Rabbit say to itself, �Ohdear! Oh dear! I shall be late!�(when she thought it over afterwards,it occurred to her that she ought to have wondered at this, but atthe time it all seemed quite natural); but when the Rabbit actuallytook a watch out of its waistcoat-pocket, and looked at it, and thenhurried on, Alice started to her feet, for it �ashed across her mindthat she had never before seen a rabbit with either a waistcoat-pocket, or a watch to take out of it, and burning with curiosity, sheran across the �eld after it, and fortunately was just in time to seeit pop down a large rabbit-hole under the hedge.In another moment down went Alice after it, never once consid-

ering how in the world she was to get out again.

Use the Verbatim tag when you want LATEX to preserve spacing, perhapswhen including a fragment from a program such as:

4.3. MATHEMATICS AND TEXT 109

#include <iostream> // < > is used for standard libraries.void main(void) // "main" method always called first.{cout << "Hello World."; // Send to output stream.

}

4.3. Mathematics and Text

Let H be a Hilbert space, C be a closed bounded convex subset of H, T anonexpansive self map of C. Suppose that as n!1, an;k ! 0 for each k, and n =

P1k=0 (an;k+1 � an;k)

+ ! 0. Then for each x in C, Anx =P1

k=0 an;kTkx

converges weakly to a �xed point of T .The numbered equation

utt ��u+ u5 + u jujp�2 = 0 in R3 � [0;1[ (4.1)

is automatically numbered as equation 4.1.

4.4. Lists Environments

You can create numbered, bulleted, and description lists using the Item Tagpopup list on the Tag toolbar.

1. List item 1

2. List item 2

a) A list item under a list item.The typeset style for this level is di¤erent than the screen style. Thescreen shows a lower case alphabetic character followed by a periodwhile the typeset style uses a lower case alphabetic character sur-rounded by parentheses.

b) Just another list item under a list item.

1) Third level list item under a list item.

a 0 Fourth and �nal level of list items allowed.

Bullet item 1

Bullet item 2

� Second level bullet item.� Third level bullet item.� Fourth (and �nal) level bullet item.

110 CAPÍTULO 4. FEATURES OF THIS SHELL

Description List Each description list item has a term followed by the de-scription of that term. Double click the term box to enter the term, or tochange it.

Bunyip Mythical beast of Australian Aboriginal legends.

4.5. Theorem-Like Environments

The following theorem-like environments (in alphabetical order) are availablein this style.

Acknowledgement 115 This is an acknowledgement

Algorithm 116 This is an algorithm

Axiom 117 This is an axiom

Caso 118 This is a case

Claim 119 This is a claim

Conclusion 120 This is a conclusion

Condition 121 This is a condition

Conjecture 122 This is a conjecture

Corolario 123 This is a corollary

Criterion 124 This is a criterion

De�nición 125 This is a de�nition

Ejemplo 126 This is an example

Ejercicio 127 This is an exercise

Lema 128 This is a lemma

Demostración. This is the proof of the lemma.

Notation 129 This is notation

Problema 130 This is a problem

Proposition 131 This is a proposition

Observación 132 This is a remark

Summary 133 This is a summary

Teorema 134 This is a theorem

Proof of the Main Theorem. This is the proof.

Apéndice A

Una Introducción alpaquete DERIVE

A.1. ¿QUÉ ES DERIVE?

Derive es un programa de cálculo simbólico, o en otras palabras un lenguajede programación de alto nivel, ofreciendo al usuario unas características partic-ulares tales como:

1. Tiene la posibilidad de de ingresar expresiones de tipo racional, comopor ejemplo 2=9 sin la necesidad de operar con su resultado inmediato =0;222 22, aunque también se puede ingresar éste para efectuar las debidasoperaciones matemáticas.

2. Permite la manipulación de variables sin asignación, lo que indica quepodemos emplear expresiones no numéricas, obteniendo así expresiones detipo algebraico donde los datos ingresados no han de ser necesariamentevalores numéricos.

3. Soportan estructuras de datos de tipo vectorial y matricial.

4. Admiten realizar programaciones, aunque DERIVE utiliza una progra-mación funcional en algunos casos muy poco operativa.

111

112 APÉNDICE A. UNA INTRODUCCIÓN AL PAQUETE DERIVE

A.2. RECUENTODE LOS PRINCIPALES CO-MANDOS

A continuación, vamos a describir brevemente los comandos funcionales delsoftware Derive 6.0, así como los principales íconos que se emplearan con mayorfrecuencia a lo largo del trabajo aplicativo. Al ingresar por primera vez a Derive,podremos observar la pantalla:

En ella podemos identi�car los comandos que abarcan desde la parte superiorhasta la inferior, los cuales, describiremos a continuación:

A.2.1. Barra de Títulos

En ésta aparece el nombre del programa, así como el nombre que le hemosasignado a nuestro archivo en Derive, para este caso Álgebra 1 que es otorgadoautomáticamente por el software. Adicionalmente los botones de minimizar,maximizar y cerrar la ventana.

