Embed Size (px)
Citation preview
Budapest, 2009
EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM
TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR
Legrövidebb útkereső algoritmusok
A diplomamunkát készítette: Podobni Katalin
Matematika Bsc
Matematikai elemző szakirány
Témavezető: Nagy Adrienn
PhD hallgató
Eötvös Lóránd Tudományegyetem
Természettudományi kar
Operációkutatási tanszék
Tartalomjegyzék
1
Tartalomjegyzék
1 Bevezetés ............................................................................................................................... 2
2 Gráfelméleti fogalmak, jelölések ................................................................................... 3
2.1 Gráfok ábrázolási módjai ........................................................................................ 5
3 „Legrövidebb út?” Mit jelent ez? ................................................................................... 7
4 Az algoritmusok .................................................................................................................. 9
4.1 Egy kezdőpontból az összes többi pontba vezető legrövidebb út .......... 9
4.1.1 Szélességi keresés ............................................................................................. 9
4.1.2 A Dijkstra algoritmus .................................................................................... 12
4.1.3 A Bellman-Ford-algoritmus ........................................................................ 21
4.2 Két adott csúcs közötti legrövidebb út ........................................................... 26
4.3 Egy adott csúcsba érkező legrövidebb utak ................................................. 28
4.4 Legrövidebb utak minden csúcspárra ............................................................ 28
4.4.1 Floyd algoritmusa .......................................................................................... 28
4.4.2 Warshall algoritmusa .................................................................................... 32
4.4.3 Johnson algoritmusa ..................................................................................... 34
5 A matematikában kevésbé ismert módszerek ..................................................... 38
5.1 Informált keresési stratégiák ............................................................................. 38
5.1.1 A mohó legjobbat-először keresés ........................................................... 38
5.1.2 Az A* algoritmus ............................................................................................. 40
6 Összefoglalás ..................................................................................................................... 43
7 Irodalomjegyzék............................................................................................................... 44
8 Köszönetnyilvánítás ....................................................................................................... 45
1. Bevezetés
2
1 Bevezetés
A gráfok rendkívül gyakran használt struktúrák és a gráfokkal foglalkozó
algoritmusok alapvető szerepet játszanak a számítástudományban. Számos
érdekes probléma fogalmazható meg gráfok segítségével. Ezek közül talán az egyik
legjelentősebb a legrövidebb utak problémája. A legkézenfekvőbb példa: hogyan
jutunk el a leggyorsabban A városból a B városba? De számos más kérdés is
megoldható vele, mint például az ütemezéselmélet témakörébe tartozó
max| 2 |J n C probléma, vagy az informatikában a mesterséges intelligencia
területén előforduló nehézségek.
A probléma sokszínűsége miatt megoldására számos algoritmus született. A
szakdolgozat legfőbb célja, hogy bemutassa ezen eljárások legnépszerűbbjeit,
rámutatva előnyeikre, hátrányaikra valamint a közöttük lévő különbségekre,
hasonlóságokra. A dolgozat végén bemutatjuk a már fent említett mesterséges
intelligencia területén használt két alapvető módszert is, amelyek a matematikai
algoritmusokhoz képest már jelentősebb változtatásokat mutatnak.
Elsőként alapvető, a szakdolgozat megértéséhez elengedhetetlen
gráfelméletbeli fogalmakról esik szó, utána pedig magát a problémát definiáljuk.
Ezek után következik az algoritmusok részletes elemzése, melyeket aszerint
csoportosítunk, hogy a probléma mely altípusát oldják meg. Természetesen sok
példa és ábra is segíti érthetőbbé tenni a témát, illetve hangsúlyozni annak
fontosságát.
Ezen kívül, a túlzott matematikai („száraz”) jelleg elkerülése végett a
dolgozatban helyet kap a történelmi háttér, valamint az algoritmusok
szülőatyjainak főbb életmozzanatai, egyéb szerepük a matematikában. Néhány
helyen az algoritmus létrehozóitól vett idézetekkel díszítjük a leírásokat, hogy
megismerhessük az ő véleményüket is.
2. Gráfelméleti fogalmak, jelölések
3
2 Gráfelméleti fogalmak, jelölések
Ebben a fejezetben foglaljuk össze azokat a jelöléseket és fogalmakat,
amelyekre elengedhetetlenül szükségünk van a téma kifejtéséhez, és amelyeket a
szakdolgozatban használni fogunk.
Definíció (gráf): Egy G gráf két halmazból áll: a csúcsok vagy pontok V
halmazából, mely egy véges, nem üres halmaz; és az élek E halmazából, melynek elemei
bizonyos V-beli párok.
Jelölések:
- 𝑯 : egy H halmaz elemszámát jelöli. Az egyszerűség kedvéért legyen most 𝑛 az
adott gráf csúcshalmazának száma.
- 𝒆 − 𝑣𝑒𝑙 az élhalmazának elemszámát jelöljük.
Tehát 𝐺 = (𝑉, 𝐸) gráf esetében 𝑛 = 𝑉 és 𝑒 = 𝐸 .
Egy gráf nagyon sok probléma szemléltetésére szolgálhat, a legegyszerűbb
például az úthálózat, telefonhálózat, de akár terület-felosztási illetve házassági
problémát is ábrázolhatunk vele.
A gráfokat többféle szempontból is szokás csoportosítani. A legjelentősebb
szempont az irányítottság.
Definíció (irányított gráf): Az irányított gráfban minden él irányított (másképp
fogalmazva a csúcsok rendezettek). Az irányítást nyilak segítségével jelöljük. Az (𝑢, 𝑣)
irányított él jelölésére használni fogjuk a 𝑢 → 𝑣 változatot is.
1. ábra: Irányított gráf
2. Gráfelméleti fogalmak, jelölések
4
Amennyiben nincs irányításunk, vagy ha minden él oda és vissza is irányítva
van, akkor irányítatlan gráfról beszélünk. Ekkor nem teszünk különbséget az (𝑢, 𝑣)
és a (𝑣, 𝑢) élpár között.
2. ábra: Irányítatlan gráf
Mint ahogy már fentebb utaltunk rá, az objektumok (csúcsok) közötti
kapcsolat sokszor jelentheti út létezését vagy kommunikáció lehetőségét. Ilyenkor
gyakran költségek vagy súlyok tartoznak az élekhez, amelyek az út esetében időt
vagy akár pénzt is jelenthetnek (gondoljunk csak az autópályákra, amelyek
használatáért fizetni kell). Ezt a kapcsolatot egy valós értékű függvénnyel fogjuk
leírni, melynek értelmezési tartománya a gráf élhalmaza, az érték készlete pedig a
valós számok halmaza és 𝑘-val, a költség szó kezdőbetűjével jelöljük, tehát
𝑘: 𝐸 → ℝ. A súlyokat az élekre szokás írni.
3. ábra: Súlyozott gráf
Definíció (út): Egy út – akár irányított, akár irányítatlan gráfban – csúcsok olyan
𝑣1, … , 𝑣𝑘 sorozata (lehet egyelemű is), melyben minden (𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1) é𝑙𝑒 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 − 1) a
gráfnak. Irányított gráfoknál az 𝑢-ból 𝑣-be menő útra 𝑢 ↝ 𝑣 jelöléssel is fogunk utalni.
Definíció (út hossza): Legyen adott egy 𝐺 = (𝑉, 𝐸) irányított vagy irányítatlan gráf
a 𝑘(𝑓), 𝑓 ∈ 𝐸 élsúlyokkal. A G gráf egy 𝑢-ból 𝑣-be menő útjának hossza az úton
szereplő élek súlyának összege.
2. Gráfelméleti fogalmak, jelölések
5
2.1 Gráfok ábrázolási módjai
Két módszert szokás alkalmazni egy 𝐺 = (𝑉, 𝐸) gráf ábrázolására. Az első az
éllistás ábrázolási mód.
Definíció (éllista): A gráf minden csúcsához egy lista tartozik. Az i V csúcs
listájában tároljuk az i -ből kimenő éleket, és (amennyiben vannak) a súlyukat is. A
listák összességét egy tömbben tároljuk.
Legyen a tömb neve Szomszéd . Vagyis Szomszéd [ i ] elemei az i csúcs G-beli
szomszédjai. Ha G irányított, akkor a szomszédsági listák hosszainak összege | E |,
hiszen egy ( , )i v élt úgy ábrázolunk, hogy v -t felvesszük a Szomszéd [ i ] listába. Ha
G irányítatlan, akkor az összeg 2 | E | mert ( , )i v irányítatlan él ábrázolása során i -t
beletesszük a Szomszéd [ v ]-be, míg v -t a Szomszéd [ i ]-be. Akár irányított, akár
irányítatlan a gráfunk, a szomszédsági listás ábrázoláshoz szükséges tárterület
mérete (max( , )) ( )O V E O V E .
Az éllistás ábrázolás legjobban a ritka gráfok esetében alkalmazható.
Definíció (ritka gráf): Egy gráfot ritkának nevezünk, ha | E | sokkal kisebb, mint
|V |2.
(Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, 2001)
4. ábra: Súlyozott irányítatlan gráf és a hozzá tartozó éllisták
2. Gráfelméleti fogalmak, jelölések
6
5. ábra: Irányított gráf és a hozzátartozó éllisták
A második módszer, a szomszédsági (adjacencia)-mátrix.
Definíció (szomszédsági mátrix): A 𝐺 = (𝑉, 𝐸) gráf szomszédsági-mátrixa a
következő - a V elemivel indexelt – n n -es mátrix:
,A i j 0
1 ( , )
( , ) .
i j E
i j E
Irányítatlan gráfok esetén a szomszédsági mátrix szimmetrikus lesz (azaz
, ,A i j A j i teljesül minden ,i j csúcspárra). Ha az élekhez még költségeket is
nyilván kell tartani, akkor egy olyan K mátrixot szokás használni, amelyben
K i j , 0 , ha i j , K i j k i j , ( , ) , ha i j és ( , )i j éle G-nek, K i j , egyéb
esetben. Tulajdonképpen a jelzi egy él nemlétét.
Ezek alapján a fentebb látható 4. ábra adjacencia-mátrixai:
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
0 0 1 0 0
A
0 3 10 6 *
3 0 * * *
10 * 0 5 12
6 * 5 0 *
* * 12 * 0
K
Az éllisták együttesen aszimptotikusan kevesebb tárterületet igényelnek, mint
a csúcsmátrix, azonban a használat során a hatékonyságban ugyanennyivel
elmaradnak attól, így ha a gráf nem túl nagy, szerencsésebb szomszédsági
mátrixszal ábrázolni. Ha a gráf nem súlyozott, akkor az adjacencia mátrixos leírás
tovább javítható. Ebben az esetben a mátrix elemei lehetnek bitek, így jelentősen
csökkenthető a szükséges tárterület mérete.
