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APONTAMENTOS DE DISPOSITIVOS
SEMICONDUTORES
LICENCIATURA DE ENGENHARIA ELECTRÓNICA
IST
2004-2005
i
ÍNDICE
Pág.
Cap. 1. Semicondutores ...................................................................................................... 1.1
1.1 Modelos das ligações de covalência .............................................................................. 1.1
1.2 Modelo das bandas de energia ..................................................................................... 1.4
1.3 Geração e Recombinação .............................................................................................. 1.5
1.4 Efeito foto-eléctrico interno .......................................................................................... 1.6
1.5 Função de Fermi-Dirac f(W) e função densidade de estados em energia g(W) ....... 1.7
1.6 Mecanismos de transporte .......................................................................................... 1.14
1.6.1 Deriva ........................................................................................................................ 1.14
1.6.2 Difusão ....................................................................................................................... 1.18
1.7 Equações da continuidade .......................................................................................... 1.18
1.7.1 Cristal neutro e uniforme ........................................................................................ 1.20
1.7.2 Regime estacionário sem condução. Difusão com recombinação ........................ 1.22
1.8 Semicondutores compostos ......................................................................................... 1.25
1.9 Fotocondutividade. Fotoresistências .......................................................................... 1.32
ii
- 1.1 -
Capítulo 1. Semicondutores
Os semicondutores são materiais cujas condutividades se situam entre as dos metais (106 a 108
S/m) e as dos isoladores (10-20 a 10-8 S/m). Quando puros, as suas propriedades eléctricas são
fortemente dependentes da temperatura. Designam-se nesse caso por intrínsecos. Quando se
introduzem impurezas no seu seio, os materiais dizem-se extrínsecos, vendo a sua
condutividade fortemente aumentada, mesmo quando a introdução de impurezas é em doses
ínfimas, geralmente inferiores a 0,0001%. A condutividade nos semicondutores é, num caso
geral, da responsabilidade de dois tipos de portadores móveis: uns de carga negativa, os
electrões de condução, e outros de carga positiva, designados por buracos ou lacunas.
1.1 Modelo das ligações de covalência Os semicondutores elementares típicos são o germânio (Ge) e o silício (Si). São elementos da
coluna IV da tabela periódica, que cristalizam no sistema cúbico com a malha de diamante, de
que se mostra uma célula elementar na Fig.1.1. Esta corresponde ao menor conjunto de
átomos que, repetido nas 3 direcções do espaço, reconstitui o cristal. É formada por 1 átomo
nos vértices, que é partilhado por 8 células, 1 átomo no centro das faces, que é partilhado por
2 células, e 4 átomos no interior. Significa que cada célula elementar é constituída por
8/8+6/2+4=8 átomos. A rede de diamante pode ser interpretada como o resultado da
translação de duas redes cúbicas de faces centradas.
a
- Fig.1.1 -
Célula elementar da rede cristalina do diamante.
A estabilidade da estrutura é obtida porque os átomos se agregam de tal modo que a sua
última camada fica completa, por partilha de electrões com os átomos vizinhos. Designa-se
esse tipo de ligação por ligação de covalência. Está representada de forma esquemática na
- 1.2 -
Fig.1.2, onde cada ligação é representada por um segmento de recta. Corresponde à situação
de energia mínima para os electrões, sendo necessário fornecer-lhes uma energia mínima, dita
de ligação, para os libertar. Na Fig.1.2(a) representa-se a situação em que todos os electrões
de valência se encontram ligados. Por aplicação de um campo electrostático ao cristal não se
verificará nenhuma corrente estacionária, porque todos os electrões estão “presos”. A possível
troca de posição não afectará o sistema, uma vez que os electrões são partículas
indiscerníveis, significando isto que essa eventualidade não está associada a qualquer
fornecimento ou absorção de energia ao sistema. O semicondutor comporta-se como um
isolante. É a situação a 0 K.
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
(a) (b)
- Fig.1.2 - Ligações de valência num semicondutor intrínseco. (a) T = 0 K (b) T > 0 K.
A uma dada temperatura T já existe interacção do material com o exterior, que se traduz pela
existência de um certo número de ligações quebradas, ou, o que é o mesmo, pelo
aparecimento de electrões livres (Fig.1.2(b)). A aplicação de um campo permite agora a
existência de corrente estacionária, por movimentação dos electrões no cristal. No entanto,
existindo ligações incompletas, às quais está associada uma carga positiva, pode haver
transferência de electrões de umas ligações para as outras. Corresponde no fundo, a uma
movimentação de cargas positivas (os buracos ou lacunas) em sentido contrário. Estas são em
igual número ao das ligações desfeitas. São partículas livres na acepção em que os electrões
de condução o são. Assim, o mecanismo de quebra de ligações de valência está
indissoluvelmente ligado à geração de pares electrão-buraco. Analogamente, quando um
electrão livre é capturado e se restabelece a ligação por perda da sua energia para a rede,
desaparece um par electrão-buraco. Em equilíbrio termodinâmico os 2 mecanismos, ditos de
- 1.3 -
geração e de recombinação, são obrigatoriamente iguais e, num material como o que foi
descrito, o número de electrões é igual ao número de buracos. O material diz-se intrínseco.
Sendo n e p as concentrações de electrões e de buracos por unidade de volume,
respectivamente, tem-se
inpn == (1.1)
sendo, ni a concentração intrínseca do material semicondutor à temperatura T. Os semicondutores intrínsecos apresentam uma carga móvel relativamente baixa. Para obviar
este problema, utilizam-se os semicondutores extrínsecos. Nestes, alguns átomos do
semicondutor são substituídos por átomos de impurezas, ditas de substituição. Dois casos são
possíveis. Se os átomos de impurezas forem da coluna V da tabela periódica (P, Sb, As, Li),
preenchidas as 4 ligações de covalência sobra um electrão de valência (Fig.1.3(a)). A energia
para libertar esse electrão é cerca de um centésimo da necessária para abrir uma ligação de
covalência, motivo pelo qual à temperatura ambiente praticamente todos os átomos de
impurezas estão já ionizados, por libertação do “quinto” electrão. As impurezas contribuem
assim para o aumento da população de electrões, sem contribuírem para o aumento da
população de buracos. Dizem-se dadoras, sendo os seus iões de carga positiva. Pelo facto da
população de electrões ser superior à de buracos, o material diz-se do tipo n.
+4 +4 +4
+4 +5 +4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
+4 +3 +4
+4 +4 +4
(a) (b)
- Fig.1.3 – Ligações de valência num semicondutor extrínseco. (a) tipo n (b) tipo p.
Se pelo contrário as impurezas têm 3 electrões de valência (Al, B, Ga, In), fica uma ligação
por preencher. Com uma energia muito pequena os átomos ionizam-se e recebem um electrão
- 1.4 -
de valência, que liberta um buraco. A população de buracos aumenta, sem existir a
contrapartida do aumento de electrões. Aparece um ião de carga negativa associada à
impureza, que se diz aceitadora (Fig.1.3(b)). O material diz-se agora do tipo p. De realçar que
apenas os electrões da banda de condução, representados por n, e os buracos, representados
por p, são responsáveis pela corrente eléctrica (portadores). Os iões dadores e aceitadores
apenas contribuem para a carga total do sistema.
1.2 Modelo das bandas de energia Resultados da mecânica ondulatória mostram que os átomos isolados têm níveis de energia
discretos possíveis para os electrões. Nos cristais, a interacção entre os átomos, que estão
muito próximos, desdobra os níveis de energia em bandas. Estas estão separadas por zonas ou
bandas de ocupação proibida. Num semicondutor intrínseco, as duas bandas permitidas de
mais alta energia são, por ordem decrescente de energia, a banda de condução e a banda de
valência (Fig.1.4). O nível de energia mais baixa da banda de condução é designado por WC.
