Permasalahan dalam linear programming pada umumnya adalah sebagai

berikut:

Terdapat dua atau lebih produk yang dibentuk dari campuran dua atau lebih bahan. Terdapat mesin atau fasilitas lain yang digunakan dalam manufaktur berbagai macam produk, dan kapasitasnya terbatas, atau bahan pembentuk produk terbatas. Untuk itu, kita harus memperhitungkan keuntungan yang kita dapatkan dalam memproduksi masing‐masing produk dan keuntungan total yang kita dapatkan.

Bentuk Standar dari Linear Programming pada umumnya adalah

sebagai berikut:

Aktifitas Jumlah sumberdaya

Sumber daya 1 2 …. n yang ada

A aA1 aA2 … aAn b1

B aB1 aB2 … Abn b2

… … … … … …

m am1 am2 … amn bm

Unit aktifitas c1 c2 … cn

Level aktivitas x1 x2 … xn

Maksimalisasi:

Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

101

Dengan kendala:

aA1x1 + aA2x2 + … + aAnxn ≤ b1

aB1x1 + aB2x2 + … + aBnxn ≤ b2

…

am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm

dan, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …, xn ≥ 0

Contoh: (Maksimalisasi) PT. Mocin Bodong adalah produsen kendaraan bermotor berkualitas

ecek‐ecek dengan banyak lini produk, termasuk becak motor, berbagai jenis

skutik dan motor sport.

Karena penurunan pendapatan, manajemen perusahaan memutuskan

untuk merubah lini produknya. Beberapa produk yang tidak

menguntungkan tidak diproduksi lagi, dan keputusan ini akan

menyebabkan kapasitas produksi yang ada semuanya digunakan untuk

memproduksi salah satu atau kedua produk potensial yang banyak diminta

di pasar. Kedua produk tersebut adalah skubek dan skutrail. Dari hasil

penelitian manajemen, perusahaan sangat pede untuk bisa menjual semua

hasil produksinya yang dihasilkan dengan kapasitas produksinya.

PT Mocin Bodong mempunyai 3 pabrik, Pabrik 1 dan 2 digunakan

untuk pencetakan body dan spare parts, sedangkan pabrik 3 digunakan untuk

perakitan. Profil linear programming‐nya menjadi sebagai berikut:

PT. Mocin Bodong

Produk Kapasitas

Pabrik Skubek Skutrail Produksi

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Unit profit 300 500

Maksimalisasi:

Z = 300A + 500B

102

Tetapi proses mendapatkan keuntungan sebesar‐besarnya tersebut

mempunyai kendala yang berupa kapasitas produksi dari masing‐masing

pabrik, dimana pabrik 1 membutuhkan 1 unit satuan bahan baku untuk suku

cadang A dan kapasitas produksinya adalah 4. Pabrik 2 membutuhkan 2 unit

satuan bahan baku untuk suku cadang B dan kapasitas produksinya adalah

12. Sedangkan pabrik 3 membutuhkan 3 satuan waktu untuk merakit A dan

2 satuan waktu untuk merakit B dan kapasitas produksinya adalah 18. Dapat

kita bentuk model sebagai berikut:

A = 4 (1)

2B = 12 (2)

3A + 2B = 18 (3)

Persamaan linear sederhana dapat kita kerjakan sebagai berikut:

Hitungan 1: Hitungan 2:

(3) 3A + 2B = 18 x 1 3A + 2B = 18 (3) 3A + 2B = 18

(1) A = 4 x 3 3A = 12 (2) 2B = 12

2B = 6 3A = 6

B = 3 A = 2

3A + 2 (3) = 18 3 (2) + 2B = 18

3A = 12 2B = 12

A = 4 B = 6

Z = 300 (4) + 500 (3) Z = 300 (2) + 500 (6)

Z = 2.700 Z = 3.600

Dari kedua perhitungan tersebut kita mendapatkan 2 hasil yang

berbeda, dengan hambatan yang ada, ada 2 kemungkinan produksi, yaitu:

1. Produksi A = 4 dan B = 3, dengan profit sebesar 2.700.

2. Produksi A = 2 dan B = 6, dengan profit sebesar 3.600.

Secara logis kita akan memilih alternatif kedua yang menghasilkan

profit lebih tinggi, yaitu dengan memproduksi A sebanyak 2 unit dan B

sebanyak 6 unit, dengan total keuntungan sebesar 3.600.

