Upload
yaneth-martinez-vargas
View
13
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
NBJK
Citation preview
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 57
2.3 ANUALIDADES VENCIDAS, ANTICIPADAS Y PERPETUAS
En el planteamiento del autor Csar Aching, una anualidad es un flujo de caja en el que
los flujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos de dinero son iguales) y los
movimientos de dinero ocurren a un intervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad
son los pagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de anualidad es utilizado
como una generalizacin sobre el tema, no siempre son perodos anuales de pago.
Algunos ejemplos de anualidades son:
Pagos mensuales por renta
Cobro quincenal o semanal por sueldo
Abonos quincenales o mensuales por pago de un prstamo.
Pagos anuales de primas de plizas de seguro de vida, etc.
El diagrama siguiente muestra el flujo de una anualidad:
AOS 0 1 2 3 4 5
FC 25,000 25,000 25,000 25,000 25,000
El flujo siguiente, no es una anualidad porque al cuarto ao se interrumpe para reiniciarse
al quinto:
AOS 0 1 2 3 4 5
FC 25,000 25,000 25,000 25,000
Las anualidades son:
Vencidas: las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en las cuales
los pagos son hechos a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Ejemplo, en el
pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.
Anticipadas: las anualidades anticipadas o prepagables se efectan al principio de cada
periodo. Las anualidades anticipadas son el resultado de capitalizar en un perodo el valor
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 58
actual (VA) o valor futuro (VF) multiplicndolas por (1 + i). Es decir, se utilizan las mismas
frmulas del VA VF de las anualidades vencidas, multiplicando el resultado por (1 + i).
2.3.1 Valor actual de una anualidad vencida
Siguiendo con la explicacin que presenta el autor Csar Aching, el valor actual de una
anualidad es igual a la suma de los valores actuales de los pagos de la anualidad. Esto
puede calcularse a travs de la siguiente ecuacin:
++
=n
n
ii
iCVA
)1(
1)1( (Ecuacin 2.18)
Con la ecuacin anterior, se obtiene:
++
=1)1(
)1(n
n
i
iiVAC (Ecuacin 2.19)
+
=
)1(
1log
1log
i
iC
VA
n (Ecuacin 2.20)
Donde:
VA = valor actual de la anualidad
C = pago de una anualidad
i = inters o tasa de descuento
En las frmulas de anualidades de VA y VF, la tasa de inters no puede ser despejada,
por lo cual debe obtenerse por ensayo y error. Por esta razn, utilizando Excel, para
obtener la tasa de inters se utiliza la funcin TASA cuando se opera con flujos uniformes
y la funcin TIR cuando se opera con flujos variables.
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 59
Cuando se tiene un perfil de flujos iguales para cada perodo, es posible hacer una
formulacin que d el valor actual de los flujos de una sola vez, obviando el clculo del
descuento flujo por flujo.
Ejemplo 2.17
Se tiene el siguiente flujo de caja y se pide calcular el VA:
AOS 0 1 2 3 4 5
VA=? 45,000 45,000 45,000 45,000 45,000
Si se utiliza el mtodo de descuento flujo por flujo y se descuenta al 20% por perodo, se
tendran los valores indicados en el cuadro y despus se compararan con el mtodo
abreviado a travs de la frmula y la funcin VA:
Perodo n Flujo VF VA=VF/(1+i)^n Valor VA
1 45,000 45.000/(1+0.20)^1 37,5002 45,000 45.000/(1+0.20)^2 31,2503 45,000 45.000/(1+0.20)^3 26,0424 45,000 45.000/(1+0.20)^4 21,7015 45,000 45.000/(1+0.20)^5 18,084
134,578Valor Actual Neto (VAN)
Aplicando la ecuacin 2.18, se tiene:
578.134)20.01(20.0
1)20.01(000.5
5
5
=
++
4=VA
El mismo resultado se obtiene, al utilizar Portafolio:
Utilizando Excel (funcin VA), se obtiene:
Sintaxis: VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)Tasa Nper Pago VF Tipo VA
0.2 5 -45,000 134,578
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 60
Como se puede observar, con los 4 mtodos se obtiene resultados iguales.
Ejemplo 2.18
Teniendo una anualidad de 250.000 anual, durante cuatro aos vencidos. Si la tasa de
descuento es igual a 15%, cul es el VA de la anualidad?
