UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALESCOMISIN DE ESTUDIOS DE POST GRADODOCTORADO EN ECONOMA

ESTIMACIN DE LA INCIDENCIA DE LA MATEMTICA DE LA INCERTIDUMBRE EN LA ECONONOMIA

Autor: Rodolfo Luis Quijada Marval

Caracas, Mayo de 2012

1.- Planteamiento del ProblemaLos esquemas de la matemtica clsica (mecanicista), resultaron una herramienta eficaz para el modelado de fenmenos econmicos del mundo real. Sin embargo, en su esencia la misma se encuentra en oposicin al mundo real, debido a su exactitud, rigurosidad y abstraccionismo, en contraste con lo impreciso y la vaguedad del mundo real.De esta, la manera la exactitud de los objetos matemticos proyectados sobre los sistemas y procesos econmicos reales se convierten en una ilusin, y empezamos a entender que las construcciones y mtodos desarrollados en el anlisis econmico clsico y contemporneo son slo aproximaciones a lo que existe en la realidad. En muchas situaciones, tales aproximaciones han dando una representacin lo suficientemente adecuada en el estudio de fenmenos econmicos. Sin embargo, los cientficos y, especialmente, los economistas han descubierto una gran cantidad de casos en que dichos mtodos no funcionan porque los referidos mtodos son una aproximacin demasiado alejada de la realidad bajo estudio.Los esquemas mecanicistas, que haban resultado de utilidad en la creacin de la ciencia econmica, iban siendo menos adecuados para describir primero y tratar despus los nuevos fenmenos econmicos que han tenido lugar a lo largo de los aos ha ido conformando nuevas realidades en nuestro siglo. La vida ha ido cambiando y han aparecido nuevos fenmenos que han hecho que el contexto de cierta estabilidad, caracterstica del siglo pasado, haya sido turbado por un proceso de evolucin, que ha dado lugar a movimientos cada vez ms difciles de estimar a travs de las magnitudes localizadas en el futuro.Surgen entonces unas primeras voces que claman por un cambio conceptual, tcnico y metodolgico de los estudios econmicos y aparece, as, una segunda generacin de intelectuales y cientficos que intentan dar respuesta a una serie de fenmenos, para los que no resulta fcil dar solucin con el empleo de los estudios clsicos. De nuevo, unos investigadores giran la cabeza para mirar qu sucede en otras ciencias, y se dan cuenta de que en el campo de la qumica, por ejemplo, un ensayo se puede repetir muchas veces, prcticamente en las mismas condiciones. A partir de estas repeticiones, aunque no siempre los resultados son los mismos, se consigue en muchas ocasiones establecer una ley de comportamiento. De la misma manera que se utiliza la matemtica del azar para describir los fenmenos fsicos y qumicos por qu no se puede hacer lo mismo para los fenmenos econmicos? Es posible establecer leyes econmicas a travs de la utilizacin de la ley emprica del azar? Al dar respuesta afirmativa a esta pregunta, se inicia la incorporacin de la estadstica en el campo de la economa. Adems de una matemtica de la certeza, tambin se aplica en economa una matemtica del azar.Pero, a medida que transcurre el tiempo, la fenomenologa econmica va cambiando con mayor rapidez y esta mayor rapidez hace que la direccin de los acontecimientos no sea siempre en el mismo sentido, sino que se producen movimientos en zigzag. Resulta cada vez ms difcil tomar los datos del pasado como base para estimar las realidades esperadas del futuro. Consecuencia de todo ello es la aparicin de toda una gama de hechos y fenmenos que resultan de difcil explicacin formal y que van siendo aparcados en lo que se ha llamado rincn de las anomalas. En el transcurrir del tiempo, estos rincones de anomalas se han ido agrandando hasta formar verdaderos edificios anmalos. La insatisfaccin de aquellos que buscan respuestas a tantos problemas econmicos va en aumento y cada vez es mayor el grupo de intelectuales que no estn de