Tesina Predoctoral (Exoesqueleto)

CENTRO DE INVESTIGACION Y DE

ESTUDIOS AVANZADOS DEL INSTITUTO

POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD ZACATENCO

DEPARTAMENTO DE CONTROL AUTOMATICO

DESIGN, MODELING AND CONTROL OF AN

EXOSKELETON

TESINA PREDOCTORAL

En la especialidad de

CONTROL AUTOMATICO

presenta

Suresh Kumar Gadi

Director de Tesis

Ruben Alejandro Garrido Moctezuma

Rogelio Lozano-Leal

Co-Director de Tesis

Ciudad de Mexico, D. F. Julio 2012

Contenido

Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Lista de Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

1. Introduccion 1

1.1. Clasificacion de los exoesqueletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Historia de los exoesqueletos antropomorficos y pseudo-antropomorficos activos 2

1.3. Desafıos en el diseno de exoesqueletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5. Organizacion de los capıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Estudio de los esquemas de control para la interaccion humano-maquina 7

2.1. Esquema general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. El algoritmo de Kazerooni del ano 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. El algoritmo de BLEEX del ano 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. El algoritmo de K. Kong y M. Tomizuka del ano 2009 . . . . . . . . . . . . 12

3. Modelo del movimiento humano 15

3.1. Definiciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Los musculos y la movilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Descripcion del Movimiento Humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4. Hipotesis de control biologico del movimiento humano . . . . . . . . . . . . 21

3.5. El esquema del movimiento humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6. Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF) 27

4.1. Modelado del DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2. Interaccion entre el brazo humano y el DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3. Esquema del controlador aplicado al DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4. Analisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5. Analisis del desempeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6. Seleccion de los parametros del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.7. Resultados de la simulacion y experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

iv Contenido

5. Conclusiones y trabajo futuro 415.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Referencias 45

A. Modelo del motor electrico y del amplificador 53

B. Simplificaciones de las ecuaciones 55

C. Prueba de estabilidad 59

D. El modelo experimental 65

Lista de Figuras

2.1. Esquema general propuesto de la interaccion entre piloto y maquina. . . . . 8

2.2. El esquema de control del exoesqueleto de H.Kazerooni se muestra en [Kazerooni88]. 9

2.3. Algoritmo de control de H.Kazerooni aplicado al esquema basico propuesto. 9

2.4. El esquema de control del BLEEX se muestra en [Kazerooni05]. . . . . . . . 11

2.5. Algoritmo de control del BLEEX aplicando al esquema basico propuesto. . 11

2.6. El esquema de control del exoesqueleto de K. Kong y M. Tomizuka se muestraen [Kong09]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7. Algoritmo de control de K. Kong y M. Tomizuka aplicando al esquema basicopropuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8. Esquema simplificado de control del exoesqueleto K. Kong y M. Tomizuka. 14

3.1. Un ejemplo ensenando un par de musculos antagonistas, el musculo bıcepsy el musculo trıceps, actuando la articulacion del codo (Imagine tomada de[Saburchill12]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. La anatomıa de un musculo (Imagine tomada de [Cram10]). . . . . . . . . . 19

3.3. Un ejemplo de las trayectorias rectas de velocidad y posicion del brazo enmovimiento del punto a punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4. Esquema que muestra el control del movimiento de un brazo humano. . . . 23

3.5. Resultados de simulacion del modelo empleando los valores dados en la Tabla3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1. Esquema y fotografıa del dispositivo de aumento de fuerza (DAF). . . . . . 28

4.2. Diagrama a bloques del DAF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3. Brazo interactuando con el DAF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4. Diagrama a bloques que muestra el algoritmo de control en lazo cerrado. . . 31

4.5. Simplificacion del diagrama a bloques que se muestra en la Figura 4.4. . . . 32

4.6. Resultados de la simulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7. Resultados de la simulacion cuando el piloto quita la mano despues de 15 s. 37

4.8. Diagrama de lugar de las raıces para el sistema en lazo cerrado. . . . . . . . 39

4.9. Resultados experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.10. Grafica de la posicion contra el tiempo para un retardo de d1 = d2 = 162msdonde se observa que el sistema se vuelve inestable. . . . . . . . . . . . . . . 40

v

vi Lista de Figuras

A.1. Diagrama a bloques del motor de corriente directa con un amplificador co-nectado con realimentacion en corriente, es decir en modo par. . . . . . . . 54

C.1. Separacion del modelo general de control en los subsistemas en lazo cerradoS1 y S2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

D.1. Figura 3D muestrando el bloque mecanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66D.2. Dimensiones del bloque mecanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67D.3. Dimensiones del tornillo del mecanismo de tuerca husillo. . . . . . . . . . . 68D.4. Resistencia vs fuerza del sensor de fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68D.5. Cirquito electronico del sensor de fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Lista de Tablas

1.1. Cantidad mınima requerida de GDL para un exoesqueleto [Jansen00] . . . . 5

3.1. Valores representativos de los parametros de un modelo humano [McIntyre93]. 24

4.1. Valores de los parametros para la simulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

vii

Capıtulo 1

Introduccion

El exoesqueleto es un esqueleto externo al cuerpo de un animal, y puede ser natural

o artificial. En esta tesis el termino exoesqueleto representa una estructura artificial externa

para humanos. Al usuario de un exoesqueleto lo llamaremos piloto.

1.1. Clasificacion de los exoesqueletos

Los exoesqueletos se pueden clasificar en activos o pasivos, dependiendo del uso o

no de energıa externa respectivamente. Tambien, se pueden clasificar en antropomorficos,

no-antropomorficos o pseudo-antropomorficos por su cinematica [Zoss05]. La bicicleta es un

ejemplo de un exoesqueleto pasivo no-antropomorfico. Por otra parte, la literatura se refiere

a exoesqueletos activos cuando habla de exoesqueletos roboticos, exoesqueletos alimentados

y extendidos. Muchos no-antromorficos como la bicicleta y antropomorfico pasivo como la

armadura tienen una larga historia.

Las investigaciones mas recientes centran su interes en los exoesqueletos antro-

pomorficos y en los pseudo-antropomorficos activos.

1

2 Capıtulo 1: Introduccion

1.2. Historia de los exoesqueletos antropomorficos y pseudo-

antropomorficos activos

En 1961, el pentagono hizo una invitacion abierta a los inventores para contribuir

al desarrollo de un exoesqueleto llamado servo-soldado. Lo que pretendıan era hacer un

soldado resistente a la guerra bacteriologica, al gas venenoso, al calor y la radiacion de las

explosiones nucleares [Cormier61]. En el ano de 1966, la Universidad de Cornell desarrollo,

para la oficina de Investigaciones Navales de los Estados Unidos, un exoesqueleto con la ca-

pacidad de cargar 1000 libras en cada brazo. Esto con el objetivo de ayudar a sus marines en

el manejo de maquinaria y bombas pesadas [Cloud65]. Posteriormente, en 1969, un exoes-

queleto alimentado llamado Hardiman fue probado por la Companıa “General Electric”, el

cual era capaz de amplificar la fuerza humana por 25 veces y manejar una carga de hasta

1000 libras [Operation69]. Este se realizo con base en el concepto de maestro-esclavo. En

contraste, en 1988, H.Kazerooni desarrollo uno extendido con un grado de libertad (GDL)

en el cual las senales de informacion fueron tomadas directamente de la interaccion hombre-

maquina [Kazerooni88]. En el ano 2000, la agencia “Defense Advanced Research Projects

Agency” (DARPA) adjudico un contrato a la empresa “Millenium Jet Inc.”, de Sunnyvale,

Calif. para desarrollar y probar un exoesqueleto volador, bajo el programa “Exoskeleton

for Human Performance Augmentation Program” (EHPA) [ofDefense00]. En el ano 2001, la

DARPA patrocino a la empresa “Sarcos Research Corp.” de Salt Lake City Utah, el desa-

rrollo de un robot antropomorfico energeticamente autonomo, en Ingles: “Wearable Ener-

getically Autonomous Robot” (WEAR) [ofDefense01, Marks06, Pappalardo04]. El diseno

del exoesqueleto de la empresa Sarcos tenıa 24 horas de autonomıa energetica [Huang04].

Ademas, bajo el patrocinio de la DARPA, la Universidad de California en Berkeley desa-

rrollo el exoesqueleto BLEEX (“Berkeley Lower Extremity Exoskeleton”) [Zoss05], que en

el ano 2003 permitio a un piloto manipular grandes pesos, haciendole sentir solo una parte

de la carga real [IES04]. Otro proyecto, muy conocido, patrocinado por la DARPA es el

exoesqueleto cuasi-pasivo del “Massachusetts Institute of Technology” (MIT) [Guizzo07],

que usa elementos pasivos como resortes y amortiguadores. La electronica del exosqueleto

usa muy poca energıa alrededor de 2W para controlar los amortiguadores y ayudar en la

1.3. Desafıos en el diseno de exoesqueletos 3

liberacion controlada de la energıa almacenada en los resortes [Walsh06].

Los exoesqueletos como el Sarcos y el BLEEX usan actuadores hidraulicos [Yang04,

Megraw07]. En contraste el “Institute of Systems and Engineering Mechanics” de la Uni-

versidad de Tsukuba,en Japon, desarrollo en el ano de 2002 un exoesqueleto con actuadores

electricos llamado “Hybrid Assistive Limb” (HAL) [Lee02].La ultima version de este exoes-

queleto es el llamado HAL-5, el cual esta disponible comercialmente para usos domesticos

como caminar, subir escaleras y cargar objetos en interiores y exteriores, con autonomıa

energetica de aproximadamente 2 horas y media de uso continuo, utilizando baterıas recar-

gables [Guizzo05, Inc.11a].

El Departamento de Ingenierıa de Sistemas para la Asistencia Social del Instituto

Tecnologico de Kanagwa,en Japon, ha desarrollado un exoesqueleto alimentado con actua-

dores pneumaticos, para ayudar a las enfermeras en su trabajo. Este exoesqueleto no tiene

ninguna parte mecanica en el frente del cuerpo del piloto, de tal manera que permite a las

enfermeras manejar a los pacientes sin riesgo de dano [Yamamoto02].

1.3. Desafıos en el diseno de exoesqueletos

Si consideramos de manera estricta el diseno de un exoesqueleto pseudo-antropomorfi-

co, la cantidad mınima de grados de libertad (GDL) que se requieren esta dado en la Tabla

1.1; la cual muestra un total de 29 GDL para un exoesqueleto de cuerpo completo, lo que

significa un reto bastante complicado para el diseno de la estructura mecanica y el proce-

samiento de la informacion para el control.

Dado que una sola fuente de alimentacion autonoma no puede suministrar la

energıa y la potencia requeridas para los exoesqueletos, nos encontramos con otro desafıo; el

que obliga a tener sistemas hıbridos de alimentacion. Por ejemplo: motores de combustion

interna con super capacitores, celdas de combustible con super capacitores o motores de

combustion interna con baterıas [Jansen00].

En cuanto a los actuadores, se ha encontrado en los estudios comparativos realiza-

dos, entre los de tipo electromecanico, hidraulico y neumatico, que los mas aceptables para

los exoesqueletos son los hidraulicos [Jansen00]. En este caso el reto es suprimir el ruido


inherente a este tipo de actuadores y manejar adecuadamente su comportamiento no lineal.