Solucin
?;15.0;4;000.250 ==== VAinC
Aplicando la ecuacin 2.18 se tiene:
745.713)15.01(15.0
1)15.01(000.250
4
4
=
++
=VA
Mediante el uso de Portafolio, el resultado es:
Con la funcin VA de Excel, se obtiene:
Sintaxis: VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)Tasa Nper Pago VF Tipo VA
0.15 4 -250,000 713,745
Respuesta: El valor actual de los cuatro pagos iguales es 713.745.
Ejemplo 2.19
Una persona gana la lotera. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotera le proponen
lo siguiente: cobrar hoy 10.000.000 60.000 unidades monetarias mensuales durante los
prximos 20 aos. Qu elige usted?
Solucin
?;000.000.10 == iVA
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 61
En este caso, primero se determina la tasa de inters, que permita descontar las cuotas
mensuales y compararlo con los 10.000.000 que se recibiran el da de hoy. El dinero hoy
vale ms que en el futuro.
Se asume una inflacin del 15% anual proyectada para los prximos 20 aos.
0125.012/15.0 ==i
?;240)12*20(;000.60;0125.0 ===== VAnCi
Aplicando la ecuacin 2.18 se tiene:
537.556.4)0125.01(*0125.0
1)0125.01(000.60
240
240
=
++
=VA
Usando Portafolio el resultado es:
Utilizando la funcin VA de Excel, se tiene:
Sintaxis: VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)Tasa Nper Pago VF Tipo VA
0.0125 240 -60,000 4,556,537
Respuesta: El VA de las 240 cuotas mensuales de 60.000 unidades monetarias
descontadas a la tasa de inflacin del 15% anual es de 4.556.537 unidades monetarias,
inferior a los 10.000.000 que se cobraran hoy, en consecuencia, la decisin ser cobrar la
loteras hoy.
2.3.2 Valor actual de una anualidad anticipada
Los siguientes ejemplos, ilustran casos prcticos sobre la forma de calcular el valor actual
de una anualidad anticipada:
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 62
Ejemplo 2.20
El dueo de una empresa contrae una deuda, para saldarla en cuatro pagos iguales de
1.300.000 unidades monetarias al inicio de cada ao, con una tasa de inters del 35%
anual. Calcular el valor actual de esta obligacin.
Solucin
?;35.0;4;000.300.1 ==== VAinC
Aplicando el concepto de las anualidades anticipadas en la ecuacin 2.18, se multiplica el
resultado de la frmula por (1 + i) y se obtiene el siguiente resultado:
644.504.3)35.01(*)35.01(*35.0
1)35.01(000.300.1
4
4
=+
++
=VA
Con Portafolio, se encuentra:
Al utilizar la funcin VA de Excel, al registrar 1 en el argumento Tipo, se obtiene el valor
actual de la anualidad anticipada. Ello indica que se est trabajando con anualidades
anticipadas, tal como se aprecia a continuacin:
Sintaxis: VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)Tasa Nper Pago VF Tipo VA
0.35 4 -1,300,000 1 3,504,644
Respuesta: El valor actual anticipado de esta operacin es 3.504.644 unidades
monetarias, pero realizando el pago anticipado de cada cuota anual.
Ejemplo 2.21
Una inversin de 600.000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de 225.000
durante 7 aos. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto.
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 63
Solucin
?;7;000.225;000.600 ==== inCVA
Con el uso de Portafolio, se obtiene:
Recurriendo a Excel la respuesta es:
Sintaxis: Tasa(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)Nper Pago VA VF Tipo Estimar Tasa
7 225,000 -600,000 1 10 55.81%
Respuesta12: La tasa anual de rendimiento del proyecto es 55.81%
2.3.3 Valor futuro de una anualidad
El autor Csar Aching, plantea que al tratar el clculo de las anualidades, se determinaba
el valor de los flujos en valor actual o del momento cero. Tambin es posible emplear esta
misma formulacin y plantear por ejemplo, cunto se tendr ahorrado en un momento
futuro si se deposita una determinada cantidad igual perodo a perodo, dada una cierta
tasa de inters por perodo. Es decir, lo que se est haciendo es constituir un fondo.
