TH2010PEST1093 Complete

Approche micromecanique du comportement dun

materiau fissure non sature

Bao Viet Tran

To cite this version:

Bao Viet Tran. Approche micromecanique du comportement dun materiau fissure non sature.Engineering Sciences. Universite Paris-Est, 2010. French. .

HAL Id: tel-00601102

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00601102

Submitted on 16 Jun 2011

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THSE

Prsente pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE

LUNIVERSIT PARISEST

Spcialit : Gnie Civil

Prsente par :

Bao Viet TRAN

Sujet de la thse :

Approche micromcanique du comportement

dun matriau fissur non satur

Soutenue Champs-sur-Marne le 12 Janvier 2010

devant le jury compos de :

G. Bonnet Professeur, Universit Paris Est - UMLV PrsidentH. Dumontet Professeur, Universit PMC (Paris VI) RapporteurA. Giraud Professeur, Universit Metz RapporteurI. Djeran-Maigre Professeur, Universit INSA de Lyon ExaminatriceX. Chateau Directeur de Recherche CNRS Directeur de thse

Remerciements

En tout premier lieu, jexprime mes profonds remerciements mon directeur dethse, Monsieur Xavier Chateau, qui a dirig cette thse avec normment de pa-tience, beaucoup denthousiasme et une dose dexigence. Son soutien constant arendu facile ces trois annes mme dans les moments les plus critiques... Quil trouveen ces quelques lignes, le tmoignage amical de ma profonde reconnaissance.

Je souhaite ensuite manifester ma reconnaissance Monsieur Guy Bonnet qui mafait lhonneur de prsider ce jury, ainsi qu Madame Hlne Dumontet, MadameIrini Djeran-Maigre et Monsieur Albert Giraud qui ont particip lvaluation dece travail.

Je tiens remercier tous mes collgues et mes amis du LMSGC pour lambiancechaleureuse, amicale et passionne.

Un amical remerciement tous mes collgues au Vietnam pour leur soutien et leurbonne humeur.

A tous mes amis qui mont offert leur soutien, je souhaite quils trouvent ici lamarque de ma grande reconnaissance.

Enfin, je tiens remercier chaleureusement mes parents et ma grande famille pourmavoir soutenu tout au long de mes tudes. Je noublie pas, bien videmment, mafemme et ma sur, qui ont su me rendre facile cette tranche de vie.

Rsum

On sintresse plus particulirement la modlisation du comportement dun ma-triau htrogne mso-fissur (bton, roche, ...), soumis une sollicitation thermo-hydro-mcanique avec prise en compte du couplage gomtrique. Pour conduire cettetude, on sappuie notamment sur les approches micro-mcaniques du comportementdes milieux mso-fissurs non saturs dveloppes depuis quelques annes au Labo-ratoire des Matriaux et des Structures du Gnie Civil - Ur Navier - Universit ParisEst.

Le milieu fissur non satur trait ici est constitu dune matrice solide homognelastique linaire et de fissures connectes satures par deux fluides immiscibles :un liquide et un gaz spars par une surface capillaire. La fissure est traditionnelle-ment considre comme une cavit ellipsodale (cas 3D) ou elliptique (cas 2D) dontle rapport daspect tend vers zro. Deux morphologies typiques de matriau sontconsidrs dans ce travail : la situation o les fissures sont toutes orientes dans lamme direction et la situation o les fissures possdent des orientations alatoires.

Dans une premire tape, on rappelle brivement les rsultats disponibles concernantla modlisation des fissures non satures par des cavits ellipsodales aplaties. A lafin de cette premire partie, on complte les rsultats dj disponibles en tudiantlinfluence de lhistoire de chargement sur la rponse de matriau.

Dans une deuxime tape, on sattache valider une partie des rsultats obtenus enutilisant une description des efforts capillaires dans les fissures par une prcontrainte

homogne en se rfrant aux solutions analytiques exactes disponibles dans la lit-trature permettant de dcrire le comportement dune fissure isole au sein dunematrice lastique.Dans une troisime tape, on sintresse aux phnomnes de propagation des fissuresen condition non sature. Les lois de propagation sous critique et le phnomne debranchement des fissures sont galement prises en compte dans cette approche.La dernire partie de la thse concerne linfluence de la temprature sur le compor-tement des milieux poreux non saturs.

Mots cls : Mthode dhomognisation , Problme non linaire, Micro-structures,Capillarit, Milieu poreux non saturs, Mcanique de la rupture, Propagation souscritique, Propagation en mode mixte.

Abstract

The main topic of my work is the development of a micromechanical model forthe behaviour of unsaturated mesocracks in media (concrete, rock...) in which thethermo-hydro-mechanical loadings and thermo-hydro-mechanical couplings are ta-ken into account. For this, we used the micromechanical approach model of behaviourof cracked porous media recently developed at LMSGC. My thesis is focused on theequilibrium configurations of a porous material whose pore space is saturated by avapour and a liquid phase.

The behaviour of an elastic medium containing unsaturated mesocracks is studiedin the framework of a micromechanical approach. The cracks are filled by two im-miscible fluids, namely a liquid and a gas, separated by a capillary interface. Fur-thermore, it is assumed that the set of cracks constitutes a connected network ; thecapillary pressure is uniform over a representative elementary volume. The cracksare modelled as flat oblate spheroid cavities. Several geometrical configurations ofcracks in porous media are considered in the framework of Eshelby-based homo-genization methods (parallel cracks, randomly oriented cracks). First, a previouslydeveloped model showed that when coupling between the deformation of the cracksand the capillary forces is taken into account, there is no more a one-to-one rela-tionship between the loading parameters and the state-variables. Thus, we describethe loading history prescribed to the material in order to compute its response.

Second, we validate these results referring to the exact solutions available in the

literature to describe the behaviour of a unsaturated crack within an elastic matrix.Third, the description of crack propagation in unsaturated media is considered inthe framework of linear elastic fracture mechanics. The phenomenon of subcriticalcrack growth due to stress corrosion cracking is taken into account in this approach.Mixed mode fracture in the plane is also examined.Finally, we are interested in the influence of the temperature on the behavior ofunsaturated porous media in the framework of the micromechanical approach.

Keywords : Homogenization methods, Non-linear effect, Microporomechanics, Mi-crostructure, Capillarity, Unsaturated porous media, Linear elastic fracture mecha-nics, Subcritical crack growth, Mixed mode fracture.

Table des matires

Introduction gnrale 19

1 Approche par homognisation du comportement des milieux fis-

surs 25

1.1 Homognisation pour les milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.1.1 Homognisation des milieux lastiques htrognes . . . . . . 26

1.1.1.1 Notion de VER et de grandeurs moyennes . . . . . . 26

1.1.1.2 Homognisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1.2 Homognisation des milieux poreux saturs . . . . . . . . . . 29

1.1.2.1 Dfinition du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.1.2.2 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.1.3 Problme de linclusion dEshelby . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.1.3.1 Problme de linclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.1.3.2 De linclusion lhtrognit . . . . . . . . . . . . 34

1.1.3.3 Application un unique pore satur . . . . . . . . . 35

1.1.4 Mthodes destimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.1.4.1 Schma dilu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.1.4.2 Schma de Mori-Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.2 Homognisation des milieux fissurs saturs . . . . . . . . . . . . . 37

1.2.1 Gomtrie des fissures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9

10 TABLE DES MATIRES

1.2.2 Le cas dilu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.2.2.1 Application une famille de fissures ouvertes parallles 41

1.2.2.2 Application une distribution isotrope de fissuresouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.2.3 Schma de Mori-Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.2.4 Le cas des fissures fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.3 Annexe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.3.1 Notation matricielle pour les tenseurs symtriques . . . . . . . 45

1.3.2 Transformation des composantes dans un changement de repre 46

1.3.2.1 Pour un tenseur du deuxime ordre symtrique . . . 46

1.3.2.2 Pour tenseur du quatrime ordre . . . . . . . . . . . 47

2 Comportement des matriaux msofissurs non saturs 49

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2 Modlisation des fissures non satures par des cavits ellipsodalesaplaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.1 Modlisation des efforts intrieurs dans un milieu poreux nonsatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.2 Approximation torodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.3 Approche linaire du comportement . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.3.1 Homognisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.3.2 Dformation de schage du matriau fissur isotrope 63

2.2.4 Validit de lapproximation X 0 . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.5 Prise en compte des non linarits gomtriques . . . . . . . . 69


2.2.5.2 Prise en compte de linfluence de lhistoire de char-gement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3 Solution analytique exacte du problme de fissures non saturs . . . . 78

2.3.1 Equations du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.3.2 Comportement macroscopique du matriau. Le cas linaire -Situation dilue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.3.2.1 Une unique famille de fissure . . . . . . . . . . . . . 85

2.3.2.2 Distribution isotrope de fissures . . . . . . . . . . . . 87

TABLE DES MATIRES 11

2.3.3 Prise en compte des non linarits gomtriques . . . . . . . . 88

2.3.3.1 Equation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


2.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.4 Validation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.5 Annexe B - Calculs dtaills de la solution exacte . . . . . . . . . . . 97

2.5.1 Calcul de la dformation et du facteur dintensit de contrainte 97

2.5.1.1 Le cas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.5.1.2 Le cas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.5.1.3 Le cas 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.5.2 Calcul de la variation de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.5.2.1 Cas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.5.2.2 Cas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.5.2.3 Cas 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3 Critre dendommagement dun milieu msofissur en conditions

sature et non sature 103

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2 Gnralit sur la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.3 Modlisation de la propagation dune fissure sature . . . . . . . . . 107

3.3.1 Loi dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.3.2 Propagation sous critique des fissures . . . . . . . . . . . . . . 110

3.4 Modlisation de lendommagement dun milieu poreux satur. Ap-proche par homognisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.4.1 Milieu fissur contenant une unique famille de fissures . . . . . 113

3.4.2 Distribution isotrope de lorientation des fissures . . . . . . . . 115

3.5 Rupture des matriaux fragiles non saturs . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.5.1 Taux de restitution dnergie en pointe dune fissure non sa-ture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.5.2 Le cas non interagissant - schma dilu . . . . . . . . . . . . 123