3. „Legrövidebb út?” Mit jelent ez?
7
3 „Legrövidebb út?” Mit jelent ez?
Definíció (legrövidebb út): Legrövidebb út alatt a gráfelméletben egy minimális
hosszúságú utat értünk egy gráf két különböző 𝑢 és 𝑣 csúcsa között. Amennyiben a
gráfunk éleihez nem tartoznak súlyok, akkor ez egyet jelent egy olyan úttal 𝑢 és 𝑣 csúcs
között, amelyben a legkevesebb él szerepel. Ha vannak súlyok a gráf élein, akkor pedig
olyan útról beszélünk, amelynek élein szereplő súlyok összege minimális. Vagyis ha
adott egy 𝐺 = (𝑉, 𝐸) gráf a 𝑘(𝑓), 𝑓 ∈ 𝐸 élsúlyokkal, akkor f P
d u v min k f
( , ) ( )
ahol P út 𝑢 és 𝑣 között.
Egyes könyvekben ez a definíciója az u és v csúcsok közötti távolságnak,
illetve a legrövidebb út súlyának, ha u v , ha u v akkor ez a távolság, illetve súly
0, ha nincs út u és v között, akkor ∞.
Az alábbi változatokra osztható a probléma (és a továbbiakban ez alapján
csoportosítjuk az algoritmusokat):
1. Legrövidebb út egy kiinduló pont és az összes többi pont között: meg
szeretnénk találni az összes v V csúcshoz egy adott s V kezdőcsúcsból
odavezető legrövidebb utat.
2. Legrövidebb út két különböző csúcs között: keressük egy adott u csúcsból
egy adott v csúcsba vezető egyik legrövidebb utat.
3. Legrövidebb út egy végpont és az összes többi pont között (ez az 1.
megfordítása).
4. Legrövidebb út az összes csúcspár között: keressük az összes u és v
csúcspárra egy u -ból a v csúcsba vezető legrövidebb utat.
Természetesen akadhat olyan legrövidebb út probléma, amelyben
előfordulnak negatív élek.
Definíció (negatív kör): A 𝐺 = (𝑉, 𝐸) irányított gráf olyan köre, amelyben az élek
súlyának összege negatív.
Amennyiben nincs a gráfban negatív kör bármelyik v V csúcs esetén a
legrövidebb út súlya jóldefiniált marad. Ha vannak u -ból elérhető negatív körök,
3. „Legrövidebb út?” Mit jelent ez?
8
akkor viszont a legrövidebb út súlya definiálatlan lesz, ugyanis ilyen esetben
mindig van kisebb súlyú rövidebb út, ha a feltételezett legrövidebbhez
hozzávesszük a negatív kör egy bejárását. Ilyen esetekben ezt a távolságot -nek
definiáljuk. (Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, 2001)
4. Az algoritmusok
9
4 Az algoritmusok
4.1 Egy kezdőpontból az összes többi pontba vezető legrövidebb
út
4.1.1 Szélességi keresés
A szélességi keresés az egyik legegyszerűbb gráfbejáró algoritmus, ezen alapul
sok fontos gráf algoritmus, többek között Dijkstra algoritmusa is. Ez az eljárás az
egységnyi súlyokkal ellátott gráf esetén keresi meg az u V kezdőpontból az
összes többi pontba vezető legrövidebb utakat (ebben az esetben a legrövidebb út
alatt a legkevesebb élből álló utat értjük) úgy, hogy G éleit szisztematikusan
megvizsgálja és kiszámítja az elérhető csúcsok távolságát (legkevesebb él) u -tól.
Elnevezése onnan ered, hogy az algoritmus az u -tól k távolságra lévő csúcsokat
még azelőtt eléri, mielőtt egy 1k távolságra levőt elérne, szemléletesen: egy
egyre szélesedő körben vizsgálódik.
A továbbiakban feltesszük, hogy a 𝐺 = (𝑉, 𝐸) gráfot éllistásan ábrázoljuk.
Egyszerű szavakkal megfogalmazva az eljárás a következő: meglátogatjuk az első
csúcsot, majd ennek a csúcsnak az összes szomszédját. Azután ezen szomszédok
összes olyan szomszédját, ahol még nem jártunk, és így tovább. A legjobb ismert
módszer ennek megszervezésére egy sort alkalmaz. Először beletesszük a
kezdőcsúcsot, majd „meglátogatottsági sorrend szerint” annak az összes
szomszédját, majd a kezdőcsúcs elsőként meglátogatott szomszédjának összes
szomszédját, majd a kezdőcsúcs másodikként meglátogatott szomszédjának összes
szomszédját és így tovább.
Definíció (sor): A sor adatszerkezet alapja egy elemekből álló kettős láncolt lista.
Két alapművelet van: sorba ( , )v Q a v elemet a Q sor végére illeszti; első ( , )v Q pedig
visszaadja és kitörli Q -ból annak első elemét. A sort szokás még FIFO-listának (first in,
first out) is nevezni.
A módszer általános lépéseinek lényege, hogy vesszük a sor elején levő u
csúcsot. Ezt töröljük a sorból, meglátogatjuk azokat a v szomszédjait, amelyeket
4. Az algoritmusok
10
eddig még nem láttunk, majd ezeket a v csúcsokat a sor végére tesszük. Jelentse
D v a v csúcsnak az u -tól való távolságát.
BEJÁR ( , )G u eljárás
1. procedure bejár
2. begin
3. for 1s to n do
4. bejárva s :=HAMIS
5. for :s 1 to n do
6. if bejárva s =HAMIS then
7. szb ( )s
8. end
9. procedure szb ( )s
10. var
11. Q:csúcsokból álló sor
12. ,u v :csúcsok
13. begin
14. bejárva s :=IGAZ
15. sorba ( , )s Q
16. while Q nem üres do
17. begin
18. u :=első ( )Q
19. for minden u v E élre do
20. if bejárva v =hamis then
21. begin
22. bejárva v :=IGAZ
23. sorba ( , )v Q
24. 1D v D u
25. end 26. end 27. end
A bejárás során felépíthetjük a gráf egy szélességi feszítő erdejét. E fákban
osztályozhatjuk az éleket:
Definíció (éltípusok): Tekintsük a G irányított gráf egy szélességi bejárásaként
kapott T szélességi erdőt, G egy u v éle:
faél, ha u v éle T -nek,
előreél, ha u v nem faél, v leszármazottja u -nak T -ben, ésu v ;
visszaél, ha u leszármazottja v -nek T -ben,
4. Az algoritmusok
11
keresztél, ha u és v nem leszármazottai egymásnak.
Az alábbi 6. ábra szemlélteti az éltípusokat:
6. ábra: e-előreél, f-faél, k-keresztél, v-visszaél
A szélességi bejárás költsége ( )O n e , mert minden csúcsot pontosan egyszer
teszünk be a sorba, és minden irányított élet egyszer vizsgálunk meg (amikor a
kezdőpontja kikerül a sorból). A szélességi bejárás segítségével a ( , )d u v
távolságok lineáris időben meghatározhatók, ugyanis a következők teljesülnek:
Tétel:
Legyen 1 2, ,..., nu x x x a csúcsoknak a szélességi bejárás szerinti sorrendje. Ekkor
1. 1 2 ... nD x D x D x
2. Ha u v éle G-nek, akkor 1D v D u .
3. ( , )D v d u v teljesül minden v V csúcsra.
Bizonyítás:
1. Könnyen látható, hogy a csúcsok az 1 2, ,..., nu x x x sorrendben kerülnek bele a
Q sorba, tehát így is kerülnek ki. Tehát ha egy ix u csúcs előbb van mint 1ix ,
akkor x szülője is megelőzi 1ix szülőjét a sorban, ebből könnyen látszik, hogy
1 ,..., nD x D x számsorozat nem csökkenő. Indukció alapján ez könnyen
belátható a gyökérre és a fiaira, később pedig ( ) 1i iD x D szülő x és
4. Az algoritmusok
12
1 1( ) 1i iD x D szülő x , ha az apák különbözők, akkor
1 1( ) ( ) .i i i iD szülő x D szülő x D x D x Amennyiben a szülők
megegyeznek, akkor 1 .i iD x D x
2. Vizsgáljuk meg, mi történik, ha v kikerül a Q sorból, és tekintsük ( , )u v élet. Ha
bejárva u = hamis , akkor u szülője v , tehát 1D u D v . Ha u -t már
korábban láttuk, akkor nyilván u szülője előbb van a sorban, mint v , vagyis az
előző alapján: ( )D szülő u D v . Ebből pedig világosan látszik a bizonyítani
kívánt egyenlőtlenség, csak mindkét oldalhoz egyet kell hozzáadni.
3. Nyilvánvaló, hogy ( , )D v d u v érvényes minden v V csúcsra, elég tehát a
fordított egyenlőtlenséget igazolni. Legyen 0 1, ,..., ku y y y v egy minimális
hosszúságú G-beli irányított s -ből v -be vezető út. Ennek éleire sorra
alkalmazzuk a tétel előzőleg már bebizonyított 2. állítását és láthatjuk, hogy ez
az állítás is helyénvaló. ∎
4.1.2 A Dijkstra algoritmus
Dijkstra algoritmusa egy adott kezdőcsúcsból az összes többi csúcsba vezető
legrövidebb utak problémáját egy súlyozott, irányított 𝐺 = (𝑉, 𝐸) gráfban, abban
az esetben oldja meg, ha a nincsenek negatív súlyok az éleken, vagyis ha minden
u v élre ( , )k u v ≥0 teljesül.
Az algoritmust Edsger Wybe Dijkstra, holland matematikus és informatikus
alkotta meg 1956-ban.
4.1.2.1 Edsger Wybe Dijkstra
7. ábra: Edsger Wybe Dijkstra
4. Az algoritmusok
13
Edsger Wybe Dijkstra 1930-ban született a hollandiai Rotterdamban. Szülei
elismerten jó végzettségű értelmiségiek voltak, édesapja kémikus, édesanyja
matematikus volt. 1942-ben, 12 éves korában bekerült egy igen magas színvonalú
gimnáziumba, az Erasminium Gimnáziumba, ahova kivételes tehetségek jártak.