En ejemplos anteriores, se calcul el valor actual de una serie de pagos futuros. Lo que
ahora se busca, como monto futuro, es una expresin que responda al siguiente perfil
financiero:
0 1 2 3 4 5
45,000 45,000 45,000 45,000 45,000 VF=?
12 Para solucionar este ejemplo y otros similares que requieran el uso de frmulas o determinar la tasa de inters, utilizando el mtodo de interpolacin lineal, ver el anexo de equivalencias financieras.
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 64
Se deposita una suma ahora y se hace lo mismo con igual monto hasta el cuarto perodo,
es decir n-1 y con la misma tasa de inters por cada perodo.
La frmula del valor futuro de la anualidad y las derivadas de ella son:
+=
i
iCVF
n 1)1( (Ecuacin 2. 21)
+
=1)1( ni
iVFC (Ecuacin 2.22)
)1log(
1*log
i
iC
VF
n+
+
= (Ecuacin2. 23)
El valor, depende slo de las variables: tasa de inters (i), igual para cada perodo y el
valor correspondiente al nmero de periodos (n), para flujos realizados a comienzo de
cada uno de ellos.
Las anualidades tienen la caracterstica que siendo un pago constante en el caso de
amortizar una deuda, los intereses pagados en los primeros periodos son mayores,
destinndose el excedente al pago de amortizacin de capital, el cual aumenta
gradualmente, el inters posterior deber calcularse sobre un menor monto de capital por
la disminucin o amortizacin de ste.
Ejemplo 2.22
Un empresario deposita 5.000.000 ahora en una cuenta de ahorros que reconoce una
tasa de inters del 2.5% mensual y considera retirar 780.000 mensuales, empezando
dentro de 10 meses. Calcular por cunto tiempo podr realizar retiros completos?
Solucin
??;;10;000.780;025.0;000.000.5 ====== nVFnCiVA
Se calcula el VF de los 5.000.000 a 10 meses:
423.400.6)025.01(000.000.5 10 =+=VF
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 65
Haciendo uso de Portafolio, el resultado que se obtiene es:
Utilizando Excel, los resultados son:
Sintaxis: VF(tasa;nper;pago;va;tipo)Tasa Nper Pago VA Tipo VF
0.025 10 -5,000,000 6,400,423
Sintaxis: NPER(tasa; pago; va; vf; tipo)Factor: n (VA/VF, n=?, i)
Tasa Pago VA VF Tipo Nper
0.025 780,000 -6,400,423 7.5568
Respuesta: A partir del mes 10 puede hacer retiros completos por 8 meses.
2.3.4 Perpetuidades
Segn el autor Csar Aching, perpetuidad significa duracin sin fin; duracin muy larga o
incesante. A partir del valor actual (VA) de una anualidad (C), que representa una serie de
pagos, depsitos o flujo peridico uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando
algunas modificaciones se pueden derivar las perpetuidades.
La caracterstica de una perpetuidad, es que el nmero de periodos es grande, de manera
tal que el valor de los ltimos flujos al descontarlos es insignificante. El valor de la
anualidad de muchos trminos, llamada perpetuidad (VAP), es calculada con la siguiente
frmula:
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 66
i
CVAP = (Ecuacin 2.24)
Las perpetuidades permiten clculos rpidos para determinar el valor de instrumentos de
renta fija (VAP) de muchos periodos. En este caso, (C) es el rendimiento peridico e (i) la
tasa de inters relevante para cada perodo. Ejemplos de perpetuidades son tambin las
inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de inters se
aproxima el valor de la inversin (C).
Por lo general, la tasa de inters es casi siempre anual y el canon de arriendo es
mensual, por lo cual deber establecerse la tasa de inters equivalente para este perodo
de tiempo. Otras aplicaciones importantes son las pensiones o rentas vitalicias.
Ejemplo 2.23
Para que dos jvenes estudien becados en una universidad prestigiosa, dentro de 10
aos, es requisito fundamental -entre otros- depositar el da de hoy una suma de dinero
en una institucin financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 2% y que
permite a la institucin disponer de 5.000 mensuales a perpetuidad. Cunto se debe
depositar el da de hoy?.
Solucin
?;02.0;000.5 === VAPiC
000.25002.0
000.5==VAP
Respuesta: Se debe depositar el da de hoy 250.000 unidades monetarias. Mensualmente
el dinero gana 5.000 de inters. Este inters constituye la beca.
