The Collected Papers of Gerhard Gentzen by Gerhard GentzenReview by: K. SchütteThe Journal of Symbolic Logic, Vol. 37, No. 4 (Dec., 1972), pp. 752-753Published by: Association for Symbolic LogicStable URL: http://www.jstor.org/stable/2272429 .

Accessed: 17/06/2014 17:00

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752 REVIEWS

"quirk" may be mentioned here: The Chinese logicians defined 'p q' as '(p n q) * (p' z If' rather than as the customary mutual implication of 'p' and 'q'; cf. vol. 28, p. 97.)

The disputed hiao (norm) is reinterpreted by Chmielewski as a principle of lower functional logic. We should view it from two sides: one, of establishing it (inferring Vx(9x n {,6x) from pX1 D AXe, X2 'x2,., * * X,1 :n Ox,), and the other of its application (inferring pXk n sbXk

from Vx(x: Ox)). In the last section (vol. 28, pp. 87-111) the author examines Mo-ts!'s ethical claim "Heaven

likes righteousness and dislikes unrighteousness" and Mo-tsl's demonstration for it. This enables him to bring to light the fact that the Chinese could employ quite well, as part of their "implicit" logic, even complex formulas of higher functional calculus; that they may have argued the way they did in view of their dialectical aims; and that they possessed a language which was far better suited to express strictly formal relations than any inflected Indo-European language (cf. pp. 103 ff.). Paradoxically enough, this very feature of it may account for the fact that the implicit (i.e., applied) logic is prevalent and the explicit one rather scanty.

IVAN BOH

JANUsZ CHmLEWSKI. La logica degli antichi Cinesi. Rivista degli stwli orientali, vol. 38 (1963), Pp. 161-168.

The author invites his fellow Sinologists to approach the study of ancient Chinese logic and language from the point of view of modem formal logic. According to him, the usual appraisals of ancient texts given by historical linguists are misleading or even false. Chmielewski proposes to examine three examples and to draw conclusions about them which are quite different from those current among the linguists. To this end, he spends several pages introducing those basic notions of propositional, lower functional, class, and higher functional logic which he will need in discussing Chinese logic. The three cases are: (a) the so-called " Confucian sorites" of Masson- Oursel (1912) is not a sorites at all but a theorem of propositional calculus corresponding to an a primo ad ultimum argument with suppressed conclusion; (b) the alleged syllogisms found in the Pai-ma lun text are not syllogisms either of Aristotelian or of "traditional" variety but pieces of reasoning which belong to a curiously restricted class calculus (one stressing non-iden- tity and not allowing any class-inclusion relation); (c) Mo-tsi's hsiao (labeled as "deduction" by Sinologist Hu Shi, and not admitted as a logical element at all by Maspero) upon inspection turns out to be a version of dictum de omni expressible in the object language as Vx(Px A Ox) D (oPXk s /xk). The author points out that other formulas of lower and even of higher functional calculus were also recognized as valid. In deference to his colleagues, Chmie- lewski allows that the examples under discussion belong to the "implicit" rather than to the "explicit" logic. He also admits that the premisses were often either false or vague or without sense (p. 166), but points out that this is an extralogical matter. IVAN BoH

M. E. SZABO. Biographical sketch. The collectedpapers of Gerhard Gentzen, herausgegeben von M. E. Szabo, Studies in logic and the foundations of mathematics, North-Holland Pub- lishing Company, Amsterdam und London 1969, S. vii-viii.

M. E. SZABO. Introduction. Ebd., S. 1-28. GERHARD GENTZEN. On the existence of independent axiom systems for infinite sentence

systems. Englische tbersetzung von 4421. Ebd., S. 29-52. GERHARD GENTZEN. On the relation between intuitionist and classical arithmetic. Englische

tVbersetzung des Uber das Verhiltnis zwischen intuitionistischer und klassischer Arithmetik (unvertffentlicht). Ebd., S. 53-67.

GERHARD GENTZEN. Investigations into logical deduction. -Neudruck von XXXV 144 mit geringen Anderungen. Ebd., S. 68-131.

GERHARD GENTZEN. The consistency of elementary number theory. Englische t~bersetzung von I 75. Ebd., S. 132-201.

GERHARD GENTZEN. Appendix to #4. Englische tUbersetzung der bisher unveroffentlich- ten ersten Version von 14.1-16.11 des vorhergehenden Werkes. Ebd., S. 201-213.

GERHARD GENTZEN. The consistency of the simple theory of types. Englische tfbersetzung von I 119. Ebd., S. 214-222.

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REVIEWS 753

GERHARD GENTZEN. The concept of infinity in mathematics. Englische Obersetzung von II 95. Ebd., S. 223-233.

GERHARD GENTZEN. The present state of research into the foundations of mathematics. Englische Obersetzung von III 166. Ebd., S. 234-251.