Por otra parte, en los exoesqueletos nos encontramos con el desafıo de medir la

intencion o proposito del piloto. Al respecto, los sensores usados son: el sensor de fuerza,

el sensor de electromiografıa (EMG) y el sensor de dureza del musculo. El sensor de fuerza

presenta el problema de elegır el mejor lugar para ubicarlo, de tal manera que en ese lugar

exista el sensado requerido, que represente de manera mas fiel la fuerza que esta desarrollan-

do el piloto. En cuando al sensor de electromiografıa de superficie (EMGS), este tiene una

baja relacion senal/ruido (RSR), tambien requiere mucho tiempo para calibrarlo [Guizzo05],

ademas de que su calibracion debe ser personalizada [Murray95]. Mas aun, para una misma

persona la senal entregada cambia despues de que el musculo ha trabajado para desarrollar

la misma tarea varias veces [Bonato02]. Respecto al sensor de dureza del musculo, el pro-

blema principal es su ubicacion en el musculo, de tal manera que entregue buenos niveles

de senal [Yamamoto02]. Tambien es un problema su falta de disponibilidad en el mercado,

de tal manera que necesitarıamos fabricarlo de acuerdo a [Moromugi06, Yamamoto04].

En cuanto a la deteccion de fallas, en caso de mal funcionamiento de los sensores

o actuadores, el controlador debe detectarlas en fracciones de segundo para garantizar la

seguridad del piloto. Para abordar la solucion de este problema se puede usar un filtro

predictor para todo el sistema [Jansen00].

1.4. Objetivo

Los objetivos de este proyecto son el diseno, modelado y control de un exoesqueleto

pseudo-antropomorfico activo de cuerpo completo. En particular esta tesis se centra en el

estudio de la filosofıa de control de los exoesqueletos y en el entendimiento de la intencion

del piloto humano y la maquina. Para este proposito se ha construido un Dispositivo de

Aumento de Fuerza (DAF) que es un exoesqueleto no-antropomorfico activo [Kazerooni08]

muy simple en el que se estudiaran y compararan deferentes esquemas de control que ya

han sido utilizados y el que se propone en este trabajo.

Como se menciono en el parrafo anterior, hemos seleccionado un DAF debido a

que su modelo dinamico es lineal, solamente tiene un grado de libertad (GDL), por lo que

1.5. Organizacion de los capıtulos 5

Tabla 1.1: Cantidad mınima requerida de GDL para un exoesqueleto [Jansen00]

Junta GDL Descripcion

Pie 1 Extension para junta metacarpofalangica

Tobillo 1 Flexion-extension

Rodilla 1 Flexion

Cadera 3Flexion-extension, abduccion-adduccion y rotacion

medial-lateral

Pelvis 3 Rotaciones planas coronal, sagital y transversal

Columna vertebral 3 Flexion-extension, flexion lateral y rotacion

Hombro 3 Flexion-extension, abduccion y rotacion medial-lateral

Codo 2 Flexion y pronacion-supinacion del antebrazo

Muneca 2 Flexion-extension y abduccion-adduccion

es sencillo de controlar. Otra razon muy importante para su utilizacion es la gran seguridad

que presenta para el piloto humano, ya que todas las partes del piloto estan fuera de la

maquina.

Actualmente este trabajo se encuentra en la etapa del estudio de la filosofıa de

control a utilizar. En particular, en este momento se estan estudiando algunas de las filosofıas

de control de exoesqueletos mas conocidas que son comparables con la que se propone en

este trabajo. Tambien se esta investigando el modelado matematico de los movimientos del

brazo del piloto humano. Al respecto se han realizado simulaciones de la interaccion del

piloto con el DAF, ası como experimentos, en tiempo real, con el DAF.

1.5. Organizacion de los capıtulos

El Capıtulo 2 contiene el estudio de algunos esquemas de control para la interac-

cion humano-maquina, probados anteriormente. El siguiente capıtulo se refiere al modelado

matematico del movimiento del brazo humano. Posteriormente, en el Capıtulo 4 se presenta

la construccion del DAF y su modelado matematico que se esta utilizando en la parte expe-

rimental, tambien la simulacion y el control con sus resultados experimentales. Finalmente


en el Capıtulo 5 se presentan las conclusiones de este trabajo y las perspectivas del trabajo

futuro.

Capıtulo 2

Estudio de los esquemas de control

para la interaccion

humano-maquina

Inicialmente en este capıtulo se presenta un esquema general para el estudio de

la interaccion entre piloto y maquina. Posteriormente se estudia la filosofıa de tres de los

esquemas de control mas conocidos para los exoesqueletos.

2.1. Esquema general

En la Figura 2.1 se tiene un esquema general de la interaccion entre piloto y

maquina. El sistema nervioso central (SNC) del piloto genera una senal para el movimiento

deseado de uno de sus brazos. Esta senal es transmitida a los musculos esqueleticos corres-

pondientes. Los musculos esqueleticos generan un par τM en la articulacion especıfica del

esqueleto. El esquema tambien muestra el brazo de un exoesqueleto accionado y controlado,

el cual suministra un par τA al exoesqueleto.

Se aplican diferentes algoritmos en la estrategia de control del exoesqueleto, los

cuales se presentan en las siguientes secciones. La interaccion entre piloto y exoesqueleto

esta dada por el intercambio de fuerzas entre ellos. Cuando se tiene una diferencia entre

7

8 Capıtulo 2: Estudio de los esquemas de control para la interaccion humano-maquina

Encéfalo

Médula espinal

Músculo Endoesqueleto+

ExoesqueletoActuador +

+

Controlador

-E

C1

C2

θh

θe

τe

τh

τA

τM

Sistema músculo-esquelético

Fh

Fe

-1

Sistema nervioso central (SNC)

Figura 2.1: Esquema general propuesto de la interaccion entre piloto y maquina.

la posicion del brazo del piloto (θh) y la posicion del brazo del exoesqueleto (θe), el brazo

del piloto puede tocar el brazo del exoesqueleto en uno o mas lugares y allı se genera

una fuerza de reaccion. Fe representa la fuerza de reaccion del brazo del piloto sobre el

brazo del exoesqueleto, de manera similar Fh es la fuerza que siente el brazo del piloto

por la interaccion con el brazo del exoesqueleto. E es una funcion no lineal dinamica que

mapea la diferencia de posicion de los brazos del piloto y del exoesqueleto a la fuerza Fe.

Matematicamente se puede escribir

Fe(t) = E (θh(t)− θe(t), t) (2.1)

donde t es el tiempo en s.

C1 y C2 son constantes positivas que ayudan a convertir las fuerzas Fe y Fh en los

pares τe y τh respectivos. El SNC tambien toma informacion de la posicion del brazo (θh)

desde los huesos musculares respectivos. Este proceso se explicara mas detalladamente en

el Capıtulo 3.

2.2. El algoritmo de Kazerooni del ano 1988

En la Figura 2.2 se presenta el algoritmo de control como se presenta en [Kazerooni88].

Agregando dicho algoritmo al esquema basico propuesto, se observa un resultado como el

2.2. El algoritmo de Kazerooni del ano 1988 9

E++

Kk1 +Gk2-

Hk

-1Sk

-

Gk1

∫ KA

θd θh Fe

nr

Fh

θe

θe.

Figura 2.2: El esquema de control del exoesqueleto de H.Kazerooni se muestra en[Kazerooni88].

Encéfalo

Médula espinal



+

Kk1

-E

C1

C2

θh

θe

τe

τh

τA

τM


θe

.

Fh

Fe

-1


+KAHk-

Figura 2.3: Algoritmo de control de H.Kazerooni aplicado al esquema basico propuesto.

de la Figura 2.3. Este algoritmo propone que la posicion del brazo del piloto (θh) sea de-

pendiente de la trayectoria deseada (θd) y de la fuerza que actue sobre el brazo (Fh). Gk1

y Sk son las funciones que mapean la trayectoria deseada (θd) y la fuerza Fh a la posicion

del brazo del piloto (θh). Para propositos de simplificacion se toman las funciones como

dinamicas y lineales. Matematicamente se puede escribir

θh(s) = Gk1(s)θd(s) + Sk(s)Fh(s) (2.2)

donde s es la variable compleja de la transformada de Laplace.

El bloque Gk2 representa la planta del exoesqueleto, con entrada de alimentacion


a su actuador y salida de velocidad angular del brazo del exoesqueleto. En este caso el

algoritmo controlador Kk1 es uno del tipo proporcional, integral, derivativo (PID), el cual

permite seguir la velocidad angular como trayectoria de referencia (nr).

En este algoritmo, para simplificar el bloque E, el autor tomo una funcion lineal

dinamica. Tambien se utiliza un sensor de fuerza para medir Fe. La ganancia de amplificacion

(KA) aumenta la fuerza medida. Se usa un filtro de primer orden (Hk) para reducir los

ruidos de alta frecuencia. La funcion de transferencia entre la trayectoria deseada (θd) y la

trayectoria de posicion del exoesqueleto (θe) es

θe(s)

θd(s)=

E(s)Hk(s)KAKk1(s)Gk2(s)

s(1 + E(s)Sk(s))(1 +Kk1(s)Gk2(s)) + E(s)Hk(s)KAKk1(s)Gk2(s)(2.3)

Utilizando el teorema de las pequenas ganancias, la estabilidad del sistema com-

pleto en lazo cerrado esta dada por la siguiente condicion suficiente sobre KA.

|KA| <

∣∣∣∣s(1 +Kk1(s)Gk2(s))(1 + Sk(s)E(s))

Hk(s)Kk1(s)Gk2(s)E(s)

∣∣∣∣ (2.4)

A partir de (2.3), se puede observar que la trayectoria del brazo del exoesqueleto

(θe) sigue estrechamente la trayectoria deseada (θd), cuando la ganancia KA es alta. Sin

embargo para satisfacer la condicion (2.4) se limita la ganancia de KA. Se puede notar que

(2.4) es una condicion suficiente para la estabilidad. Entonces, dependiendo del sistema, se

puede permitir un valor de KA mayor al valor indicado en la condicion (2.4).

Pros:

• El sensor usado en este algoritmo es un sensor de fuerza muy sencillo de instalar.

Contras:

• La velocidad angular de referencia (nr) es proporcional a la fuerza Fe, eso permite que

el exoesqueleto cambie su posicion cada vez que el piloto ejerce alguna fuerza sobre el.

En otras palabras, el piloto no siente ninguna fuerza cuando el brazo del exoesqueleto

esta fijo en una posicion.

• Por la misma razon, la fuerza experimentada por el piloto (Fh) no es dependiente del

peso que carga el brazo del exoesqueleto.

2.3. El algoritmo de BLEEX del ano 2005 11

GbCb ∫+

Sb

τe

θeθe.

Figura 2.4: El esquema de control del BLEEX se muestra en [Kazerooni05].

Encéfalo

Médula espinal



+

Controlador

-E

C1

C2

θh

θe

τe

τh

τA

τM


θe

.

Fh

Fe

-1


Figura 2.5: Algoritmo de control del BLEEX aplicando al esquema basico propuesto.

