ETPR - ANSYS

1

c dt

dIdlH

c dt

dd lE

S

QdSD

S

d 0SB

S dt

dQdSJ

Teorie elektromagnetického pole-Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru

1)

2)

3)

4)

5)

ETPR - ANSYS

2

c t

IdlH

SHlH drotdc S

SJdIS

SDdS

SDSJSH dt

ddrotSSS

trot

DJH

trot

BE

Z MR v integrálním tvaru jsou pomocí Stokesovy a Gauss-Ostrogradského věty odvozeny tvary diferenciální. Ze Stokesovy věty plyne, že integrál daného vektoru po uzavřené křivce je roven plošnému integrálu z rotace uvažovaného vektoru. Z Gauss-Ostrogradského věty pak plyne, že plošný integrál daného vektoru přes uzavřenou plochu je roven objemovému integrálu z divergence daného vektoru.

Identicky pak odvození druhé MR v diferenciálním tvaru

ETPR - ANSYS

3

S

QdSD

S V

ddivd VDSD

VV

dQ

VVD VV

dddiv

Ddiv

0Bdiv tdiv

J

Z Gauss-Ostrogradského věty pak plyne, že plošný integrál daného vektoru přes uzavřenou plochu je roven objemovému integrálu z divergence daného vektoru.

Identicky pak 4. MR a “5. MR“

ETPR - ANSYS

4

trot

DJH

trot

BE

Ddiv

0Bdiv

tdiv

J

Teorie elektromagnetického pole-Maxwellovy rovnice v diferenciáním tvaru

1)

2)

3)

4)

5)

ETPR - ANSYS

5

rott

rot /

DJH

DJH rott

rotrotrot

)()( EEH rott

rotrotrot

EEH rott

rotrotrot

2

2

ttrotrot

BBH

2

2

ttrotrot

HHH

2

2

ttdivgrad

HHHH

00 HB divdiv

2

2

tt

HHH

02

2

ttHHH

0HHH 2 j0H)(H 2 j

j 22k

0HkH 2

Uvažujeme-li, že válcové či rovinné vlnění má harmonický průběh, je výhodné převést

vektory na fázory vektorů.

Odvození vlnových rovnic

ETPR - ANSYS

6

0

j2k

j2,1k

2

1k 2,1j

a1

2kRe

2

a

Pokud budeme uvažovat vodivé prostředí, můžeme člen s v rovnici zanedbat jelikož pro frekvence užívané při indukčních ohřevech platí

Následující rovnicí je definována hloubka vniku naindukovaných proudů.

Elektricky vodivé prostředí

ETPR - ANSYS

7

0

22k

1,2k

00

1

c

1

v

vf

v 2k

1

2k

vf

fv

V nevodivém prostředí přechází rovnice na následující tvar.

Rovnice definuje vztah platný pro rychlost světla ve vakuu.

Vztah definuje obecně rychlost šíření elektromagnetických vln v nevodivém prostředí

Vztah pak definuje vlnovou délku v závislosti na rychlosti a frekvenci emag. vlnění.

Elektricky nevodivé prostředí pak

ETPR - ANSYS

8

Odvození rovnic elektrodynamických potenciálů Při popisu elektromagnetického pole pomocí elektrodynamického (magnetického vektorového) potenciálu na hranici dvou oblastí (prostředí) platí.

Ntt Krotrot

22

11

21

11 AA

AA

v

r

70

0

104

HB

2

7

0

0

410

C

r

ED vv JEEEJ )(

Materiálové vztahy

ETPR - ANSYS

9

Ntt Krotrot

22

11

21

11 AA

AA

Určení podmínek na rozhraníObvykle celý počítaný model sestává z více oblastí s různými materiálovými vlastnostmi. Sousedí-li pak spolu dvě oblasti s odlišnými materiálovými vlastnostmi, nelze jejich hranice považovat za regulární body a neplatí na nich odvozené diferenciální rovnice. Pro takovéto hranice platí

ETPR - ANSYS

10

ETPR - ANSYS

11

ETPR - ANSYS

12

trot

BE

AB rot

trotrot

AE

0

t

rotrot AE

Odvození rovnic elektrodynamického potenciáluPři definici potenciálových veličin je výhodné vyjít ze čtvrté Maxwellovy rovnice. Tato rovnice konstatuje, že vektorové pole magnetické indukce je nezřídlové. Pro jeho popis použijeme vektorový potenciál A, který definuje následující vztah.

