ODDELEK ZA FIZIKO

Seminar Ia, 1. letnik, II. stopnja

Termalizacija zaprtih kvantnih sistemov

Avtor: Črt Lozej Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen

Ljubljana, april 2014

Povzetek V seminarju najprej predstavimo klasično in kvantno definicijo integrabilnosti in ergodičnosti. Zapišemo statistične ansamble, ki opisujejo ravnovesna stanja zaprtih kvantnih sistemov. Predstavimo hipotezo o termalizaciji lastnih stanj, ki naj bi opisala termalizacijo zaprtih neintegrabilnih kvantnih sistemov. Predstavimo numerični eksperiment, ki hipotezo potrjuje za izbrani sistem. Pokažemo, da 1D Isingov model predstavlja integrabilen kvantni sistem. Zapišemo kakšno vrednost zavzame lokalna transverzalana magnetizacija tega sistema v ravnovesju. Zapišemo posplošeni Gibbsov ansambel, ki opisuje termalna stanja integrabilnih kvantnih sistemov. Obravnavamo eksperiment termalizacije 1D bozonskega plina.

2

Kazalo Kazalo .............................................................................................................................................. 2

1. Uvod ................................................................................................................................................ 2

2. Integrabilnost .................................................................................................................................. 2

2.1. Integrablinost klasično ............................................................................................................ 2

2.2. Integrabilnost kvantno ............................................................................................................ 3

3. Ergodičnost ...................................................................................................................................... 3

3.1. Ergodičnost klasično ................................................................................................................ 3

3.2. Kvantna ergodičnost ................................................................................................................ 4

4. Termalizacija .................................................................................................................................... 5

4.1. Termalna stanja ....................................................................................................................... 5

4.2. Termalizacija izoliranega neintegrabilnega kvantnega sistema .............................................. 5

4.3. Termalizacija integrabilnih kvantnih sistemov ........................................................................ 9

5. Eksperiment ................................................................................................................................... 11

6. Zaključek ........................................................................................................................................ 12

Literatura ....................................................................................................................................... 12

1. Uvod Termalizacija je termodinamski proces po katerem sistem zasede termodinamsko ravnovesno

stanje. Klasično je za generičen sistem ravnovesno stanje neodvisno od točnih začetnih pogojev[1]. Kot primer si lahko zamislimo miselni eksperiment, kjer počimo balon v evakuirani posodi. Kmalu po prebitju opne balona delci plina dosežejo ravnovesno Maxwell-Boltzmanovo hitrostno porazdelitev[1]. Končna porazdelitev ni odvisna od točne oblike balona in od točke prebodišča. Klasično se sistem zaradi nelinearnih enačb gibanja obnaša ergodično in relaksira proti nekem univerzalnem ravnovesnem stanju[1]. Ali podobna univerzalnost velja tudi za zaprte kvantne sisteme? Vse to, tudi klasično, velja le za neintegrabilne sisteme.

Integrabilni sistemi so sistemi z velikim številom ohranjenim količin imenovanih tudi integrali gibanja. Ker se morajo integrali gibanja ves čas ohranjati, je dinamika takega sistema močno omejena[1]. Ravnovesno stanje je določeno z integrali gibanja torej odvisno od začetnih pogojev in drugačno, kot bi bilo za neintegrabilen sistem. Tudi tu se lahko vprašamo ali enako velja za kvantne integrabilne sisteme. Dodatno motivacijo za teoretično preučevanje neravnovesne dinamike zaprtih kvantnih sistemov je dal napredek v eksperimentalni realizaciji takih sistemov z ultrahladnimi kvantnimi plini. Vse enačbe so zapisane v sistemu enot, kjer je .

2. Integrabilnost

2.1. Integrablinost klasično V klasični mehaniki lahko dinamiko hamiltonskega sistema s hamiltonko zapišemo s pomočjo

Poissonovih oklepajev[2]. Enačbo gibanja za opazljivko , ki ni eksplicitno odvisna od časa, lahko zapišemo kot

3

{ } (1)

Poissonov oklepaj definiramo kot

{ }

(2)

kjer so koordinate v konfiguracijskem prostoru dimenzije in ustrezni kanonični impulzi. Če velja { } , bo ohranjena količina. Hamiltonski sistem je integrabilen, če obstaja neodvisnih

integralov gibanja , tako da velja { } za vsak [2]. Neodvisni inegrali gibanaj so tisti,

katerih gradienti so med seboj linearno neodvisni skoraj povsod. Tak sistem lahko preko kanoničnih akcij in kotov preslikamo tako, da so dinamične enačbe trivialno rešljive[2]. Za prvi integral gibanja tradicionalno izberemo kar hamiltonian .

