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Texto guía estadística 1 para ingenierias
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1
ESTADÍSTICA 1
PRESENTADO POR:
ESTEFANÍA BETANCOURT ALVARÁN (1088310059)
FABIAN DAVID ALARCON BETANCUR (1088291088)
PRESENTADO A:
PROFESOR ÁLVARO TREJOS
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
FACULTAD DE INGENIERIAS
INGENIERIA INDUSTRIAL
PEREIRA, DICIEMBRE
2013
2
1 Contenido
1. ¿PARA QUÉ SIRVE LA ESTADÍSTICA? .......................................................... 5
1.1 DEFINICIÓN .............................................................................................. 5
La estadística es la ciencia de la sistematización, recogida, ordenación y
presentación de los datos referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o
incertidumbre para su estudio metódico con objeto de deducir las leyes que
rigen esos fenómenos. ......................................................................................... 5
2. VARIABLE ..................................................................................................... 5
2.1 CODIFICACIÓN DE VARIABLES .............................................................. 6
3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS
CONTINUAS ........................................................................................................... 7
3.1 HISTOGRAMA ......................................................................................... 10
3.2 OJIVA ....................................................................................................... 10
4. REDUCCIÓN DE DATOS ............................................................................... 11
4.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .................................................... 11
4.1.1 MEDIANA (Me) ..................................................................................... 14
4.1.1.1 MODA .................................................................................................... 16
4.1.1.1.1 ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN ........................................................ 16
1. PERCENTILES ............................................................................................ 16
2. DECILES ..................................................................................................... 17
3. CUARTILES ................................................................................................ 17
4.2 MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN ...................................... 18
5. PRINCIPIO DE CHEBYCHEF ........................................................................ 22
6. DIAGRAMA BOX PLOT O DE CAJA .............................................................. 23
7. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA O SESGO .................................................... 23
7.1 CURTOSIS O APUNTAMIENTO ................................................................. 24
3
8. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD .................................................................... 26
8.1 Probabilidad a priori (Pascal): ...................................................................... 26
8.2 Probabilidad a posteriori (Kolmogorov) .................................................... 27
8.3 Eventos: ................................................................................................... 29
8.3.1 Clasificación de los eventos:.............................................................. 29
8.4 OPERACIÓN ENTRE EVENTOS ................................................................ 31
9. CÁLCULO DE PROBABILIDADES ................................................................ 33
9.1 Propiedades de la probabilidad .................................................................... 33
9.2 MÉTODO PARA CALCULAR PROBABILIDADES................................... 35
10. TÉCNICAS DE CONTEO Y MÉTODOS DE ENUMERACIÓN ........................ 40
10.1 Principio de la multiplicación ...................................................................... 40
10.2 Permutaciones ...................................................................................... 42
11. PROBABILIDAD CONDICIONAL: ............................................................... 45
11.1 INDEPENDENCIA DE EVENTOS: ............................................................. 45
11.2 LEY DE LA MULTIPLICACIÓN: ................................................................. 46
11.3 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL .............................................. 47
11.4 TEOREMA DE BAYES .............................................................................. 48
12. VARIABLE ALEATORIA .............................................................................. 49
12.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ........................................................ 50
12.2 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ................................................................. 50
12.3 PROPIEDADES LA VARIABLE ALEATORIA ............................................ 51
12.4 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA .......................................... 52
12.5 VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA ............................ 53
12.6 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA ........................................... 54
13. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS CON NOMBRE PROPIO .............. 57
4
13.1 DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE PROBABILIDAD .................................... 57
13.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BERNOULLI .............................. 58
13.3 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL ...................................... 60
14. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTINOMIAL .................................... 61
15. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON ........................................ 62
16 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA...................... 63
16.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA
MULTIVARIADA................................................................................................. 64
17 DISTRIBUCIÓN EXPONENECIAL .............................................................. 65
5
1. ¿PARA QUÉ SIRVE LA ESTADÍSTICA?
- La ciencia se ocupa en general de fenómenos observables.
- Los modelos que crea la ciencia son de tipo determinista o aleatorio
(estocástico).
- Tiene unas leyes que rige el comportamiento de un problema, validando o
rechazando dichas leyes.
- Casi todo es aleatorio.
- En todas las ciencias hay incertidumbre y variabilidad.
1.1 DEFINICIÓN
La estadística es la ciencia de la sistematización, recogida, ordenación y
presentación de los datos referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o
incertidumbre para su estudio metódico con objeto de deducir las leyes que rigen
esos fenómenos.
Estadística descriptiva Organizar, recoger
Probabilidad Deducir las leyes
Inferencia Tomar decisiones y conclusiones
2. VARIABLE
Es una característica medible de la población
- Escala nominal: Ejemplo: Género, rutas, etc.
- Cualitativa: La podemos dividir en dos:
Nominal Aquellas donde NO hay un orden.
Ordinal Tiene un orden o jerarquía.
- Cuantitativa: La podemos dividir en dos:
Discretas No puede tomar cualquier valor en un intervalo. Ej. No. De
hijos. Sí las variables son numéricas discretas se pueden medir
ordinalmente.
6
Continuas Puede tomar cualquier valor en un intervalo. Ej. El peso. Sí las
variables son continuas se mide por medio de intervalos.
- Las variables cualitativas medidas nominalmente utilizan los números para
nombrar las categorías.
- Las variables medidas ordinalmente (cualitativas o cuantitativas) utilizan los
números para indicar jerarquía o posición frente a la variable.
- La escala de medida por intervalo (variable cuantitativa continua) utiliza los
números para nombrar, jerarquizar y ubicar la distancia entre los datos.
