Teoria probabilităților

Teoria probabilităților reprezintă studiul matematic al probabilităților, cu alte cuvinte, al

fenomenelor caracterizate de incertitudine și de întâmplare.

1. Scurt istoric

Începuturile teoriei probabilităților sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal și

Pierre Fermat în secolul al XVII-lea, ajungând la probleme legate de probabilitate datorită

jocurilor de noroc. Dezvoltarea teoriei probabilităților și cercetarea unor probleme nelegate

de jocurile de noroc sunt legate de matematicienii: Abraham Moivre, Pierre Simone de

Laplace, Carl Friedrich Gauss, Simon-Denis Poisson, Pafnuti Lvovici Cebî ș ev , Andrei

Andreevici Markov în secolul XIX, iar în secolul al XX-lea Andrei Nikolaevici Kolmogorov și al lui Alexandr Iakovlevici Hincin.

Probabilitatea evenimentelor aleatoare

Clasificarea evenimentelor:

a) sigur - evenimentul apariției una din fețele 1,2,3,4,5,6 la un zar;

b) imposibil- evenimentul apariției feței 7 la un zar;

c) aleator - evenimentul apariției feței 3 la un zar.

Frecvența unui eveniment

= , unde m reprezintă numărul de apariții E în cazul a n încercări

Probabilitatea unor evenimente aleatoare

În cazul unui număr n suficient de mare de experimente în care evenimentul E apare de m ori,

frecvența relativă m/n poate fi socotită ca valoarea probabilităților. Această valoare se

numește probabilitatea (statistică a) evenimentului E și se notează P(E); .

3

Evenimente incompatibile, contrare

Evenimente incompatibile - evenimentele nu se produc simultan.

Evenimente contrare - producerea unuia înseamnă nerealizarea celorlalte.

Regula de adunare și cea de înmulțire

Regula de adunare

Probabilitatea reuniunii unui număr de evenimente incompatibile este egală cu suma

probabilităților acestor evenimente:

P(E E E E ... EK)=P(E1)+P(E2)+P(E3)+ P(E4)+...+P(EK).

Regula de înmulțire pentru evenimente independente: P(E F)=P(E) P(F)

pentru evenimente condiționate: P(E F)=P(F) P(E/F)

Câmp de evenimente. Câmp Borel de evenimente

1. Mulțimea S e un element a lui B.

2. Dacă două mulțimi E1 și E2 sunt elemente ale lui B atunci E E2, E E2 sunt elemente ale lui B.

3. Dacă mulțimile E1, E2, ..., En, ... sunt elemente ale lui B, atunci E E ...E ... și E E ...E

sunt de asemenea elemente ale lui B.

Câmp de evenimente - condițiile 1 și 2

Câmp Borel de evenimente - condițiile 1, 2, 3.

Sistemul de axiome Kolmogorov

Axioma 1. Fiecărui eveniment aleator E din câmpul de evenimente îi este atașat un număr

real nenegativ P(E) numit probabilitatea lui E. Axioma 2. Probabilitatea evenimentului sigur

S P(S)=1.

Axioma 3. Dacă evenimentele E1, En sunt incompatibile două câte două, atunci P(E E ...

En)=P(E1)+P(E2)+...+P(En)

Axioma de adunare extinsă. Dacă apariția unui eveniment E echivalentă cu apariția unui

oarecare eveniment E1,..., En, ... incompatibile două câte două, atunci P(E)=P(E1)+P(E2)+...

+P(En)+...

2. VARIABILE ALEATOARE

4

2.1 Definitia variabilei aleatoare

Majoritatea experimentelor de interes practic au ca rezultate valori numerice. Aceasta inseamna ca

rezultatul unei probe al unui experiment, poate fi caracterizat de un numar sau de un cuplu de numere.

Se poate, astfel considera ca fiecarei probe al unui experiment i se poate asocia un numar sau de un

cuplu de numere. Se poate atunci introduce notiunea de variabila aleatoare (intamplatoare) ca o

functie reala definita pe multimea evenimentelor elementare asociate experimentului considerat.

Cuvantul aleator, subliniaza faptul ca se lucreaza cu elemente generate de fenomene intamplatoare,

care nu sunt guvernate de legi strict deterministe. Elementul dificil in analiza acestor fenomene consta

in faptul ca desi acestea au o anumita regularitate, este imposibil de precizat cu certitudine rezultatul

unei probe intamplatoare.

