The Fractional Derivation. La dérivation fractionnaire

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Jean Jacquelin, "LA DERIVATION FRACTIONNAIRE", 24 mai 2000. Provisional English translation : February 05-2013 1

LA DERIVATION FRACTIONNAIRE pp.1-6

THE FRACTIONNAL DERIVATION pp.7-12

Essai de vulgarisation, d'après : Use of Fractional Derivatives

to express the Properties of Energy Storage in Electrical Networks (1982)

Rapport édité par les Laboratoires de Marcoussis, route de Nozay, 91460, Marcoussis, France.

Les pages 2-6 ont été publiées dans le magazine

QUADRATURE n°40, pp.10-12, octobre 2000

Edité par EDP Sciences, 17 av. du Hoggar, PA de Courtaboeuf, 91944 Les ULIS, France

http://www.edpsciences.org/quadrature/


LA DERIVATION FRACTIONNAIRE

Jean Jacquelin

1. Un vieux paradoxe !

Croyez-vous que les mathématiciens se contenteraient de faire subir à une brave et

honnête fonction f(x) des dérivations successives ...,...,,,2

2

n

n

dx

fd

dx

fd

dx

df?

Ce serait bien mal les connaître !

De même que "la Nature a horreur du vide", "le Mathématicien a horreur du discontinu".

Alors, n'existe-t-il vraiment rien entre n

n

dx

fdet

1

1

+

+

n

n

dx

fd ?

Il faut remonter à 1695 pour trouver dans une lettre de G. W. Leibniz à G. A.

L'Hospital la mention d'une différentielle fractionnaire d1/2

x , qualifiée de "paradoxe

apparent", d'où le titre de cette préface.

Dès le 18ième

siècle, les prémices du concept de dérivation fractionnaire, c'est-à-dire

d'un opérateur de dérivation de degré non entier, apparaissent dans des écrits de L. Euler, de

J.L. Lagrange et, au début du 19ième

siècle, avec P. S. Laplace et N. H. Abel.

Les avancées les plus marquantes sont celles de J. Liouville dans ses multiples

mémoires à l'Ecole Polytechnique entre 1832 et 1835, puis la contribution de B. Riemann en

1847, faisant que les noms de ces deux mathématiciens restent attaché à la fameuse

transformation que nous rappellerons plus loin.

Les développements ont été nombreux depuis lors. La très intéressante compilation

réalisée par le Pr. Ross et publiée dans [1], outre sa valeur historique, montre la diversité et

l'importance des applications récentes. La présente et trop succincte introduction doit

beaucoup à cette bibliographie.

2. La transformation de Riemann-Liouville

Sous sa forme généralisée, la transformation de Riemann-Liouville [2], [3], que nous

identifions à l'opérateur de dérivation fractionnaire de degré (ν), s'exprime par :

( )∫ +

−−Γ=

x

ax

dfxf

dx

d1

)(

)(

1)(

νν

ν

χ

χχ

ν (1)

Nous donnerons plus loin un "aperçu" de la justification de cette formule.

Comme nous allons le voir maintenant, l'opérateur (1) s'étend aux dérivations de degré

négatif, ce qui l'identifie alors à une intégration fractionnaire de degré µ = -ν.


3. L'intégration fractionnaire

Considérons (m) intégrations successives d'une fonction f(x). La formule de Cauchy

[4] donne le résultat sous la forme d'une unique intégrale :

χχχχχχχχ

χ

χ

χχ

χ

χχ

χ

χχ

χ

χ

χ

dfxm

ddddfm

x

mm

mm

m

xm

m

)()(!)1(

1...)(... 1

0

1211

21

01

32

02

1

01

0

−

=

=

−

=

=

=

=

=−

=−

=

=

−−

= ∫∫∫∫∫

Sachant que )(!)1( mm Γ=− , de là à remplacer m, entier, par µ, réel, il n'y a qu'un pas que

nous franchirons allègrement, sans plus nous préoccuper de bien des contingences ! Ainsi

donc, l'intégrale de degré µ se présenterait sous la forme suivante:

χχ

χ

µχχχ

µχχ

µ

µ

µµ dx

fx

dfx

x

df

x

1

1

)(

)(

0)(

1)()(

0)(

1)()(

)(

0+−

−

−Γ=−

Γ=

∫∫∫

Oh, merveille ! nous retrouvons l'opérateur de dérivation fractionnaire (1) avec le

degré (-µ ) au lieu de (ν). C'est dire que l'intégration n'est autre que la dérivation avec un

degré de signe contraire et réciproquement.

Ceci fait que le nom de "differintégration" est parfois, et à juste titre, employé.