3.5.3 Le cas interagissant - schma de Mori-Tanaka . . . . . . . . . 127

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133


4 Endommagement des milieux fissurs en mode mixte 135

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.2 Branchement de fissure en mode mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.2.1 Critre de propagation pour une fissure unique isole dans unmilieu infini homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.2.1.1 Cas de la fissure ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.2.1.2 Cas KI = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.2.1.3 Cas KI > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.2.1.4 Cas de la fissure ferme . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2.2 Critre de propagation de lendommagement pour un matriaumso fissur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2.2.1 Validit de la solution approche . . . . . . . . . . . 147

4.3 Critre nergtique sans branchement de fissure . . . . . . . . . . . . 149

4.3.1 Condition douverture / fermeture de fissure . . . . . . . . . . 150

4.3.2 Homognisation dun solide fissur bidimensionnel . . . . . . 150

4.3.2.1 Une famille de fissures ouvertes parallles . . . . . . 151

4.3.2.2 Une distribution isotrope transverse de fissures ou-vertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.3.2.3 Le cas de fissures fermes . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.3.3 Critre dendommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.4 Comparaison et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.5 Annexe C : Tenseur dEshelby pour une ellipse cylindrique infinie . . 160

5 Influence de la temprature sur le comportement des milieux po-

reux non saturs 163

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.2 Comportement thermolastique dun milieu poreux satur . . . . . . 167

5.2.1 Thermolasticit dun milieu solide . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.2.2 Localisation pour le problme thermo-poro-mcanique . . . . . 168

5.2.3 Homognisation du problme thermo-poro-mcanique . . . . 170

5.3 Comportement thermolastique du milieu poreux non satur . . . . . 173

5.3.1 Effet dune variation de temprature sur la courbe capillairedun milieu indformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

TABLE DES MATIRES 13

5.3.2 Modle thermo-poro-mcanique linaire dun milieu solide d-formable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.3.3 Modle thermo-poro-mcanique non linaire dun milieu fis-sur non satur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Conclusions et perspectives 185

Table des figures

1.1 Volume lmentaire reprsentatif de milieu poreux satur . . . . . . . 30

1.2 Lquivalence entre les problmes de linhomognit et de lhtro-gnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3 Le repre global et le repre local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Le repre cylindrique associ une fissure modlise par un ellipsodede rvolution dans la situation non sature . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Equilibre de la ligne triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3 Fissure non sature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Courbes capillaires pour trois valeurs du rapport daspect. . . . . . . 56

2.5 Schage du milieu fissur isotrope - cas linaire . . . . . . . . . . . . . 63

2.6 Comparaison entre les valeurs exactes et les valeurs approches (X =0, 01) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.7 Comparaison entre les valeurs exactes et les valeurs approches (X =0, 001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.8 Dformations ltat sec (prenant en compte les effets de la tensionsurface) et contrainte macroscopique nulle . . . . . . . . . . . . . . 69

2.9 Schage sous contrainte nulle du milieu fissur isotrope - cas non linaire 72

2.10 Relation entre la pression capillaire et le volume du liquide . . . . . . 74

2.11 Configuration non sature du matriau fissur dans le plan (x, ) . . 76

15

16 TABLE DES FIGURES

2.12 Relations entre la saturation, la pression capillaire et la dformationmacroscopique en fonction de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.13 Fissure plane de rvolution (penny shape crack) isole dans un milieuinfini soumis une dformation homogne linfini en situation nonsature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.14 Dcomposition du problme complet dune fissure isole non saturen trois sous problmes lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.15 Forme dune fissure (X0 = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.16 Dcomposition du problme complet dun milieu fissur non saturen deux sous-problmes lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.17 Hypothse de superposition de louverture de la fissure . . . . . . . . 89

2.18 Dformation de schage en fonction de la pression capillaire - cas nonlinaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.19 Comparaison entre les deux approche - Schage sous contrainte ma-croscopique nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.20 Maillage du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.21 La comparaison entre lapproche numrique et la solution analytique 96

3.1 Les trois modes de rupture : mode I (ouverture), mode II (glissementplan), mode III (glissement antiplan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.2 Au voisinage dune pointe de fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.3 Matriau avec une seule fissure sature . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.4 La propagation dune fissure en rgime sous critique . . . . . . . . . . 111

3.5 Facteur dintensit de contrainte la pointe dune fissure non sature- cas dune contrainte macroscopique nulle. . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.6 Comportement du milieu fissur non satur isotrope - cas dilu ((a) :cas non satur avec couplage ; (b) : cas non satur sans couplage ; (c) :cas satur ; (d) : cas sec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.7 Comportement du milieu fissur non satur isotrope - cas de Mori-Tanaka ((a) : cas non satur avec couplage ; (b) : cas non satur sanscouplage ; (c) : cas satur ; (d) : cas sec) . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.8 Comparaison entre les rsultats calculs pour les deux schmas (courbes(b) sur les Fig. 3.6 et Fig. 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

TABLE DES FIGURES 17

4.1 Branchement de fissure en mode mixte I + II . . . . . . . . . . . . . 1364.2 Obtention du critre dendommagement initial . . . . . . . . . . . . 1374.3 Premier critre dendommagement local pour une fissure . . . . . . . 1424.4 Angle de branchement en fonction du rapport KII/KI . . . . . . . . 1434.5 Domaine des chargements ne provoquant pas la propagation dune

fissure dorientation dans le cas o la fissure est ouverte et dans lecas o la fissure est ferme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.6 Critre dendommagement initial pour un milieu dilu isotrope defissures de mme taille (solution approche avec L = 1) . . . . . . . . 146

4.7 Angle de branchement en fonction du rapport KII/KI selon les deuxsolutions exacte et approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.8 Critre dendommagement initial pour un milieu dilu isotrope defissures de mme taille (solution exacte avec L = 1) . . . . . . . . . . 148

4.9 Comparaison entre la solution exacte et la solution approche . . . . 1494.10 Le critre dendommagement selon lapproche nergtique (L = 1) . . 1584.11 Comparaison entre les deux approches . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.12 Ellipse cylindrique infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.1 Courbes de rtention deau pour largile FoCa deux tempraturediffrentes [45] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2 Courbes de rtention deau pour la bentonite MX80 diffrentes tem-pratures [53]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.3 Courbes de rtention deau pour largile de Boom diffrentes tem-pratures et pour deux tats de compaction diffrents [49] . . . . . . 166

5.4 Relation entre la courbe capillaire et le temprature dans le cas ind-formable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.5 Modle morphologique de lespace poreux pour modliser lhystrsiscapillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.6 Modle morphologique pour lhystrsis capillaire . . . . . . . . . . . 1795.7 Comportement thermo-hydro-mcanique du milieu fissur isotrope -

cas contrainte impose nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.8 La modlisation de linfluence de la temprature sur la courbe de

rtention deau - cas contrainte impose nulle . . . . . . . . . . . . . 182

18 TABLE DES FIGURES

Introduction gnrale

De nombreux matriaux du Gnie Civil (btons, roches, sols, ...) sont des mat-riaux htrognes poreux. Le comportement de ces matriaux observs lchellemacroscopique, quils soient soumis une sollicitation thermique, mcanique ou hy-drique, rsulte des phnomnes se droulant lchelle des htrognits, cest dire des pores. Ainsi, dans les situations o les pores constituant lespace poreuxsont connects entre eux et avec lextrieur, des changes de matires fluides (gaz etliquide) se produisent entre lextrieur et le matriau. Ces changes influent directe-ment sur les caractristiques et sur la durabilit des matriaux. Ce constat expliquequun grand nombre de travaux de recherche ait cherch valoriser les informationsdisponibles sur les phnomnes se droulant lchelle des htrognits et surles proprits morphologiques du matriau pour laborer des lois de comportementmacroscopique (chelle pertinente pour le calcul des structures). Dans ce cadre, lerecours aux mthodes de changement dchelles parat videmment particulirementpertinent. Notre travail est une contribution cet effort de recherche. Dans ce cadre,on sest intress plus particulirement la modlisation du comportement dun ma-triau htrogne mso-fissur, soumis une sollicitation thermo-hydro-mcaniqueavec prise en compte du couplage gomtrique. Pour conduire cette tude, on sestappuy notamment sur les approches micro-mcaniques du comportement des mi-lieux mso-fissurs non saturs dveloppes depuis quelques annes au Laboratoiredes Matriaux et des Structures du Gnie Civil.

20 Introduction gnrale

Ce mmoire sorganise autour de cinq chapitres dont les grandes lignes sont brive-ment voques ci-aprs.

Le premier chapitre de ce mmoire est essentiellement bibliographique. Il dbutepar une prsentation synthtique de la mthodologie et les caractres gnraux delapproche dhomognisation pour un matriau poreux lastique linaire. On rap-pelle ensuite les rsultats dj disponibles dans la littrature concernant les loismacroscopiques dun matriau fissur satur obtenues dans le cadre des techniquesde changement dchelle de type Eshelby o les fissures sont modlises par des in-clusions ellipsodales aplaties immerges dans la phase solide.

Le deuxime chapitre sappuie sur les rsultats disponibles concernant la modlisa-tion des dformations occasionnes par des variations de saturation dun matriaumso-fissur matrice lastique linaire (thse de Yue Xu). En effet, le modle dve-lopp par Yue Xu dans sa thse repose sur lhypothse classique quil est possible demodliser les fissures par des cavits ellipsodales aplaties. Cette hypothse conduit reprsenter le chargement des fluides et des interfaces capillaires sur la fissure parune contrainte quivalente.

Dans la premire partie du deuxime chapitre (section 2.2), on revient tout dabordles rsultats disponibles concernant la modlisation des fissures non satures par descavits ellipsodales aplaties (approche par la contrainte quivalente). On complteles rsultat de Yue Xu en activant la dtermination complte de la loi de compor-tement dans cette situation (Yue Xu a donn uniquement la relation permettantle calcul de la contrainte macroscopique en fonction des paramtres dfinissant lechargement mcanique appliqu au VER). Ensuite, on sest intress la dtermi-nation du domaine de validit de lhypothse consistant ne retenir que les termesdu premier ordre quand le rapport daspect des fissures est trs petit devant lunit.Enfin, on a tudi pour un milieu particulier linfluence du chargement appliqu un VER de matriau mso fissur non satur sur sa rponse.

On sintresse ensuite complter ces rsultats de Xu en traitant trois problmesconcernant la loi de comportement qui relie la dformation moyenne de lespaceporeux aux valeurs des chargements ; la validation de lapproximation de la valeurdu rapport daspect de fissures tant plus petite que lunit et ltude de linfluence


de lhistoire de chargement sur la rponse de matriau.

