15
The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems Mandar K. Chati a,1 , Subrata Mukherjee a, * , Glaucio H. Paulino b a Department of Theoretical and Applied Mechanics, Kimball Hall, Cornell University, Ithaca, NY 14853-1503, USA b Department of Civil and Environmental Engineering, University of Illinois, Newmark Laboratory, 205 N. Mathews Avenue, Urbana, IL 61801, USA Received 23 August 2000; accepted 25 January 2001 Abstract The Boundary Node Method BNM) represents a coupling between Boundary Integral Equations BIEs) and Moving Least Squares MLS) approximants. The main idea here is to retain the dimensionality advantage of the former and the meshless attribute of the latter. The result is a `meshfree' method that decouples the mesh and the interpolation procedures. The BNM has been applied to solve 2-D and 3-D problems in potential theory and linear elasticity. The Hypersingular Boundary Element Method HBEM) has diverse important applications in areas such as fracture mechanics, wave scattering, error analysis and adaptivity, and to obtain a symmetric Galerkin boundary element formulation. The present work presents a coupling of Hypersingular Boundary Integral Equations HBIEs) with MLS approximants, to produce a new meshfree method Ð the Hypersingular Boundary Node Method HBNM). Numerical results from this new method, for selected 3-D problems in potential theory and in linear elasticity, are presented and discussed in this paper. q 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Boundary element method; Boundary mode method; Hypersingular integrals; Potential theory; Linear elasticity 1. Introduction Conventional computational engines such as the Finite Difference Method FDM), Finite Element Method FEM), and the Boundary Element Method BEM) require meshing of either the domain FEM and FDM) or the surface BEM) of a solid body. Although signi®cant progress has been made in 3-D meshing algorithms see Mackerle [1]), the task of meshing a 3-D object with complicated geometry can be arduous, time consuming, computationally cumbersome and expensive. Such short- comings are greatly ampli®ed when one considers problems with changing geometry such as crack propagation, ®nite deformation, and phase change or shape optimization. The main dif®culty in these problems is the task of re-meshing a 3-D object many times during a solution process. 1.1. Meshfree methods In recent years, novel computational algorithms have been proposed that circumvent some of the problems asso- ciated with 3-D meshing. These methods have been collec- tively referred to as `meshfree' or `meshless' methods. Nayroles et al. [2] proposed a method called the Diffuse Element Method DEM). The main idea of their work is to replace the usual FEM interpolation by a `diffuse approx- imation'. Their strategy consists of using a moving least- squares approximation scheme to interpolate the ®eld vari- ables Ð these are called MLS interpolants in Ref. [2] called MLS approximants in this work). Nayroles et al. [2] have applied the DEM to 2-D problems in potential theory and linear elasticity. Meshfree methods proposed to date include the Element- Free Galerkin EFG) method Belytschko et al. [3]), the Reproducing Kernel Particle Method RKPM) [4], h ± p clouds [5±7], the Meshless Local Petrov-Galerkin MLPG) approach [8,9], the Local Boundary Integral Equation LBIE) method [10], the Natural Element Method NEM) [11], the Generalized Finite Element Method GFEM) [12] Ð see Moe Ès et al. [13] for related work) and the Boundary Node Method BNM). The main idea in the EFG method is to use Moving Least Squares MLS) approximants to construct the trial functions used in the Galerkin weak form. A wide variety of problems have been solved using the EFG method. In the introductory paper by Belytschko et al. [3], the EFG method was applied Engineering Analysis with Boundary Elements 25 2001) 639±653 0955-7997/01/$ - see front matter q 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S0955-799701)00040-6 www.elsevier.com/locate/enganabound * Corresponding author. Tel.: 11-607-255-7143; fax: 11-607-255-2011. E-mail address: [email protected] S. Mukherjee). 1 Present address: General Electric, Corporate Research and Develop- ment, Schenectady, NY 12301.

The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

��� �������� ������� �� �� ���� ���� ������ �� ���������������������� ����� ��� ���� �������� �������

����� �� �������� � ���� � ���������� �� �� !� "� ����

����������� ������ ��� ��� ���� �� ������ ��� � ����� ����� ������ �� ���� ��� ������� �� � !"#$�"%#� �&������������ � � � ��� '�� �������� '�( ���� �(� �� ���� �� ��� � �� ��)���* +�������� ,%" �- �����)� ����.�� ������� �+ /�!%�� �&�

#���$�� %& ' � �� %((() �������� %* +�� �� %((�

��������

��� ,� ���� -��� ������ .,-�/ �������� � �� ���� ���0��� ,� ���� 1������ 23 ����� .,12�/ ��� ��$�� 4���� �3 ��� .�4�/

����5������ ��� ��� ��� ��� � �� ���� ��� ����������� ��$������ �� ��� ���� ��� ��� �������� ���� �� �� ��� ������ ��� �� �� �

� 6�������7 ������ ���� ���� ���� ��� ���� ��� ��� ���������� ����� ��� ��� ,-� ��� ���� ������ �� ���$� %�8 ��� &�8 ������� �

�������� ����� ��� ���� ��������� ��� !������ �� ,� ���� 2������ ������ .!,2�/ ��� �$��� ������� ���������� � ����

� �� �� ���� � ��������� 0�$� ��������� �� ������� ��� �����$��� ��� �� ����� � ������� ����� �� ���� ������� ��� ������

��� ������ 0�� ������� � �� ���� �� !������ �� ,� ���� 1������ 23 ����� .!,12�/ 0�� �4� ����5������ �� ��� �� � ��0

������� ������ 9 ��� !������ �� ,� ���� -��� ������ .!,-�/� - ����� �� ��� ��� ��� ��0 ������� �� �������� &�8

������� � �������� ����� ��� � ���� ��������� �� �������� ��� ��� ���� � ��� ����� � %((� 2���$� ������ 4��� '�� ����

���$���

���)���: ,� ���� ������� ������) ,� ���� ���� ������) !������ �� �������) "������� �����) 4��� ��������

� ���� ������

���$������� ���� ������� ������ � �� �� ��� ;���

8������� ������ .;8�/� ;��� 2������ ������

.;2�/� ��� ��� ,� ���� 2������ ������ .,2�/ �3 �

������ �� ���� ��� ����� .;2� ��� ;8�/ � ���

� ���� .,2�/ �� � ���� ����� '���� �� ���<����

������ ��� ���� ���� � &�8 ������ �������� .���

������� =�>/� ��� ���� �� ������ � &�8 ������ 0��

���������� ������� ��� �� �� � �� ��� ���� ����

���� ��������� � ������� ��� �5����$�� � �� �����

������ �� ������ ����<�� 0��� ��� ������� �������

0�� ������� ������� � �� �� ���� ���������� <���

���������� ��� ����� ������ � ����� ����?����� ���

��� ��<� ��� � ����� ������� � ��� ���� �� �������� �

&�8 ������ ���� ���� � �� � ��� ��� �������

�-�- ������� ������

1� ����� ����� ��$�� ���� ������� �������� ��$�

���� ������� ���� �� �$��� ���� �� ��� ������� �����

����� 0�� &�8 ������� ����� ������� ��$� ���� �������

�$��� ����� �� �� 6�������7 � 6��������7 ��������

-������ �� ��� =%> ������� � ������ ������ ��� 8�� ��

2������ ������ .82�/� ��� ��� ��� �� ��� 0�� �

�� ������ ��� � �� ;2� ���������� �� � 6��� �� ����5�

�����7� ��� ������� ������� �� ��� � ��$�� ������

�3 ��� ����5����� ������ �� ��������� ��� <��� $��

����� 9 ����� �� ������ �4� ���������� � #��� =%>

.������ �4� ����5����� � ��� 0��/� -������ �� ���

=%> ��$� ������ ��� 82� �� %�8 ������� � ��������

����� ��� ���� ���������

������� ������� ������� �� ���� ��� �� ��� 2�������

;�� ����� .2; / ������ .,��������� �� ��� =&>/� ���

#���� ��� ����� "����� ������ .#�"�/ =@>� �A�

��� �� =*AB>� ��� �������� 4���� "���$� �����

.�4" / ������� =C�D>� ��� 4���� ,� ���� 1������

23 ���� .4,12/ ������ =�(>� ��� -�� �� 2������ ������

.-2�/ =��>� ��� �����?�� ;��� 2������ ������

. ;2�/ =�%> 9 ��� ���E� �� ��� =�&> �� ������ 0��/

��� ��� ,� ���� -��� ������ .,-�/� ��� ��� ��� �

��� 2; ������ � �� �� ��$�� 4���� �3 ��� .�4�/

����5����� �� ����� �� ��� ��� � ������ ��� � ���

����� 0��� ���� ' 0�� $���� �� ������� ��$�

���� ���$�� ��� ��� 2; ������� 1� ��� ���� ����

���� �� ,��������� �� ��� =&>� ��� 2; ������ 0�� ������

2������� '������ 0�� ,� ���� 2������� %* .%((�/ F&DAF*&

(D**�BDDBG(�GH � ��� ���� ����� � %((� 2���$� ������ 4��� '�� ���� ���$���

"11: �(D**�BDDB.(�/(((@(�F

000�����$�����G������G�������� ��

� ���������� � ���� ����:���F(B�%**�B�@&) ��5:���F(B�%**�%(���

'$�� � �������0 ��C*I��������� .�� � ������/�� "����� ������: ����� 2������ ������� #������ ��� 8�$�����

����� ������������ -J �%&(��

Page 2: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

�� %�8 ������� � ���� �������� ��� ���� ���� �����

���� ����� ��� ������ ��� ���� ������� �� �5������ ��

���$� ������� � ��������������� =�@>� ���� � ��������

=�*>� ���� ��0�� =�F��B>� ������ ���� � =�C��D�%(>�

������������� ���� � �������� =%��%%>� ����� ������

=%&>� ��� ������ =%@>� ��� �����$�� ������� ��� �����

����?���� =%*>� ' ������ �� � �� ��� �� ��� ���.���

������ � ���� �� ������ �� ��� '�( ���� �( �������

�$�0 ������ �� ,��������� �� ��� =%F> ��� 4 �� ���

=%B>� � ������ �� $�� � ���� ������ ����� �� �����

���� �������� '����� �� �� �� �������� �� ��� #�"�

� �� �$�$�0 ����� �� 4 �� ��� =%C>�

�-,- ������ �(.��� 1.����� '������ ����� 2�1'�3

!������ �� ,� ���� 1������ 23 ����� .!,12�/ ��

��$�� ��� � ����������� $���� �� ��� � �� �� ����

������ �3 ����� .,12�/� !,12� ��$� �$��� �������

���������� ��� �� ��� � ����� �� ���������� � ���

������ .���� �� �5������ =%DA&%> �� ����� � $��� ��

��� <���/� !,12�� �� �5������ ��$� ���� �������� �� ���

�$�� ���� �� �� ���� ������� .���� =&&A&F>/� � 0�$� �����

���� .���� =&B>/� � ���� � �������� .���� =&��&CA@�>/� ��

����� ������� ����� �� ���� ������� ��� ������

.���� =@%A@*>/� �� ����� ��� ������� �� �� ���� �����

������ =@F�@B>� ��� �� �� ������� =@CA*%> ��� �����$��

.=*��*%>/� ' �$��� ������ .���� =*&�*@>/� �� ����������

�3 ������ �� �� ���� $������ �� ���������� ��

!,12 �� ��� �� ���� �� � ����� ��� ��������� ����

����� ��� ������� =**>� ��� ���� #��� =*%>/�

�-#- 1��

� ������ ��� � ������ =*F> ��$� ������� ������� �

������� ������ ������ ��� ,-�� ��� ,-� ��� ���� ���

�� %�8 ������� � �������� ����� =*F> ��� ���� ������

��� =*B>� �� &�8 ������� � �������� ����� =*C> ���

���� �������� =*D>� ��� �� �� ������� ��� �����$��

=*�>� ��� ������ � � ��������� �� ��� �4� ����5���

��� ������ ��� ��� ������� ,12 ������� ��� ������

�$���� ��� �������� �� ���� ���0��� ������ ���

���?���� .������/ ��� ���������� �� �������� ����

���� � ��� ;2� � � ��� ,2�� 1������� � 6��� ��7

����5������ ����� �� �4� ����5������ � ��� ��

������� ��� ����0� � ������) ��� � ���� ������ 0�� �

$�� K�5��� �� �� � .���� ��� ���� ��� �� ������ � ��

�$��� 0��� � �������� �� �������/� �� ��� ��

�������� .;�� �/� �� �� ��� ,-� ����� ��� ��������

���� �.�� ��� '45 ����� ��� ��� � ���� ��� �� �����$

��(� ��� 1'�� '� � �����3 ����� ��� ,-� ���� �3 ��

��� ����<����� �� � ��� � ��� ,$� �.�� �( �.���� �� �

&�8 ���� .��� ��� ���� ����� � ���� � ��������

�������/� ������� 0�� ��� �� �� � ���� ������ ������

��������� �������� ��� ������ ������ ���� ��� ����

����� �� ��$� ���� 1� �������� ��� ;2� ����� $�� ��

������� ��� ,2� ����� � ���� ������� ��� ��� 2;