2.3. El algoritmo de BLEEX del ano 2005

El esquema de control del “Berkeley Lower Extremity Exoskeleton” (BLEEX) para

un GDL esta dado en la Figura 2.4. La Figura 2.5 muestra el algoritmo del BLEEX en el

esquema basico propuesto. La velocidad del brazo del exoesqueleto (θe) es dependiente del

par que produce el actuador y de la interaccion entre piloto y exoesqueleto (τe). El bloque Sb

representa la funcion que mapea el par τe a la velocidad θe. Las dinamicas del actuador y del

brazo del exoesqueleto estan dadas en el bloque Gb. El controlador (Cb) toma la velocidad


θe como realimentacion positiva. La sensibilidad de τe a θe es

θe(s)

τe(s)=

Sb(s)

1−Gb(s)Cb(s)(2.5)

El autor propuso el siguiente controlador.

Cb(s) =

(1− 1

KA

)G−1

b (s) (2.6)

donde KA es el factor de amplificacion. Usando el control (2.6), se puede reescribir (2.5)

como

θe(s)

τe(s)= KASb(s) (2.7)

Pros:

• Usando este algoritmo no se necesita usar ningun sensor para medir la intencion del

piloto.

Contras:

• El controlador usa una realimentacion positiva que da alta sensibilidad a perturba-

ciones externas.

• El controlador necesita conocer el modelo del exoesqueleto (Gb) con alta precision.

• Se necesita implementar el calculo de la inversa de la dinamica Gb, lo cual no es

siempre facil dado que Gb tiene no linealidades.

2.4. El algoritmo de K. Kong y M. Tomizuka del ano 2009

El esquema de control del exoesqueleto de K. Kong y M. Tomizuka se presenta en

la Figura 2.6. La Figura 2.7 muestra este algoritmo aplicado al esquema basico propuesto. El

bloque Ht representa las dinamicas del brazo del exoesqueleto. Usando menos masa para el

brazo del exoesqueleto, los autores han ignorando las dinamicas del brazo del exoesqueleto en

Ht. Tambien los autores asumen que el sistema es estable sin actuador (At). Las dinamicas

del actuador y el controlador estan dadas por los bloques At, Ct. Considerando que el

2.4. El algoritmo de K. Kong y M. Tomizuka del ano 2009 13

Ht+

At Ct

MúsculoCerebro+θd

τA

τMθh

-

Figura 2.6: El esquema de control del exoesqueleto de K. Kong y M. Tomizuka se muestraen [Kong09].

Encéfalo

Médula espinal



+

Controlador

-E

C1

C2

θh

θe

τe

τh

τA

τM

Fh

Fe

-1


+

Figura 2.7: Algoritmo de control de K. Kong y M. Tomizuka aplicando al esquema basicopropuesto.

controlador puede realizar la inversa de la dinamica At, los autores ignoraron la dinamica

del actuador, es decir At(s) = 1.

Los autores han propuesto el siguiente controlador.

Ct(s) =

(1− 1

KA

)H−1

t (s) (2.8)

donde KA es un factor de amplificacion. Agregando este control al esquema mostrado en la

Figura 2.6, se puede simplificar como el esquema presentado en la Figura 2.8. Tambien se

observa que el par que producen los musculos (TM ) se aumenta en un factor KA.

Debido al esquema de la Figura 2.6, se tiene

τM (s) + τA(s) = H−1t (s)θh(s) (2.9)


HtMúsculoCerebro+θdτM

θh

-

KA

Figura 2.8: Esquema simplificado de control del exoesqueleto K. Kong y M. Tomizuka.

Para implementar este controlador se necesita el conocimiento de la inversa de la dinamica

del brazo del piloto. Cuando no se tiene el modelo o es difıcil realizar su inversa, se puede usar

un sensor de EMG o de dureza del musculo para medir el par que produce el musculo (τM ).

Los autores proponen que el sistema es estable, porque el cerebro es inteligente y controla

al sistema adaptativa y robustamente, sin embargo los autores no recomiendan generar

inestabilidad en el lazo interno del esquema de la Figura 2.6. Entonces se requiere una

medicion de τM de alta precision. Los autores proponen que, para garantizar la estabilidad

del lazo interno, en un sistema lineal con un error (∆) en la estimacion de Ht, se necesita

satisfacer

|KA(jΩ)− 1| < |∆(jΩ)|−1 (2.10)

Con cero error en la medicion, se puede usar cualquier ganancia de amplificacion

(KA).

Pros:

• Realizar este algoritmo es facil usando un sensor para medir τM .

Contras:

• En cuanto al sensor de dureza del musculo, este se encuentra todavıa en la fase de

desarrollo. El sensor de EMG tiene baja relacion senal/ruido (RSR), lo que no permite

estimar τM con alta precision.

• Los autores asumen que el cerebro estabiliza el sistema, sin demostracion.

Capıtulo 3

Modelo del movimiento humano

Un exoesqueleto activo necesita un controlador que le permita ser estable. Para

esto, se requiere del conocimiento del modelo del movimiento humano. En este capıtulo se

estudia el movimiento que realiza el cuerpo humano de forma natural. Ademas, se estudia

como un brazo humano sigue una trayectoria deseada, y por ultimo se estudia el modelo

matematico que representa la dinamica de un brazo.

3.1. Definiciones Importantes

Cerebelo: Es una region del cerebro humano ubicado en la parte trasera del craneo. Esta

parte del cerebro es responsable de la coordinacion del movimiento [Association06].

Corteza cerebral: Es la sustancia gris que se encuentra en la parte mas exterior del

cerebro humano. Esta parte del cerebro es responsable de las funciones motoras mas

complejas [Medterms12].

Husos musculares: Los husos musculares o receptores de estiramiento son las fibras mus-

culares dentro de un musculo que detectan cambios en la longitud de este, propor-

cionan al SNC informacion para que se desarolle la propiocepcion que le permite al

individuo obtener informacion acerca de la posicion del cuerpo o el movimiento de

este en el espacio.

Interneurona: Son las neuronas que conectan dos neuronas. Este tipo de neuronas estan

15

16 Capıtulo 3: Modelo del movimiento humano

disponibles en un numero grande en comparacion con las neuronas motoras o las

neuronas sensoriales [Bear07].

Motoneurona: son las neuronas que comadan los musculos [Bear07].

Motoneurona alfa (MN-α): Es una categoria de las neuronas motoras inferiores de la

medula espinal, las cuales son directamente responsables de la generacion de fuerzas

en los musculos. MN-α se alimentan de las siguientes tres fuentes [Bear07]:

1. Las senales procedentes del huso muscular, que llevan la informacion de la lon-

gitud del musculo.

2. Las senales procedentes de las neuronas motoras superiores, las cuales juegan un

papel crıtico en la iniciacion de un movimiento.

3. La fuente mas grande de todo viene de las interneuronas de la medula espinal.

Motoneuronas Gamma (MN-γ): Son las neuronas motoras inferiores que inervan los

husos musculares [Bear07].

Neurona sensorial: Son las neuronas que llevan la informacion sensorial desde los organos

sensoriales al SNC [Bear07].

Neuronas motoras inferiores: Son las neuronas procedentes de la medula espinal que

inervan el musculo esqueletico [Bear07].

Neuronas motoras superiores: Son las neuronas que suministran la informacion motora

desde el cerebro a la medula espinal [Bear07].

Propiocepcion: Es la capacidad para detectar la posicion, ubicacion, orientacion y el

movimiento del cuerpo y sus partes. Tambien se le conoce como sensacion corporal

[Bear07, Princeton12].

Realimentacion sensorial: El flujo de informacion sensorial de un organo particular al

cerebro [Babbush08].

Reflejo: Son las acciones automaticas en respuesta a estımulos particulares. Tambien se le

denomina realimentacion refleja sobre el estımulo.

3.2. Los musculos y la movilidad 17

Reflejo de estiramiento: El reflejo de estiramiento o reflejo miostatico es una contraccion

muscular en respuesta a un estiramiento dentro del musculo [Babbush08].

Sistema nervioso central (SNC): Esta constituido por el encefalo y la medula espinal.

[Nieuwenhuys07].

Sistema musculo-esqueletico: La combinacion de los huesos y los musculos vinculados

a estos se conoce como sistema musculo-esqueletico [Association06].

3.2. Los musculos y la movilidad

El musculo es la parte de cuerpo donde se transforma la energıa quımica en energıa

mecanica. Los musculos se pueden clasificar como: musculos voluntarios y musculos invo-

luntarios. Los musculos esqueleticos que usamos en la vida diaria para caminar, manipular

objetos, etc., se agrupan dentro de los musculos voluntarios. Cada conjunto de estos muscu-

los se anclan a los huesos a traves de los tendones. Los musculos suelen trabajar en pares

[Cram10]. Debido a la caracterıstica de elasticidad del musculo, cuando un musculo se con-

trae, el musculo asociado se estira por reaccion a la contracion y esto genera un par motor en

la articulacion. Se dice que los musculos son antogonistas. La figura 3.1 muestra un ejemplo

del papel desempenado por la contraccion muscular y por la relajacion en el movimiento

del brazo.

Cada musculo esta compuesto de fascıculos musculares. Los fascıculos musculares

se componen a su vez de fibras musculares y estas estan formadas por pequenas hebras

llamadas miofibrillas. Una miofibrilla contiene a su vez muchos sarcomeros. Cada sarcomero

contiene una sola unidad de superposicion de filamentos gruesos y finos y los denominados

puentes atravesados (“cross bridges”) entre ellas separadas por lıneas Z, como se muestra en

la figura 3.2. El filamento grueso del sarcomero y los puentes cruzados contienen la miosina,

el filamento fino del sarcomero contiene actina [Cram10].

MN-α inervan el sarcomero para contraer, por lo tanto, el musculo se contrae. Este

es un proceso quımico-electrico donde se convierte la energıa quımica en energıa mecanica.

La explicacion detallada de este proceso se puede ver en la seccion: fibras musculares y


(a) Un brazo con bıceps contraıdo

y trıceps relajado.

(b) un brazo con bıceps rela-

jado y trıceps contraıdo.

Figura 3.1: Un ejemplo ensenando un par de musculos antagonistas, el musculo bıceps y elmusculo trıceps, actuando la articulacion del codo (Imagine tomada de [Saburchill12]).

su funcionamiento en el capıtulo 2 de [Cram10]. La energıa asociada con el movimiento

muscular no esta en funcion de la amplitud del pulso enviado por MN-α, sino de su duracion

y del numero de las fibras musculares que se utilizan [Cram10].

Los husos musculares son las capsulas fibrosas que estan en los musculos. Las fibras

musculares que estan en la capsula fibrosa son fibras intrafusales. Las que estan fuera son

fibras extrafusales que son la mayorıa de las fibras musculares. Las MNs-α inervan las fibras

extrafusales y las MNs-γ inervan las fibras intrafusales. Cuando las MNs-γ inervan los husos

musculares, estos estimulan las MNs-α hasta que las fibras extrafusales tienen una longitud

igual a la de los husos musculares. Ası los husos musculares ofrecen Propiocepcion y los

cambios en actividades de las MNs-γ actuan como cambio en el punto de referencia del

movimiento de los musculos [Bear07].

3.3. Descripcion del Movimiento Humano

En [McIntyre93] McIntyre y Bizzi mencionan que Merton [Merton53] sugiere que

los movimientos en el cuerpo del humano son unicamente cambios en la postura. Las trayec-

torias de los movimientos punto a punto de un brazo humano son usualmente trayectorias

3.3. Descripcion del Movimiento Humano 19

Figura 3.2: La anatomıa de un musculo (Imagine tomada de [Cram10]).