2.1 CODIFICACIÓN DE VARIABLES
- ni= Frecuencia Absoluta
- hi= Frecuencia relativa
- Ni= Frecuencia absoluta acumulada
- Hi= Frecuencia relativa acumulada
- hi =
VARIABLES
CUALITATIVAS
NOMINAL ORDINAL
CUANTITATIVAS
DISCRETA CONTINUA
7
- Ni = ∑ni
- Hi = ∑hi
3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS
CONTINUAS
Ejemplo: En un centro de salud se midió el tiempo en que demora un paciente
para ser atendido (tiempo en minutos). La información se presenta a continuación:
Tiempo en minutos de 50 pacientes
4,2 – 7,1 – 7,4 – 8,3 – 10,2 – 10,2 – 10,8 – 11,2 – 11,2 – 12 – 12,4 – 12,9 – 13,1 –
13,4 – 13,5 – 13,8 – 14 – 14,3 – 14,4 – 14,5 – 14,7 – 14,8 – 14,9 – 15 – 15 – 15,4 -
15,8 – 16 – 16,5 – 16,6 – 17 – 17,1 – 17,3 – 17,6 – 17,9 – 18 – 18 – 18,2 – 18,4 –
18,9 – 19 – 19,8 – 19,8 - 20,2 – 21 – 21,2 – 21,2 – 22 – 22,3 – 26,7
1. Definir los siguientes términos:
a) Unidad experimental: Es el elemento, cosa, persona, animal, etc., del
cual se va a extraer la información. (Para el ejemplo serían los
pacientes).
b) Variable de interés: Lo que se va a medir. (Para el ejemplo sería el
tiempo)
c) Xmin, Xmax: Menor valor de la variable (Xmin), y mayor valor de la
variable (Xmax).
d) Rango:
R= Xmax - Xmin
R=26,7 – 4,2
R= 22,5
R* =
R*= 6 3,8
R* = 22,8
2. Hallar el número de intervalos (m) :
a) Método de la raíz cuadrada:
8
√
Para el ejemplo sería: √
b) Método de Sturges:
Para el ejemplo sería:
c) Método de la inecuación: Hallar el mínimo valor de m que cumpla con la
siguiente inecuación:
Para el ejemplo sería: m=6
3. Hallar la amplitud del intervalo:
Para el ejemplo sería:
C* = 3,8 (Se redondea C)
4. Lo = Límite inferior del primer intervalo.
Li = Límite superior del intervalo i.
Li – 1= Límite inferior del intervalo i.
Para el ejemplo sería:
9
5. Realizar la tabla:
Intervalo
Marca de
clase x’
ni
hi
Ni
Hi
hi*
(4,1 - 7,9] 6 3 0.06 3 0.06 0,016
(7,9 – 11,7] 9,8 6 0,12 9 0,18 0,032
(11,7 – 15,5] 13,6 17 0,34 26 0,52 0,089
(15,5 – 19,3] 17,4 15 0,3 41 0,82 0,079
(19,3 – 23,1] 21,2 8 0,16 49 0,98 0,042
(23,1 – 26,9] 25 1 0,02 50 1 0,05
-
∑
∑
Interprete: n2 ; h3 ; N4 ; H5
- n2= 6 personas son atendidas entre 7,9 y 11,7 minutos.
- h3= El 34% de los pacientes son atendidos entre 11,7 min y 15,5 min.
- N4= 41 personas son atendidas entre 4,1 min y 19,3 min.
10
- H5= El 98% de los pacientes son atendidos entre 4,1min y 23,1min.
- h(11,7-23,1) = El 80% de los pacientes han sido atendidos entre un lapso
de 11,7min y 23,1min.
- h(7,9- 19,3)= El 76% de los pacientes han sido atendidos entre 7,9min y
19,3min.
- h(10-20)= (11,7-10)h2*+h3+h4+h5*(20-19,3)= 0,72
El 72% de los pacientes son atendidos entre los 10 y 20 minutos.
3.1 HISTOGRAMA
Un tipo de representación gráfica, para variables continuas, formada por una serie
de barras contiguas de altura proporcional a la frecuencia de la categoría de la
variable.
3.2 OJIVA
11
4. REDUCCIÓN DE DATOS
Es el proceso donde se hace un análisis numérico de la información y consiste de
dos partes:
4.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1. La media: Es el estadístico de tendencia central más utilizado y se calcula
de la siguiente manera:
a) Datos no agrupados: ∑
Ejemplo: x1=23, x2= 21 , x3= 18, x4=19
b) Datos agrupados en una distribución de frecuencia medidos
ordinalmente.
Ejemplo: Sea la variable el # de personas en el hogar de 100 familias.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
4,1 7,9 11,7 15,5 19,3 23,1
Hi
Ojiva
12
∑
∑
ni hi
0 10 0,10
1 15 0,15
2 25 0,25
3 15 0,15
4 6 0,06
5 4 0,04
c) Media para datos agrupados medidos por intervalo:
∑
∑
Tiempo promedio para la atención de un paciente.
4.1.1 Propiedades de la media
1. La media de una constante es la constante.
Demostración: Xi=C
∑
∑
13
2. Si a una variable se multiplica por una constante la nueva media
aparece multiplicando por la constante.
a=Constante y= La nueva variable
Xi= La variable
∑
Y1= aX
∑
∑
Ejemplo: a=10
X1=1, X2=2, X3=3, X4=4
Y1= 1(10)=10
Y2= 2(10)=20 ∑
Y3= 3(10)=30
Y4= 4(10)=40
3. Sí a una variable se le suma una constante, la media de la
nueva variable es igual a la media más la constante.