Fie multimea evenimentelor elementare asociata unui anumit experiment, rezultatele posibile

fiind notate cu . Este posibil ca acesta sa nu fie un rezultat numeric in sine, dar i se poate atribui o

anumita valoare numerica. De exemplu, la distribuirea unor carti de joc, se poate atribui o anumita

valoare numerica fiecarei carti samd.

DEFINITIE Orice functie f definita pe si care ia valori in multimea numerelor reale R, se numeste

variabila aleatoare.

Prin urmare, fiecarui rezultat , , ii corespunde numarul real , .

OBSERVATIE Numarul rezultatelor , , distincte este mai mic cel mult egal cu n.

EXEMPLU Se considera experimentul aruncarii unui zar. Fie , , evenimentele care constau

in aparitia fetei cu un numar i de puncte. Se poate defini o variabila aleatoare, ca fiind data de

.

Se considera acum ca variabila aleatoare f inregistreaza s valori distincte , in

conditiile in care sunt inregistrate n evenimente elementare , . Fie ,

evenimentele elementare pentru care , . Notand , atunci:

.

EXEMPLU Se considera o variabila aleatoare g, data de recolta de grau pe un hectar. In aceasta situatie

variabila aleatoare poate avea orice valoare dintr-un interval si prin urmare apare urmatoarea

clasificare, generata de natura valorilor inregistrate.

5

DEFINITIE O variabila aleatoare se numeste discreta (discontinua) daca poate lua numai valori

izolate. Numarul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.

O variabila aleatoare se numeste continua daca poate lua valori care umplu un interval finit sau

infinit. Evident, numarul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue este intotdeauna

infinit.

2.2 Repartitia unei variabilei aleatoare discrete

Pentru a defini o variabila aleatoare discreta este suficient sa se enumere toate valorile posibile pe

care aceasta le poate lua. Insa, pentru a o cunoaste complet trebuie enumerate si probabilitatile

corespunzatoare fiecarei valori inregistrate.

Se numeste repartitie a unei variabile aleatoare discrete enumerarea valorilor posibile ale variabilei

aleatoare si a probabilitatilor corespunzatoare acestora. De obicei repartitia unei variabile aleatoare

discrete se scrie sub forma unui tablou in care prima linie contine toate valorile posibile, iar a doua

linie, probabilitatile corespunzatoare :

, sau , .

Tinand seama ca intr-un experiment variabila aleatoare ia una si numai una din valorile sale

posibile, rezulta ca evenimentele care constau in aceea ca variabila ia valorile sau ,…, sau

formeaza - dupa cum se stie – un sistem complet de evenimente. Prin urmare, suma probabilitatilor

acestor evenimente este egala cu unitatea :

.

2.3 Operatii cu variabile aleatoare discrete

DEFINITIE Puterea de ordinul k a variabilei aleatoare f este variabila aleatoare cu repartitia :

.

DEFINITIE Daca este un numar real, produsul dintre si este variabila aleatoare , cu

repartitia :

6

.

Fie si doua variabile aleatoare, avand respectiv repartitiile:

si .

Se considera evenimentul care consta in aceea ca ia valoarea , si ia valoarea ,

. Acest eveniment notat si care este intersectia evenimentelor si

, constand in aceea ca ia valoarea , respectiv ia valoarea , are o probabilitate bine

determinata:

.

Cum evenimentele , , , in numar de , formeaza un sistem

complet de evenimente, atunci :

.

DEFINITIE Variabila aleatoare are repartitia:

, , .

DEFINITIE Variabila aleatoare are repartitia:

, , .

Exista vreo legatura intre probabilitatile si ? Raspunsul la aceasta

intrebare este afirmativ, insa legatura dintre aceste probabilitati nu este intotdeauna simpla. Un caz in

care aceasta legatura este foarte simpla este acela in care si sunt independente.

7

DEFINITIE Variabilele si se numesc independente probabilistic daca pentru orice si , ,

, evenimentele si sunt independente. Prin urmare:

,

adica

.

In mod analog se pot defini sumele si produsele a mai mult de doua variabile aleatoare, ca si

notiunea de independenta a unui numar oarecare de variabile aleatoare.

2.4 Momentele unei variabile aleatoare discrete

Se considera doua variabile aleatoare si si se presupune ca poate lua valorile , iar

poate lua valorile . Pentru fiecare pereche , fie probabilitatea ca sa ia

valoarea si sa ia valoarea , adica:

, , .

