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8/19/2019 Teoría sobre exponentes y radicales.
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© copywriter
8/19/2019 Teoría sobre exponentes y radicales.
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2
1.1. Definir la raíz enésima de un número.Definir la raíz enésima de un número.
2.2. CalcularCalcular raicesraices cuadradas principalescuadradas principales..
3.3. Calcular raíces cúbicas y de índice mayor.Calcular raíces cúbicas y de índice mayor.
4.4. Simplificar expresiones con radicalesSimplificar expresiones con radicales5.5. xpresar una raiz en forma exponencial yxpresar una raiz en forma exponencial y
!ice!ersa.!ice!ersa.
".". #acionalizar#acionalizar numeradoresnumeradores y$o denominadores.y$o denominadores.
%.%. Sumar y res&ar expresiones con radicales.Sumar y res&ar expresiones con radicales.'.'. (ul&iplicar expresiones con radicales.(ul&iplicar expresiones con radicales.
)b*e&i!os+
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8/19/2019 Teoría sobre exponentes y radicales.
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3
Definici,nDefinici,nDecimos -ue la raíz enésima deDecimos -ue la raíz enésima de x x eses cc y y
escribimos/escribimos/
n
x = c si y solo sin
c x=
índice
radical
radicando
raíz
33Ejemplo: 8 2 si y solo si 2 8= =
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8/19/2019 Teoría sobre exponentes y radicales.
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4
0claraci,n+0claraci,n+
odo número posi&i!o &iene dos raíces cuadradasodo número posi&i!o &iene dos raíces cuadradas
una raíz cuadrada positivauna raíz cuadr
ada positiva o principal yo principal y una raízuna raíz
cuadrada negativacuadrada ne
gativa. ara cual-uier número. ara cual-uier número
posi&i!oposi&i!o x, x, escribimos la raíz cuadrada posi&i!aescribimos la raíz cuadrada posi&i!a
comocomo y la raíz cuadrada nea&i!a como . x x−
( )( )
2
2
Ejemplo:
La 4 puede ser igual a 2 o igual a 2 pues 2 4
y 2 4.
− =− =
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ara cual-uier número realara cual-uier número real aa
si es par y !.n na a n a= <
si es par y !.n na a n a= ≥
si es impar.n na a n=
21. =
( )2
2. − = − =
*emplos+
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"
3 33. # = #
( )3
34. #− = #−
( )#
#. "− = "−
( )4
4". "− = "− = "
" "8. x = x
( )2
$. a b+ = a b+
( )2
1!. # x + = # x +
2#. 2 1w w− + = ( ) ( )1 1w w− − = ( )2
1w − = 1w −
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#
ropiedades de los radicales
Sean m y n números na&urales mayores -ue 1 . Si a y b
son números reales &al -ue a y b 6 números
posi&i!os 7 en&onces/
( )
. .
mmn
1.2. .
3.
4.
5. a
n n
n n n
n
n
n
n m nm k k
n
a aa b a b
a a
b b
a a
a
==
=
=
=© copywriter
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8
*emplos+*emplos+
Simplifica. Supona -ue las !ariables represen&anSimplifica. Supona -ue las !ariables represen&an
números posi&i!os.números posi&i!os.
1% 3" ="
32% 2# = 3
3% 32 = 2
3 "4% x =2 x
2 8% 2 x y =4 xy
3 123"% "4 x y− =44 xy−
" 4
1!1"#%81
x y z
=
3 2
4$ x y
z
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$
*emplos+*emplos+
Simplifica. Supona -ue las !ariables represen&anSimplifica. Supona -ue las !ariables represen&an
números posi&i!os.números posi&i!os.
1% 24 = 4 "× = 2 "
32% 1"− = 3 8 2− × = 32 2−
4
3% 12 x y =4 4
4 3 x y y× =2 2
2 3 x y y
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1!