GERHARD GENTZEN. New version of the consistency proof for elementary number theory. Englische tObersetzung von IV 31. Ebd., S. 252-286.

GERHARD GENTZEN. Provability and nonprovability of restricted transfinite induction in elementary number theory. Englische tlbersetzung von IX 70. Ebd., S. 287-308.

GERHARD GENTZEN. Fusion of several complete inductions. Englische tlbersetzung des Zusammenfassung von mehreren vollstdndigen Induktionen zu einer einzigen, Archivfdr mathe- matische Logik und Grundlagenforschung, Bd. 2 Heft 1 (1954), S. 1-3. Ebd., S. 309-311. (Deutsches Original auch verdffentlicht in Archiv rw Philosophie, Bd. 5 Heft 1 (1954), S. 81-83.)

Die Arbeiten von Gentzen haben bis auf den heutigen Tag einen entscheidenden Einfluf auf die Entwicklung der formalen Logik und mathematischen Grundlagenforschung ausgeuibt. Es sind im wesentlichen drei fundamental Erkenntnisse, die wir Gentzen verdanken: 1 Die Bedeutung des "natfirlichen SchlieBens" in der von ihm formalisierten Gestalt. 2. Die Moglich- keit des " umweglosen Schlielens," die in seinem Hauptsatz der Pridikatenlogik zum Ausdruck kommt. 3. Die Anwendbarkeit einer konstruktiv eingeschrankten transfiniten Induktion zum Nachweis von Widerspruchsfreiheitsbeweisen unter Verwendung von Reduktionsmethoden, mit denen er erstmalig die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie beweisen konnte.

Die vorliegende englische Obersetzung aller Originalarbeiten von Gentzen ist daher zur weite- ren Verbreitung seiner Grundgedanken und Methoden sehr wertvoll, zumal da Gentzen seine Ideen in seinen Arbeiten ausfiffrlich und iuberzeugend zu erliutem vermochte. Besonders hervorzuheben ist, daB mit diesem Buch auch die bisher nicht ver6ffentlichten Arbeiten von Gentzen dem Leser zuginglich gemacht werden, namlich erstens die Arbeit "Cber das Ver- h~ltnis zwischen intuitionistischer und klassischer Arithmetik," die Gentzen nach einer Publi- kation ihnlichen Inhalts von Gddel vom Druck zuruickgezogen hatte, und.zweitens ein Auszug aus seinem ersten Ansatz zum Widerspruchsfreiheitsbeweis der reinen Zahlentheorie, von dem Bernays einen Korrekturabzug zur Verfuigung stellte. Gentzen hatte diesen ersten Ansatz wegen der Einwande gegen eine implizite Verwendung des Fan-Theorems zuriuckgezogen und durch seine Beweisffhrung mit eingeschrinkter transfiniter Induktion ersetzt. Es ist aber nicht nur von historischem, sondern auch von methodischem Interesse, durch die Veroffentlichung seines ersten Ansatzes zu erfahren, mit welchen Grundgedanken Gentzen zu seinem Widerspruchsfrei- heitsbeweis gekommen ist.

Die umfangreiche Einleitung des vorliegenden Buches gibt einen ausgezeichneten historischen Oberblick uiber die Entwicklung der Gentzenschen Arbeiten und die spatere Fortentwicklung seiner Methoden und Ergebnisse. So wird u.a. der Zusammenhang zwischen dem "nattirlichen Schliel3en" von Gentzen und den anschlieBenden Arbeiten von Prawitz und den semantischen Tafeln von Beth diskutiert. Die Beziehungen zwischen dem, "verschdrften Hauptsatz" von Gentzen, dem Satz von Herbrand und dem "linear reasoning" von Craig werden aufgewiesen. Die Bedeutung der Gentzenschen Methoden fair die weitergehenden Widerspruchsfreiheits- beweise von Fitch, Lorenzen, Takeuti und dem Referenten werden er1autert. Philosophische Auffassungen zur konstruktiven Natur der verwendeten Methoden, wie sie von Gentzen und anderen Logikern ausgefihrt wurden, werden ausfifirlich wiedergegeben.

Das Buch enthdIt eine Photographie, den Abdruck eines handschriftlichen Entwurfs und eine kurze Biographie von Gentzen. Der Herausgeber hat insgesamt eine wertvolle Arbeit geleistet, die fuir weitere Forschungen recht nutzlich und anregend sein kann.

K. ScHmrrE

ATWELL R. TuRQuETTE. Modality, minimality, and many-valuedness. Proceedings of a Colloquium on Modal and Many-valued Logics, Helsinki, 23-26 August, 1962, Acta philosophical Fennica, no. 16, Helsinki 1963, pp. 261-276.

This is a philosophical essay about some questions arising in connection with many-valued logics. The central motivation is Peirce's concept of "arbitrariness" which in a fragment of

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