The Equity Premium Anomaly Revised

8/6/2019 The Equity Premium Anomaly Revised

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T h e e q u i t y p r e m i u m a n o m a l y r e v i s e d

D i e g o C o r t i

J u l y 1 1 , 2 0 1 0

C o n t e n t s

0 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

0 . 2 A b e l ' s m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0 . 2 . 1 T h e M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0 . 3 C o n s t a n t i n i d e s ' s M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0 . 3 . 1 T h e M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1


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0 . 1 I n t r o d u c t i o n

A s i t i s a r g u e s i n t h e s e c o n d c h a p t e r t h e e q u i t y p r e m i u m p u z z l e s i s a q u a n t i t a t i v e

p u z z l e , t h e e q u i t y p r e m i u m a n d t h e r i s k f r e e r a t e t h a t a r i s e f r o m t h e p r e d i c t i o n

o f t h e t h e o r y a r e d i e r e n t f r o m w h a t h a s b e e n h i s t o r i c a l l y o b s e r v e d . I n t h e l a s t

2 5 y e a r s m a n y d i e r e n t a t t e m p t s t o r e s o l v e t h i s q u a n t i t a t i v e p u z z l e a r e b e e n

p r e s e n t e d . I n t h i s c h a p t e r I f o c u s t h e a t t e n t i o n o n o n e o f t h e r e s o l u t i v e a p p r o a c h

b a s e d o n t h e m o d i c a t i o n o f t h e p r e f e r e n c e s s t r u c t u r e , t h e h a b i t f o r m a t i o n

a p p r o a c h .

T h e i m p l i c a t i o n o f t h i s a p p r o a c h t o t h e c o n s u m e r ' s b e h a v i o r a n d t o t h e r e -

l a t e d a s s e t p r i c i n g h a s g e n e r a t e d a w i d e i n t e r e s t a n d t h e r e f o r e a w i d e l i t e r a t u r e .

S e v e r a l m o d e l i n g i s s u e s a r i s e f r o m t h e a b o v e - m e n t i o n e d l i t e r a t u r e .

T h e r s t i s s u e i s t h e n a t u r e f t h e h a b i t t e r m a n d t h e c o n s e q u e n t l y e e c t o f a

c o n s u m e r ' s o w n d e c i s i o n s o n f u t u r e l e v e l s o f h a b i t . I n t h e i n t e r n a l h a b i t m o d e l

s u c h a s t h o s e i n C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) a n d S u n d a r e s a n ( 1 9 8 9 ) , t h e h a b i t t e r m

i s a n e n d o g e n o u s v a r i a b l e , s i n c e t h e h a b i t t e r m d e p e n d s o n a c o n s u m e r ' s o w n

c o n s u m p t i o n a n d t h e c o n s u m e r t a k e s a c c o u n t o f t h i s w h e n c h o o s i n g h o w m u c h

t o c o n s u m e . I n e x t e r n a l h a b i t m o d e l s s u c h a s t h o s e i n A b e l ( 1 9 9 0 , 1 9 9 9 ) a n d

C a m p b e l l a n d C o c h r a n e ( 1 9 9 9 ) , t h e h a b i t t e r m i s a n e x o g e n o u s v a r i a b l e b e s i d e s

t h e h a b i t d e p e n d s o n a g g r e g a t e c o n s u m p t i o n w h i c h i s u n a e c t e d b y a n y o n e

c o n s u m e r ' s d e c i s i o n s .

T h e s e c o n d i s s u e i s t h e f u n c t i o n a l f o r m f o r U(.). A s i t i s s h o w e d i n t h e s e c -

o n d c h a p t e r t h e h a b i t f o r m a t i o n p r e f e r e n c e s a p p r o a c h c o n s i d e r t h a t t h e u t i l i t y

f u n c t i o n i s a e c t e d b y b o t h t h e c o n s u m p t i o n l e v e l a n d t h e h a b i t t e r m . A b e l

( 1 9 9 0 , 1 9 9 9 ) h a s p r o p o s e d t h a t

U(.)s h o u l d b e a p o w e r f u n c t i o n o f t h e r a t i o

b e t w e e n t h e c o n s u m p t i o n l e v e l a n d t h e h a b i t t e r m , w h i l e B o l d r i n , C h r i s t i a n o

a n d F i s h e r ( 2 0 0 1 ) , C a m p b e l l a n d C o c h r a n e ( 1 9 9 9 ) , C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) a n d

S u n d a r e s a n ( 1 9 8 9 ) h a v e u s e d a p o w e r f u n c t i o n o f t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e t w o

t e r m s .

T h e t h i r d i s s u e i s t h e s p e e d w i t h w h i c h h a b i t r e a c t s t o i n d i v i d u a l o r a g -

g r e g a t e c o n s u m p t i o n . I n A b e l ( 1 9 9 0 , 1 9 9 9 ) t h e h a b i t d e p e n d s o n o n e l a g o f

c o n s u m p t i o n , w h e r e a s i n B o l d r i n , C h r i s t i a n o a n d F i s h e r ( 2 0 0 1 ) , C o n s t a n t i n i d e s

( 1 9 9 0 ) , S u n d a r e s a n ( 1 9 8 9 ) a n d C a m p b e l l a n d C o c h r a n e ( 1 9 9 9 ) t h e h a b i t r e a c t s

o n l y g r a d u a l l y t o c h a n g e s i n c o n s u m p t i o n .

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I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s I w i l l d e s c r i b e t w o s p e c i c a l l y a t t e m p t s t o r e s o l v e

t h e e q u i t y p r e m i u m p u z z l e . O n e b a s e d o n t h e e x t e r n a l h a b i t a p p r o a c h t h e o t h e r

o n e b a s e d o n t h e i n t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n a p p r o a c h .