Sí , donde a es constante y Xi, yi son variables.
∑
∑
∑ ∑
∑
4. La sumatoria de las distancias de los datos a la media es 0.
14
∑
∑
∑ ∑
5. Sí una población se divide en 2 subpoblaciones con tamaños
n1,n2 y medias la media total de la población será la
siguiente:
, donde n1+ n2= n
Ejemplo: El grupo de estadística 1 tiene 15 hombres con una
edad promedio de 21 años y 18 mujeres con una edad promedio
de 19 años. ¿Cuál es la edad promedio del curso?
n1=15
n2=18
4.1.1 MEDIANA (Me)
Es aquel valor de la variable por debajo del cual se encuentra el 50% de los datos.
1. Calculo de la mediana para datos no agrupados:
a) Los datos son impares:
15
Ejemplo: X1=18, X2=18, X3=20, X4=19, X5=17
n=5 17-18-18-19-20 Se organizan los datos de menor a mayor.
X3 = 18
b) Los datos son pares:
Ejemplo: X1=18, X2=18, X3=20, X4=19, X5=17, X6=22
(
)
2. Calculo de la mediana para datos agrupados:
0,50=0,18+0,089(x-11,7)
0,32=0,089x-1,0413
1,3613=0,089x
x=15,29~15,3
R// Por debajo de 15,3 min son atendidos el 50% de los pacientes.
16
4.1.1.1 MODA
Es el dato que más se repite.
a) Datos no agrupados:
Ejemplo: 1. X1=18, X2=18, X3=20, X4=19, X5=17
Mo= 18
2. X1=18, X2=18, X3=20, X4=19, X5=17, X6=19
Mo=18
Mo=19
b) Datos agrupados:
(
)
Ejemplo:
(
)
4.1.1.1.1 ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN
1. PERCENTILES
Son valores de la variable por debajo del cual se haya el
1%,2%,3%,...,98%,99%,100% de la información.
Ejemplo:
17
R// El 77% de los pacientes son atendidos por debajo de 18,64 min.
2. DECILES
Son valores de la variable por debajo del cual se encuentra el 10%,
20%, 30%,…,80%, 90%, 100%.
Ejemplo:
3. CUARTILES
Son valores de la variable por debajo del cual se encuentra el 25%, 50%,
75% y 100%.
Ejemplo:
18
4.2 MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN
Dan idea de la homogeneidad o heterogeneidad de los datos. Los más
utilizados son los siguientes:
- Rango:
R=
- Rango Intercuartílico:
- La varianza
Es el estadístico de dispersión más utilizado y se define como el promedio
de las distancias al cuadrado de los datos a la media.
∑
∑
a) Varianza para datos no agrupados:
Población A: x1=48, x2=49, x3=51, x4=52
∑
19
R//El cuadrado de las distancias de los datos a la media es de 2,5.
Población B: x1=1, x2=2, x3=98, x4=99
R// La población es muy heterogénea.
NOTA: Sí la varianza es muy grande la media no es un buen
representante.
b) Varianza para datos medidos ordinalmente (agrupados):
∑
∑
# Personas en el hogar
1 15 0,23
2 25 0,38
3 15 0,23
4 6 0,09
5 4 0,06
∑
20
c) Varianza para datos agrupados medidos por intervalos
∑
- Desviación estándar
Se define como la raíz cuadrada de la varianza; solucionando el problema que
tiene esta al distorsionar el medida real de los datos.
Ejemplo: X1=154cm, X2=178cm, X3=158cm, X4=155cm, X5=187cm
m
m
El segundo problema de la varianza es que está sujeta a la unidad de la medidad
de la variable.
- Coeficiente de variación
Mide la homogeneidad o heterogeneidad de las variables y se calcula de la
siguiente manera:
21
Ejemplo:
El coeficiente de variación es adimensional; quiere decir que no importa la unidad
de medida de las variables y se pueden comparar las variables.
CV
Ejemplo:
La población A es muy homogénea.
√
La población B es heterogénea.
- Propiedades de la varianza
1. La varianza de una constante es 0 “cer ”
x1=20, x2=20, x3=20, x4=20
Demostración: ∑
∑
∑
2. La varianza es mayor que 0. Todo cuadrado siempre es mayor a 0.
3. Si a una variable se le suma una constante, la varianza no cambia:
Ejemplo: x1=18, x2=20, x3=19, x4=17
22
Demostración:
∑
4. Si una variable se multiplica por una constante, la varianza sale
multiplicada por la constante al cuadrado.
Demostración:
∑
∑
∑
5. PRINCIPIO DE CHEBYCHEF
El porcentaje de información que se ubica en un intervalo k-desviaciones a la
media es mayor o igual a:
Ejemplo: Para k=2 y S=4,31
( )
23
El porcentaje de personas que son atendidas entre 6,68 min y 23,92 min es > al
75%.
6. DIAGRAMA BOX PLOT O DE CAJA
7. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA O SESGO
El concepto de asimetría se refiere a si la curva que forman los valores de la serie
presenta la misma forma a izquierda y derecha de un valor central (media
aritmética).
Sesgo es el grado de asimetría de una distribución, es decir, cuánto se aparta de
la simetría.
24
A=0 A>0 A<0
- Asimetría para datos no agrupados:
∑
∑
√∑
- Asimetría para datos agrupados (ordinalmente):
∑
- Asimetría para datos agrupados (intervalos):
∑
La distribución es asimétrica negativa. Está muy cerca de cero.