2.2. Integrabilnost kvantno V kvantni mehaniki lahko v Heisenbergovi sliki zapišemo časovni razvoj opazljivke zapišemo preko

komutatorja

[ ] (3)

Kot prej vidimo, da se s časom ne bo spreminjal, če komutira s hamiltonianom [ ] . Kvantni sistem je integrabilen kadar, obstaja toliko neodvisnih lokalnih opazljivk kolikor ima sistem

prostostnih stopenj, ki med seboj komutirajo [ ] . Če naprimer obravnavamo sistem na

enodimenzionalni verigi mora imeti sistem toliko lokalnih ohranjenih količin kolikor je mest na verigi. Pomembno je, da so lokalne opazljivke kar v klasičnih sistemih ni bilo potrebno. Lokalne opazljivke so tiste, ki jih lahko zapišemo kot vsoto takšnih opazljivk, ki med seboj sklapljajo le dele sistema, ki so prostorsko blizu. Na enodimenzionalni verigi bi lokalna opazljivka naprimer sklapljala le nekaj sosednjih mest.

3. Ergodičnost

3.1. Ergodičnost klasično V klasični definiciji ergodičnosti bomo uporabili časovno povprečje opazljivke in njeno

pričakovano vrednost, zato ju najprej definirajmo. Klasično ima fazni prostor sistema delcev v prostorskih dimenzijah dimenzijo enako . Z bomo označevali točke v faznem prostoru. Dinamiko sistema bomo opisovali s preslikavo , ki je odvisna od časa in slika točko faznega prostora v točko faznega prostora. Naj bo na začetku naš opazovani sistem v točki faznega prostora . Časovno povprečje opazljivke , ki ga označujemo s prečno črto, definiramo tako

∫ ( )

(4)

Pričakovano vrednost opazljivke , označujemo jo s trikotnimi oklepaji, izračunamo kot

⟨ ⟩ ∫ (5)

Integriramo po faznem prostoru, pa je verjetnost, da se sistem nahaja v stanju .

4

Dinamični sistem je ergodičen, kadar je časovno povprečje opazljivke enako njeni pričakovani vrednosti

⟨ ⟩ (6)

za vsak in skoraj vsak [3].To je ekvivalentno izjavi, da časovno povprečje ni odvisno od izbire začetnega pogoja razen za množico začetnih pogojev, ki ima mero enako 0. Pomembno je povedati, da so klasično le sistemi z nelinearnimi enačbami gibanja lahko ergodični. Ali so torej kvantni sistemi sploh lahko ergodični, saj je Schrödingerjeva enačba linearna?

3.2. Kvantna ergodičnost Zamislimo si sedaj večdelčni kvantni sistem, ki ga opišemo s hamiltonianom . Lastno stanje , z

energijo ozančimo s| ⟩. Na začetku naj bo sistem v stanju | ⟩, ki ga lahko razvijemo po lastnih stanjih

| ⟩ ∑

| ⟩ (7)

Časovni razvoj začetnega stanja zapišemo kot

| ⟩ | ∑

| ⟩ (8)

V kvantni mehaniki so opazljivke hermitski operatorji in sami niso merljive količine, zato moramo obravnavati njihove kvantnomehanske pričakovane vrednosti. Časovni razvoj pričakovane vrednosti operatorja zapišemo kot

⟨ ⟩ ⟨ | | ⟩ ∑

( ) (9)

kjer je ⟨ | | ⟩. Od tod sedaj lahko izračunamo časovno povprečje pričakovane vrednosti

po definiciji (4)

⟨ ⟩

∫ ∑

( )

(10)

Kadar sta energiji in različni, je povprečje zaradi oscilirajočih eksponentnih funkcij enako nič.

Ostanejo le členi pri katerih sta energiji enaki. Ob predpostavki, da sistem ni degeneriran dobimo

⟨ ⟩ ∑| |

(11)

Rečemo lahko, da izjava (11) ustreza napovedi diagonalnega ansambla[1]. Desno stran enačbe (6) kvantno izračunamo kot

⟨ ⟩ [ ] (12)

kjer je gostotni operator ustreznega termalnega stanja. Kvantni sistem se bo torej obnašal ergodično, kadar bo veljalo, da je pričakovana vrednost lokalne

opazljivke izračunana iz diagonalnega ansambla enaka pričakovani vrednosti izračunani iz termalnega stanja, ki ustreza našem problemu.