0 0.5 10

5

10

Vel

ocid

ad (

rad/

s)

Tiempo (s)

0

0.5

1

Pos

ició

n (r

ad)

VelocidadPosición

Figura 3.3: Un ejemplo de las trayectorias rectas de velocidad y posicion del brazo enmovimiento del punto a punto.

rectas con un perfil de velocidad en forma de campana [Randall Flanagan90]. Esta observa-

cion permite emplear una funcion sigmoide como trayectoria deseada. La Figura 3.3 muestra

un ejemplo de esta trayectoria. Para que el cuerpo humano realice un movimiento, se tienen

que ejecutar las siguientes acciones [Schweighofer98a]:

Transformacion de coordenadas: El sistema de coordenadas intrınseco es un sistema

de coordenadas interno del cuerpo humano y de la misma manera el sistema de coor-

denadas externo al cuerpo es un sistema de coordenadas extrınseco. Las coordenadas

espaciales son un ejemplo del sistema de coordenadas extrınseco. Una articulacion es

un punto de conexion entre dos huesos. Los musculos esqueleticos se unen con los

huesos por mediacion de los tendones. Un sistema de coordenadas intrınsecas puede

constar del sistema de coordenadas angulares de la articulacion, que tiene como base la

posicion angular de esta, y del sistema de coordenadas de los musculos que tiene como

base la longitud de estos [Oshima00]. Caminiti [Caminiti90b, Caminiti90a, Caminiti91]

sugiere que el cerebro emplea el sistema de coordenadas intrınsecas para realizar el

movimiento del cuerpo. Esto quiere decir que se realiza una transformacion de coor-

denadas del sistema extrınseco al sistema de coordenadas intrınseco con el objecto de

realizar el movimiento [Shaikh04].

Planificacion de trayectoria: Korbinian Brodmann dividio el cerebro en 52 areas basan-

3.4. Hipotesis de control biologico del movimiento humano 21

do en su citoarquitectura [Brodmann06]. Citoarquitectura es el patron caracterıstico

de disposicion de las celulas dentro de un tejido u organo particular. El area 5 de

Brodmann es la que genera la trayectoria deseada y la que tambien calcula las nece-

sidades cinematicas incluyendo la aceleracion para realizar el movimiento del cuerpo

[Schweighofer98a].

Generacion del comando del motor: Despues de determinar una trayectoria deseada

para la generacion de un comando a una articulacion, se necesitan compensar las

fuerzas de las articulaciones adyacentes que afectan al movimiento. Los estudios pre-

sentados en [Bastian96] surgieren que es el cerebelo el que compensa esta accion de

las articulaciones adyacentes sobre la articulacion bajo estudio.

3.4. Hipotesis de control biologico del movimiento humano

El control biologico del movimiento humano se puede realizar por realimentacion,

por prealimentacion o por ambos. El control por prealimentacion es mas rapido que el

control realimentado [Schweighofer98a]. Muchos de los modelos antiguos de control usaron

realimentacion [McIntyre93] y las teorıas posteriores apoyan el concepto de prealimentacion

en sus modelos [Schweighofer98a, Schweighofer98b]. Uno de los modelos posteriores es el

modelo dinamico inverso, que explica el control del movimiento humano. Inicialmente este

modelo usa realimentacion para entrenar una red neuronal en el cerebro que describe al siste-

ma musculo-esqueletico, que por efecto de experiencia tiende un modelo inverso del sistema

que se esta controlando. Basado en este modelo el cerebro genera una senal de prealimen-

tacion (feed-forward) y despues de efectuar el movimiento en cuestion, usa realimentacion

para actualizar el modelo neuronal. Esto es, el control consta de dos componentes: un con-

trol inicial prealimentado mas un control realimentado. Conforme se repite el movimiento,

la parte de realimentacion disminuye en importancia y la parte dominante del control la

efectua la red neuronal realizando un control prealimentado o en lazo abierto, haciendo

la accion del movimiento del brazo mas rapida [Schweighofer98a]. El estudio del modelo

humano en la fase de realimentacion para el control de un exoesqueleto es suficiente para

nuestro proposito, porque el cerebro desarrolla el modelo inverso requerido que estabiliza al


sistema.

3.5. El esquema del movimiento humano

El bloque correspondiente al sistema musculo-esqueletico de la Figura 3.4 muestra

comportamiento del brazo humano y la articulacion del codo. Este es un sistema de un

GDL. Matematicamente el par que actua sobre el brazo puede expresarse de la siguiente

manera.

τh(t) = Jθh(t) +Bθh(t) +K(θh(t)− θv(t)) (3.1)

donde θh es la posicion angular del brazo humano, τh es el torque externo que actua sobre el

brazo, J es la inercia del brazo humano, B es la viscosidad total de la articulacion, K es la

rigidez muscular total y θv es la trayectoria virtual. La trayectoria virtual es la trayectoria

alcanzada por la articulacion en ausencia de los pares externos, del par del momento de

inercia de la masa y del par de friccion viscoso [Latash91, Hogan84, McIntyre93]. El SNC

genera una trayectoria virtual deseada (θvd) [McIntyre93]. Aunque la trayectoria del brazo

siga o no a la trayectoria virtual, la trayectoria deseada siempre se alcanza.

La realimentacion sensorial a la medula espinal no es instantanea. Existen retardos

en la realimentacion de la posicion y de la velocidad que se denotaran por d1 y d2 respecti-

vamente. La medula espinal genera un realimentacion refleja para estimular las MNs-α. De

acuerdo con los siguientes hallazgos, el bloque de realimentacion refleja de la Figura 3.4 fue

disenado por [McIntyre93].

• Referencia [Bizzi78] muestra que los monos pueden alcanzar un objetivo en la ausencia

de la realimentacion refleja.

• Las MNs-α y las MNs-γ se activan simultaneamente, cuando se inicia un movimiento

[Vallbo70, McIntyre93].

• Los sujetos con ausencia de realimentacion sensorial pueden realizar movimientos com-

plejos, pero la precision de estos por alcanzar el objetivo depende de la realimentacion

sensorial [Vallbo70, McIntyre93].

3.5. El esquema del movimiento humano 23

Posición deseada virtual+

K

+-

-

Posición del

brazo

B

Retardo (d2)Sistema músculo-esquelético

Retardo (d1)+ -

Gp

+

Gv

Realimentación refleja

+-Velocidad deseada virtual

ev

ep

θv

θvd

θhθvd

. 1__s

1__Js

τh

Torque externo actuando

sobre el brazo humano

MN-γ

MN-α

Realimentación sensorial

Realimentación sensorial

τM

Figura 3.4: Esquema que muestra el control del movimiento de un brazo humano.

El bloque de realimentacion refleja de la Figura 3.4 se puede representar matematicamente

como

θv(t) = θvd(t) +Gp(ep(t), t) +Gv(ev(t), t) (3.2)

ep(t) = θvd(t)− θh(t− d1) (3.3)

ev(t) = θvd(t)− θh(t− d2) (3.4)

donde Gp y Gv son ganancias positivas variables en el tiempo. El humano tiene la capacidad

de cambiar las ganancias Gp y Gv para adaptarse a cambios del sistema musculo-esqueletico

[Feldman86, Houk81]. Para simplificar el modelo se pueden aproximar como invariantes en

el tiempo [McIntyre93]. Sustituyendo (3.2)-(3.4) en (3.1), escribiendo en el dominio de la

frecuencia, se obtiene

τh(s) = θh(s)[Js2 + (B +KGve

−d2s)s+K(1 +Gpe−d1s)

]− θvd(s)

[KGvs

+K(1 +Gp)]

(3.5)

El bloque de realimentacion refleja se puede considerar como un controlador pro-

porcional derivativo (PD) con Gp, Gv, ep y ev como la ganancia proporcional, ganancia

derivada, error y derivada del error respectivamente.


Tabla 3.1: Valores representativos de los parametros de un modelo humano [McIntyre93].

GrupoJ K B Gp d1 Gv d2

(Nm rad−1 s−2) (Nm rad−1) (Nm rad−1 s−1) (s) (s) (s)

I 0.10 4.00 0.89 2.50 0.065 0.60 0.025

II 0.10 4.00 0.50 1.40 0.065 0.50 0.025

III 0.10 4.00 0.89 2.00 0.040 0.30 0.040

IV 0.10 4.00 0.50 1.50 0.040 0.35 0.040

3.6. Simulacion

En 1978 Dufresne, Soechting, y Terzuolo estimaron el valor de los retardos en el lazo

reflejo en 47ms. Posteriormente ellos mismos en 1979 estimaron los retardos en 25ms y 65ms

en los lazos de retorno de la velocidad y de la posicion respectivamente [McIntyre93]. Los

autores de [McIntyre93] estimaron la inercia de un sujeto en 0.1Nmrad−1 s−2. Experimentos

de [Bennett92, Lanman80, McIntyre93] estiman que la frecuencia natural para un codo en

movimiento rapido esta entre 1Hz y 3Hz . Los autores de [McIntyre93] elaboraron una tabla

de valores posibles que se muestra en la Tabla 3.1, en donde los valores de J , K, d1, y d2

son resultados experimentales y B, Gp, Gv son valores seleccionados adecuadamente para

obtener un sistema estable con buen amortiguamiento. La Figura 3.5 muestra los resultados

de simulacion del modelo humano de la Figura 3.4 con los valores de parametros de la Tabla

3.1 en Simulink de MATLAB.

3.6. Simulacion 25

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (r

ad)

Posición del brazo ( θh )

Posición deseada virtual ( θvd

)

(a) Resultados de la simulacion usando

los valores del Grupo I de la Tabla 3.1.

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

Tiempo (s)P

osic

ión

(rad

)



)

(b) Resultados de la simulacion usando

los valores del Grupo II de la Tabla 3.1.

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (r

ad)



)

(c) Resultados de la simulacion usando

los valores del Grupo III de la Tabla 3.1.

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (r

ad)



)

(d) Resultados de la simulacion usando

los valores del Grupo IV de la Tabla 3.1.

Figura 3.5: Resultados de simulacion del modelo empleando los valores dados en la Tabla3.1.

Capıtulo 4

Esquema de control aplicado a un

Dispositivo de Aumento de Fuerza

(DAF)

En este capıtulo se presenta la configuracion mecanica de un DAF, la interaccion

entre el DAF y el humano, el controlador propuesto, los resultados de simulacion y los

resultados del experimento en tiempo real.

4.1. Modelado del DAF

La Figura 4.1(a) muestra un bosquejo del Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

y la Figura 4.1(b) es su fotografıa. Se compone de un bloque mecanico, de la masa (M)

conectada a un motor electrico a traves de un mecanismo de tuerca husillo. El mecanismo

de tuerca husillo convierte la fuerza de rotacion (par, τA) generada por el motor a una fuerza

rectilınea (FA) que mueve el bloque mecanico.

La posicion del bloque mecanico se considera que es cero cuando el bloque se

encuentra en contacto con el lımite inferior de la carrera mecanica del mecanismo de la

tuerca husillo y positivo cuando el bloque esta arriba de ese nivel. Un codificador de posicion

angular optico conectado al motor permite la medicion indirecta de la posicion del bloque

27

28Capıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

x

y

Sensor de

posiciónTuerca

husillo

El motor

eléctrico

fijado al

estructura

fija

Apoyo del

motor

electrico y

de la

tuerca

husillo

Bloque

mecánico

Sensor de

fuerza

(a) Esquema del DAF mostrando el actua-

dor, el bloque mecanico conectado a una

tuerca husillo y los sensores.