O nível de energia mais alto da banda de valência é designado por WV. Os parâmetros WC e
WV têm características de energia potencial. As bandas estão separadas por uma banda
proibida com uma altura em energia WG, dada por WC-WV, que, para os semicondutores, tem
valores típicos de aproximadamente 1 eV (1 eV=1,6×1019 J). Para T = 0 K a banda de
valência está completamente preenchida e a banda de condução vazia. Corresponde, no
modelo das ligações de valência, a termos todas as ligações de covalência estabelecidas. Uma
banda completamente cheia não contribui para a corrente porque não existem estados livres
para onde as partículas (que verificam o princípio de exclusão de Pauli) possam ir quando
solicitadas pelo campo. Só podem trocar de posições o que, graças à indiscernibilidade, deixa
tudo na mesma. Por outro lado, a banda de condução está vazia. Logo, o semicondutor
comporta-se como um isolador a 0 K. Às baixas temperaturas o panorama é sensivelmente o
mesmo. Para temperaturas próximas da ambiente, os electrões de valência já possuem
energias para saltar a barreira WG e passar para a banda de condução onde se tornam electrões
livres (Fig.1.4(b)). Aí existem muitos estados por ocupar. Além disso, também a banda de
valência já possui estados vazios por ocupar. Estes podem mover-se, por troca de posição com
os electrões de valência. É a colaboração conjunta de locais vagos e dos electrões de valência
que pode ser contabilizada pela existência das entidades de carga positiva designadas por
buracos. De salientar, contudo, que o número de electrões que vencem a barreira é
normalmente pequeno, uma vez que a energia de agitação térmica é pequena comparada com
- 1.5 -
a altura da banda proibida. À temperatura de 300 K, WG vale aproximadamente 0,66 e 1,1 eV
para o Ge e o Si, respectivamente.
As impurezas de substituição estão associadas a níveis de energia na banda proibida. Este
facto não deve ser tomado como estranho, uma vez que nos estamos a referir a átomos
distintos do hospedeiro. Sendo a perturbação introduzida no sistema pequena, as impurezas
dadoras estão associadas a níveis de energia próximas de WC (Fig.1.4(b)) e os níveis
aceitadores estão associados a valores próximos de WV (Fig.1.4(c)). As energias de agitação
térmica a 300 K tornam possíveis transições entre esses níveis e as bandas permitidas.
Correspondem no modelo anteriormente descrito, à ionização das impurezas de substituição.
As energias envolvidas são muito menores que nos processos banda a banda característicos
dos materiais intrínsecos. Os estados de movimento associados aos níveis das impurezas de
substituição são designados por superficiais. Outras impurezas existem em que as diferenças
para o material hospedeiro são assinaláveis. Introduzem estados profundos na banda proibida,
estando associadas a energias de ionização da ordem de WG/2.
WG
WC
WV
WG
WC
WV
WG
WC
WV
WD
WA
(a) (b) (c)
- Fig.1.4 - Modelo das bandas de energia num semicondutor
(a) intrínseco; (b) extrínseco do tipo n; (c) extrínseco do tipo p.
1.3 Geração e Recombinação A uma dada temperatura existe uma certa probabilidade para que um electrão de valência
receba uma energia WG e se liberte, criando um par electrão-buraco. Chama-se ritmo de
geração Gter ao número de pares electrão-buraco gerados por unidade de volume em cada
unidade de tempo. Exprime-se em [m-3s-1]. O processo inverso é a recombinação R, onde um
electrão de condução por perda da energia WG, restabelece a ligação, fazendo desaparecer um
par electrão-buraco. Obviamente em equilíbrio termodinâmico os dois ritmos devem ser
iguais, pois se assim não fosse a energia do electrão estaria sempre a aumentar (Gter>R) ou a
diminuir (Gter<R), e o sistema não estaria em equilíbrio termodinâmico.
- 1.6 -
Em primeira análise podemos admitir que R é proporcional ao produto das concentrações n e
p. A constante de proporcionalidade r é dependente da temperatura
npTrR )(= (1.2)
Em equilíbrio termodinâmico tem-se pois Gter=R, pelo que
00)( pnTrGter = (1.3)
onde n0 e p0 representam as concentrações de electrões e de buracos em equilíbrio
termodinâmico. A uma dada temperatura verifica-se assim que o produto da concentração de
electrões e de buracos é Gter/r e, portanto, constante. O resultado é independente da presença
de impurezas, desde que estas representem uma pequena perturbação no sistema. Para um
semicondutor intrínseco o seu valor é o quadrado da concentração intrínseca, tal como dado
por (1.1). Para um semicondutor extrínseco, o resultado continua a aplicar-se, significando
que a subida da concentração de um tipo de portadores conduz à descida da concentração do
outro tipo de portadores. Por exemplo, num semicondutor extrínseco do tipo n, a presença de
dadores funciona como uma fonte adicional ao aparecimento de electrões. Ao ionizar-se cada
átomo dador contribui para o aumento da população de electrões em uma unidade, sem
contribuir para a população de buracos. Por outro lado, a agitação térmica associada à
temperatura T contribui igualmente para a concentração dos dois tipos de portadores. É assim
natural que a população de electrões aumente em relação à observada no intrínseco à mesma
temperatura. As equações (1.1) ou (1.3) mostram que a população de buracos desce em
relação ao valor intrínseco. Tal facto resulta de a população de buracos ver o seu ritmo de
recombinação aumentar com o aumento da população de electrões. Este efeito é contabilizado
por um parâmetro, que se designa por tempo de vida médio. Diremos então que, devido ao
aumento da população de electrões, o tempo de vida médio dos buracos diminuiu. Sendo o
sistema electricamente neutro, a concentração de cargas negativas deve ser numericamente
igual à concentração de cargas positivas, ou seja
+− +=+ DA NpNn (1.4)
A expressão anterior mostra que a diferença entre as populações de electrões e de buracos
pode interpretar-se como a neutralização da presença simultânea de impurezas de dois tipos,
ficando o semicondutor com carácter n ou p conforme as impurezas que predominarem e
como se estas existissem com o valor dado pelo seu excesso face à outra.
- 1.7 -
1.4 Efeito foto-eléctrico interno O efeito fotoeléctrico interno corresponde a um processo de geração de pares electrão-buraco,
ou seja à quebra de ligações de covalência, quando o semicondutor está sujeito à acção de
uma radiação electromagnética conveniente. O seu ritmo designa-se por Gef e, tal com Gter,
exprime-se em [m-3s-1]. Sendo a radiação electromagnética constituída por partículas,
designadas por fotões, para que exista geração de pares electrão-buraco é necessário que os
fotões tenham uma energia associada de pelo menos WG. Sendo hf a energia de um fotão da
radiação de frequência f
GWhf ≥ (1.5)
sendo h=6,62×10-34 [J.s] a constante de Planck. A equação (1.5) mostra que o processo de
libertação de electrões de valência por efeito foto-eléctrico interno está sobretudo relacionado
com as características energéticas que estão associadas aos fotões. Acima da frequência
mínima, a intensidade de radiação é importante, aumentando o número de pares gerados com
a intensidade. Abaixo dessa frequência, o mecanismo de geração por efeito foto-eléctrico não
se verifica, por mais intensa que seja a radiação. Diz-se então que o material é transparente à
radiação. Numa situação estacionária, o ritmo de geração total é igual ao ritmo de
recombinação
RGGRG efter =+⇒= (1.6)
ou seja,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
+=
ter
efi
ter
efterefter
GG
nGG
rG
rGG
np 11 2 (1.7)
A equação (1.7) mostra que, com iluminação, o produto np deixa de verificar a equação (1.1).