103

Soal-soal: 1. Sebuah pabrik pembuat boneka akan memproduksi boneka Si Unyil dan

Pak Ogah dengan menggunakan dua mesin. Waktu yang diperlukan

untuk memproduksi kedua boneka ini dapat dilihat pada tabel berikut:

Jenis Waktu yang dibutuhkan untuk membuat Sebuah Boneka (menit)

Boneka Mesin I Mesin II

Si Unyil 20 10 Pak Ogah 10 20

Mesin I dan mesin II masing‐masing beroperasi 8 jam per hari. Jika

pabrik tersebut menjual boneka Si Unyil dan boneka Pak Ogah dengan

keuntungan masing‐masing Rp10.000 dan Rp 8.500 per buah, buatlah

model matematika dari permasalahan ini agar pabrik tersebut dapat

memperoleh keuntungan sebesar‐besarnya!

2. Dengan modal Rp 450.000, Pak Jupri membeli pepaya seharga Rp 1.000

dan jeruk seharga Rp 3.500 per kilogram. Buah‐buahan ini dijualnya

kembali dengan menggunakan gerobak yang dapat memuat maksimum

300 kg. Jika keuntungan dari penjualan pepaya Rp 500 per kilogram dan

dari penjualan jeruk Rp 1.000 per kilogram, tentukanlah keuntungan

maksimum yang diperoleh Pak Jupri!

Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program

yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua,

maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simpleks. Metode

simpleks adalah suatu prosedur aljabar (yang bukan secara grafik) untuk

mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah optimasi yang

terkendala.

Perhitungan dalam metode simpleks didasarkan pada aljabar matriks,

terutama mencari invers matirks untuk penyelesaian persamaan linier

simultan, oleh karena itu penyelesaian optimal dengan metode simpleks

diawali pengubahan kendala pertidaksamaan menjadi persamaan.

Untuk mencari nilai optimum dengan menggunakan metode simpleks

dilakukan dengan proses pengulangan (iterasi) dimulai dari penyelesaian

dasar awal yang layak (feasible) hingga penyelesaian dasar akhir yang layak

dimana nilai dari fungsi tujuan telah optimum

Persyaratan Metode Simpleks Terdapat tiga persayaratan untuk memecahkan masalah linier

programing, yaitu:

a. Semua kendala pertidaksamaan harus diubah menjadi persamaan.

b. Sisi kanan dari tanda pertidaksamaan kendala tidak boleh ada nilai

negatif.

c. Semua variabel dibatasi pada nilai non negatif.

105

Penulisan Standar dari Metode Simpleks Berdasarkan ketiga persyaratan di atas, maka kita dapat menulis

bentuk standar dari metode simpleks sebagai berikut:

Fungsi Tujuan Maksimisasi Sebagai contoh untuk dua variabel dan dua kendala:

Maksimumkan: Z = C1 X1 + C2 X2

Dengan Kendala:

Bentuk standar metode simpleks di atas dapat ditulis menjadi:

a. Fungsi tujuan bentuk eksplisit diubah menjadi bentuk implisit.

-Z + C1 X1 + C2 X2 = 0

b. Kendala bentuk pertidaksamaan (tanda ) diubah menjadi persamaan

dengan cara menambahkan variabel slack pada ruas kiri, sehingga

menjadi:

dimana: S1 dan S2 adalah variabel slack (non negatif).

c. Dalam notasi matriks, kita peroleh:

00 21

2222121

1212111

XdanX

KXaXa

KXaXa

22222121

11212111

KSXaXa

KSXaXa

100

010

001

2221

2211

21

aa

aa

CC

2

1

1

1

2

1 0

K

K

S

S

X

X

106

d. Tabel Simpleks Pertama

Fungsi Tujuan Minimalisasi

Minimumkan: C = c1 X1 + c2 X2

Dengan kendala:

Bentuk standar metode simpleks dapat ditulis menjadi:

a. Fungsi tujuan semula bentuk eksplisit diubah menjadi bentuk implisit:

- C + c1 X1 + c2 X2 = 0

b. Kendala pertidaksamaan (tanda )

Diubah menjadi persamaan dengan cara dikurangi variabel slack

kemudian ditambah variabel buatan:

a11 X1 + a12 X2 – S1 + A1 = K1

a21 X1 + a22 X2 - S2 + A2 = K2

dimana:

S1 dan S2 adalah variabel slack

A1 dan A2 adalah variabel buatan

c. Dalam notasi matriks, kita peroleh:

Variabel

Dasar Z X1 X2 S1 S2

Nilai kanan

(konstanta)

Z

S1

S2

-1

0

0

+C1 +C2 0 0

a11 a12 1 0

a21 a22 0 1

0

K1

K2

00 21

2222111

1222111

XdanX

KXaXa

KXaXa

107

d. Tabel Simpleks Pertama

Contoh-contoh: 1. Masalah Maksimalisasi Dengan Kendala Bentuk Baku (Semua

Kendala Bertanda ≤):