acuerdo con el tratamiento que se est dando a la fenomenologa econmica. Surge la disidencia y aparecen los primeros heterodoxos que pretenden buscar nuevos caminos a la investigacin que, de alguna manera, permitan vaciar en lo posible los edificios anmalos, es decir, las bolsas de ignorancia.Los intentos para terminar con esta situacin no son nuevos. En efecto, desde hace ms de sesenta aos, grandes matemticos y filsofos, como Roussell, Lukaciewicz, Lee, Gdel, Moisil, etc., intentaron dar un paso adelante en este sentido, aunque siempre se encontraron con callejones sin salida. Quiz la respuesta se halla en el hecho de que entre los principios bsicos sobre los que se asienta el conocimiento cientfico hay uno que ha permanecido intacto a lo largo de los aos. Este principio es el llamado principio del tercio excluso que, como es conocido, anuncia que una proposicin o es verdadera o es falsa, pero no puede ser verdadera y falsa a la vez. Es un principio aristotlico (algunos creen que es de Crispides), que ha pesado como una gran losa en la cabeza de los cientficos durante ms de 2.000 aos. Sobre este principio se ha elaborado una lgica conocida como lgica booleana o lgica binaria. Es la conocida lgica del s-no, blanco-negro, pasa corriente-no pasa corriente, que fue desarrollada hace algo ms de ciento cincuenta aos por George Boole en su obra Laws of Thought y que ha sido un importante apoyo para el avance de la llamada matemtica moderna. Esta lgica, y la matemtica que en ella se apoya, resulta muy adecuada cuando se trata de formalizar las relaciones entre mquinas, entre robots o entre el ser humano y la mquina, ya que a la mquina no se le pueden dar instrucciones matizadas sino que necesita instrucciones precisas. Prueba de ello es que cuando esa lgica y esa matemtica se han utilizado adecuadamente, han dado lugar a unos frutos maravillosos: el hombre ha ido a la Luna, se utilizan fantsticos ordenadores, se ha avanzado en la electrnica, viajamos a unas velocidades de vrtigo, etc., y se espera que en el futuro seguirn obtenindose importantes consecuciones.Sin embargo, parece que constituye un abuso el pretender que esta matemtica rebase los lmites para los que ha resultado hasta ahora eficaz. Y no parece honesto el empleo estricto de esta matemtica por el tratamiento de las relaciones entre los seres humanos o entre los grupos sociales. Por su propia esencia el ser humano es capaz de matizar, parece que como consecuencia del efecto cruzado de las dos partes de nuestro cerebro. Entre el s y el no es susceptible de concebir toda una gama de quizs, de la misma manera que entre el blanco y el negro se da una amplia gama de grises.Haba que romper el principio del tercio excluso, y el origen de la ruptura se produce en el ao 1965, cuando un profesor iran nacionalizado norteamericano, Zadeh, publica dos artculos con el ttulo genrico de conjuntos borrosos. Estos artculos caen en el olvido durante algn tiempo, pero poco a poco parece que algunos matemticos encuentran en ellos algo que puede dar lugar a un cambio en la perspectiva del conocimiento. Visto as, cabe preguntar ahora si existe contradiccin entre la lgica binaria y la lgica borrosa. La respuesta es evidentemente negativa, ya que es fcil comprobar que la lgica binaria es un caso particular de la borrosa, ms general. Se pone de manifiesto tambin que la aritmtica de la incertidumbre es una generalizacin de la aritmtica normal.En este mundo cambiante ha aparecido, as, un camino que est dando importantes resultados, al disponerse ya de elementos suficientes para poder tratar la compleja realidad actual. Se puede decir que ahora, adems de una matemtica de la certeza y una matemtica del azar, disponemos de una matemtica de la incertidumbre y el estudio de los fenmenos inciertos en economa y gestin tiene lugar con el uso de esta nueva lgica, esta nueva matemtica.