T h e r s t a t t e m p t i s t h e m o d e l p r e s e n t e d b y C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) , w h i c h

i n c o r p o r a t i n g i n t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n . I t c a p t u r e s a f u n d a m e n t a l f e a t u r e o f

h u m a n b e h a v i o r t h a t r e p e a t e d e x p o s u r e t o a s t i m u l u s d i m i n i s h e s t h e r e s p o n s e

t o i t . C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) c o n s i d e r s a m o d e l w i t h i n t e r n a l h a b i t w h e r e u t i l i t y

i s d e n e d o v e r t h e d i e r e n c e b e t w e e n c u r r e n t c o n s u m p t i o n a n d l a g g e d p a s t

c o n s u m p t i o n . H e a r g u e d t h a t w i t h a l o w c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n t h e

m o d e l m a y r e p l a c e t h e s a m e r e s u l t o f t h e r e t u r n r a t e a n d c o n s u m p t i o n g r o w t h

r a t e p r e s e n t e d i n t h e s t a t i s t i c s o f M e h r a a n d P r e s c o t t ( 1 9 8 5 ) . O n e o f t h e m e a n

p o i n t s i n t h e w o r k o f C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) i s t h a t a u t i l i t y f u n c t i o n w h i c h

r e p r e s e n t p r e f e r e n c e s w i t h i n t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n a l l o w s t o a m o r e e x i b l e

m o d e l i n g o f r i s k a v e r s i o n a n d t h e i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n i n

c o n s u m p t i o n r e s p e c t a t i m e s e p a r a b l e u t i l i t y f u n c t i o n .

T h e s e c o n d a t t e m p t i s t h e m o d e l o f A b e l ( 1 9 9 0 ) . T h e i d e a i s t h a t o n e ' s

u t i l i t y d e p e n d s n o t o n t h e a b s o l u t e l e v e l o f c o n s u m p t i o n , b u t o n h o w o n e i s d o i n g

r e l a t i v e t o o t h e r s ; A b e l c a l l e d h i s m o d e l ' C a t c h i n g u p w i t h t h e J o n e s e s ' . A b e l

( 1 9 9 0 ) d e n e s u t i l i t y a s t h e r a t i o o f c o n s u m p t i o n r e l a t i v e t o a v e r a g e p e r c a p i t a

c o n s u m p t i o n r a t h e r t h a n t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e t w o . T h e e e c t i s t h a t a n

i n d i v i d u a l c a n b e c o m e e x t r e m e l y s e n s i t i v e a n d a v e r s e t o c o n s u m p t i o n v a r i a t i o n ,

a s m a l l d e c r e a s e o f c o n s u m p t i o n l e v e l r e s p e c t t h e a g g r e g a t e c o n s u m p t i o n l e v e l

m a y i n c r e a s e d r a s t i c a l l y t h e m a r g i n a l u t i l i t y , t h e r e f o r e t h e c o n s u m e r s w o u l d

s m o o t h t h e i r c o n s u m p t i o n o v e r t h e t i m e . S i n c e a v e r a g e p e r c a p i t a c o n s u m p t i o n

i s r i s i n g o v e r t i m e , t h e i n d u c e d d e m a n d f o r ( s a f e ) s a v i n g a n d t h e n f o r b o n d s

w i t h t h i s m o d i c a t i o n h e l p s i n m i t i g a t i n g t h e r i s k - f r e e r a t e p u z z l e .

0 . 2 A b e l ' s m o d e l

A b e l ( 1 9 9 0 ) p r e s e n t e d a n a t t e m p t t o r e s o l v e t h e e q u i t y p r e m i u m p u z z l e e x -

a m i n i n g a m o d e l t h a t i n c o r p o r a t e a p r e f e r e n c e s s t r u c t u r e w i t h e x t e r n a l h a b i t

f o r m a t i o n . I n t h i s m o d e l t h e c o n s u m p t i o n e n t e r s i n t h e u t i l i t y r e s p e c t t o t h e

h a b i t l e v e l , w h i c h d e p e n d s o n a g g r e g a t e c o n s u m p t i o n . T h e a g g r e g a t e c o n s u m p -

t i o n i s u n a e c t e d b y t h e c o n s u m p t i o n a g e n t ' s d e c i s i o n s . A b e l ( 1 9 9 0 ) c a l l e d t h i s

3


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p r e f e r e n c e s s t r u c t u r e ` c a t c h i n g u p w i t h t h e J o n e s e s ' . T h e h a b i t t e r m s u m m a -

r i z e s t h e i n u e n c e o f p a s t c o n s u m p t i o n l e v e l s o n t o d a y ' s u t i l i t y . A b e l d e n e s

u t i l i t y a s t h e r a t i o o f c o n s u m p t i o n r e l a t i v e t o a v e r a g e p e r c a p i t a c o n s u m p t i o n .

I t c a n b e s h o w t h a t u s i n g a r a t i o h a b i t m o d e l i n s t e a d a d i e r e n c e h a b i t m o d e l i s

n o t a f u n d a m e n t a l m o d i c a t i o n

1

. A b e l ( 1 9 9 0 ) d e m o n s t r a t e d t h a t u n d e r e x t e r n a l

h a b i t f o r m a t i o n t h e r i s k - f r e e r a t e i s s m a l l e r t h a n i n t h e c a s e o f t i m e s e p a r a b l e

p r e f e r e n c e s a n d m o r e o v e r i t i s m o r e v o l a t i l e , h e a r g u e s t h a t t h e s e a r g u m e n t a r e

t h e f o c a l p o i n t s o f h i s r e s o l u t i o n o f t h e e q u i t y p r e m i u m .

0 . 2 . 1 T h e M o d e l

T h e u t i l i t y p r e s e n t e d i n t h e A b e l ' s m o d e l ( 1 9 9 0 ) n e s t s t h r e e c l a s s o f p r e f e r e n c e s

a n d m a y b e d i s t i n g u i s h e d i n t h r e e d i e r e n t u t i l i t y f u n c t i o n o n t h e r e g a r d s o f t h e

p a r a m e t r i z a t i o n . T h e t h r e e u t i l i t y f u n c t i o n a r e t i m e s e p a r a b l e u t i l i t y f u n c t i o n ,

e x t e r n a l h a b i t u t i l i t y f u n c t i o n a n d i n t e r n a l h a b i t u t i l i t y f u n c t i o n .

A b e l i n c l u d e d t h e u t i l i t y f u n c t i o n i n t h e L u c a s ( 1 9 7 8 ) a s s e t p r i c i n g m o d e l

t o c a l c u l a t e t h e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n s f o r t h e p r i c e s o f s t o c k s , b i l l s a n d c o n s o l

b o n d s . T h e e c o n o m y i s a n e x c h a n g e e c o n o m y a s i s a s s u m e d i n t h e m o d e l o f

L u c a s ( 1 9 7 8 ) a n d A b e l ( 1 9 9 0 ) a s s u m e d t h a t t h e c o n s u m p t i o n g r o w t h i s i . i . d . .