����� ����� ��� ��� � ��� ����� �� � �����

�- - 6.�� �� �� � �����

��� !,-� � ������� �� ������� ��� !,12 �� �

�$�� �� ���� $�� � ������ 0�� �4� ����5������

��� !,-� � ��$�� ��� ��� �������� !,12� ��

�������� ����� ��� �� ���� ��������� ��� � ���� � ���

����� ���������� � ��� ������ �����

��� ���� � ����?�� �� �����0�� ' ��� ����� �

�$�0 � ��$��� � ��� ������� -�5�� ������ %

������� �4� ����5������ ��� ��� � �����3 � ��

�$�� ���� �� ��������� ��$��$�� �� ��� �� �����

������ & �$�0� ��� ������� ,12 �������� � ���

�������� ���������������� ,2�� ��� ������ @ ��

���������� �������� $���� ������ ��� ,-��

������ * ������� ��� !,12 ��� ������ F ���

!,-�� 0��� � ������� ��� ��� ����������

!,12� - ����� �� ��� ��� ��� !,-�� �� �������

� �������� ����� ��� � ���� ��������� �� ��������

� ������ B� ��$��� ������� �� ��� !,-�� � �� ��

������ �� ���������� ������ ���������� �� ������

���� ���� �� �K ���� �� ������ ��� ��� �� ������

������ ��� ��� ��� ���$������ �������� �� �$���

������ � ������ B� ;������ ���� ����� ��� �����

�� �������� � ������ C� '�����5 ' ��������� ���

�����

� ������� ������������

' ��$�� �������3 ��� .�4�/ ����5����� �������

��� � $���� ��������� �� ��� � ���� �� � &�8 ����

����� � � ����� �� ��� ,-�� � �� � ������ �� �������

� �������� ����� =*C> ��� �� ���� �������� =*D> �

��K� ������� ��� ��� �������� � ��� ��������� ���

� ����� ������� ���� �����0�

,-�- �+& ����7 �����

1� � ��� ��� ����� �� &�8 �������� ��� �� ���� � ����

�1 �� � ���� ���� � ��� ��� �� ����0�� ������

�������� ������ ������� L� ���� ������ ��� ��<��� � ����

� $���� ��������� .��� �%/� ;� &�8 ������� � ��������

������ ��� . �� ��� �������� � ����� ��� � � �.��� ��� K 5�.!�� � � �� �� � �0�� ����� �� �1 �� � ���� �� �/� ;�

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"#F@(

;�� �� ,-� � !,-� �� � ���� �� �� �: ����� ��� ���������� ������

Page 3: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

&�8 ���� ��������� ��� . ������ � ��������� �� ��� ��������

���� $����� ��� � �� � ��������� �� ��� ������ $���� � ���1� L�� ��<���:

.��� ��� ��

� ��� �'�� � �� ��� �'���

���� ��� ��

� ��� �'�� � �� ��� �'������

��� �������� � .��� ����0/ �� �$�� ���� � �����

��������� ��� � �'� � �% � �'% �� 0��� ��'� � �'% � �� ��� ��������������� �� �� �$�� ���� ���� '� 1� � ������� �� �����

��� ���� � ��� � �� ��� ���������� ��� � ������� ������

������ �� �������� ����� ��� ���� 6�4�7 ���� ���

��� ���� ���� ��� 3 ������ � ��� � �� ��� ���������� ���

����� � � ��� � ��� �� �������� � ��� ���� ��� ��

. ��� � � M ����� ����5������ �� �5������ �� �� ������:

�� ����� ��%� � ��� ���� ��%� ��%�� ��%%� ��� ��%��

� � F� �� � � � �' � � �� %��%�

��� ����<����� � � ��� � �� ������� �� ���?�� ���

0������ ������ +, ����:

;. ������

)������� ��� � �'��� �.��%�

;� ������

)������� ��� � �'��� �� ��%��&�

0��� ��� � ������ � ���� � � �$� ��� � �� ����

����� �� 0��� ��� 0���� � ����� ����<�� ��� ��3 ����

)�.�/� (� .N���� � ������ �� ��<��� � ������ %�&/�

��� 3 ����� � � (��� ��� � ��� ������ �� ��� ������� ���1 ���0��� � ��� ��� ����� � ����� �� ��� �� �� 0��� �������� �� ���������� �� � ���� � .�$�� ���� ���� ' �;�� %.�//� '���� ���� � �'� � �

�% � �'% � �� ��� ����� � ���� ����

������ �� ��� �� ���� ����� 0�� ������ �� ��� �$�� ����

����� �' � ��'� � �'% � ��� �.� ��� �� � �� ��� ����5������ ����� ����� $�� �� .� ��� � �� ����� �3 ����� ���$� ��� ��

�0���� � ������� ��� ��:

;. � ����� � �'��� �������� �������� � �'��� ���� �@�

;� � ����� � �'��� �������� �������� � �'��� ���� �*�0��� ��� � � �.�� �.%�<� �.��� ��� � � ���� ��%�<� ����� ����� �

�� � � � ���5 0���� *�� �0 �:

��� �%��*�� �*%��<� ����*�� �*%����� �.����/ � �� � � � ������� ���5 0�� )** � )*���.�� � � �$� */� ' ������ 0���� � ����� )�.�/ � ���0� �

;�� %.�/ ��� � ��� ���� � ������ %�&�

��� ��������� �� ;. ��� ;� � 0�� ������ �� � ��� ��

������$���� ����� �� ��� �3 �����:

���� � ���������� ��� ���� ����������� �� � �F�

0���

���� � �� ��� � �'����� ������� � �'��

���� ��� ��� � �'����� �����B�

1� � ����� ��� ���$� ���� ��� ����<����� � ��� � � �

� � �� �� � ������ �� ��

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"# F@�

;�� %� 8���� �� ���������� ��� ���� �� �K ����� .�/ ��� ����� �� %

��� & �� 0��� ��� ����� �� ���������� �� ��� �$�� ���� ���� '� ���

����� �� �K ���� �� ����� �� %� & ��� @ �� ���0� �� ��� ������ ���

���� �� �K ���� �� ���� @ � � ������ �� ��� ����� �� ��� �����

.�/ � ���� 0���� � ����� ��<��� �� ��� ���� �� �K ���� �� � �����

Page 4: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

� ���� ��� �� 23� .F/ ��� 23� .�/ ����� ��:

.��� ������

����� �.� � ���� ������

����� �� � � �C�

0��� ��� ����5����� � ������ �� � � ��:

����� ���=��

�=��� �'�������=����� �D�

'� �������� ��$� ���� .> ��� �� �� ����5������ ����� ��� �� ����� $�� �� . ��� � � ��� �0� ���� �� $�� �� �������� �� 23� .C/� 8����?�� $����� �� 23� .C/ ��� ��

0���� ��:

���O �.*P � O.*P� ���O ��*P � O�*P� * � �� %� &�

��(�23� .�(/ ����� ��� ����� ����5������ �� . ��� � �� �������� $�� ���

,-,- &.���� ��� ��� ���

� ���� ��$��$�� �� ��� �������� .� �����������/

<��� . �� �3 �� �� ��� !,12� ����� �� ���� ��� ��

�����0�� N��

� � ����

23�� .C/ ��� .D/ �$�:

.��� ������

��=��

�=��� �'��=���� �.� ����

��� ��� ��������� ��$��$�� �� . ��� �� 0���� ��:

�.�����*

������

��=��

��=��*

��� �'��=����� �=��� �'���=������*

� ��.�

* � �� %� .�%/

��� ��$��$�� �� ��� �������� �= ��� �� �������

���� ���� ����� ��:

���

������ � �'� � �% � �'% � � �(� �� (� %��� � �'� �� (� ��% � �'% ���

��&�

���

��%��� � �'� � �% � �'% � � �(� (� �� (� %��% � �'% �� ��� � �'� ���

��@�'��� ���� ����� ������ .���� =F(>/� ��� ��$��$�� ��

��� ���5 � 0�� ������ �� �* ���� ��� ���:

�������*

� ������� �������*

���� � �'�����������

� ������ �������*

� * � �� %� ��*�

0��

�������*

� �� ��� � �'� ����������*

� ��F�

1� ��$�� 23� .�*/� ��� �����0�� ������ ��� ���� ���:

���������*

� ������� �������*

������� * � �� %� ��B�

��������� ��$��$�� �� ��� 0���� � ������ .�������

� ������ %�&/ �� ����� ���� ��� .���� =F(>/� ��� <���

��� �� ��� ��������� ��$��$�� �� ��� �������� .� ���

���������/ .� �� �� �$�� ���� ���� '� ����� ��� ���:

�.

��*��'� �

�����

��=��

���=��*

�(� (��=���'���.� �

�����

��=��

���=�(� (�

������'� ��

��*��'��� ���� � �'�

������'����'����

�.� ��C�

0�� * � �� %� 1� ��� ���$� �3 ����� � ��� ������ ���5�L�� ���� ����� ��� ������ ������ �� ��� � ����� . �

��� �� ���$� ��� !,12 .��� ������� * ��� F/� ;� �������

� �������� ������ ��� � ����� ������� ��� �� ���������

��� ����� ��$��$�� �.G��* ��� �.G��� ������$���� ;��������� �������� ��0�$�� ��� � �� ���� �� !����7�

��0 �� � ���� �� ��� � ���� �1� 8����� �� ��� ����� ��� �$�� � '�����5 '�

23� .�C/ ��� �� �0���� � ������� ��� ��:

�.

��*��'� �

�����

� �*�� ��'� �.� � * � �� %� ��D�

0��� ��� ����5����� � ������ � *� ��:

� �*�� ��'� �

��=��

���=��*

�(� (��=���'��

���=��

��=�(� (�

������'� ��

��*��'�

� �� ���� � �'������'����'����

� �%(�

,-#- ?� (�� .��� ��

��� ���� ��� ����� ��� ����� �� � 0���� � ����� �

���� �� $�� � ��� �� ������� 0�� ������� ��� � ���� ���

���� � ��� �� ��$� ������� � ���� �� ���� ��� ���� ��

�K ���� �� � ���� � �� <��� �5���� .;�� %.�//� ' �������

����� � ��� � ���� 0���� � �����:

)���� �������� �% �� � � �� �

( �� � � �� �

� �%��

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"#F@%

Page 5: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

!�� � � (��� ��� � ��� � � �.� � ������� ���� �� ��

��� � ���� �1� .��� ��� �������/ ���0��� � ���� � ��� ������������� ���� �� 1� ��� ������ ������� �� ����� ���

���� �� �K ���� �� � ���� ��� ���� � ������ �� ��� ����

�� � ����� .;�� %.�// �� ���� ��������� ��� ��� ��$��$��

.�� �� � 23� .%�//� ���� ���� �� ���� ��� �� ����0��

������ � ������ ;������ ��� 3 ������ �� ������� ���

�5���� �� ��� ���� �� �K ���� .��� ������� � ����/ ��

���� �� ���� ��� �� ���� �������� ����� � ��� ��

��� ���� � �� ���� ����5������ ��� ���� � ��� ��

����� ��� ��� ��� � ��� ���� �� �K ���� �� ��� �$��

���� � � � ��� ����� �� ���������� �� � �$�� �$�� ����

���� '� � �� ���� ��$� ���� � ������ ��� ���������� �

#���� =*C�*D>�

� ���

��� ������� .��� ��/ ,12� �� �������� ����� ���

���� �������� �� �$�� ����0� 1� � ����� ���� ���

��3 ���� �� ����������� ����0 0�� ���� ��0��� � ����

���������� �� �� ���������� �������� ��������

#-�- @���� �� �����

��� 0��� ���0� �� ��?�� ,12 �� &�8 ������� �

�������� ����� � .���� �� �5������ ,������ =F�>:

( ���1�5�@�A���A�� 4�@�A��.�A�� .�@��� �&A� �%%�

0���� �� �������� ������ . � ��� ��������� � � �.��� ���� K 5� ��� ��� ������ �� &�8 ������� ��:

5�@�A� � �

@���@�A� � 4�@�A� � �5�@�A���A

� �%&�

!��� � � ��� 2 ������ ������� ���0��� ��� �� �� ����

@ ��� <��� ���� A� ��� �A � ��� �� ����� �� �1 �� �.�� ��/ <��� ���� M�

#-,- + ���� ����� � ��

;� &�8 ���� ��������� ��� ������� ,12� � �� �

��?�� ���� ��� � ��� ������� �� ���� ������ ��� ��

0���� �� .=F%>/

( ���1�� *�@�A��*�A�� � *�@�A��.*�A�� .*�@��� �&A�

�%@�

0��� .* ��� � * �� ��� ���������� �� ��� �����������

��� ������ ������$���� ��� ��� ���$� ������ ��:

� * � �

�F���� ��5� ��&� @��� * � �� ��*�� �%*�

� * � ��

C���� ���%�O��� %��� * � &�� ��*P

��

��

� ��� %����� �* � ��*� ��� �%F�

1� ��� ���$�� � �� ��� ���������� �� ��� �� ����� ��

��� <��� ���� A� 5 � ��� ���� ��� � �� � � ��� "�������� ��� � = ������� ��� ������� ������ ' ����� �������

� ��$��$� 0�� ������ �� � <��� ����� ���

�� � ��

�7 �A� � 7 �A�� 7 �@��

� �%B�

� ��

��� �4� ����5����� ��$�� � ������ % �� ��� ��

����5���� . ��� � �� ��� �� ���� �1� 1� ��� �� ���� � ��� ���������� ��� �� ���� � ���� � �����?�� ���

������ ' $���� �� ����� � ������ ��$� ���� ��� � ��� ��

��������� ��� �������� 1� ���� ��� ��� ����� .M@/ ���

3 ����� .�F/ ������ ����� ��$� ���� ��������� �����

6�������7 ����� � ������ ��� �� �� �� � ��� �������

��5� �� ��� ;2� .��� =F&�F@>/�

-�- @���� �� �����

� ���� ��� ��� �5������� �� . ��� � ��� 23� .C/ ���23� .%%/� ��� �$��� �1 ��� �� ������ ��� ���� ��� �����

�?�� ��� �� ��� ,12 �� �������� ������� �� �����0�:

( ����

*��

��1*

�5�@�A�

��A

������A� �� � � 4�@�A�

����A

������A� �.� �

��@

������@� �.�

���&A� �%C�

0��� � �.@/ ��� � �.A/ �� ��� ����� ���� ��� ��� ���

���� �� ��� ���������� ���� @ ��� <��� ���� A�

������$���� '���� �A ����� �� �� ���� � ��� ����� ��

���������� �� ��� <��� ���� A ��� �@ ����� �� �� ����

� ��� ����� �� ���������� �� ��� �� �� ���� @-

-,- + ���� ����� � ��

��� ,-� �3 ���� �� �������� � ������� �� � ���� ���

��� �5������� �� .* ��� � * .23� .C/ ��� 23� .%@/� ������

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"# F@&

Page 6: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

��:

( ����

���

��1�

�� *�@�A�

��A

������A� ��*� � � *�@�A�

����A

������A� �.*� �

��@

������@� �.*�

���&A� �%D�

-#- � ����� B�� �

1� ��� �� �$�� ��� ��� ������� �� ������� � 23�� .%C/

��� .%D/ �$� .������� � $��/ ���� �� � ������ ��

� ���� ������ B ���� ��� & � & � �� 3 ���� � �� ����������$���� !�0�$�� �� A� @ ��� ������ 5 ��� � *

������ 0����� ��� �� ��� ��� ������ 4 ��� � * ������

������� ��� ��� '� ���0� � 23�� .%C/ ��� .%D/� ���

������� ��� �� �������� �� �� ��?�� �� ��� ��

���� ����� ��� ��� �� ��?�� $����� �� 0�����

��� ��� ;������ ������ �������� �����3 �� �� ��� ��

�$�� ��� ��� �� ���� 0����� ��� �� ������� � 23�� .%C/

��� .%D/ .=*C�F*>/�

��� <��� �����?�� $���� �� ���� 23� .%C/ � 23� .%D/

��� ��� ���:

��� �.��O ��P� ��� ����O ��P � O(P� �&(�N�� ������ �� �������� ������ ��� �� �� �� ��� � ���

�� �3 ����� ��� ����0�� �����0�� ;� �1 ����� �� ���

�� ���� � ����� ���� �� � ����� �� �%�1 3 ������ �� ���

�� ����� ��� &�1 $�� �� �� ���� �� . ��� �� ����� ����5�

����� .> � ��� ������ �� � � ;� � 0��� ����� �������

$�� �� �� ���� . � � �� ���0� �� ���� ���� �� ���

�� ����� �� &�1 ����� $�� �� �� �$��� �������� D�1

�3 ����� �� ������ �� ���$� �� ��� D�1 ������

����0��� 23� .&(/ ������� �� &�1 �3 ����� ��� 23� .�(/

������ �� &�1 �3 ����� ����� �� �� � 0��������� �� ����

$�� � ������ ��� �� ���$�� ��� 23� .&(/� � ���������

0�� 23� .%(/� '� ������� � �� �� �� �3 ����� ���

����0�� ������ �� 23� .%C/ �� �������� ������

! ����

����� �� ��� ���� ��$�������� �� ������ &� ���

!,12� �� �������� ����� ��� ���� �������� ��

�������� ����

"-�- @���� �� �����

��� !,12 � ������� ��� ����������� �� ��� ����

,12 �� �� ������ �� �� ���� 0�� ������ �� ��� �����

����� �� ���� �� �� ����� 8 � �� ������������ ��� ������

� ��� !,12 ������ ������� ��� �� ��� ������� ���

������$���� ��� �������� �� ��?���� ����� ��

���� �� �� �������� � ��� �� �� ��� !,12� �� �����

� � ������� � ���� ������� ��� � ��� �� ��?�� !,12

�� ��� 4������7� �3 ����� �� � �� �� ���� �� �1 .0��� �

� ������� ������/ ��� �� 0���� �� .��� ��������� �� ���

=%D>/�

( ���1

�5�@�A��7��@� ���A�� ��@�� �&A

� .�*�@���1

�5�@�A��7��@� ��*�A�� �*�@�� �&A

���1

�4�@�A��7��@� �.�A�� .�@�� .�*�@��7*�M�

� 7*�@����&A� �&��

����� � � ��� ��� ��� �� �� 23� .&�/ 0�� ��� �� ��

���� ����� �.@/� ��� ������:

( ���1

�5�@�A����@� ���A�� ��@�� �&A

� .�*�@���1

�5�@�A����@� ��*�A�� �*�@�� �&A

���1

�4�@�A����@� �.�A�� .�@�� .�*�@��7*�A�

� 7*�@��� �&A� �&%�

��� ������ �� ��� �������� � ����� � �3 �� � ���

!,12� 23�� .&�/ ��� .&%/� ;� �������� �������� ���

������ .�� � �� �� �� ���� ����/ ��� �� 0���� ���

�. � �.

����� �

�.