24% &2 &1 x x = ( ) ( )1 1 x x+ + = ( )2
1 x + =
# "
4832% x y z =
4 3 4 2
481" 2 x x y y z × =
3 242
22
xy x y z
1+ x
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11xponen&es #acionales como #aícesxponen&es #acionales como #aíces8as raíces o radicales represen&an exponen&es8as raíces o radicales represen&an exponen&es
racionales.racionales.
n ma = ( ) m
n am
na =
Potencia
índice
3 21. x =2
3 x
( )
342. " =
34"
*emplos+
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12
( )2
33. a b+ = ( )2 3
a b+
( )3
4. z =3
2 z
( )34. 3w w+ − = ( ) 31 42 3w w+ −
3 1".
3
x
x
+=
−
123 1
3
x
x
+ ÷
−
4
3#.
2
x
x
−=
+
( )
( )
12
14
3
2
x
x
−
+© copywriter
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13
!alúa usando raíces+!alúa usando raíces+
231% 2# = 3 22# = ( )2
3 2# = ( )2
3 = $
2
2% $
−
= 21
$ = ( )
1
$ = ( ) 1
3 =
1
243
341"
3% 81
−
= ÷
3481
1"
= ÷
3
481
1"
= ÷ ÷
33
2
= ÷
2#
8
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8a racionalizaci,n del denominador8a racionalizaci,n del denominador
0l0l proceso proceso de escribir una expresi,n racional conde escribir una expresi,n racional con
radicales en el denominador como o&ra expresi,nradicales en el denominador como o&ra expresi,n
-ue no &iene radicales en el denominador se-ue no &iene radicales en el denominador se
denomina comodenomina como racionalizar el denominador racionalizar el denominador ..
99De iual forma podemos racionalizar elDe iual forma podemos racionalizar el
numerador.:numerador.:
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1
0claraci,n0claraci,n:: araara racionalizar el denominadorracionalizar el denominador
de una expresiónde una ex presión -ue &iene un solo &érmino-ue &iene un solo &érminocon raíz en el denominador se mul&iplica elcon raíz en el denominador se mul&iplica el
numerador y el denominador por unanumerador y el denominador por una
expresi,n con radical -ue ele!e cada fac&orexpresi,n con radical -ue ele!e cada fac&orden&ro del radicando a una po&encia -ueden&ro del radicando a una po&encia -ue
coincida con el índice del radical.coincida con el índice del radical.
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1"
1%
3 x=
3 x
3
3
x
x× =
2 2
3
3
x
x
= 3
3
x
x
32%
#=
3 #
# #× =
2
3 #
#= 3 #
#
3
3
43%
=
3
3 1
4
3 2
3 2
× =
( )3
3 3
4 2
=
3 1!!
*emplos+*emplos+
#acionaliza cada denominador.#acionaliza cada denominador. Supona -ue lasSupona -ue las
!ariables represen&an números posi&i!os.!ariables represen&an números posi&i!os.
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1#
32
24%
x
y
=3
23
2
x
y
23
23
y
y
× =3
3 33
!
xy
y
=3 !
xy
y
#
43 1
3%
32
a b
a b=
2
48
3
32
a
b=
24
84
3
32
a
b=
( )
24
84
3
1" 2
a
b=
24
2 4
3
2 2
a
b=
42 34
2 4 4 3
3 2
2 2 2
a
b= × =
24
42 4
24
2 2
a
b=
24
2
24
4
a
b
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0claraci,n+0claraci,n+ ara racionalizar un denominador -ueara racionalizar un denominador -ue&iene un binomio con raíces cuadradas se mul&iplica&iene un binomio con raíces cuadradas se mul&iplicael numerador y el denominador por la expresi,nel numerador y el denominador por la expresi,n
conjugadaconjugada del denominador. 8a expresi,ndel denominador. 8a expresi,n
con*uada se ob&iene cambiando el sino del mediocon*uada se ob&iene cambiando el sino del mediodel binomio.del binomio.
l ob*e&i!o es cons&ruir una diferencia de cuadrados.l ob*e&i!o es cons&ruir una diferencia de cuadrados.