Dans la seconde partie du deuxime chapitre (section 2.3), on sattache validerune partie des rsultats obtenus en prenant en compte les efforts capillaires danschaque fissure par une prcontrainte homogne en se rfrant aux solutions analy-tiques exactes disponibles dans la littrature (approche analytique) permettant dedcrire le comportement dune fissure isole au sein dune matrice lastique. Pourcela, on utilise la solution analytique de Bui valable pour une fissure plane occupantun domaine circulaire plan dans un matriau dont ltat naturel est pris comme tatde rfrence, soumise un chargement homogne linfini et une rpartition depression sur les lvres de la fissure rendant compte de la prsence de deux fluidesspars par une interface capillaire.

A la lumire des rsultats prsents au second chapitre, on sintresse dans le troi-sime chapitre aux phnomnes de propagation des fissures en condition non sature.En effet, les efforts capillaires sexerant sur les lvres de la fissure modifie la valeurdes facteurs dintensit des contraintes en fond de fissure qui contrlent la propaga-tion des ces dernires. Pour mener cette tude, on sappuie la fois sur la solutionanalytique obtenue pour la validation de lapproche par changement dchelle ducomportement des matriaux mso-fissurs en conditions non satures voque ausecond chapitre et sur les deux thories (facteur dintensit de contrainte et critrenergtique de Griffith) de la mcanique linaire de la rupture. On peut ainsi intgrerdans une modlisation globale de la propagation de lendommagement en conditionnon sature les effets locaux induits par la non saturation des fissures. Linteractionentre des fissures est aussi prise en compte dans le cadre du schma de Mori-Tanaka.Une loi de propagation sous critique des fissures est galement prise en compte danscette approche. La prise en compte de ce phnomne permet dintgrer les effetsdiffrs dans la modlisation du comportement des gomatriaux en conditions sa-tures.

Lapproche de la propagation des fissures dcrite au troisime chapitre considre queles fissures se propagent uniquement en mode I. Le principal inconvnient de cettemodlisation est quelle ne permet pas de prendre en compte le phnomne de bran-chement des fissures observ quand on soumet une fissure chargement sollicitant


les modes II et III. Le quatrime chapitre est donc consacr aux phnomnes depropagation des fissures en mode mixte dans la situation sche. Classiquement, lephnomne de propagation des fissures est reli au phnomne dendommagementdes matriaux mso-fissurs comme les roches. Pour prendre en compte ce ph-nomne dans une dmarche dhomognisation, deux approches ont t proposesdans la littrature : une approche nergtique reposant sur la mise en uvre duraisonnement de Griffith partir des estimations du comportement macroscopiquedu matriau en fonction des paramtres dcrivant la morphologie des fissures et uneapproche discrte o le problme de propagation des fissures est rsolu pour chacunedes fissures. Le principal dfaut de la premire mthode est quelle ne permet pas detenir compte du phnomne de branchement dans la propagation des fissures alorsque la seconde mthode permet la prise en compte de ce phnomne. Par contre, lapremire mthode permet de prendre en compte de nombreux phnomnes interve-nant dans la propagation de lendommagement comme les interactions mcaniquesentre fissures, les phnomnes de frottement entre les lvres des fissures ou le carac-tre dsordonn du milieu tudi alors que la prise en compte de ces phnomnesest trs difficile, voire impossible dans le cadre de la seconde mthode. Dans le butdvaluer la qualit des prdictions obtenues au moyen de la premire mthode parrapport celles obtenues en utilisant la seconde mthode, on sintresse la prdic-tion du critre initial de propagation de lendommagement pour un milieu fissurdsordonn par lune et lautre des mthodes.

Il est bien connu que la valeur de la tension de surface entre deux fluides immis-cibles (de leau et de lair humide par exemple) dpend de la temprature. Dansle cinquime chapitre, on dveloppe donc les tudes dcrites ci-dessus de faon prendre en compte leffet dune variation de la temprature. Dans la mesure o leseffets dune variation de temprature sur chacune des proprits microscopiques dumatriau (tension de surface, tnacit, module dlasticit) sont connus, on peutainsi intgrer les effets thermiques dans la description macroscopique du comporte-ment des matriaux poreux en rgime non satur. Comme dans le cas de la prise encompte des efforts capillaires sur la propagation de lendommagement, cette tudesappuie pour une large part sur des rsultats dj disponibles (homognisation,problme capillaire dans un pore ellipsodal, ...). Par contre, elle permet dapporter


des rponses des questions importantes pour la modlisation du comportement desmatriaux poreux non saturs soumis des changements de temprature tels queles roches argileuses utilises pour isoler les dchets nuclaires dans les stockages grande profondeur.

CHAPITRE 1

Approche par homognisation du comportement des milieux

fissurs

Le premier chapitre de ce mmoire a pour objectif de rassembler les formules n-cessaires concernant lapplication des techniques de changement dchelle de typeEshelby la dtermination des proprits lastiques macroscopique des milieux po-reux lastiques. De nombreux travaux traitant ce problme ont t dvelopps depuisquelques annes par lquipe de L. Dormieux [4, 17, 20, 46]. Dans un premier temps,on prsente la mthodologie et les rsultats de lapproche dhomognisation pourun matriau poreux alatoire lastique linaire dans le cas satur et dans le cas sec.Dans un second temps, lespace poreux se rduit aux fissures et ce problme est lesujet essentiel de ce mmoire. On prsente dans cette situation les rsultats des loismacroscopiques du matriau dans le cadre des techniques de changement dchellede type Eshelby qui considre les fissures comme des inclusions ellipsodales aplatiesplonges dans la phase solide.

26Approche par homognisation du comportement des milieux fissurs

1.1 Homognisation pour les milieux poreux

1.1.1 Homognisation des milieux lastiques htrognes

1.1.1.1 Notion de VER et de grandeurs moyennes

Le volume lmentaire reprsentatif (VER) du matriau htrogne considr estun lment de volume qui, en un point matriel, est statistiquement reprsentatifdes proprits du matriau (composition, morphologie, . . . ). Le VER doit tre doncsuffisamment petit par rapport au volume de lchantillon ou de la structure quile contient pour pouvoir tre considr comme un point matriel de la thorie desmilieux continus et suffisamment grand par rapport la taille caractristique deshtrognits quil contient.

Lobjectif gnral des approches micro-macro est de dfinir un milieu homogne qui-valent ayant les mmes proprits mcaniques macroscopiques que le milieu htro-gne. De manire gnrale, les grandeurs moyennes de contrainte et de dformationsont dfinies de la faon suivante :

< >=1

||

d et < >=1

||

d, (1.1)

o et sont respectivement le tenseur local de contrainte et le tenseur local dedformation dans le domaine occup par le VER. Dans le cas dune sollicitationen contrainte, on impose ici la condition la limite en effort T d = .n sur avec le tenseur des contraintes de Cauchy macroscopique. dsigne le bord dudomaine tandis que n est le vecteur normal unitaire extrieur au domaine . Enutilisant le thorme de la divergence, on vrifie que la contrainte moyenne est gale la contrainte macroscopique impose au contour du VER,

< >=1

||

(x)d = . (1.2)

Dans ce cas, la relation E =< > permet de dfinir la dformation macroscopique.De faon similaire, dans le cas de la sollicitation en dformation dfinie par la condi-tion en dplacement impos : d = E.x sur avec E le tenseur des dformationsmacroscopique, on montre que la dformation moyenne est gale la dformation

1.1 Homognisation pour les milieux poreux 27

macroscopique impose :

< >=1

||

(x)d = E. (1.3)

La relation =< > permet alors de dfinir le lien entre contraintes macroscopiqueet microscopique.

1.1.1.2 Homognisation

Aprs avoir rappel les correspondances entre les grandeurs mcaniques aux deuxchelles, on se pose naturellement la question de lhomognisation des propritsdu matriau. Il sagit donc dexploiter les informations disponibles lchelle micro-scopique pour dterminer les proprits macroscopiques en rsolvant un problmesur le VER considr comme une structure. On va prsenter dans la suite les deuxapproches classiques utilises en homognisation des milieux alatoires.

1.1.1.2.1 Approche en dformation

Le problme rsoudre lchelle microscopique dans le cas dune sollicitation endformation applique un VER de matriau lastique linaire htrogne scrit :

(x) = C(x) : (x) : ()

div(x) = 0 : ()

(x) = 12( + T) : ()

(x) = E.x : ()

(1.4)

Avec (x) est le champ de dplacement, C(x) est le tenseur dlasticit dans le do-maine et loprateur gradient par rapport la variable despace microscopique. Ceproblme est linaire et admet une unique solution. Le champ de dformation asso-ci au champ de dplacement dpend linairement de la dformation macroscopiqueE applique. On a donc :

(x) = A(x) : E, (1.5)

o A est un tenseur du quatrime ordre, appel tenseur de localisation en dforma-tion. En utilisant la relation (1.3), on montre facilement :

< A >= I, (1.6)

avec I, le tenseur identit du quatrime ordre. En considrant quon connat la valeurdu tenseur de localisation en dformation et en reportant la premire relation (1.4)et lquation (1.5) dans (1.2), on obtient une loi de comportement homogniselastique linaire caractrise par le tenseur des modules macroscopique Chom :

= Chom : E avec Chom =< C : A > . (1.7)

1.1.1.2.2 Approche en contrainte

De manire analogue, dans le cas o le chargement est du type contrainte homo-gne applique sur le bord du VER, le problme de structure rsoudre lchellemicroscopique scrit :

(x) = S(x) : (x) : ()

div(x) = 0 : ()

.n(x) = .n(x) : ()

(1.8)

o S(x) dsigne le tenseur des complaisances dans le domaine et n(x) le vec-teur normal unitaire extrieur au domaine. On obtient alors la loi de comportementhomognise lastique linaire caractrise par le tenseur des complaisances macro-scopique Shom :

E = Shom : avec Shom =< S : H >, (1.9)

o H dsigne le tenseur du quatrime ordre nomm tenseur de localisation encontrainte. Ce tenseur joue le mme rle que le tenseur de localisation en dfor-mation introduit plus haut. Il est dfini par la relation :

(x) = H(x) : . (1.10)

En reportant lquation (1.10) dans la relation (1.2), on tablit que H vrifie :

< H >= I. (1.11)

1.1.2 Homognisation des milieux poreux saturs

1.1.2.1 Dfinition du problme

On considre ici un milieu poreux satur constitu dune matrice solide homognelastique linaire et de pores saturs par un fluide la pression p. Le volume l-mentaire reprsentatif de ce matriau occupe le domaine de frontire . Laphase solide occupe le domaine s de frontire s tandis que les pores occupentle domaine f de frontire f , complmentaire de s dans . Pour simplifier, onsuppose de plus que les pores nintersectent pas la frontire du VER ; on a doncs = f [20].