2.- PREGUNTA DE LA INVESTIGACIN2.1.- Cules son los fundamentos de la matemtica borrosa aplicables a la economa?2.2.- Cules son los aportes de las ecuaciones borrosas y de las ecuaciones en diferencia y ecuaciones diferenciales borrosas en la economa?2.3.- Cmo es el comportamiento de una variable econmica difusa a travs del anlisis de regresin difusa y del Anlisis de Componentes Principales (ACP) difuso?2.4.- Cmo se aplica teora de la matemtica difusa en la gestin y valoracin financiera?2.5.- Es posible aplicar la matemtica difusa al comportamiento de modelos clsicos de la teora econmica?2.6.- Es posible simular modelos de dinmica de sistemas econmicos con variables difusas cualitativas?

3.- OBJETIVOS3.1.- OBJETIVO PRINCIPAL:ESTIMAR LA INCIDENCIA DE LA MATEMTICA DE LA INCERTIDUMBRE EN LA ECONOMA3.2.- OBJETIVOS ESPECFICOS3.2.1.- Describir los Fundamentos de la matemtica para el tratamiento de la incertidumbre.3.2.2.- Analizar los nuevos aportes de las ecuaciones borrosas y de las ecuaciones en diferencia y ecuaciones diferenciales borrosas en la economa.3.2.3.- Explicar el comportamiento de una variable econmica difusa a travs del anlisis de regresin difusa y del Anlisis de Componentes Principales (ACP) difuso.3.2.4.- Formular problemas de gestin y valoracin financiera utilizando la teora de los subconjuntos borrosos.3.2.5.- Estimar el comportamiento de modelos de la teora econmica a travs de la matemtica difusa3.2.6.- Simular modelos de dinmica de sistemas econmicos con variables difusas cualitativas

4.- PLANTEAMIENTO ONTO EPISTEMOLGICO

Este trabajo de investigacin pretende destacar el giro copernicano que introduce la perspectiva de la epistemologa de la complejidad y de sus herramientas conceptuales, lgicas y metodolgicas, la cual se revela como una ayuda con un valor incalculable para explicar justamente las dinmicas que no pueden ser explicadas y mucho menos resueltas con la ciencia normal imperante hasta el momento en la economa. Desde este innovador paradigma la realidad no se concibe como algo simple, monoltico y atemporal sino que en su ms diversas manifestaciones, aparece en el nuevo contexto, constituidas por fluctuaciones, iteraciones, borrosidad, turbulencia, catstrofes, fractales, bifurcaciones, atractores extraos, etc. La epistemologa de la complejidad est conformada por la teora de los objetos fractales, la teora de las catstrofes, la teora del caos y la teora de la matemticas difusa, siendo esta ltima en la que se fundamenta la presente investigacin.La base de la teora de la matemtica difusa se halla en los mecanismos que las personas utilizan para comprenderse y comprender el mundo que los rodea. La capacidad de percibir y valorar los distintos grados de nuestra propia realidad y de los contextos y situaciones sociales en que nos vemos envueltos conlleva un inevitable proceso de "difuminacin de los significados" que es inherente a la condicin humana. De esta manera, la perspectiva difusa propone partir del conocimiento, de nuestras limitaciones cognitivas, de la incertidumbre que resulta inseparable de nuestras limitaciones y, consecuentemente, de la necesidad de abandonar el ideal de la precisin en la medida en que, an cuando la estructura de la realidad fuera tal que pudiramos exponerla en formulaciones precisas, existe una degradacin de la correspondencia entre el conocimiento y su objeto que es inevitable en razn de nuestras limitacionesComo puede apreciarse en este contexto, y apoyndonos en las observaciones de Zadeth, la teora de la matemtica difusa bien puede pensarse como la herramienta conceptual adecuada para explicar la dinmica de este proceso de generacin de conocimiento y de su inevitable degradacin, esto es, lo que hemos denominado borrosidad cognitiva. La borrosidad cognitiva es un fenmeno estrictamente epistemolgico, de manera que si estamos en lo cierto, la teora de la matemtica y de la lgica difusa se hallara en una perspectiva que parte no del objeto sino de nuestro conocimiento del objeto, esto es, nos hallaramos en una perspectiva ya no ontolgica sino epistemolgica.

5.- ESTRUCTURA DE LA TESIS

La tesis que se presenta se divide en SEIS (6) bloques. A saber:5.1.- Fundamentos de la matemtica para el tratamiento de la incertidumbre5.2.- Nuevos aportes al estudio de las ecuaciones borrosas y de las ecuaciones en diferencia y ecuaciones diferenciales borrosas.5.3.- Estudio del anlisis de regresin difusa como enfoque especfico del anlisis de regresin y estudio del Anlisis de Componentes Principales (ACP) difuso.5.4.- Estudiar problemas de gestin y valoracin financiera utilizando la teora de los subconjuntos borrosos.5.5.- Aplicaciones de la matemtica de la incertidumbre al comportamiento de modelos de la teora econmica.5.6.- Modelo y simulacin econmica en incertidumbre.