A.2.2. Barra de Menú

En ésta aparecen las funciones básicas de Derive, clasi�cadas en forma demenú. Los menús principales son; Archivo, edición, editar (autor), simpli�car, re-solver, cálculo, de�nir, opciones, ventana y ayuda. Para acceder a ellos podemoshacerlo de dos maneras: La primera, dando clic con el mouse sobre el comando,desplegando así el grupo de subcomandos que lo contiene, la segunda�aplicar

A.3. APLICACIONES CON DERIVE 113

la secuencia ALT+(Letra Subrayada), por ejemplo para desplegar el comandoEdición, pulsaría la secuencia ALT+E.

A.2.3. Barra de herramientas o de órdenes

En la barra de herramientas se encuentran los iconos que representan loscomandos utilizados con mayor frecuencia, tales como; Nuevo, guardar, simpli-�car, sumatoria, límite, etc.

A.2.4. Ventana de álgebra

Aquí aparecen las operaciones que queremos efectuar luego de ser ingresadasen la barra de introducción de expresiones, estas aparecen antecedidas por eti-quetas como: #1, #2, etc.

A.2.5. Barra de estado

En la barra de estado recibimos mensajes del programa con relación a lasoperaciones que estamos ejecutando.

A.2.6. Barra de introducción de expresiones

Llamada también línea de edición, nos permite introducir las expresionesmatemáticas que después serán visualizadas en la ventana de álgebra.

A.2.7. Barra de de letras griegas y símbolos matemáticos

En ella tenemos disponibles un conjunto de letras y símbolos de los cualespodemos disponer a la hora de efectuar los cálculos en la línea de edición consolo dar clic con el mouse sobre cada botón.

A.3. APLICACIONES CON DERIVE

A.3.1. Introducir expresión

Luego de una breve introducción a nuestro software derive, procederemoscon la aplicabilidad del mismo. Lo primero que vamos a hacer es incorporar unaexpresión matemática, sea la ecuación x2 � 4x+ 16 = 0, dicha expresión. Paraingresarla, iremos a la barra de menús, tomamos la opción introducir y damosclic en donde aparece Expresión (o bien se puede solo presionar F2). Luego enla barra de introducción de expresiones el cursor empezará a titilar, esperandoa que se introduzca la ecuación.

También podemos simplemente dirigirnos directamente a la barra de intro-ducción de expresiones e ingresar la ecuación. Para elevar la x al cuadrado,como opción se tiene en la barra de símbolos matemáticos la tecla ^, tan solo


la pulsamos y enseguida tomara el valor anterior como un término elevado ala potencia que el usuario de�na. A continuación para verla en la ventana deálgebra, pulsamos Enter en donde nuestra ecuacion aparecerá precedida de laetiqueta #1, así

A.3.2. Simpli�car Expresiones

Normal

Para simpli�car normal, se hace clic sobre=, o simplemente se pulsa Ctrl+B.Sirve para simpli�car numérica y algebraicamente expresiones matemáticas. Es-ta orden simpli�ca la expresión o la subexpresión resaltada y muestra el resul-tado en la Ventana de Álgebra. El resultado se resalta y recibe una etiqueta (unnúmero con #). Si se quiere ver tanto la expresión de entrada como el resultadouna vez simpli�cado en una sola línea, introduzca la expresión seguida de unsigno igual (=) y haga clic sobre Sí. Derive muestra una ecuación cuyo segundotérmino es el resultado de simpli�car el primer término.

El segundo objetivo de simpli�car normal es transformar las expresionesen otras que sean lo más pequeñas posibles, ya que así ocupan menos espaciopara ser almacenadas. Según como sea la expresión, puede que tarde mucho enser simpli�cada. Después de algunos segundos, el diálogo Progreso del Cálculoaparecerá indicando:

1. La expresión que está siendo simpli�cada

2. La cantidad de tiempo utlizada en simpli�car la expresión

3. El porcentaje de la memoria que está siendo usada para simpli�car laexpresión.

Expandir

El objetivo de expandir una expresión con respecto a unas variables es max-imizar el número de términos que son algebraicamente independientes respectode esas variables. Use simpli�car expandir, pulsando Ctrl+E o use la funciónEXPAND para expandir una expresión o subexpresión con respecto de algunas(o todas) de sus variables. Si una expresión polinómica se expande, se obtienejustamente la expansión de ese polinomio. Si se expande una expresión racional,se obtiene su descomposición en fracciones simples. Notemos que simpli�carexpandir y la función EXPAND no controlan expansiones exponenciales, loga-rítmicas ni trigonométricas.

Simpli�car expandir expande la expresión resaltada o sólo la subexpresiónresaltada. Es este último caso, el resultado será una copia de la expresión enla que se ha expandido la subexpresión resaltada. Una expresión que contienemás de una variable puede ser expandida con respecto a algunas o a todas susvariables. Simpli�car expandir muestra una lista de las variables. Pulse Enter

A.3. APLICACIONES CON DERIVE 115

si la expansión quiere hacerla con respecto a todas las variables en el ordenmostrado. De otro modo, entre la primera variable, la secundaria, etc.