Dijkstra sok különböző tárgyat tanult, mint például: görög, latin, francia, német és
angol nyelv, valamint biológia, matematika és kémia.
1945-ben még jogi pályára készült, hogy utána képviselőként dolgozzon.
Azonban abból kifolyólag, hogy kémiából, biológiából és matematikából jó
eredményei voltak, úgy döntött, hogy a leideni egyetemen folytatja tanulmányait és
elméleti pszichológiát hallgat. 1951 nyarán a cambridge-i egyetemen ismerkedett
meg először a programozással. 1952 márciusától részmunkaidőben dolgozott egy
amsterdami matematikai központnál, ekkor kezdte el igazán érdekelni az
informatika. Amilyen gyorsan csak lehetett befejezte a pszichológiai tanulmányait
és elkezdett hódolni ennek az új szenvedélyének.
Miután 1957-ben megházasodott, folytatta munkáját a matematikai
központban, miközben az 1970-es évek elején az egyesült államokbeli Borroughs
Corporation kutatási tagja is volt. 1972-ben megkapta az ACM Turing Díjat, 1974-
ben az AFIPS Harry Good Memorial Díjat. Az 1980-as évek elején a texasi Austinba
költözött, majd 1984-ben állást is kapott az Informatikai Tudományok Egyetemén,
ahol 69 éves koráig dolgozott. 1999-ben lett professor emeritus. Rákban halt meg
nueneni otthonában 2002. augusztus 6-án.
Főbb publikációi:
- Go To Statement Considered Harmful Communications of the ACM (1968),
- A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathematik
(1959)
- Structured Programming, melyet O.-J. Dahl-el és C. A. R. Hoare-val írt 1972-
ben.
Néhány cikke:
- „The Humble Programmer” (1972. augusztus)
- „How do we tell truths that might hurt?”(1982. május)
(Wikipedia, 2007)
A másodikként említett publikációja alapján, hogyan is gondolkodott ő a gráfok
problémáiról:
4. Az algoritmusok
14
„Összefüggő gráfok két problémája”
„Tekintsünk n darab pontot, melyek közül néhányat vagy mindegyiket él köt össze, az élek hossza
adott. Tegyük fel, hogy legalább egy él létezik valamely két pont között.
Nézzük az alábbi két problémát:
Első probléma: Készítsük el az n csúcs minimális költségű fáját. (Azt a fát, amelyben minden csúcs
között egy és csakis egy út vezet.)
Az algoritmus első lépéseként három csoportra osztjuk az éleket.
I. Az eljárás során már elfogadott élek.
II. A következő lépésben az I. csoportba választandó élek halmaza.
III. A kimaradó élek (vagy már elutasítottuk őket, vagy még nem vizsgáltuk meg).
A csúcsokat két csoportba sorolhatjuk.
A: Azon élek végpontjai, amelyek az I. csoportban vannak.
B: A kimaradó csúcsok (egy és csakis egy II. csoportbeli él vezet minden ilyen kimaradó csúcshoz).
Kezdjük az eljárást egy tetszőleges A csoportbeli csúccsal, majd válasszuk ki azokat a II. csoportbeli
éleket, amelyeknek egyik végpontja az A csúcs. Kezdetben az I. csoport üres. Ezek után ismételjük az
alábbi két lépést:
1. lépés: A II. csoport legrövidebb élét tegyük I-be és az eddig a B csoportban lévő végpontját tegyük A-
ba.
2. lépés: Tekintsük azokat az éleket, amelyek az éppen előbb az A csoportba helyezett csúcsból
indulnak és egy B csoportbeli csúcsba érkeznek. Ha ezen élek közül valamelyik hosszabb, mint a
neki megfelelő II. csoportbeli él, akkor elutasítjuk; amennyiben rövidebb annál, akkor kicseréljük őket
és ezt az élt tesszük a II. csoportba, és a másikat vetjük el.
Ezután visszatérünk az 1. lépéshez és a két lépést addig ismételgetjük, amíg a B és a II. csoport üres
nem lesz. Végül az I. csoportban lévő élek megadják a keresett fát.
Ez a megoldás használhatóbb, mint a Kruskal-, a H.Loberman- vagy a A.Weinberger-féle módszer.
Az ő megoldásukban az összes élek elsősorban a hosszúság szerint vannak osztályozva. Még akkor is, ha
az a csúcsok koordinátáiból kiszámolható, az eljárásukban az összes él egyidejű tárolása szükséges. A
fenti eljárás során legfeljebb csak n darab él adatát kell tárolni, ugyanis a 2. lépés során csak az I. és a II.
csoportbeli éleket vizsgáljuk.
(…)”
(E.W.Dijkstra, 1959)
4.1.2.2 Dijksta algoritmusa éllistával
A Dijkstra algoritmus azoknak a csúcsoknak az S halmazát tartja nyilván,
amelyekhez már meghatározta az u kezdőcsúcsból odavezető legrövidebb út
4. Az algoritmusok
15
súlyát. Az algoritmus minden lépésben a legkisebb legrövidebb-út becslésű
x V S csúcsot választja ki, beteszi az x -t S -be, és minden x -ből kivezető éllel
egy-egy közelítést végez. A V S csúcsok nyilvántartására egy Q sort
alkalmazunk, amelyet azok d értékeivel töltünk fel.
DIJKSTRA ( , )G u eljárás
A Dijkstra algoritmus mohó stratégiát alkalmaz, hiszen mindig a „legközelebbi”
csúcsot választja ki V S -ből, hogy azután az S halmazba tegye. A mohó
stratégiák általában nem adnak optimális eredményt, de az alábbi tétel mutatja,
hogy a Dijkstra algoritmus szükségszerűen a legrövidebb utakat állítja elő.
Tétel (Dijkstra algoritmus helyessége): Ha Dijkstra algoritmusát egy nemnegatív
k súlyfüggvénnyel súlyozott, u kezdőcsúcsú irányított 𝐺 = (𝑉, 𝐸) gráfban futtatjuk,
akkor annak befejezésekor minden x V csúcsra teljesül, hogy ,D x d u x .
1. procedure Dijkstra
2. begin
3. for minden v V csúcsra do
4. :D v
5. :szülő v
6. end
7. 0D u
8. var
9. :S
10.
:Q csúcsokból álló sor
11. begin
12. while Q nem üres do
13. begin
14. :x minimális Q
15. :S S x
16. for minden v Szomszéd x -re do
17. if ( , )D v D x k x v then
18. begin
19. :D v ( , )D x k x v
20. szülő v x
21. end 22. end 23. end
4. Az algoritmusok
16
Bizonyítás: Indirekten tegyük fel, hogy x az első olyan csúcs, amire az S
halmazba történő beillesztésekor igaz, hogy ( , )D x d x u . Nyilván x u , tehát
S közvetlenül x beillesztése előtt, tehát léteznie kell egy u és x csúcs közötti
útnak, különben ( , )D x d u x egyenlőség fennállna, és ez ellentmondana a
kezdeti ( , )D x d x u feltevésünknek. Ezek alapján léteznie kell egy p
legrövidebb útnak u és x között, ahol u S és x V S . Legyen y az első olyan
csúcs a p úton, amely már a V S halmazban van, és legyen y szülője a p úton a
z csúcs. Ezek alapján a p -t felbonthatjuk két részre: 1p re és 2p re, ahol 1p az
u és a z csúcs közötti út, amelynek csúcsai S -ben vannak, 2p pedig az y és az x
csúcs közötti út, amelynek minden pontja V S halmazban van. Mivel y egy u és
x csúcs közötti legrövidebb úton az x előtt van, a súlyok nemnegatívak valamint
( , ) ( , )d u y d u x és így ( , ) ( , )D y d u y d u x D x . De x és y is a V S
halmazban van, ahonnan az algoritmus 8. sora az x -et úgy választja ki, hogy a
D x D y egyenlőtlenség fennáll. Tehát ( , )D x d u x , amely ellentmond a
kezdeti feltevésünknek, vagyis ( , )D x d u x .∎ (Thomas H. Cormen, Charles E.
Leiserson, Ronald L. Rivest, 2001)
8. ábra: Dijkstra algoritmusának működése
4.1.2.3 Az algoritmus futási ideje
Amennyiben a Q sort tömbbel valósítjuk meg: a kezdőértékek beállítása ( )O n
elemi lépést vesz igénybe. A 14. sorban a minimumkeresés és a 17. sorban lévő
4. Az algoritmusok
17
vizsgálat szintén ( )O n -et, mivel a 14. sorban levő minimumkeresés 1n -szer fut
le, így az algoritmus összidőigénye 2( )O n művelet.
A további elemzéshez szükséges bevezetni néhány új fogalmat:
Definíció (kupac): Egy olyan adatszerkezet, amely segítségével egy rendezett
halmaz egy S részhalmazát tároljuk. A kupac elemeit bináris fában tároljuk.
Definíció (minimumtörlés): A kupacszerkezet egyik alapművelete. Az adott
rendezés szerinti legkisebb elem törlése.
Definíció (kupac-tulajdonság): Egy tetszőleges csúcs elem nem lehet nagyobb a
fiaiban levő elemeknél.
Definíció (d -kupac): Az S elemit egy teljes d -fa csúcsaiban helyezzük el úgy, hogy
teljesüljön a kupac-tulajdonság.
Ha a gráf ritka, akkor célszerű a Q sort bináris kupaccal implementálni a D
értékek szerint. A kezdeti kupacépítés ( )O n költséggel végezhető el. A 14. sorban
lévő minimumkeresést egy (log )O n költségű minimumtörlés művelettel oldjuk
meg. A D értékeinek újraszámolását és a kupac-tulajdonság helyreállítását csak
a választott csúcs szomszédjaira kell elvégezni. Minden csúcsot pontosan egyszer
választunk ki, és a szomszédok számának összege e . Tehát az összidőigény
(( ) log )O n e n .
Sűrű gráfok esetén még komolyabb gyorsítás érhető el alkalmas d -kupaccal.
Ekkor a futási idő ( log log )d dO n nd n e n lesz.
4.1.2.4 Az utak nyomon követése
Sokszor nemcsak a legrövidebb utak hosszára vagyunk kíváncsiak, hanem
magukra az utakra is: az algoritmus 20. sora tartalmazza ezt, hiszen minden csúcs
szülőjét feljegyezzük és akár egy újabb tömbben elhelyezhetjük, anélkül, hogy a
futási időt megnövelnénk.