∑| |

[ ] (13)

5

4. Termalizacija

4.1. Termalna stanja Termalizacija je proces po katerem sistem zasede termodinamsko ravnovesno stanje, ki ga

imenujemo tudi termalno. Pri obravnavi generičnih sistemov z velikim številom delcev, sistemov v termodinamski limiti, pogosto predpostavimo, da so ergodični, saj nam to močno olajša obravnavo. Časovna povprečja opazljivk lahko izračunamo preko pričakovanih vrednosti v ustreznem termalnem stanju, namesto da bi jih računali preko dinamike. V popolnoma izoliranem sistemu je termalno stanje enolično določeno z energijo sistema in njeno disperzijo . Energija se enakomerno

porazdeli med vsa stanja z energijo v intervalu [

]. Gostoto stanj opisujemo z

mikrokanoničnim ansamblom [5]

Z smo označili število stanj na intervalu, ki da ustrezno normalizacijo.

Obravnavamo lahko tudi zaprte sisteme, ki so sklopljeni s toplotnim rezervoarjem pri temperaturi . V tem primeru termalno stanje opisuje kanonična porazdelitev, imenovana tudi Gibbsov ansambel, ki jo kvantno opišemo z gostotnim operatorjem [6]

(15)

s označujemo Boltzmannovo konstanto, pa je particijska funkcija

[ ] (16)

Lahko pa si zamislimo tudi sisteme, ki niso ergodični ampak integrabilni. V takšnih sistemih je

dinamika močno omejena z integrali gibanja in ne termalizirajo v običajna mikrokanonična ali pa kanonična stanja.

4.2. Termalizacija izoliranega neintegrabilnega kvantnega sistema Ogledali si bomo rezultate numeričnega eksperimenta povzete po [1]. Termalizacijo zaprtih

kvantnih sistemov bi radi opazovali s pomočjo naslednjega postopka. Pripravimo sistem, ki naj bo v osnovnem stanju nekega hamiltoniana in ima energijo . Hamiltonian spremenimo, sistem ni več v lastnem stanju, kar sproži termalizacijo. V angleški literaturi se tak postopek imenuje quantum quench. Obravnavajmo popolnoma izoliran kvantni sistem. Pričakujemo, da bo termaliziral v mikrokanonično stanje. V primeru, da se sistem obnaša ergodično mora po enačbi (13) veljati

∑| |

[ ]

∑

| |

(17)

{

[

]

(14)

6

V zgornji enačbi je pričakovana vrednost energije začetnega stanja. Opazimo lahko, da je leva stran enačbe preko koeficientov odvisna od začetnega stanja, desna stran pa je odvisna le od skupne energije, ki je lahko enaka za različne začetne pogoje. Izvor enačbe (17) bi lahko pojasnili na tri alternativne načine:

i. Matrični elementi se lahko močno razlikujejo med različnimi lastnimi stanji, ki imajo le malo različne energije. Tudi koeficienti | |

bi lahko bili zelo različni za različna lastna stanja, vendar se za fizikalno smiselna začetna stanja zgodi, da ti dve količini nista korelirani. V začetnem stanju so zato vsi matrični elementi enako zastopani.

ii. Koeficienti | | se za fizikalno smiselna začetna stanja le malo razlikujejo med različnimi

lastnimi stanji, ki imajo približno enako energijo. iii. Matrični elementi se le malo razlikujejo med lastnimi stanji, ki imajo le malo različne

energije.

Možnost iii. imenujemo Hipoteza o termalizaciji lastnih stanj, v angleški literaturi Eigenstate thermalisation hypothesis (ETH). Neodvisno sta jo predlagala J. M. Deutsch[7] in M. Srednicki[8]. Natančneje jo formuliramo tako: Pričakovana vrednost lokalne opazljivke ⟨ | | ⟩ v lastnem stanju Hamiltoniana z energijo je v velikih sistemih medsebojno intergirajočih delcev enaka termalnem povprečju pri tej energiji. V našem primeru

⟨ | | ⟩ ⟨ ⟩ (18)

Hipotezo so preizkušali z naslednjim numeričnim eksperimentom. Obravnavali so sistem petih

bozonov s trdimi jedri in dodatnim šibkim odbojem med bližnjimi sosedi na dvodimenzionalni mreži z 21 mesti. Hamiltonko sistema lahko zapišemo kot

∑(

)⟨ ⟩

∑

⟨ ⟩

(19)

Z ⟨ ⟩ označujemo seštevanje po parih najbližjih sosedov, je parameter skoka z enega mesta mreže na sosednje mesto, je parameter odboja med najbližji sosedi, ki je bil vedno nastavljen na .