ETPR - ANSYS

13

0)(

t

rot AE

gradt

AE

tgrad

AE

ED ε

HB μ

0)()(

t

gradtt

gradrot AAH

Jelikož má výraz v závorce nulovou rotaci, lze ho vyjádřit jako gradient skalárního potenciálu .

00)(1

t

gradrotrot AA

vtrotrot JAA

1

Dále budu předpokládat, že ρ = 0 v celém prostoru a použiji Coulumbovu kalibrační podmínku divA=0, pak.

ETPR - ANSYS

14

vtdivgrad JAAA

)(

vtdivgrad JAA

)0(

vtJAA

Ačkoliv se uvedená rovnice nechá ještě dále upravit, při řešení s nelineární permeabilitou je nejvýhodnějšívycházet z naposledy uvedeného tvaru rovnice.Dále pak lze předchozí rovnici upravit.

ETPR - ANSYS

15

vtJAA

vJA

zvz J

xA

2

2

Zvláštní případy 1D polí jednoduše řešitelných analyticky1D stacionární pole v kartézském souřadném systému

Pro stacionární pole s konstantní permeabilitou platí

Pro kvazi-stacionární pole s konstantní permeabilitou platí

ETPR - ANSYS

16

0),(,0 rA fiA

rrArrr

rotrot fi )(1A

fifi JrrArrr

)(1

1D stacionární pole v cylindrickém souřadném systému pro osově symetrické uspořádání

)(,0,0 rAzA

)(1 rAr

rrr

rotrot zAzz JrA

rr

rr

)(1

1D stacionární pole v cylindrickém souřadném systému (válcový vodič)

ETPR - ANSYS

17

vvJw EEJJ

22

γγγw v

vJJ

EEE

t

AE

2

γtγw v

JJA

Spočteme-li rozložení vektoru A v prostoru a čase ve všech oblastech počítaného modelu, požadujeme obvykle u modelů indukčních ohřevů získat z těchto hodnot rozložení Jouleových ztrát. Ty získáme ze vzorce

Pro izotropní materiál můžeme psát

kde E získáme z výrazu

Dosazením dostaneme

Rozložení Jouleových ztrát

ETPR - ANSYS

18

tΓtΓ ,, ΓAA A…neznámá hodnota vektorového potenciáluA…zadaná hodnota vektorového potenciálu pro body hranice

Dirichletova podmínka určuje i derivaci vektorového potenciálu v kterémkoli směru tečném k hranici , a tím i normálovou složku rotace A, což je normálová složka magnetické indukce. Pomocí Dirichletovy podmínky lze tedy zadat požadovanou hodnotu Bn. Zadáme-li například A konstantní na určité části hranice, je Bn na této části nulové. Toho lze výhodně využít především u symetrických modelů, je-li hranice totožná se siločárou.

Určení okrajových podmínek

Dirichletova okrajová podmínka

Ta udává přímo požadovanou velikost počítané veličiny v každém bodě hranice .

ETPR - ANSYS

19

tΓftΓ ,, nA

f…požadovaná hodnota derivace dle vnější normály

Neumannova podmínka určuje velikost tečné složky vektoru B. Položíme-li Neumannovu podmínku rovnou nule, bude mít vektor B(,t) směr normály k hranici. Toho lze opět s výhodou využít při zadávání symetrie, např. víme-li, že siločáry budou hranicí procházet v kolmém směru.

Neumanova okrajová podmínka

Ta zadává derivaci A podle vnější normály hranice.

ETPR - ANSYS

20

ΩtΩ 00, AA

ΩtΩt 00, FA

Uvažujeme-li nestacionární pole je také nutné zadat počáteční rychlost změny A.

I tato podmínka se ob vykle zadává nulová.