4. Az algoritmusok
18
4.1.2.5 Érdekességek
Természetesen a módszer működik irányítatlan gráfok esetén is hiszen, ahogy
már említettük minden irányítatlan él felfogható úgy, mintha mindkét irányban
irányított lenne. Ezek alapján már nem csodálkozunk azon, hogy mennyi mindenre
jó ez az eljárás. Többek között az ütemezéselméletben előforduló max| 2 |J n C
problémára, melynek jelentése: két olyan munkának a befejezési idejét szeretnénk
minimálisra szorítani, amelyek számos kisebb részmunkából tevődnek össze. A
részmunkákat több különböző gép végzi el, a gépek sorrendje tetszőleges.
Legyen adott a két munka megmunkálási ideje, jelöljük ezt ,i jp -vel, ahol az i a
gépek, a j pedig a munkák sorszáma. Például a 4,3 5p óra jelentése: a harmadik
munkát a negyedik gép 5 óra alatt végzi el. Ebben a feladatban 1j vagy 2, i m ,
ahol mℤ+. Ezen kívül adottak még minden j -re a gépek egy j sorrendje.
A megadott sorrendek alapján könnyen ábrázolhatjuk a folyamatot.
9. ábra: A folyamat szemléltetése
Az ábra y tengelyén a 2 szerinti ,2ip hosszú részek adják a felosztást, míg az
x tengelyén a 1 szerinti ,1ip hosszú részek. A kép egy hatgépes esetet mutat be. A
4. Az algoritmusok
19
szürkével jelzett négyzetek a tiltott négyzetek, az azonos hosszúságú szakaszok
metszete, az ábra O pontjából F pontjába tartó sötétszürke görbe a megengedett
görbe. Jól látható, hogy vízszintes, függőleges és 45∘-os szakaszok alkotják. Fontos
tulajdonsága, hogy nem lép be tiltott négyzetbe, valamint ha vízszintesen halad,
akkor y nem lehet belső koordináta, ha függőlegesen, akkor pedig x nem lehet az.
Lemma: Minden megengedett ütemezés megad egy ilyen P megengedett görbét,
továbbá max ( )SC h P , ahol ( )h P = vízszintes szakaszok hossza + függőleges szakaszok
hossza + a 45∘-os szakaszok vetületének hossza (max
SC : az S ütemezés által kapott
minimális befejezési idő). (A lemma fordított irányban is igaz.)
Ezek után könnyű meghatározni a célt: a legrövidebb görbe meghatározása.
Van még egy szembetűnő dolog az ábrán: a tiltott négyzetek bal felső és jobb
alsó sarkában látható pontok, ezek az úgynevezett speciális pontok. Ezek
segítségével definiáljuk a speciális részgörbéket és a speciális görbét.
Definíció (speciális részgörbe, speciális görbe): A speciális részgörbe speciális
pontokat köt össze. A speciális görbe pedig a speciális részgörbék uniója.
Lemma: Minden megengedett P görbéhez 'P speciális görbe úgy, hogy
( ) ( ')h P h P .
Vagyis keressük azt a legrövidebb speciális görbét, amely O -ból F -be megy.
Ez alapján a feladat ekvivalens egy legrövidebb út problémával, ahol a gráfunk
pontjai a speciális pontok, az élei a speciális pontokból indulnak az onnan induló
speciális részgörbék másik végpontjába, melyekből egy vagy kettő lehet. Az
élhosszúságot a h alapján kapjuk, amelyek nemnegatívak, hiszen megmunkálási
időkről beszélünk.
A másik érdekes dolog, hogy a Dijkstra algoritmus módosításával
legbiztonságosabb utat is lehet keresni.
Legyenek az élsúlyok a tönkremenés valószínűségei, vagyis minden e élhez
adott egy p valószínűség, hogy az adott él tönkremegy-e. Ezek alapján egy P út „el
4. Az algoritmusok
20
nem romlási”, „megmaradási” esélye (1 ( ))e P
p e
. Ezt szeretnénk maximalizálni.
Vegyük ennek a kifejezésnek a logaritmusát (ezt megtehetjük, mert a logaritmus
függvény monoton) és ezt maximalizáljuk:
max (1 ( ))e P
p e
max log (1 ( )) max log(1 ( )) min ( log(1 ( )))e P e Pe P
p e p e p e
Ezek alapján írjuk át a gráfunk költségeit, legyen az új költség:
( ) log(1 ( ))k e p e . Erről tudjuk, hogy nemnegatív, vagyis alkalmazható a Dijkstra
algoritmus erre az új költségekkel ellátott gráfra.
Lássunk egy egyszerű példát: tegyük fel, hogy egy háborús övezet katonái az
alábbi 10. ábra lévő térképet kapják az ellenséges területről. A katonáknak el kell
jutni az egyessel jelzett városból a kettessel jelzett városba. A gráf élein szereplő
valószínűségek azt mutatják, hogy az i -dik városból a j -dik városba mekkora
eséllyel nem sikerül eljutni.
10. ábra: A kapott térkép
A következő 11. ábra mutatja, hogy melyik utat kell választaniuk, hogy a
legnagyobb eséllyel eljussanak a kettes jelzésű városba.
11. ábra: A legbiztonságosabb út
4. Az algoritmusok
21
4.1.3 A Bellman-Ford-algoritmus
A Bellman-Ford-algoritmus az adott kezdőcsúcsból induló legrövidebb utak
problémáját abban az esetben oldja meg, amikor vannak az élek között negatív
súlyúak, de nem találunk a gráfban negatív kört.
Az algoritmus szülőatyjaként Richard Bellmant és ifjabb Lester Randolph Ford-
ot tisztelik.
4.1.3.1 Lester Randolph Ford, Richard Bellman
Ifjabb Lester Randolph Ford 1927. szeptember 23-án született. A „Network
Flow” programozás egyik úttörője. Édesapja az idősebbik L.R. Ford, aki maga is
elismert matematikus, a Farey sorozatokra adott egy bámulatos értelmezést. Ifjabb
L.R. Ford nevéhez fűződik többek között a Ford-Fulkerson algoritmus is, amely a
maximális folyam problémát oldja meg. (Singh Nayandeep, 2001)
Richard Ernest Bellman (1920. augusztus 26.- 1984. március 19.) alkalmazott
matematikus volt, az 1953-as dinamikus programozás terén elért felfedezéséért
volt méltán ünnepelt, valamint nevéhez köthető, sok a matematika más területén
elért eredmény is.
12. ábra: Richard E. Bellman
New Yorkban született, ahol édesapja, John James Bellman egy
élelmiszerüzletet vezetett a Bergen utcában a Prospest Park közelében
Brooklynban. Bellman a középiskolát 1937-ben fejezte be az Abraham Lincoln
Középiskolában (New York), és matematikát hallgatott a brooklyni főiskolán, ahol
1941-ben szerezett BA diplomát, a későbbiekben pedig a Wisconsin-Madison
Egyetemen megszerezte az MA diplomát is. A II. világháború idején a hadseregnél
az Elméleti Pszichológia Részlegen dolgozott Los Alamosban. 1946-ban
megszerezte a Ph.D titulust a Princetonon. A dél kaliforniai egyetem professzora
4. Az algoritmusok
22
volt, ösztöndíjas kutatója az amerikai Tudományok és Művészetek Akadémiájának
(1975), valamint tagja a nemzeti Mérnöki Akadémiának (1977). 1979-ben az IEEE
Becsület Medállal tüntették ki „A döntési eljárások és az ellenőrző rendszerek
területén elért eredményéért, különösen a dinamikus programozásban
alkotottakért.” Legfőbb műve a Bellman-Egyenlet. (Wikipedia, 2009)
4.1.3.2 Az eljárás
Adott egy :k E ℝ súlyfüggvénnyel súlyozott irányított ( , )G V E gráf, ahol a
kezdőcsúcs az s . Az algoritmus visszajelzi, ha van a gráfban s -ből elérhető negatív
kör, ha nincs benne, akkor előállítja a megoldást.
BELLMAN-FORD ( , , )D k s eljárás.
Az 1-6. sorok a kezdeti értékek beállítását mutatják. Aztán a 7-17. sorok
ugyanazt az ellenőrzést végzik el mint a Dijkstra algoritmus esetében, végül a 18-
23. sorok keresnek negatív köröket.
1. procedue Bellman-Ford
2. begin
3. for minden v V csúcsra do
4. :D v
5. :szülő v
6. end
7. begin
8. for 1i to 1n do
9. begin
10. for minden ( , )u v élre
11. if ( , )D v D u k u v then
12. begin
13. : ( , )D v D u k u v
14. :szülő v u
15. end 16. end 17. end 18. begin
19. for minden ( , )u v élre do
20. if ( , )D v D u k u v then
21. return HAMIS 22. return IGAZ 23. end
4. Az algoritmusok
23
Mielőtt az eljárás helyességének bizonyítására térnénk, definiáljuk a
legrövidebb-utak fa fogalmát, valamint bevezetünk két jelölést is.
Definíció (legrövidebb-utak fa): Legyen ( , )G V E egy irányított, :k E ℝ
súlyfüggvénnyel súlyozott gráf, és feltesszük, hogy G nem tartalmaz s kezdőcsúcsból
elérhető negatív kört, azaz a legrövidebb utak jól definiáltak. Egy s-gyökerű
legrövidebb-utak fa egy olyan ' ( ', ')G V E részgráf, ahol 'V V és 'E E úgy, hogy
- 'V az s-ből elérhető G-beli csúcsok halmaza,
- 'G egy s gyökerű fa, és
- minden v V csúcsra 'G -beli s-ből vezető út egy legrövidebb s-ből v-be vezető
út a G-ben.
Jelölések:
- Vszülő: a nem szülőjű G-beli csúcsokat tartalmazza és az s kezdőcsúcsot:
Vszülő= :v V szülő v s .
- Eszülő: azok az irányított élek, amelyek a szülő értékekből vezetnek a Vszülő-beli
csúcsokba: Eszülő= , : szülőszülő v v E v V s .
Tétel (A Bellman-Ford-algoritmus helyessége): Egy ( , )G V E irányított gráfon
futtassuk a BELLMAN-FORD-eljárást, ahol a súlyfüggvény a :k E ℝ, és a
kezdőcsúcs az s. Ha G nem tartalmaz az s-ből elérhető negatív köröket, akkor
1. minden v V csúcsra ( , )D v d s v ,
2. a végeredményül kapott fa egy s gyökerű legrövidebb-utak fa (jelöljük ezt
Gszülő=(Vszülő,Eszülő)-vel)
3. az algoritmus IGAZ értéket ad vissza, vagyis megadja a keresett legrövidebb utat.