PRIMER BLOQUE: FUNDAMENTOS DE LA MATEMTICA PARA EL TRATAMIENTO DE LA INCERTIDUMBRE1.- Nociones De lgica. Mostrar las ideas bsicas de la lgica binaria introduciendo las definiciones de T-normas y S-conormas de la lgica borrosa y estudiar algunos de sus propiedades.2.- Subconjuntos borrosos. Exponer exhaustivamente de las definiciones y los teoremas referentes a los subconjuntos borrosos, las diferentes operaciones, las diferentes formas de discriminar los conjuntos borrosos.3.- Aproximacin de Nmeros borrosos. Se estudian los nmeros borrosos desde un punto de vista terico, como un caso particular de los conjuntos borrosos. Realizar operaciones con nmeros borrosos, haciendo nfasis a las compatibilidades del principio de extensin de las operaciones con los -cuts. Con una parte fundamental para desarrollar el segundo y tercer bloque de la tesis fijando prioritariamente la atencin en los nmeros borrosos triangulares, trapezoidales y los del tipo R-L. Aproximacin a travs de un nmero L-L de Dubois y Prade una funcin de nmeros L-L de Dubois y Prade. Una metodologa para medir la calidad de la aproximacin a travs de un nmero borroso triangular de una funcin de nmeros borrosos triangulares que mantenga su mismo soporte y ncleo.

SEGUNDO BLOQUE: NUEVOS APORTES AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES BORROSAS Y DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA Y ECUACIONES DIFERENCIALES BORROSAS.

4.- Ecuaciones borrosas. A partir de la solucin de Buckley y Qu (1991) donde se plantea un nuevo enfoque dirigido a resolver ecuaciones borrosas con coeficientes dentro de los nmeros borrosos triangulares y plantean un mtodo que permita conservar la estructura triangular de la solucin a partir de un indicador de aproximacin prefijado. 5.- Derivadas, ecuaciones en diferencia y ecuaciones diferenciales borrosas. En este captulo se plantea las condiciones necesarias y suficientes que permitan garantizar la estructura triangular de la derivada en un punto. As mismo, nos servir para hacer un estudio completo de las ecuaciones en diferencia y de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

TERCER BLOQUE: ESTUDIO DEL ANLISIS DE REGRESIN DIFUSA COMO ENFOQUE ESPECFICO DEL ANLISIS DE REGRESIN Y ESTUDIO DEL ANLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES (ACP) DIFUSO.

6.- La Regresin Difusa: Este captulo est orientado a formalizar, generalizar y extender las propuestas que se han formulado hasta la fecha sobre la Regresin Difusa, con el claro objetivo de proporcionar un instrumental metodolgico aplicables a problemas en que los datos disponibles estn afectados por imprecisin e incertidumbre.7.- Anlisis de Componentes Principales Difusos: Este captulo est orientado a formalizar y extender las propuestas que se han formulado sobre Anlisis de Componentes Principales sobre datos disponibles afectados por imprecisin e incertidumbre.

CUARTO BLOQUE: ESTUDIAR PROBLEMAS DE GESTIN Y VALORACIN FINANCIERA UTILIZANDO LA TEORA DE LOS SUBCONJUNTOS BORROSOS.

8.- Valoracin financiera con intereses borrosos: Una de las aplicaciones de la valoracin financiera es hallar el precio en un momento dado de cualquier derecho u obligacin econmico, por tanto traducibles a un devengo de cuantas monetarias con un diferimiento futuro, tenindose en cuenta el grado de preferencia por la liquidez que exigir el valorador hasta el devengo de dichas cuantas. El instrumento por excelencia de la valoracin financiera es el inters compuesto, y ser por tanto este instrumento de valoracin el que analizaremos nosotros en este apartado, suponindose que el inters devaloracin viene estimado por nmeros borrosos.

QUINTO BLOQUE: APLICACIONES DE LA MATEMATICA DE LA INCERTIDUMBRE AL COMPORTAMIENTO DE MODELOS DE LA TEORIA ECONOMICA.

10.- Anlisis de equilibrio parcial de mercado a travs de un modelo lineal borroso11.- Optimizacin dinmica borrosa.-12.- Modelando la incertidumbre keynesiana con modelos borrosos13.- Anlisis del modelo establecido en la Teora del Preajuste Financiero a travs de un modelo lineal borroso.