H e r e I ' m i n t e r e s t e d o n l y i n t h e ' e x t e r n a l h a b i t ' m o d e l ' s p a r a m e t r i z a t i o n a n d

i n t h e d e r i v e d p r i c e s o f s t o c k s a n d b i l l s , w h i c h a r e u s e d t o e x a m i n e t h e e q u i t y

p r e m i u m p u z z l e . C o n s u m p t i o n

T h e p r e f e r e n c e s a r e f o r m a l i z e d i n t h e f o l l o w i n g u t i l i t y f u n c t i o n

Vt

s=0

sU(ct+s; vt+s)

w h e r e

vt i s a p r e f e r e n c e s p a r a m e t e r , s p e c i e d b y a f u n c t i o n o f b o t h t h e c o n s u m e r

o w n ' s c o n s u m p t i o n o f p r e v i o u s p e r i o d (

ct

1) a n d t h e p e r c a p i t a a g g r e g a t e c o n -

s u m p t i o n o f p r e v i o u s p e r i o d ( Ct1 ) :

vt = [cDt1C

1Dt1 ]

0 D 0

W i t h d i e r e n t a s s u m p t i o n o n b o t h t h e t w o p a r a m e t e r s o f t h e p r e f e r e n c e s

p a r a m e t e r , t h e i n t e r t e m p o r a l u t i l i t y f u n c t i o n m a y a s s u m e a l l t h r e e f o r m s p r e -

s e n t e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r s , i . e . t h e t i m e s e p a r a b l e f o r m , t h e e x t e r n a l h a b i t

1

S e e C a m p b e l l ( 2 0 0 1 ) f o r a d e t a i l e d d i s c u s s i o n .

4


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f o r m a n d t h e i n t e r n a l h a b i t f o r m . T h e r e f o r e :

= 0 vt = 1

s=0 sU(ct+s; 1) T i m e s e p a r a b l e

> 0 , D = 0 vt = Ct1

s=0 sU(ct+s; Ct+s1) E x t e r n a l h a b i t

> 0,

D = 1 vt = c

t

1

s=0

sU(ct+s; ct+s1) I n t e r n a l h a b i t

W i t h t h e i n t e r n a l h a b i t p a r a m e t r i z a t i o n t h e p r e f e r e n c e s p a r a m e t e r d e p e n d s

o n l y o n t h e c o n s u m e r ' s o w n p a s t c o n s u m p t i o n a n d , r e c a l l i n g t h e l a w o f t h e

h a b i t t e r m ( e q . ? ? ) , t h a t m e a n s t h e p e r s i s t e n c e o r m e m o r y t e r m i s a s s u m e d t o

b e = 1, t h e n Ht = ct1 .

A b e l s u p p o s e d t h e f o l l o w i n g i s o - e l a s t i c o n e p e r i o d u t i l i t y f u n c t i o n :

U(ct; vt) = (

ct

vt )

1

1 > 0

w h e r e i f

= 0t h e n t h e o n e p e r i o d u t i l i t y f u n c t i o n h a s t h e C R R A f o r m . A f t e r -

w a r d A b e l f o l l o w e d t h e r a t i o h a b i t m o d e l a p p r o a c h . T h e m a r g i n a l u t i l i t y h a s

t h e f o l l o w i n g f o r m :

U

c=

ct

vt

1

vt D

ct+1

vt+1

1ct+1

vt+1

1

ct

=

1 D

ct+1

vt+1

1vt

ct

1ct

vt

11

ct

( 1 )

A b e l c o n s i d e r e d t h e o u t p u t p r o d u c e d b y t h e c a p i t a l s t o c k i n t e r m o f c o n -

s u m p t i o n g o o d a n d d e n e d yt a s t h e o u t p u t p e r c a p i t a o f p e r i o d t. M o r e o v e r

h e a s s u m e d t h a t t h e o u t p u t i s c o n s u m e d i n t h e p e r i o d i n w h i c h i s p r o d u c e d ,

u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f r e p r e s e n t a t i v e c o n s u m e r i t l e a d s t o ct = Ct = yt a n d

w i t h

yt+1yt

= xt ,ct+1ct

= Ct+1Ct

= xt . E q u a t i o n ( 1 ) m a y b e r e w r o t e a s :

Ut

ct= tv

1t c

t

w h e r e t+1 = [1 Dx1t+1 x

(1)t ] a n d xt =vt+1vt

.

5


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A s s e t P r i c i n g

S u p p o s e t h a t a c o n s u m e r r e d u c e ct b y 1 t o p u r c h a s e a a s s e t w h i c h a l l o w s t h e

c o n s u m e r t o i n c r e a s e

ct+1 b y t h e g r o s s r a t e o f r e t u r n (1+rt). A t t h e e q u i l i b r i u m

t h e n e t e e c t o f t h i s a i r o f t r a n s a c t i o n m u s t b e v o i d a n d t h e E u l e r e q u a t i o n

Et

(1 + rt+1)

t+2t+1

x(1)t x

t+1

= 1

m u s t b e s a t i s e d . A b e l p r e s e n t e d t h e a s s e t p r i c i n g f o r m u l a o f a l l o f t h r e e d i f -

f e r e n t a s s e t : s t o c k , T - b i l l a n d c o u p o n b o n d , h e r e I a m i n t e r e s t e d o n o n l y t w o

o f t h e m :

1 . T h e p r i c e o f a s t o c k :

(1 + rt+1) =qst + yt

qst= 1

yt

qst

wt =qstyt

wt+1 =qst+1yt+1

s o

qst = wtyt qst+1 = wt+1yt+1

(1 + rt+1) =1 + wt+1

wtxt+1

wt = Et[(1 + wt+1)xt+1t+2t+1

x(1)t x

t+1]

2 . T h e p r i c e o f a T - b i l l :

(1 + rft+1) = 1qt1

1 + rft+1= Et[mt,t+1]

qt = Et[mt,t+1] mt,t+1 =

Ut+1ct+1

Utct

=t+2t+1

x(1)t x

t+1

A b e l a s s u m e d t h a t t h a t t h e g r o w t h r a t e o f c o n s u m p t i o n a n d t h e g r o w t h r a t e

o f d i v i d e n d s a r e i . i . d . a n d j o i n t l y l o g - n o r m a l l y d i s t r i b u t e d t o o b t a i n a c l o s e d

s o l u t i o n f o r t h e r a t e f r i s k y r e t u r n ( s t o c k ) a n d f o r t h e r i s k - f r e e r a t e ( T - b i l l ) .