4. Justification sommaire

Les premières justifications de l'identification l'opérateur de dérivation fractionnaire à

la transformation de Riemann-Liouville ont été apportées en travaillant sur le développement

en série de Taylor de f(x). C'est un exercice délicat de passage aux limites dans le cas ν>-1,

plus aisé dans le cas le l'intégration fractionnaire proprement dite. Contentons nous d'une

"vérification" formelle et triviale, dans le cas le plus simple, soit µ>1 : La dérivation, au sens

habituel, de (1) par rapport à x donne (avec ν=-µ) :

( )

( ) ( ) χµ

χχχµ

µ

χ

χχ

µ

µµ

µdxfxx

x

adfx

x

a x

df

dx

d)(

)(

1)(

)(

1)(

)(

1 12

1

−−

+−−

Γ+−

Γ

−=

−Γ ∫∫

( ) ( )∫∫ +−+−

−−Γ=

−Γ

x

a x

dfx

a x

df

dx

d21

)(

))1(

1)(

)(

1µµ

χ

χχ

µχ

χχ

µ (2)

En effet, la fonction Gamma a la propriété suivante: )1()1()( −Γ−=Γ µµµ et il n'y a aucune

ambiguïté sur 0)( 1 =− −µxx pour µ>1.

Ainsi, on voit dans (2) que la dérivation simple ne modifie pas la forme de l'expression

et remplace simplement µ par (µ-1), ce qui montre la récursivité de l'opération.


5. Une bien déconcertante borne inférieure

N'avez-vous pas remarqué dans ce qui précède, ho! lecteur vigilant!, qu'une question

embarrassante a été éludée ? Voyez-vous, cette petite lettre (a), en bas du signe somme, dans

l'équation (1) : C'est bel et bien une borne inférieure, arbitraire, d'intégration.

Cela ne surprendra personne dans le cas d'intégrations successives, voire d'intégration

fractionnaire. Mais, quid de la dérivation ? Et bien, oui, il va falloir s'y habituer : la dérivation

fractionnaire dépend aussi d'une constante arbitraire, tout comme l'intégration.

Généralement et conventionnellement, on fixe a=0, ce qui est parfois sous-entendu

lorsque la notation ne le précise pas. Mais il ne faudrait pas voir là une règle absolue. Par

exemple, l'utilisation de la transformation de Weyl [5], pour laquelle ∞−=a , permet

d'importantes simplifications, en particulier dans le cas de fonctions périodiques.

On constate donc que la notation )(xfdx

dν

ν

est ambiguë puisqu'elle ne précise pas de

paramètre (a). Au contraire, la notation νχχ

ν

−

−

∫ )()(

)(

df

x

a

est sans ambiguïté, mais

elle est lourde et rarement employée. Notons la peu "médiatique" mais concise notation ν

xaD

Quand aux notations avec des points ou des apostrophes, du genre *

f ou ''f , il n'en est plus

question, n'en déplaise aux partisans du moindre effort ! Pour eux, nous proposons )()(

)( xf a

ν .

6. Exemples

On trouve des listes étendues de fonctions avec leurs transformées de Riemann-

Liouville dans [1], [6], plus rarement dans les handbooks de fonctions spéciales, par exemple

dans [7].

Le lecteur pourra lui-même retrouver les résultats suivants (a=0):

( ) ν

ν

ν

ν

−

−+Γ

+Γ= bb

xb

bcxc

dx

d

)1(

)1(

( ) bxbxe

bxbcec

dx

d

−Γ

−Γ−=

)(

),(1

ν

νν

ν

ν

dans laquelle Γ(-ν,bx) est la fonction gamma incomplète [9]

Les transformées des fonctions sinusoïdales comportent des termes dans lesquels

figurent les fonctions de Fresnel généralisées [9], [10]. Ceci est en relation avec le choix de la

constante d'intégration (a). Ces termes compliqués s'évanouissent lorsque ∞−→a .

Ainsi, dans le cas de la transformation de Weyl ( ∞−=a ), on trouve plus simplement

bν

ebx

transformée de ebx

, ou encore bν

Sin(bx+νπ/2) transformée de Sin(bx).


7. Applications

La dérivation fractionnaire non seulement a des applications importantes en

mathématiques pures (citons Erdélyi et Higgings, parmi nombre d'auteurs), mais également

intéresse de vastes domaines des sciences physiques. Heaviside fut un précurseur génial qui ,

dès 1920, l'utilisa dans ses recherches sur la propagation électromagnétique [11]. De

nombreux exemples sont cités dans [1], concernant rhéologie, diffusion, hydrodynamique,

thermodynamique et récemment l'électrochimie.