Maksimumkan Z = 8000 X1 + 7000 X2

Dengan kendala:

Variabel

Dasar C X1 X2 S1 S2 A1 A2

Nilai kanan

(konstanta)

S1

S2

-1

0

0

+c1 +c2 0 0 0 0

a11 a12 -1 0 1 0

a21 a22 0 -1 0 1

0

K1

K2

11000

01010

00001

2221

1211

21

aa

aa

cc

2

1

2

1

2

1

2

1

0

K

K

A

A

S

S

X

X

C

00

274

162

2432

21

21

21

21

XdanX

XX

XX

XX

108

Langkah Membentuk Tabel Simpleks I:

a. Fungsi tujuan dalam bentuk implisit:

- Z + 8000 X1 + 7000 X2 = 0

b. Karena masalah maksimalisasi, maka kendala ditambah variabel

slack:

c. Tabel Simpleks I (awal)

Variabel

Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3

Nilai kanan

(konstanta)

Baris 1 = Z

Baris 2 = S1

Baris 3 = S2

Baris 4 = S3

-1 8000 7000 0 0 0

0 2 3 1 0 0

0 2 1 0 1 0

0 1 4 0 0 1

0

24

16

27

Kolom kunci adalah kolom X1 dan Baris kunci adalah baris 3.

Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:

a. Kolom kunci adalah kolom yang berada pada angka positif terbesar

dalam baris pertama, yaitu kolom X1.

b. Baris kunci adalah:

Baris 2 =

Baris 3 =

274

162

2432

321

221

121

SXX

SXX

SXX

122

24

)(

)(

AKKkuncikolomAngka

NKkananNilai

terkecilpositifkuncikolomAngka

kananNilai 8

2

16

109

Baris 4 =

Baris kunci adalah baris 3.

c. Baris kunci baru (baris 3 baru):

Baris kunci lama:

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK

0 2 1 0 1 0 16

Baris kunci baru = Baris lama dibagi angka kunci

0 1 ½ 0 ½ 0 8

d. Baris lain yang baru

Baris (1) Baru = Baris (1) lama – (Baris kunci baru x 8000)

Baris (2) Baru = Baris (2) lama – (Baris kunci baru x 2)

Baris (4) Baru = Baris (4) lama – (Baris kunci baru x 1)

e. Tabel Simpleks II

Variabel

Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3

Nilai

Kanan

Baris (1) = Z

Baris (2) = S1

Baris (3) = X1

Baris (4) = S3

-1 0 3000 0 -4000 0

0 0 2 1 -1 0

0 1 ½ 0 ½ 0

0 0 3,5 0 -½ 0

-64.000

8

8

19

Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:

a. Kolom kunci = Kolom X2

b. Baris kunci =

271

27

kuncikolomAngka

kolomNilai

110

Baris 2 = terkecilpositifAKK

NK 4

2

8

Baris 3 = 162/1

8

AKK

NK

Baris 4 = 43,55,3

19

AKK

NK

Baris kunci adalah baris 2.

c. Baris kunci baru (baris 2 baru) =

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK

0 0 1 ½ -½ 0 4

d. Baris lain yang baru =

Baris (1) Baru = Baris (1) lama – (Baris kunci baru x 3000)

Baris (3) Baru = Baris (3) lama – (Baris kunci baru x ½)

Baris (4) Baru = Baris 94) lama – (Baris kunci baru x 3,5)

e. Tabel Simpleks III

Variabel

Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3

Nilai

Kanan

Baris (1) = Z

Baris (2) = X2

Baris (3) = X1

Baris (4) = S3

-1 0 0 -1500 -2500 0

0 0 1 ½ -½ 0

0 1 0 -1/4 ¾ 0

0 0 0 -7/4 5/4 1

-76.000

4

6

5

Karena pada baris (1) tidak ada lagi yang bernilai positif, penyelesaian

optimal selesai.

X1 = 6 ; X2 = 4 ; - Z = -76.000

Z = 76.000

111

Soal-soal:

1. Fungsi tujuan, maksimumkan: Z = 3X1 + 5X2

Kendala:

a. 2X1 <= 8

b. 3X2 <= 15

c. 6X1 + 5X2 <= 30

2. Maksimumkan: Z = 400X1 + 300X2

Fungsi kendala:

a. 4X1 + 6X2 <= 1200

b. 4X1 + 2X2 <= 800

c. X1 <= 250

d. X2 <= 300

2. Masalah Minimalisasi Dengan Kendala Bentuk Baku (Semua Kendala

Bertanda ≥):

Minimumkan: C = 6X1 + 24X2

Kendala: X1 + 2X2 ≥ 3

X1 + 4X2 ≥ 4

Dan X1, X2 ≥ 0

Penyelesaian:

Langkah membentuk Tabel Simpleks I:

1. Penyesuaian Fungsi tujuan dan Kendala:

Minimisasi: C = 6X1 + 24X2 + MA1+ MA2

Kendala : X1 + 2X2 –S1 + A1 = 3

X1 + 4X2 – S2+ A2 = 4

Keterangan: S1, S2: Variabel Slack

A1,A2: Variabel Buatan

112

2. Penyesuaian Fungsi tujuan agar siap masuk pada Tabel Simpleks I,

karena nilai M akan dianggap Nol.

a. Fungsi Tujuan dalam bentuk Implisit

-C + 6X1 + 24X2 + MX1 + MX2 = 0

b. Penyesuain Fungsi Tujuan:

Fungsi Tujuan X1 X2 S1 S2 A1 A2 NK

Cj-Zj 6 24 0 M 0 M 0

Kendala (1) x M 1M 2M -M M 0 0 3M

Cj-Zj (6-M) (24-2M) M 0 0 M -3M

Kendala (2) xM 1M 4M 0 0 -M M 4M

Cj-Zj (6-2M) (24-6M) M 0 M 0 -7M (nilai M =0)

c. Tabel Simpleks I

Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:

1. Kolom Kunci:

Kolom X2 (Negatif terkecil)

2. Baris Kunci:

Baris 3: NK/AKK = 3/2 = 1,5

Baris 3: NK/AKK = 4/4 = 1 ...Baris Kunci

3. Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);

4. Baris lain (Baris 1 dan Baris 2) yang baru;

5. Tabel Simpleks II:

Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1 A2 NK

Cj-Zj (6-2M) (24-6M) M 0 M 0 0

A1 1 2 -1 1 0 0 3

A2 1 4 0 0 -1 1 4

113

Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1 A2 NK

Cj-Zj (-1/2M) 0 M 0 (6-1/2M) (-6+3/2M) (-24+6M)

A1 ½ 0 -1 1 ½ -1/2 1

A2...X2 ¼ 1 0 0 -1/4 1/4 1

Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:

1. Kolom Kunci:

Kolom X1(Negatif terkecil)

2. Baris Kunci:

Baris 2: NK/AKK = 1/(1/2)=2..Baris Kunci

Baris 3: NK/AKK = 1/(1/4) = 4.

3. Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);

4. Baris lain (Baris 1 dan Baris 3) yang baru.

5. Tabel Simpleks III:

Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1 A2 NK

Cj-Zj 0 0 0 M 6 (-6+M) (-24+7M)

A1...X1 1 0 -2 2 1 -1 2

X2 0 1 ½ -1/2 -2/4 2/4 1/2

Titik Optimal:

X1 = 2 ; X2 = ½;

-Zj = -24+7M....

Zj=C= 24.

Pendahuluan Persoalan transportasi merupakan bentuk khusus pemrograman linier

yang membahas masalah pendistribusian atau pengalokasian suatu

komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah

tujuan (destination, demand), dengan tujuan meminimumkan ongkos

pengangkutan yang terjadi. Beberapa jenis persoalan pemrograman linier

dipecahkan dengan menggunakan prosedur perhitungan yang lebih efisien

bila dibandingkan metode simpleks, salah satu diantaranya adalah metode

transportasi. Persoalan transportasi pada umumnya terpusat pada pemilihan

rute dalam jaringan distribusi produk antara pusat industri (pabrik) dan

distribusi gudang atau antara distribusi gudang regional dan distribusi lokal

(pasar). Selain itu juga dapat berupa penggabungan dari kedua jaringan

distribusi tersebut, yaitu pendistribusian dari pusat ke gudang diteruskan

distribusi ke distribusi pengeluaran lokal (pasar).

Selain masalah-masalah pendistribusian, model transportasi dapat juga

digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah penjadualan produksi

dan juga masalah inventory. Dalam menggunakan metode transportasi ini

pihak manajemen/perusahaan mencari rute pendistribusian barang/produk

yang nantinya akan dapat mengoptimalkan suatu tujuan tertentu dari

perusahaan yang bersangkutan. Misalnya tujuan untuk meminimumkan

total biaya transportasi, meminimumkan waktu yang digunakan dalam

pendistribusian, atau tujuan memaksimumkan laba.

Persoalan transportasi mempunyai ciri-ciri khusus sebagai berikut:

1. Terdapat sejumlah sumber dan tujuan tertentu

2. Kuantitas komoditas atau barang yang distribusikan dari setiap sumber

dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.

115

3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu

tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.

4. Ongkos pengakutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan,

besarnya tertentu.

Model Transportasi Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai

berikut:

Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan.