2.4 INTERS, TASA DE INTERS Y TASAS EQUIVALENTES
Recopilando los planteamientos del autor Csar Aching, el inters (I) es el monto pagado
por la institucin financiera para captar recursos, igualmente es el monto cobrado por
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 67
prestarlos (colocar). El inters es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el valor
inicial; sea que se trate con crditos o con inversiones.
El inters es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio,
es la renta pagada por el uso de recursos prestados, por perodo determinado.
Para su clculo se utilizan las siguientes frmulas:
inVAI **= (Ecuacin 2.1)
1))1(( += niVAI (Ecuacin 2.15)
VAVFI = (Ecuacin 2.16)
La tasa de inters, es el precio del tiempo, mientras que la tasa de rentabilidad es el
precio del tiempo cuando existe riesgo. La tasa de rentabilidad es el precio del tiempo
ms una prima por riesgo (precio del riesgo).
Se calcula la tasa de inters (i) dividiendo el monto futuro (VF) recibido o pagado por
perodo, por el monto inicial, VA; de modo que la tasa de inters ser:
1= nVA
VFi (Ecuacin 2.13)
Cuando se evalan prstamos e inversiones a inters simple y para casos de inversiones
a inters compuesto, se aplica la ecuacin 2.13 cuando se trata de un solo pago. No es
aplicable para el caso de las anualidades o flujos variables; en estos casos son de mucha
utilidad las funciones financieras TASA (flujos uniformes) y TIR (flujos variables) de Excel.
La tasa de inters corriente (ic), es la tasa del mercado, aplicada por los bancos y las
entidades financieras; la tasa efectivamente pagada por cualquier prstamo. Tiene tres
componentes o causas:
El efecto de la inflacin (F): medida del aumento del nivel general de precios,
valorada a travs de la canasta familiar; se nota su efecto en la prdida del poder
adquisitivo de la moneda. A mayor inflacin, mayor tasa de inters.
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 68
El efecto del riesgo, inherente al negocio o inversin. A mayor riesgo, mayor tasa
de inters. Elemento de riesgo (ip).
La tasa real (i) propia del negocio, lo que el inversionista desea ganar, libre de
riesgos e inflacin. Por lo general los bonos del tesoro de EE.UU., son tomados
como parmetro para la tasa libre de riesgo.
2.4.1 Tasas de inters y descuento equivalente
En el mundo real, segn el autor Csar Aching, las tasas de inters son en ms de un
perodo por ao. Por convencin, las tasas de inters son en base anual. La tasa de
inters expresada anualmente y con composicin en ms de una vez por ao es la tasa
nominal, es una tasa de inters simple; ignora el valor del dinero en el tiempo y la
frecuencia con la cual capitaliza el inters.
Tasa peridica: tasa de inters cobrada o pagada en cada perodo, por ejemplo, semanal,
mensual o anual; tiene la caracterstica de ser nominal y efectiva a la vez.
Tasa efectiva anual (TEA): la tasa que realmente se paga o cobra por una operacin
financiera, incluye todos los costos asociados al prstamo o inversin. Si el inters se
capitaliza en forma trimestral, semestral, mensual, la cantidad efectivamente pagada o
ganada es mayor que la compuesta en forma anual.
Inters anticipado (ia): es el inters liquidado al inicio del perodo, cuando se recibe o
entrega dinero.
Inters vencido (iv): liquidado al final del perodo, cuando ser recibe o entrega dinero.
Las frmulas de las tasas de inters nominal, efectiva y equivalente son:
Tasa nominal j:
nij peridica *= (Ecuacin 2. 25)
Tasa nominal j:
( )[ ] 11 /1 += mimj (Ecuacin 2.25A)
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 69
Tasa efectiva anual (TEA) i:
11
+=m
m
ji (Ecuacin 2.25B)
Tasa peridica i:
n
jiperidica = (Ecuacin 2.26)
Tasa peridica i:
( ) 11 += n efectivaperidica ii (Ecuacin 2.27)
Tasa efectiva anual (TEA):
( ) 11 += nperidicaefectiva ii (Ecuacin 2.28)
2.4.2 Tasas equivalentes: tasa nominal efectiva anual, tasa anticipada y vencida
Segn el autor Aching, dos tasas con diferentes periodos de capitalizacin sern
equivalentes, si al cabo de un ao producen el mismo inters compuesto.