Sans s'appesantir sur ces sujets (ici quelque peu hors de sujet ! ), les étudiants

concernés par des notions de base sur les circuits électriques peuvent être intéressés par une

amusante généralisation [10], grâce à la dérivation fractionnaire, telle qu'apparaissant sur le

tableau suivant. Il s'en déduit des conséquences remarquables sur les réseaux constitués par

des séries de ces composants, et sur les calculs de circuits équivalents.

CAS GENERAL

I = f(t)

Cas du courant sinusoïdal

I=Ip Sin(ωt) ; V=Vp Sin(ωt+ϕ)

Types de

composants

fondamentaux Lois physiques

fondamentales

Degré de

dérivation

Coefficient

Angle de

déphasage

Impédance

complexe

INDUCTANCE ( L ) dt

dILV =

ν = +1

Pϕ = L 2

πϕ +=

Z = L i ω

RESISTANCE ( R )

IRV =

ν = 0

Pϕ = R

0=ϕ

Z = R

CAPACITE ( C )

∫= dtIC

V1

ν = -1 C

P1

=ϕ 2

πϕ −=

ωiCZ

1=

Généralisation :

"PHASANCE"

( Pϕ ) ν

ν

ϕdt

IdPV =

ν

Pϕ νπ

ϕ2

=

πϕ

ϕ ω /2)(iPZ =

Et comme dernière touche à cette description, certes très provisoire, voici que la toute

nouvelle géométrie fractale ( nouvelle à l'échelle des siècles…) n'a pas échappé à la tentation

d'utiliser la dérivation fractionnaire ! (notez bien : dérivation fractionnaire et non encore

fractale, Dieu merci ! ).


REFERENCES :

[1] Keith B.Oldham, Jerome Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press,

New York, 1974.

[2] Joseph Liouville, Sur le calcul des différentielles à indices quelconques, J. Ecole

Polytech., v.13, p.71, 1832.

[3] Bernhard Riemann, Versuch einer allgemeinen auffasung der integration und

differentiation, 1847, Re-édit.: The Collected Works of Bernhard Riemann,

Ed. H. Weber, Dover, New York, 1953

[4] Augustin L. Cauchy, Œuvres complètes, 1823, cité par R. Courant, D. Hilbert,

Methods of Mathematical Physics, Ed. J.Wiley & Sons, New York, 1962.

[5] Hermann Weyl, Bemerkungen zum begriff des differentialquotienten gebrocherer

ordnung, Viertelschr. Naturforsh. Gesellsch., Zürich, v.62, p.296, 1917.

[6] Harry Bateman, Tables of Integral Transforms, Fractional Integrals, Chapt.XIII,

Ed. Mc.Graw-Hill, New-York, 1954.

[8] Jerome Spanier, Keith B.Oldham, An Atlas of Functions, Ed. Harper & Row,

New York, 1987.

[9] Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Ed.

Dover Pub., New York, 1970.

[10] Jean Jacquelin, Use of Fractional Derivatives to express the properties of Energy

Storage Phenomena in electrical networks, Laboratoires de Marcoussis, Route de

Nozay, 91460, Marcoussis, 1982.

[11] Oliver Heaviside, Electromagnetic Theory, 1920, re-édit.: Dover Pub., New York,

1950.


THE FRACTIONNAL DERIVATION

( provisional translation )

General-public essay, issued from : Use of Fractional Derivatives

to express the Properties of Energy Storage in Electrical Networks (1982),

technical report edited by

"Les Laboratoires de Marcoussis", route de Nozay, 91460, Marcoussis, France.

The French version was published in the magazine QUADRATURE

n°40, pp.10-12, october 2000, Edited by EDP Sciences,

17 av. du Hoggar, PA de Courtaboeuf, 91944 Les ULIS, France

http://www.edpsciences.org/quadrature/


THE FRACTIONNAL DERIVATION

Jean Jacquelin

1. An old paradox!

Do you believe that the mathematicians would content with subject to successive

derivations ...,...,,,2

2

n

n

dx

fd

dx

fd

dx

dfof a nice and fair function f(x) ? It would be not well

knowing them!

Just as “Nature abhors a vacuum”, the Mathematician abhors the discontinuity.

Then, does nothing exists between n

n

dx

fdand

1

1

+

+

n

n

dx

fd ?

It is necessary to go back up to 1695 to find a letter of G.W.Leibniz to G.A.L’Hospital

in which a fractional differential d1/2

x is mentioned and qualified as “apparently

paradoxical”. Hence, the title of this preamble.