SEXTO BLOQUE:MODELO Y SIMULACIN ECONMICA EN INCERTIDUMBREEste captulo est orientado a formalizar y simular un modelo econmico complejo usando informacin de carcter lingstico con la tcnica denominada Computacin con Palabras (CWW del ingls Computer with words) introducida por Zadeth en 1973 y se basa en la modelizacin del lenguaje natural usando conjuntos borrosos.

6.- METODOLOGA

6-1. Objetivos metodolgicosComo una de las finalidades principales de la investigacin me planteo el manejo de la incertidumbre en muchos fenmenos de la vida econmica y en la economa, abriendo las puertas a un reconocimiento de grados de verdad y la contradiccin, en razn de que la posesin de muchsimas propiedades difusas constituye un indicio de que la realidad es gradual y contradictoria.En segundo lugar hemos apelado a nuestras mejores aptitudes con la intencin de aplicar, en trminos metodolgicos un enfoque ampliamente interdisciplinario, integrando varios niveles filosfico, econmico, social, poltico y cultural en el anlisis. La suposicin de que parto es que, estando la realidad social constituida como una totalidad que se basa en un determinado esquema de integracin y de tensin que envuelve sus varios planos difusos, el anlisis solo podra aprendeher correctamente esa realidad si a su vez tampoco secciona este todo.6-2.-. Mtodos y tcnicasLos mtodos a ser usados son resultado de la discusin metodolgica general anteriormente presentada. Creo posible resumirlos aqu en cuatro fases:La primera fase es descriptiva; se traduce en la bsqueda de datos y formulaciones tericas ya disponibles; constituye as una investigacin exploratoria cuya principal funcin es mostrar lneas posibles de anlisis.La segunda fase es ms difcil, pues se destina, con los elementos obtenidos en la primera, a construir categoras que hagan inteligible el proceso. Claro est que no todas las categoras a ser utilizadas en la investigacin sern originales, pero algunas tendrn que serlo.La tercera fase es la de retorno a lo real, disponiendo ya del instrumental terico elaborado: slo ah puede comenzar la recoleccin efectiva de datos econmicos, esto es, los hechos no aparecen desde entonces como un amontonamiento un tanto catico ordenado slo cronolgicamente, sino que ya ser posible intentar otras formas de relacin.La cuarta fase acta nuevamente en el plano abstracto, tendiendo a la construccin del modelo, tan simple y tan exhaustivo como sea posible.Las tcnicas y los tipos de datos que me parecen convenientes para esta realizacin pueden ser aprehendidos del desdoblamiento de las fases que pretende contener la investigacin.