Motor de la CD

Tuerca husillo

Bloque

mecánico

Sensor de

fuerza

Sensor de

posición

Brazo humano

(b) Fotografıa de un piloto operando el

DAF.

Figura 4.1: Esquema y fotografıa del dispositivo de aumento de fuerza (DAF).

mecanico (ye).

Considerando la Figura 4.1(a), la fuerza impulsora (FA) de un mecanismo de tuerca

husillo es proporcional a la salida del par del motor electrico (τM ) [Inc.11b, Inc.12], la cual

se puede escribir

FA(t) =2π

Pm= KmτA(t) (4.1)

donde Km = 2πP−1m , Pm es el paso del tornillo del mecanismo de tuerca husillo.

Puesto que el amplificador de potencia del motor funciona en modo par, su dinami-

ca es rapida (vease el Apendice A). Haciendo caso omiso de esta dinamica se puede escribir

τA(t) = KTVA(t) (4.2)

4.2. Interaccion entre el brazo humano y el DAF 29

1__s

1____Ms

+

Kf

-

W

+- F

FA yeye.

Fe

Dinámica del bloque mecánico

Figura 4.2: Diagrama a bloques del DAF.

donde KT es una constante positiva y VA es el voltaje de entrada al servomecanismo.

Sustituyendo (4.2) en (4.1), se produce

FA(t) = KmKTVA(t) (4.3)

Sea M la masa del bloque mecanico y Kf el coeficiente de friccion viscosa. Por lo

tanto, el modelo del bloque mecanico se puede escribir como:

Mye(t) = −Kf ye(t) + F (t) (4.4)

F (t) = FA(t) + Fe(t)−W (4.5)

donde W = Mg es el peso del bloque mecanico, F es la fuerza total ejercida sobre el bloque

mecanico y Fe es la fuerza ejercida por el piloto. En la Figura 4.2 se representa la dinamica

del DAF. La siguiente ecuacion la representa en el dominio de la frecuencia, con condiciones

iniciales nulas.

ye(s)

F (s)=

1

Ms2 +Kfs(4.6)

4.2. Interaccion entre el brazo humano y el DAF

La Figura 4.3 muestra la interaccion entre el brazo y el bloque mecanico. Sea d el

ancho del dedo, que se deforma una distancia ε cuando ejerce una fuerza sobre el bloque

mecanico, ası que ε = yh − ye. Debido a la diferencia entre la posicion del brazo (yh) y


dSensor de fuerza

Bloqueo mecánicoBrazo humano

θh

(a) Brazo en contacto con el bloque

mecanico.

d-ε

(b) Brazo empujando el bloque

mecanico.

Figura 4.3: Brazo interactuando con el DAF.

la posicion del DAF (ye), se produce una fuerza de reaccion entre ellos. La fuerza ejercida

sobre el DAF por el brazo humano (Fe) y es igual y opuesta a la fuerza ejercida por el DAF

sobre el brazo del piloto (Fh), lo que se puede escribir como [Pataky05]

Fe(t) = −Fh(t) = εE = (yh(t)− ye(t))E (4.7)

por lo que entonces

τh(t) = Fh(t)la = εEla = (ye(t)− yh(t))Ela (4.8)

donde la es la longitud del brazo, y E representa la compliancia fısica de la carne y los

sensores de fuerza existentes entre el humano y el DAF. La rigidez del sensor de fuerza es

muy alta comparada con la de la carne humana, por lo tanto E puede considerarse como

la compliancia de la carne [Kazerooni88]. El valor estimado de E es una constante para

valores pequenos de ε [Pataky05].

4.3. Esquema del controlador aplicado al DAF

El siguiente algoritmo de control se puede aplicar como se muestra en la Figura

4.4.

FA(t) = (KA − 1)Fe(t)−Kdye(t)−Kpye(t) (4.9)

donde KA es la ganancia del amplificador de fuerza, Kp es la ganancia proporcional y −Kdye

representa una realimentacion de velocidad que introduce amortiguamiento en el sistema.

4.4. Analisis de estabilidad 31

Dinámica del

bloque mecánicoF

ye

+ -

Modelo del

brazo

+-

Kd

+

KA-1

(KmKT)-1 ActuadorFAVA

Computador

E

yh

Modelo humano

θvd

leτh

Fh

Kp

-

Fe

θvd

.

le

θh

ye.

W-

le-1 le-1

yvd yvd.

-1

Figura 4.4: Diagrama a bloques que muestra el algoritmo de control en lazo cerrado.

Sustituyendo (4.5), (4.7) y el algoritmo de control (4.9) en (4.4), se obtiene

Mye(t) = −W − (Kd +Kf )ye(t)−Kpye(t) +KAFe(t) (4.10)

o

Mye(t) = −W − (Kd +Kf )ye(t)−Kpye(t) +KA(yh(t)− ye(t))E (4.11)

4.4. Analisis de estabilidad

La Figura 4.5 es una simplificacion de la Figura 4.4. Empleando (4.11), se obtiene

la funcion de transferencia entre ye y yh, la cual se puede escribir como

ye(s)

yh(s)=

KAE

Ms2 + (Kd +Kf )s+Kp + EKA(4.12)

La trayectoria del brazo humano yh sigue la trayectoria deseada yd. En el SNC se

genera yd, tambien se calcula la trayectoria virtual deseada yvd, y se hace una transformacion


Dinámica del

bloque mecánico

F

ye

-

Modelo del

brazo

Fe

KA

+

Kd-

E +ye

yh

yvd

-1

Fh τh

Kp

+

-

W

-

ye.

la

yvd.

Figura 4.5: Simplificacion del diagrama a bloques que se muestra en la Figura 4.4.

de coordenadas de la trayectoria virtual deseada a angulos θvd como se muestra en el bloque

del modelo humano de la Figura 4.4. La dinamica del brazo esta dada por (3.5) y se puede

reescribir como

laτh(s) = yh(s)[Js2 + (B +KGve

−d2s)s+K(1 +Gpe−d1s)

]− yvd(s)

[KGvs

+K(1 +Gp)]

(4.13)

Ignorando los retardos d1 y d2 (i.e. d1 = d2 = 0) y substituyendo (4.8) en (4.13),

se obtiene

El2aye(s) = yh(s)[Js2 + (B +KGv)s+K(1 +Gp) + El2a

]− yvd(s)

[KGvs

+K(1 +Gp)]

(4.14)

4.4. Analisis de estabilidad 33

Sustituyendo (4.12) en la ecuacion anterior, se obtiene

yh(s)

yvd(s)=

[(GvKM)s3 + (GvK(Kd +Kf ) + (Gp + 1)KM)s2 + ((Gp + 1)K(Kd

+Kf ) +GvKKp + EGvKKA)s+ (Gp + 1)KKp + E(Gp

+1)KKA

]/[(JM)s4 + (BM + J(Kd +Kf ) +GvKM)s3

+(EMl2a +B(Kd +Kf ) + JKp + EJKA +GvK(Kd +Kf )

+(Gp + 1)KM)s2 + (E(Kd +Kf )l2a +BKp +BEKA

+(Gp + 1)K(Kd +Kf ) +GvKKp + EGvKKA)s+ EKpl2a

+(Gp + 1)KKp + E(Gp + 1)KKA

](4.15)

ye(s)

yvd(s)=

[(EGvKKA)s+ E(Gp + 1)KKA

]/[(JM)s4 + (BM

+J(Kd +Kf ) +GvKM)s3 + (EMl2a +B(Kd +Kf ) + JKp

+EJKA +GvK(Kd +Kf ) + (Gp + 1)KM)s2 + (E(Kd +Kf )l2a

+BKp +BEKA + (Gp + 1)K(Kd +Kf ) +GvKKp + EGvKKA)s

+EKpl2a + (Gp + 1)KKp + E(Gp + 1)KKA

](4.16)

El denominador de yh(s)/yvd(s) y de ye(s)/yvd(s) es el mismo, y se denota por

D(s), que es un polinomio de cuarto grado en s.

D(s) := a4s4 + a3s

3 + a2s2 + a1s

1 + a0 (4.17)

a4 = JM

a3 = BM + J(Kd +Kf ) +GvKM

a2 = EMl2a +B(Kd +Kf ) + JKp + EJKA +GvK(Kd +Kf )

+(Gp + 1)KM

a1 = E(Kd +Kf )l2a +BKp +BEKA + (Gp + 1)K(Kd +Kf )

+GvKKp + EGvKKA

a0 = EKpl2a + (Gp + 1)KKp +E(Gp + 1)KKA

Por el teorema de Routh-Hurwitz el sistema en lazo cerrado es estable cuando se


cumplen las siguientes condiciones.

a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0; a3 > 0; a4 > 0; a5 > 0 (4.18)

b1 :=a3a2 − a4a1

a3> 0 (4.19)

c1 :=b1a1 − a3a0

b1> 0 (4.20)

Las condiciones (4.19) y (4.20), se pueden simplificar como (vease el Apendice B)

b1 =[(BJ +GvJK)(Kd +Kf )

2 + (B2M + J2Kp + EJ2KA +G2vK

2M

+2BGvKM)(Kd +Kf ) + (Gp + 1)GvK2M2 + EGvKM2l2a

+B(Gp + 1)KM2 +BEM2l2a

]/[(B +GvK)M + J(Kd +Kf )

]> 0 (4.21)

4.5. Analisis del desempeno 35

c1s =[B3EKA(Kd +Kf )M +B3(Kd +Kf )KpM +B2E2KAM

2l2a

+3B2EGvKKA(Kd +Kf )M +B2EJKA(Kd +Kf )2

+B2E(Kd +Kf )2Ml2a +B2(Gp + 1)K(Kd +Kf )

2M + 3B2GvK(Kd +Kf )KpM

+B2J(Kd +Kf )2Kp + 2BE2GvKKAM

2l2a + 3BEG2vK

2KA(Kd

+Kf )M + 2BEGvJKKA(Kd +Kf )2 + 2BEGvK(Kd +Kf )

2Ml2a

+BEJ(Kd +Kf )3l2a + 2B(Gp + 1)GvK

2(Kd +Kf )2M +B(Gp + 1)JK(Kd

+Kf )3 + 3BG2

vK2(Kd +Kf )KpM + 2BGvJK(Kd +Kf )

2Kp

+E2G2vK

2KAM2l2a +E2J2KA(Kd +Kf )

2l2a

+EG3vK

3KA(Kd +Kf )M + EG2vJK

2KA(Kd +Kf )2

+EG2vK

2(Kd +Kf )2Ml2a + EGvJK(Kd +Kf )

3l2a + (Gp

+1)G2vK

3(Kd +Kf )2M + (Gp + 1)GvJK

2(Kd +Kf )3

+G3vK

3(Kd +Kf )KpM +G2vJK

2(Kd +Kf )2Kp +GvK(Kd

+Kf )(− EMl2a + JKp + EJKA − (Gp + 1)KM

)2+2E2GvJKKA(Kd +Kf )Ml2a +B(Kd +Kf )

(− EMl2a

+JKp + EJKA − (Gp + 1)KM)2

+ 2BE2JKA(Kd

+Kf )Ml2a

]/[BM + J(Kd +Kf ) +GvKM

]> 0 (4.22)

De las ecuaciones (4.17), (4.21) y (4.22), se puede notar que todos los terminos

de a0, a1, a2, a3, a4, b1, y c1 son positivos, lo que satisface las condiciones de estabilidad

(4.18)-(4.20). Una prueba de estabilidad detallada en Apendice C.