Počáteční podmínka

Řešíme-li rovnice kvazistacionárního či nestacionárního pole je nutné zadat hodnoty A v řešeném modelu v počátečním čase. Obvykle je tato počáteční podmínka uvažována jako homogenní a nulová.

ETPR - ANSYS

tΓtΓ ,, ΓAA

44 TTεcTTTλ extgass

n

tftTλ ,, 0

n

ETPR - ANSYS

22

Magnetické vlastnosti " Steel 16537 "

B [ T ] H [ A / m ] μ [ H / m ] μr [ - ]0 0 - -

1,06 1 000 1,06E-03 843,51,59 2 500 6,36E-04 506,11,74 5 000 3,48E-04 276,91,85 10 000 1,85E-04 147,21,92 15 000 1,28E-04 101,91,97 20 000 9,85E-05 78,42,04 40 000 5,10E-05 40,62,09 60 000 3,48E-05 27,72,12 80 000 2,65E-05 21,12,15 100 000 2,15E-05 17,1

Ukázka vstupních dat relativní permeability pokud to okolnosti vyžadují. V případě obzvláště vysokých nároků na výpočet je možné definovat příslušné závislosti pro každou

teplotu zvlášť (tzv. teplotně závislé BH křivky).

ETPR - ANSYS

Aproximace průběhu relativní permeability

1) Nahrazení ¼ kružnice či elipspy

2) Nahrazení po-částech lineárním průběhem

3) Z ohledem na rozsah teplot volit lineární průběh funkce popisující požadovanou závislost.

23

.11, 20 rr H

ETPR - ANSYS

Aproximace průběhu relativní permeability

4) Nahrazení polynomem

24

ETPR - ANSYS

25

k

vkklk q

kq

lw

dtdp

dtdh

11

dtdp

dtdh

1

lwklk

kqk

1

vq

Odvození Fourier-Kirchhoffovy rovnice (speciální případ energetické rovnice)

Při odvození budeme vycházet z Energetické rovnice. V tomto případně je výhodné použít Einsteinovu sumarizační konvekci a pro operátor derivování podle k-té souřadnice bude použit symbol

.

člen popisující rychlost výměny energie

člen popisující disipaci, přeměnu kinetická energie na teplo

člen popisující difuzi, odvod nebo přívod tepla povrchem do okolí

popisuje produkci, tedy teplo, které se vyvine na úkor jiného druhu energie

ETPR - ANSYS

26

0lkTch p

.konstcp

0. pdkonstp

0kw

p

vkp c

qkq

dtdTc 1/1

TgradtT

dtdTvektorově

kTw

tT

dtdT

k

w,

Odvození Fourier-Kirchhoffovy rovnice provedeme za následujících předpokladů a zjednodušujících podmínek: budeme se pohybovat v pevném skupenství látek, proto nemusíme uvažovat viskozitu, budeme uvažovat konstantní tlak, konstantní měrnou tepelnou kapacitu a ohřívané součásti se nebudou pohybovat.

ETPR - ANSYS

27

p

v

pk c

qkT

kckTw

tT

1

.konst

p

v

p cq

kT

kctT

pca

p

v

cq

kT

ka

tT

p

j

cw

kTa

tT

2

2

jp wTgraddivtTc

Při uvažování konstantní tepelné vodivosti , pak můžeme provést další zjednodušení.

qv = wj při indukčních ohřevech tento člen zohledňuje Jouleovy ztráty

ETPR - ANSYS

28

qT

λT

λ

TT

nn2

21

1

21

0nT

nn

n

22

11

121

1

Tλ

Tλ

TTαT

λ

1. Podmínky na rozhraníPodmínky na dokonale tepelně vodivém rozhraní dvou materiálů s různými materiálovými parametry vyjadřují, že teploty

na obou stranách rozhraní jsou stejné a že rozdíl toků energie k rozhraní a od rozhraní je roven plošné hustotě energie vznikající na rozhraní za jednotku času.

n…jednotkový normálový vektor mající směr do prostředí 2q…plošná hustota energie, která vznikne na rozhraní za jednotku času