7.1 CURTOSIS O APUNTAMIENTO
25
- Datos no agrupados:
[ ]
∑
- Datos agrupados:
Ordinal: ∑
Intervalos: ∑
26
8. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Es un modelo matemático que trata de cuantificar los experimentos aleatorios
8.1 Probabilidad a priori (Pascal):
La probabilidad de eventos favorables en unos experimentos sobre el total de
resultados posibles, se le llama probabilidad a priori de un evento A.
Donde
h: número de casos favorables al evento A
n: número de resultados posibles
Ejemplo:
Sea el evento que consiste en lanzar dos dados, hallar la probabilidad de que
salga 6.
Dado1/Dado2 1 2 3 4 5 6
1 1,2 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
27
Sea el evento que consiste en lanzar dos dados, hallar la probabilidad de que
salga 1.
8.2 Probabilidad a posteriori (Kolmogorov)
Cuando el número de experimentos, replica o tamaño de muestras son muy
pequeños, los resultados de calcular probabilidad suelen ser distorsionados.
El cálculo de probabilidad posteriori plantea que la probabilidad de un evento en
un experimento en muchas repeticiones tiende a
donde:
h: número de casos favorables
n: número de resultados posibles
- Experimento
Es una operación que conlleva a un resultado de varios resultados posibles, se
den ta p r (Ε).
Ejemplo:
Lanzar una moneda
28
Probabilísticos
Deterministicos
Lanzar un dado
Lanzar dos monedas
Lanzar una moneda y un dado
Diagrama de árbol para la el experimento que consiste en lanzar dos
monedas
Tipos de experimentos:
- Probabilísticos: son los ejemplos anteriores
- Deterministico: Un carro que viaja a 40Km en dos hojas, cuantos
kilómetros recorrió
- Espacio Muestral: se define como todos los eventos posibles de un
experiment , se dan p r Ω ó S.
Moneda
Cara Cara
Sello
Sello Cara
Sello
29
Ejemplo:
Sea el evento que consiste en lanzar un dados
c:cara; s: sello
Sea el evento que consiste en lanzar un dado
Espacio muestral
8.3 Eventos:
Es un elemento o varios elementos del resultado de un experimento, es un
subconjunto del espacio muestral.
8.3.1 Clasificación de los eventos:
1. Evento nulo : El evento nulo es aquel que no tiene ningún resultado
posible en el espacio muestral
Ejemplo:
Sea el evento que consiste en lanzar una moneda, sea el evento que salga
dos caras, entonces
Sea el evento que consiste en lanzar un dado, sea el evento un número
mayor que 6, entonces
2. Evento simple:Un evento simple en aquel que tiene un resultado posible
en el espacio muestral.
Número de puntos finitos (como los ejemplos que
tenemos anteriormente)
Número de puntos infinitos (la duración de una
bombilla, los granos de arena en el océano, etc)
30
Ejemplo: sea el experimento que consiste en lanzar una moneda, sea B el evento
que salga cara, entonces.
3. Evento compuesto: es aquel tiene más de un evento simple en su espacio
muestral.
Ejemplo: sea el experimento que consiste en lanzar dos monedas, sea A el evento
que salga como mínimo una cara
4. Evento seguro: un evento seguro es aquel que siempre se va a presentar
Ejemplo: sea el experimento que consiste en lanzar un dado, sea A el evento que
salga par
Nota: El evento se denota por letra mayúscula y entre se representa los eventos
simples que conforman el grado de evento.
Ejercicios
1. Sea el experimento que consiste en lanzar dos monedas
a- Hallar el espacio muestral
b- Definir un evento nulo, simple, compuesto y seguro
c- Sea A el experimento que al menos salga una cara, hallar la
probabilidad del evento A.
2. El jefe de personal va a seleccionar 2 candidatos de una lista de 5
elegibles, supóngase supóngase que el 1 es el mejor, el 2 es el menos
mejor, sucesivamente.
a- Hallar la probabilidad de que el jefe de personal seleccione al menos
uno de los dos mejores (evento A).
b- Hallar la probabilidad de que el jefe de personal seleccione el mejor
candidato
31
8.4 OPERACIÓN ENTRE EVENTOS
- Complemento de un evento
Sea E un experimento con S como su espacio muestral y A un evento de ese
espacio muestral. Se define el complemento de un evento A como aquellos
eventos simples que están en S pero no están en A
- Unión entre eventos
Sea E un experimento con S como su espacio muestral, A y B dos eventos de
dicho espacio muestral. Se define la unión de A y B y se representa por AUB como
los eventos simples que pertenecen a A o pertenecen a B o pertenecen a A y B.
Espacio muestral
S Evento A
A B
32
- Intersección de eventos
Sea un experimento con S como su espacio muestral, A y B dos evento de dicho
espacio muestral se define como la intersección como los eventos simples que
determinen a A y B.
- Eventos mutuemente excluyentes
Sea E un experimiento y S como su espacio muestral, se definene dos eventos
excluyentes si
Ejercicio:
1- Sea el experimento que consiste en lanzar dos monedas. Sea A el evento
que consiste que salga como mínimo cara. Sea B el evento que consiste
que salga como mínimo sello. Sea C el evento que no salga cara y sea D el
evento que no salga sello.
a- Hallar:
b- Hallar :
c- Hallar:
d- Que eventos son mutuamente excluyentes
A B
A B
33
9. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Sea el experimento E con S como su espacio muestral y A un evento del espacio
muestral, al número real asignado al evento A y calculado de la siguiente forma:
Donde
h: número de casos favorables al evento A
n: número de resultados posibles
Se le llama la probabilidad del evento A su cumple los siguientes axiomas:
1-
2-
3-
4-
9.1 Propiedades de la probabilidad
1-
2-
Demostración de las propiedades
1-
34
2-
Ejemplo:
Sea el experimento que consiste en lanzar un dado, para dicho dado los números
pares tienen el doble de probabilidad de ser elegidos que los números impares.