4.5. Analisis del desempeno

El punto de equilibrio, (4.10) se puede reescribir como

Fe(t) =W +Kpye(t)

KA(4.23)

lo que pone de manifiesto que el piloto siempre percibe una parte relativamente pequena

del peso cuando KA > 1.


Cuando el operador quita la mano del sensor de fuerza, la dinamica del sistema es

Mye(t) = −W − (Kd +Kf )ye(t)−Kpye(t) (4.24)

que es estable porque Kp y Kd+Kf son positivos. La posicion del bloque mecanico (ye) en

el punto de equilibrio es:

ye(t) = −W

Kp(4.25)

La posicion ye anterior es negativa, sin embargo, el tope mecanico evitara que el

bloque se mueva por debajo del lımite inferior de la carrera mecanica de la tuerca husillo

(ye = 0).

4.6. Seleccion de los parametros del controlador

Seleccion de Kp: La ecuacion (4.23) muestra que la fuerza ejercida por el brazo humano

depende del peso del bloque mecanico y de la posicion de este. En condiciones ideales la

fuerza ejercida por el brazo humano (Fei) debe ser proporcional al peso, es decir

Fei(t) =W

KA(4.26)

Seando el error

e :=Fe(t)− Fei(t)

Fei× 100% (4.27)

si se desea que no sea superior al 10%, se debe tener que

Kp ≤ mın

(0.1W

ye(t)

)(4.28)

Kp ≤ 0.1W

Yem(4.29)

donde Yem = max (ye(t)).

Seleccion de Kd: Cuando el piloto quita la mano del bloque mecanico, no se desean osci-

laciones en el bloque. En otras palabras, el factor de amortiguamiento del sistema mostrado

en (4.24) no puede ser menor que 1, matematicamente

Kd +Kf

2√KpM

≥ 1 (4.30)

Kd ≥ 2√

KpM −Kf (4.31)

4.7. Resultados de la simulacion y experimentales 37

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)

Posición deseada virtual ( yvd

)

Posición de bloque mecánico ( ye )

(a) Posicion vs tiempo.

0 10 20 300

1

2

3

4

Tiempo (s)

Fue

rza

(N)

Fuerza ejercida por el piloto ( Fe )

(b) Fuerza vs tiempo.

Figura 4.6: Resultados de la simulacion.

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)



0 10 20 300

1

2

3

4

Tiempo (s)

Fue

rza

(N)



Figura 4.7: Resultados de la simulacion cuando el piloto quita la mano despues de 15 s.

Seleccion de KA: De (4.23) se observa que la fuerza ejercida por el piloto se amplifica

cuando KA > 1 y se atenua cuando 0 < KA < 1. El piloto puede seleccionar KA segun se

requiera.

4.7. Resultados de la simulacion y experimentales

En esta seccion se presentan los resultados de las simulaciones y los experimen-

tales. Los valores empleados para las simulaciones, se obtuvieron haciendo un analisis de

la geometrıa del dispositivo real y con la ayuda de los manuales de las partes de este. Los


Tabla 4.1: Valores de los parametros para la simulacion.

Parameter Value Unit

B 0.89 Nmrad−1 s−1

d1 0.04 s

d2 0.04 s

E 920 Nm−1

Gp 2

Gv 0.3 s

J 0.1 Nmrad−1 s−2

K 4 Nmrad−1

KA 125

Kd 65 kg s−1

Kf 0 Nm−1 s

Km 1.047× 103 m−1

Kp 45 kg s−2

KT 1.2753 NmV−1

la 0.35 m

M 23.393 kg

Pm 6× 10−3 m

W 229.409 N

yem 0.5 m

4.7. Resultados de la simulacion y experimentales 39

Eje imaginario

Eje

rea

l

−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

−30

−20

−10

0

10

20

30

Figura 4.8: Diagrama de lugar de las raıces para el sistema en lazo cerrado.

0 10 200

0.1

0.2

0.3

0.4

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)



0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

Tiempo (s)

Fue

rza

(N)



Figura 4.9: Resultados experimentales.


0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)

Posición delbloque mecánico( y

e )

Posición deseadavirtual( y

vd )

Figura 4.10: Grafica de la posicion contra el tiempo para un retardo de d1 = d2 = 162msdonde se observa que el sistema se vuelve inestable.

valores de Kp, y Kd se han selecionado de la Tabla 4.1 de tal manera que satisfagan los

condiciones (4.29) y (4.31). El resto de los valores para los parametros de la simulacion

se encuentran tambien en esta tabla. Los valores de los parametros del modelo humano se

tomaron del Grupo III de la Tabla 3.1. Las trayectorias de la posicion del brazo humano

(ye) y de la fuerza ejercida por el piloto Fe se muestran en la Figura 4.6. La Figura 4.7(a)

muestra la situacion cuando el piloto quita la mano despues de 15 s.

En la Figura 4.8 se muestra el lugar de las raıces para el sistema en lazo cerrado. Se

puede observar que para todos los valores de KA las raıces siempre estan del lado izquerdo

del plano complejo lo que implica la estabilidad del sistema.

Resultados de la simulacion muestran que para retardos iguales a o superiores a

162ms, el sistema se vuelve inestable. El analisis que se ha presentado es valido para valores

del retardo menores a 162ms como muestran las simulaciones. La Figura 4.10 muestra una

simulacion con retardos d1 = d2 = 162ms.

La plataforma en la cual se llevaron a cabo los experimentos esta constituida, en

la parte de programacion por el sistema operativo Windows XP con MATLAB-SIMULINK

y WinCon, este ultimo es un nucleo que permite realizar el control en tiempo real. Los

datos del actuador, del sensor y del bloque mecanico se dan en el Apendice D. El periodo de

muestreo utilizado en el modelo fue de 1ms. La salida de voltaje del control fue limitada por

programa con un saturador de ±6V. La Figura 4.9 muestra los resultados del experimento

en tiempo real.

Capıtulo 5

Conclusiones y trabajo futuro

En esta propuesta de tesis se presenta un modelo del movimiento humano, un

exoesqueleto no-antromorfico, un controlador, el analisis de estabilidad del sistema hombre-

exoesqueleto, seleccion de los parametros de control, resultados de simulaciones del esquema

de control propuesto, y resultados experimentales obtenidos a partir de la aplicacion del

control propuesto al modelo de laboratorio construido.

5.1. Conclusiones

Los parametros usados en la simulacion se seleccionaron en base a estimaciones

de los parametros del dispositivo experimental. Se puede observar que los resultados de

las simulaciones y los resultados experimentales se asemejan. El valor estimado para el

coeficiente de friccion viscosa (KF ) se tomo como 0N sm−1, que puede ser incorrecto pero

resulta en un valor de Kd tal que sistema es estable. Por esta razon la trayectoria de bajada

ye de la simulacion, no coincide con la del experimento.

De la observacion de los resultados de la simulacion y experimentales, se puede

ver que el piloto siempre siente una fuerza cuando levanta el bloque mecanico o cuando lo

mantiene en una posicion fija. Un requisito del diseno es que el piloto siempre sienta una

parte de la carga que esta levantando.

Aunque el analisis de estabilidad se ha realizado despreciando los retardos en el

lazo de realimentacion del modelo humano, las resultados de las simulaciones y experimen-

41

42 Capıtulo 5: Conclusiones y trabajo futuro

tales muestran que el sistema con retardos cuando se aplica el algoritmo propuesto que no

considera los retardos, es estable.

5.2. Trabajo futuro

El analisis de estabilidad del esquema propuesto se realizo suponiendo que los

retardos en el modelo humano son iguales a cero y que la fuerza aplicada por el piloto no

esta limitada en magnitud. El resultado es que el sistema es estable para toda KA. Como

trabajo futuro debera considerarse el papel desempenado por los retardos y el hecho de que

la fuerza que ejerce el piloto es limitada en magnitud.

El esquema de un solo GDL que se presenta el problema de que si se considera

el desplazamiento de la parte externa de la mano que toca al dispositivo, este describe

una circunferencia con centro en la articulacion del codo. Para considerar que el punto del

contacto con el dispositivo recorre una trayectoria vertical, que es lo que requiere para mover

el bloque mecanico hacia arriba o hacia abajo, es necesario considerar un segundo GDL que

corresponde a la articulacion del hombro. Este trabajo es una aproximacion real por lo que

un trabajo futuro debera considerar un esquema con dos GDL.

Otra posible extension del trabajo, es decir trabajo futuro, puede ser el apoyo a las

personas con mal de Parkinson para que el DAF las ayude a minimizar el temblor. Tambien

se puede extender el trabajo a la ayuda a las personas sin brazos. En este caso se necesitaran

emplear senales EMG para generar los comandos al dispositivo y se tendrıa que realizar el

algoritmo de control correspondiente y su calibracion para el piloto en cuestion.

El dispositivo experimental actual tiene un solo sensor de fuerza que detecta la

intencion del piloto de mover el dispositivo verticalmente hacia arriba. Se puede incluir otro

sensor de fuerza y realizar en el esquema de control los cambios pertinentes para detectar

la intencion del piloto de mover el dispositivo hacia abajo. Ası que se puede extender el

trabajo para mover el bloque mecanico verticalmente hacia arriba y hacia abajo usando dos

sensores de fuerza.

Otra posible extension del trabajo puede ser la inclusion de un sistema de deteccion

de fallas en el exoesqueleto y la toma de decisiones adecuadas para evitar accidentes. Una

5.2. Trabajo futuro 43

falla electrica, un corto circuito, una falla en los sensores, etc., pueden causar accidentes.

Se puede implementar un lazo de control independiente que maneje estas situaciones de

emergencia y garantice la seguridad del piloto.

El proyecto actual considera solamente movimiento rectilıneo vertical del disposi-

tivo, se tiene en principio un exoesqueleto no-antropomorfico. Se puede extender el trabajo

a la construccion de un dispositivo pseudo-antropomorfico haciendo que este pueda realizar

movimientos rotacionales.

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[Yang04] Yang, S. Uc berkeley researchers developing robotic exoskeleton that

can enhance human strength and endurance. UC Berkeley News,

March 2004.

[Zoss05] Zoss, A., Kazerooni, H., y Chu, A. On the mechanical design

of the berkeley lower extremity exoskeleton (bleex). En 2005

IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Sys-

tems, 2005.(IROS 2005)., pags. 3465–3472. Ieee, 2005.

Apendice A

Modelo del motor electrico y del

amplificador

Un motor electrico de corriente directa con escobillas puede modelarse como

τA(s)

VAm(s)=

KAt(JAs+BA)

LAJAs2 + (LABA +RAJA)s+ (KAeKAt +RABA)

τA = KAtI (A.1)

donde τA es el par del eje del motor en Nm, VAm es el voltaje de entrada al motor en V,

KAt es la sensibilidad del par del motor en NmA−1, JA es la inercia total del eje en Nms2,

BA es la friccion en Nms rad−1, LA es la inductancia del motor en Ω s, RA es la resistencia

en Ω, KAe es la constante de fuerza contra-electromotriz del motor en V s rad−1, y IA es la

corriente electrica del motor en A.