Gambar 11.1. Model Transportasi

- Masing-masing sumber mempunyai kapasitas ai , i = 1, 2, 3,...,m

- Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak bj j = 1, 2,

3,….,n.

- Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j

adalah sebanyak xij.

- Ongkos pengiriman per unit dari sumber I ke tujuan j adalah cij

116

Dengan demikian, maka formulasi pemrograman liniernya adalah

sebagai berikut:

Minimumkan: z = ijxm

1i

n

1j ijc

Berdasarkan pembatas: m2,...,1,i,ian

1j ijx

jdaniseluruhuntuk0ijx

n2,...,1,i,jam

1i ijx

Sebagai ilustrasi, jika ada 2 buah sumber dan 3 tujuan (m = 2, n = 3)

Gambar 11.2. Ilustrasi Model Transportasi

Formulasi:

Minimumkan:

z = c11.x11 + c12.x12 + c13. x13 + c21.x21 + c22.x22 + c23.x23

Berdasarkan pembatas:

x11 + x12 + x13 = a1 Pembatas sumber

x21 + x22 + x23 = a2

x11 + x21 = b1

x12 + x22 = b2 Pembatas tujuan

x13 + x23 = b3

117

Sedangkan tabel pemrograman liniernya adalah:

z x11 x12 x13 x21 x22 x23 Solusi Persamaan tujuan 1 -c11 -c12 -c13 -c21 -c22 -c23 0 Pembatas 0 1 1 1 a1 Sumber 0 1 1 1 a2 Pembatas 0 1 1 b1 Sumber 0 1 1 b2

0 1 1 b3

Tabel 11.1. Tabel pemrograman linier model Transportasi

Semua koefisien teknologis akan berharga nol atau satu (lihat tabel di

atas), dan in merupakan karakter/sifat model transportasi.

Dari tabel di atas kita juga tidak dapat melihat solusi awal secara jelas,

karena itu pada persoalan transportasi tidak lagi digunakan tabel seperti itu,

tetapi diganti dengan tabel sebagai berikut:

Tujuan (j) Supply 1 2 3 c11 c12 c13

Sumber (i) 1

x11 x12 x13 a1

c21 c22 c23

2 x21 x22 x23

a2

Demand b1 b2 b3

Tabel 11.2. Tabel matriks persoalan transportasi

Dengan demikian, walaupun persoalan transportasi ini dapat

diselesaikan dengan metode simpleks, tetapi karena sifat-sifatnya yang

khusus itu, maka dapat disusun suatu prosedur yang jauh lebih sederhana,

yang secara sepintas lalu seakan-akan tidak ada hubungannya dengan

metode simpleks.

Keseimbangan Dalam Model Transportasi Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total supply

(sumber) sama dengan total demand (tujuan). Dengan kata lain:

m

1i

n

1jbjai

118

Dalam persoalan yang sebenarnya, batasan ini tidak selalu terpenuhi;

atau dengan kata lain, jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau

lebih kecil daripada jumlah yang diminta. Jika hal ini terjadi, maka model

persoalannya disebut sebagai model yang tidak seimbang (unbalanced).

Batasan di atas dikemukakan hanya karena ia menjadi dasar dalam

pengembangan teknik transportasi. Namun, setiap persoalan transportasi

dapat dibuat seimbang dengan cara memasukan artificial variable (semu).

Dimana jika jumlah demand melebihi jumlah supply, maka dibuat suatu

sumber dummy yang akan mensupply kurangan tersebut, yaitu sebanyak:

i iaj jb

Sebaliknya, jika jumlah supply melebihi jumlah demand, maka dibuat

suatu tujuan dummy untuk menyerap kelebihan tersebut, yaitu sebanyak:

j jai ib

Ongkos transportasi per unit (cij) dari sumber dummy keseluruh tujuan

adalah nol. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataannya dari sumber

dummy tidak terjadi pengiriman. Begitu pula dengan ongkos transportasi per

unit (cij) dari semua sumber ke tujuan dummy adalah nol.

Jika pada persoalan transportasi dinyatakan bahwa dari sumber ke k

tidak dilakukan atau tidak boleh terjadi pengiriman ke tujuan ke 1, maka

nyatakanlah ck1 dengan suatu harga M yang besarnya tidak terhingga (ingat

teknik M pada metode simpleks). Hal ini dilakukan agar dari k ke 1 itu

benar-benar tidak terjadi pendistribusian komoditas.

Metode Pemecahan Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan langkah-

langkah sebagai berikut:

1. Tentukan solusi fisibel basis awal,

2. Tentukan entering variable dari variable-variabel nonbasis, bila semua

variabel sudah memenuhi kondisi optimum, STOP, bila belum, lanjutkan

ke langkah 3.