Sea C el evento que el número observado sea mayor o igual a cuatro.
35
9.2 MÉTODO PARA CALCULAR PROBABILIDADES
Existen dos métodos para el cálculo de probabilidades
1- Método de composición de eventos
2- Método de los puntos muestrales.
1. Método de los puntos muestrales
Para el cálculo de probabilidades se presentan problemas cuyas soluciones no
son tan sencillas. Para solucionar este problema se recomienda en el cálculo de
probabilidades aplicar el método de los puntos muéstrales, el cual consiste en
desarrollar secuencialmente cinco puntos que se enuncian a continuación.
1. Definir claramente el experimento (entenderlo, poder explicarlo, etc)
2. Pintar o dibujar el espacio muestral (entender cada uno de los puntos
muestrales)
3. Identificar la probabilidad de cada evento simple, determinando si estos son
equiprobables o no.
4. El evento ¨A¨ ocurre si cualquiera de los eventos simples que lo conforman
se presentan
5. La probabilidad del evento A es igual a la suma de las probabilidades de los
eventos simples que lo conforman.
Ejercicios
1. Sea el experimento que consiste en lanzar una moneda sea A el evento de
obtener un sello
Entender
Dibujar
36
2. Sea E el experimento de lanzar dos monedas, sea B el evento que consiste
en obtener un sello.
Entender el experimento
3. El gerente de una empresa debe seleccionar dos aspirantes de un grupo de
5 para un empleo, imagine que los aspirantes están clasificados del mejor
hasta el menos preparado, el gerente no sabe de esta clasificación. El
evento A que el jefe de personal selecciones el mejor y el menos
preparado. Sea el evento B que el jefe seleccione alguno de los dos
mejores.
Entender el experimento
37
4. Sea el experimento que consiste en lanzar dos dados uno verde y otro azul
Candidatos
1
2
3
4
5
2
3
4
5
3
4
5
5
38
Se asume que los resultados son equiprobables, hallar las siguientes
probabilidades
a) Que la suma sea mayor que 8
b) Que ocurra un 2 en cualquiera de los dados
c) Que se produzca un número mayor que cuatro en el verde
d) .
Entender el problema
Dado
azul/
Dado
verde
1 2 3 4 5 6
1 1,2 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Dado
azul/
Dado
verde
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7 8 9
39
3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11 12 13
5. La probabilidad de que una industria de EEUU de ubique en Alemania es
de 0,7 , la probabilidad de que e ubique en Brasil es de 0,4, la probabilidad
que se que se ubique en Alemania o Brasil ó ambas es de 0,8. Calcular la
probabilidad de que se ubique en ambas cuidades, la probabilidad que no
ubique en alguna de estas ciudades.
Entender el experimento
0,7 0,
4 0,2
40
10. TÉCNICAS DE CONTEO Y MÉTODOS DE ENUMERACIÓN
10.1 Principio de la multiplicación: si una operación tiene resultados posibles
y si para cada uno de los resultados posibles, es probable analizar una segunda
operación con resultados posibles, el total del resultado es .
41
Ejemplo: Un médico desea clasificar a sus pacientes de acuerdo a la presión
arterial (alta-media-baja) y de acuerdo a su tipo de sangre ( , ). De
cuantas formas un medico puede clasificar a sus pacientes.
Monedas
C C
S
S C
S
Monedas
Alta
A+
A-
AB
O+
O-
Media
A+
A-
AB
O+
O-
Baja
A+
A-
AB
O+
O-
42
10.2 Permutaciones
- Permutaciones de tamaño n: una permutación de tamaño n es un arreglo
del número de formas, como se pueden organizar n elementos donde el
orden importa. El número de organizar n elemento es donde el orden
importa.
Ejemplo
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2
- Permutaciones de tamaño K, donde K<n: se presentan muchos
problemas en la vida cotidiana de extraer K elementos de una población de
tamaño n donde el orden importa y está dada por la siguiente ecuación:
Ejemplo
No son iguales
43
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
Ejemplo
De un grupo de 11 estudiantes voy a elegir 2 para ocupar los cargos de
coordinador de campo y el segundo para coordinador de oficina. De cuantas
maneras se puede hacer?
Con repetición : hay un población de tamaño n. extraigo K y hay repeticiones
Ejemplo
1
2
3
1 3 2
44
- Permutaciones circulares: en la naturaleza se presentan muchos
problemas donde se van a organizar n-elementos de una mesa redonda.
De cuantas maneras puede hacerse esto?
El número de formas de organizar n-elementos en una mesa redonda es:
Ejemplo: de cuantas formas puede organizarse 5 árboles en un terreno circular?
- Permutaciones múltiples: se presentan donde n-elementos de una
población se clasifican en P grupos de tamaño con la
condición que
Ejemplo: Se va a realizar un paseo a las ciudades que a continuación se enuncia y
se desea armar un grupo de a Cancún de 4 personas, a Cartagena de 2
personas, a San Andrés de tres personas y a Santa Marta de 2 personas.
Maneras de formar los grupos.
45
- Combinaciones: Una combinación es un arreglo de una población de n-
elementos, extrayendo K elementos donde y el orden no importa.
Ejemplo: de un grupo de 11 estudiantes se van a elegir 2 estudiantes quienes
formaran un comité que tiene como fin de dialogar con el rector de la actual crisis
en la UTP. (en el comité no hay clasificación, orden, jerarquía) el orden no importa
y la forma para combinar es:
( )
11. PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Sea S un espacio muestral con A y B dos eventos de dicho espacio muestral. Se
defina la probabilidad condicional de A dado B como la probabilidad que ocurra el
evento A dado que el evento B ya ocurrió, y se calcula de la siguiente manera.