4. Ha G tartalmaz s-ből elérhető negatív kört, akkor az eljárás HAMIS értékkel tér
vissza.
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy G nem tartalmaz s -ből elérhető negatív kört.
1. Tegyük fel, hogy v elérhető s -ből, legyen 0 1, ,..., kp v v v egy s -ből v -be
vezető legrövidebb út 0( , )kv s v v . A p út egyszerű (nincs benne ismétlődő
4. Az algoritmusok
24
csúcs), tehát 1k n . Indukcióval könnyen bizonyíthatjuk, hogy minden
0,1,...,i k ra ( , )i iD v d s v .
Kezdetben 0 ( , ) 0D v d s s nyilván teljesül.
Tegyük fel, hogy 1 1( , )i iD v d s v fennáll, az i dik lépésben az 1( , )i iv v éllel
való összehasonlítás hatására ( , )i iD v d s v , és ez meg is őrződik az eljárás
során, mert: ( , ) ( , ) ( , ) ( , )D v D u k u v d s u k u v d s v . (Tudjuk, hogy
( , )d s v alulról korlátozza D v értékét.)
Ha nem vezet út s -ből v -be, akkor az eljárás D v értékkel tér vissza.
Tehát ,D v d s v , mert definíció szerint, ha két csúcs között nincsen út,
akkor a távolságuk végtelen.
2. Az első tulajdonság bebizonyítása nagyon egyszerű. Definíció szerint egy
legrövidebb út akkor és csak akkor véges, ha van a két csúcs között út. Az
algoritmus során egy s -től különböző v csúcs akkor és csak akkor kap véges
értéket, ha szülő v .
A második tulajdonság bizonyítása indirekten történik. Tegyük fel, hogy szülőG -
ben van kör, bizonyítandó, hogy ez negatív kör. (Ekkor G -ben is kell lennie, de
az ellentmondáshoz vezet.) A körön minden csúcs D értéke véges, vagyis
elérhetők s -ből. Indukció és az algoritmus 10-15. sorai alapján az alábbi
egyenlőtlenség kapható:
1 1
1 1 1
( , )k k k
i i i i
i i i
D v D v k v v
ahol 0 1, ,..., kc v v v a kör 0kv v .
Mivel a c kör minden csúcsa pontosan egyszer szerepel az egyes összegekben:
1
1 1
k k
i i
i i
D v D v
Ebből következik, hogy
1
1
0 ( , )k
i i
i
k v v
Vagyis azt kaptuk, hogy G tartalmaz negatív kört, ami viszont elvezet a
keresett ellentmondáshoz.
4. Az algoritmusok
25
A harmadik tulajdonság bizonyításának első lépése hogy igazoljuk, hogy ezek
az utak valóban léteznek. Ez teljes indukcióval könnyedén megtehető. Azt kell
még belátni, hogy legfeljebb egy út megy s -ből minden szülőv V -beli csúcshoz.
Indirekten tegyük fel, hogy két út is létezik valamely szülőv V csúcshoz.
13. ábra: Annak bizonyítására, hogy csak egy s-ből v-be menő út van Gszülő-ben
A 1p út s -ből v -be: s ↝u ↝ x → z ↝ v , a 2p út s -ből v -be: s ↝u ↝ y → z ↝ v ,
ahol x y . Ám ekkor szülő z x és szülő z y , ami csak x y esetén
teljesül.
3. A befejezéskor minden ( , )u v E élre:
( , ) ( , ) ( , ) ( , )D v d s v d s v k u v D u k u v
Tehát a 20. sorban lévő ellenőrzés után sem kapunk HAMIS értéket.
4. Tegyük fel, hogy G -ben van negatív kör, jelöljük 0 1, ,..., kc v v v -vel, ahol
0kv v , és tegyük fel, hogy az eljárás IGAZ értékkel tér vissza.
Mivel c egy negatív kör, ezért: 1
1
( , ) 0k
i i
i
k v v
. A feltevésünk miatt (IGAZ
értékkel tér vissza az algoritmus) az alábbi egyenlőtlenség teljesül:
1 1
1 1 1
( , )k k k
i i i i
i i i
D v D v k v v
Mivel a c kör mindegyik csúcsa pontosan egyszer szerepel az első két
összegben, így
1
1 1
k k
i i
i i
D v D v
Vagyis 1
1
0 ( , )k
i i
i
k v v
, ami ellentmondás.∎
(Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, 2001)
4. Az algoritmusok
26
14. ábra: A Bellman-Ford eljárás működése
4.1.3.3 Az eljárás futási ideje és a legrövidebb út nyomon követése
Az algoritmus futási ideje ( )O ne , mivel a kezdő értékek beállítása ( )O n az 1n
darab csúcson végzett összehasonlítás mindegyike ( )O e ideig tart és a 18-23.
sorokban lévő ellenőrzés ( )O e idejű.
A legrövidebb út nyomon követése ugyanúgy megy, mint a Dijkstra
algoritmusnál. A szülő v értékeket eltesszük egy tömbbe, ez nem növeli a futási
időt.
4.2 Két adott csúcs közötti legrövidebb út
Nyilvánvalóan, ha megoldjuk az adott csúcsból az összes többi csúcsba vezető
legrövidebb utak problémáját, akkor a két adott csúcs közötti legrövidebb út
problémát is megoldottuk. Érdekes azonban, hogy nem ismert ennek a
problémának olyan megoldó algoritmusa, amelyik aszimptotikusan gyorsabb lenne
az adott csúcsból az összes többi csúcsba vezető legrövidebb utak problémájánál.
Dijkstra a következőképpen elmélkedett erről a problémáról Numerische
Mathematik című művében.
„Összefüggő gráfok két problémája”
„Tekintsünk n darab pontot, melyek közül néhányat vagy mindegyiket él köt össze, az élek hossza
adott. Tegyük fel, hogy legalább egy él létezik valamely két pont között.
Nézzük az alábbi két problémát:
(…)
Második probléma: Keressük meg a legrövidebb utat két adott pont, P és Q között.
Használjuk ki azt a tényt, hogy az R csúcs rajta van a P és Q közti legrövidebb úton, a majdani
ismeretek tartalmazzák a P és R közti legrövidebb utat. A megoldás során megkapjuk az összes többi
csúcsba menő legrövidebb utat, melyek a hosszúságok sorrendjében keletkeznek, egészen addig, amíg Q-t el
nem érjük.
4. Az algoritmusok
27
A megoldás első lépése, hogy a pontokat három csoportba osztjuk.
A: Azok a csúcsok, amelyeknek P-től vett távolsága minimális. Ebbe a csoportba csak a P-től
minimális távolságra lévő csúcsokat vesszük bele.
B: A következő lépésben az A csoportba választható csúcsok halmaza. Ebben a csoportban az A
halmazbeli pontokhoz kapcsolódó csúcsok vannak (a belőlük kiinduló él másik végpontja már A-
ban van).
C: Kimaradó csúcsok.
Az éleket is 3 csoportba soroljuk:
I. A P csúcs és az A csoportbeli pontok közötti minimális utat alkotó élek.
II. Azoknak az éleknek a halmaza, amelyekből kiválasztjuk a I. csoportba helyezendő élet; egy és
csakis egy él vezet ebből a halmazból mindegyik B halmazbeli csúcshoz.
III. A kimaradó csúcsok (vagy már elutasítottuk őket, vagy még nem vizsgáltuk meg).
Kezdetben minden csúcs C-ben, és minden él a III csoportban van. Először tegyük a P csúcsot az A
csoportba, majd az alábbi lépéseket ismételgessük.
Első lépés: Tekintsük az összes olyan r élet, amely az éppen az A csoportba tett csúcs és R között
mennek, ahol R lehet a B illetve a C csoportban is. Ha R a B csoportban van, akkor vizsgáljuk meg, hogy
ennek az r élnek a használata egy rövidebb utat eredményez-e, mint a neki megfelelő (ugyanabba a csúcsba
menő) eddig ismert II. csoportbeli út. Ha nem kapunk rövidebb utat az r él használatával, akkor r-et
elutasítjuk (a III. csoportba tesszük), ha az r él használatával a kapott út rövidebb, mint a neki megfelelő
út, akkor az eddig ismert utat lecseréljük erre az új, r élet használó útra. Amennyiben az R csúcs C-ben
van, tegyük B-be és az r élet pedig a II. csoportba.
Második lépés: Minden B csoportbeli csúcs és a P csúcs között egy és csakis egy út vezet, ha csak az I.
és II. csoportba tartozó éleket vizsgáljuk, tehát minden egyes B csoportbeli csúcsnak véges távolsága van P
csúcstól: azt a csúcsot, amelynek a legkisebb a távolsága P-től, tegyük az A halmazba, és a megfelelő élet
helyezzük a II. csoportból az I. csoportba. Ezután térjünk vissza az első lépéshez és ismételgessük őket
addig, amíg a Q csúcs az A halmazba nem kerül. Ekkor megkapjuk a keresett utat.
Megjegyzések:
1. A fenti eljárás abban az esetben is alkalmazható, ha az élek hossza függ attól, hogy elutasítjuk, vagy
megtartjuk őket.
2. Az I. és a II. csoportban lévő élek esetében érdemes feljegyezni a csúcsaik távolságát P-től (növekvő
sorrendben). Az I. csoportbeli élek esetén ez a tényleges minimális távolságot jelenti, míg a II.
csoportbeli élek esetén az eddig ismert minimális távolságot.
Ez a megoldás hatékonyabb, mint a L.R.Ford-féle megoldás, abból a szempontból, hogy nem kell az
összes élről egyidejűleg eltárolni az adatokat, elegendő csupán az I. és a II. csoportbeli élek adatait
4. Az algoritmusok
28
tudnunk, és ez a szám mindig kevesebb, mint n. Ezen kívül a futási ideje is lényegesen kevesebb.
(E.W.Dijkstra, 1959)
4.3 Egy adott csúcsba érkező legrövidebb utak
Ennek a problémának a megoldása nagyon egyszerű: csupán annyi a teendőnk
hogy megfordítjuk a gráfunk irányítását. Ezáltal visszavezetjük a feladatot az egy
csúcsból kiinduló legrövidebb utak kérdésére, amely megoldásának módszereit
már fentebb, a 4.1 fejezetben taglaltuk.