3. Tentukan leaving variable diantara variabel-variabel basis yang ada,

kemudian hitung solusi yang baru. Kembali ke langkah 2.

119

Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal Terdapat tiga metode yang biasa digunakan untuk menentukan solusi

fisibel basis awal:

a. Metode pojok kiri atas-pojok kanan bawah (North West Corner)

Caranya adalah sebagai berikut:

Mulai dari pojok kiri atas, alokasikan sebesar x11 = min (a1,b1). Artinya:

jika b1 < a1 maka x11 = b1 ; jika b1 > a1, maka x11 = a1. Kalau x11 = b1,

maka selanjutnya yang menjadi yang mendapat giliran untuk

dialokasikan adalah x12 sebesar min(a1 – b1,b2); kalau x11 = a1 (atau b1 >

a1), maka selanjutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah

x21 sebesar min(b1-a1, a2), demikian seterusnya.

b. Metode ongkos terkecil (Least Cost)

Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengalokasian pada tempat

yang mempunyai satuan ongkos terkecil. Dengan mengambil ongkos

terkecil.

c. Metode pendekatan Vogel (Vogel’s approximation method, VAM)

Cara ini merupakan cara yang terbaik di bandingkan dengan kedua cara

diatas. Langkah-langkah pengerjaannya adalah:

1. Hitung Penalty untuk tiap kolom dan baris dengan jalan

mengurangkan elemen ongkos terkecil dari yang kedua terkecil.

2. Selidiki kolom atau baris dengan Penalty terbesar. Alokasikan

sebanyak mungkin pada variabel dengan ongkos terkecil, sesuiakan

supply dengan demand, kemudian tandai kolom atau baris yang sudah

terpenuhi. Kalau ada 2 buah kolom atau baris yang terpenuhi secara

simultan, pilih salah satu untuk di tandai, sehingga supply atau

demand pada baris atau kolom yang tidak terpilih adalah 0. Setiap

baris atau kolom denagan supply atau dimana = 0, tidak akan terbawa

lagi dalam perhitungan Penalty berikutnya.

3. Selanjutnya:

a) Tinggal satu kolom atau baris yang belum di tandai, STOP.

b) Bila tinggal satu kolom atau baris dengan supply atau demand

positif yang belum di tandai, tentukan variabel basis pada kolom

atau baris dengan cara ongkos terkecil.

c) Bila semua baris dan kolom yang belum di tandai mempunyai

supply dan diman = 0, tentukan varibel-varibel basis yang

berharga 0 dengan cara ongkos terkecil kemudian STOP.

120

d) Jika 3a, b, dan c tidak terjadi hitung kembali Penalty untuk baris

dan kolom yang belum di tandai kembali ke no.2.

Menentukan Entering Variabel dan Leaving Variabel Menentukan Entering dan Leaving Variable adalah tahap berikutnya dari

teknik pemecahan persoalan transportasi, setelah solusi visible basis awal

diperoleh. Ada 2 cara yang bisa dipergunakan dalam menetukan Entering

dan Leaving Variable yaitu dengan menggunakan metode Stepping Stone atau

metode Multipliers.

a. Metode Stepping Stone

Untuk menentukan entering dan leaving variabel ini, terlebih dahulu

harus di buat suatu loop tertutup bagi setiap variabel non basis loop

tersebut berawal dan berakhir pada variable nonbasis tadi, dimana tipa

sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-

variabel basis dalam tabel transportasi.

b. Metode multiplier

Cara ini iterasinya sama seperti Stepping Stone. Perbedaan utama terjadi

pada cara pengevaluasian variabel non basis, atau penentuan penurunan

ongkos transport per unit untuk tiap variabel. Cara ini dikembangkan

berdasarkan teori dualitas. Untuk tiap basis I dari tabel transformasi di

kenal sutu Multiplier iu , dan untuk kolom j disebut mulitiplier

jv sehingga untuk tiap variabel basis ijX didapat persamaan:

uj + vj + cij

Dari persamaan di atas kita dapat menghitug beberapa penurunan

ongkos transportasi perunit untuk tiap variabel nonbasis xij sebagai

berikut:

cij = xij – ui - vj

Langkah selanjutnya adalah seperti iterasi yang dilakukan oleh metode

stepping stone.

121

Contoh:

Sebuah perusahaan mempunyai tiga buah tempat perakitan mobil di A, B,

dan C. Perusahaan tersebut mempunyai 2 buah pusat distribusi di D dan E.

Kapasitas produksi A, B, dan C untuk periode yang akan datang adalah

1000, 1500, dan 1200 unit, sedangkan permintaan pusat distribusi D dan E

untuk periode yang akan datang adalah 2300 dan 1400 unit. Biaya

pengangkutan per unit dari A, B, dan C ke D dan E adalah seperti pada tabel.