[Wm-2]

Na ose symetrie platí

Má-li rozhraní konečnou vodivost a nevzniká na něm tepelná energie, pak pro toto rozhraní platí podmínky

…součinitel přestupu tepla prouděním [Wm-

2K-1]

1.Okrajové podmínky1. Dirichletova okrajová podmínka

Tato podmínka se používá tam, kde předem známe hodnotu teploty na hranici .Její tvar

ETPR - ANSYS

29

tTtT ,,

tftTλ ,, 0

n

TTαTλ gass n

T

Neumannova okrajová podmínka je vyjádřena následující rovnicí

Neumannova podmínka se používá všude tam, kde předem známe velikost toku energie přes hranici . Velice často se tato podmínka zadává na osách symetrie, na kterých je nulový tok přes hranici.

1.Newtonova okrajová podmínka její tvar ukazuje následující rovnice

Tato podmínka se používá k modelování konvekce. Používá se tedy na rozhraních pevné fáze s kapalinou či plynem.Součinitel přestupu tepla

je funkcí geometrie a vlastností povrchu pevného tělesa a vlastností kapaliny, tj. především viskozity, rychlosti a způsobu proudění a samozřejmě tepelných vlastností kapaliny. V matematických modelech je často nutno respektovat teplotní závislost .U indukčních ohřevů bývá přestup tepla prouděním (závisí na rozdílu prvých mocnin teploty) často významný při nižších teplotách, při vyšších převládá přestup tepla sáláním (závisí na rozdílu čtvrtých mocnin teploty). Uvedené neplatí obecně, při posouzení jednotlivých případů velmi závisí na charakteristickém rozměru pro sdílení tepla.

ETPR - ANSYS

30

44 TTεcTλ ext n

44 TTεcTTTλ extgass n

Okrajové podmínky IV. druhuJako okrajové podmínky IV. druhu se obvykle označují podmínky respektující přestup tepla radiací. Ze Stefan-Boltzmannova zákona plyne, že tepelný tok odvedený radiací je úměrný rozdílu čtvrtých mocnin teplot na povrchu tělesa a okolí a konstantě radiačních ztrát je zahrnut vliv geometrie tělesa a vlastností povrchu. Například lesklý kov bude vyzařovat do okolí méně energie, než nelesklý materiál. Konstanta se obvykle vyjadřuje jako součin emisivity a Stefan-Boltzmannovy konstanty. Okrajová podmínka pak má tvar

c… Stefan-Boltzmannova konstanta c =5,6697.10-8 Wm-2K-4

… emisivita [-]Text… teplota okolních plochTgass… teplota uvažované tekutiny (nejčastěji teplota okolního vzduchu)

Přestup tepla radiací je rozhodující při vyšších teplotách.U indukčních ohřevů, jako jsou ohřevy pro kalení, ohříváme těleso z nízkých na relativně vysoké teploty. Proto je velmi častozapotřebí respektovat přestup tepla jak konvekcí, tak radiací. Okrajová podmínka má pak tvar

Smíšená okrajová podmínka

ETPR - ANSYS

Respektování konvekce a sálání

31

44 TTεcTTTλ extgass n

Obdobně jako u respektování materiálových parametrů je možné definovat v závislosti na změně různých parametrů (nejčastěji teploty povrchu) i součinitel přestupu tepla prouděním a stupeň černosti.V případě složitějších modelů z hlediska proudění (např. při turbulentním proudění) je pak vhodnější řešit pomocí CFD analýzy, kdy se vyhneme nutnosti zadávat součinitel přestupu tepla prouděním, jehož obecné určení je velice obtížné jelikož závisí na příliš mnoha parametrech. Nejčastěji se proto vychází ze zkušenosti a tabulek pro různé způsoby ohřevů.

ETPR - ANSYS

32

Počáteční podmínkaU nestacionárního teplotního pole je nutné zadat počáteční

podmínku

00, TtT

T0... počáteční rozložení teploty v oblasti .

Ohříváme-li těleso z ustálené teploty, zadáváme tuto podmínku obvykle homogenní a rovnou teplotě okolí. Mnohdy však je tato podmínka nehomogenní a daná rozložením teploty na konci předcházejícího technologického procesu.

