INTEGRACINEs la operacin inversa de la derivacin y se denota con el smbolo La integral (anti derivada) de es , si cumple que:

En donde: : Integral: Integrando: Diferencial:Variable de integracin: Anti derivada:Constante de integracin

Propiedades Fundamentales de una Integral Indefinida1

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Recordatorio:El proceso de integracin es tan solo es un proceso inverso a la derivacin, para poder resolver los ejercicios se debe tener muy en cuenta las propiedades.Integracin directaEjerciciosEn este ejercicio vemos que aplicamos la propiedad para separar cada integral, a continuacin la para poner la constante afuera, dando paso a la propiedad y respectivamente, para culminar simplificamos trminos y damos el resultado; sin olvidarnos de siempre escribir la constante

1.

2. Igual que en el ejercicio anterior primero separamos los trminos de la integral multiplicando cada uno por dx, y a continuacin integramos cada uno aumentndole en un trmino al exponente y dividindolo para el mismo sin olvidar colocar la constante C

3. Para este ejercicio lo que hacemos es sacar el nmero de la integral, subimos el trmino del denominador para eliminar la fraccin y procedemos a integrar de la misma manera que los anteriores ejercicios.

Mtodos de integracin

Mtodo de sustitucin o cambio de variableEste mtodo consiste en cambiar la integral con el fin de hacerla ms sencilla de solucionar, con la prctica de los ejercicios podremos apreciar de una mejor manera cul de los trminos de la integral tiene que ser cambiado de variable.Al hacer el cambio de variable le asignamos una letra distinta a la planteada en el ejercicio, e integramos ese trmino (tambin debemos cambiar la variable a la nueva letra asignada) por ejemplo si elegimos la letra u su seria du.

Ejemplo:

Funcin derivada de la funcin

du

1. Primero elegimos el trmino que ser tomado para la sustitucin Derivamos el trmino Despejamos x para sustituirlo en la integral Ubicamos las variables en la integral Una vez remplazadas las variables en la integral, procedemos a resolver el ejercicio como en los ejercicios anteriores y con la particularidad de que aplicamos el concepto de logaritmo natural en integrales para poder resolverlo.

2.

Remplazamos los valores en la integral

3. En este ejercicio elegimos el valor que se cambiara de variable y como comnmente vemos en las fracciones es el denominador al que se le hace el cambio de variable.Una vez hecho esto procedemos a remplazarlos en nuestro ejercicio, donde aplicamos la propiedad de logaritmo natural para su solucin y finalmente ponemos sus valores originales en la respuesta

Remplazamos las variables en la integral

4.

Remplazamos las variables en la integralEn este caso nuevamente el valor a sustituir es el denominador y remplazamos las variables en el ejercicio, sacando fuera de la integral la constante e integrando los trminos.Por ultimo pasamos el numerador al denominador volviendo a si a ser positivo y lo remplazamos con sus valores originales

5. Como este ejercicio no es una fraccin podemos identificar el termino para la sustitucin al ver que tiene una funcin dentro de otra funcin, en este caso es .Despus de derivarlo y despejar las variables necesarias lo remplazamos en el ejercicio y procedemos integrar cada trmino de la misma manera que lo hicimos en las anteriores ocaciones.

Remplazamos las variables en el ejercicio

Mtodo de Integracin por partes Se usa el mtodo de integracin por partes cuando vemos que no es posible resolver la integral de una manera directa ni tampoco es posible hacerlo mediante un cambio de variables, esto generalmente ocurre cuando tenemos un producto que multiplica dos funciones y para resolverlo debemos separarlos donde se elegir un trmino como U que al ser derivado y uno como dv que ser integrado.RECOMENDACIN: una manera ms sencilla de determinar que termino debe ser derivado y cual integrado es fijarnos en que termino se hace ms fcil las dos operaciones. Existe una tcnica que se puede usar en la mayora de los casos para escoger U, se denomina ILTATE por su orden I: InversasL: LogartmicasA: AlgebraicasT: Trigonomtricas E: Exponenciales FORMULA:

EJEMPLO:

Elegimos el trmino que vamos a derivar y lo denominaremos U, por la teora antes mencionada elegimos a x para derivarlo = Entonces el trmino sobrante se denominara dv =

Aplicamos la frmula de integracin por partes para proceder a integrar

Podemos observar que esa es una integracin directa

1. En este ejercicio vemos claramente la manera de ubicar los trminos, y una vez derivados e integrados procedemos a aplicar la frmula de integracin por partes, Al hacerlo podemos observar que es necesario realizarla nuevamente en uno de sus trminos ( para sustituirla y continuar integrando el ejercicio.

Al encontrarse dos funciones en el integral volvemos a realizar la integracin por partes

Y volvemos al paso anterior remplazando por su integral ya encontrada:

2.

3. En este ejercicio despus de aplicar la frmula de integracin por partes hacemos uso de la siguiente identidad para su solucin: tan [x] = sec [x] 1, la sustituimos en la integral y hacer la multiplicacin podemos observar que es igual a nuestra expresin original por lo que la pasamos al otro lado cambindola de signo, el otro termino se integra de manera normal y as obtendremos el valor de la integral

4.