⁄
⁄
11.1 INDEPENDENCIA DE EVENTOS:
Sea S un espacio muestral, A y B 2 eventos de dicho espacio muestral. Se dice
que los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de un evento no
aumenta o disminuye la probabilidad de ocurrencia del otro evento.
⁄ ⁄
⁄ ⁄
Ejemplo: Sea R el evento que un convicto haya robado a mano armada, sea D que
dicho convicto haya vendido droga. Interprete con palabras las siguientes
probabilidades.
46
a) ⁄ dado que el convicto haya vendido droga, cual es la probabilidad
de que haya robado a mano armada?
b) ⁄ dado que el convicto hay robado a mano armada, cual es la
probabilidad de que haya vendido drogas?
c) ⁄ dado que el convicto no robo a mano armada, cual es la
probabilidad de que haya vendido droga?
d) ⁄ dado que el convicto no haya vendido droga, cual es la
probabilidad de que haya robado a mano armada?
e) ⁄ dado que el convicto no haya vendido drogas, cual es la
probabilidad de que no haya robado a mano armada?
f) cual es la probabilidad de que el convicto haya robado a mano
armada y también haya vendido drogas?
g) cual es la probabilidad de que el convicto no haya robado a
mano armada ni tampoco vendido drogas?
h) cual es la probabilidad de que el convicto robe a mano armada y
venda drogas a la vez?
i) cual es la probabilidad de que el convicto no robe a mano armada
y venda drogas a la vez?
11.2 LEY DE LA MULTIPLICACIÓN:
Sea S un espacio muestral, Ay B 2 eventos de dicho espacio muestral. Se define
la probabilidad de que ocurra A y B como:
⁄
⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Para dos eventos
47
11.3 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sea S un espacio muestral y eventos mutuamente excluyentes y
colectivamente exhaustivos (forman una particon de S). Sea E otro evento de
dicho espacio muestral, la probabilidad de que ocurra E está dada por la siguiente
expresión:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
… …
Demostración
( )
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
E
S
48
Ejercicio: La producción total de una fábrica depende las maquinas x, y, z. el 50%
del total de artículos producidos depende de la maquina x, de los cuales el 3% es
defectuoso. El 30% de los artículos son producidos por la máquina y, de los cuales
el 4% son defectuosos, el 20% es producido por la maquina z, de los cuales el 5%
son defectuosos.
Si un artículo es aleatoriamente, hallar la probabilidad de que este sea defectuoso.
S
X
0,03
Y
0,04
Z
0,05
⁄ ⁄ ⁄
Conclusión: El total de la producción defectuosa es del 0.037.
11.4 TEOREMA DE BAYES
Sea S un espacio muestral, … una porción del espacio muestral, sea
E un evento del espacio muestral. Si el evento E se presenta es importante
preguntarse la probabilidad de que venga del evento … la solución a
este problema de la formula de Bayes se enuncia a continuación.
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
49
Demostración
⁄
⁄ ⁄
Ejemplo: Para el problema anterior, si el artículo es elegido aleatoriamente y este
es defectuoso. Hallar las siguientes probabilidades.
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄
12. VARIABLE ALEATORIA
Es una función definida sobre el espacio muestral y se denota por las letras
mayúsculas X, Y y Z, …, etc.
Ejemplo:
Sea E el experimento que consiste en lanzar 2 monedas, sea X la variable
aleatoria que cuenta el número de caras.
x 0 1 2
50
Sea E el experimento que consiste en lanzar 3 monedas, sea Y la variable
aleatoria que cuenta el número de sellos. Cuál es el espacio recorrido de la
variable aleatoria?
12.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Es una pareja ordenada donde el primer valor correspondiente al número
observado de la variable aleatoria y el segundo valor correspondiente a la
probabilidad asociada a la variable aleatoria.
Ejemplo
Para el caso de 2 monedas, sea X la variable aleatoria que cuenta el número de
caras.
x 0 1 2
F(x) 1/4 2/4 1/4
Para el caso de Sea E el experimento que consiste en lanzar 3 monedas, sea Y la
variable aleatoria que cuenta el número de sellos.
y 0 1 2 3
f(y) 1/8 3/8 3/8 1/8
12.2 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Llamada también función de de densidad y es la encargada de asignar la
probabilidad a cada valor de la variable aleatoria.
Ejemplo:
51
Para el caso de, sea X la variable aleatoria que cuenta el número de caras.
x 0 1 2
f(x) 1/4 2/4 1/4
Para el caso de Sea E el experimento que consiste en lanzar 3 monedas, sea Y la
variable aleatoria que cuenta el número de sellos.
y 0 1 2 3
f(y) 1/8 3/8 3/8 1/8
12.3 PROPIEDADES LA VARIABLE ALEATORIA
1.
52
∑
12.4 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA
Se denota por la letra mayúscula F(X) llamada también función de densidad
acumulada y se define como la acumulada o la probabilidad de ocurrir un valor
menor o igual que .
∑
Ejemplo
Para el caso de, sea X la variable aleatoria que cuenta el número de caras.
x 0 1 2
f(x) 1/4 2/4 1/4
F(x) 1/4 3/4 1
Para el caso de: Sea E el experimento que consiste en lanzar 3 monedas, sea Y la
variable aleatoria que cuenta el número de sellos.