BIBLIOGRAFIAAn, P.T. and Hai N.N. (2004) -Convexity in Normed Linear Spaces, Numerical Functional Analysis and Optimization, v. 25, No. 5& 6, pp. 407 - 422.Aoki, N. and Hiraide, K. Topological Theory of Dynamical Systems: Recent Advances, North-Holland, Amsterdam/London/New York, 1994.Atanasov, K. Intuitionistic Fuzzy Sets: Theory and Applications, Physica-verlag, 1999.Aubin, J.-P. and Frankowska, H. Set-valued analysis, Birkhauser, Boston, MA, 1990.Averbukh, V. I. and Smolyanov, O. G. (1968) The various definitions of the derivative inlinear topological spaces, Russ Math Surv, v. 23, No. 4, pp. 67-113.Averkin, A.N., Batyrshin, I.Z., Blishun, A.F., Silov, V.B., and Tarasov, V.B. (1986) FuzzySets in Models of Control and Artificial Intelligence, Moscow, Nauka.Axer, H., Sdfeld, D., van Keyserlingk, D. G. and Berks, G. (2001) Fuzzy sets in humananatomy, Artificial Intelligence in Medicine, v. 21, No. 1-3, pp. 147-152.Baez, S., Balachandran, A. P., Vaidya, S. and Ydri, B. (2000) Monopoles and Solitons inFuzzy Physics, Commun. Math. Phys., v. 208, pp.787-798.Banon, G. (1981) Distinction between several subsets of fuzzy measures, Fuzzy Sets andSystems, v. 5, pp. 291-305.Barn B., Rojas A., Brtez D., and Barn L., Measurement and Analysis of Poverty andWelfare using Fuzzy Sets, International Conference Systemics, Cybernetics andInformatics SCI'99, Orlando, Florida, 1999.Barth, E., Zetzsche, C. and Krieger, G. (1998) Curvature measures in visual informationprocessing, Open Systems and Information Dynamics, v. 5, pp. 25-39.Bartle, R.G. Modern Theory of Integration, American Mathematical Society, Providence,Rhode Island, 2001.Bhounek, L. and Cintula, P. (2005) Fuzzy Class Theory as Foundations for FuzzyMathematics, in "Fuzzy Logic, Soft Computing and Computational Intelligence: EleventhInternational Fuzzy Systems Association World Congress", Tsinghua UniversityPress/Springer, Beijing, pp.1233-1238.Bhounek, L. and Cintula, P. (2005a) Fuzzy class theory, Fuzzy Sets and Systems, v. 154, pp. 3455.Bekenstein, J.D. (1981) Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for boundedsystems, Phys. Rev. D, Part. Fields, v. 23, pp. 287-298.Bell, J.L. Set Theory: Boolean-Valued Models and Independence Proofs, Third Edition,Clarendon Press, Oxford, 2005.Bers, L. Topology, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, 1957.Blizard, W.D. (1989) Real-valued Multisets and Fuzzy Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 33,pp. 77-97.Boyer, C. A History of Mathematics, Princeton University Press, Princeton, 1985.Bromwich, T. J. and MacRobert, T. M. An Introduction to the Theory of Infinite Series,Chelsea, New York, 1991.Brown, J.G. (1971) A Note on Fuzzy Sets, Information and Control, v. 18, pp. 32-39.Bruhat, F. (1962) Integration p-adic, Sm. Bourbaki 14, Nr. 229, 16 p.Buckley, J.J., and Qu.Yunxia, (1991) On Fuzzy Complex Analysis, I, Differentiation, FuzzySets and Systems, 41, pp. 269-284.Bugajski, S. (1995) Fuzzy Dynamical Systems, Fuzzy Random Fields, Reports on Math.Physics, v. 36, No. 2/3, pp. 263-274.Bula, I. (1996) Stability of the Bohl-Brouwer-Schauder Theorem, Nonlinear Analysis:Theory, Methods and Applications, v. 26, pp. 1859-1868.Bula, I. (2003) Discontinuous functions in Gale economic model, Mathematical Modellingand Analysis, vol.8(2), pp. 93-102.Bula, I. and Rika, D. (2006) Arrow-Hahn economic models with weakened conditions ofcontinuity, Banach Center Publ., v. 71, pp. 47-61.Bula, I. and Weber, M.R. (2002) On Discontinuous Functions and their Application toEquilibria in Some Economic Models, Preprint of Technische Universitat Dresden,MATH-AN-02-02, 20 p.Burden, R.L. and Faires, J.D. Numerical Analysis, Brooks/Cole, Australia/USA/Canada, 2001.Burgin, M. (1995) Neoclassical Analysis: Fuzzy Continuity and Convergence, Fuzzy Sets and Systems, v. 75, pp. 291-299.Burgin, M. (1999) General Approach to Continuity Measures, Fuzzy Sets and Systems, v. 105, No. 2, pp. 225-231.Burgin, M. (1999a) Extended Fuzzy Continuity, Abstracts presented to the AmericanMathematical