U n d e r t h i s a s s u m p t i o n :

wt = AxtJt

w i t h

= ( 1)

A = E[x1]1 DE[x(1)(1)]

1 E[x(1)(1)]

Jt = Et[t+1] 1 DE[x1]x

6


7/16

t h e g r o s s r e t u r n o f s t o c k i s e x p r e s s e d b y t h e f o l l o w i n g f o r m u l a

(1 + rt+1) =1 + wt+1

wtxt+1 =

1 + Axt+1

Jt+1

Axt

Jt

xt+1

M o r e o v e r t h e r i s k - f r e e g r o s s r e t u r n m a y b e o b t a i n e d s t a r t i n g f r o m t h e d e -

n i t i o n o f t h e p r i c e o f a T - b i l l :

qt = LxtJt

s o t h e r i s k - f r e e g r o s s r e t u r n i s e x p r e s s e d a s

(1 + rft+1) =1

qt

=1

Lxt

Jt

w i t h

L = E[x] DE[x1]E[x]

T h e e x t e r n a l h a b i t p a r a m e t r i z a t i o n o f

a n d

D:

> 0 D = 0 ( 2 )

i m p l i e s

wt =

E[x1]

1 E[x(1)(1)] xt

= ( 1)

A =E[x1]

1 E[x(1)(1)]

Jt = Et[t+1] = Et[t+2] = 1

s o u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f e x t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n t h e r i s k - f r e e g r o s s r e t u r n

i s e x p r e s s e d a s

(1 + rft+1) =1

qt

=1

E[x

]xt

s o t a k i n g t h e l o g a r i t h m s t h e g r o s s r e t u r n o f a r i s k - f r e e a s s e t ( T . b i l l ) b e c o m e :

ln(1 + rft+1) = ln x 1

222x ( 1)ln xt. ( 3 )

F u r t h e r m o r e w i t h

Et[t+1] = Et[t+2] = 0 t h e E u l e r e q u a t i o n b e c o m e s :

Et[(1 + rt+1)x(1)t x

t+1] = 1

7


8/16

a n d i t m a y b e d e c o m p o s e d u s i n g t h e p r o p e r t i e s o f t h e c o v a r i a n c e

1 = Et[(1 + rt+1)x(1)t x

t+1]

= Et[(1 + rt+1)xt+1]x

(1)t

= x(1)t

Et[1 + rt+1] + Et[x

t+1] + cov(rt+1, x

t+1)

.

S i n c e i t h a s b e e n a s s u m e d t h e g r o w t h r a t e o f c o n s u m p t i o n a n d d i v i d e n d s t o b e

l o g n o r m a l l y d i s t r i b u t e d :

0 = +ln + ( 1)ln xt + ln Et[1 + rt] + x +1

222x rt+1,x

ln Et[1 + rt] = ln ( 1)ln xt x 1

222x + rt+1,x

= ln(1 + rft+1) + rt+1,x ( 4 )

E q u a t i o n ( 3 ) s a y s t h a t t h e r i s k - l e s s r e a l i n t e r e s t r a t e e q u a l s i t s v a l u e u n d e r

C R R A f u n c t i o n , l e s s

( 1)ln xt . H o l d i n g c o n s u m p t i o n t o d a y a n d e x p e c t e d

c o n s u m p t i o n t o m o r r o w c o n s t a n t , a n i n c r e a s e i n c o n s u m p t i o n y e s t e r d a y i n c r e a s e s

t h e m a r g i n a l u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n t o d a y . T h i s m a k e s t h e r e p r e s e n t a t i v e a g e n t

w a n t t o b o r r o w f r o m t h e f u t u r e , d r i v i n g u p t h e r e a l i n t e r e s t r a t e . E q u a t i o n

( 4 ) d e s c r i b i n g t h e r i s k p r e m i u m i s e x a c t l y t h e s a m e a s t h e p r e m i u m o b t a i n e d

w i t h t h e C R R A u t i l i t y f u n c t i o n . T h e e x t e r n a l h a b i t a d d s a t e r m t o b o t h g r o s s

r e t u r n o f a r i s k - f r e e a s s e t a n d e x p e c t e d g r o s s r e t u r n o f a r i s k y a s s e t . A b e l ( 1 9 9 0 )

a r g u e s t h a t t h i s a d d i t i o n a l t e r m c a n h e l p t o r e s o l v e t h e e q u i t y p r e m i u m p u z z l e .

W h e n

i s l a r g e a p o s i t i v e

r e d u c e s t h e r i s k - f r e e r a t e ; a n h i g h r i s k a v e r s i o n

m a y i n c r e a s e t h e e q u i t y p r e m i u m r e d u c i n g t h e r i s k - f r e e e q u i t y p r e m i u m . W i t h

a p o s i t i v e v a l u e o f t h e p a r a m e t e r t h e r i s k p r e m i u m a n d t h e r i s k - f r e e r a t e

a r e i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l d i m e n s i o n r e s p e c t t h e r i s k a v e r s i o n . M o r e o v e r t h e

a d d i t i o n a l t e r m m a k e s t h e r i s k - f r e e r a t e m o r e v o l a t i l e b e c a u s e , i n s t e a d t h e t i m e -

s e p a r a b l e p r e f e r e n c e ' s c a s e , h e r e t h e r i s k - f r e e r a t e i s n o t l i n k e d o n l y t o t h e

m e a n a n d t h e v a r i a n c e o f t h e c o n s u m p t i o n g r o w t h n u t i t i s a l s o l i n k e d w i t h

a c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e o f e a c h r e f e r e n c e p e r i o d s ; a m o r e v o l a t i l e r i s k - f r e e

r a t e m a y i n c r e a s e t h e c o v a r i a n c e b e t w e e n t h e s t o c k r e t u r n a n d t h e c o n s u m p t i o n

g r o w t h .