Kreacijski in anihilacijski operatorji med seboj komutirajo za različna mesta [

] [ ]

[

] , kot je za bozone običajno. Za isto mesto, zaradi pogoja trdih jeder, namesto običajnih

bozonskih komutacijskih relacij veljajo relacije { } in

, s katerimi ponavadi

obravnavamo fermione. Operator opisuje zasedenost mesta , zavzame lahko le vrednosti

0 ali 1. Na začetku je sistem omejen na spodnji desni del mreže, obarvan modro na sliki 1a. Začetno

stanje je osnovno stanje petih bozonov na tem delu mreže. Dinamika je sprožena ko se odpre člen, označen z vrati, ki ločuje oba dela sistema, in bozoni se lahko razširijo po celotni mreži. Opazovani

količini sta bili marginalna porazdelitev gibalne količine v horizontalni smeri ∑ ( )

in njena centralna komponenta . Ti dve količini je mogoče meriti tudi v resničnih eksperimentih z ultrahladnimi plini. Celotna dvodimenzionalna porazdelitev gibalne količine je bila izračunana kot

7

( )

∑

( )

⟨ ⟩ (20)

kjer je dolžina mreže, položaj pa je ( ), je mrežna konstanta. Vidimo

lahko, da je povezana z gibanjem bozonov z enega na drugo mesto rešetke. Za izračun dinamike do strojne natačnosti je bila potrebna diagonalizacija Hamiltoniana dimenzije 20349. Rezultati numeričnega eksperimenta so prikazani na slikah 1 in2. Iz grafov 1b in 1c lahko vidimio, da izbrani količini res relaksirata proti vrednosti, ki jo napove mikrokanonični ansambel. Rezultata mikrokanoničnega in diagonanega ansambla sta med seboj nerazločljiva, kanonični ansambel pa da podoben a nekoliko drugačen rezultat.

Grafi na sliki 2 potrjujejo, da ETH res lahko razloži termalizacijo izbranega sistema. Na grafu 2a je prikazano, da se napovedi za dve različni lastni stanji, katerih energija se le malo razlikuje, ujemata. Ujemata se tudi z napovedjo mikrokanoničnega ansambla. Zgornji del grafa 2b prikazuje odvisnost od energije lastnega stanja. Vidimo, da je ta podobna gadki krivulji. Iz grafa 2c je razvidno,

da so razlike v koeficientih | | za različna lastna stanja velike zato lahko možnost ii izključimo. Prav

tako lahko iz grafa 2c vidimo, da se za različna lastna stanja, z malo različnimi energijami vrednosti le malo razlikujejo. Za dodatno potrditev so avtorji članka preizkusili ETH še na eni opazljivki in sicer zasedbenem številu centralnega mesta mreže. Tudi tu so ugotovili, da ETH dobro opiše termalizacijo. Termalno stanje je po ETH torej določeno že z lastnimi stanji opazovanega sistema, sama dinamika igra sekundarno vlogo. Zanimiva posledica ETH je tudi, da je, po enačbi (18),

Slika 1 a, Mreža na kateri poteka numerični eksperiment. b, Relaksacija centralne komponente marginalne porazdelitve gibalne količine. c, Primerjava končnih marginalnih porazdelitev gibalne količine po relaksaciji z izračunanimi preko različnih ansamblov. Slika je vzeta iz[1].

8

za izračun termalnih povprečji opazljivk potrebno poznavanje le enega lastnega stanja sistema blizu izbrane energije.