Society, v.20, No. 1, p. 230.Burgin, M. (2000) Theory of Fuzzy Limits, Fuzzy Sets and Systems, v. 115, No. 3, pp. 433-443.Burgin, M. (2001) Uncertainty and Imprecision in Analytical Context: Fuzzy Limits andFuzzy Derivatives, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, v. 9, No. 5, pp. 563-685.Burgin, M. (2001a) Mathematical Models for Computer Simulation, in Proceedings of theBusiness and Industry Simulation Symposium, SCS, Seattle, Washington, pp. 111-118.Burgin, M. Fuzzy Sets of Strong, Weak, and Conditional Derivatives, Elsevier, Preprint0110014, 2001b, 41 p. (electronic edition: http://www.mathpreprints.com/math/Preprint/).Burgin, M. (2001c) Topological Algorithms, in Proceedings of the ISCA 16th InternationalConference Computers and their Applications, ISCA, Seattle, Washington, pp. 61-64.Burgin, M. (2002) Theory of Hypernumbers and Extrafunctions: Functional Spaces andDifferentiation, Discrete Dynamics in Nature and Society, v. 7, No. 3, 2002, pp. 201-212.Burgin, M. Monotonicity, Fuzzy Extrema, and Fuzzy Conditional Derivatives of RealFunctions, University of California, Los Angeles, Mathematics Report Series, MRSReport 03-13, 2003, 73 p..Burgin, M. (2004) Fuzzy Optimization of Real Functions, International Journal ofUncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, v. 12, No. 4, pp. 471-497.Burgin, M. Unified Foundations of Mathematics, Preprint in Mathematics LO/0403186,2004c, 39 p. (electronic edition: http://arXiv.org).Burgin, M. (2004d) Optimization Calculus, in Proceedings of the Business and IndustrySimulation Symposium, Society for Modeling and Simulation International, Arlington,Virginia, 2004, pp. 193-198.Burgin, M. (2005) Recurrent Points of Fuzzy Dynamical Systems, Journal of DynamicalSystems and Geometric Theories, v. 3, No. 1, pp.1-14.Burgin, M. Fuzzy Continuity in Scalable Topology, Preprint in Mathematicsmath.GN/0512627, 2005a, 30 p. (electronic edition: http://arXiv.org).Burgin, M. Series Summation in Hypernumbers, University of California, Los Angeles,Mathematics Report Series, MRS Report 05-07, 2005b.Burgin, M. (2006) Scalable Topological Spaces, 5th Annual International Conference onStatistics, Mathematics and Related Fields, 2006 Conference Proceedings, Honolulu,Hawaii, pp. 1865-1896.Burgin, M. and Glushchenko V. (1997) Decision Making Based on Function FluctuationMeasurement, 5th European Congress on Intelligent Technologies and Soft Computing,Proceedings, Aachen, pp.1666-1670.Burgin, M. and Glushchenko V. (1998) Composition Decision Making in Fuzzy Conditions, 6th European Congress on Intelligent Technologies and Soft Computing, Proceedings, v. 1, Aachen, pp. 169-173.Burgin, M. and Kalina, M. (2005) Fuzzy Conditional Convergence and Nearness Relations,Fuzzy Sets and Systems, v. 149, No. 3, pp. 383-398.Burgin, M. and Kalina, M. (2005a) Calculus versus topology: comprehension versusabstraction, Fuzzy Sets and Systems, 2005, v. 149, No. 3, pp. 413-414.Burgin, M. S. and Karasik, A. Yu. Construction of Matrix Operators, Problems of Radio-Electronics, 1976, No. 8, pp. 9-25 (in Russian).Burgin, M. and ostak, A. (1992) Towards the Theory of Continuity Defect and continuityMeasure for Mappings of Metric Spaces, Matematika, Riga, pp. 45-62.Burgin, M. and ostak, A. (1994) Fuzzyfication of the Theory of Continuous Functions,Fuzzy Sets and Systems, v. 62, pp. 71-81.Burgin, M. and Westman, J. (2000) Fuzzy Calculus Approach to Computer Simulation,Proceedings of the Business and Industry Simulation Symposium, Washington, pp. 41-46.Burke, H.E. (1986) Handbook of Magnetic Phenomena, New York.Burton, D.M. The History of Mathematics, The McGrow Hill Co., New York, 1997.Carvalho, J.P.: Mapas Cognitivos Baseados em Regras Difusas: Modelacao e Simulacaoda Dinamica de Sistemas Qualitativos, PhD thesis, Instituto Superior Tecnico,Universidade Tecnica de Lisboa, Portugal (2002)Carvalho, J.P., Jos, A., Tome, J.A.: Qualitative Optimization of Fuzzy Causal RuleBases using Fuzzy Boolean Nets. Fuzzy Sets and Systems 158(17), 19311946 (2007)Carvalho, J.P., Tome, J.A.: Fuzzy Mechanisms for Qualitative Causal Relations. In:Seising, R. (ed.) Views on Fuzzy Sets and Systems from Different Perspectives. Philosophyand Logic, Criticisms and Applications. Studies in Fuzziness and Soft Computing,Springer, Berlin (2009) Carvalho, J.P., Tome, J.A.: Rule Based Fuzzy Cognitive Maps -D Qualitative SystemsDynamics. In: Proceedings of the 19th International Conference of the North AmericanFuzzy Information Processing Society, NAFIPS 2000, Atlanta (2000) Carvalho, J.P., Tome, J.A.: Issues on the Stability of Fuzzy Cognitive Maps and Rule-Based Fuzzy Cognitive Maps. In: Proceedings of the 21st International Conference ofthe North American Fuzzy Information Processing Society, NAFIPS 2002, New Orleans(2002)Carvalho, J.P., Tome, J.A.: Fuzzy Mechanisms For Causal Relations. In: Proceedingsof the Eighth International Fuzzy Systems Association World Congress, IFSA 1999,Taiwan (1999)Carvalho, J.P., Tome, J.A.: Rule Based Fuzzy Cognitive Maps - Expressing Time inQualitative System Dynamics. In: Proceedings of the 2001 FUZZ-IEEE, Melbourne,Australia (2001)Carvalho, J.P., Tome, J.A.: Rule Based Fuzzy Cognitive Maps and Fuzzy CognitiveMaps - A Comparative Study. In: Proceedings of the 18th International Conference ofthe North American Fuzzy Information Processing Society, NAFIP 1999, New York(1999)Carvalho, J.P., Tome, J.A.: Using Interpolated Linguistic Term to Express Uncertaintyin Rule Based Fuzzy Cognitive Maps. In: Proceedings of the 22nd International Conferenceof the North American Fuzzy Information Processing Society, NAFIPS 2003,Chicago (2003)Chaitin, G.J. (2006) How real are real numbers? International Journal of Bifurcation andChaos , v. 16, pp. 1841-1848.Chaitin, G.J. The Unknowable, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York, 1999.Chang, C.L. (1968) Fuzzy topological spaces, J. Math. Anal. Appl., v. 24, pp. 182-190.Chapin. E.W. (1974) Set-valued Set Theory, I, Notre Dame J. Formal Logic, v. 15, pp. 619-634.Chen, C.C. and Keisler, H.J. Continuous Model Theory, Princeton University Press,Princeton, 1966.Chen, Y.-Z. (2004) Fixed Points for Discontinuous Monotone Operators, Journal ofMathematical Analysis and Applications, v. 291, No. 1, pp. 282-291.Chen, Z., Osadetz, K.G., Embry, A.F., and Hannigan, P. (2001) Geological FavourabilityChidume, C.E., Zegeye, H. and Aneke, S.J. (2002) Approximation of fixed points of weakly contractive nonself maps in Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis andApplications, v. 270, No. 1 , pp. 189-199.Clark F.H. Optimization and Nonsmooth Analysis, John Willy & Sons, New York, 1983.Collins, J.C. (1984) Renormalization, Cambridge, Cambridge University Press.Connolly, J.H., Chamberlain, A. and Philips, I.W. (2006) A Discourse-based Approach toHuman-Computer Communication, Semiotica, v. 160, No. 1/4, 2006, pp. 203-218.Cornelis, C., De Cock, M., and Kerre, E. E. (2003) Intuitionistic fuzzy rough sets: at thecrossroads of imperfect knowledge, Expert Systems, v. 20, No. 5, pp. 260-269.Cornelis, C., Deschrijver, C., and Kerre, E. E. (2004) Implication in intuitionistic andinterval-valued fuzzy set theory: construction, classification, application, InternationalJournal of Approximate Reasoning , v. 35, pp. 55-95.Forrester, J.W.: Several papers available online at http://sysdyn.mit.edu/sd-intro/home.htmlHalanay, A., Samuel, J.: Differential Equations, Discrete Systems and Control: EconomicModels. Mathematical Modelling: Theory and Applications. Kluwer Academic (1997) http://www.euribor.org/html/content/euribordata.htmlKosko, B.: Fuzzy Cognitive Maps. International Journal of Man-Machine Studies (1986)Kosko, B.: Fuzzy Engineering. Prentice-Hall International Editions (1997)Kosko, B.: Neural Networks and Fuzzy Systems: A Dynamical Systems Approach toMachine Intelligence. Prentice-Hall International Editions (1992)Zadeh, L.A.: Fuzzy Sets and Applications: Selected Papers. Wiley Interscience (1987)Zhang, W.-B.: Differential Equations, Bifurcations and Chaos in Economics. WorldScientific (2005)

6.- BIBLIOGRAFA