T h e a r g u m e n t s i n f a v o u r o f t h e a d d i t i o n a l t e r m a s t h e f o c a l p o i n t o f t h e

r e s o l u t i o n o f t h e e q u i t y p r e m i u m p u z z l e b y t h e e x t e r n a l h a b i t a p p r o a c h s e e m

8


9/16

n o t r o b u s t r e s u l t s . A s i t i s a r g u e d i n m a n y w o r k s a n d a s I i l l u s t r a t e d i n t h e

s e c o n d c h a p t e r t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e r i s k - f r e e r a t e ( i n t h e s e c o n d c h a p t e r

I c o n s i d e r e d a s r i s k - f r e e r a t e t h e T - b i l l r a t e ) a n d s o t h e v a r i a n c e a r e n o t h i g h

a n d t h e r e a l i n t e r e s t r a t e i s f a i r l y s t a b l e e x p o s t , b e s i d e s t h e c o n s u m p t i o n r a t e

i n t h e a d d i t i o n a l t e r m i s k n o w n a t t h e r e f e r e n c e t i m e a n d i t i m p l y t h a t a p a r t

o f t h e r i s k - f r e e r a t e ' s v a r i a n c e i s f o r e c a s t a b l e . T h e a d d i t i o n a l t e r m d o e s n o t

s i g n i c a n t l y a e c t t h e r i s k p r e m i u m . T h e e x t e r n a l h a b i t m o d e l h a s s u c c e s s i n

a d d r e s s i n g t h e r i s k - f r e e r a t e p u z z l e b u t o n l y l i m i t e d s u c c e s s w i t h r e s o l v i n g t h e

e q u i t y p r e m i u m p u z z l e , s i n c e i n t h e s e m o d e l s e e c t i v e r i s k a v e r s i o n b e c o m e s

i m p l a u s i b l y l a r g e .

0 . 3 C o n s t a n t i n i d e s ' s M o d e l

C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) p r o p o s e d a s o l u t i o n t o t h e e q u i t y p r e m i u m p u z z l e b a s e d

o n i n t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n p r e f e r e n c e s ' s a p p r o a c h . H e d e m o n s t r a t e d t h a t a n

a d e q u a t e l y p a r a m e t r i z a t i o n o f h i s i n t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n m o d e l c a n r e c o n c i l e

t h e u n c o n d i t i o n a l m o m e n t o f a s s e t r e t u r n s a n d c o n s u m p t i o n g r o w t h w i t h m o d -

e r a t e r i s k a v e r s i o n . C o n s t a n t i n i d e s o e r e d o n e o f t h e m o s t r e m a r k a b l e a t t e m p t s

t o r e s o l v e t h e p u z z l e , h e d e r i v e d r e a l i s t i c e q u i t y p r e m i u m a n d s t a n d a r d d e v i a -

t i o n o f c o n s u m p t i o n g r o w t h . A n i m p o r t a n t d i e r e n c e b e t w e e n t h e a n a l y s i s o f

M e h r a a n d P r e s c o t t ( 1 9 8 5 ) a n d t h e a n a l y s i s o f C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) i s t h a t

t h e m o d e l p r e s e n t e d b y C o n s t a n t i n i d e s i s f o r m u l a t e d i n c o n t i n u o u s t i m e , t h e

c o n t i n u o u s t i m e c o m p l i c a t e t h e p r o c e s s o f c a l i b r a t i n g t h e m o d e l t o m a t c h t h e

u n c o n d i t i o n a l m o m e n t o f t h e d a t a b u t i s n o t a n e s s e n t i a l f e a t u r e o f t h e r e s o l u -

t i o n o f t h e p u z z l e . T h e p o w e r o f t h e e x t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n a p p r o a c h t o t h e

e q u i t y p r e m i u m p u z z l e i s n o t t o r e v o l v e t h e e q u i t y p u z z l e

0 . 3 . 1 T h e M o d e l

I n t h i s m o d e l t h e o p t i m a l c o n s u m p t i o n a n d i n v e s t m e n t p a t h s a r e i n t e r p r e t e d a s

t h e e q u i l i b r i u m p a t h s i n a r e p r e s e n t a t i v e - c o n s u m e r p r o d u c t i o n e c o n o m y .

T h e h y p o t h e s i s o f t h e m o d e l :

1 . E x i s t s o n l y o n e p r o d u c t i o n g o o d , w h i c h i s t h e c o n s u m p t i o n g o o d .

2 . T h e g o o d m a y b e c o n s u m e d o r i n v e s t e d i n t w o t e c h n o l o g i e s ( o n e r i s k y a n d

9


10/16

o n e r i s k - f r e e ) , w h i c h h a v e c o n s t a n t r e t u r n t o s c a l e a n d r a t e s o f r e t u r n o v e r

p e r i o d [t, t + dt] e q u a l t o rdt a n d dt + dwt

3 . r,, a r e c o n s t a n t , s o t h e o n l y s o u r c e o f u n c e r t a i n t y i s wt , w h i c h i s a

s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n i n R .

4 . Wt i s t h e c a p i t a l ( i n u n i t o f c o n s u m p t i o n ) o w n e d b y t h e r e p r e s e n t a t i v e

a g e n t i n t i m e t.

D i e r e n t l y b y t h e m o d e l o f A b e l ( 1 9 9 0 ) , C o n s t a n t i n i d e s a s s u m e d a p r o d u c -

t i o n e c o n o m y . T h e c a p i t a l o w n e d b y t h e r e p r e s e n t a t i v e a g e n t m a y b e i n v e s t e d

i n t h e t w o d i e r e n t t e c h n o l o g i e s , s o i n t h e e c o n o m y t h e r e a r e o n l y t w o a s s e t s ,

o n e r i s k y a n d o n e r i s k - f r e e . T h e r e p r e s e n t a t i v e c o n s u m e r i n v e s t s a f r a c t i o n o f

h e r w e a l t h i n t h e r i s k y t e c h n o l o g i e s a n d t h e r e s t i n t h e r i s k - f r e e t e c h n o l o g i e s

t h e r e f o r e t h e i n v e s t m e n t s i n t h e t w o t e c h n o l o g i e s i s r e p r e s e n t e d a s f o l l o w :

tWt C a p i t a l i n v e s t e d i n r i s k y t e c h n o l o g i e s ( r i s k y a s s e t )

(1 t)Wt C a p i t a l i n v e s t e d i n r i s k - f r e e t e c h n o l o g i e s ( r i s k - f r e e a s s e t )

t h i s s p e c i c a t i o n l e a d s t o t h e i n c r e a s e o f c a p i t a l o v e r p e r i o d

[t, t + dt], a s s u m i n g

z e r o e n d o w m e n t o w a n d l a b o r i n c o m e , e x p r e s s e d a s :

dWt = [( r)t + r]Wt ct + tWtdwt.