La porosit lagrangienne actuelle, la porosit lagrangienne initiale, et la porositeulrienne actuelle du milieu sont respectivement dfinies par les relations

=|f ||0| , 0 =

|f0||0| , =

|f ||| . (1.12)

|0|, ||, |f0|, |f | dsignent respectivement le volume du milieu ltat initial, levolume du milieu ltat actuel, le volume des pores ltat initial et le volume despores ltat actuel. Comme on suppose que la dformation reste petite, on peutconsidrer que = .

Pour tablir le lien entre comportement lchelle microscopique et caractrisationdu comportement lchelle macroscopique, on impose par exemple une conditionde sollicitation en dformation au VER : (x) = E.x sur le bord . Le problme


p

E.x

s

f

Fig. 1.1 Volume lmentaire reprsentatif de milieu poreux satur

rsoudre lchelle microscopique scrit :

(x) = Cs : (x) : (s)

(x) = pI : (f )

div(x) = 0 : (s)

(x) = 12( + T) : (s)

(x) = E.x : ()

JK.n = 0 : (f )

(1.13)

avec Cs : Ss = I, o Cs dsigne le tenseur dlasticit, Ss le tenseur des complaisancesde la matrice solide, n dsigne le vecteur normal unitaire extrieur au domaineoccup par la phase solide et I le tenseur identit du deuxime ordre.

1.1.2.2 Localisation

Le problme est linaire. Le champ de dformation dpend donc linairement dela dformation macroscopique E et de la pression dans le fluide p. La procdure

dhomognisation consiste construire le tenseur de localisation en dformation duquatrime ordre A engendr par la dformation E et le tenseur de localisation endformation du deuxime ordre A engendr par la pression p. On a donc :

(x) = A(x) : EA(x)p. (1.14)

Le champ de contrainte microscopique dans le domaine solide scrit alors :

(x) = Cs : A(x) : E Cs : A(x)p. (1.15)

La moyenne du champ de contrainte dans le VER est dfinie par :

=1

|0|

(s0

(x)d0 +

f0

pId)= (1 0) < >s 0pI, (1.16)

avec < >s la moyenne du champ de contrainte dans le domaine solide,

< >s=1

|s0|s0

d. (1.17)

En reportant lquation (1.15) dans (1.16), on obtient la relation suivante :

= Chom : E pB. (1.18)

o Chom et B dsignent respectivement le tenseur dlasticit macroscopique et letenseur de Biot, definis par :

Chom = (1 0)Cs :< A >s= Cs : (I 0 < A >p), (1.19)

B = 0I+ (1 0)Cs :< A >s . (1.20)

avec

< A >p=1

|p0|p0

Ad. (1.21)

Par ailleurs, on peut calculer la relation entre la variation de la porosit lagran-gienne et les paramtres de chargement macroscopiques. Premirement, on calculela variation de volume des pores occupant le domaine f0 en fonction du champ de

dplacement le long de linterface solide-fluide :

|f0| = f0

.ndS = f00

.ndS +

0

.ndS (1.22)

= s0

trd + |0|trE. (1.23)

La variation de porosit lagrangienne est dfinie par :

= 0 = |f | |f0||0| =|f0||0| , (1.24)

En reportant lquation (1.14) dans (1.23), on trouve :

= 0 = pN

+B : E, (1.25)

o,1

N= (1 0)tr < A >s, (1.26)

B = I (1 0)I :< A >s, (1.27)

avec N le module de Biot.

En utilisant le thorme de rciprocit de Maxwell-Betti, avec la sollicitation 1 dfiniepar E = E0, p = 0 et la sollicitation 2 dfinie par E = 0, p = p0, on montre queB = B. On en dduit :

B = B = 0I+ (1 0)Cs :< A >s= I (1 0)I :< A >s= 0I :< A >p, (1.28)

1

N= (1 0)tr < A >s= I : Ss : (B 0I). (1.29)

En utilisant lquation (1.19), on peut calculer le tenseur de Biot B et le coefficient1/N en fonction de Chom et de Ss uniquement :

B = 0I :< A >p= I Chom : Ss : I, (1.30)

1

N= I : Ss : (B 0I) = ((1 0)I Chom : Ss : I) : Ss : I. (1.31)


Le comportement macroscopique du matriau scrit : = Chom : E pB

= 0 = B : E+ pN

(1.32)

Les expressions obtenues ci-dessus montrent que, la dtermination du tenseur deBiot B et de module de Biot N se ramne au calcul de Chom. De plus, la valeur dutenseur dlasticit drain ne dpend pas de la valeur de la pression rgnant dans lespores. La relation (1.19) est donc galement valable dans les situations o les poressont vides. Une estimation de Chom en situation sche (pores vides) permet donc decalculer tous les coefficients de la loi de comportement (1.32).

Pour conclure, on peut souligner quil est impossible dans les situations dintrtpratiques dobtenir la solution exacte du problme (1.13) qui permet didentifier lescaractristiques macroscopiques du matriau tudi. Le but des sections suivantesest donc de montrer comment les grandeurs globales (Chom,B, N) peuvent tre esti-mes en fonction des proprits lastiques de la phase solide et des caractristiquesmorphologiques du domaine poreux.

1.1.3 Problme de linclusion dEshelby

1.1.3.1 Problme de linclusion

Eshelby [23, 24] a montr que, dans un milieu infini lastique homogne de moduleC0, si un domaine born I de forme ellipsodale subit une dformation libre homogneL, la dformation lintrieur de cette inclusion est homogne gale :

I = SE : L, (1.33)

o SE est un tenseur dordre quatre, appel tenseur dEshelby qui dpend de laforme de lellipsode I, de son orientation et du tenseur des modules dlasticit C0.La valeur de SE peut tre trouve dans les ouvrages de mcanique [20, 42].

Dans la suite, au lieu denvisager un champ de dformation initiale L, on considre


une prcontrainte p qui est relie au champ de dformation L par la relation :

p = C0 : L. (1.34)

Grce cette transformation, on peut rcrire la solution dEshelby comme suit :

I = P : p avec P = SE : C10 = SE : S0, (1.35)

o S0 = C10 dsigne le tenseur de souplesse du milieu et P le tenseur de Hill.

1.1.3.2 De linclusion lhtrognit

Ces rsultats permettent daborder maintenant le problme de lhtrognit. Onsintresse ici au problme dune inclusion ellipsodale, occupant un domaine I etconstitue dun matriau lastique linaire homogne de module dlasticit CI .Cette inclusion est entoure dun milieu lastique homogne de module C0 occupantun domaine infini. Linclusion adhre parfaitement au matriau lentourant. Cettestructure est soumise une dformation homogne linfini, dintensit E et onnote p la prcontrainte uniforme qui rgne dans linclusion quand celle-ci nest pasdforme. Ce problme scrit :

(x) = C0 : (x) : ()

(x) = CI : (x) + p : (I)

div(x) = 0 : ( I)

(x) = E.x : ()

JK.n = 0 : (I)

(1.36)

On calcule aisment la valeur du champ de dformation dans linclusion solution duproblme (1.36) partir de la solution du problme de linhomognit (1.35) enposant : pI = (CI C0) : I . On obtient :

I = + SE : L = E P : (p + pI) = E P :(p + (CI C0) : I

)(1.37)


CI ,p C0,p,pI

C0 () C0, ()

E

(I) (I)

E

Fig. 1.2 Lquivalence entre les problmes de linhomognit et de lhtrognit

I =(I+ P : (CI C0)

)1: (E P : p). (1.38)

1.1.3.3 Application un unique pore satur

Dans le cas dun unique pore satur par un fluide la pression p isol dans unematrice solide homogne dforme linfini, on a : CI = 0 ; C0 = Cs ; p = pI. Ladformation du pore scrit donc :

I = (I SE)1 : (E+ pSE : Ss : I), (1.39)

Ap = (I SE)1, (1.40)

Ap reprsente le tenseur de localisation en dformation pour le pore isol dans lamatrice lastique homogne.

Si p = 0, on trouve le rsultat pour le cas du milieu sec :

I = (I SE)1 : E. (1.41)

1.1.4 Mthodes destimation

La thorie des mthodes destimation a t prsente dans la littrature [20, 42, 58].Partant de la solution du problme dEshelby, on prsente dans ce paragraphe les

estimations du comportement dun milieu poreux satur en utilisant deux schmasdestimations classiques (le schma dilu et le schma de Mori-Tanaka).

1.1.4.1 Schma dilu

On considre ici un milieu constitu de n classes de pores (une classe de porescontient tous les pores de mme forme et de mme orientation) de forme et dorien-tation diffrente. Si lon admet que lon peut ngliger les interactions entres lespores lorsque la porosit est suffisamment faible (de lordre de quelques pourcents),la moyenne de la dformation dans chaque pore peut tre estime en utilisant lqua-tion (1.39). La moyenne du tenseur de localisation en dformation pour tous les poresest alors donne par :

< A >p=ni=1

i00

< A >pi=ni=1

i00(I SiE)1. (1.42)

avec i0 la porosit pour la classe de pores numro i.

En reportant lquation (1.42) dans les relations (1.19), (1.30) et (1.31), on obtientles estimations du tenseur dlasticit macroscopique Chom, du tenseur de Biot B etdu module de Biot 1/N suivantes :

Chom = Cs :(I

ni=1

i0(I SiE)1)

B =ni=1

i0I : (I SiE)1

1

N= I : Ss :

ni=1

(i0I : (I SiE)1 0I

)(1.43)

Il convient de bien garder lesprit que ce rsultat nest valable que pour les trsfaibles valeurs de la porosit.