��%�% � � �� �&&�

0��� � � �.��� � ��� K 5� � � ��� �� ������ ��� �%�� ��� ���������� ������ �� $����� � �0� ���������

������� �� ��� � ���� �� ��� ����� ��� �.G�� � � �� %

�� ��� ��������� ��$��$�� �� . .����� �� ��� �%/ �� ���� ���� �� ��� �����

"-,- + ���� ����� � ��

������� ��� � ��� �� ��?�� !,12 �� ���� ��������

��� �� 0���� �� .��� � �� ��� #������� =*@>/�

( ���1� =*�@�A���*�A�� �*�@�� �&A

� *��@���1

� =*�@�A�����A�� ���@�� �&A

���1

& =*�@�A��.*�A�� .*�@�� .*���@�����A�

� ���@��� �&A� �&@�

0��� ��� .������� ��� ��/ ����� � =* ��� .������� ��/

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"#F@@

Page 7: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

����� & =* ��:

� =* � �

C���� ���% ���� %����* ��= � �*=�� � � =��*�

� &�� ��=��*�� �&*�

& =* � 5

@���� ���&�&��

������ %��� =��* � � �� *��= � �=*�� �

� *�� ��=��*���

5

@���� ���& �&� �� ��=��* � �=�� ��*�

� ��� %���&�*�� ��= � �=� * � � �=*�� ��� @���*� =���&F�

'���� ����� ��� ��� ��� �� �� 23� .&@/ 0�� ���

�� �� ������ ��� ���� ��� �3 ����:

( ���1� =*�@�A��=�@���*�A�� �*�@�� �&A

� *��@���1� =*�@�A��=�@�����A�� ���@�� �&A

���1& =*�@�A��=�@��.*�A�� .*�@�� .*���@�����A�

� ���@����&A� .&B/

��� ����� � �� ������� ��� ����������� �������

.*��� ���� �� �3 �� � 23�� .&@/ ��� .&B/� � ������� �

'�����5 '� ��� ����� ���������� = ��� �� �����

������� ��� ��� ����������� ������� ��� !����7�

��0�

" �#������$�%�� ���� ��# �� � ���&� '��� (

'������ � �� ��� ��$�������� �� ��� ,-� � ������ @�

��$���� �� ��� !,-� �� �������� ����� ��� ����

�������� �� �������� � ��� ������� ��� ���� ��� � ��

������ � ���������$� �������� �� ��� �������

/-�- @���� �� �����

Q��� ��� ���������� � ������ � .������ ��� �� ��� 23�.C// ��� �� ��� ��������� ��$��$�� �� . .23� .�D//� ���

��� ����� ��� �����?�� ���� �� ��� �������� ������

.��� 23� .&&// ��� ��� !,12� 23�� .&�/ ��� .&%/ �� �����0�:

�. ������

� ���� �.��� �

�����

� �%�� �.��% �

�����

�� �� �� �&C�

( ����

��

��1

�5�@�A��7��@�

���A

������A� �� � �

��A

������@� �� �

� .�*�@���1

�5�@�A��7��@� ��*�A�� �*�@�� �&A

���1

�4�@�A��7��@�

���A

������A� �.� �

��@

������@� �.� � .�*�@�

� �7*�A�� 7*�@����&A� .&D/

( ����

��

��1

�5�@�A����@�

���A

������A� �� � �

��@

������@� �� �

� .�*�@���1

�5�@�A����@� ��*�A�� �*�@���&A

���1

�4�@�A����@�

���A

������A� �.� �

��@

������@� �.� � .�*�@�

� �7*�A�� 7*�@����&A� .@(/

������$���� 0��� � �.@/ ��� � �.A/ �� ��� ����� ����

��� ��� ��� ���� �� ��� ���������� ���� @ ��� <��� ����

A� ������$���� 0�� �@ ��� �A ����� � ��� ������$�

������ �� ����������� L� �� ��� ��� ������ �� . ���

23� .&C/� � ������ ���������� � ��� � 23�� .&D/ ��� .@(/�

/-,- + ���� ����� � ��

'� �������� ������ ��� ����� � �� ������� .*�� �

��� �������� 23�� .&@/ ��� .&B/� ��� ��� ��������� ��$��

�$�� ��� �������� � ������� � '�����5 '� L��� ��� �

����� �����?�� $����� �� 23�� .&@/ ��� .&B/ �� �����

������� ��:

( ����

���

��1�

� =*�@�A����A

������A� ��*� �

��@

������@� ����

� �&A � *��@���1�

� =*�@�A�����A�� ���@�� �&A

���1�

& =*�@�A����A

������A� �.*� �

��@

������@� �.*�

� .*���@�����A�� ���@����&A .@�/

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"# F@*

Page 8: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

���

( ����

���

��1�

� =*�@�A��=�@����A

������A� ��*� �

��@

������@� ��*�

� �&A � *��@���1�

� =*�@�A��=�@�����A�

� ���@�� �&A ���1�

& =*�@�A��=�@�

����A

������A� �.*� �

��@

������@� �.*�

� .*���@�����A�� ���@����&A� .@%/

/-#- � ����� B�� �

23�� .&D/ ��� .@(/ �� ��� !,-� �3 ����� �� ��������

������ ��� 23�� .@�/ ��� .@%/ �� ��� !,-� �3 ����� ��

���� ��������� 1� ��� 0��� 23� .@(/ � ��� �� ���$�

�� ���� $�� � ������� .,R"�/ � �������� ����� ���

23� .@%/ � ��� �� ���$� ,R"� � ���� ���������

��� ����� � �����0�� �� �����?���� �� 23�� .@(/

��� .@%/ � 3 �� ������� � �� ��� ,-� ���� �������

����� � ������ @�&� ����� �3 ����� �� � ��� �� ��?��

��� ������ ���� ������� �� � 0����� ��������� -���

��� �� ������� �� �$�� ���� ��� ��� � �� � ��

3 ���� � �$� � ���� ������ 0��� ��� 0����� ��� ��

������� �� �$�� ���� ��� ��� ����� � � ����� �

#��� =*C�F*>� ��� �����?�� $���� �� ���� 23�� .@(/ �

.@%/ ��� ��� ����� ��� ���0� � 23� .&(/� - �����

�� ��� ��� ��� ,-�� �� &�8 �������� ����� ��� ����

��������� �� �$������ � #���� =*C�*D>� ������$���� 0���

���������� � ����� �� ��� ��� ��� !,-� ��

�������� � ��� �����

) ��������% ����%��

��� !,-� � ��� ���� �� ���$� ,R"� � ��������

����� .4������7� �3 ����/ ��� ���� ��������� ���

� ����� �5������ �������� ��$�� ���������� �����

��� ��� 0���� �� ��� ������ ��� ����� �� $�� � ����

������ ��$��� ������� �� ��� !,-� �� �$�������� � ��

�� �������� �� ���������� ������ ���������� �� ����

������ ���� �� �K ���� �� ����� .��/� ��� ��� �� ������

������ ��� ���� ��� ���$������ �������� ���������

�� � ����� �� ��� ��� ��� ������� ,-� ��$� ����

�$�� �� ���� �� ��� =*D> ��� ���� ��� � ������ =*C>�

��� � ����� �� ��� �������� �� ��� ��� ��� �� ,R"�

��� ��� !,-� ��� ���� $������ ��� ������ ������ � �

���� ������ �� ��$������ �� ���$�� ���� ������� ��

0��� !,12� �� �� ������ �������� .���� �� �������

��� �����$�� 9 ������ <�� � ������� ��� ���� �� ���

�� � � #��� =*�>/�

C-�- @���� �� ����� D � � ����� ������� � � ������

��� 4������7� �3 ���� � &�8 ��� �� 0���� ��:

� %. � �%.

