The FermiDirac DistributionElectrons are an example of a type of particle called a fermion. Other fermions include protons and neutrons. In addition to their charge and mass, electrons have another fundamental property called spin. A particle with spin behaves as though it has some intrinsic angular momentum. This causes each electron to have a small magnetic dipole. The spin quantum number is the projection along an arbitrary axis (usually referred to in textbooks as the z-axis) of the spin of a particle expressed in units of h. Electrons have spin , which can be aligned in two possible ways, usually referred to as 'spin up' or 'spin down'. All fermions have half-integer spin. A particle that has integer spin is called a boson. Photons, which have spin 1, are examples of bosons. A consequence of the half-integer spin of fermions is that this imposes a constraint on the behaviour of a system containing more then one fermion. This constraint is the Pauli exclusion principle, which states that no two fermions can have the exact same set of quantum numbers. It is for this reason that only two electrons can occupy each electron energy level one electron can have spin up and the other can have spin down, so that they have different spin quantum numbers, even though the electrons have the same energy. These constraints on the behaviour of a system of many fermions can be treated statistically. The result is that electrons will be distributed into the available energy levels according to the Fermi Dirac Distribution:

where f() is the occupation probability of a state of energy , kB is Boltzmann's constant, (the Greek letter mu) is the chemical potential, and T is the temperature in Kelvin. The distribution describes the occupation probability for a quantum state of energy E at a temperature T. If the energies of the available electron states and the degeneracy of the states (the number of electron energy states that have the same energy) are both known, this distribution can be used to calculate thermodynamic properties of systems of electrons. At absolute zero the value of the chemical potential, , is defined as the Fermi energy. At room temperature the chemical potential for metals is virtually the same as the Fermi energy typically the difference is only of the order of 0.01%. Not surprisingly, the chemical potential for metals at room temperature is often taken to be the Fermi energy. For a pure undoped semiconductor at finite temperature, the chemical potential always lies halfway between the valence band and the conduction band. However, as we shall see in a subsequent section of this TLP, the chemical potential in extrinsic (doped) semiconductors has a significant temperature dependence. In order to understand the behaviour of electrons at finite temperature qualitatively in metals and pure undoped semiconductors, it is clearly sufficient to treat as a constant to a first approximation. With this approximation, the Fermi-Dirac distribution can be plotted at several different temperatures. In the figure below, was set at 5 eV.

From this figure it is clear that at absolute zero the distribution is a step function. It has the value of 1 for energies below the Fermi energy, and a value of 0 for energies above. For finite temperatures the distribution gets smeared out, as some electrons begin to be thermally excited to energy levels above the chemical potential, . The figure shows that at room temperature the distribution function is still not very far from being a step function. Sumber : (http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/semiconductors/fermi.php)

The Fermi-Dirac DistributionThe Fermi-Dirac distribution applies to fermions, particles with half-integer spin which must obey the Pauli exclusion principle. Each type of distribution function has a normalization term multiplying the exponential in the denominator which may be temperature dependent. For the Fermi-Dirac case, that term is usually written:

The significance of the Fermi energy is most clearly seem by setting T=0. At absolute zero, the probability is =1 for energies less than the Fermi energy and zero for energies greater than the Fermi energy. We picture all the levels up to the Fermi energy as filled, but no particle has a greater energy. This is entirely consistent with the Pauli exclusion principle where each quantum state can have one but only one particle.

Fermi-Dirac Details

Sumber : (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/disfd.html)DISTRIBUSI FERMI-DIRAC

Misalkan suatu assembly tertutup dan mengandung sejumlah fermion yang tak saling berinteraksi, dengan energi total . Seperti pada pembahasan statistik sebelumnya, konfigurasi assembly dapat dinyatakan dalam bentuk distribusi sistem pada sejumlah pita energi. Tiap pita mengandung sejumlah keadaan dengan energi yang berada dalam interval dan . Konfigurasi assembly ditandai oleh nilai yang menyatakan jumlah sistem yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai . Karena assemblynya tertutup, maka jumlah total sistem dan energi total haruslah memenuhi syarat

Seperti halnya dengan boson, pertukaran dua fermion tidak akan menghasilkan susunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat dibedakan). Selanjutnya jira terdapat cara menyusun sistem diantara pita energi yang memiliki keadaan, maka jumlah total konfigurasi adalah

yang tentu saja tak lain adalah robot konfigurasi.

Oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka jumlah yang dapat ditempatkan pada suatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika sejumlah sistem telah ditempatkan dalam keadaan, maka terdapat dari keadaan yang masih kosong. Maka banyaknya cara mengisi adalah

Untuk menggambarkan proses pengisian ini, gambar berikut memperlihatkan 3 sistem (digambarkan dengan titik) pada 5 keadaan (digambarkan dengan kotak). Hasil menunjukkan bahwa terdapat 10 cara, nilai ini sesuai jika kita menggunakan rumus 5.3Bobot konfigurasi secara keseluruhan diperoleh dengan mengalikan masing-masing jumlah susunan yang mungkin, yakni

Oleh karena dan cukup besar, maka kita dapat menggunakan pendekatan Stirling

=Mengikuti metode sebelumnya, syarat yang harus dipenuhi adalah

Nilai yang ada dalam tanda kurung haruslah bernilai nol untuk setiap harga manapun

Dari persamaan 5.5

Nilai yang bersesuaian dengan konfigurasi yang memiliki peluang terbesar

Persamaan di atas disebut distribusi Fermi-Dirac untuk assembly fermion.