1.1.4.2 Schma de Mori-Tanaka

Dans ce paragraphe, on utilise le schma de Mori-Tanaka qui cherche prendre encompte les interactions entre les pores. Pour cela, on considre que chaque pore

1.2 Homognisation des milieux fissurs saturs 37

est entour de la phase solide de module Cs soumise linfini une dformationmoyenne E0. La dformation moyenne pour chaque pore scrit alors :

i = (I SiE)1 : E0, (1.44)

tandis que dformation moyenne pour tous les pores scrit :

< >p=ni=1

i00(I SiE)1 : E0. (1.45)

En utilisant la condition : E = (1 0) < >s +0 < >p et E0 =< >s, onobtient la relation suivante entre E et E0 :

E0 =((1 0)I+

ni=1

i0(I SiE)1)1

: E. (1.46)

A reportant cette relation dans lquation (1.45) , on trouve sans difficult lexpres-sion du tenseur de localisation en dformation < A >pi pour la ime classe de pores,puis le module dlasticit homogne Chom :

< A >pi= (I SiE)1 :((1 0)I+

ni=1

i0(I SiE)1)1

, (1.47)

Chom = (1 0)Cs :((1 0)I+

ni=1

i0(I SiE)1)1

. (1.48)

1.2 Homognisation des milieux fissurs saturs

On sintresse ici des milieux dont la porosit est forme de microfissures, cest dire de pores ellipsodaux dont lune des dimensions est trs faible compare auxdeux autres. La phase solide est encore constitue dun matriau lastique linaireet les fissures sont satures par un fluide la pression p. On suppose dans toutecette section que les fissures sont connectes et ne changent pas dtat (cest direquelles ne propagent pas et quelles ne referment pas).


1.2.1 Gomtrie des fissures

Lespace poreux se rduit aux fissures. Lindice p qui dsigne les pores va donctre remplac par lindice f . Lensemble des fissures se compose de n familles defissures, chaque famille (repre par lindice i) rassemblant toutes les fissures demme taille et mme orientation. Chaque famille de fissures est caractrise partrois paramtres, la taille des fissures appartenant la famille et les angles i et idfinissant lorientation des fissures.

Les fissures sont supposes de type penny shape (llipsode aplati) et alatoire-ment distribues dans [20, 42, 48]. Chaque fissure dont la gomtrie est caractrisepar son rayon ai, sa hauteur ci et son rapport daspect Xi occupe un domaine dfinipar lquation suivante :

x2i1 + x2i2

a2i+x2i3c2i 1, (1.49)

Xi =ciai 1. (1.50)

Le lien entre le repre global (O,x1,x2,x3) et le repre local (O,xi1,xi2,xi3) est dfinisur la Fig. 1.3. Ici, i dsigne langle entre laxe xi3 et laxe x3 tandis que i dsignelangle entre laxe x1 et la projection de laxe xi3 sur le plan (O,x1,x2).

Laxe xi3 est perpendiculaire au plan de fissure, laxe xi1 appartient au plan (O,x1,x2).On peut montrer que langle entre x2 et xi1 est gal i. La matrice de passage [Oi]qui dfinit la transformation de base du repre local (ei1,ei2,ei3) vers le repre global(e1,e2,e3) scrit :

eim = [Oi].ep Oimpep, (m, p = 1, 2, 3), (1.51)

[Oi] =

sin i cos i 0

cosi cos i cosi sin i sinisini cos i sini sin i cosi

(e1,e2,e3)

. (1.52)

La notation matricielle et les techniques de transformation de composantes dans unchangement de repre sont prsentes dans lannexe A.

On suppose que le nombre de fissures est trs grand et quelles sont distribuesalatoirement. On introduit la fonction de densit w(a, , ) qui permet de calculer


x1

x2

f

s

xi3

xi2

i

x2

x1xi1

x3

ci

ai

xi2

x3

xi3

xi1

Fissure

i

O O

Fig. 1.3 Le repre global et le repre local

le nombre de fissures par unit de volume dont la taille est comprise entre a et a+daet dont lorientation appartient lintervalle dfini par [, +d], [, +d] sous laforme w(a, , ) sindadd. Le nombre de fissures N dans un domaine de volumeunit se calcule en utilisant la relation :

N = 14pi

aMam

=2pi=0

=pi=0

w(a, , ) sindadd, (1.53)

avec am et aM dsignent la taille minimale et maximale des fissures.

On suppose de plus que la taille des fissures est indpendante de lorientation. Dansce cas l, la fonction de densit scrit :

w(a, , ) = wr(a)wo(, ), (1.54)


on a alors :

N = aMam

wr(a)da, avec1

4pi

=2pi=0

=pi=0

wo(, ) sindd = 1. (1.55)

Il est clair que les proprits de rpartition alatoire dorientation des fissures (1.53)ou de taille de fissures indpendante de lorientation ne sont conserves en cours dechargement que grce aux hypotheses de non propagation et de non fermeture desfissures. Dans le cas o lune de ces deux hypothses nest pas vrifie, alors lappli-cation dune sollicitation non isotrope provoque des propagations ou des fermeturesanisotropes des fissures.

On introduit le paramtre de densit de fissures (comme propos dans les rferences[20, 42]) :

=

aMam

a3wr(a)da. (1.56)

Quand toutes les fissures sont toutes de taille identique, on a :

= Na3 (1.57)

et =4

3piNa3X = 4

3piX, (1.58)

avec , la fraction volumique occupe par les fissures, gale la porosit dans lasituation tudie.

1.2.2 Le cas dilu

On adopte ici un schma dilu, pertinent pour les situations o la densit de fissuresest suffisamment faible et les fissures sont assez loignes les unes des autres pourque les interactions entre elles soient ngligeables.

A partir de lquation (1.58), la fraction volumique i occupe par les fissures de laclasse i scrit :

i =4

3piNia3iX i =

4

3piiX

i, (1.59)

o Ni et i sont respectivement le nombre de fissures et le paramtre de densit defissures pour le ime famille de fissures.

En reportant lquation (1.59) dans la premire quation (1.43), lestimation du


tenseur dlasticit homognis scrit alors :

Chom = Cs :(I 4

3pi

ni=1

iXi(I SiE)1

)= Cs :

(I 4

3pi

ni=1

iTi), (1.60)

avec Ti = limXi0

X i(I SiE)1. (1.61)

On peut noter que la limite Ti dfinie par lquation (1.60) ne dpend que de lorien-tation des fissures et des modules dlasticit de la phase solide. Il possde la pro-prit de symtrie : T iijkl = T ijikl = T iijlk. Par ailleurs, le tenseur Ti ne dpend pasde la valeur du rapport daspect des fissures. On en dduit quau premier ordre enX i, le tenseur dlasticit ne dpend pas du rapport daspect des fissures. Commela relation de localisation (1.41) assure que sous laction de la dformation, les fis-sures restent des ellipsodes de revolution, on en dduit que la prise en compte ducouplage entre louverture des fissures et la dformation macroscopique ne modifiepas le comportement du milieu fissur.

1.2.2.1 Application une famille de fissures ouvertes parallles

Considrons maintenant la situation o lespace poreux est constitu dune seule fa-mille de fissures parallles de normale n et supposons que la direction de la normaleaux fissures est parallle au vecteur e3 du rpre global (n e3). Les composantesnon nulles du tenseur T (comme il ny a quune famille de fissures dans cette situa-tion, on retire lexposant i dans ce paragraphe) scrivent [20] :

T3311 = T3322 =4s(1 s)(1 2s)pi , T3333 =

4(1 s)2(1 2s)pi , T1313 = T2323 =

2(1 s)(2 s)pi ,

(1.62)

o s dsigne le coefficient de Poisson de la matrice solide.

On obtient alors le tenseur dlasticit homognis et les relations de Biot :

Chom = Cs :(I 4

3piT

), B =

4

3piI : T,

1

N=

16(1 s2)3Es

(1.63)

Ces formules indiquent clairement que le matriau est anisotrope lchelle macro-scopique.


1.2.2.2 Application une distribution isotrope de fissures ouvertes

On considre maintenant le cas o les fissures ont toutes la mme taille et sontdistribues de faon isotrope. De plus, la matrice solide est elle mme constituedun matriau isotrope. Dans cette situation, le comportement macroscopique dumatriau est alors lastique linaire isotrope. La somme discrte dans lquation(1.60) devient :

4

3pi

ni=1

iTi = 4pi

3

=2pi=0

=pi=0

Ti(, )sindd

4pi= Q. (1.64)

Le tenseur de quatrime ordre (isotrope) Q est dfini comme suit [20] :

Q = Q1J+Q2K, avec Q1 =16(1 s2)9(1 2s) , Q2 =

32(1 s)(5 s)45(2 s) , (1.65)

et J, K sont les tenseurs du quatrime ordre qui vrifient les proprits :

Jijkl =1

3ijkl, I = K+ J, K : K = K, J : J = J, J : K = 0 = K : J. (1.66)

Le tenseur dlasticit homognis et les relations de Biot (1.43) scrivent alors :

Chom = Cs : (I Q), B = bI avec b = 16(1 s2)

9(1 2s) ,1

N=

b

ks, (1.67)

o ks dsigne le module de compression de la matrice solide.

1.2.3 Schma de Mori-Tanaka

Comme il a t dit dans le paragraphe 1.1.4.2, le schma de Mori-Tanaka permet derendre compte des interactions entre fissures pour les faibles valeurs de la porosit.Quand le rapport daspect de chaque famille de fissures Xi tend vers zro, la porosit0 tend vers zro aussi. Lquation (1.48) devient alors [20] :

Chom = Cs :(I+

ni=1

i0(I SiE)1)1

. (1.68)

Le termen

i=1 i0(I SiE)1 de la relation (1.68) a t calcul au paragraphe prc-

dent pour estimer les caractristiques homognises de deux milieux fissurs dansle cadre dilu. En utilisant ces rsultats, on obtient immdiatement les estimationssuivantes :Porosit constitu dune famille de fissures ouvertes parallles

Chom = Cs :(I+

4

3piT

)1, B = I :

(I (I+ 4

3piT)1

),

1

N' 16(1

s2)

3Es.

(1.69)

Porosit constitu de fissures ouvertes distribue alatoirement

Chom = Cs :(I+ Q

)1, B = I :

(I (I+ Q)1

),

1

N=

b

(1 + b)ks' b

ks.