Comn en operaciones bancarias y tambin en el caso de bonos del tipo cupn cero, el
uso de la tasa de descuento (d) en vez de (o junto con) la tasa de inters, como referencia
del rendimiento de la operacin. Usar la tasa de descuento o la tasa de inters es
puramente convencional y siempre se puede expresar una en trminos de la otra.
Esto se explica con las tasas equivalentes pagadas al vencimiento (iv) o por anticipado
(ia).
Muchas negociaciones pactan en trminos de inters anticipado y es deseable conocer,
cul es el equivalente en tasas de inters vencido. Un ejemplo corriente, lo constituyen los
prstamos bancarios y los certificados de depsito a trmino.
Cuando indican un pago de inters anticipado (ia), en realidad ello significa, que en el
caso de un prstamo, recibe un monto menor al solicitado.
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 70
Tasa de inters vencida:
anticipado
anticipado
i
iiv
=1
(Ecuacin 2.29)
Tasa de inters anticipada:
vencido
vencido
i
iia
+=1
(Ecuacin 2.30)
Estas dos frmulas slo son de aplicacin a tasas peridicas.
Ejemplo 2.24
Se tiene una tarjeta de crdito cuya tasa de inters es 3% mensual. Se pide determinar la
tasa anual que realmente cuesta.
Solucin
??;;12;03.0 ==== TEAjni
%3636.012*03.0 j ==
( ) %58.424258.0103.01)( 12 TEAi =+=
Utilizando Portafolio, se llega al mismo resultado, tal como se puede observar:
Para demostrar, se calcula la tasa peridica a partir de la tasa nominal y TEA:
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 71
%312
%36==peridicai
( ) %303.1)4258.01(12 iperidica 0=+=
Para esta demostracin utilizando Portafolio se obtiene:
Aplicando las funciones financieras de Excel:
int_nominal nm_per_ao INT. EFECTIVO
0.36 12 0.4258
Sintaxis: INT.EFECTIVO(int_nominal;nm_per_ao)
tasa_efectiva nm_per TASA NOMINAL
0.4258 12 0.36
Sintaxis: TASA.NOMINAL(tasa_efectiva; nm_per)
Respuesta: El costo nominal de la tarjeta de crdito es 36% y el costo real o tasa efectiva
anual (TEA) es 42.58%.
Ejemplo 2.25
Una entidad financiera paga por uno de sus productos el 36% anual y liquida
trimestralmente por anticipado.
Determine a cunto equivale el inters trimestral vencido.
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 72
Solucin
36.0=j
anticipadaperidicatasaia %909.04
36.0==
Haciendo uso de Portafolio, se obtiene:
vencidaperidicatasaiv %89.90989.009.01
09.0=
=
Utilizando Portafolio, se obtiene el mismo resultado:
2.4.3 Tasa de inters nominal e Inflacin
Como se observ al tratar los componentes de la tasa de inters, tal como explica el autor
Aching, la Inflacin es un alza sostenida en el nivel de precios, que hace disminuir el
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 73
poder adquisitivo del dinero. De esta forma en un futuro con la misma cantidad de dinero
se compran menos cantidades de bienes y servicios que en la actualidad.
Si se tuviera el caso, donde actualmente (hoy) una nevera cuesta 1.200.000 y est
calculado que dentro de un ao costar 1.600.000 unidades monetarias, en este caso se
dice que el precio ha subido un 33%.
%33.333333.0000.200.1
000.200.1000.600.1=
3333.01000.200.1
000.600.1=
1,200,000 1,600,000
Inflacin = (400.000/1.200.000)*400.000 = 33.33%0 Hoy 1 Futuro
Si la cantidad disponible de dinero es 24.000.000, en el momento actual en que cada
unidad vale 1.200.000 unidades monetarias, se pueden comprar 20 unidades, pero en el
momento futuro slo es posible adquirir 15 unidades con 24.000.000 unidades
monetarias, es decir, se ha perdido capacidad de compra o poder adquisitivo.
El inters ganado en un perodo de tiempo, se expresa como una determinada tasa de
inters i que se aplica sobre el capital inicial. Por lo tanto, en ausencia de inflacin, esta
tasa de inters es real, por cuanto explica el crecimiento existente en la capacidad de
consumo.