Trata-se efectivamente de uma situação que não é de equilíbrio termodinâmico.
1.5 Função de Fermi-Dirac f(W) e função densidade de estados em energia g(W)
Para determinarmos as relações quantitativas que nos permitem calcular as densidades de
electrões e de buracos num semicondutor teremos que recorrer a considerações de ordem
quântica. Para electrões de condução com energias próximas de WC e para electrões de
- 1.8 -
valência com energias próximas de WV tem-se
CC
C WWmpWW >+= *
2
2 (1.8.a)
VV
V WWmpWW <+= *
2
2 (1.8.b)
com 0* >Cm e 0* <Vm . Trata-se da adaptação a um formalismo clássico, em que a energia total
da partícula em cada banda é igual à soma da energia potencial, 1ª parcela do 2º membro de
(1.8), com a energia cinética da partícula, dada pela 2ª parcela do 2º membro. A equação
(1.8.a) mostra que para a banda de condução podemos considerar partículas de massa
positiva. São os electrões de condução, com uma densidade volumétrica que representamos
por n. Para a banda de valência, a equação (1.8.b) mostra que a massa a considerar deve ser
negativa. Para entendermos este facto, teremos de atender que esse parâmetro do ponto de
vista quântico deixa de ter um carácter de inércia, podendo nalguns casos ser negativo e não
ser um escalar. Designamo-lo por massa eficaz da partícula. Ela engloba toda a complexidade
da estrutura de bandas presente no cristal, onde o potencial tem uma variação periódica nas
três direcções do espaço. A consideração desse parâmetro permite-nos, dentro de uma
perspectiva clássica, estudar o movimento dos electrões recorrendo à conhecida equação
Eqdtvdm −=* (1.9)
De salientar que para a banda de valência, a utilização da equação (1.9) mostra que a
contribuição de partículas de massa negativa e carga negativa (electrões de valência) pode ser
traduzida por partículas de massa e de carga simétricas. São os buracos. Logo as equações
(1.8) podem ser aplicadas para os electrões da banda de condução com 0** >= nC mm e para os
buracos da banda de valência com .0** >−= Vp mm
Os electrões e os buracos verificam a estatística de Fermi-Dirac. Dizem-se por isso fermiões.
Significa que são partículas que, na sua lei de distribuição, verificam o princípio de exclusão
de Pauli, que diz que num sistema de electrões apenas um electrão pode ocupar cada estado
quântico possível. Além disso são partículas indiscerníveis, isto é, não é possível distinguir
entre duas partículas que no mesmo instante tenham a mesma probabilidade de se encontrar
- 1.9 -
num certo elemento de volume do espaço. A indiscernibilidade é, aliás, um princípio inerente
à mecânica ondulatória, por contraposição à noção de discernibilidade, conceito restrito à
mecânica clássica.
A função de Fermi-Dirac f(W) representa a probabilidade de um dado nível de energia W estar
ocupado (Fig.1.5). É dada, para uma temperatura T, por
kT
WW F
eWf −
+=
1
1)( (1.10)
sendo k a constante de Boltzmann, de valor 1,38×10-23[JK-1], e WF o nível de Fermi, que
representa o potencial electroquímico do material. WF goza das seguintes propriedades
KTWf F 05,0)( ≠= (1.11.a)
KTWWWfWWWf FF 00)(;1)( =>=<= (1.11.b)
f(W)
1
0,5
WFW
T
T
T=0
- Fig.1.5 -
Função de Fermi.
As equações (1.11) mostram que, para T=0 K, o nível de Fermi representa o nível de energia
mais alto ocupado e que para qualquer outra temperatura a probabilidade de ocupação do
nível de Fermi é de 50%.
Por mudança de variáveis E=(W-WF)/kT, pode verificar-se que f(E)=1-f(-E), ou seja a
probabilidade de ocupação (dada por f) de um dado nível de energia é igual à probabilidade de
desocupação (dada por 1-f) do nível simetricamente colocado em relação ao nível de Fermi.
Pode mostrar-se que num cristal, para um certo intervalo de energia dW centrado na energia
W, existe um número finito de estados estacionários possíveis para o movimento do electrão
- 1.10 -
dado por
dWWmmhV
WdN kWW**
30 2
8)(
π= (1.12)
A aplicação de (1.12) para os electrões da banda de condução permite definir a respectiva
função densidade de estados em energia. É dada por
( ) CCnnC WWWWmmhV
Wg >−= **3
0 28
)(π
(1.13)
Analogamente, para a banda de valência teremos
( ) VVppV WWWWmmhVWg <−= **3
0 28)( π (1.14)
O número de electrões é obtido a partir da densidade de estados em energia da banda de
condução que estão ocupados, ou seja
dWWgWfV
dn C )()(1
0
= (1.15)
O número de buracos está associado ao grau de desocupação da banda de valência e, portanto:
( )( ) ( )WgWfV
dp V−= 11
0
(1.16)
Admitindo que a posição do nível de Fermi é tal que se verifica sempre
kTWWkTWW VFFC >>−>>− ; (1.17)
a função de Fermi pode ser substituída pela função de Maxwell-Boltzmann, que corresponde
à estatística clássica. Nessas condições os semicondutores dizem-se não degenerados. É nessa
situação que nos situaremos na análise de todos os dispositivos desta disciplina. Nessas
condições
( )
kTWW F
eWf−
−≅)( (1.18)
Substituindo (1.18) em (1.15), a concentração de electrões é obtida por integração ao longo da
- 1.11 -
banda de condução
kTWW
CW
FC
C
eNdnn−
−∞
== ∫ (1.19)
onde NC se designa por densidade efectiva de estados na banda de condução e é dada por
2/3
2
*22 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
hkTm
N nC
π (1.20)
Analogamente, a concentração de buracos será dada por
kTWW
V
W VFV
eNdpp−
−
∞−
== ∫ (1.21)
sendo NV a densidade efectiva de estados na banda de valência dada por
2/3
2
*22 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
hkTm
N pV
π (1.22)
Nos semicondutores não degenerados, ou seja os que verificam (1.17), as concentrações de
electrões e de buracos serão sempre muito inferiores a NC e a NV, respectivamente.
As equações (1.19) e (1.21) mostram que o afastamento do nível de Fermi a WC ou a WV é um
indicador de quão extrínseco o semicondutor é. Assim para um semicondutor intrínseco
obtém-se de (1.19)
kTWW
Ci
FiC
eNn−
−= (1.23)
Analogamente, de (1.21) obtém-se
kTWW
Vi
VFi
eNn−
−= (1.24)
Igualando (1.23) e (1.24) é-se conduzido a
- 1.12 -
2/3
*
*
ln22
ln22 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=p
nVC
V
CVCFi m
mkTWWNNkTWW
W (1.25)
A equação (1.25) mostra que o nível de Fermi para o semicondutor intrínseco está
aproximadamente a meio da banda proibida, ligeiramente deslocado para cima pelo facto das
massas de electrões serem menores que as massa de buracos
lnF FiW WkT
i F Fii
nn n e W W kTn
−
= ⇒ = + (1.26)
Num semicondutor extrínseco de tipo n tem-se n>ni, pelo que o nível de Fermi se encontra
acima de WFi, ou seja aproxima-se da banda de condução. Analogamente, num semicondutor
de tipo p o nível de Fermi aproxima-se da banda de valência, de acordo com
npkTWWenp FiF
kTWW
i
FFi
ln−=⇒=−
(1.27)
A fig.1.6 representa a concentração de electrões e de buracos num semicondutor de tipo n,
calculada a partir das funções f(W) e g(W) das respectivas bandas.