T h e e x p e c t e d i n t e r t e m p o r a l u t i l i t y f u n c t i o n o f c o n s u m p t i o n i s r e p r e s e n t e d

b y t h e f o r m u l a

V0 = E0

0

et[ct xt]

dt

( 5 )

w h e r e

i s t h e t i m e p r e f e r e n c e s p a r a m e t e r , e x p r e s s e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r s

a s

, a n d

c o r r e s p o n d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r s t o

(1).

xt i s t h e h a b i t t e r m

a n d i t i s a n e x p o n e n t i a l l y w e i g h t e d o f p a s t c o n s u m p t i o n :

xt = eatx0 + b

t0

ea(st)csdt

w h e r e t h e p a r a m e t e r b d e n e t h e i n t e n s i t y o f t h e h a b i t p e r s i s t e n c e ( i n t h e

1 0


11/16

p r e v i o u s c h a p t e r s ) a n d t h e p a r a m e t e r a d e n e t h e p e r s i s t e n c e o f t h e p a s t c o n -

s u m p t i o n ( i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r s ) ; w i t h x0 = b = 0 t h e i n t e r t e m p o r a l u t i l i t y

f u n c t i o n b e c o m e s o f t h e t i m e s e p a r a b l e c l a s s w i t h t h e c o e c i e n t o r r e l a t i v e r i s k

a v e r s i o n e q u a l t o

(1 ) = 1 (1 ) = .

T h e c o n s u m p t i o n a n d i n v e s t m e n t p o l i c y , , [ct, t, t 0], i s d e n e d b y f o u r

p r o p e r t i e s :

1 . C o n s u m p t i o n a n d i n v e s t m e n t p o l i c y a t t i m e

ti s b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n

a v a i l a b l e a t t i m e t ; a d d i n g t h i s a s s u m p t i o n t o t h e r e p r e s e n t a t i v e c o n s u m e r

a s s u m p t i o n l e a d s t o t h e s e q u e n t i a l l y m a r k e t c o m p l e t e n e s s h y p o t h e s i s ;

2 . T h e c o n s u m p t i o n r a t e r e s p e c t s

ct 0 , ct xt a n d r e s u l t s i n n i t e t o t a l

c o n s u m p t i o n o v e r a n y h o r i z o n ;

3 . I n v e s t m e n t i n b o t h t e c h n o l o g i e s i s n o n n e g a t i v e ,

0 t 1 t;

4 . T h e e e c t o f t h e p o l i c y l e a v e s t h e c a p i t a l n o n n e g a t i v e ,

Wt 0

T o p r o v e t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f t h e o p t i m a l c o n s u m p t i o n a n d i n -

v e s t m e n t p o l i c y C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) i m p o s e d t h e f o l l o w i n g r e s t r i c t i o n s o n t h e

m o d e l p a r a m e t e r s :

1 0, = 0( 6 )

W0 > 0, W0 x0

r + a b> 0

( 7 )

0 < b < r + a ( 8 )

r 1

2

( r)2

(1 )2 > 0 ( 9 )

x0 > 0 ( 1 0 )

0 m 1, m r

(1 )2( 1 1 )

T h e a s s u m p t i o n ( 6 ) i m p o s e t h a t t h e R R A c o e c i e n t i s t o b e p o s i t i v e a n d t h e

l o g a r i t h m i c u t i l i t y c a s e i s e x c l u d e d . T h e a s s u m p t i o n s ( 7 a n d ( 8 ) i m p l y t h a t t h e

s e t o f a d m i s s i b l e p o l i c i e s i s n o t e m p t y . T h e ( 9 ) s a y s t h a t u n d e r t h e o p t i m a l p o l i c y

t h e e x p e c t e d u t i l i t y o f c o n s u m p t i o n o w g r o w s a t a r a t e l o w e r t h a n t h e t i m e

p r e f e r e n c e s s o

0csds < . T h e ( 1 0 ) a n d t h e ( 1 1 ) g u a r a n t e e r e s p e c t i v e l y t h a t

t h e c o n d i t i o n s ct 0 a n d 0 t 1 o f a n y a d m i s s i b l e p o l i c y a r e n o t b i n d i n g .

1 1


12/16

I n t h e A p p e n d i x A o f C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) i s d e m o n s t r a t e d t h a t u n d e r t h e s e

a s s u m p t i o n t h e o p t i m a l p o l i c y e x i s t , i t i s u n i q u e a n d i s g i v e n b y :

ct = xt + h

Wt

xt

r + a b

t = m

1

xtwt

r + a b

w h e r e

h

r + a b

(r + a)(1 )

r

( r)2

2(1 )2

> 0

T h e o p t i m a l w e a l t h ( c a p i t a l ) p r o c e s s i s d e n e d a s

Wt = xt

r + a b+

W0 x0

r + a b

e x p

n m22

2

t + mt

( 1 2 )

a n d t h e c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e c o n s i s t e n t w i t h t h e o p t i m a l c o n s u m p t i o n p o l -

i c y i s :

dct

ct= [n + b (n + a)zt]dt + [1 zt]mdt ( 1 3 )

w h e r e

n r

1 +

( r)2(2 )

2(1 )22=

r

1 +

( r)(2 )

2(1 )m.

T h e o p t i m a l p a t h p r e s e n t e d m a y b e i n t e r p r e t e d a s t h e e q u i l i b r i u m p a t h i n

a r e p r e s e n t a t i v e - c o n s u m e r e c o n o m y , s o t h e c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e m a y b e

i n t e r p r e t e d a s t h e p e r - c a p i t a c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e . W i t h e q u a t i o n ( 1 3 ) i t

i s p o s s i b l e c a l c u l a t e t h e u n c o n d i t i o n a l m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e c o n s u m p t i o n

g r o w t h r a t e a s

E( dcc

)

dt= n + b (n + a)E(z)

( 1 4 )

a n d

var( dcc

)

dt= m22E(z)

( 1 5 )

w h e r e

zt =

xt

ct. T h e m e a n a n d t h e v a r i a n c e o f t h e c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e c a n

b e c o n s i d e r e d a s t h e m e a n p e r - c a p i t a c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e a n d t h e v a r i a n c e

o f t h e p e r - c a p i t a c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e .