Y 0 1 2 3
f(y) 1/8 3/8 3/8 1/8
F(y) 1/8 4/8 7/8 1
53
12.5 VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Llamada también esperanza matemática de una variable aleatoria y corresponde
también a la media de la variable aleatoria y se calcula de la siguiente manera.
∑ ∑
- Variables continúas aleatorias
∫
Ejemplo: Para el caso de, sea X la variable aleatoria que cuenta el número de
caras.
x 0 1 2
f(x) 1/4 2/4 1/4
∑ (
) (
) (
)
Para el caso de Sea E el experimento que consiste en lanzar 3 monedas, sea Y la
variable aleatoria que cuenta el número de sellos.
y 0 1 2 3
f(y) 1/8 3/8 3/8 1/8
∑ (
) (
) (
) (
)
54
12.6 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
1. Variable discreta
∑
∑ ∑
∑
2. Variable aleatoria continua
∫
∫
Ejemplo:Para el caso de, sea X la variable aleatoria que cuenta el número de
caras.
x 0 1 2
f(x) 1/4 2/4 1/4
∑
∑ (
) (
) (
)
∑
(
)
Para el caso de: Sea E el experimento que consiste en lanzar 3 monedas, sea Y la
variable aleatoria que cuenta el número de sellos.
55
y 0 1 2 3
f(y) 1/8 3/8 3/8 1/8
∑
∑ (
) (
) (
) (
)
∑
(
)
Problemas
1. De un grupo que contiene 4 bolas negras y 2 verdes, se extrae dos de ellas
en forma sucesiva y se regresa a la caja antes de realizar la siguiente
extracción.
Encontrar la distribución de probabilidad
El valor esperado
La varianza de la variable aleatoria definida en el número de bolas verdes.
Respuesta
X 0 1 2 3
f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8
F(x) 1/8 4/8 7/8 1
∑ (
) (
) (
)
∑
56
∑ (
) (
) (
) (
)
∑
(
)
2. Una compañía piensa comprar dos computadores, en la distribución de
estos equipos tiene 9 en el almacén de los cuales 3 son defectuosos. Sea Z
la variable aleatoria que cuenta el número de aparatos defectuosos por la
compañía. Hallar la distribución de probabilidad, el vector esperado y la
varianza de la variable aleatoria.
M: computadores malos
B: computadores buenos
z 0 1 2
f(z) 15/36 18/36 3/36
F(z) 1/8 4/8 7/8
∑ (
) (
) (
)
57
∑
∑ (
) (
)
∑
(
)
13. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS CON NOMBRE PROPIO
13.1 DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE PROBABILIDAD
Se presentan muchas variables aleatorias con k resultados posibles, mutuamente
excluyentes, igualmente probables y colectivamente exhaustivas.
Ejemplo
Tirar un dado
Tirar una moneda
Hacer un Shift-Ranzaso en la clase de estadística 1 con el profesor Álvaro
Trejos.
La esperanza y la varianza de una variable aleatoria uniforme, está dada por la
siguiente expresión:
∑ ∑
∑
[ ] ∑
∑
∑
(
∑
)
∑
58
Ejemplo: sea E el experimento que consiste en lanzar un dado, hallar la
distribución de probabilidad, el valor esperado y la varianza para esta variable
aleatoria.
X 1 2 3 4 5 6
P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
∑ ∑
[ ]
∑
√
13.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BERNOULLI
En la naturaleza existen muchos problemas donde las variables aleatorias
presentan uno de dos resultados posibles (éxito ó fracaso). Los resultados son
mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
Ejemplo
Al votar por un candidato
En un proceso de producción si sale defectuoso o no
Al naces un bebe si es hombre o mujer.
Esperanza
59
∑
X 0 1
P(x) q p
∑
Ejemplo: Si suponemos que la probabilidad de que nazca un niño es igual a la de
que nazca una niña. Hallar la distribución de probabilidad, valor esperado,
varianza de esta distribución de Bernoulli.
a.
X 0 1
P(x) 0,5 0,5
b.
c.
60
13.3 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Si un proceso Bernoulli se repite n-veces y de estas n-veces se está interesado en
k-éxitos donde diremos que estamos en presencia de un distribución de
probabilidad binomial.
Ejemplos
1. La probabilidad de que una persona vote por el candidato A es de 0,20, si
se elige al azar 100 personas, hallar la probabilidad de que 5 personas
voten por el candidato A.
n=10, k=4
2. En un proceso de producción el 10% de los artículos salen defectuosos, si
un producto es elegido a lazar, hallar la probabilidad de que 4 productos de
los seleccionados sean defectuosos.
n=10, k=4
Condiciones para aplicar la distribución de probabilidad binomial
1. El experimento consiste en repeticiones ó ensayos.
2. Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como éxito o
fracaso (experimento Bernoulli).
3. La probabilidad de éxito o fracaso no cambia en el tiempo y el éxito se
identifica por ¨P¨ y el fracaso se identifica por ¨q¨
4. Los ensayos son independientes.
5. La forma para calcular probabilidades con el modelo binomial es la
siguiente:
( )
P: probabilidad éxito
q: probabilidad no éxito
k: numero de éxitos a observar
n: numero de experimento (tamaño de la muestra) a realizar.
Ejemplo: en un proceso de producción el 5% de los artículos son defectuosos, si
se elige aleatoriamente 20 artículos. Hallar las siguientes probabilidades:
a. Encontrar dos defectuosos
61
b. Dos o menos defectuosos
c. Más de dos defectuosos
Respuesta
a. ( )
(
)
b.
(
)
(
)
c.
14. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTINOMIAL
Es una generalización de la distribución binomial. En lugar de considerar solo 2
tipos de ocurrencia (éxito-fracaso), se tienen k-tipos. La probabilidad de cada tipo
se denota por P1,P2,P3,…,Pk, donde se cumple las siguientes condiciones:
9 P1 + P2 + P3,…,Pk= 1, y se extrae un tamaño de muestra n con n-resultados
n2,n3,…,nk, donde n1+n2+n3,…,nk=n
La probabilidad para este tipode variables se calcula de la siguiente manera:
(
)
Ejemplo:
62
Según la revista Semana para el año 1998 el 40% de los divorcios se debe a
infidelidad de alguno de los cónyugues, el 50% a disputas económicas y el 10% a
otras causas, principalmente el alcoholismo.
¿Cuál e sla probabilidad de que de 12 divorcios elegidos al azar, 5 estén
motivados por infidelidad, 5 por problemas económicos y 2 por otras causas?
n=12 ; k=3; P1=0,40%; P2=0,50%; P3=0,10%; n1=5; n2=5; n3=2
(
)
La probabilidad de que en 12 matrimonios encontremos 5 por infidelidad, 5 por
problemas económicos y 2 por otras causas es de 0,053%.
15. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON
Esta distribución de probabilidad es utilizada para hallar el número de ocurrencias
(éxitos) en una unidad de intervalo, y su función de probabilidad está dada por la
siguiente expresión:
Ejemplo: Un grupo de 3 ingenieros se asocian para montar una empresa en
asesorías en ingeniería industrial. Para ello disponen de una oficina dotada de
equipos y una secretaria.
Abren la empresa el día 15 de diciembre y se registra la llegada de clientes
distribuidas por horas de la siguiente forma:
e= número neperiano e=2,71
k= El número de éxitos en el intervalo
al cual se le halla la probabilidad.
x= Variable aleatoria discreta.
63
14 ∑
15 Probablidad de que la próxima hora lleguen 3 clientes:
La probabilidad de que la próxima hora lleguen 3 clientes es de 0,18.
16 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA
La distribución de la probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica, cuenta
el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n, seleccionados de una
población de tamaño N, de los cuales k son éxitos y N-k son fracasos. La función
de probabilidad está dada por la siguiente expresión:
( ) (
)
( )
Ejemplo: En lotes de 40 componentes, se consideran aceptables si contienen
como máximo no más de 3 defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote,
consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar todo el conjunto si en la
muestra hay como mínimo un defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de no rechazar
el lote?
N=40; n=5; k=3; x=0
( ) (
)
(
)
64
La probabilidad de no rechazar el lote es de 0,6624.
16.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA
MULTIVARIADA
Es una distribución multivariada que generaliza la hipergeométrica (corresponde a
ensayos sin repetición), y se presentan más de 2 tipos de ocurrencias. Suponga
que una población presenta N-elementos de los cuales k1 son del grupo 1, k2 son
del grup 2,…,kr del grupo r, dónde k1+k2+…+kr=N. Entonces la probabilidad de
que una muestra contenga x1 elementos del tipo 1, x2 elementos del tipo 2, xr
elementos del tipo r, donde naturalmente x1+x2+…+xr=n y n es el tamaño de la
muestra tomada aleatoriamente, la función de probabilidad está dada por la
siguiente expresión:
(
) (
) (
)
( )
Ejemplo: Se van a analizar 10 personas para un estudio biológico. El grupo consta
de 3 con sangre tipo O, 4 con sangre tipo A, 3 con sangre tipo B. ¿Cuál es la
probabilidad de que una muestra aleatoria de 5 personas se presente el siguiente
resultado?
a) 1 persona con sangre tipo O
b) 2 personas con sangre tipo A
c) 2 personas con sangre tipo B
N=10; k1=3; k2=4; k3=3; x1=1; x2=2; x3=2;n=5
( ) (
) (
)
(
)
65
17 DISTRIBUCIÓN EXPONENECIAL
Es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:
18 Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que,
19 El tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos:
El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un
paciente;
El tiempo para cargar un camión.
En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a
intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos
sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el
tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.
Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de , es tal que su
función de densidad (# de fallos por unidad de tiempo) es:
Se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro ,X Exp(
de densidad , de una Exp ( Función
66
Función de distribución:
Valor
esperado:
Variable aleatoria:
Función exponencial: Pueden modelar el lapso de eventos consecutivos de
Poisson que ocurren de manera independiente a una frecuencia constante.
La función exponencial no tiene memoria, los eventos del presente o del futuro no
dependen de los que ocurrieron en el pasado.
67
Origen: Distribución de probabilidad Poisson
donde = promedio y k= # de éxitos
donde
Que es una variable aleatoria continua x que mide el tiempo que tarda en ocurrir el
primer evento Poisson:
; x=distancia o tiempo; D.F=1 cuando
Se deduce función de distribución con respecto a x y se obtendría la función de
densidad.
Ejemplo: El tiempo de vida de un fusible en cierta aplicación tiene un valor
esperado promedio de 2 años.
a) ¿Cuál es el valor de ?
µ=V[x]=2 años µ=
b) ¿Cúal es la desviación estándar?
√
√
Ejemplo: La variable x representa el tiempo en horas que una personas tarde en
realizar determinado trabajo y sigue una distribución exponencial con parámetro
a) ¿Cuál es el tiempo medio en que se espera realice dicho trabajo?
68
El tiempo medio es 0,5 horas.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo realice en menos de 30 minutos y en
más de una hora?
La probabilidad de que lo realice en menos de 30min es de 0,22.
Pero como es más de una hora: 1-0,39= 0,61
La probabilidad de que lo realice en más de una hora es de 0,61.