4.4 Legrövidebb utak minden csúcspárra
Ebben a fejezetben célunk, hogy egy gráf valamennyi rendezett csúcspárjára a
két csúcs közötti legrövidebb út megkeresése. Ha például egy autóstérképhez
elkészítjük a városok egymástól vett távolságainak táblázatát, akkor éppen ezt a
problémát oldjuk meg.
Természetesen a 4.1-es fejezetben bemutatott algoritmusok itt is használhatók,
ha minden csúcsra lefutatjuk őket, amennyiben a távolságok nem negatívak, akkor
a Dijkstra eljárást, ha vannak negatív élek, akkor a kicsit költségesebb Bellman-
Ford módszert. Vannak azonban ennél következetesebb módszerek is.
4.4.1 Floyd algoritmusa
Ez az algoritmus abban az esetben oldja meg az összes csúcspár közötti
legrövidebb utak problémáját, ha a bemenő gráfban nincsenek negatív körök
(negatív élek lehetnek).
4.4.1.1 Robert W. Floyd
15. ábra: Robert W. Floyd
Robert W. Floyd (1936. június 8. – 2001. szeptember 25) egy kivételesen
tehetséges informatikus volt. New Yorkban született, 14 évesen már maga mögött
4. Az algoritmusok
29
tudta a középiskolát és 17 évesen, 1953-ban a chichagoi egyetemen BA diplomát
szerzett bölcsész szakon, majd 1958-ban pszichológiából.
Az 1960-as évek elején kezdett el operátorként dolgozni, számos érdekes
cikket publikált, mígnem 27 éves korában a Caregie Mellon Egyetemen helyettes
professzornak ki nem nevezték. 6 évvel később, miután megszerezte a Ph.D címet a
Stanford Egyetem professzora lett.
Floyd Donald Knuth közeli munkatársa volt, és mint bíráló segített neki
elkészíteni könyvét: The Art of Computer Programming, emiatt Donald nagy
hatással volt Floyd munkásságára. 1994-ben Richard Beigellel elkészítették a The
Language of Machines: an Introduction to Computability and Formal Languages
című tankönyvüket.
1978-ban kapta meg a Turing-díjat az informatika számos területén elért
eredményéért, különösen a formális nyelvek témakörében alkotottakért.
Floyd élete során kétszer házasodott meg, és kétszer is vált el, négy gyermeke
volt. Hobbijai a túrázás és a „backgammon”1 voltak. (Wikipedia, 2009)
4.4.1.2 Az algoritmus
Tegyük fel, hogy a ( , )G V E gráf K adjacencia mátrixszal van megadva. A
pontpárok távolságának kiszámítására egy szintén n n -es F mátrixot fogunk
használni. Kezdetben , : ,F i j K i j . Ezután egy ciklust hajtunk végre, amelynek
k -adik lefutása után ,F i j azon i ↝ j utak legrövidebbjeinek a hosszát
tartalmazza, amelyek közbülső pontjai k -nál nagyobb sorszámúak.
Az új ,kF i j értékeket a következőképpen számíthatjuk ki a 1k -edik iteráció
utáni 1 ,kF i j értékekből (itt az index az F különböző pillanatnyi értékeire utal).
Nyilván egy legrövidebb i ↝ j út, amelyen a közbülső pontok sorszáma legfeljebb
k (természetesen a kezdő- és végpontok nem számítanak közbülső pontnak), vagy
tartalmazza a k csúcsot vagy nem.
- Ha k nincs rajta az i ↝ j úton, akkor 1 ,kF i j .
- Ha rajta van a k csúcs az i ↝ j úton, akkor
1 A backgammon egy két személyes társasjáték, ahol a korongokat a dobókocka dobások
alapján kell mozgatni.
4. Az algoritmusok
30
amennyiben ennek a csúcsnak a használatával előálló út rövidebb,
mint az eddig ismert út, akkor ennek az új útnak a hosszát írjuk be
,kF i j -be, ha hosszabb, akkor a régi út hosszát, vagyis 1 ,kF i j -t,
ha több út is vezet az adott csúcson keresztül, akkor értelemszerűen
a rövidebb értékét írjuk bele ,kF i j -be.
FLOYD ELJÁRÁS ( , )G k
4.4.1.3 Az utak nyomon követése és a futási idő
A kód magában rejti az utak nyomon követésének módszerét, ami futási időt
nem befolyásolja. A 9. sorban definiálunk egy P tömböt, amelybe akkor tesszük
be a k csúcsot, ha a ,F i j érték megváltozik (17-18. sorok). Tehát ,P i j egy
legrövidebb i ↝ j út „középső” csúcsát fogja tartalmazni. Ezek alapján az i ↝ j út
összeállításához találnunk kell egy i -ből ebbe a „közbülső” csúcsba vezető
legrövidebb utat, és egy ebből a csúcsból j -be vezető legrövidebb utat. De ezen
utaknak is ismerjük egy-egy „középső” csúcsát, és így tovább.
1. procedure Floyd
2. begin
3. for minden i V csúcsra do
4. begin
5. for minden j V csúcsra do
6. , : ,F i j K i j
7. end
8. end
9. , : 0P i j
10. begin
11. for minden k V csúcsra do
12. begin
13. for minden i V csúcsra do
14. begin
15. for minden j V csúcsra do
16. , : min , , , ,F i j F i j F i k F k j
17. if ,F i j értéke csökken then
18. ,P i j k
19. end
20. end
21. end
4. Az algoritmusok
31
Az algoritmus lépésszáma 3n -bel arányos, hiszen a domináló rész három
egymásba ágyazott for ciklus. Mondhatnánk, hogy ez nagyságrendben ugyanannyi,
mintha a Dijkstra mátrixos változata, de pontosabb elemzéssel kiderül, hogy a
Floyd-módszer 50%-kal gyorsabb. Ha a gráf éleinek száma jóval kisebb, mint 2n , és
az élsúlyok nemnegatívak, akkor viszont érdemesebb a Dijkstra-algoritmus éllistás
változatát használni.
4.4.1.4 Az eljárás működése egy példán keresztül
16. ábra: Példagráf a Floyd-eljárás működésének szemléltetéséhez
0
0 1
0 1 3
0 4
0
2 2 1 0
F
1
0 1
0 1 3
0 4
0
2 1 2 1 0
F
2
0 1 0 3
0 1 3
0 4
0
2 1 2 1 0
F
3 4
0 1 0 3 2
0 1 5 3
0 4
0
2 1 2 1 0
F F
5
0 1 0 3 2
5 0 1 4 3
0 4
0
2 1 2 1 0
F
Az 3F és az 4F egyenlősége abból ered, hogy a 4. csúcsból nem indul ki él, így
az nem lehet közbülső csúcs.
4. Az algoritmusok
32
4.4.2 Warshall algoritmusa
Ez az algoritmus a fent említett Floyd algoritmusnál idősebb, de a módszer
lényegében ugyanaz. A szakirodalomban gyakran a hasonlóság miatt egybe vonják
a két algoritmust és Floyd-Warshall néven tüntetik fel.
A különbség köztük az, hogy ez az algoritmus „csak” azt mondja meg, hogy
mely pontok között megy irányított út, a hosszukat már nem adja meg.
4.4.2.1 Stephen Warshall
Stephen Warshall 1935-ben született New York-ban. Karrierje során sok
kutatást végzett az operációs rendszerek területén, a programozási nyelvek
fejlesztésénél és sok más informatikai témakörben.
Warshall a brooklyni általános iskolába járt, a Mount Vernon (New York)
középiskolában érettségizett, majd a Harward egyetemen szerezte meg a Bsc
diplomáját matematikából 1956-ban. Magasabb végzettséget nem szerezett, ennek
ellenére különböző egyetemeken (köztük francia iskolákban is) tartott
előadásokat, ezzel is elősegítve az informatika és a szoftverfejlesztés fejlődését.
Miután megszerezte a Bsc diplomáját, az ORO-nál (Operation Research Office)
helyezkedett el. John Hopkins által létrehozott program keretein belül végzett
kutatásokat az amerikai hadseregnek. 1958-ban eljött innen és egy Technical
Operations nevű vállalkozásnál vállalt munkát, a munkája hasonló volt az
előzőhöz: katonai szoftverek fejlesztése. 1961-ben a massachusettsi Informatikai
Egyesület tagja lett, később ez az egyesület egybeolvadt az Apllied Data Research
(ADR) céggel. Ekkor Warshall vezetői kitüntetést kapott és felügyelte a projecteket
és szervezeteket. 1982-ben vonult nyugdíjba, végül 2006. december 11-én halt
meg rákban. (Wikipedia, 2009)
4.4.2.2 Az algoritmus
Mielőtt az eljárás lépéseire térnénk definiálni kell a tranzitív lezárt fogalmát.
Definíció (tranzitív lezárt): Legyen G=(V,E) egy irányított gráf, A az adjacencia
mátrixa. Legyen továbbá T a következő n n -es mátrix:
1
,0
T i j
ha i-ből j elérhető irányított úttal
különben.
4. Az algoritmusok
33
ha i=j vagy , 1A i j ,
különben.
Ekkor a T mátrixot – illetve az általa meghatározott gráfot – az A mátrix – illetve az
általa meghatározott G gráf – tranzitív lezártjának nevezzük.
A fent részletezett Floyd-eljárásban csupán néhány változtatást kell tenni. A 6.
sorban a kezdőértékek beállítása helyett:
A 16. sorban F értékeinek változása helyett: , , , ,T i j T i j T i k T k j ,
valamint a 17. sorban nem az F értékeinek csökkenése esetén tesszük bele a k
csúcsot a P tömbbe, hanem amikor a ,T i j érték változik meg.
Nyilvánvalóan a futási idő változatlan marad: 3O n , és az utak nyomon
követése is megegyezik a Floyd algoritmusnál leírtakkal.
Tekintsük az alábbi példát a működésére:
17. ábra: Példagráf a Warshall-algoritmus működésének bemutatásához
(0)
1 1 0 0 1
0 1 1 0 0
1 0 1 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
T
(1)
1 1 0 0 1
0 1 1 0 0
1 1 1 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
T
(2)
1 1 1 1 1
0 1 1 0 1
1 1 1 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
T
(3) (4) (5)
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
T T T
1
,0
T i j
4. Az algoritmusok
34
A (3) (4)T T azért igaz, mert a 4 csúcsból nem indul ki él, így az nem lehet
közbülső csúcs. (5)T egyenlősége az előző kettőhöz „látszólagos”, a (5) 1,4T
értéknél szemmel nem látható változás történt. Ugyanis az 1. csúcsból megy él a 2
és a 3-as csúcson keresztül ezt jelzi, hogy (2) (3)1,4 1,4 1T T , de az 5. csúcson
keresztül is vezet egy másik út, így a , , , ,T i j T i j T i k T k j képlet
alapján mindegy, hogy melyiket választjuk ki.