En la configuracion usada en el experimento, el motor esta conectado a un am-

plificador trabajando en modo par, con realimentacion de corriente, como se muestra en la

Figura A.1. El sistema en lazo cerrado es

τA(s)

VA(s)= KAtKAE

(KAp +

KAis

)KAa

IA(s)VAm(s)

1 +KAC

(KAp +

KAis

)KAa

IA(s)VAm(s)

(A.2)

donde VA es la entrada de voltaje al amplificador en V, que genera una referencia en co-

rriente, KAC es la ganancia de realimentacion de la corriente en Ω, KAa es la ganancia del

puente H del amplificador, KAE es la ganancia de entrada del amplificador, y KAp y KAi son

53

54 Apendice A: Modelo del motor electrico y del amplificador

s1

KAp

KAi

++ KAaKAE DC Motor

KAC

θAVAmVA

-

IA

Figura A.1: Diagrama a bloques del motor de corriente directa con un amplificador conec-tado con realimentacion en corriente, es decir en modo par.

las ganancias proporcional e integral, respectivamente, para el controlador PI interno del

amplificador. Seleccionando valores mucho mayores a 1 para KAi, (A.2) se puede simplificar

como

τA(s) = KAtKAE

[1

KAC

]VA(s) = KTVA(s) (A.3)

donde KT = KAtKAEK−1AC .

Apendice B

Simplificaciones de las ecuaciones

Simplificacion de (4.19) Sustituyendo a1, a2, a3, y a4 en (4.19), se obtiene

b1 =[(BM + J(Kd +Kf ) +GvKM)(EMl2a +B(Kd +Kf )

+JKp + EJKA +GvK(Kd +Kf ) + (Gp + 1)KM)− JM(E(Kd

+Kf )l2a +BKp +BEKA + (Gp + 1)K(Kd +Kf ) +GvKKp

+EGvKKA)]/[

BM + J(Kd +Kf ) +GvKM]

(B.1)

Expandiendo (B.1) y cancelando las terminos negativos con terminos positivos,

(B.1) se puede escribir como (4.21). Ya que todos los terminos son positivos en (4.21), b1 es

positivo.

Simplificacion de (4.20) Ya que b1 es positivo, (4.20) se puede simplificar como

c1s = b1a1 − a3a0 > 0 (B.2)

55

56 Apendice B: Simplificaciones de las ecuaciones

Sustituyendo a0, a1, a3, y b1 en la condicion anterior y expandiendo, se obtiene

c1s =[B3EKA(Kd +Kf )M +B3(Kd +Kf )KpM +B2E2KAM

2l2a

+3B2EGvKKA(Kd +Kf )M +B2EJKA(Kd +Kf )2 +B2E(Kd

+Kf )2Ml2a +B2(Gp + 1)K(Kd +Kf )

2M + 3B2GvK(Kd

+Kf )KpM +B2J(Kd +Kf )2Kp + 2BE2GvKKAM

2l2a

+BE2J2K2A(Kd +Kf ) +BE2(Kd +Kf )M

2l4a − 2BE(Gp

+1)JKKA(Kd +Kf )M + 2BE(Gp + 1)K(Kd +Kf )M2l2a

+3BEG2vK

2KA(Kd +Kf )M + 2BEGvJKKA(Kd +Kf )2

+2BEGvK(Kd +Kf )2Ml2a + 2BEJ2KA(Kd +Kf )Kp

+BEJ(Kd +Kf )3l2a − 2BEJ(Kd +Kf )KpMl2a +B(Gp

+1)2K2(Kd +Kf )M2 + 2B(Gp + 1)GvK

2(Kd +Kf )2M

+B(Gp + 1)JK(Kd +Kf )3 − 2B(Gp + 1)JK(Kd +Kf )KpM

+3BG2vK

2(Kd +Kf )KpM + 2BGvJK(Kd +Kf )2Kp

+BJ2(Kd +Kf )K2p + E2G2

vK2KAM

2l2a

+E2GvJ2KK2

A(Kd +Kf ) + E2GvK(Kd +Kf )M2l4a

+E2J2KA(Kd +Kf )2l2a − 2E(Gp + 1)GvJK

2KA(Kd

+Kf )M + 2E(Gp + 1)GvK2(Kd +Kf )M

2l2a

+EG3vK

3KA(Kd +Kf )M + EG2vJK

2KA(Kd +Kf )2

+EG2vK

2(Kd +Kf )2Ml2a + 2EGvJ

2KKA(Kd +Kf )Kp

+EGvJK(Kd +Kf )3l2a − 2EGvJK(Kd +Kf )KpMl2a

+(Gp + 1)2GvK3(Kd +Kf )M

2 + (Gp + 1)G2vK

3(Kd

+Kf )2M + (Gp + 1)GvJK

2(Kd +Kf )3 − 2(Gp

+1)GvJK2(Kd +Kf )KpM +G3

vK3(Kd +Kf )KpM

+G2vJK

2(Kd +Kf )2Kp +GvJ

2K(Kd

+Kf )K2p

]/[BM + J(Kd +Kf ) +GvKM

]> 0 (B.3)

57

c1s tiene 6 terminos negativos en su numerador que son

−2E(Gp + 1)GvJK2KA(Kd +Kf )M − 2(Gp + 1)GvJK

2(Kd

+Kf )KpM − 2EGvJK(Kd +Kf )KpMl2a − 2BE(Gp + 1)JKKA(Kd

+Kf )M − 2BEJ(Kd +Kf )KpMl2a − 2B(Gp + 1)JK(Kd +Kf )KpM

y 12 terminos positivos que son

+2EGvJ2KKA(Kd +Kf )Kp + (Gp + 1)2GvK

3(Kd +Kf )M2

+E2GvJ2KK2

A(Kd +Kf ) +GvJ2K(Kd +Kf )K

2p +E2GvK(Kd

+Kf )M2l4a + 2E(Gp + 1)GvK

2(Kd +Kf )M2l2a + 2BE(Gp

+1)K(Kd +Kf )M2l2a +B(Gp + 1)2K2(Kd +Kf )M

2 +BE2(Kd

+Kf )M2l4a +BJ2(Kd +Kf )K

2p +BE2J2K2

A(Kd +Kf )

+2BEJ2KA(Kd +Kf )Kp

sumando y restando al numerador los siguientes terminos

2E2GvJKKA(Kd +Kf )Ml2a (B.4)

2BE2JKA(Kd +Kf )Ml2a (B.5)

es posible completar cuadrados y escribir lo siguiente:

GvK(Kd +Kf )(−EMl2a + JKp + EJKA − (Gp + 1)KM)2

+2E2GvJKKA(Kd +Kf )Ml2a +B(Kd +Kf )(−EMl2a + JKp

+EJKA − (Gp + 1)KM)2 + 2BE2JKA(Kd +Kf )Ml2a (B.6)

por lo que tanto el numerador como el denominador de c1s son positivos. Por lo tanto c1s

es positivo.

Apendice C

Prueba de estabilidad

El sistema en lazo cerrado se puede dividir en los sistemas S1 y S2 como se muestra

en la Figura C.1. Ignorando la entrada W en (4.10), el sistema S1 se puede escribir en el

dominio de la frecuencia como

S1(s) =Fe(s)

ye(s)=

1MKA

s2 +Kd+Kf

KAs+

Kp

KA

(C.1)

Ignorando los retardos y la entrada yvd en (4.13); y substituyendo (4.8) en (4.13),

se puede escribir

−yh(s)

Fe(s)=

l2aJs2 + (B +KGv)s+K(1 +Gp)

(C.2)

Simplificando el lazo cerrado en S2, se puede escribir lo siguiente

S2(s) =Fe(s)

ye(s)=

−E[Js2 + (B +KGv)s+K(1 +Gp)]

Js2 + (B +KGv)s+K(1 +Gp) + El2a(C.3)

Los sistemas S1 y S2 se pueden generalizar como

S1(s) =1

a2s2 + a1s+ a0(C.4)

S2(s) =−c(b2s

2 + b1s+ b0)

b2s2 + b1s+ b0 + cd(C.5)

59

60 Apendice C: Prueba de estabilidad

Dinámica del

bloque mecánico

F

ye

-

Modelo del

brazo

Fe

KA

+

Kd-

E +ye

yh

yvd

-1

Fh τh

Kp

+

-

W

-

ye.

la

yvd.

S1

S2

Fe ye

Figura C.1: Separacion del modelo general de control en los subsistemas en lazo cerrado S1

y S2.

Polinomio caracterıstico (P (s)) de este sistema es el siguiente:

P (s) = 1− S1(s)S2(s) = 0 (C.6)

= 1 +c(b2s

2 + b1s+ b0)

(a2s2 + a1s+ a0)(b2s2 + b1s+ b0 + cd)= 0 (C.7)

= (a2s2 + a1s+ a0)(b2s

2 + b1s+ b0 + cd) + c(b2s2 + b1s+ b0) = 0 (C.8)

= a2b2s4 + a2b1s

3 + a2b0s2 + a2cds

2

+a1b2s3 + a1b1s

2 + a1b0s+ a1cds

+a0b2s2 + a0b1s+ a0b0 + a0cd

+b2cs2 + b1cs+ b0c = 0 (C.9)

= (a2b2)s4 + (a2b1 + a1b2)s

3 + (a2b0 + a2cd+ a1b1 + a0b2 + b2c)s2

+(a1b0 + a0b1 + b1c+ a1cd)s+ (a0cd+ b0c+ a0b0) (C.10)

La ecuacion anterior se puede escribir como

P (s) := A4s4 +A3s

3 +A2s2 +A1s+A0 = 0 (C.11)

61

donde

A4 = a2b2 (C.12)

A3 = a1b2 + a2b1 (C.13)

A2 = a0b2 + a1b1 + a2b0 + b2c+ a2cd (C.14)

A1 = a0b1 + a1b0 + b1c+ a1cd (C.15)

A0 = a0b0 + b0c+ a0cd (C.16)

De acuerdo con el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, el sistema es estable

si y solo si las siguientes condiciones se satisfacen.

A0 > 0; A1 > 0; A2 > 0; A3 > 0; A4 > 0 (C.17)

B1 :=A3A2 −A4A1

A3> 0 (C.18)

C1 :=B1A1 −A3A0

B1> 0 (C.19)

B1 =(a1b2 + a2b1)(a0b2 + a1b1 + a2b0 + b2c+ a2cd)− a2b2(a0b1 + a1b0 + b1c+ a1cd)

a1b2 + a2b1

=[a0a1b

22 + a21b1b2 + a1a2b0b2︸︷︷︸

2

+a1b22c+ a1a2b2cd︸︷︷︸

4

a0a2b1b2︸︷︷︸1

+a1a2b21 + a22b0b1 + a2b1b2c︸︷︷︸

3

+a22b1cd

− a0a2b1b2︸︷︷︸1

− a1a2b0b2︸︷︷︸2

− a2b1b2c︸︷︷︸3

− a1a2b2cd︸︷︷︸4

]/[a1b2 + a2b1

]=

a0a1b22 + a21b1b2 + a1b

22c+ a1a2b

21 + a22b0b1 + a22b1cd

a1b2 + a2b1(C.20)

De la ecuacion anterior se puede observar que B1 es positivo y por tanto C1 se

puede simplificar de la siguiente manera.