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1$
*emplos+*emplos+
#acionaliza el denominador.#acionaliza el denominador.
41%
1 3=
−4 1 3
1 3 1 3
+×+
=−
( )( ) ( )
4 1& 3
1 3 1 3=
− + 24&4 3
1 3=
−
4&4 3
1 3=
−4&4 3
2=
−2 2 3− −
32% "
x + =+
3 " " "
x + −× =+ −
( ) ( )2
3 "
3"
x + −=
−
" 3 18
31
x x− + −
−
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2!
*emplos+*emplos+
#acionaliza el numerador.#acionaliza el numerador.
3 31%
x h x
h+ + − + =
3 3 3 3
3 3
x h x x h x
h x h x
+ + − + + + + = ÷ ÷+ + +++
( ) ( )( )
2 2
3 33 3
x h xh x h x
+ + − + =+ + + +
( )( )
3 33 3
x h xh x h x
+ + − + =+ + + +
( )3 3
3 3
x h x
h x h x
+ + − −=+ + + + 13 3 x h x+ + + +
© copywriter
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21
2% ' ! x h x
hh
+ −= ≠
x h x x h x
h x h x
+ − += ÷÷++
+
( ) ( )
( )
2 2
x h x
h x h x
+ −=
+ +
( )
x h x
h x h x
+ −=
+ +
1
x h x+ +
© copywriter
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(ul&iplicaci,n de expresiones con radicalesexpresiones con radicales
ara mul&iplicar expresiones con radicales se usala propiedad dis&ribu&i!a y las propiedades deradicales/
( )
!
!
n
n
n
n.m m.;
mmn
1. para &odo
2. .
a
3. b
4. a para &odo
5. a
n
n n
n
n
n k
n
a a a
a b a b
a
b
a a
a
= ≥=
== ≥
=© copywriter
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23*emplos+
(ul&iplica las expresiones con radicales. Supona
-ue las !ariables represen&an números posi&i!os.
( ) ( )3 3 3 11. + − 3 3 3 3 3= − + − 2 3=
( ) ( ) 3 22. + − 2 3 "= − + −1 = − +
( ) ( )4 23. x x + − 2 4 8 x x x = − + −
2 8 x x = + −© copywriter
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24
( ) ( )4 2 3 2 2 2 x x = + −
( ) ( )32 3 8 24. x x + − ( ) ( )1" 2 3 4 2 2 x x = + −
( )8 2 8 2 " 2 " x x x = − + −
1" 2 2 " x x = − −
( ) ( )3 3 3 35. x x + − 3 3 3 3 3 $ x x x = − + −3 $ x = −
( )2
2 3 1". x + ( ) ( ) ( )4 3 2 2 3 1 1 x x = + +12 4 3 1 x x = + +
© copywriter
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2
Suma y res&a de expresiones con radicalesexpresiones con radicales
ara sumar o res&ar expresiones con radicales se
usa la propiedad dis&ribu&i!a y las propiedades de
radicales.
l ob*e&i!o es simplificar los radicales para &ener
radicandos iuales. n &al caso sumamos los
coeficien&es y conser!amos el radical median&e el
uso de la propiedad dis&ribu&i!a.
© copywriter
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2"
*emplos+
Suma y$o res&a las expresiones con radicales.
Supona -ue las !ariables represen&an números
posi&i!os.
1 2 3 4 3+. " 3=
2 2 #−. x x x = −
3 8 ! 32+ −.
2 2 2 4 2= + −
4 2 2 2 1" 2= + −
3 2=© copywriter
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2#
4 8 ! 32+ −. x x x
2 2 2 4 2 x x x = + −
4 2 2 2 1" 2 x x x = + −
3 2 x =3 3 3 2 4 3 1" 4 128+ −. x x x
3 3 3 3 3 3
2 2# 2 3 8 2 4 "4 2 x x x = + −
( ) ( ) ( )3 3 32 3 2 3 2 2 4 4 2 x x x = + −3 3 3
" 2 " 2 1" 2x x x= + −
3
4 2x© copywriter