W
WC
WV
g(W)
WF f(W)
- Fig.1.6 -
Concentrações de portadores num semicondutor de tipo n.
De realçar, contudo, que com o aumento da concentração de impurezas se pode entrar num
domínio para a qual as relações anteriores deixam de ser válidas pois (1.17) deixa de se
verificar. É o caso dos semicondutores degenerados. Multiplicando (1.19) e (1.21) obtém-se
- 1.13 -
kTW
i
G
eTn−
∝ 32 (1.28)
A concentração intrínseca é assim fortemente dependente da temperatura, sobretudo devido
ao factor exponencial. Calculando a variação relativa de 2in com a temperatura obtém-se
( )
TdT
kTW
nnd G
i
i ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 32
2
(1.29)
Assim para o Ge a 300 K a variação de 1º C provoca uma variação de cerca de 9,4% do
quadrado da concentração intrínseca.
A Fig.1.7 mostra o andamento da variação das concentrações de portadores em função da
temperatura numa escala logarítmica. Tomou-se como exemplo uma amostra com dadores.
Zona
intrínseca Zona de
Saturação Zona de
ionização Log n
Log ND
Log pLog n
Log ni
1/T 0∞
Log p
i
- Fig.1.7 -
Influência da temperatura nas concentrações de portadores.
Do equilíbrio termodinâmico e da neutralidade de carga (1.7) obtém-se
22 421
2 iDD nNNn ++= ++
(1.30)
Num semicondutor fortemente extrínseco tem-se +≅ DNn . Assim para temperaturas muito
baixas, a concentração de electrões cresce com a temperatura, uma vez que as impurezas se
vão ionizando. É a zona de ionização. À temperatura ambiente já todas as impurezas estão
- 1.14 -
ionizadas e portanto n é praticamente constante e igual a ND. É a zona de saturação. Se a
temperatura continuar a subir, o aumento de ni pode fazer com que em (1.30) já não se possa
desprezar a influência da agitação térmica, conduzindo à outra situação extrema onde
.22 +>> Di Nn Nessas condições as concentrações de electrões e de buracos são praticamente
iguais e dadas pelo valor da concentração intrínseca à essa temperatura. É a zona intrínseca.
Representa-se também a variação em escala logarítmica da concentração das minorias com T,
tendo em conta que de acordo com a equação do equilíbrio termodinâmico Gter=R se verifica
inpn ln2lnln =+ (1.31)
1.6 Mecanismos de transporte São os mecanismos de transporte que estão associados à presença de corrente eléctrica.
Podem ser de dois tipos. O primeiro está associado à presença de uma força exterior. Designa-
se por deriva ou condução. O segundo necessita da presença de gradientes de concentração.
Designa-se por difusão.
1.6.1 Deriva Existem forças associadas à estrutura cristalina. Designaremos por forças internas e estão
contidas no conceito que designámos por massa eficaz. As forças exteriores pressupõem, por
exemplo, a aplicação de uma tensão aos terminais do cristal, a sua colocação num meio com
um campo magnético, etc. Mesmo na ausência de uma força exterior os electrões e os buracos
estão animados de movimento. Nesse movimento as partículas sofrem colisões. Estas devem
ser entendidas num sentido mais lato do que aquele que normalmente lhes é atribuído num
domínio clássico. Designamos por colisão qualquer alteração à movimentação da partícula ou
onda que lhe está associada. Se o deslocamento livre da partícula (onda estacionária) sofreu
alterações, a entidade (onda, partícula) esteve sujeita a uma colisão. Estão associadas a vários
factores, como, por exemplo, à agitação térmica. No entanto, mesmo no zero absoluto, o facto
do cristal ter imperfeições (átomos fora de posição, átomos que faltam, deslocações, átomos
de impurezas, ou qualquer outra alteração da periodicidade da rede) conduz à presença de
colisões. Mesmo admitindo o conceito ideal de um cristal perfeito, os seus limites num cristal
finito, nos obrigariam a considerar a interrupção de um potencial periódico e, portanto, a
tomar em linha de conta uma colisão. Assim, as interacções de uma rede cristalina com o que
possa constituir uma imperfeição são traduzidas por colisões.
- 1.15 -
Sendo o movimento da partícula perfeitamente aleatório na ausência de forças exteriores, o
valor médio da sua velocidade é necessariamente nulo (Fig.1.8(a)). A média deve aqui ser
entendida como uma média tomada sobre uma população representativa num dado instante,
ou como a média tomada ao fim de muitas colisões sobre uma dada partícula. A hipótese
ergódica impõe-nos o mesmo resultado, que é de uma velocidade média nula.
F
(a) (b)
t
n
τlp (c)
- Fig.1.8 - Movimento de uma partícula (a) 0F = ; (b) 0F ≠ ;
(c) Evolução temporal do número de partículas que não colidiram. Admitindo um comportamento do tipo relaxação para as colisões, a diminuição do número de
partículas que ainda não chocaram é proporcional ao seu número, isto é
andtdn
−= (1.32)
cuja solução está representada na Fig.1.8c e é dada por
atenn −= 0 (1.33)
sendo n0 o número de partículas que não chocaram no instante inicial e a a frequência de
choques. O tempo que em média uma partícula leva até chocar designa-se por tempo de livre
percurso médio e é dado por
- 1.16 -
a
dn
tdn
l1
0
0 ==
∫
∫∞
∞
τ (1.34)
Se existir uma força eléctrica, por exemplo, e se esta corresponder a uma pequena perturbação
no sistema, podemos dizer que existe agora uma componente adicional, dirigida no sentido da
força eléctrica, para a velocidade média (Fig.1.8(b)). A velocidade da partícula é dada pela lei
de Newton, substituindo m pela sua massa eficaz
tm
Eqvn
n *−= (1.35)
O valor médio da velocidade será assim
ln*n nn
qv E Emτ
< >= − = −µ (1.36)
sendo a constante de proporcionalidade µn designada por mobilidade dos electrões. É dada por
*ln
nn m
qτµ = (1.37)
Analogamente, para buracos, a velocidade média é proporcional ao campo eléctrico
Emq
vp
lpp *
τ>=< (1.38)
sendo a constante de proporcionalidade a mobilidade dos buracos, dada por
*p
lpp m
qτµ = (1.39)
A uma velocidade média constante está associada uma corrente constante. Em cada ponto a
densidade de corrente será dada pelo produto da densidade volumétrica de carga ρ pela
velocidade (lei de Ohm na forma local)
- 1.17 -
EEpnqvqpvqnJJJ pnpnpn σµµ =+=+−=+= )( (1.40)
σ representa a condutividade do material e é, assim, função das densidades dos portadores e
das suas mobilidades
)( pn pnq µµσ += (1.41)
A equação (1.41) mostra que a condutividade dos semicondutores é dependente da
temperatura. A dependência da mobilidade com a temperatura depende dos mecanismos de
colisão envolvidos. Se admitirmos que estes são independentes, podemos dizer que a
existência de m mecanismos em presença conduz a um aumento da frequência de choques de
acordo com
ii
aa ∑= (1.42)
A equação (1.42) mostra que são os inversos das mobilidades que se adicionam, sendo a
mobilidade total dada por
ii µ
µ1
1
∑= (1.43)
A dependência da mobilidade com a temperatura é geralmente uma função muito complexa e
variável com a gama de temperaturas considerada. À temperatura ambiente é usual admitir
que a mobilidade dos portadores diminui com a temperatura, variando segundo 2/1−T ou 2/3−T . Deste modo, a variação da condutividade com a temperatura não corresponde a uma
função monótona. Nas zonas de ionização e intrínseca, o aumento da concentração de
portadores sobrepõe-se a uma eventual diminuição das mobilidades e, portanto, a
condutividade cresce. Na zona de saturação, as concentrações das maiorias são praticamente
constantes e a condutividade diminui devido ao efeito das mobilidades. Nesse caso, as
minorias desprezam-se por serem muito inferiores às maiorias. O aumento de ND e/ou NA
conduz a uma diminuição da mobilidade, uma vez que as impurezas de substituição
funcionam como centros de colisão. A sua acção depende do facto de as impurezas estarem
ionizadas ou não, e, portanto, da gama de temperaturas considerada. Contudo, próximo de
T=300 K a sua influência é em geral desprezável para concentrações inferiores a 1022 m-3.