From the 18th century, the beginning of the concept of fractional derivation, that is an

operator of derivation of not integer degree, appears in papers of L.Euler, of J.L.Lagrange

and, early in the 19th century, of P.S.Laplace and of N.H.Abel.

The most striking advances are the ones of J.Liouville in several of it’s reports to the

Ecole polytechnique in Paris, between 1832 and 1835, then the contribution of B.Riemann in

1847, making that the names of these two mathematicians remain attached to the famous

transform which we shall remind farther.

The developments were extensive since then. Besides its historic value, the very

interesting compilation by Pr. Ross and published in [1] shows the diversity and the

importance of the recent applications. The present and too brief preamble owes to this

bibliography a lot.

2. The Riemann-Liouville transform

Under its generalized form, the expression of the Riemann-Liouville transform [ 2, 3 ],

which we identify to the operator of fractional derivation of degree (ν), is :

( )∫ +

−−Γ=

x

ax

dfxf

dx

d1

)(

)(

1)(

νν

ν

χ

χχ

ν (1)

We shall give farther a "outline" of the justification of this formula.

How we are now going to see, the operator ( 1 ) extends to the derivations of negative degree,

what identifies it then with a fractional integration of degree µ = -ν.


3. The fractionnal integration :

Let us consider ( m ) successive integrations of a function f (x). The Cauchy’s formula [ 4 ]

gives the result on the form of only one complete integral :

χχχχχχχχ

χ

χ

χχ

χ

χχ

χ

χχ

χ

χ

χ

dfxm

ddddf m

x

mm

mm

m

xm

m

)()(!)1(

1...)(... 1

0

1211

21

01

32

02

1

01

0

−

=

=

−

=

=

=

=

=−

=−

=

=

−−

= ∫∫∫∫∫

Knowing that )(!)1( mm Γ=− , from there is only a step to replace the integer m, by the real µ

so that we make the leap cheerfully, without worrying us more about many contingencies! So,

the integral of degree µ would appear under the following form:

χχ

χ

µχχχ

µχχ

µ

µ

µµ dx

fx

dfx

x

df

x

1

1

)(

)(

0)(

1)()(

0)(

1)()(

)(

0+−

−

−Γ=−

Γ=

∫∫∫

Oh, marvel we find again the fractionnal derivation operator (1) with degree (-µ) instead of

(ν). It is to say that the integration is nothing else that the integration with opposite degree and

reciprocally.

This is why the name of " differintégration " is sometimes, and rightly, used.

4. Summary rationales The first justifications of the identification of the fractional derivation operator with

the Riemann-Liouville operator were brought by working on the Taylor’s series development

of f(x). It is a tricky exercise of passage in the limits in the case ν>-1, easier in the case the

fractional integration itself. Let us satisfy ourselves with only a formal and trivial "checking",

in the simplest case, i.e. µ > 1: In the usual sense, the derivative of (1) relatively to x, with ν=-

µ, leads to :

( )

( ) ( ) χµ

χχχµ

µ

χ

χχ

µ

µµ

µdxfxx

x

adfx

x

a x

df

dx

d)(

)(

1)(

)(

1)(

)(

1 12

1

−−

+−−

Γ+−

Γ

−=

−Γ ∫∫

( ) ( )∫∫ +−+−

−−Γ=

−Γ

x

a x

dfx

a x

df

dx

d21

)(

))1(

1)(

)(

1µµ

χ

χχ

µχ

χχ

µ (2)

Indeed, the function Gamma has the following property: )1()1()( −Γ−=Γ µµµ and there is

not any ambiguity on 0)( 1 =− −µxx in case of µ > 1.

So, we see in (2) that the usual derivation does not modify the pattern of the

expression and only replaces µ by (µ-1), what shows the recursion of the operation.


5. A very disconcerting lower limit of integration In what precedes, didn’t you notice, ho! watchful reader!, that an awkward question

was evaded? See this small letter (a), at the bottom of the integral symbol, in the equation (1):

Indeed, it is an arbitrary lower limit of integration.

This will surprise nobody in the case of successive integrations, even fractional

integration. But, what about the derivation? And well, yes, this is going to need to become

used to it: the fractional derivation also depends on an arbitrary constant, quite as the

integration.

Generally and formally, we set a = 0, what is sometimes implicit when the notation

does not specify it. But one shouldn’t see an absolute rule there. For example, the use of the

Weyl’s transform [5], in which ∞−=a , allows important simplifications in the particular case

of periodic functions.

We thus notice that the notation )(xfdx

dν

ν

is ambiguous because she does not specify

parameter (a). On the contrary, the notation νχχ

ν

−

−

∫ )()(

)(

df

x

a

is without ambiguity,

but it is heavy and so, does not get used.