DEFINITIE Probabilitatile , , constituie repartitia comuna a variabilelor aleatoare

, .

DEFINITIE Variabilele aleatoare si sunt independente, daca pentru orice , si orice ,

are loc:

.

Se considera acum mai mult de doua variabile aleatoare. Fie , variabile aleatoare, unde

variabila aleatoare ia valorile , .

DEFINITIE Probabilitatile :

constituie repartitia comuna a variabilelor aleatoare .

8

DEFINITIE Variabilele aleatoare sunt independente, daca pentru orice , :

.

DEFINITIE Variabilele aleatoare 1 sunt independente, daca orice numar finit de

variabile aleatoare din acest sir sunt independente.

Introducem acum o caracteristica numerica foarte importanta, asociata unei variabile aleatoare.

DEFINITIE Numarul

se numeste valoarea medie a variabilei aleatoare .

EXEMPLU In experimentul cu zarul :

.

DEFINITIE Fie un numar intreg, . Numarul

se numeste moment de ordinul al variabilei aleatoare .

OBSERVATIE Momentul de ordinul este valoarea medie.

DEFINITIE Numarul

se numeste dispersia variabilei aleatoare .

1 Vom nota un sir si sub forma

9

Cu ajutorul acestor notiuni introduse, se pot demonstra o serie de proprietati.

PROPRIETATEA 1 Fie o variabila aleatoare si un numar intreg, . Atunci

Demonstratie. Fie variabila aleatoare cu repartitia

.

Atunci variabila aleatoare va avea evident repartitia :

;

cu alte cuvinte, valorile si au aceeasi probabilitate ,

si deci

( )

Din proprietatea anterioara se deduce imediat:

PROPRIETATEA 2 Fie o variabila aleatoare care poate lua o singura valoare cu probabilitatea

(adica ). Atunci:

.

PROPRIETATEA 3 Fie o variabila aleatoare si un numar real. Atunci:

.

Demonstratie. Fie variabila aleatoare cu valorile , avand probabilitatile si fie

. Aceasta noua variabila aleatoare ia valorile cu aceleasi probabilitati si

deci:

10

( )

PROPRIETATEA 4 Fie variabile aleatoare . Atunci valoarea medie a sumei acestor

variabile aleatoare este egala cu suma valorilor medii, adica:

.

Demonstratie. Fie mai intai numai doua variabile aleatoare si . Se presupune ca variabila aleatoare

ia valorile cu probabilitatile , iar variabila aleatoare ia valorile cu

probabilitatile . De asemenea fie :

, , .

Fie  ; aceasta noua variabila aleatoare ia valoarea cu probabilitatea , ,

. Prin urmare :

.

Suma , este suma probabilitatilor tuturor evenimentelor de forma , unde

indicele este acelasi pentru toti termenii sumei, iar indicele variaza de la un termen la altul,

parcurgand toate valorile de la la . Deoarece evenimentele pentru indici diferiti sunt

incompatibile doua cate doua, suma este probabilitatea producerii unui eveniment oarecare din

cele evenimente , . Dar, a spune ca s-a produs un eveniment oarecare din

evenimentele , , este echivalent cu a spune ca s-a produs evenimentul .

Intr-adevar, daca s-a produs unul din evenimentele , , este evident ca s-a

produs si evenimentul ; reciproc, daca s-a produs evenimentul , atunci intrucat

variabila aleatoare ia neaparat una din valorile sale posibile , trebuie sa se produca si un

eveniment oarecare din evenimentele , . Asadar, fiind probabilitatea

11

producerii unui eveniment oarecare din evenimentele , , este egala cu

probabilitatea evenimentului , adica

, .

In mod analog se deduce:

, .

Tinand seama de aceste expresii in relatia , se obtine :

.

Pentru mai mult de doua variabile aleatoare, se procedeaza prin inductie. Fie

si se presupune teorema adevarata pentru . Atunci :

.

Aplicand proprietatea pentru doua variabile aleatoare, se obtine :

. ( )

PROPRIETATEA 5 Dispersia unei variabile aleatoare este data de relatia :

.

Demonstratie.

,

12

daca se tine seama de proprietatea precedenta. Mai departe, aplicand de doua ori proprietatea 1., se

obtine :

.