(1.70)

1.2.4 Le cas des fissures fermes

On sintresse ici la modlisation par homognisation du comportement du mat-riau dont toutes les fissures sont fermes et lisses (sans frottement). On propose alorsde reprsenter la fissure ferme comme un milieu isotrope de module de compressionks et de module de cisaillement nul. Le tenseur dlasticit de la fissure scrit alors :Cf = 3ksJ [18].

On commence par le cas dune seule famille de fissures parallles de normale n eton pose que la direction de la normale la fissure est parallle la direction e3 durpre global (n e3). En crivant lquation (1.7) pour un milieu biphasique, onmontre que le tenseur dlasticit homognis scrit dans ce cas :

Chom = (1 0)Cs :< A >s +0Cf :< A >f= Cs : (I 0K :< A >f ). (1.71)

Dans ce cas dilu, le tenseur de localisation se calcule directement partir desquations (1.38) et (1.42). On obtient :

< A >f=(I+ P : (Cf C0)

)1= (I SE : K)1. (1.72)

En reportant ce rsultat dans (1.71), on obtient :

Chom = Cs :(I 4

3piXK : (I SE : K)1

)= Cs : (I 4

3piT), (1.73)


avec T = limX0

XK : (I SE : K)1. (1.74)

T possde les proprits de symtrie mineures (T ijkl = T jikl = T ijlk) et les compo-santes non nulles du tenseur T scrivent [20] :

T 1313 = T2323 =

2(1 s)(2 s)pi . (1.75)

Il est clair que lon peut gnraliser les rsultats obtenus la section prcdente partir de la connaissance de T. Alors en calculant Q dfini par :

Q =4pi

3

=2pi=0

=pi=0

Ti(,)sindd

4pi, (1.76)

on trouve le tenseur de quatrime ordre Q, dfini comme suit :

Q = Q1J+Q2K, avec Q1 = 0, Q2 =32(1 s)15(2 s) . (1.77)

En remplaant les tenseurs T et Q par les tenseurs T et Q dans les quations(1.63), (1.67), (1.69) et (1.70), on obtient le tenseur dlasticit homognis dansles diffrentes situations envisages aux paragraphes 1.2.2 et 1.2.3.En reportant la valeur de T pour une fissure ferme non flottante dans lgalit(1.43), on obtient lgalit :

B = 4/3piI : T = 0. (1.78)

Le tenseur de Biot et le coefficient de Biot sont donc nuls dans cette situation, cequi traduit simplement le fait que la pression de la phase fluide ne joue aucun rlequand les fissures sont fermes.

1.3 Annexe A 45

1.3 Annexe A

1.3.1 Notation matricielle pour les tenseurs symtriques

Soit A un tenseur du quatrime ordre possdant la proprit de symtrie mineureet a un tenseur du deuxime ordre symtrique. Si (ei)(i=1,2,3) dsigne une base or-thonorme, on a :

A = Aijklei ej ek el : Aijkl = Ajikl = Aijlk

a = aijei ej : aij = aji(1.79)

On adopte dans la thse la convention suivante pour reprsenter matricielle A et a :

[A] =

A1111 A1122 A11332A1123

2A1131

2A1112

A2211 A2222 A22332A2223

2A2231

2A2212

A3311 A3322 A33332A3323

2A3331

2A3312

2A23112A2322

2A2333 2A2323 2A2331 2A2312

2A31112A3122

2A3133 2A3123 2A3131 2A3112

2A12112A1222

2A1233 2A1223 2A1231 2A1212

(e1,e2,e3)

,

(1.80)

[a] =

a11

a22

a332a232a312a12

(e1,e2,e3)

. (1.81)

Lintrt de cette convention (par rapport de la notation dite de Voigt ) est quetous les produits tensoriels ou contracts peuvent tre remplacs par des oprationsusuelles sur les matrices qui sexplicitent sans ambigut, quelle que soit la naturedes quantits manipules. Exemples :

A : a = [A].[a] , A : B = [A].[B] , ... (1.82)


1.3.2 Transformation des composantes dans un changement

de repre

1.3.2.1 Pour un tenseur du deuxime ordre symtrique

Comme il a dj t indiqu dans la section 1.2 de ce chapitre, la matrice de passage[Oi] permet de calculer les composantes des vecteurs de base du repre orthonormlocal (ei1,ei2,ei3) dans le repre orthonorm global. La matrice [Oi] est dfinie par lesrelations :

eip = [Oi].em Oipmem, (m, p = 1, 2, 3), (1.83)

[Oi] =

sin i cos i 0

cosi cos i cosi sin i sinisini cos i sini sin i cosi

(e1,e2,e3)

. (1.84)

Soit a un tenseur du second ordre quelconque. Ce tenseur admet une reprsentationdans chacune des deux bases associes aux deux repres.

a = amnem en = aipqeip eiq = amn(Oimpep) (Oinqeq), (1.85)

on a donc :aipq = O

ipmO

iqnamn (1.86)

On dfinit alors le tenseur de quatrime ordre O qui prsente la transformation descomposantes dun tenseur de deuxime ordre dans un changement de repre :

[ai] = [Oi].[a], avec (1.87)

[Oi] =

Oi11O

i11 O

i12O

i12 O

i13O

i13

2Oi12O

i13

2Oi13O

i11

2Oi11O

i12

Oi21Oi21 O

i22O

i22 O

i23O

i23

2Oi22O

i23

2Oi23O

i21

2Oi21O

i22

Oi31Oi31 O

i32O

i32 O

i33O

i33

2Oi32O

i33

2Oi33O

i31

2Oi31O

i32

2Oi21Oi31

2Oi22O

i32

2Oi23O

i33 O

i22O

i33+O

i23O

i32 O

i23O

i31+O

i21O

i33 O

i21O

i32+O

i22O

i31

2Oi31Oi11

2Oi32O

i12

2Oi33O

i13 O

i32O

i13+O

i33O

i12 O

i33O

i11+O

i31O

i13 O

i31O

i12+O

i32O

i11

2Oi11Oi21

2Oi12O

i22

2Oi13O

i23 O

i12O

i23+O

i13O

i22 O

i13O

i21+O

i11O

i23 O

i11O

i22+O

i12O

i21

.(1.88)

On montre sans difficult que lon a les rgles de calcul suivante

T [O]i = [Oi]1 T [O]i = [Oi]1 [a] = T [Oi].[ai]. (1.89)

1.3 Annexe A 47

1.3.2.2 Pour tenseur du quatrime ordre

Soit A un tenseur du quatrime ordre possdant la proprit de symtrie mineure.Dcomposons A dans les 2 bases de tenseurs dordre 4 associes aux deux repres :

A = Amnklem en ek el = Aipqgheip eiq eig eih, (1.90)

on pose emn = em en, ekl = ek el, eipq = eip eiq et eigh = eig eih,

A = Amnklemn ekl = Aipqgheipq eigh = Aipqgh(Oipqmnemn) (Oighklekl), (1.91)

on a donc :Amnkl = A

ipqghO

ipqmnO

ighkl A = TOi : Ai : Oi, (1.92)

soit encore matriciellement :

[A] = T [Oi].[Ai].[Oi] [Ai] = [Oi].[A].T [Oi]. (1.93)

CHAPITRE 2

Comportement des matriaux msofissurs non saturs

2.1 Introduction

Les travaux prsents dans ce chapitre prolongent la modlisation des dformationsoccasionnes par des variations de saturation dun matriau mso-fissur matricelastique linaire developpe dans [57]. Le modle dvelopp par Yue Xu dans sathse repose sur lhypothse classique quil est possible de modliser les fissures pardes cavits ellipsodales aplaties mme dans leur configuration dforme. Or, on peutmontrer que la prise en compte des effort capillaires lis la prsence simultanede deux fluides diffrents au sein dune fissure occupant dans sa configuration noncharge un domaine ellipsodal aplati engendre une dformation de la fissure qui nerespecte pas cette hypothse. Ce rsultat sobtient en renonant lhypothse consis-tant reprsenter le chargement des fluides et des interfaces capillaires sur la fissurepar une contrainte quivalente. Cette question et la validit de cette hypothse sonttudies en dtail dans la suite de ce chapitre. De mme, on peut lgitimement sin-terroger sur la validit, ou sur le domaine de validit de lapproximation consistant prendre en compte leffet du champ de contraintes complexe rgnant dans la fissureau moyen dune contrainte uniforme.

Dans une premire tape, on rappelle brivement les rsultats disponibles concer-

50 Comportement des matriaux msofissurs non saturs

nant la modlisation des fissures non satures par des cavits ellipsodales aplatiesdveloppe par Chateau et al. [11, 12, 13] et Xu [57]. A la fin de cette premire partie,on complte les rsultats de Xu concernant linfluence de lhistoire de chargementsur la rponse du matriau.Dans une deuxime tape, on sattache valider une partie des rsultats obtenus enprenant en compte les efforts capillaires dans chaque fissure par une prcontraintehomogne en se rfrant aux solutions analytiques exactes disponibles dans la lit-trature permettant de dcrire le comportement dune fissure isole au sein dunematrice lastique. Pour cela, on utilise la solution analytique de Bui [8] valable pourune fissure plane occupant un domaine circulaire plan dans un matriau dont ltatnaturel est pris comme tat de rfrence, soumise un chargement homogne lin-fini et une rpartition de pression sur les lvres de la fissure rendant compte de laprsence de deux fluides spars par une interface capillaire.Dans la dernire partie de ce chapitre, on sintresse aux situations o il nexistepas de solution analytique. Dans cette situation, on utilise un outil numrique pourvalider les solutions approches.

2.2 Modlisation des fissures non satures par des

cavits ellipsodales aplaties

2.2.1 Modlisation des efforts intrieurs dans un milieu po-

reux non satur

On considre dans ce chapitre un milieu fissur occupant le domaine dont la ma-trice est constitue dun solide lastique linaire occupant le domaine s et dont lesfissures sont satures par deux fluides immiscibles : un liquide occupant le domaine` et un gaz occupant le domaine g. On note `g la surface sparant le domaineliquide ` du domaine gazeux g tandis que s` et sg dsignent respectivement lessurfaces sparant le domaine ` du domaine s et le domaine g du domaine s(Fig. 2.1).Ces trois surfaces sintersectent ventuellement le long dune courbe dite ligne triple note s`g. Ces interfaces doivent tre considres comme une phase constitutivedu milieu fissur non satur au mme titre que les trois autres phases volumiques.