4.4.3 Johnson algoritmusa
Johnson módszerével az összes csúcspár közti legrövidebb utakat
2( lg )O n n ne időben találhatjuk meg, tehát ritka gráfokon ez lényegesen
gyorsabb, mint az eddig ismert módszerek.
Johnson eljárásának megértéséhez szükségünk van a Dijkstra- és a Bellman-
Ford algoritmusok pontos ismeretére, mert az eljárás magában foglalja ezeket. A
Johnson algoritmus (hasonlóan a Bellman-Fordhoz) HAMIS értéket ad vissza, ha a
gráf tartalmaz negatív kört.
A módszer alapötlete a következő átsúlyozó technika. Amennyiben a gráfban
nincsenek negatív élek, akkor a természetesen használhatjuk a Dijkstra-
algoritmust minden csúcsra, mint forrásra. Ahhoz hogy a fenti futási időt elérjük
Fibonacci-kupacokat kell alkalmaznunk.
Definíció (Fibonacci-kupac): A bináris kupacokkal ellentétben a Fibonacci-
kupacban levő fák nem rendezettek. Minden x csúcsnak van egy p x pointere
(mutató) a szülőjére, és egy gyerek x pointere az egyik gyerekére. Az x csúcs
gyerekei egy kétirányú ciklikus listával vannak összekapcsolva, ezt a listát az x gyerek
listájának nevezik. A gyerekek sorrendje a gyerek listában tetszőleges. Ebben az
adatszerkezetben a műveletek gyorsabban elvégezhetők a pointerek miatt.
Ha vannak negatív éleink, akkor a következőképpen kell eljárnunk: olyan új k̂
nemnegatív értékeket kell találnunk, melyeken azután az előző megoldás
alkalmazható. A k̂ súlyoknak a következő két feltételnek kell eleget tenniük:
4. Az algoritmusok
35
a) Minden ,u v V csúcspárra a k súlyozás szerint vett bármely legrövidebb
u -ból v -be menő út a k̂ szerint is az.
b) Minden ( , )u v E élre az új ˆ( , )k u v súly nemnegatív.
Az a) tulajdonságnak eleget tevő átsúlyozást az alábbi lemma alapján igen
egyszerű elkészíteni.
Lemma (átsúlyozás): Legyen :h V ℝ tetszőleges valós értékű függvény egy
( , )G V E irányított gráf csúcsain. Legyen :k E ℝ ugyanennek a gráfnak az
élsúlyozása. Minden ( , )u v E élre legyen ˆ( , ) ( , ) ( ) ( )k u v k u v h u h v . Ekkor
1. minden 0 , kv v csúcspárra és minden 0 1, ,..., kp v v v útra pontosan akkor lesz
0( ) ( , )kk p d v v , ha 0ˆ ˆ( ) ( , )kk p d v v , ahol 0
ˆ( , )kd v v a k̂ súlyozással keletkező út
súlya;
2. továbbá pontosan akkor van a G gráfban negatív kör a k súlyozás szerint, ha k̂
súlyozás szerint is van.
Bizonyítás:
1. Először belátjuk, hogy 0ˆ( ) ( ) ( ) ( )kk p k p h v h v .
A ˆ( )k p súly a következő teleszkópos összeggé alakítható:
1 1 1
1 1
1 1 0
1 1 1
ˆ ˆ( ) ( , ) ( ( , ) ( ) ( ))
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
k k
i i i i i i
i i
k k k
i i i i k
i i i
k p k v v k v v h v h v
k v v h v h v k p h v h v
Tegyük fel, hogy a k̂ súlyozással valamely 0 , kv v csúcspár között találtunk egy
'p utat, amely rövidebb, mint a k súlyozás esetén kialakult p út. Alkalmazzunk
a p és 'p utakra a fenti 0ˆ( ) ( ) ( ) ( )kk p k p h v h v egyenlőséget:
0 0ˆ ˆ( ') ( ) ( ) ( ') ( ) ( ) ( ) ( )k kk p h v h v k p k p k p h v h v ,
amelyből ( ') ( )k p k p következik. Ez azonban ellentmond annak a feltevésnek,
hogy p a legrövidebb út 0v és kv csúcsok között.
4. Az algoritmusok
36
2. Legyen 0 1, ,..., kc v v v egy tetszőleges kör a k súlyozás szerint, ahol 0 kv v .
Ekkor a 0ˆ( ) ( ) ( ) ( )kk p k p h v h v egyenlőség szerint: 0
ˆ( ) ( ) ( ) ( )kk c k c h v h v ,
így a c súlya pontosan akkor negatív a k súlyozás szerint, ha k̂ szerint is az.∎
A b) feltételnek eleget tevő nemnegatív értékű átsúlyozás pedig a
következőképpen zajlik:
1. A ( , )G V E irányított gráfot egészítsük ki egy s V csúccsal egy
' ( ', ')G V E gráffá, ahol tehát 'V V s és ' ( , ) :E E s v v V . A k
súlyozást terjesszük ki 'G éleire úgy, hogy ( , ) 0k s v minden v V esetén.
Fontos megjegyezni, hogy s -be él nem lép, ezért nem haladhat át rajta kör,
ezáltal ha van kör, akkor az csak G -ben lehet. Valamint ugyanebből az
okból kifolyólag csak 'G -beli legrövidebb utak tartalmazzák s -t.
2. Tegyük fel, hogy nincsen negatív kör a gráfban. Legyen ( ) ( , )h v d s v
minden 'v V csúcsra. Ekkor a korábban látottak alapján
( ) ( ) ( , )h v h u k u v fennáll minden ( , ) 'u v E élre. Ha tehát az új k̂
súlyozást a ˆ( , ) ( , ) ( ) ( )k u v k u v h u h v egyenlet szerint végezzük,
ˆ( , ) ( , ) ( ) ( ) 0k u v k u v h u h v , akkor a nemnegativitást megkövetelő
tulajdonság teljesül.
(Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, 2001)
4.4.3.1 Az eljárás lépései
1. Felvesszük az s csúcsot, és kiegészítjük a gráfot az új élekkel (megkapjuk
'G -t).
2. A Bellman-Ford algoritmus segítségével megvizsgáljuk, hogy van-e negatív
kör a 'G gráfban, ha igen akkor az algoritmus ezen a ponton megáll.
3. Ha nincsen negatív kör a gráfban, akkor a Bellman-Ford által kapott ( , )id s v
értékekkel feltöltjük a 'G gráf csúcsait (vagyis: ( ) ( , )i ih v d s v ).
4. Átsúlyozzuk 'G éleit a ˆ( , ) ( , ) ( ) ( )k u v k u v h u h v szabály szerint.
5. Az így kapott átsúlyozott (már csak nemnegatív élet tartalmazó) G gráf
minden csúcsára (mint forrásra) végrehajtjuk a Dijkstra algoritmust.
4. Az algoritmusok
37
18. ábra: A Johnson algoritmus működése. (a) Az s csúccsal és az új (szürkével jelzett) élekkel kiegészített gráf, valamint a Bellman-Ford eljárás által kapott értékekkel feltöltött csúcsok. (b) Az élek átsúlyozása. (c)-(f) A Dijkstra-algoritmus segítségével kapott legrövidebb utak, a szürkével jelzett csúcsok az aktuális források. A
csúcsokban szereplő /-jellel elválasztva ˆ( , )d u v és ( , )d u v áll.
4.4.3.2 Futási idő
Mint ahogy már fentebb említettük, ha Fibonacci-kupacot használunk, akkor
2( lg )O n n ne lesz a futási idő. Egyszerű bináris kupac alkalmazása esetén
( lg )O ne n .
5. A matematikában kevésbé ismert módszerek
38
5 A matematikában kevésbé ismert módszerek
Ez a fejezet a matematika számára már kevésbé ismert módszerek közül kettőt
hivatott bemutatni. Ezeket az eljárásokat a modern kor egyik új területe a
mesterséges intelligencia (MI) tudománya alkalmazza. Hogy mi is az MI? Ahány
ember, annyi válasz:
„Izgalmas újszerű kísérlet, hogy a számítógépet gondolkodásra késztessük…tudatos gépek, e fogalom teljes
és szó szerinti értelmében” (Haugeland, 1985)
„Az MI… a műtárgyak intelligens viselkedésével foglalkozik” (Nilsson, 1998)
Az eddig megismert eljárásokkal ellentétben itt nem az élek, hanem az csúcsok
vannak súlyozva a céltól függően.
5.1 Informált keresési stratégiák
Az általunk vizsgált általános megközelítést a legjobbat-először keresésnek
nevezzük. A módszer alapötlete, hogy a gráfunk azon csúcsa felé indulunk el,
amelynek az értéke a legkisebb. A csúcsok értékét egy ún. kiértékelő függvény
( )f n segítségével kapjuk. A LEGJOBBAT-ELŐSZÖR-KERESÉS algoritmus
tulajdonképpen egy keresési algoritmus család, amelynek elemeit az eltérő
kiértékelő függvények különböztetik meg. Ezeknek az algoritmusoknak a
kulcseleme a ( )h n -nel jelölt heurisztikus függvény.
Definíció (heurisztikus függvény): Az n csomóponttól a célig vezető legolcsóbb út
becsült útköltsége.
Egy egyszerű példa az ilyen heurisztikus függvényre: a városok közötti
légvonalban mért távolság, melyet mindig a célvárostól számolunk. Például ha
Aradról akarunk Bukarestbe eljutni, akkor a közbülső városok súlyait a
Bukaresttől mért távolságuk fogja adni.
5.1.1 A mohó legjobbat-először keresés
A mohó legjobbat először keresés annak a csúcsnak az irányába indul el,
amelyiket a legközelebbinek ítéli meg a célállapothoz, tehát ebben az esetben a
kiértékelő- és a heurisztikus függvényünk megegyezik ( ( ) ( )f n h n ).
5. A matematikában kevésbé ismert módszerek
39
Nézzük meg, hogy hogyan is működik az előbb említett romániai útkeresés
esetében.