PROPRIETATEA 6 Fie si doua variabile aleatoare independente. Atunci valoarea medie a

produsului acestor variabile aleatoare este egala cu produsul valorilor medii, adica :

.

Demonstratie. Se presupune ca variabila aleatoare ia valorile cu probabilitatile

, iar variabila aleatoare ia valorile cu probabilitatile . De asemenea :

, ,

si cum f si g sunt variabile independente:

, , .

Fie ; aceasta noua variabila aleatoare ia valoarea cu probabilitatea , ,

. Prin urmare:

.

PROPRIETATEA 7 Fie variabile aleatoare independente doua cate cate doua. Atunci

dispersia sumei acestor variabile aleatoare este egala cu suma dispersiilor, adica:

.

Demonstratie. Din proprietatea 6 se deduce

13

.

Daca se tine seama de faptul ca variabilele aleatoare sunt independente, atunci din

proprietatea 6 rezulta ca cele doua sume duble de mai sus se reduc si deci :

.

PROPRIETATEA 8 (Inegalitatea lui Cebisev) Fie o variabila aleatoare si un numar pozitiv

oarecare. Atunci

,

sau

Demonstratie. Fie o variabila aleatoare care ia valorile cu probabilitatile .

Dispersia variabilei aleatoare este :

.

Fie este un numar oarecare; daca din suma de mai sus se elimina toti termenii pentru care

si raman numai termenii pentru care , suma poate numai sa se

micsoreze, adica

.

Aceasta suma se va micsora si mai mult daca in fiecare termen al ei vom inlocui factorul

prin valoarea inferioara :

14

.

Suma din partea dreapta reprezinta suma probabilitatilor tuturor acelor valori ale variabilei

aleatoare care se abat de la valoarea medie de o parte si de alta cu mai mult de ; conform

proprietatii de aditivitate a doua evenimente incompatibile, aceasta este probabilitatea ca variabila

aleatoare sa ia una din aceste valori. Cu alte cuvinte, aceasta suma este . Adica :

,

ceea ce permite aprecierea probabilitatii abaterilor mai mari decat un numar dat dinainte, cu

conditia numai sa fie cunoscuta dispersia .

Cu ajutorul proprietatilor 7 si 8 se poate demonstra urmatorul rezultat foarte important, cunoscut

sub numele de legea numerelor mari.

PROPRIETATEA 9 Fie un sir de variabile aleatoare independente care au aceeasi

repartitie si deci, aceeasi valoare medie si aceeasi dispersie . Atunci, pentru orice si

arbitrari, , , exista un numar natural astfel incat indata ce , are loc :

.

Demonstratie. Din proprietatile 1 si 4, se deduce:

si deci, aplicand proprietatea 8, se obtine:

.

Dar:

15

,

de unde rezulta:

.

Fiind dati , , se poate determina un numar natural , care depinde de si , astfel

incat indata ce , sa rezulte :

;2

Prin urmare :

.

Cu alte cuvinte, proprietatea 9 arata ca daca variabilele aleatoare sunt

independente si daca au aceeasi medie si aceeasi dispersie , atunci pentru un suficient de

mare, expresia va diferi oricat de putin de cu o probabilitate oricat de apropiata de .

Studiul independentei a doua variabile aleatoare se poate realiza si prin intermediul coeficientului

de corelatie.

DEFINITIE Se numeste corelatie a doua variabile aleatoare, media produsului abaterilor acestora:

.

PROPRIETATE .

2 Drept putem lua primul numar natural pentru care .

16

Demonstratie

DEFINITIE Se numeste coeficient de corelatie:

.

TEOREMA Corelatia a doua variabile aleatoare independente este nula.

Demonstratie Daca variabilele X, Y sunt independente, atunci si , respectiv sunt

independente.

PROPRIETATI

1)  ;

2) daca si numai daca intre variabilele X si Y exista o relatie de legatura liniara.

Demonstratie 1) Fie , . , . Calculand media

variabilei aleatoare U, se obtine :

.

Calculand discriminantul si impunand conditia ca acesta sa fie pozitiv, rezulta proprietatea data.

2) Fie , , .

2.5 Repartitii discrete clasice

Repartitia binomiala

17

.

Parametrii acesteia sunt : , .

Repartitia Poisson

.

Parametrii acesteia sunt : , .

Repartitia Poisson poate fi scrisa si in forma:

, .

Distributia hipergeometrica

.