Let us note the few media but concise notation νxa

D . About the notations with points or

apostrophes, of kind *

f ou ''f , it is now out of the question, displeases the very lazy

persons there! For them, we propose )()(

)( xf a

ν.

6. Examples We find extended lists of functions with their Riemann-Liouville transforms in [1, 6],

more rarely in the handbooks of special functions, for example in [7].

The reader can himself find the following results (a = 0):

( ) ν

ν

ν

ν

−

−+Γ

+Γ= bb

xb

bcxc

dx

d

)1(

)1(

( ) bxbxe

bxbcec

dx

d

−Γ

−Γ−=

)(

),(1

ν

νν

ν

ν

in which Γ(-ν, bx) is the Incomplete Gamma function [9]

The transforms of the sinusoidal functions include terms in which the Generalized Fresnel

functions [ 9, 10 ] appear. This is in connection with the choice of the lower limit of

integration (a). These complicated terms faint when ∞−→a .

So, in the case of the Weyl transform ( ∞−=a ), we find more simple terms :

The transform of ebx

is bν

ebx

and the transform of sin(bx) is bν

sin(bx+νπ/2)


7. Applications The fractional derivation not only has important applications in pure mathematics (let

us quote Erdélyi and Higgings, among number of authors), but also interests vast domains of

the physical sciences. Heaviside was a brilliant precursor who, from 1920, used fractional

calculus in the researches on the electromagnetic propagation [ 11 ]. Numerous examples are

quoted in [1], concerning rheology, diffusion, hydrodynamics, thermodynamics and recently

the electrochemistry.

Without dwelling on these subjects (here a little outside subject!), the students

concerned by basic notions on electric networks can be interested in a generalization [10],

thanks to the fractional derivation, such as appearing on the following table. It had remarkable

consequences on networks made of associations of these components, and on calculations of

equivalent circuits.

GENERAL CASE I = f(t)

Case of sinusoïdal curent I=Ip Sin(ωt) ; V=Vp Sin(ωt+ϕ)

Kind of basic components

Fondamentales physical laws

dérivation degree

Coefficient

Phase angle

Complex impédance

INDUCTANCE ( L ) dt

dILV =

ν = +1

Pϕ = L 2

πϕ +=

Z = L i ω

RESISTANCE ( R )

IRV =

ν = 0

Pϕ = R

0=ϕ

Z = R

CAPACITE ( C ) ∫= dtI

CV

1

ν = -1 C

P1

=ϕ 2

πϕ −=

ωiCZ

1=

Generalization : "PHASANCE"

( Pϕ ) ν

ν

ϕdt

IdPV =

ν

Pϕ νπ

ϕ2

=

πϕ

ϕ ω /2)(iPZ =

And as last touch in this description, certainly very provisional, now the quite new

fractal geometry (“new” on the scale of centuries) did not escape the temptation to use the

fractional derivation! (Note, please: fractional derivation and not yet fractal derivation, thank

goodness!).


REFERENCES :

[1] Keith B.Oldham, Jerome Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press,

New York, 1974.

[2] Joseph Liouville, Sur le calcul des différentielles à indices quelconques, J. Ecole

Polytech., v.13, p.71, 1832.

[3] Bernhard Riemann, Versuch einer allgemeinen auffasung der integration und

differentiation, 1847, Re-édit.: The Collected Works of Bernhard Riemann,

Ed. H. Weber, Dover, New York, 1953

[4] Augustin L. Cauchy, Œuvres complètes, 1823, cité par R. Courant, D. Hilbert,

Methods of Mathematical Physics, Ed. J.Wiley & Sons, New York, 1962.

[5] Hermann Weyl, Bemerkungen zum begriff des differentialquotienten gebrocherer

ordnung, Viertelschr. Naturforsh. Gesellsch., Zürich, v.62, p.296, 1917.

[6] Harry Bateman, Tables of Integral Transforms, Fractional Integrals, Chapt.XIII,

Ed. Mc.Graw-Hill, New-York, 1954.

[8] Jerome Spanier, Keith B.Oldham, An Atlas of Functions, Ed. Harper & Row,

New York, 1987.

[9] Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Ed.

Dover Pub., New York, 1970.

[10] Jean Jacquelin, Use of Fractional Derivatives to express the properties of Energy

Storage Phenomena in electrical networks, Laboratoires de Marcoussis, Route de

Nozay, 91460, Marcoussis, 1982. (Out of print)

[11] Oliver Heaviside, Electromagnetic Theory, 1920, re-édit.: Dover Pub., New York,

1950.

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The Fractional Derivation. La dérivation fractionnaire