Naredili pa so tudi primerjavo z integrabilnim sistemom. Izbrali so zaprt sitem petih bozonov s trdimi jedri v eni dimenziji. Na začetku so bozoni pripravljeni v osnovnem stanju na verigi z osmimi mesti. Verigo potem na eni strani povežejo z verigo s trinajstimi praznimi mesti, kar sproži relaksacijo. Ugotovitve so prikazane na slikah 2d, 2e, 2f. Opazimo lahko, da ETH ne more razložiti

relaksacije tega sistema. Na grafu 2d vidimo, da se napovedi za dve različni lastni stanji, s podobno energijo precej razlikujeta. Razlikujeta se tudi od napovedi mikrokanoničnega in diagonalnega ansambla. Na zgornjem delu grafa 2e vidimo, da odvisnost ni podobna gladki kriviulji. Vrednosti so lahko za različna lastna stanja precej različne, kar vidimo na grafu 2f. Vrednosti so tudi korelirane s koeficienti | |

.

Slika 2 a, Primerjava marginalnih porazdelitev momenta za dve lastni stanji s približno enakima energjama in izračunano z mikrokanoničnim ansamblom. b, Zgornji del: pričakovane vrednosti 𝒏 𝒌𝒙 𝟎 v lastnih stanjih v odvisnosti od energije lastnega stanja. Spodnji del: obravnavani statistični ansambli. c, vrednosti |𝑪𝜶|

𝟐 označeni zeleno in pričakovane vrednosti 𝒏 𝒌𝒙 𝟎 v lastnih stanjih in izračunane preko mikrokanoničnega ansambla za 20 lastnih stanj okoli 𝑬𝟎. d,e,f enaki grafi za integrabilen sistem. Slika je vzeta iz[1].

9

4.3. Termalizacija integrabilnih kvantnih sistemov Kot primer integrabilnega sistema bomo obravnavli Isingov model na enodimenzionalni spinski

verigi katerega hamiltonian zapišemo kot

∑

(21)

Z smo označili spinske operatorje, pa je jakost zunanjega polja v pravokotni smeri [4]. Želimo

pokazati, da je sistem res integrabilen in da se lokalna transverzalna magnetizacija ∑

ne obnaša ergodično. To bomo naredili s pomočjo Jordan-Wignerjeve transformacije, pri kateri spinske operatorje nadomestimo s fermionskimi kreacijskimi in anihilacijskimi operatorji

∏ (

)

(22)

Fermionske operatorje nato preko ustrezne fourierove transformacije transformiramo v impulzni

prostor, nove operatorje označimo z , kjer je ⁄ impulz pripadajoč operatorju .

Hamiltonian se prepiše v obliko[4]

∑ (

) (

)

(23)

Transverzalna magnetizacija pa v obliko[4]

∑(

)

(24)

Hamiltonian lahko diagonaliziramo preko Bogoljubove transformacije

(25)

Zopet smo uvedli nove fermionske operatorje , impulzi so enaki kot prej . Za kot dobimo pogoj[4]

(26)

Hamiltonian ima v novih fermionskih operatorjih diagonalno obliko

∑

(27)

Disperzijska zveza ima obliko[4]

√ (28)

Časovni razvoj operatorjev lahko sedaj zapišemo na zelo enostaven način

10

(29)

Pričakovana vrednost ⟨ ⟩ bo torej ohranjena količina. Časovni razvoj transverzalne

magnetizacije lahko sedaj zapišemo kot[4]

∑ (

)

(

)

(30)

Zopet nas zanima časovno povprečje pričakovane vrednosti ⟨ ⟩ proti kateri bo sistem relaksiral. Izvendiagonalni členi z dvema kreacijskima ali anihilacijskima operatorjema se izpovprečijo v 0 in dobimo[4]

⟨ ⟩ ∑ (⟨ ⟩ ⟨

⟩)

(31)

Vidimo, da je vrednost ⟨ ⟩ enolično določena z naborom kvazidelčnih zasedbenih števil . Za različne začetne pogoje bo ravnovesna vrednost magnetizacije različna. To nas vodi do domneve, da bi lahko termalno stanje opisali s statističnim ansamblom, podobnem Gibbsovem, oblike[4]

∑

(32)

kjer so Lagrangevi multiplikatorji določeni s pogojem

⟨ | | ⟩ [

] (33)

Za opis splošnega sistema, v katerem je ohranjenih integralov gibanja je bil predlagan posplošeni Gibbsov ansambel oblike[4]

∑

(34)

Ni še točno znano kako izbrati primeren nabor integralov gibanja za poljuben integrabilen sistem. Ali so vsi integrali gibanja primerni za tak opis, ali mogoče le tisti, ki so približno prostorsko aditivne količine, ki bi dale analogijo z izpeljavo klasičnega gibbsovega ansambla?