Parametrii acesteia sunt : , ,

Revenind la calculul parametrilor repartitiilor, se obtine :

Repartitia binomiala

.

Fie binomul :

.

Derivand dupa x, rezulta:

.

Inmultind cu x, rezulta:

18

Pentru .

Daca derivam inca o data dupa x, rezulta:

si inmultind cu x .

Pentru , de unde rezulta ca:

.

Repartitia Poisson

Considerand dezvoltarea in serie Taylor a functiei in jurul originii rezulta:

,

.

Atunci

, adica .

Pentru determinarea dispersiei este necesar sa se calculeze:

.

Prin urmare, repartitia Poisson are .

Repartitia hipergeometrica

19

.

.

.

, unde , .

20

BIBLIOGRAFIE

1. Ciuci G. - Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1963

2. Ciucu, G.,Craiu, V.- Introducere în teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971

3. Ciucu, G., Craiu, V., Săcuiu, I.- Probleme de teoria probabilităţilor, Editura Tehnică, 1974

4. Ciucu, G., Craiu, V., Săcuiu, I.- Probleme de statistică matematică, Editura Tehnică, 1974

5. Ciucu, G., Craiu, V., Ştefănescu, A.- Statistică matematică şi cercetări operaţionale,

Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1974

6. Ciucu, G., Tudor, C. - Probabilităţi şi procese stochastice, vol. I, Editura Academiei

R.S.R., Bucureşti, 1978

7. Craiu, V. - Verificarea ipotezelor statistice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1972

8. Cuculescu, I. - Curs de calculul probabilităţilor, Topografia Universităţii, Bucureşti, 1976

9. Feller, W. - An introduction to probability theory and its applications, vol. I (1957), vol. II

(1966), John Wiley

10. Gnedenko, B. V. - The Theory of probability, Mir Publishees Moscow, 1969

11. Guiaşu, S., Theodorescu, R.- Matematica şi informaţia, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1965

12. Iaglom, A. M., Iaglom, I. M. - Probabilitate şi informaţie, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1963

13. Iosifescu, M., Mihoc Gh., Theodorescu, R. - Teoria probabilităţilor şi statistică

matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1966

14. Iosifescu, M. - Lanţuri Markov finite şi aplicaţii, Editura Tehnică, Bucureşti, 1977

15. Iosifescu, M., Tăutu, P. - Stochastic processe and applications in biology and medicine,

Bucureşti, Berlin, Editura Academiei & Springer, 1973

21

16. Kendall, M. G., Stuart, A. - The advanced theory of Statistics, vol. I, II, Charles Griffin &

Company Limited, London, 1961

17. Kai Lai Chung - Elementary Probability Theory with Stochastic Processes, Springer –

Verlag, New York – Heidelberg – Berlin, 1974

18. Kalbleisch, J. G. - Probability and Statistical Inference, I, II, Springer – Verlag, New

York, Heidelberg, Berlin, 1979

19. Mc Phersson, G. - Statistics in Scientific Investigation (Its Basis, Application and

Interpretation), Springer – Verlag, 1990

20. Mihoc, Gh., Ciucu, G., Craiu, V. - Teoria probabilităţilor şi Statistică matematică,

Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970

21. Neveu, I. - Cours de Probabilités, Ecole Polytechnique, Paris, 1970

22. Onicescu, O. - Probabilităţi şi procese aleatoare, Editura Ştiinţifică şi

Enciclopedică, Bucureşti, 1977

23. Onicescu, O., Mihoc, Gh., Ionescu Tulcea, C. - Calculul probabilităţilor şi aplicaţii,

Editura Academiei R.P.R., Bucureşti, 1956

24. Reischer, C., Sâmboan, G., Theodorescu, R. - Teoria probabilităţilor, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1967

25. Renyi, A. - Calcul de probabilités, Dunod, Paris, 1966

26. Schimetterer, L. - Einfuhrung in die matematische Statistik, Springer Verlag, Wien, New

York, 1966

27. Trandafir, R. - Introducere în teoria probabilităţilor, Editura Albatros, Bucureşti, 1979

28. Uilks, S. - Matematicescaia Statistica, Izdatelstvo “Nauka”, Moscova, 1967

29. Venzel, H. - Theorie de probabilités, Editura de Moscou, 1973

30. Ya-lun Chou - Statistical Analysis for Business and Economics, Elsevier, New York,

Amsterdam, London, 1989

22