D E

A 80 215 B 100 108 C 102 68

Total Suplai = 1000 + 1500 + 1200 = 3700

Total permintaan = 2300 + 1400 = 3700 model dalam keadaan seimbang

Model Pemrograman Linier dari persoalan tersebut:

Fungsi tujuan: min. Z = 80x11+215x12+100x21+108x22+102x31+ 68x32

Kendala Sumber: x11 + x12 = 1000

x21 + x22 = 1500

x31 + x32 = 1200

Kendala Tujuan: x11 + x21 + x31 = 2300

x12 + x22 + x32 = 1400

xij 0 i = 1,2,3

j = 1,2

Jika kita selesaikan dengan metode simpleks maka kita membuat tabel

simpleks yang jumlah kolomnya adalah sebanyak i x j (jumlah variabel

keputusan) + i + j (jumlah variabel buatan), sedangkan jumlah baris kendala

dan baris tujuan dan i + j baris kendala

122

V.D. x11 x12 x21 x22 x31 x32 R1 R2 R3 R4 R5 R.K.

Z -80 -215 -100 -108 -102 -68 0 0 0 0 0 0

2M 2M 2M 2M 2M 2M 0 0 0 0 0 7400M

R1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1000

R2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1500

R3 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1200

R4 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 2300

R5 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1400

Persoalan seperti ini lebih efektif diselesaikan dengan teknik transportasi.

Sekarang kita tulis persoalan tersebut dengan tabel transportasi. Kita jadikan

kotak yang besar tempat variabel xij dan kotak yang kecil tempat biaya

transportasi Cij.

80 215

x11 x12 1000

100 108

x21 x22 1500

102 68

x31 x32 1200

2300 1400

Kita tidak selalu mempunyai jumlah sumber yang sama dengan jumlah

tujuan. Agar kita dapat menyelesaikan dengan teknik transportasi maka

model dibuat seimbang.

- Jika kelebihan suplai maka tambahan tujuan semu yang akan menampung

kelebihan suplai yang permintaannya = ji ba

- Jika kekurangan suplai maka tambahan tujuan semu yang akan menyuplai

kekurangan tersebut yang kapasitasnya = ij ab

Jumlah suplai:

Jumlah permintaan

123

Contoh 1.a:

Seperti halnya contoh 1 akan tetapi sumber 2 jumlah suplainya 1300 dan

bukan 1500.

Contoh 1.b:

Seperti halnya contoh 1 akan tetapi tujuan 1 jumlah permintaannya 1900 dan

bukan 2300.

80 215 0

x11 x12 x13 1000

100 108 0

x21 x22 x13 1500

102 68 0

x31 x32 x33 1200

1900 1400 400

Sebenarnya tidak ada barang yang dikerjakan dari Sumber Semu ke semua

Tujuan atau dari semua Sumber ke Tujuan Semu. Dengan demikian biaya

transportasi dari Sumber Semu atau ke Tujuan Semu adalah nol, kecuali:

- Jika ada penalti atas pengiriman dari sumber semu atau pengiriman ke

tujuan semu.

- Biaya tersebut dapat berupa biaya persediaan pada sumber yang mengirim

ke tujuan semu atau biaya penalti atas kekurangan suplai.

Contoh:

Dari persoalan pada contoh 1b di atas, sumber 1 dan 3 memberikan biaya

persediaan atas kelebihan barang sebesar $ 5 per unit, sedangkan sumber

80 215

x11 x12

1000

100 108

x21 x22 1300

102 68

x31 x32 1200

0 0

x41 X42 200

2300 1400

124

tidak tidak mau kelebihan suplai (terdapat sisa) maka kita beri biaya yang

besar sekali (dalam persoalan ini kita beri biaya sebesar M (bilangan yang

besar sekali), maka tabelnya menjadi:

80 215 5

x11 x12 x13 1000

100 108 M

x21 x22 x13 1500

102 68 5

x31 x32 x33 1200

1900 1400 400

Model Produksi Persediaan Model transportasi dapat digunakan untuk memecahkan persoalan

produksi-persediaan.

Contoh:

PT. Alfa untuk 4 bulan yang akan datang memperoleh permintaan sebanyak

200, 400, 300, 150. Oleh karena peralatan produksinya juga dipakai untuk

memproduksi barang lain, maka jumlah produksi untuk 4 bulan yang akan

datang adalah 100, 350, 400, 200. Permintaan pada suatu bulan dapat

dipenuhi oleh:

Produksi pada bulan tersebut

Kelebihan produksi dari bulan sebelumnya yang disimpan sebagai

persediaan.