Bentuk secara umum dikenal dengan nama fungsi Fermi dan umumnya ditulis dalam bentuk

Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substitus dan . dalam persamaan di atas disebut energi Fermi. Jika rapat keadaan dengan energi berada di antara dan , maka jumlah sistem yang berada dalam interval energi tersebut adalah

GAS FERMI-DIRAC

Sebelum membahas lebih jauh perilaku gas yang dibentuk oleh fermion, kita akan menela fungs Fermi dengan fokus pada energi Fermi . Fungsi Fermi pada temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut.

Ketika temperatur mutlak 0, suku memiliki dua nilai yang mungkin.

(i) Untuk dan

(ii) Untuk Maka fungsi Fermi dapat memiliki dua harga yakni

untuk dan

untuk

Hal ini menunjukkan bahwa pada temperatur mutlak nol, peluang bahwa keadaan dengan energi terisi sama dengan satu, dengan kata lain semua keadaan terisi. Sebaliknya bahwa semua keadaan dengan energi kosong. Bentuk fungsi Fermi untuk temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut.

1

0

Sifat fungsi dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut. Pada temperatur mutlak nol, fermion menduduki keadaan dengan energi yang paling rendah. Oleh karena hanya satu fermion yang dapat menduduki satu keadaan, maka keadaan dengan energi paling rendah semuanya terisi sampai semua fermion berada dalam tingkatan energi tersebut. Singkatnya dapat dikatakan bahwa tingkatan energi Fermi adalah tingkatan energi tertinggi yang diduduki oleh fermion pada temperatur mutlak nol, keadaan dengan tingkatan energi di atasnya tidak terisi.

Nilai dapat dicari dari persamaan 5.11 dengan menggunakan syarat bahwa

Oleh karena bentuk fungsi Fermi pada K, untuk , ketika untuk syarat di atas dapat ditulis menjadi

Karena fermion merupakan sistem kuantum maka bentuk fungsi rapat keadaan dapat diambil dari persamaan 4.12 oleh karena momentum sudut spin fermion memungkinkan lebih dari satu keadaan untuk setiap tingkatan energi. Dengan penerapan yang lebih luas ini, misalnya dalam kasus elektron, kita dapat memandang bahwa bilangan kuantum spin magnetiknya dapat berharga dan . Jadi memungkinkan dua keadaan untuk tiap tingkatan energi

dalam sebuah ruang . Persamaan 5.13b menjadi

Secara sederhana kita dapat menghubungkan besaran di atas dengan energi termal dengan mendefenisikan temperatur Fermi melalui hubungan

Dalam tabel berikut disajikan nilai dan untuk berbagai gas Fermi-Dirac ; gas fermion yang dibentuk oleh atom isotop Helium pada tekanan standar dan juga gas elektron dalam logam alkali lithium dan natriumTabel 1. Energi dan temperatur FermiGas

Helium 0,94 x 10-310

Gas elektron dlm lithium4,754.000

Gas elektron dalam natrium2.124.000

Untuk gas molekuler yang mengandung fermion, temperatur Ferminya relatif rendah dibandingkan temperatur kamar normal.

GAS ELEKTRON

Dari tabel 1 nampak bahwa untuk gas elektron temperatur Ferminya relatif tinggi, diperkirakan bahwa kenaikan temperatur dari temperatur mutlak ke nilai di sekitar temperatur kamar hanya akan berpengaruh pada elektron-elektron dengan energi yang dekat dengan energi Fermi. Hal ini ditunjukkan pada gambar berikut dengan asums bahwa dan nilai fungsi Fermi diberikan untuk berbagai harga khusus (yang lebih mudah dihitung).

0,73

0,5

0,27f()

F - kTFF+ kT

Distribusi jumlah elektron ke seluruh tingkatan energi merupakan perkalian antara fungsi distribusi dengan rapat keadaan

Bentuk grafik dapat dilihat pada gambar berikut.

g() ~ 1/2

T = 0

T > 0

Sifat-sifat gas elektron pada temperatur mutlak nol dapat dihitung dari distribusi integral dengan mengambil batas integral dari 0 sampai . Contoh energi rata-rata elektron pada adalah :

sehingga untuk dan untuk ,

nilai diambil dari persamaan 5.14Untuk mencari bagaimana perilaku gas elektron apabila temperatur mutlak dinaikkan (di atas nol), maka pertama perlu dicari energi Fermi sebagai fungsi temperatur. Dengan menggunakan persamaan 5.11 serta syarat kekekalan

Maka

Oleh karena itu kita hanya perlu mencari nilai energi Fermi sebagai batas atas integral. Pendekatan yang dapat diambil adalah . Tingkatan energi Fermi sebagai fungsi temperatur dapat dinyatakan dengan

Untuk , nilai pada temperatur kamar kira-kira sama dengan 8 x 10-5.

Energi rata-rata elektron pada temperatur diperoleh dengan menghitung nilai integral untuk memperoleh

Panas jenis pada volume constan satu mol gas elektron diperoleh dari

Dengan temperatur Fermi pada temperatur kamar nilai panas jenis Kira-kira 0,05 R. Sumber : (hmjfisikauinalauddin.files.wordpress.com/2012/.../statistik_fermi_dirac.distribusion)