2.2 Modlisation des fissures non satures par des cavits ellipsodalesaplaties 51

s`g

s`ci

ai ri

P (r0, z0)

0

zi sg

` g

`g

Fig. 2.1 Le repre cylindrique associ une fissure modlise par un ellipsode dervolution dans la situation non sature

Du point de vue mcanique, les interfaces entre phases (`g, s`, sg) se comportentcomme des membranes dont les efforts intrieurs scrivent [10] :

(x) = (x)IT(x) (x ; = `g, s`, sg), (2.1)

o (x) dsigne le tenseur des contraintes de membrane dans = s` sg `g,(x) la valeur de la tension surface, fonction uniquement de la nature des fluidesspars par linterface au point x et de la temprature et IT(x) le tenseur unit dusecond ordre du plan tangent T(x) la surface au point x.

Dans ce chapitre nous nous intressons au comportement dun Volume ElmentaireReprsentatif de milieu poreux non satur. Les systmes matriels considrs sontdonc lquilibre avec des forces de volume nulles. On a donc

div = 0 : (), ( = s, `, g). (2.2)

Pour les phases fluides, les efforts intrieurs sont reprsents par des champs depression uniforme. On a donc

= pI : (), ( = `, g). (2.3)


`g

`g

s` sg

s`

sg

Fig. 2.2 Equilibre de la ligne triple

Pour les interfaces entre les trois phases, les quations dquilibre scrivent

pc = pg p` = `gtrb : (`g)

s.n = pgn+ sgtrb n : (sg)

s.n = p`n+ s`trb n : (s`)

(2.4)

o n dsigne le vecteur unitaire normal extrieur s le long des interfaces s` etsg, b le tenseur de courbure des interfaces et trb la courbure de linterface. Le longde linterface `g, le tenseur de courbure b est calcul pour un vecteur n normalunitaire la surface `g extrieur au domaine `.

Pour la ligne triple s`g sparant les trois phases solide, liquide et gaz, on se restreintau cas particulier o les plans tangents linterface s` et sg sont identiques le longde s`g. Dans le cas dune phase solide dformable, cette situation sobtient quanddune part la frontire s du domaine s est suffisamment rgulire pour que leplan tangent soit partout continu et dautre part quand lune des deux phases fluidesmouille parfaitement la phase solide. Dans le cadre de ce travail, on suppose que laphase liquide mouille parfaitement la phase solide. Dans cette situation, lquationdquilibre de la ligne triple scrit (Fig. 2.2) :


F s`g = 0

sg = s` + `g : (x s`g)(2.5)

o F s`g dsigne la densit linique deffort applique par le solide sur la lignetriple le long de s`g. Si on complte lhypothse que la phase liquide mouilleparfaitement le solide en supposant que la valeur de la tension superficielle est nulledans linterface s` (s` = 0), les relations (2.5) deviennent :

F s`g = 0

sg = `g =

(2.6)

Il convient de noter que dans le cadre dhypothses dfini ci-dessus, on nglige lin-fluence de la tension superficielle solide-liquide sur les dformations de la phasesolide.

Dans cette partie, les fissures sont modlises comme des ellipsodes aplatis mmequand le milieu se dforme. Avant dexaminer comment il est possible de modli-ser le comportement de ce matriau dans le cadre dune approche par changementdchelle, on commence par rsoudre le problme capillaire dans un pore ellipsoidal.

2.2.2 Approximation torodale

Dans ce paragraphe, on suppose que linfluence des dformations de linterface pore-solide sur la moyenne des efforts de prcontrainte dans la fissure est ngligable.On considre donc que linterface pore-solide est indformable. On adopte toujourslhypothse que la phase liquide mouille parfaitement la phase solide et que la tensionsuperficielle dans linterface s` est nulle.

On suppose que la rpartion des phases fluides au sein de chacune des fissures vrifiela proprits de symtrie cylindrique autour du petit axe des fissures. La rsolutionde ce problme seffectue dans le cadre de lapproximation torodale prsente endtail dans la thse de Xu [57], qui consiste assimiler lintersection de linterfaceliquide-gaz avec un plan radial contenant le petit axe de lellipsode par un cercle derayon R1, dont le centre se trouve dans le plan Orz une distance R2 de laxe Oz


(Fig. 2.3).

z

rR2

R1

h liq.

gaz

Fig. 2.3 Fissure non sature

Dans le repre cylindrique Orz, lquation du profil radial de linterface liquide-gazscrit :

(r R2)2 + z2 = R21. (2.7)

Lquation paramtrique de la frontire de lellipsode scrit :

x1 = a sin cos , x2 = a sin sin , x3 = c cos, (2.8)

avec 0 pi et 0 2pi.Les coordonnes du point reprsentant la ligne triple dans le plan z > 0 (Fig. 2.3)sont dfinies par :

r0 = a sin0 , z0 = c cos0 , 0 [0, pi2]. (2.9)

Les deux rayons de courbure du mnisque sont alors donns par :

R1 =h

cos0et R2 = a sin0 R1 sin0 (2.10)

avec 0 = arctan(X tan0) et h = z0 = c cos0. On rappelle que X = c/a.

La pression capillaire se calcule alors grce lquation suivante :

pc = trb = ( 1R1

+1

R1 +R2

). (2.11)

Un simple calcul analytique permet de dterminer le volume occup par la phaseliquide :


v` = v1 v2, avec (2.12)

v1 =2pi

3a2h

(3 cos2 ) ,

v2 = 2pi

(R21h+R

22h+R2h

R21 h2

1

3h3 +R21R2 arcsin

h

R1

).

La saturation en liquide Sr est alors dfinie par

Sr =v`vp

avec vp =4

3piXa3. (2.13)

En reportant dans les formules (2.11) et (2.13) lapproximationX 1 pour la valeurdu rapport daspect, on obtient les relations suivantes pour la courbe capillaire :

pc =

aX

1

coset Sr = cos3 . (2.14)

En combinant les quations (2.11) et(2.13), on peut tracer les courbes capillaires (pcen fonction de Sr) pour diffrentes valeurs du rapport daspect. On trouve dans lathse de Xu [57] une analyse dtaille de la stabilit des configurations dquilibredu systme matriel interface capillaire-fluides. Pour ce qui nous nous intresse ici,il suffit de retenir que seule la partie dcroissante de la courbe capillaire doit treconsidre dans la suite de ce travail (Fig. 2.4).

2.2.3 Approche linaire du comportement

On sintresse dans cette section aux situations o les efforts capillaires sont calculssur la configuration non dforme. Dans ce cas, le rapport daspect de fissures esttoujours gal la valeur initiale ltat de rfrence X0. La prise en compte des nonlinarits gomtriques sera aborde dans la section suivante.

2.2.3.1 Homognisation

Comme dcrit dans le paragraphe 2.2.1, les efforts lintrieur des fissures sontconstitus dune part des champs de pression au sein de chacun des fluides et dautrepart des champs deffort de membrane dfinis sur les surfaces sparant deux deux

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1101

102

103

104

105

X = 0.1

X = 0.01

X = 0.001a

pc

Sr

Fig. 2.4 Courbes capillaires pour trois valeurs du rapport daspect.

les domaines occups par chacune des trois phases solide, liquide et gazeuse. Ondcrit ces efforts par le tenseur de contrainte p :

p(x) = p`I`(x) pgIg(x) + (x)IT(x)(x) (2.15)

Dans (2.15), dsigne la fonction caractristique du domaine ((x) = 1 six , (x) = 0 sinon) et (x) la mesure de Dirac de support linterface .En utilisant le thorme de Levin [12], on montre qu lchelle macroscopique lecomportement du matriau poreux non satur considr ici scrit :

= Chom : E+p avec p ==ni

i0 i, (2.16)

avec i dsigne la fraction volumique occupe par les fissures de la classe i.

p dsigne le tenseur de prcontrainte macroscopique qui peut aussi scrire sous laforme suivante :

p = 0Srp`I :< A >` 0(1 Sr)pgI :< A >g + 1|0|

IT(x) : A(x)dS. (2.17)

Dans le cas dun milieu fissur o les pressions des phases fluides p` et pg ainsi quela valeur de la tension surface sont donnes et o lon accepte lapproximation

torodale (paragraphe 2.2.2) qui permet de dterminer les domaines occups par lesphases fluides, la procdure dhomognisation se ramne la dtermination destenseurs de localisation. Dans la situation dilue traite ici, les interactions entre lesfissures tant ngligeables, le tenseur de localisation est uniforme dans chacune desfissures. Lexpression du tenseur p (2.16) devient donc :

p =ni

i0 i:< A >i . (2.18)

Il suffit donc de calculer la moyenne du champ de prcontrainte dans chacune desclasses de fissures pour identifier compltement la loi de comportement macrosco-pique.

En utilisant lquation (2.15), on calcule la moyenne des efforts de prcontraintedans chaque fissure. On obtient :

i= (Srpc pg) I+ 34piX i0a

3i

`g

IT(x)dS (2.19)

Dans le repre local attach chacune des fissures, et en utilisant lapproximationX0 1 dans la relation (2.19), on montre que la moyenne des efforts de prcontraintedans la fissure est gale au premier ordre [57] :

pi =i=

aiX i0

(3 cos()22

(ei1 ei1+ ei2 ei2)+cos()2ei3 ei3) pgI. (2.20)

Il est commode pour la suite de poser

p = pi : (e

i3 ei3) =

cos()2

aiX i0 pg =

3

a3iXi30

1

p2c pg. (2.21)

Dans la suite de ce chapitre, on utilise ce calcul de la moyenne des efforts de prcon-trainte dans la fissure pour dterminer la loi de comportement macroscopique pourdeux matriaux dfinis par deux configurations diffrentes du rseaux de fissures :des fissures non satures identiques parallles entre elles et une distribution isotropede fissures non satures identiques.