Produksi dari bulan berikutnya. Di sini merupakan suplai yang

terlambat.

Pada persoalan ini:

Biaya produksi adalah $4/unit

Biaya persediaan adalah $0.5/unit/bulan

Biaya penalti adalah $2/unit/bulan

Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan model transportasi.

125

Model Transportasi Model Produksi Persediaan

i : sumber tujuan bulan produksi i

j : tujuan j bulan permintaan j

cij : biaya transportasi biaya produksi + penalti + persediaan / unit

a I : jumlah suplai jumlah produksi bulan produksi i

bj : jumlah permintaan jumlah permintaan bulan persediaan j

Bulan produksi Bulan permintaan

dengan :

xij = jumlah jumlah suplai bulan produksi i untuk memenuhi permintaan

bulan permintaan j

cij = biaya produksi + persediaan + penalti

Jika i = j cij = biaya produksi

i > j cij = biaya produksi + biaya penalti

i < j cij = biaya produksi + biaya persediaan

x22:c22

x21:c21

x23:c23

x24:x24

200

300

400

150

400

100

200

350

1

2

3

4

1

2

3

4

126

4 4.5 5 5.5

x11 x12 x13 x14 100

6 4 4.5 5

x21 x22 x23 x24 350

8 6 4 4.5

x131 x32 x33 x34 400

10 8 6 4

x41 x42 x43 X44 200

200 400 300 150

Contoh:

Sebuah perusahaan mengoperasikan sebuah pengergajian. Kebutuhan mata

gergaji yang tajam bervariasi setiap harinya tergantung jenis kayu yang

dipotong seperti pada tabel berikut:

Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at Sabtu Minggu Kebutuhan gergaji (unit) 24 12 14 20 18 14 22

Perusahaan tersebut dapat memenuhi kebutuhan gergaji yang tajam dengan

cara berikut:

1. Membeli gergaji baru dengan harga Rp. 120.000 per unit.

2. Mengasah gergaji yang telah dipakai yang selesai dalam waktu semalam

dengan biaya sebesar Rp. 60.000 per unit.

3. Mengasah gergaji yang telah dipakai yang selesai dalam waktu dua hari

dengan biaya sebesar Rp. 30.000 per unit.

Buatlah model transportasi untuk menentukan berapa banyak gergaji yang

harus dibeli, yang diasah selesai dalam waktu semalam dan yang selesai

dalam waktu dua hari.

Penyelesaian:

Persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan model transportasi

dengan 8 sumber dan 7 tujuan. Sumber dari persoalan ini adalah sumber

pertama yaitu gergaji yang dibeli. Pada kondisi ekstrim jumlah yang dibeli

adalah keseluruhan gergaji yang dibutuhkan yaitu total sebanyak 124 unit,

127

sedangkan sumber ke 2 sampai sumber ke 8 sebanyak hari produksi (7 hari)

di mana besarnya adalah sebanyak mata gergaji yang telah dipakai pada

hari-hari tersebut. Sedangkan tujuannya adalah permintaan/kebutuhan pada

hari pertama sampai dengan hari ke tujuh. Oleh karena model tidak dalam

keadaan seimbang, di mana terdapat kelebihan suplai maka ditambahkan

tujuan semu yang akan menampung kelebihan supai tersebut, sehingga

sekarang jumlah tujuan menjadi 8. Biaya transportasi dari persoalan ini

adalah Rp. 120.000, Rp. 60.000 dan Rp. 30.000, yaitu biaya pembelian mata

gergaji yang baru, mata gergaji yang diasah dan selesai dalam 1 malam dan

mata gergaji yang selesai diasah dalam waktu dua hari. Biaya transportasi

pada baris 1 adalah Rp. 120.000 yaitu biaya pembelian gergaji baru,

sedangkan biaya sebesar Rp. 60.000 adalah biaya dari mata gergaji yang

dipakai pada hari ke i yang diasah dalam waktu semalam yang dapat

dipakai kembali pada hari ke i + 1 dan hari ke i + 2, Biaya sebesar Rp. 30.000

adalah biaya dari mata gergaji yang dipakai pada hari ke i yang selesai

diasah setelah 2 hari yang dapat dipakai pada hari ke i + 3 dan hari

berikutnya. Dengan demikian model transportasi dari persoalan ini adalah:

1 2 3 4 5 6 7 8 Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at Sabtu Minggu Semu

12 12 12 12 12 12 12 0

124

M 6 6 3 3 3 3 0

24

M M 6 6 3 3 3 0

23

M M M 6 6 3 3 0

14

M M M M 6 6 3 0

20

M M M M M 6 6 0

18

M M M M M M 6 0

14

M M M M M M M 0

22

24 12 14 20 18 14 22 124