C1s := B1A1 −A3A0 > 0

C1s =

((a0a1b

22 + a21b1b2 + a1b

22c+ a1a2b

21 + a22b0b1 + a22b1cd

a1b2 + a2b1

)(a0b1 + a1b0 + b1c

+a1cd)− (a1b2 + a2b1)(a0b0 + b0c+ a0cd)

)> 0 (C.21)


o ((a0a1b

22 + a21b1b2 + a1b

22c+ a1a2b

21 + a22b0b1 + a22b1cd)(a0b1 + a1b0 + b1c+ a1cd)

−(a1b2 + a2b1)(a0b0 + b0c+ a0cd)(a1b2 + a2b1)

)> 0 (C.22)

o ((a0a1b

22 + a21b1b2 + a1b

22c+ a1a2b


−(a1b2 + a2b1)2(a0b0 + b0c+ a0cd)

)> 0 (C.23)

o ((a0a1b

22 + a21b1b2 + a1b

22c+ a1a2b


−(a21b22 + a22b

21 + 2a1a2b1b2)(a0b0 + b0c+ a0cd)

)> 0 (C.24)

o (a20a1b1b

22 + a0a

21b

21b2 + a0a1b1b

22c+ a0a1a2b

31 + a0a

22b0b

21︸︷︷︸

2

+ a0a22b

21cd︸︷︷︸

6

+ a0a21b0b

22︸︷︷︸

1

+a31b0b1b2 + a21b0b22c︸︷︷︸

3

+a21a2b0b21 + a1a

22b

20b1 + a1a

22b0b1cd

+a0a1b1b22c+ a21b

21b2c+ a1b1b

22c

2 + a1a2b31c+ a22b0b

21c︸︷︷︸

4

+a22b21c

2d

+ a0a21b

22cd︸︷︷︸

5

+a31b1b2cd+ a21b22c

2d+ a21a2b21cd+ a1a

22b0b1cd+ a1a

22b1c

2d2

− a0a21b0b

22︸︷︷︸

1

− a0a22b0b

21︸︷︷︸

2

−2a0a1a2b0b1b2

− a21b0b22c︸︷︷︸

3

− a22b0b21c︸︷︷︸

4

−2a1a2b0b1b2c

− a0a21b

22cd︸︷︷︸

5

− a0a22b

21cd︸︷︷︸

6

−2a0a1a2b1b2cd

)> 0 (C.25)

63

o

(a20a1b1b

22︸︷︷︸

X

+a0a21b

21b2 + a0a1b1b

22c︸︷︷︸

X

+a0a1a2b31

+a31b0b1b2 + a21a2b0b21 + a1a

22b

20b1︸︷︷︸

X

+ a1a22b0b1cd︸︷︷︸X

+ a0a1b1b22c︸︷︷︸

X

+a21b21b2c+ a1b1b

22c

2︸︷︷︸X

+a1a2b31c+ a22b

21c

2d

+a31b1b2cd+ a21b22c

2d+ a21a2b21cd+ a1a

22b0b1cd︸︷︷︸X

+ a1a22b1c

2d2︸︷︷︸X

− 2a0a1a2b0b1b2︸︷︷︸X

− 2a1a2b0b1b2c︸︷︷︸X

− 2a0a1a2b1b2cd︸︷︷︸X

)> 0 (C.26)

Reescribiendo la condicion anterior al agrupar todos los terminos seleccionados

entre parentesis cuadrados y el resto de los terminos entre parentesis, se obtiene

[a20a1b1b

22 + a0a1b1b

22c+ a1a

22b

20b1 + a1a

22b0b1cd+ a0a1b1b

22c+ a1b1b

22c

2 + a1a22b0b1cd

+a1a22b1c

2d2 − 2a0a1a2b0b1b2 − 2a1a2b0b1b2c− 2a0a1a2b1b2cd

]+

(a0a

21b

21b2

+a0a1a2b31 + a31b0b1b2 + a21a2b0b

21 + a21b

21b2c+ a1a2b

31c+ a22b

21c

2d+ a31b1b2cd

+a21b22c

2d+ a21a2b21cd

)> 0 (C.27)

Sumando y restando un termino externo 2a1b1a2b2c2d a la condicion anterior para simpli-

ficar, se obtiene

[a20a1b1b

22 + a0a1b1b

22c+ a1a

22b

20b1 + a1a

22b0b1cd+ a0a1b1b

22c+ a1b1b

22c

2 + a1a22b0b1cd

+a1a22b1c

2d2 − 2a0a1a2b0b1b2 − 2a1a2b0b1b2c− 2a0a1a2b1b2cd+ 2a1b1a2b2c2d

−2a1b1a2b2c2d

]+

(a0a

21b

21b2 + a0a1a2b

31 + a31b0b1b2 + a21a2b0b

21 + a21b

21b2c+ a1a2b

31c

+a22b21c

2d+ a31b1b2cd+ a21b22c

2d+ a21a2b21cd

)> 0 (C.28)


o

a1b1

[(a20b

22 + a0b

22c+ a22b

20 + a22b0cd+ a0b

22c+ b22c

2 + a22b0cd+ a22c2d2

−2a0a2b0b2 − 2a2b0b2c− 2a0a2b2cd− 2a2b2c2d) + 2a2b2c

2d

]+

(a0a

21b

21b2 + a0a1a2b

31

+a31b0b1b2 + a21a2b0b21 + a21b

21b2c+ a1a2b

31c+ a22b

21c


2d

+a21a2b21cd

)> 0 (C.29)

Completando cuadrados a partir de los terminos subrayados en la ecuacion anterior, se

puede escribir lo siguiente

a1b1

[(a0b2 − a2b0 + b2c− a2cd)

2 + 2a2b2c2d

]+

(a0a

21b

21b2 + a0a1a2b

31 + a31b0b1b2

+a21a2b0b21 + a21b

21b2c+ a1a2b

31c+ a22b

21c


2d

+a21a2b21cd

)> 0 (C.30)

Dado que todas las condiciones del criterio de estabilidad de Routh Hurwitz se

satisfacen, el sistema en lazo cerrado es estable para todos los valores positivos de los

coeficientes.

Apendice D

El modelo experimental

El modelo experimental se muestra en la Figura 4.1(b), el bloque mecanico se

muestra en detalle en la Figura D.1 y sus dimensiones estan dadas en la Figura D.2. Asu-

miendo la densidad del hierro, del acero, y del aluminio como 7200 kgm−3, 7800 kgm−3, y

2700 kgm−3 respectivamente, se puede estimar la masa del bloque mecanico

M = 7200× 0.51[0.216× 0.01 + 0.01(0.216− 0.025× 2− 0.03)

+0.01(0.037× 2 + 0.05× 2)]+ 2700× 2

[0.064(0.2× 0.01

+0.17× 0.052)− π

4× 0.0252 × 0.17

]+ 7800

[0.04× 0.05× 0.06

−π

4× 0.0252 × 0.04

]= 19.3147 kg + 3.2957 kg + 0.7828 kg = 23.3932 kg (D.1)

El movimiento del bloque mecanico se realiza por medio de un mecanismo tuerca-

tornillo. La tuerca es un pequeno bloque de acero que forma parte del bloque mecanico. El

tornillo es una barra vertical de acero con cuerda que gira por accion del motor conectado en

su extremo superior. El giro del tornillo en un sentido o el otro hace que el bloque mecanico

se desplace hacia arriba o hacia abajo. Para evitar movimientos laterales del bloque este

tiene dos soportes laterales de aluminio con dos orificios recubiertos de acero que permiten

que el bloque se deslice a lo largo de dos barras de acero fijas paralelas al tornillo, que pasan

por los orificios de estos soportes y que fungen como guias.

Como la masa se desplaza a 90 con respecto a la tierra, el bloque mecanico no

65

66 Apendice D: El modelo experimental

Hierro

Aluminio

(a) Parte frontal

Hierro

Aluminio

Acero

(b) Parte trasera

Figura D.1: Figura 3D muestrando el bloque mecanico.

ejerce ninguna fuerza horizontal sobre las barras guias. Por lo tanto se considera que entre

las barras guias y el bloque mecanico no existe fuerza de friccion cinematica. Por otro lado,

se puede ignorar la resistencia del aire que causa friccion viscosa sin gran margen de error.

El motor que se emplea como actuador es un motor C34-L80-W40 de “Moog

Components Group” [Group12] con un amplificador modelo 423 de “Copley Controls Corp.”

[Corp.12]. La Figura D.3 muestra el mecanismo de tuerca husillo que esta acoplado al

motor. El momento de inercia total es la suma del momento de inercia del eje del motor

67

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!'#($

(a) Dimensiones de la parte de hierro

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'( ! "%#

'( ! "%#

!)* #

! %"#

! ) #

! &$#

(b) Dimensiones de la parte de alu-

minio y acero.

Figura D.2: Dimensiones del bloque mecanico.

(3.884× 10−4 kgm2) y de la barra que actua como tornillo.

JA = 3.884× 10−4 +7800π

2(0.0154 × 0.14 + 0.0224 × 0.045

+0.0274 × 0.64 + 0.0224 × 0.045 + 0.0154 × 0.14)

+7200π

2(0.0254 × 0.06 + 0.0774 × 0.02)

= 0.0132 kgm2 (D.2)

Con los valores de BA = 286.479× 10−6Nms rad−1, KAt = 0.42NmA−1, LA =

11.20× 10−3H, RA = 4.90Ω, KAe = 0.42V s rad−1, KAp = 21.58, KAi = 985.94 s−1, KAA =

11.3, KAC = 0.2Ω, y KAE = 0.6073, se puede obtener KT = 1.2753NmV−1

Sensor de fuerza: El dispositivo experimental emplea como sensor una resistencia va-

riable sensible a la fuerza (RSF), FSR 406 de “Interlink Electronics” [Electronics12] con

4.445 cm×3.81 cm, la Figura D.4 muestra la relacion fuerza-resistencia del sensor. La rela-

cion fuerza-resistancia de la figura puede approximarse por

log10

(Fe(t)

g

)= −1.327× log10 (RRSF (t)) + 4.096 (D.3)

con un coeficiente de determinacion de 0.9945, donde RRSF es la resistencia del RSF en Ω,

Fe es la fuerza aplicada al sensor en N, y g u 9.8m s−2. La Figura D.5 muestra al cirquito

68 Apendice D: El modelo experimental

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Acero

Hierro

Figura D.3: Dimensiones del tornillo del mecanismo de tuerca husillo.

1010.10.01

0.1

1

10

100

Re

sist

en

cia

(kΩ

)

Fuerza (kg)

Figura D.4: Resistencia vs fuerza del sensor de fuerza.

que se empleo para realizar la lectura de la fuerza con el dispositivo RRSF . La relacion entre

el voltaje de entrada a la tarjeta de adquisicion de datos VRSF y la fuerza Fe esta dada por

VRSF =12

1 + 4700

3000−1 + 10

log10

(Fe(t)

g

)−4.096

1.327

(D.4)

69

KA358

3 kΩ

4.7 kΩ

RSF

12 VVoltaje a la tarjeta de adquisición de datos

Figura D.5: Cirquito electronico del sensor de fuerza.

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Tesina Predoctoral (Exoesqueleto)