La función EXPAND puede usarse para introducir directamente la expresiónque se quiera expandir así: EXPAND(u, x, y,...) expande la expresión u(x,y,...) con respecto a las variables x, y,... Si no se especi�can las variables,la expansión se hace con respecto a todas las variables de la expresión. Tam-bién se usa Simpli�car expandir y la función EXPAND para descomponer enfracciones simples una expresión racional (o una subexpresión) con respecto aalguna o a todas las variables de su denominador.

Factorizar

Utilice simpli�car factorizar, pulsando Ctrl+F o use la función FACTORpara factorizar una expresión o subexpresión con respecto a alguna o a todas susvariables. Simpli�car factorizar, factoriza la expresión o subexpresión resaltada,de modo que si se resalta una subexpresión, el resultado es una copia de laexpresión completa en la que sólo la subexpresión se ha factorizado.

Una expresión de varias variables puede ser factorizada con respecto a algu-nas o a todas sus variables. Simpli�car factorizar le permite seleccionar las vari-ables para la factorización. Haga clic sobre la que quiera que sea la primera, lasegunda, etc. Las subexpresiones que no contienen las variables de factorizaciónse simpli�can sin ser transformadas innecesariamente. En otras palabras, lassubexpresiones que sólo contienen variables que no son las de factorización noson expandidas ni factorizadas innecesariamente. Las potencias de exponentessemejantes se reúnen y se simpli�can. La función FACTOR puede usarse desdela línea de entrada como: FACTOR(u, amount, x, y,...) factoriza la expresiónu(x, y,...) con respecto a las variables x, y,... Si no se indican variables,la expansion se hace con respecto a todas ellas.

Aproximar

Utilice simpli�car aproximar, pulsando Ctrl+G o usando la función AP-PROX que sirve para aproximar los números irracionales en tales expresionessin cambiar la precisión. Resolver expresiones usando aproximar es equivalentea reducir expresiones con simpli�car normal pero cambiando temporalmentela precisión aproximada y la notación cientí�ca. Simpli�car aproximar permiteademás introducir el número de dígitos de precisión que se usarán en los cálculosy que se mostrarán en el resultado.

La función APPROX puede usarse de forma equivalente en la línea de entra-da así: APPROX (u, n) aproxima la expresión u usando n dígitos de precisión. Sise omite n, se toma el número seleccionado actualmente por defecto en Derive.Señalemos que tanto simpli�car expandir, factorizar, aproximar como simpli�carnormal transforman una expresión en otra en forma su�cientemente simple. Sin


embargo, simpli�car normal es casi siempre mucho más rápida y usualmenteproporciona un tipo de expresión más parecida a la expresión original.

A.3.3. Introducir vector

Para introducir un vector, realizaremos el proceso que empleamos al insertaruna expresión, es decir, nos dirigimos al menú introducir solo que ésta vez damosclic en donde aparece vector (otra manera es oprimir en la barra de ordenes laopción introducir vector). A continuación, nos mostrara una ventana en dondesolicitará el número de elementos de dicho vector, para nuestro ejemplo elegire-mos 4 y damos Sí a la ventana. Nuevamente, aparecerá una ventana en dondela parte superior describirá el número de elementos que hemos seleccionado; allíingresaremos los valores de nuestro vector por ejemplo ingresemos los númerosimpares del 1 al 7 al dar Sí, en la ventana de álgebra se optendrá [1, 3, 5,7]. Si la queremos ingresar manualmente presionamos F2 y en la barra de intro-ducción de expresiones digitamos: VECTOR(2.n-1 , n, 1, 4), en donde 2n� 1es la fórmula de la función con variable n que va desde uno a cuatro según nues-tras indicaciones. Pulsemos Enter, simpli�car (=) y aparecerá en la ventana deálgebra el mismo vector generado anteriormente.

A.3.4. Introducir Matriz

De igual forma que para montar un vector, Derive ofrece la opción en elmenú introducir para insertar una matriz (o en la barra de ordenes oprimirintroducir matriz). Al pulsar en ella aparecerá el cuadro de diálogo similar aintroducir vector, solo que esta vez solicitara que demos las dimensiones (�lasy columnas), ingresemos las opciones de 4 �las y 4 columnas, luego asociemosa cada celda un número, tomemos como ejemplo los números f2; 3; 4; 5g enla primera �la, f3; 4; 5; 6g en la segunda �la, f4; 5; 6; 7g en la tercera �la, yf5; 6; 7; 8g en la cuarta �la luego demos Sí para que genere nuestra matriz:2664

2 3 4 53 4 5 64 5 6 75 6 7 8

3775Ahora, de forma manual pulsamos F2 y en la barra de introducción de expre-

siónes escribimos: VECTOR(VECTOR((j + k), j, 1, 4), k, 1, 4), en donde jy k varian desde uno hasta cuatro para cada uno de los valores.

Apéndice B

Afterword

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