- 1.18 -
1.6.2 Difusão Este mecanismo de transporte está associado à presença de gradientes de concentração. Nestas
condições geram-se densidades de corrente de partículas C que são proporcionais aos
gradientes e com constantes de proporcionalidade que se designam por coeficientes de difusão
gradnDC nn −= (1.44.a)
gradpDC pp −= (1.44.b)
O sinal negativo nas equações (1.44) deriva do facto de os fluxos de partículas por difusão
serem das concentrações maiores para as menores e os gradientes serem vectores que apontam
no sentido da função crescente. As densidades de corrente J , tomadas as partículas como
portadoras de carga, são dadas pelo produto do vector C pela respectiva carga. Assim para os
mecanismos de difusão
gradnqDCqJ nnn =−= (1.45.a)
gradpqDCqJ ppp == (1.45.b)
De salientar que se os dois mecanismos estiverem em presença, a densidade de corrente total
será a soma das componentes devidas à condução e difusão. De acordo com (1.40) e (1.45)
gradnqDEqnJJJ nnndifncondn +=+= µ (1.46.a)
gradpqDEqpJJJ pppdifpcondp −=+= µ (1.46.b)
Em equilíbrio termodinâmico obviamente tem-se 0=J . O princípio do equilíbrio
pormenorizado impõem no entanto que cada mecanismo identificável se deva compensar a si
próprio, ou seja, que 0== pn JJ .
1.7 Equações da continuidade As densidades de portadores num ponto de um semicondutor podem variar no tempo, quer
devido aos mecanismos de geração G e de recombinação R, quer devido aos mecanismos de
- 1.19 -
transporte .C Consideremos então um ponto envolvido por um elemento de volume ,Vδ que
é limitado por uma área Sδ (Fig.1.9)
pC
nC
G
R
n+
C
δV
δS - Fig.1.9 -
Elemento de volume infinitesimal.
A variação do número de partículas, por exemplo electrões, nesse elemento de volume por
unidade de tempo será ,)/( Vtn δ∂∂ supondo que o volume elementar é suficientemente
pequeno para que ( )tn ∂∂ / se possa aí considerar constante. A variação corresponderá, uma
parte, ao desequilíbrio entre os ritmos de geração e de recombinação em Vδ e, outra parte,
devida aos electrões que atravessam, por difusão ou condução, a fronteira desse elemento de
volume
SnCVRVGVtn
nS
δδδδδ
+∫−−=∂∂ (1.47)
onde +n representa a normal exterior ao volume elementar.
De acordo com o teorema da divergência
VCdivdVCdivSnC nnV
nS
δδδδ
== ∫∫ + (1.48)
A equação da continuidade para electrões toma assim a forma
ncondndifn CdivCdivRGCdivRGtn
−−−=−−=∂∂
)( EndivqgradnqDRGtn
nn µ++−=∂∂ (1.49.a)
Analogamente, para buracos tem-se
- 1.20 -
)( EpdivqgradpqDRGtp
pp µ+−−=∂∂ (1.49b)
Consideremos alguns casos particulares de aplicação da equação (1.49).
1.7.1 Cristal neutro e uniforme Se o cristal for uniforme não existem gradientes das concentrações de portadores e se for
neutro a divergência do campo eléctrico é nula. Nessas condições, na equação da continuidade
as variações temporais das concentrações de portadores resultam unicamente das diferenças
entre os mecanismos de geração e recombinação
rnpprnRGdtdn
tn
−=−==∂∂
00 (1.50)
Na situação de equilíbrio termodinâmico a situação é estacionária e, portanto, G=R, ou seja,
as concentrações de electrões e de buracos são dadas, respectivamente, por n0 e p0. Na
ausência de equilíbrio, a equação mostra-nos como as concentrações, designadas agora por n e
p, evoluem para uma nova situação estacionária, que não de equilíbrio. A resolução da
equação impõe, no entanto, que se saiba a relação entre as concentrações p e n, significando
que a relação (1.50) não é linear com n.
Tomemos como exemplo a situação correspondente à presença de iluminação uniforme, a que
está associado um mecanismo adicional de geração Gef. A iluminação uniforme garante que
não se estabeleçam mecanismos de transporte. Suponhamos que no instante t=0 se retira
bruscamente a iluminação num cristal semicondutor de tipo p. Pretende-se a variação
temporal da concentração n na sua evolução para a nova situação estacionária que é o
equilíbrio termodinâmico (ausência de luz). Uma vez que os excessos são gerados aos pares,
teremos
)()( 0 tnntn ∆+= (1.51.a)
)()( 0 tnptp ∆+= (1.51.b)
sendo ∆n(t) o excesso de pares electrão-buraco associados à iluminação, no instante t após o
corte da iluminação.
- 1.21 -
Admitamos que a injecção de portadores ∆n associada à iluminação, embora altere
significativamente as minorias, não afecta praticamente as maiorias, isto é, (∆n>>n0 e
∆n<<p0). A injecção de portadores diz-se de fraco nível, sendo neste caso a equação (1.50)
dada por
nn dt
dnnnnrpdtdn
ττ∆
−=∆
⇒−=−= )(1)( 000 (1.52)
O factor τn tem as dimensões de um tempo e representa o tempo de vida médio dos electrões,
ou seja, o tempo que em média um electrão “vive” até desaparecer por recombinação. Sendo
G o ritmo de geração de electrões por unidade de volume e unidade de tempo, Gτ representa a
população de electrões em equilíbrio, n0. Sendo 00 prnG = teremos que 0/1 rpn =τ , ou seja, o
tempo de vida médio das minorias é inversamente proporcional às maiorias. A solução da
equação (1.52) é dada por
0( )t
t e−
τ∆ = ∆ (1.53)
sendo ∆0 o excesso de portadores no instante em que se corta a iluminação.
t
∆
τn,p
∆0
t
∆
τn,p
∆f
(a) (b)
- Fig.1.10 - Evolução temporal da concentração de excessos associados a uma injecção fraca.
(a) Após retirada de iluminação; (b)Após estabelecimento da iluminação
A curva está representada na Fig.1.10(a), verificando-se que a evolução para a situação de
equilíbrio termodinâmico (∆(t)=0) é tanto mais rápida quanto menor for τn.