Frente a la presencia de un proceso inflacionario, se debe tener una tasa de inters
mayor, que compense el efecto inflacionario y adems recoja el inters real esperado;
ser por tanto una tasa nominal, que incluye inflacin e intereses:
IntereseseCapitalsobrerioInflacionaEfectoalTasaj += Re
Para explicar la determinacin de la tasa de inters nominal, se har a partir de un
ejemplo, primero sin la presencia de inflacin y despus con una inflacin esperada del
35%.
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 74
Ejemplo 2.26
Un determinado bien actualmente vale 320.000 unidades monetarias. El costo de
oportunidad por el uso del capital o rendimiento exigido es 25% por el perodo de un ao;
el capital disponible es 32.000.000 unidades monetarias.
Solucin caso sin Inflacin
?;25.0;1;000.000.32 ==== VFinVA
000.000.40)25.01(*000.000.32 1 =+=VF
Vale 320.000 c/u Vale 320.000 c/u32.000.000 de capital capital final 40.000.000compra 100 unidades compra 125 unidades
inters 25%perodo 1
0 Hoy 1 Futuro
Compra: 40.000.000/320.000 = 125 unidades
En estas condiciones, sin inflacin, el capital inicial de 32.000.000 unidades monetarias,
con un precio por cada unidad de 320.000 unidades monetarias, permite comprar 100
unidades. Al ganar un 25% de intereses en el perodo, aumenta su capacidad de compra
a 125 unidades (40.000.000/320.000 = 125 unidades).
Solucin caso con inflacin (F)
%35;1;000.000.32 === FnVA
para compra de Capital necesario para compra100 unidades de 125 unidades 125*432.000=54.000.000
0 Hoy 1 Futuro
Vale 320.000 c/u 320.000*1.35=432.000 c/u
inters 25% e inflacin 35%
perodo 1
compra 100 unidades 32.000.000*1.25=40.000.00032.000.000 de capital Se compran 93 unidades
El crecimiento nominal del capital durante el perodo es de:
000.000.22000.000.32000.000.54 =
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 75
Crecimiento relativo del capital:
%75.686875.0000.000.32/000.000.22 =
Esto significa que una tasa nominal de un 68.75% permite mantener el poder adquisitivo
del capital y ganar intereses, tambin cubiertos del efecto inflacionario, que aumenten la
capacidad real de consumo en un 10%, o bien ganarse realmente un 10%. Si actualmente
se compran 100 unidades del bien, con esta tasa nominal de un 68.75%, se podr
comprar al trmino del perodo 125 unidades.
As, la tasa de inters nominal debe recoger o sumar el inters del perodo de 25% ms la
tasa de inflacin del perodo de 35% y ms la tasa de inflacin sobre el inters 35% por
25%:
Inters nominal = 0.25 + 0.35 + (0.25 * 0.35) = 0.6875, con lo cual se corrobora lo
siguiente:
)( InflacinxrealTasaInflacinrealTasaj ++=
2.4.4 Uso de las unidades de valor real (UVR)
De acuerdo al autor Diego Navarro13, en Colombia se da el uso de tasa de inters
mltiple. La siguiente frmula, permite calcular la tasa de inters en trminos reales:
1))1/()1(( ++= InflacinTasacorrienteTasair
Tasa de inters mltiple: cuando sobre una inversin o prstamo actan
simultneamente dos tasas, la tasa resultante se conoce como la tasa mltiple de inters.
En Colombia hay dos casos de tasas de inters mltiple: Uno de estos casos, es el crdito
para vivienda en unidades de valor real (UVR) o anteriormente crdito de las
13 NAVARRO, C. Diego. Matemticas Financieras, Captulo 5. Universidad Nacional de Colombia, Programa Universidad Virtual, Sede Manizales, 2004.
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 76
corporaciones de ahorro y vivienda en unidades de poder adquisitivo constantes (UPAC) y
el otro caso es cuando se efectan negociaciones con el extranjero.
A continuacin se ilustra el funcionamiento de la tasa mltiple de inters en un crdito
para vivienda en UVR.