ETPR - ANSYS

33

4.3 Termoelastické pole4.3.1 Teorie pružnosti, základní pojmy a zákonyElastická deformace je taková deformace tělesa, kdy se tvar tělesa po odstranění působenívnějších sil vrátí do původního stavu (do stavu, ve kterém se nacházelo před působenímvnějších sil na těleso).Plastická deformace (trvalá deformace) je taková deformace, kdy se tvar tělesa po odstraněnípůsobení vnějších sil nevrátí do původního stavu (do stavu, ve kterém se nacházelopřed působením vnějších sil).Deformace (prodloužení) je bezrozměrný parametr popisující deformaci tělesa. Působí-lina těleso vnější síla (tah, tlak), pak toto těleso změní svůj tvar. Toto je možno vyjádřit jakopodíl změny polohy bodu umístěného do rohu elementu při působení vnějších sil a původnídélky elementu:

ε ≡ dl/l

dl… délka, o kterou se těleso prodloužíl… původní délka tělesaε… vektor deformace

ETPR - ANSYS

34

NapětíPro pevná tělesa je napětí vyjádřeno silou působící na plochu tělesa:

=F/S

F… síla působící na tělesoS… plocha tělesa, na kterou síla působí

Hookeův zákon,zákon vyjadřující vztah mezi napětím a jím způsobenou deformací

[napětí]=E[deformace]

E … modul pružnosti v tahu neboli Youngův modul. Modul pružnosti závisí již pouze na vlastnostech materiálu tělesa, a nikoli na jeho rozměrech. Modul pružnosti je závislý na teplotě - s rostoucí teplotou klesá.

Dosazením do definicí pro napětí a deformaci můžeme napsat:

F/S=E dl/l

ETPR - ANSYS

35

Hookův zákon je platný pro elastické materiály.Modul pružnosti ve smyku - značený jako μ se nazývá též tuhost, daná vztahem:

µ=E/(2(1+v))

v … Poissonovo čísloE… Youngův modul pružnostiPoissonovo číslo ν vyjadřuje poměr příčné a podélné deformace elastického tělesa. Je možno ho vyjádřit vztahem:

v=E11/22

E… Youngův modul pružnostiε11… deformace tělesa v příčném směruσ22… napětí působící na těleso v podélném směruPoissonovo číslo lze též vyjádřit použitím Lamého konstant λ a μ:

v= λ/(2(λ+μ))=λ/(2K- λ))=(3K-2 μ)/(2(3K+μ))

K… Lamého konstanta „bulk modul“

ETPR - ANSYS

36

Mez pružnostiVětšina hmotných těles, na které působí vnější síly do určité meze, se po odstranění vnějšísíly vrátí do původního stavu (tvaru). Velikost této meze je závislá na druhu materiálu, zekterého je těleso zhotoveno. Tato mez se nazývá mezí pružnosti (mezí kluzu, yield point).Po překročení meze pružnosti dochází k plastické deformaci materiálu, při které vznikajítrvalé změny v atomové nebo molekulové struktuře materiálu.

Tahový diagram

ETPR - ANSYS

37

Deformační pole při indukčním ohřevu je popsáno Lamého diferenciální rovnicí

(λ+μ)grad(div u)+μΔu-(3λ+2μ)αT gradT+f=0

λ … Lamého konstantaμ … Lamého konstantau... vektor posuvůf... vektor vnitřní objemové síly

Potřebné materiálové parametry, při tepelné deformaci (indukční ohřev):… Teplotní roztažnost [K-1]E… Youngův modul pružnosti [Pa]v… Poissonovo číslo [-]

Okrajová podmínkau = f(t,x,y,z), např.: u(y=0) = 0

ETPR - ANSYS

Počítačové modelování (simulace) 2D a 3D sdružených úlohCo je počítačová (PC) simulace?

pomocí PC a specializovaného programu řešení fyzikální úlohyV čem spočívá PC simulace?