Suponhamos agora a situação que corresponde ao estabelecimento da iluminação. Assim, se
em t=0 incidir sobre o material uma radiação à qual está associada um ritmo Gef, tem-se na
situação estacionária com iluminação
- 1.22 -
RGG
GRGGRGGdtdn
ter
efterterefteref =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⇒=+⇒=−+= 10 (1.54)
ou, tendo em conta que 2iter rnG = , rnpR = e que a iluminação é fraca obtém-se (1.7)
( )ter
eff
ter
eff
ter
efi G
Gnn
GG
nnnGG
nnp 0002 11 =∆⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=∆+⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= (1.55)
∆nf representa assim o valor dos excessos injectados no semicondutor na situação estacionária
com iluminação associada ao ritmo de geração Gef.
A evolução temporal correspondente ao estabelecimento da iluminação é dada por
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−∆=∆
−n
t
f entn τ1)( (1.56)
Encontra-se representada na Fig.1.10(b).
1.7.2 Regime estacionário sem condução. Difusão com recombinação Este caso é particularmente importante para o estudo das concentrações de minorias num
semicondutor. Para as maiorias, a existência de difusão está associada à presença de
gradientes de concentração importantes, que estará sempre ligado a diferenças apreciáveis das
densidades de carga e, portanto, a campos eléctricos não desprezáveis. No que toca às
minorias, gradientes importantes não envolvem grandes densidades de carga, pois uma ligeira
alteração da distribuição das maiorias a neutralizará.
Consideremos tal como no exemplo anterior, um cristal de tipo n. Desprezando a parcela
devida à condução, a equação da continuidade tomará a seguinte forma
lapnDnn
lapnDRGtn
nn
n +−
=+−=∂∂
τ0 (1.57)
Consideremos a situação estacionária, isto é, aquela em que os valores das densidades de
portadores, apesar de não serem os de equilíbrio termodinâmico, mantêm valores constantes
no tempo, por equilíbrio entre os processos de geração, recombinação e difusão. Nessas
condições, e admitindo apenas uma dimensão de espaço físico
- 1.23 -
2
200
dxndD
nnn
n
+−
=τ
(1.58)
cuja solução é do tipo
nn Lx
Lx
BeAenxn ++=−
0)( (1.59)
sendo nnn DL τ= o comprimento de difusão de electrões. As constantes A e B resultam da
integração da equação e são obtidas a partir das condições de fronteira. Vamos considerar dois
casos que se revelam de particular interesse no estudo de dispositivos de junções.
(i) Cristal infinito
Consideremos, por exemplo, a concentração imposta à entrada de um cristal (x=0) por
incidência de uma radiação. Os valores n1 e n0 representarão, respectivamente, os valores
das concentrações das minorias em x=0, onde houve a incidência de radiação, e na outra
fronteira do cristal, colocada no infinito, onde a influência da radiação não chegou
0)( 0 =⇒=∞ Bnn (1.60.a)
011)0( nnAnn −=⇒= (1.60.b)
Substituindo em (1.60) em (1.59) obtém-se
( ) nLx
ennnxn−
−+= 010)( (1.61)
A distribuição espacial das minorias no cristal semi-infinito está representada na
Fig.11(a). A densidade de corrente de partículas será função de x e é dada por
( )0)()( nxnLD
dxdnDxC
n
nnn −=−= (1.62)
A nn LD / chama-se velocidade de difusão.
(ii) Cristal curto
Consideremos agora que a concentração na outra fronteira (x=b) é imposta
- 1.24 -
BAnnnn ++=⇒= 011)0( (1.63.a)
nn Lb
Lb
BeAennbn ++==−
02)( (1.63.b)
A solução de (1.59), entrando em linha de conta com (1.63), é dada por
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+=
nnn Lxnn
Lxbnn
Lbnxn sinhsinh
)/sinh(1)( 02010 (1.64)
n1
n
n0
Ln 0 x
nn1
n2
n0
0 b
x
(a) (b) - Fig.1.11 -
Evolução espacial da concentração de minorias no regime estacionário sem condução (a) Cristal semi-infinito; (b) Cristal curto.
Para o caso de um cristal curto, isto é, aquele em que b<<Ln, tem-se
( )( ) nnnnnn LbLxbLxLxLbLb //sinh;/)/sinh(;/)/sinh( ≅−≅≅ (1.65)
obtendo-se, por substituição de (1.65) em (1.64)
xb
nnnxn 12
1)(−
+≅ (1.66)
A equação (1.66) mostra que para o caso do cristal curto, as minorias têm concentrações
com variações espaciais praticamente lineares (Fig.1.11(b)). A densidade de corrente de
partículas é neste caso praticamente independente de x e dada por
( )21)( nnLD
dxdnDxC
n
nnn −≅−= (1.67)
- 1.25 -
1.8 Semicondutores compostos
Designam-se por semicondutores compostos aqueles cuja rede cristalina é constituída por
mais do que um elemento, normalmente das colunas II-VI ou III-V do quadro de Mendeléef.
São particularmente importantes pelas suas aplicações, os compostos III-V formados pela
combinação de Al, Ga e In (grupo III) com P, As e Sb (grupo V).
Cristalizam quase todos com a rede da zincoblenda (fig.1.12) que é constituída por duas redes
cúbicas de faces centradas que se interpenetram. Cada átomo encontra-se ligado aos quatro
vizinhos próximos por ligações de covalência de modo a garantir o máximo de estabilidade. A
disposição espacial corresponde a um átomo no centro de um tetraedro (elemento do grupo
III) ligado aos quatro outros que se encontram nos vértices do mesmo tetraedro (elemento do
grupo V).
A malha elementar é um cubo constituído por quatro átomos do elemento do grupo III, que se
encontram no seu interior, e por catorze átomos do elemento pentavalente (oito nos vértices e
seis nos centros das faces). Estes últimos, estando associados a mais do que uma malha
elementar, garantem que cada uma delas seja constituída em média por quatro átomos do
elemento do grupo III e por quatro átomos do elemento do grupo V.
a
- Fig.1.12 –
Estrutura da zincoblenda. Malha elementar.
Designa-se por electro-negatividade de um elemento a sua capacidade de atrair um electrão
para si quando faz parte de um composto. Por exemplo, no GaAs o átomo de As apresenta
electro-negatividade 2, enquanto o Ga tem electro-negatividade 1,6. Deste modo, os electrões
localizam-se preferencialmente mais próximos do As, dando origem a uma diferença de carga
entre os átomos de Ga e As, que deve ser contabilizada na ligação atómica. Paralelamente à
- 1.26 -
ligação covalente, existe assim nos semicondutores compostos uma ligação do tipo iónico,
uma vez que tendo os átomos diferentes electro-negatividades diferentes, o centro de
gravidade das cargas positivas não coincide com o centro de gravidade das cargas positivas.
Elemento Raio covalente (A) Electro-negatividade
Al 1,26 1,5
Si 1,17 1,8
P 1,1 2,1
Ga 1,26 1,6
Ge 1,22 1,7
As 1,18 2,0
In 1,44 1,6
Sb 1,36 1,9
Tabela 1.1
A contribuição iónica é geralmente mais forte nos compostos III-V de maior altura da banda
proibida. Na tabela 1.1 apresentam-se os raios covalentes e as electro-negatividades de alguns
elementos.
Os semicondutores compostos são obtidos laboratorialmente fazendo crescer o material sobre
um dado substrato. Designam-se esses processos por tecnologia epitaxial, que incluem por
ordem crescente de complexidade, a epitaxia por fase líquida (LPE), por fase gasosa (VPE) e
por feixe molecular (MBE).