Ejemplo 2.27
Se supone un crdito para vivienda por la suma de 50 millones de pesos adquirido en
UVR. Este prstamo esta sometido al efecto de dos tasas: por un lado a la tasa en UVR y
por otro lado a la tasa de la inflacin. Para su ilustracin la tasa en UVR es del 14%
efectiva anual y la tasa de inflacin del 10% anual. Adems se supone que el valor de la
UVR en la fecha del desembolso es de $6.000.
La corporacin financiera, en este caso no concede el crdito en pesos sino en unidades
y sobre estas unidades prestadas aplica la respectiva tasa. El nmero de unidades
desembolsadas se calcula de acuerdo al valor de la unidad en el momento de efectuar el
desembolso. En la fecha de pago se calcula las unidades adeudadas y se convierten a
pesos segn el valor de la unidad en esa fecha. El valor de la unidad se ha indexado por
la tasa de inflacin en el periodo respectivo de duracin del crdito.
El anterior proceso es ms simple observarlo con los diagramas de flujo de caja:
VPu = valor presente del prstamo en UVR
iu = tasa de inters peridica en UVR
VFu = valor futuro del prstamo en UVR
VFu=8.333*(1.14)VFu= 9,500
0 iu= 14% 1
VPu=50.000.000/6.000VPu= 8,333.33
El prstamo en unidades es de 8.333,33, el cual se cancela con un valor futuro de 9.500
unidades.
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 77
TVP = tasa de cambio del valor de la unidad en la fecha del desembolso
Inflacini% = tasa de inflacin en el perodo.
TVF = tasa de cambio del valor futuro de la unidad en la fecha de pago.
TVF=6.000*(1.10)TVF= 6,600
0 i%Inflac= 10% 1
TVP=6.000
El valor de la unidad ascender a $6.600, en el momento de pagar el crdito. Para
conocer la tasa de inters efectiva, se elabora un flujo de caja en pesos y se establece la
tasa:
VF$=9.500*6.600VF$= 62,700,000
0 iE= ? 1
VP$=8.3333,33*6.000VP$= 50,000,000.00
NiEVPVF )1$($ +=
)1(*33,333.8600.6*500.9 iE+=
)1(*33,333.8)10.01(*000.6*)14.01(*33,333.8 iE+=++
)1()10.01(*)14.01( iE+=++
1)10.01(*)14.01( ++=iE
%40.25=iE
Generalizando la frmula para hallar la tasa mltiple:
ESCUELA DE ECONOMA - UPTC
GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 78
1)21(*)11( ++= iiiE
1i = la tasa en UVR o la tasa en el extranjero si se est negociando con otro pas
2i = la tasa de inflacin o la tasa de devaluacin del peso colombiano frente a la moneda
del pas extranjero.
2*121 iiiiiE ++=
La anterior frmula indica que cuando existe endeudamiento o inversin en UVR o en
moneda extranjera se est sometido a dos tasas: i1, i2. El costo de la deuda es igual a la
suma de las dos tasas ms el producto de ambas, anlogamente sucede cuando se
invierte. Segn el autor Diego Navarro, cuando hay endeudamiento en UVR o en moneda
extranjera, no debe importar la tasa de cambio; esto quiere decir, que si la unidad vale
$100 o $5.000 o $20.000 no es malo o bueno, realmente lo que impacta son las tasas de
inters, tanto la tasa de inflacin que se refleja en la cotizacin de la unidad, como en la
tasa a la cual se pacta la deuda. Si se contrata un crdito de $50.000.000 cuando la
unidad vale $5.000, se estn prestando 10.000 UVR las que se deben pagar con 11.400
UVR, cotizadas a $5.500, si se sigue trabajando con las tasas propuestas en el ejemplo,
para un total a pagar de $62.700.000.
En resumen para tomar la decisin de endeudamiento es indispensable conocer el valor
de la tasa de inters efectiva y compararla con otras alternativas de financiacin, sin
importar el sistema de amortizar la deuda inicialmente. Lgicamente el flujo de caja, la
rentabilidad del proyecto y las condiciones de la entidad son tambin elementos
determinantes al tomar la decisin final.
2.5 OPERACIONES FINANCIERAS, TASAS ACTIVAS Y TASAS PASIVAS
2.5.1 Prstamos y operaciones financieras
Siguiendo con el planteamiento que hace el autor Csar Aching, se denomina prstamo,
al contrato en el que una de las partes (prestamista) entrega activos fsicos, financieros o