Integrales de funciones trigonomtricas

Una integral se denomina trigonomtrica cuando el integrando de la misma est compuesto de funciones trigonomtricas y constantes. Para su resolucin desde luego que son vlidos los teoremas de integracin.Usar una identidad trigonomtrica y simplificar, es til cuando se presentan funciones trigonomtricas Para resolver las integrales trigonomtricas es necesario tener conocimiento de las identidades trigonomtricas para usarlas antes de integrar.

Identidades trigonomtricas

1

EJEMPLOS:1. En este ejercicio nicamente hacemos uso de la propiedad

2. Usamos la propiedad de funciones trigonomtricas:

3. Identidad trigonometra: Propiedad trigonomtrica

4.

Integrales de funciones trigonomtricas cuadrticasEn esta parte analizaremos dos casos:El caso en el que n (el exponente de la funcin) sea par, y el caso en el que el exponente sea un nmero imparPrimer caso en el que n sea par:En este primer caso

Ejercicios:Hacemos uso de productos notables, en este caso

Utilizamos el mtodo de la integracin por sustitucin o cambio de variable para continuar resolviendo el ejercicio

Utilizamos las identidades y las sustituimos

En el caso en el que el coseno esta elevado a un nmero par es similar

Hacemos uso de la identidad En este caso:

Ahora veremos un ejercicio de tg donde n es un numero par, por lo que su solucin es parecida a las ya vistas anteriormente en sen y cos Si n es par:

Ejercicios:

Resolvemos la integral por sustitucin:

Para resolver un ejercicio de cotangente lo hacemos de una manera muy similar:

Sustituimos:

Segundo caso de funciones trigonomtricas cuadrticasEn este caso veremos funciones donde n es un nmero impar, de la misma manera en funciones:

En este segundo caso

Ejemplos:Usamos la identidad

Sustitucin:

Utilizamos el mtodo de sustitucin:

Aplicamos productos notables:

Para el coseno es un caso muy similar

Ahora veremos un ejercicio de tg donde n es un nmero impar, por lo que su solucin es parecida a las ya vistas anteriormente Si n es impar:

-1

Utilizamos sustitucin para el primero trmino:

Una vez encontrado el resultado del primer trmino comenzamos a resolver el siguiente.

En la cotangente se resolver de manera muy similar

Como hemos observado en los ejercicios vistos los pasos son repetitivos, al igual que las identidades utilizadas por lo que con la prctica se lograra un buen manejo de los mismos

Productos trigonomtricos

Despus de haber visto el mtodo de integracin de funciones trigonomtricas as como tambin de funciones trigonomtricas cuadrticas ya sean pares o impares a continuacin veremos productos trigonomtricos, que se diferencian por tener dos funciones de tipo trigonomtrico en lugar de una, que se multiplican en la misma integral.

En esta parte analizaremos tres casos:Cuando m o n sea impar o parCuando los dos sean paresCuando los dos son impares

Primer Caso cuando p o q es impar:

Ejercicio:

Segundo caso, cuando p y q sean impares:

En este caso los dos exponentes son impares

Ejemplo:

Tercer caso cuando p y q son pares:

Los dos exponentes son pares, es decir

Ejemplo:

Mtodo de sustitucin trigonomtrica

El mtodo de sustitucin trigonomtrica se usa para integrar aquellas integrales indefinidas con funciones trigonomtricas, en este mtodo usamos un caso especial de cambio de variable.Este tipo de integrales tienen la forma:

Para este mtodo existen tres casos:

Primer caso:

Segundo caso:

Tercer caso:

Ejemplos:

Primero buscamos la funcin trigonomtrica que nos permita que aplicada al triangulo nos permita despejar el valor de x y dx

Despejamos el valor de la funcin para usarlo en la sustitucin

Sustitucin de las variables obtenidas:

Segundo caso

Sustitucin de variables:

Tercer caso:

Sustitucin de variables:

Con esos concluimos acerca de integral indefinida as como los mtodos de integracin de los cuales se hacen uso en la parte de integracin indefinida e integral definida que se estudiara despus en la asignatura de anlisis matemtico 2

INTEGRAL DEFINIDAPara concluir con esta gua entraremos al concepto de integral definida donde primeramente notaremos que ya no tenemos una integral de esta forma .La integral definida tendr la siguiente forma:

Donde a y b son los lmites o intervalo de la funcin siendo:

Concepto de integral definida:Dada una funcin f (x) en un intervalo , la integral definida es igual al rea de una funcin delimitada entre los valores del intervalo en el eje de las abscisas y rectas, el concepto de integral definida es utilizado para determinar el valor de reas limitadas bajo una curva.

Cuando resolvemos integrales definidas al contrario de las integrales indefinidas donde mantenamos la variable, ahora esta tendr un valor que se remplazara despus de haber integrado la funcin, los valores a remplazar sern los del intervalo

Como ejemplo de la aplicacin de integral definida en el clculo de reas veremos de donde se obtiene la frmula del clculo del rea de un tringulo, que como todos conocemos es:

h

o b