As bandas de energia para os semicondutores podem ter representação em função do número
de onda K. É muito usual em cristalografia a utilização do espaço K, designado por espaço
recíproco, ou seja (Kx, Ky, Kz) em vez do espaço físico usual (x, y, z). O número de onda está
relacionado com o momento da partícula pela relação
zyxzyx Khp ,,,, 2π
= (1.68)
A relação entre a energia e o vector de onda é assim dada pela relação parabólica
- 1.27 -
*2
22
8 mKhW
π=
(1.69)
estando a massa eficaz associada à concavidade da curva W(K)
1
2
2
2
2*
4
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dKWdhm
π (1.70)
A Fig.1.13 representa, no domínio do número de ondas, as bandas de condução e de valência
dadas por relações do tipo (1.69) próximo dos extremos. De salientar que as bandas referentes
a buracos são mais abertas, indicador que as massa efectivas de buracos são maiores que as
dos electrões. A banda de valência apresenta duas sub-bandas com curvaturas diferentes e
com um ponto comum em K=0. Os buracos que lhes estão associados têm assim massas
diferentes, designando-se por buracos leves e por buracos pesados. De modo a fornecer o
máximo de informação é usual fazer a representação da relação W(K) nas direcções do espaço
K com maior grau de simetria, motivo pelo qual nas figuras geralmente apresentadas os
sentidos negativo e positivo do eixo das abcissas não devam ser tomados como simétricos.
WG Fotão Fotão
Fonão
WG
(a) (b)
- Fig.1.13 - Estrutura de bandas nos semicondutores. Relação de dispersão W(K).
(a) Material de banda directa; (b) Material de banda indirecta. A figura mostra que estes materiais apresentam para a banda de condução relações do tipo
parabólico em torno de vários mínimos. Designam-se por vales cada uma das zonas da banda
de condução em torno de um mínimo. Se o mínimo da banda de condução e o máximo da
banda de valência se localizam para o mesmo valor de K, o material diz-se de banda directa
(Fig.1.13(a)). As transições entre bandas requerem apenas a conservação de energia, uma vez
que a conservação do momento (ou do número de onda) está automaticamente garantida. Para
- 1.28 -
a conservação da energia pode recorre-se à presença de fotões com energia compatível, isto é
hfWW G == . Noutros materiais os mínimos da banda de condução e os máximos da banda
de valência não se dão para o mesmo valor de K. Então nas transições entre bandas tem de se
recorrer a partículas que garantam a conservação de momento. Não podem ser fotões, que
possuem um momento desprezável. São os fonões, ou quantum de energia vibracional, e
representam a entidade corpuscular associada à vibração da rede cristalina. O material diz-se
de banda indirecta (Fig.1.13(b)).
A tabela 1.2 representa os valores de alguns parâmetros dos semicondutores binários III-V.
Como termo de comparação referem-se também os semicondutores elementares germânio e
silício. As designações D e Z correspondem ao tipo de estrutura, diamante e zincoblenda,
respectivamente. Os materiais de banda directa e indirecta são designados por Dr e I.
Material Estrutura a (Å) WG(eV)
300 K 0 K µn(m2V-1s-1) µp(m2V-1s-1) ε/ε0 Banda
Ge D 5,64613 0,66 0,74 0,39 0,19 16 I
Si D 5,43095 1,12 1,17 0,15 0,045 11,9 I
AlSb Z 6,1355 1,58 1,68 0,02 0,042 14,4 I
GaSb Z 6,0959 0,72 0,81 0,5 0,0850 15,7 Dr
GaAs Z 5,6533 1,42 1,52 0,85 0,04 13,1 Dr
GaP Z 5,4512 2,26 2,34 0,011 0,0075 11,1 I
InSb Z 6,4794 0,17 0,23 8 0,125 17,7 Dr
InAs Z 6,0584 0,36 0,42 3,3 0,046 14,6 Dr
InP Z 5,8686 1,35 1,42 0,46 0,015 12,4 Dr
Tabela 1.2
Além dos materiais compostos binários existem os ternários e os quaternários. Os compostos
ternários são formados por compostos binários que tenham um elemento comum. A obtenção
de redes cristalinas mais perfeitas nos semicondutores compostos é facilitada quando as
constantes da rede são próximas nos materiais binários que os constituem. De uma forma
genérica os binários AB e BC permitem constituir o ternário AxBC1-x, em que os elementos A
e C partilham a combinação com o elemento B em valores relativos x e 1-x, respectivamente.
A variação de x é muito importante na definição das propriedades eléctricas e ópticas dos
- 1.29 -
compostos, sendo já hoje obtida por via tecnológica de forma muito controlada. Convém
assinalar que de uma forma geral, as propriedades dos compostos não são uma combinação
linear da composição. Por exemplo, para a constante da rede podemos tomar uma variação
linear mas para a relação para a altura da banda proibida, obtida de forma empírica, é
usualmente tomada como quadrática (tabela 1.3), de acordo com
2
1)( cxbxWxW GG ++= (1.71)
sendo WG1 a altura da banda proibida do material binário de menor banda e b e c constantes.
As alturas das bandas proibidas associadas às transições directas e indirectas variam com a
composição x, podendo a posição relativa dos vales no material variar (Fig.14). Quer isto
dizer que o material pode ser de banda directa para uma dada composição e de banda indirecta
para outra. Por exemplo, o AlxGa1-xAs é um composto ternário de banda indirecta para
x>0,35. Como os vales têm concavidades diferentes, estão-lhes associadas massas eficazes de
valores muito diferentes, significando que as mobilidades dos electrões são também muito
diferentes.
x
x2
x1
Banda de condução
Banda de valência 1
2
3
- Fig.1.14 -
Variação da altura da banda proibida com a composição nos compostos ternários. Semicondutor x1 é de banda directa (transição 1→2); Semicondutor x2 é de banda indirecta (transição 1→3).
Percebe-se assim que ao variar a composição, as mobilidades variem, e de forma não linear.
Acresce o facto de, ao constituir-se uma combinação de materiais diferentes, se introduzam
interacções adicionais e, portanto, as mobilidades do composto ternário tomem para qualquer
combinação x, valores inferiores às dos compostos binários.
- 1.30 -
Material b C
In1-xGaxAs 0,63 0,45
InAs1-xSbx -0,771 0,596
InAs1-xPx 0,891 0,101
GaAsxSb1-x -0,32 1,005
Tabela 1.3
Os semicondutores quaternários representam-se genericamente por AxB1-xCyD1-y, onde os
elementos A e B são trivalentes e os elementos C e D são pentavalentes. O seu interesse,
apesar da complexidade envolvida, reside no uso conjunto de binários e ternários para formar
estruturas de junções de materiais distintos adaptadas. Por exemplo, a 900ºC o GaAs e o AlAs
apresentam valores idênticos para a constante de rede. No entanto, atendendo a diferentes
coeficientes de dilatação térmica, a 300 K isso já não acontece. O resultado é o aparecimento
de tensões internas indesejáveis nas hetero-estruturas. O problema pode ser atenuado com o
uso de quaternários, uma vez que nestes casos, existe um grau de liberdade adicional
associado à composição y (ou 1-y) dos elementos pentavalentes.
O composto In1-xGaxAsyP1-y tem especial interesse no domínio da comunicação óptica,
sobretudo por estar associado à emissão de radiação na gama de 1,3-1,55 µm, onde as fibras
ópticas apresentam características muito vantajosas de atenuação e dispersão. O material é
obtido por crescimento epitaxial sobre um substrato de InP. É pois condição essencial que
exista uma boa adaptação com esse material, ou seja, que as respectivas constantes de rede
sejam iguais. A constante de rede do quaternário é dada por
( ) BDBCADACQ ayxxyaayxyaxyxa )1()1)(1()1(, −++−−+−= (1.70)
sendo aAC, aAD, aBC, aBD os parâmetros de rede dos binários AC, AD, BC e BD,
respectivamente.