C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) d e n e d t h e R R A c o e c i e n t a s

RRA =1

1 xtWt(r+ab)

. ( 1 6 )

U n d e r t h e i n t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n t h e c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n i s

n o t a c o n s t a n t a n y m o r e l i k e i t i s i n t h e C R R A u t i l i t y c l a s s . C o m b i n i n g e q u a t i o n

1 2


13/16

( 1 6 ) w i t h e q u a t i o n ( 1 3 ) t o e l i m i n a t e Wt l e a d s t o o b t a i n

RRA = (1 )

1 +

hyt

r + a b

( 1 7 )

w h e r e

yt =xt

ct xt

C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) d e m o n s t r a t e d t h a t yt a n d zt h a v e a s t a t i o n a r y p r o b -

a b i l i t i e s d i s t r i b u t i o n s o t h e R R A c o e c i e n t h a s a s t e a d y - s t a t e d i s t r i b u t i o n .

T h e i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n i s d e n e d a s t h e

d e r i v a t i v e o f t h e e x p e c t e d g r o w t h r a t e o f c o n s u m p t i o n w i t h r e s p e c t t o r , w i t h

zt, r, 2 c o n s t a n t

s 1 zt1

.

C o n s i d e r i n g t h e t i m e s e p a r a b l e p r e f e r e n c e s t h e p r o d u c t b e t w e e n t h e R R A c o e -

c i e n t a n d t h e i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n i s e q u a l t o

o n e , o n t h e c o n t r a r y w i t h t h e i n t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n t h e E I S i s n o t t h e r e c i p r o -

c a l o f t h e R R A . C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) d e m o n s t r a t e d t h a t t h e p r o d u c t b e t w e e n

t h e c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n a n d t h e i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b -

s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n i s l e s s t h a n o n e a n d w i t h t h i s r e s u l t h e c o u l d c o n c l u d e

` h a b i t p e r s i s t e n c e s m o o t h s c o n s u m p t i o n g r o w t h o v e r a n d a b o v e t h e s m o o t h -

i n g i m p l i e d b y t h e l i f e c y c l e p e r m a n e n t i n c o m e h y p o t h e s i s w i t h t i m e - s e p a r a b l e

u t i l i t y ' .

T h e f u n d a m e n t a l p o i n t o f C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) i s t h a t h a b i t f o r m a t i o n

p e r m i t s ( s i m u l t a n e o u s l y ) a m o r e e x i b l e m o d e l i n g o f r i s k a v e r s i o n a n d t h e i n -

t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n . T h i s e x i b i l i t y m a y a l l o w

f o r a r e c o n c i l i a t i o n o f t h e u n c o n d i t i o n a l m o m e n t s o f e x c e s s r e t u r n s , t h e r i s k - f r e e

r a t e , a n d c o n s u m p t i o n g r o w t h .

T h e n a l s t e p i s t o a s s u m e t h a t t h e r e i s a s i n g l e r m w h o s e v a l u e i s e q u a l

t o t h e c a p i t a l s t o c k i n t h e e c o n o m y . A s s u m e t h a t t h e r m h a s a c a p i t a l Kt a t

t i m e

t, i t i n v e s t s c a p i t a l

1Kt i n t h e r i s k y t e c h n o l o g y a n d t h e r e m a i n i n g c a p i t a l

(1 1)K(t) i n t h e r i s k l e s s t e c h n o l o g y . 1 i s c o n s t a n t a n d i s f r e e i n t h e i n t e r v a l

0 < 1 < 1. T h e r m i s n a n c e d w i t h r i s k f r e e d e b t o f v a l u e Bt a n d e q u i t y

o f v a l u e

St a n d t h e v a l u e o f t h e c a p i t a l o f t h e r m i s e q u a l t o t h e s u m o f i t s

c a p i t a l . T h e r i s k - f r e e d e b t a r e r i s k l e s s s o t h e i r r a t e o f r e t u r n i s fracdBB = rdt .

T h e r a t i o o f t h e e q u i t y t o t o t a l r m v a l u e i s a c o n s t a n t 2 a n d t h e r a t e o f r e t u r n

1 3


14/16

o f t h e e q u i t y i s d e n e d a s :

dSt

St=

1

2[( r)dt + dt] +

dB

B=

1

2[( r)dt + dt] + rdt ( 1 8 )

t h i s f o r m u l a t i o n o f t h e r a t e o f r e t u r n o n e q u i t y i m p l y t h a t t h e m e a n a n d t h e

v a r i a n c e o f t h e s t o c k r e t u r n s a r e :

E( dStSt

)

dt=

1

2( r) + r

( 1 9 )

a n d

var(dStSt

)

dt=

1

22 ( 2 0 )

T o s h o w h o w t h e i n t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n s o l v e s t h e e q u i t y p r e m i u m p u z z l e

C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) s e t t h e m e a n a n n u a l r e a l r a t e o f r e t u r n o n a r e l a t i v e l y r i s k -

f r e e s e c u r i t y , t h e m e a n o f t h e a n n u a l g r o w t h r a t e o f p e r c a p i t a r e a l c o n s u m p t i o n

a n d t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e g r o w t h r a t e , t h e m e a n a n n u a l r e a l r e t u r n o n

t h e S t a n d a r d a n d P o o r ' s c o m p o s i t e s t o c k p r i c e i n d e x a n d i t s s t a n d a r d d e v i a t i o n

t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e s t a t i s t i c s r e p o r t e d i n M e h r a a n d P r e s c o t t ( 1 9 8 5 ) :

r = 0.01p e r y e a r

0.008

E( dcc

)

dt = 0.018p e r y e a r

var(dcc

)

dt= (0.036)2

p e r y e a r

E(dStSt

)

dt= 0.06 p e r y e a r

var( dStSt

)

dt= (0.165)2

p e r y e a r

a n d s e t t h e t i m e p r e f e r e n c e s p a r a m e t e r , t h e c o e c i e n t o f r i s k a v e r s i o n a n d t h e

l e v e r a g e r a t i o (

12

) t o s a t i s f y , t o g e t h e r w i t h t h e p a r a m e t e r v a l u e s s p e c i e d i n t h e

e q u a t i o n s o f t h e m e a n a n n u a l r e a l r e t u r n o n t h e S t a n d a r d a n d P o o r ' s c o m p o s i t e

s t o c k p r i c e i n d e x a n d o f i t s s t a n d a r d d e v i a t i o n , t h e r e s t r i c t i o n o n t h e m o d e l

p a r a m e t e r s ( 6 - 1 1 ) :

= 0.037

1 = 2.2

1

2= 1.