11

5. Eksperiment Za eksperimentalno preučevanje termalizacije zaprtih kvantnih sistemov so posebej pripravni

eksperimenti z ultrahladnimi kvantnimi plini. Takšni sistemi morajo biti zelo dobro izolirani od okolice in so zato dober približek popolnoma zaprtega sistema. Zaradi nizkih temperatur in razredčenosti kvantnih plinov so časovne skale dinamike tipično zelo dolge, reda velikosti milisekund. Predstavili bomo eksperiment z 1D bozonskim plinom, s kontaktno interakcijo, ki je integrabilen sistem, v okviru

realističnega približka. Eksperiment so izvedli Kinoshita et al. 2006 [9]. Plin ultrahladnih atomov so ujeli v optične pasti v obliki cevi razporejene v 2D mrežo. V vsaki izmed cevi je bilo ujetih 40 do 250

atomov. Pasti so bile dovolj močne, da je bilo tuneliranje med cevmi zanemarljivo. Z optičnimi pulzi so nato atome postavili v superpozicijo stanj z gibalno količino . Pasti so potem po različnih časovnih intervalih sprostili in porazdelitev gibalne količine atomov določili z absorpcijskim slikanjem slika 3.

Ugotovili so, da sistem tudi po tisočih trkih ni termaliziral proti Gausovi porazdelitvi momentov, ki bi jo dobili če bi v 2D mrežo optičnih pasti adiabatno ujeli ravnovesno stanje 3D bozonskega plina. Neidealnost optičnih pasti in druge motnje torej niso bile dovolj močne, da bi porušile integrabilnost sistema.

Slika 3: Normalizirane absorpcijske slike, z merjenjem časovnega preleta, 1D bozonskega bozonskega plina. Plin najprej ujamejo v 2D mrežo optičnih pasti. Z optičnimi pulzi plin postavijo v superpozicijo stanj z gibalno količino 𝒑𝟎. Časovna odvisnost je pridobljena tako, da plin pustijo zaprt različne časovne intervale nakar ga izpustijo in slikajo. Iz teh slik je mogoče določiti porazdelitev gibalne količine. Slika je vzeta iz[9].

12

6. Zaključek Neravnovesna dinamika zaprtih kvantnih sistemov je še slabo raziskano področje. Spoznali smo,

da hipoteza o termalizaciji lastnih stanj lahko razložila termalizacijo generičnega neintegrabilnega kvantnega sistema. Hipoteza še ni splošno dokazana. V primeru veljavnosti ETH bi lahko s poznavanjem enega samega lastnega stanja blizu opazovane enregije izračunali vrednosti opazljivk v termalnem stanju. Lastna stanja po ETH torej že vseboujejo vso potrebno informacijo o termalnem stanju, dinamika sistema pa jo le razkrije[1]. Integrabilne kvantne sisteme opisujemo z generaliziranim Gibbsovim ansamblom. Tudi tu še ni povsem jasno kateri integrali gibanja pri termalizaciji igrajo vlogo, ali so primerni vsi ali le tisti, ki so približno prostorsko aditivne količine[4]. Nejasno je tudi še kako močna mora biti motnja, da postane integrabilen sistem neintegrabilen in ali je ta prehod zvezen ali nenaden[4].

Literatura [1] Rigol, M., V. Dunjko, in M. Olshanii, Thermalization and its mechanism for generic isolated quantum systems, Nature 452, 854-858 (2008). [2] V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. Springer (1997). ISBN 978-0-387-96890-2. [3] Brin, Michael; Garrett, Stuck, Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-80841-3. [4] Polkovnikov, A., Sengupta, K., Silva, A., in Vengalattore, M., Colloquium: Nonequilibrium dynamics of closed interacting quantum systems, Rev. Mod. Phys. Vol. 83, No. 3 (2011). [5] Wikipedija, Microcanonical ensemble, [ogled april 2014],dostopno na http://en.wikipedia.org/wiki/Microcanonical_ensemble [6] Wikipedija, Canonical ensemble, [ogled april 2014], dostopno na http://en.wikipedia.org/wiki/ Canonical_ensemble [7] Deutsch, J. M., Quantum statistical mechanics in a closed system, Phys. Rev. A 43, 2046–2049 (1991). [8] Srednicki, M., Chaos and quantum thermalization, Phys. Rev. E50, 888–901 (1994). [9] Kinoshita, T., Wenger, T. & Weiss, D. S. A quantum Newton’s cradle, Nature 440, 900–903 (2006).