19. ábra: A mohó legjobbat először keresés lépései Bukarest esetén a légvonalban mért távolságot – mint heurisztikát – alkalmazva.
Ebben a konkrét példában a mohó legjobbat-először keresés úgy talál
megoldást, hogy soha nem megy olyan pont felé, amely nem a megoldási
(legrövidebb) úton fekszik, következésképpen minimális a költsége. Azonban nem
optimális: vegyük szemügyre az alábbi táblázatot, amely a légvonalbeli
távolságokat tartalmazza Bukarestig.
Város Távolság Város Távolság Arad 366 Mehadia 241 Bukarest 0 Neamt 234 Craiova 160 Nagyvárad 380 Dobreta 242 Pitesti 100 Eforie 161 Rimnicu Vilcea 193 Fogaras 176 Nagyszeben 253 Giurgiu 77 Temesvár 329 Hirsova 151 Csalános 80 Iasi 226 Vaslui 199 Lugos 244 Nagyszerénd 374
Rögtön észrevesszük, hogy a fent kapott Arad - Nagyszeben – Fogaras –
Bukarest útvonal 32 kilométerrel hosszabb, mint a Arad - Nagyszeben – Rimnicu
Vilcea – Pitesti Bukarest útvonal.
Az eljárás egyetlen út végigkövetését preferálja a célig, ha zsákutcába kerül,
visszalép. Két nagy problémája van: nem optimális (például a fenti esetben sem) és
5. A matematikában kevésbé ismert módszerek
40
nem teljes (mert elindulhat egy végtelen úton, és így soha sem fog visszalépni más
lehetőségeket kipróbálni). A legrosszabb esetre számított idő-és tárigénye ( )mO b ,
ahol m a gráf mélységét jelöli, a b pedig az egy csúcsból kiinduló élek átlagos
száma. (Stuart Russell, Peter Norvig, 2005)
5.1.2 Az A* algoritmus
A legjobbat-először keresés leginkább ismert változata, amelyet Bertram
Raphael, Nils Nilsson és Peter Hart alkotott meg 1968-ban.
5.1.2.1 Bertram Raphael, Nils Nilsson, Peter Hart
20. ábra: Nils Nilsson, Peter Hart, Bertram Raphael
Nils Nilsson az MI tudomáynának egyik alapítója. A mérnőki tudományok
professzora, a stanfordi egyetem nyugalmazott testületi tagja. Hírnevét a kutatás, a
tervezés a robotika területén elért sikerei hozták meg. A stanfordi egyetemen
szerezte meg a PhD titulust 1958-ban, majd karrierjének nagy részét az SRI-nél
építette. 1985-ben a stanfordi egyetem a tantestületébe választja, és 1990-ig
nyugdíjazásáig itt is marad. 1982 és 1983 között negyedikként elfoglalhatta az
AAAI elnöki székét. Nilsson számos az MI témakörébe tartozó könyvet írt és
lektorált. (Wikipedia, 2008)
Peter Hart az 1940-es években született, informatikus és vállalkozó. A Msc
diplomáját és a Ph.D címét a stanfordi egyetemen szerezte meg. Az 1997-ben az
általa alapított Ricoh Vállalkozás elnöke volt. Alapvető eredményeket ért el az MI
területén. 1967 és 1975 között az SRI Nemzetközi laboratóriumban a Mesterséges
Intelligencia részlegen dolgozott igazgatóként, és ezalatt számos publikációja jelent
meg az informatika ezen területéről. (Wikipedia, 2009)
Bertram Raphael 1936-ban született és az MI terén elért eredményeiért híres.
A Bsc diplomáját fizikából a rensselaeri műszaki egyetemen szerezte meg 1957-
ben, a Ph.D címet pedig az MIT-n 1964-ben. (Wikipedia, 2008)
5. A matematikában kevésbé ismert módszerek
41
5.1.2.2 Az eljárás
Ebben az eljárásban a kiértékelő függvényünk a heurisztikus függvény és az
aktuális csúcsig megtett út költségének ( ( )g n ) kombinációja. Tehát
( ) ( ) ( )f n g n h n . Átfogalmazva ( )f n a legolcsóbb, az n csúcson keresztül
vezető megoldás becsült költsége.
Az A* optimalitását könnyű elemezni, ha ( )h n egy elfogadható heurisztika.
Definíció (elfogadható heurisztika): ( )h n soha nem becsüli felül a cél eléréséhez
szükséges költséget.
Ennek a feltételnek a légvonalban mért távolság, mint heurisztikus függvény
eleget tesz, hiszen e távolság bármely két pont között a legrövidebb.
Állítás: Az A* optimális, ha h(n) elfogadható heurisztika.
Bizonyítás: Indirekten tegyük fel, hogy az eljárás során eljutottunk egy olyan
célcsúcsba melynek az értéke szuboptimális (nem megfelelő). Jelöljük ezt a csúcsot
G -vel. Legyen az optimális megoldás költsége *C . Mivel G szuboptimális és
( ) 0h G (ez minden célcsúcsra igaz), tudjuk, hogy:
( ) ( ) ( ) ( ) *f G g G h G g G C .
Tekintsünk most egy A csúcsot, amely a megoldási útvonalon van (ilyennek
léteznie kell, ha a megoldás létezik). Mivel ( )h n heurisztikus, vagyis nem becsüli
túl, tehát tudjuk, hogy:
( ) ( ) ( ) *f A g A h A C .
Ezek alapján ( ) * ( )f A C f G , tehát G nem kerülhet kifejtésre. Ellentmondásba
ütköztünk, vagyis az A* optimális megoldással fog visszatérni.∎ (Stuart Russell,
Peter Norvig, 2005)
Ez a bizonyítás azonban néhány esetben nem helytálló. Ezen esetek kifejtése
viszont komoly és igen szerteágazó informatikai ismereteket igényel, így mellőzzük
is őket.
5. A matematikában kevésbé ismert módszerek
42
Az alábbi ábrák illusztrálják az eljárás fázisait.
21. ábra: Az A* algoritmus lépései. A csomópontok az f g h értékeivel vannak felcímkézve. Az első lépésben
Nagyszebent választja az algoritmus, majd Rimnicu Vilcea-t, de itt miután összehasonlítja a Rimnicu Vilcea-ból elérhető csúcsok értékeit visszalép és Fogaras csúcsot fogja választani (mivel annak a legkisebb az értéke). A
további lépéseket a következő 22. ábra szemlélteti.
22. ábra: A Fogarasból feldolgozott minden csúcs értéke nagyobb, mint a Rimnicu Vilcea-ból elérhető Pitesti, így az eljárás a következő lépésben ezt a csúcsot választja. Ezután pedig megérkezik Bukarestbe, és jól látható, hogy
a mohó legjobbat-először algoritmushoz képest 32 kilométert javított.
Az eljárás egyik nagy hibája a hatalmas memóriaigény, mivel a meglátogatott
csúcsokat a memóriában tárolja. Ezért az A* algoritmus sok nagyméretű
problémához nem praktikus.
6. Összefoglalás
43
6 Összefoglalás
A szakdolgozat célja volt, hogy bemutassam és rávilágítsak a legrövidebb
útkereső algoritmusok sokszínűségére, valamint arra, hogy szerteágazóan sok
gyakorlati hasznuk van. A gráfelméletbeli alapfogalmak bemutatása után a
probléma alesetei szerint csoportosított algoritmusok részletezése következett.
Igyekeztem minél több ábrával és példával szemléltetni a folyamatok lépéseit,
ezzel megkönnyíteni azok megértését. Végül a modern kor tudományában az
informatikában kialakult változatai közül és kettőt bemutattam. Az életrajzok és
idézetek célja volt a túlzottan száraz jelleg elkerülése mellet az általános tudás
növelése, valamint az, hogy milyen más területen alkottak illetve a mai napig
alkotnak ezek a zseniális elmék.
Mielőtt elkezdem volna írni a szakdolgozatomat, ódzkodtam a témától. Annak
idején mikor tanultam ezen algoritmusok némelyikét, nem láttam, hogy mennyi
mindenre alkalmasak, milyen sok területen lehet használni őket. Most, hogy a
témát – véleményem szerint – alaposan megvizsgáltam és kielemeztem, állíthatom,
hogy fejlődő világunknak igenis nagy szüksége van ezekre a fantasztikus
matematikai és informatikai megállapításokra.
7. <Irodalomjegyzék
44
7 Irodalomjegyzék
E.W.Dijkstra. (1959). Numerische Mathematik.
Haugeland. (1985). Artificial Intelligence: The very idea. Cambridge: MIT Press.
Nilsson, N. (1998). Artifical Intelligence: A new synthesis. San Mateo: Morgan
Kaufmann.
Singh Nayandeep. (2001. január 10). Yahoo. Letöltés dátuma: 2009. március 3,
forrás: L. R. Ford: http://www.geocities.com/nayan_vt/lester_randolph_ford1.htm
Stuart Russell, Peter Norvig. (2005). Mesterséges Intelligencia. Budapest:
Panem.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest. (2001).
Algoritmusok. Műszaki Könyvkiadó.
Wikipedia. (2007. november 23). Letöltés dátuma: 2009. március 3, forrás:
http://www.thocp.net/biographies/dijkstra_edsger.htm
Wikipedia. (2008. november 24). Letöltés dátuma: 2009. máecius 15, forrás:
http://en.wikipedia.org/wiki/Nils_Nilsson
Wikipedia. (2008. november 4). Letöltés dátuma: 2009. március 15, forrás:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bertram_Raphael
Wikipedia. (2009. január 28). Letöltés dátuma: 2009. március 11, forrás:
http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_W._Floyd
Wikipedia. (2009. január 31). Letöltés dátuma: 2009. március 11, forrás:
http://en.wikipedia.org/wiki/Stephen_Warshall
Wikipedia. (2009. február 14). Letöltés dátuma: 2009. március 09, forrás:
http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Bellman
Wikipedia. (2009. január 27). Letöltés dátuma: 2009. március 15, forrás:
http://en.wikipedia.org/wiki/Peter_E._Hart
8. Köszönetnyilvánítás
45
8 Köszönetnyilvánítás
Végezetül szeretnék köszönetet mondani mindazoknak, akik munkámat
segítették. Külön köszönet Nagy Adriennek, aki bokros teendői mellett, nem kevés
segítséget és figyelmet szentelt nekem.
Köszönöm továbbá Podobni Dóra és Kocsis Olivér támogatását, hasznos
tanácsait és segítségét.