1 4


15/16

T h e b a s i c r e s u l t o f t h e w o r k o f C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) i s t h a t , w i t h t h e p r e v i -

o u s p a r a m e t r i z a t i o n a n d f o r v a r i o u s c h o i c e s o f t h e p a r a m e t e r s a a n d b ( c o n s i s t e n t

w i t h t h e m o d e l ' s r e s t r i c t i o n o n t h e p a r a m e t e r s ) , t h e m o d e l ' s m e a n a n d v a r i a n c e

o f t h e c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e m a t c h t h e i r s a m p l e e s t i m a t e s w i t h t h e m e a n

R R A c o e c i e n t a s l o w a s 2.81. C o n s t a n t i n i d e s d e m o n s t r a t e d t h a t w i t h a l o w

c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n t h e m o d e l m a y r e p l a c e t h e s a m e r e s u l t o f t h e

r e t u r n r a t e a n d c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e p r e s e n t e d i n t h e s t a t i s t i c s o f M e h r a

a n d P r e s c o t t ( 1 9 8 5 ) . M o r e o v e r t h e e e c t o f c a l i b r a t i n g t h e m o d e l t o d i s c r e t e

t i m e a s M e h r a a n d P r e s c o t t ( 1 9 8 5 ) r a t h e r t h e n c o n t i n u o u s t i m e a n y h o w l e a d s t o

a l o w ( a c c e p t a b l e ) v a l u e o f t h e c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n , a s i s a r g u e d

i n C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) a n d C h a p m a n ( 2 0 0 2 ) . I n t h i s w a y t h e e q u i t y p r e m i u m

p u z z l e m i g h t b e c o n s i d e r e d r e s o l v e d .

U s i n g a d i e r e n t d a t a s e t s o m e p r o b l e m s a s r e g a r d s o f t h e r e s o l u t i o n o f t h e

p u z z l e a r i s e . C h a p m a n ( 2 0 0 2 ) d e m o n s t r a t e d t h a t a c h a n g e o f t h e d a t a s e t m a k e s

t h e m o d e l n o l o n g e r a b l e t o r e c o n c i l e r e a l a s s e t r e t u r n a n d c o n s u m p t i o n d a t a

w i t h r e a s o n a b l e l e v e l o f t h e c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n . C h a p m a n b a s e d

t h e c o n s u m p t i o n g r o w t h o n t h e p o s t - W W I I d a t a ( 1 9 4 9 - 2 0 0 2 ) a n d d e m o n s t r a t e d

t h a t i f t h e C o n s t a n t i n i d e s ' s m o d e l i s c a l i b r a t e d t o d i s c r e t e c o n s u m p t i o n g r o w t h

i t i s n o l o n g e r p o s s i b l e t o m a t c h t h e a s s e t r e t u r n , t h e c o n s u m p t i o n g r o w t h a n d

i t s s t a n d a r d d e v i a t i o n d a t a a s s u m i n g a c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n l e s s

t h a n 10.75 . T h e p r i n c i p a l i s s u e o f t h e w o r k o f C h a p m a n ( 2 0 0 2 ) i s : " ` t h e r e a r e

p e r m i s s i b l e c h o i c e s o f , a a n d b t h a t w o u l d g e n e r a t e v a l u e s f o r t h e c o e c i e n t

o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n t h a t a r e l e s s t h e n , s a y , 1 0 ? " ' . C h a p m a n s h o w e d t h a t

t h e e x p e c t e d c o n s u m p t i o n g r o w t h r e s p o n d s t o m o v e m e n t s i n

b u t i t i s i n e l a s t i c

t o m o v e m e n t i n

aa n d

b, i n s t e a d t h e v a r i a n c e o f c o n s u m p t i o n g r o w t h , g i v e n

a n d

a, r e s p o n d s t o m o v e m e n t s i n

b. G i v e n

c o n s i s t e n t w i t h d i s c r e t e e x p e c t e d

c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e o f t i m e - p e r i o d 1 9 4 9 - 2 0 0 2 C h a p m a n ( 2 0 0 2 ) p r o d u c e d

a s e q u e n c e o f p a r a m e t e r s a a n d b c o n s i s t e n t w i t h t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f

c o n s u m p t i o n g r o w t h r a t e ; t h e e v i d e n c e s u g g e s t e d b y t h i s s e q u e n c e i s t h a t i t i s

i m p o s s i b l e t o r e d u c e t h e c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n b e l o w 1 0 . 7 5 . T h e

m a i n r e s u l t o f t h e a n a l y s i s o f C h a p m a n ( 2 0 0 2 ) i s t h a t w i t h a p a r a m e t r i z a t i o n

c o n s i s t e n t w i t h t h e c o n s u m p t i o n d a t a ( m e a n g r o w t h r a t e a n d i t s v a r i a n c e ) o f

t i m e - p e r i o d ( 1 9 4 9 - 2 0 0 2 ) t h e i n t e r n a l h a b i t m o d e l d o e s n o t r e s o l v e t h e e q u i t y

1 5


16/16

p r e m i u m p u z z l e .

A t h a n a s o u l i s a n d S u s s m a n ( 2 0 0 7 ) a n a l y z e d a n o t h e r p r o b l e m t h a t s e e m s t o

a r i s e i n t h e i n t e r n a l h a b i t m o d e l p r e s e n t e d b y C o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) : t h e r e l -

a t i v e l y l o w m e a s u r e s o f t h e c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n o b t a i n e d i n t h e

m o d e l , w h i c h l e a d s t o a r e s o l u t i o n o f t h e e q u i t y p r e m i u m p u z z l e , i s a w e a l t h

b a s e d m e a s u r e . F o l l o w i n g B o l d r i n , C h i r s t i a n o a n d F i s h e r ( 1 9 9 7 ) t h e y d e n e

t h r e e d i e r e n t m e a s u r e s o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n : a w e a l t h m e a s u r e RRAw ( r e l a t i v e

r i s k a v e r s i o n o f w e a l t h ) , a c o n s u m p t i o n m e a s u r e RRAc ( r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n o f

c o n s u m p t i o n ) a n d t h e t r a d i t i o n a l m e a s u r e o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n

RRA. T h e y

a r g u e d t h a t i n s t e a d o f t h e c a s e o f e x t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n , w h e r e t h e t h r e e m e a -

s u r e s a r e t h e s a m e , i n t h e c a s e o f i n t e r n a l h a b i t f o r m a t i o n

RRAw < RRAc

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