2.2.3.1.1 Fissures non satures identiques parallles entre elles

On considre un matriau pour lequel toutes les fissures sont identiques et paralllesentre elles. Pour simplifier, la direction e3 du repre global est choisie de faon treperpendiculaire au plan des fissures. Dans ce cas, la contrainte moyenne p est lamme dans toutes les fissures. Le problme tant linaire, le champ de dformation dpend linairement de la dformation macroscopique E et de la contrainte moyennequivalente p. On choisit ici de construire le tenseur de localisation en dformationdu quatrime ordre A engendr par la dformation E pour une prcontrainte nulleet le tenseur de localisation en dformation du quatrime ordre A engendr par lacontrainte p pour une dformation macroscopique nulle pour determiner la loi decomportement homognis du milieu. On a donc :

(x) = A(x) : E+ A(x) : p. (2.22)

Le champ de contrainte microscopique dans le domaine solide scrit alors :

(x) = Cs : A(x) : E+ Cs : A(x) : p. (2.23)

La moyenne du champ de contrainte qui dfinit la contrainte macroscopique estdonne par :

=< >=1

|0|(

s0

(x)d +

f0

pd)= (1 0) < >s +0p. (2.24)

En reportant lquation (2.23) dans (2.24), on obtient la relation suivante :

= Chom : E+ B : p, (2.25)

o Chom et B dsignent respectivement le tenseur dlasticit macroscopique drainet le tenseur du quatrime ordre de Biot,

Chom = (1 0)Cs :< A >s= Cs : (I 0 < A >f ), (2.26)

B = 0I+ (1 0)Cs :< A >s . (2.27)

Par ailleurs, partir de lquation (2.22), on calcule sans difficult la moyenne de

la dformation microscopique dans lespace poreux en fonction des paramtres dechargement macroscopiques :

0 < >f= 0 < A >f : E+ 0 < A >f : p, (2.28)

comme on a la proprit : (1 0) < A >s +0 < A >f= 0, on a donc :

0 < >f= 0 < A >f : E (1 0) < A >s: p (2.29)

= B : E+ N : p. (2.30)

On en dduit :

B = 0 < A >f et N = (1 0) < A >s . (2.31)

Le thorme de rciprocit de Maxwell-Betti pour le milieu solide, avec la sollicita-tion 1 dfinie par E = E0, p = 0 et la sollicitation 2 dfinie par E = 0, p = 0 etlhypothse introduite plus haute que s0 = 0 f0, scrit :

s0

(1).T (2)dS =

s0

(2).T (1)dS, (2.32)

0

(1).T (2)dS+

f0

(1).T (2)dS =

0

(2).T (1)dS+

f0

(2).T (1)dS, (2.33)

0

(1).T (2)dS +

f0

(1).T (2)dS =

0

0(2).T (1)dS +

f0

(2).0(1)dS = 0.

(2.34)

On a donc : 0

(E0 : x).T(2)dS =

f0

(1).0.ndS, (2.35)

E0 :0

(2)d = 0 :

f0

(1) ndS, (2.36)

E0 : 1|0|0

(2)d =|f0||0| 0 :

1

|f0|f0

(1) ndS, (2.37)

o n dsigne le vecteur unitaire normal au domaine occup par la phase solide orientvers le pore. En reportant les quations (2.25) et (2.30) on trouve que E0, 0,

on aE : B : p = 0p :< >f= p : B : E. (2.38)

On en dduit

B = TB = 0 < A >f , (2.39)

o TB dsigne le transpos du tenseur B.En reportant lgalit (2.39) dans lquation (2.27), on obtient

0I+ (1 0)Cs :< A >s= 0T < A >f , (2.40)

N = 0Ss : (I T < A >f ) = Ss : (0I B). (2.41)

Finalement, le comportement macroscopique de ce matriau scrit : = Chom : E+ B : p

0 < >f= TB : E+ N : p

(2.42)

avec,

Chom = Cs : (I 0 < A >f )

TB = 0 < A >f= I Ss : Chom

N = 0Ss : (I T < A >f ) = Ss : (0I B)

(2.43)

Il convient de souligner ici que la seconde loi (2.42) nest pas une des deux loiscomplmentaires classiques de comportement dun milieu poreux matrice lastiquedont lespace poreux est satur par deux fluides immiscibles [14, 16]. Le fait quelon obtienne naturellement une loi de comportement qui relie la dformationmoyenne de lespace poreux aux valeurs de la dformation macroscopique E et dela prcontrainte dans les pores p est videment une consquence du fait que lesefforts capillaires sont pris en compte au travers de la moyenne des contraintes. Unexamen plus dtaill du rsultat est ncessaire pour valuer si le rsultat obtenuici est cohrent avec lcriture classique de la loi de comportement dun matriauporolastique non satur.

On remarque en plus que les relations (2.42) et (2.43) sont valables pour nimportequel milieu poreux ds lors que la prcontrainte dans lespace poreux est uniforme.On aurait pu obtenir les mmes rsultats sans faire intervenir le tenseur A en utili-sant le thorme de Levin et en calculant directement la quantit < >f .

On peut noter que les tenseurs B et N satisfont la condition de symtrie Bijkl =Bijlk = Bjikl et Nijkl = Nijlk = Njikl. En plus, on peut dduire sans difficult queN = (1 0) < TA : Cs : A >s. Cette relation permet notamment de montrer lasymtrie par rapport aux couples dindice (ij) et (kl) du tenseur N.

Dans le cas p = pI, on retrouve le cas satur avec une pression de fluide gale p,

B = B : I = 0T < A >f : I = 0I :< A >f

1

N= I : N : I = I : Ss : (B 0I)

(2.44)

En utilisant les rsultats obtenus dans le cas du milieu satur, on obtient finalementles relations homognises pour le schma dilu :

Chom = Cs :(I 4

3piT

), B =

4

3piTT, N = 4

3piSs : TT. (2.45)

T tant toujours dfini par la relation (1.62).

2.2.3.1.2 Le cas dune distribution isotrope de fissures identiques

On examine maintenant le cas dun milieu fissur non satur, isotrope. Les fissuressont toutes de mme taille et dans le mme tat hydrique. On dsigne par pi lacontrainte moyenne quivalente qui rgne dans chaque fissure. Comme toutes lesfissures ont les mme caractristiques dans leur repre local et sont dans le mme tathydrique (pression capillaire), la valeur de pi est la mme dans le repre local attach chaque fissure. On note de nouveau E la dformation macroscopique du milieu. Enutilisant le thorme de Levin, on montre que le comportement macroscopique dece milieu dans le cas o les interactions entre fissures sont ngligeables scrit pourun milieu dont lespace poreux est dcrit par n familles de fissures :

= Chom : E+ni=1

Bi : pi

0 < >f=

ni=1

TBi : E+ni=1

Ni : pi

(2.46)

Il convient de noter que les tenseurs Bi et Ni sont dfinis par les relations (2.39) et(2.41) pour la ime famille de fissure. On a donc :

Bi = i0T < A >fi et Ni = Ss : (i0I Bi). (2.47)

Le calcul des caractristiques macroscopiques seffectue de la mme faon que dansla situation sature (chapitre 1 de ce document). On obtient :

Chom = Cs : (I Q), (2.48)ni=1

TBi = Q. (2.49)

ni=1

Bi : pi =ni=1

i0pi :< A >

fi=

ni=1

4

3piipi : Ti =

3

2pi0

d

pi0

sinp, : T,d,

(2.50)

ni=1

Bi : pi = p = pbI. (2.51)

ni=1

Ni : pi =ni=1

Ss : (i0I Bi) : pi ' ( n

i=1

pi :TBi): Ss, (2.52)

ni=1

Ni : pi = pbI : Ss = pb

3ksI. (2.53)

Les relations (2.46) dcrivant le comportement macroscopique du matriau scriventdonc :

= Cs : (I Q) : E+ pbI

0 < >f= Q : E pb

3ksI

(2.54)


Les expressions pour Q et b sont donnes par les formules (1.65) et (1.67).Dans le cas o ce matriau est soumis un chargement macroscopique isotrope dfinipar E = EI et = I. La premire loi de comportement (2.54) scrit :

= 3khomE + pb avec khom = ks(1 b). (2.55)

2.2.3.2 Dformation de schage du matriau fissur isotrope

On sintresse une exprience de schage sous contrainte macroscopique nulle. Onchoisit de prendre la pression du gaz comme rfrence. La dformation macrosco-pique prvue selon (2.55) par ce modle est sphrique et scrit E = EI avec :

E = b3khom

p = b3ks(1 b)

3

a3X30

1

p2c. (2.56)

On reprend ici lide propose dans [57] que dans une exprience de schage partirde ltat satur, il est ncessaire daugmenter la pression capillaire jusqu la pressiondentre dair note peac pour quune interface capillaire puisse se former lintrieurdu pore. Si lon suppose que les rayons des canaux sont du mme ordre de grandeurque la demi-hauteur c de la fissure, la valeur de peac est alors gale 2/aX0. Onmontre partir de lquation (2.14), quune interface capillaire ne peut se formerque pour les valeurs de pc suprieure peac = /aX0. La quantit peac dfinit donc lavaleur de la pression dentre de la phase gazeuse dans les fissures.

deuxime qu. (2.56)

Eea

peac pc

X = X0

E

Fig. 2.5 Schage du milieu fissur isotrope - cas linaire

On a reprsent sur la Fig. 2.5 la dformation prdite par le modle pour une ex-


prience de schage contrainte macroscopique nulle partir de ltat de rfrencesatur. On soumet le matriau une augmentation de la pression capillaire partirde la valeur zro. Tant que la pression capillaire reste infrieure la pression peac , lematriau reste satur par la phase liquide la pression p` = pc et la dformation Eest une fonction linaire dcroissante de la pression capillaire pc (premire quation(2.56)). Pour les valeurs de la pression capillaire suprieures peac , la dformationmacroscopique E est maintenant contrle par la second quation (2.56). Le ma-triau est dans un tat non satur et le schage saccompagne dune dilatation quiramne le VER dans sa configuration initiale.

La non prise en compte de la dformation des pores pour le calcul de la prcontraintecapillaire au moyen de la formule (2.21) est tout fait justifie quand la valeur durapport daspect X0 est suffisamment grande pour que lhypothse des petitesperturbations soit valide. Comme on va le montrer dans le paragraphe 2.2.5, cetteapproximation nest plus pertinente pour les faibles valeurs de X0.

2.2.4 Validit de lapproximation X 0Dans les calculs effectus pour obtenir la courbe reprsente sur la Fig. 2.5, on aprocd 3 approximation diffrentes.

1. On a suppos que la forme de linterface capillaire pouvait tre assimile untore de rvolution (paragraphe 2.2.2).

2. On a remplac le groupement X(I SE)1 par sa limite T quand X tend vers0 (paragraphe 1.2.2, formule (1.61)).

3. On a remplac les valeurs moyennes du tenseur de prcontrainte p danschaque fissure par le terme do

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