A outra condição que permite a escolha do material é o valor de WG, que deve garantir uma
emissão com um comprimento de onda λ na gama pretendida, sendo λ=c/f e hf=WG.
A Fig.1.15 representa a gama de comprimentos de onda correspondentes a vários
semicondutores compostos.
- 1.31 -
0,1 0,5 1 5 λ(µm)
InGaAsP GaAsSb InAsP
(AlGa) InAs AlGaAs
GaAsP InGaAs
(AlGa) InP CdSSe
CdZnS
- Fig.1.15 -
Gama de comprimentos de onda dos semicondutores compostos mais usuais.
A Fig.1.16 representa a banda proibida e o parâmetro de rede para os compostos da família do
InGaAsP. Na figura os compostos binários são representados por pontos, os ternários por
linhas e os quaternários por superfícies planas. A sombreado representa-se a família do
quaternário InGaAsP, entre a qual se incluem aqueles que na figuram estão representados por
linhas a tracejado e que correspondem aos que se adaptam a um substrato de GaAs ou de InP.
São particularmente importantes estes últimos (1,1µm<λ<1,65µm), pois incluem os
comprimentos de onda de 1,3 e 1,55 [µm], importantes para comunicação por fibra óptica.
.
.
.
.
InAs
InP
GaP
GaAs
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
5,4
5,5
5,6
5,7
5,9
6,1
6,2
6,0
5,8
a (Å)
WG (eV)
.
.
.
.
- Fig.1.16 -
Banda proibida e parâmetro de rede para os semicondutores compostos da família InGaAsP.
- 1.32 -
A possibilidade de obter de forma controlada os materiais com as características que se
pretendam permite falar numa Engenharia de Estrutura de Bandas. Assim por exemplo, por
manuseamento da altura da banda proibida WG
(i) As propriedades eléctricas do material serão alteradas, uma vez que esse parâmetro afecta
como se viu de forma acentuada a condutividade do material.
(ii) As propriedades ópticas do material serão alteradas, uma vez que esse parâmetro está
ligado à frequência de emissão do semicondutor, associada à recombinação de um par
electrão-buraco, ou à frequência de detecção de luz, por efeito fotoeléctrico interno.
1.9 Fotocondutividade. Fotoresistências Os dispositivos opto-electrónicos formam um conjunto genérico de dispositivos que se
baseiam na interacção entre a radiação electromagnética e a matéria. Ao longo da disciplina
faremos especial incidência nos dispositivos de material semicondutor, sendo de particular
importância
(i) Os detectores que convertem num sinal eléctrico as alterações das suas propriedades
eléctricas resultantes da incidência de luz. Ex: foto-resistências, fotodíodos,
fototransistores e fototiristores;
(ii) Os emissores de luz que convertem energia eléctrica em energia luminosa. Ex: díodos
emissores de luz (LED-Light Emitting Diode) e fontes coerentes de radiação (LASER-
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation);
(iii) Os conversores optoelectrónicos que convertem energia luminosa em energia eléctrica.
Ex: células solares;
(iv) Os acopladores ópticos que promovem a ligação óptica entre dois circuitos (o emissor e o
detector de luz) que se encontram isolados galvanicamente.
Por uma questão de clareza, os diversos dispositivos irão ser apresentados à medida que for
dada a teoria relativa aos correspondentes dispositivos convencionais. Começaremos então
pelas foto-resistências. O princípio básico dos seu funcionamento é o efeito fotoeléctrico
interno descrito em 1.6. As suas aplicações estão relacionadas com o aumento da
condutividade que se observa no cristal quando submetido à acção de uma iluminação
adequada. Esta deve ter uma frequência tal que os fotões incidentes sobre o material
promovam a geração de pares electrão-buraco. A sensibilidade das foto-resistências será tanto
- 1.33 -
maior quanto maior for a resistência apresentada na ausência de iluminação. Com efeito, para
uma dada tensão aplicada, menor será a corrente nessas condições, que se designa por
corrente na ausência de iluminação, I0. Como factor de mérito das foto-resistências tem-se,
portanto, um baixo valor de I0. Nesse sentido, os semicondutores intrínsecos apresentam-se
como vantajosos em relação aos extrínsecos. Os materiais utilizados mais frequentemente
dependem da gama de frequências a detectar. Assim para a a gama da radiação visível usa-se
o CdS (∆W=2,42 eV, λlim=0,512 µm). O Ge (∆W=0,67 eV, λlim=1,85 µm) ou o InSb
(∆W=0,18 eV, λlim=6,89 µm) são usados como detectores de infravermelho.
Para um material com uma secção constante S e comprimento L tem-se )/( σSLR = , sendo σ
a condutividade dada por (1.41). Quando iluminado com uma radiação associada a um ritmo
de geração térmica 00 prnGter = , o cristal apresenta na situação estacionária uma
condutividade dada por
( ) ( )pnpn qpnq µµµµσσσ +∆++=∆+= 000 (1.71)
onde σ0 e ∆σ representam a condutividade na ausência de iluminação e a variação de
condutividade com a iluminação, respectivamente, e ∆ a concentração dos pares gerados por
efeito fotoeléctrico interno.
A equação estacionária correspondente a uma iluminação uniforme obtém-se da equação de
transporte considerando o ritmo de geração igual ao ritmo de recombinação
( ) 200 ∆++∆=−= rpnrGRGef (1.72)
Consideremos o caso da injecção ser fraca, isto é, aquela que não afecta a concentração das
maiorias, embora possa alterar significativamente as concentrações das minorias. Nessas
condições
( )00 pnrGef +∆= (1.73)
ou seja, o ritmo de geração por efeito fotoléctrico é proporcional à variação da concentração
de portadores. Atendendo a (1.71)
( )( ) ef
pn Gpnr
q00 +
+≅∆
µµσ (1.74)
- 1.34 -
Suponhamos que a foto-resistência está inserida num circuito em que a tensão aos terminais é
imposta constante de valor U. Na ausência de iluminação
L
USRUI 0
00
σ== (1.75)
Com iluminação
L
USRUI σ
== (1.76)
ou seja
( )
( )00 pnLrGUSq
I efpn
+
+=∆
µµ (1.77)
Define-se rendimento da fotocondução como a razão entre o número de pares gerados e
colectados para o exterior e o número de fotões absorvidos. Para um ritmo de geração
uniforme no volume V=SL é dado por
( )( )00
2)( pnrLU
SLGqI np
ef +
+=
∆=
µµη (1.78)
A equação (1.78) permite concluir que
(i) O semicondutor intrínseco tem melhor rendimento que o extrínseco, embora esteja
associado a uma resposta dinâmica pior. Com efeito, o tempo de vida médio dos
portadores tomados como minorias depende da concentração das maiorias. Quanto maior
a concentração das maiorias menor o tempo de vida médio e, portanto, mais rápida é a
resposta às solicitações da iluminação.
(ii) O semicondutor com menor L tem maior rendimento. Mas mais uma vez existe uma
situação de compromisso. Neste caso, embora o rendimento melhore com a diminuição
de L, de acordo com (1.75) a corrente na ausência de iluminação aumenta, piorando o
respectivo factor de mérito.
Para o caso de uma injecção forte a situação estacionária com iluminação permite obter
2∆≅ rGef , ou seja, o sistema deixa de ser linear.