ve vytvoření virtuálního modelu řešeného problému, jeho diskretizaci a za použití některé numerické metody (nejč. MKP) provést výpočet

Alternativy k PC simulaci?analytický výpočet, experiment

Kdy použít PC simulaci?pokud nelze analyticky dosáhnout dostatečně přesného výsledku

(především pokud je model příliš složitý)náklady na experimentální výzkum jsou příliš vysoké

Kdy zvolit 2D či 3D simulaci?2D je-li skutečná geometrie nějakým způsobem symetrická či velmi

jednoduchá3D pokud je model příliš složitý

ETPR - ANSYS

Počítačové modelování (simulace) 2D a 3D sdružených úlohCo je sdružená úloha?

o sdruženou úlohu jde, pokud je při výpočtu řešeno více fyzikálních políTypy sdružených úloh?

slabě, kvazi (po částech) a silně sdružená, výběr záleží na tom, jak se pole vzájemně ovlivňují během fyzikálního děje Výhody?

názorná prezentace rozložení fyzikálních polí při řešení různých fyzikálních úkolůNevýhody?

jelikož jsou PC simulace založené na numerických metodách bude výsledek obsahovat numerickou chybu

pokud nebude model správně nadefinován získáme naprosto nesprávný výsledek

ETPR - ANSYS

Postup řešení indukčního ohřevu v numerickém programu (RillFEM)

1) Volba řešeného problému (typ úlohy, frekvence a časový krok)2) Zadání geometrie a okrajových podmínek3) Volba materiálů4) Přiřazení materiálů oblastem (geometrii) a zadání počátečních

podmínek5) Řešení6) Zobrazování vypočtených veličin (rozložení jednotlivých polí)

Dirichletova okrajová podmínka pro elektromag. poleudává přímo požadovanou velikost počáteční velikostv každém bodě hranice

tΓtΓ ,, ΓAA

Okrajová podmínka pro teplotní poleurčuje proudění na okrajích obruče

TTαTλ gass n

Počáteční podmínka pro teplotní poleurčuje počáteční teplotu v modelu

)(),,( start zrzr ,0t TT

0)( zSHu

Okrajová podmínka pro termoelastické poleurčuje počáteční teplotu v modelu

Počáteční podmínka pro elektromagnetické polevložení proudu do oblasti Ω3

ETPR - ANSYS

Volba stupně sdruženosti:- za jakým účelem je modelování prováděno- jaké materiály budou použity a jakým způsobem budou měnit jejich

materiálové vlastnosti - v jakém rozmezí teplot budu provádět modelování

V podstatě při jakémkoliv typu sdruženého problému je možné respektovat všechny jeho aspekty (volba stupně sdruženosti, volba materiálových parametrů, velikost elementu, okrajové podmínky, časový krok teplotního pole, apod.), ovšem čím komplikovanější model bude (preciznější z fyzikálního hlediska) k tím větší chybě z důvodu numerického řešení může dojít, nehledě na nároky na použitý HW a SW a výpočetní čas, což významně ovlivňuje finanční náročnost řešení.Proto je nutné volit co nejjednodušší způsob řešení, ovšem tak aby byla zachována dostatečná přesnost. Nejlepší kontrolou spolehlivosti získaných dat je jejich verifikace na reálném modelu. U modelů, kde to možné není se mi velmi osvědčilo posouzení z hlediska přenášeného výkonu do vsázky.

42

Algoritmus řešení

Po částech sdružený elektromagneticko-teplotní problém

ETPR - ANSYS

Model kvazi-sdruženého problému

ELEKT ROM AGNETICKÝPRO BLÉM

(r,¦B ¦,T )

TEPLO TNÍPRO BLÉM

(r,T )

(r,T ),(r,T ), c(r,T )

Ib(r)w Js(r)B (r)

Hraniční podm ínky

T (r,t) TERMO ELASTICKÝPROBLÉM

E (r,)

grad T (r,t)

(r,t)

F (r)

Ano

u (r,t)

T(r,T ),n(r,T ), E (r,T )max T ł

Tm axEAno

max T łTm axT

Ano

max T łTm axP

Ano

max u łum ax

44