�7%��

�%.

�7%%�

�%.

�7%&� (� �@&�

��� !,-� � ��� �� ���$� 8����� ������� �� �

������ ��� �5��� ��� ���� �������� ����0 ��$� ����

��� �� �$�� ��� ��� ��������� �� ��� $�� � ��������

�� ��� !,-�� 8����� ������� �� ����� 0�� ����� ��� �

���� ������ .� � �/ �� ��� � ���� �� � ���� ������ ���

��� ����� ��$��$�� �� ��� �������� �� ���� ��� �� ���

����� � ����� "������� ������� �� ������ ����� �� ����

���� ��� � ���� ������ ��� �������� ����� � ������� �

��� ������

� 4��� ��� ���

. � 7� � 7% � 7&� �@@�

� M ����� ��� ���

. � 7�7% � 7%7& � 7&7�� �@*�

� � �� ��� ���

. � 7&� � 7&% � 7&& � &7%�7% � &7%%7& � &7%&7�� �@F�

� ��������� ��� ���

. � %�%

;%���%�

%�%

&;%��

&� �@B�

0��� ; � ��� �� � �� ��� ������ � ��� �����

���� �� ��� ��� 7& �5� ��� �% � 7%� � 7%% � 7%&�

@� � � �( ������ � ����� ��� ������� �� ���

���������� ���� � ���� ���� � �� ������� �������

�� ��� � ������ � ������������ �� ��� ������� ����� �

������� ��� ������ +% �� � �.G�� .�� ��� � ���� �� ��������/ �� ��� ����� 3 ����� ��� � �� ��� ����

.������ �� 8����� �� ���� �������� �� ��� �����

� ����/ �� $�� � ������� �� ��� ����� ����������

���� � ��� ����� ����� .�� �/� ��� ������ .+%/ �� � �

� ����� � ���� ��� ������� �� ��� �3 ����)

��� �

��

��5���� � �� ������� %���

����5����%��

�((S �@C�

0��� � ��� $����� �� ������ ��� � � ���� ��� ��� ��� ����� � �� ��� 0���� � ���� �1���� ������ �� � ���� �� � ���� ���� �� ��� �����

����� .���/ � ���0� � ;�� &� ��� �� ��� ��$� ���� �������

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"#F@F

Page 9: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

��� � ���<� ���� �������� �� B% �F ������� 0�� ���

���� �� ����� 1� ��� �� ������ ���� ��� ����� � ����� ��

�5������� ��������� �� ��� ���������� ���� �� ��� ������

�� ��� ������ � ��� ����� ������ �� � � � � ��&� �����

�5������� �� ���� L$����� ������ ��� ����� ���� �� ���

������ �� ��� ������G�������� ����� ��� ���� � �����

�� ����

5���� ��� 1� ��� �� ����� �� ��� ���������� � ���

���� ��� �4� ����5������ � � �������� �� ���� ��

��� ������� �� ��� �� ���� � ���� �� � ����� ���� ���

��� �� �������� ��� ��� 3 �� � ������� �� � ������

� $�� � ���� ������� �� ������� ;� ��� ������ ���

�5��� ������� ���0��� �0� ����� @ .���������� ����/

��� A .<��� ����/ � ��� ������ �� ��� �� ���0��� �����

����� �� ��� ���� ���� �������� ����� !�0�$�� � $��

����� ����5����� �� ��� ������� 0� �� �� �� �� ���

62 ������7 ������� ���0��� ����� @ ��� A� ����� %

� ���?�� ��� ����� � �� ���� ��� ��� �5��� ���

����5���� ������� �� � ������ 0��� ����� & �������

� �������� � ��� +% ��� �� ����� 3 ������ � �� ���

��������� ��� ���� ������ �� ��� ������ ;� ���

����<� �5������ 0�� ����?�� ������� ��� �� ����

��������� � ��� �� ���� ���� ��� ��� ���� ���������

����� �$�� � ��� ����5���� ������� � ��� �� ������ ���

�5��� ���� �� �� � � �5������ ���� ��� ���� ����� ��

�������� �� ���������� ������ 0�� ��� �� � �������

��0��� ��� ��� ������ ������������

;��(� �E.���� ����� '����� ������� ���� � ��

��� �4� ����5����� � ��� ���� �� �K ���� ���������

0�� ���� ����� ��� ������� 0��� ������� ��� �� ������

6������� � ����7 ��������� 0�� ���� ���� � ��� 1� ���

0�� ��� ������� �� � ������ �� �� ��$��(���.� �

��� ����� ���� ���� �$�� ���� ���� ��� �� ���� ��� � ���

�� ����� � �� ����� �� ����������� -�0� �� � �$��

��������� ���� .���� 4���GM �����G� ��/� ��� � ���

�� ����� � � ��� ����� �� ���������� �� ���� �$�� ����

���� ������� ��� ������� �� �������

��� �������� �� �� ������ �� �����0�� ;� � �$��

�� ��� & �� ��� ��� �� ����� � ��� ����� �� ����������

�� � ���� �� �$�� ���� ���� '� ��� $�� �� �� �� ��

��� ����� � & �� ��� �3 �� �� ���5� 0��� ���5 � ��� ���

����� ��� '� ����� ��� �������� �� ��� ���� � &� 0��� �

������� ��� '�

;�� @.�/ ��� .�/ ���0 ��� ������ �� $���� ��� � ��� ��

����� � �� � ���� ���� �� � &� ��� � 3 ����� ������ � F�� ������$���� �� ��� � �� ��� ���������

��� ����� 1� � ����$�� ���� ��� ��0��� $�� � �� +% ���

� ������� �� �� .%��&�/� ��� ���� ��� ���� ����

����$�� �� ��� ,-� .=*C>/�

@���� �� ��� (��� ��� �� ������� � ���� ;�� *.�/ ��� .�/

���0 $����� � ��� �������� ��� �� 7� ��$��$�� ������

�$���� �� ����� ����� ��� 7� �5� ���� ��� ������ ���

8����� �� ���� $�� � ������ � ���$�� ��� ������

��� ��������� ��� ��� �� � ���� ���<� ���� ��������

�� B% �F ����� 0�� ��� ���� �� ���� ��� � 3 ����� ����

�� � F�� 1� � ���� ��� ����� <� �� ���� ��� !,-� ��� �

���� ����� ��� �5��� ��� ���� 0��� ������� ��� ��� ��

���� . ��� �.��7��'� ������� ���� ����� �� �� ���� ���� ���� ������

� � ,12 � !,12 ������ ����� ��� �� 0��� ���������� ��

�� ������ ���� ���� � ����� �� ��� �� ���� �� � ����� ���

��� ���� �� ���� ��� � � ,-� � !,-� � �����

��� ��� �� � �� ������ ��� ����� ��� ���� ����� 0�� ��

��$��� ��������� ��� ���� � ����� �� � ����� ����

�� � ������ �� ��� =FF> �� � ������� ��� ���� �� �����

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"# F@B

����� �

���.����: +% �� � �.��� .23� .@C// �� 8����� ������� �� � ����� ��$�� � ������� �� ��� ����� ���������� ���� � ��� ����� �����

� � � 4���.S/ M ����� .S/ � �� .S/

(�� @�&FD C�B&* &(�%F@

(��* &�FD% *�DC% %&�@(*

(�% (�*�D %�@(@ ���@�@

(�%* (�&&F ��%B� *�F%C

(�& (��C* (�B&( &�F%*

�G& (�(B�B (�&�& ��FF*

(�&* (��*& (�*D& %�%�CB

(�@ (�@*@ ����� %�*FF

����� %

25��� $�� � ����5���� �������� �� ��� � ���� �� � �����

���������� ���� " .7�@� 7%@� 7&@/� .;� �@� @/

;��� ���� M .7�A� 7%A� 7&A/� .;� �A� A/

� $���� ���������

���0��� @ ��� A

��� � ;�A � @�� ��% � ;��A � �@�

25��� ������� '���5���� �������

� : '���� ���0��� @ ��� A � ���������������� %� � ��%%�

�� � ���� ���@F��A�;%�� � ;�

����� &

���.����: +% �� � �.��� �� 8����� ������� �� � ����� �� ��� �5������ �� ����5���� ���� ����� �� ��������

25��� ��� ��� 25��� ������� .S/ '���5���� ������� .S/

4��� (�B�B (��(D

M ����� (�&�& (�B�*

� �� ��FF* @�(*D

��������� (��B% (�%BD

;�� &� ������ �� 3 ����� ���� �� ���� .�F/ �� ��� ����� ����� .���/�

Page 10: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

��� �� ������� � ��� �����5� �� ��� ,-� ��� ��� !,-��

��� ������� �������� � #��� =FF> ��� ���� ��������

� ��� ������ ���� � ��� �� ����� ��� ��� $�� �� �� .

��� �.��7� .�� ������ ����� ����� �� ��� � ���� �� � ����/� ;�� *� �� 0��� �� �� ������� ��� �������� �� ���

�������� � ������ B�%�

�����(���� ��.��� ��� �� ��� ������� �� ��� !,-�

��$� ���� ���� ������� 0�� ����� ��� ��� ���$�������

,2� �� � 8����� ������ �� � ����� 0�� ��� ����

������ ��� ��� .23� .@B//� ;�� F ������� � �������� �

��� +% �� � �.��� �� ��� !,-� ��� ,2�� �� � ������

�� ��� .������/ � ��� �� ������ ��� +% �� �. / � ��<������ ��:

��� � ���O���� � ����������P� �@D�0��� �� � ��

�� � �%� !��� �� ��� ����� $�� �� �� ���

� ����� ��� ��� � ������� � ��� � ��� �� �� � �������� �5��� $�� ��� ������$���� '���� �� �������� ���$��

� � ��� ����� � ��� �� ����� �� �1�;�� F ���0� ���� ��� �0� ������� ���� ���������

�� ��� ��� ��$� ���� ���� �� ���$������� ��� !,-�

��� ���� ��0�$�� � ��� ��� ��� ���� ��� ,2� ��� ���

�� ��� �5������

C-,- + ���� ����� � ��

�0� �������� �������� ���� ������� �� ���$�� �� ���

!,-�� ����� �5������ �� ��� &�8 $����� �� ��� 4���T

��� ���� ��������

C-,-�- #$� +���G ������

��� &�8 4���T ������ ������� �� � �����0 ������ 0��

��� ��� � �� �� � � ��� �� ������$���� ��� ������

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"#F@C

;�� @� � .� G��/: +% �� � � G�� �� $���� � ��� �� ����� � ���

����� �� ���������� �� �� �$�� ���� ���� ') .�/ ���� ���������

���� �� � &�� .�/ 3 ����� ��������� ���� �� � F� .B% �F ����� 0����� ���� �� ����/�

;�� *� R����� �� .�/ �������� ��� .�/ � G�7� ����� ��� 7� �5� �� �

����� 0�� ��� ��������� ��� ����

Page 11: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

���� �� ;�� B ���0� � �������� �� ��� ������ ���

����������� ��� � ����� ��� ��� �� ��� ������ ���

���� ������� ��� ��� ������ �������� ' � ��(� � �(�%*� ��� ������� �������� � � ��(� � � @�( 0��

������ ���� � � � �� ��� � ����� ��� ��� ��� ����

������� �� ������� ������� ��� �$� ��� �� ���� ���

���� ������� ��� �� ���� ��� �� ���5 ��� ��� ����

�������� � ��� ���� �� 4 �? �� ��� =FB> ��� ���� �� ���

=*D>�

��� ���� � ���� �� ��� �����0 ����� ��� ���� �������

���� ��� ������� �������� ��$� ��� ���� ���� ���

�5��� ��� ��� �� ��� ���� ������������ ���� ���

��������� �������� �� � ������ �� ��� ������� � ��� ���

����� �� ��� ������ � �$�� �� .=FC>/:

.� � � �&�

'��& � �&� ��� %��� ��� �� �&

%�&

� �� �*(�

�� � � �&��& � �&�

�&��& � �&� � �*��

�� � � �&�%�& � �&�

%�&��& � �&� � �*%�

��� ����G����� �� �� � ��� �� ����� ��� � �����

�� ��� ������� �� B% 3 ����� �F ����� �� ���� � ���� ��

��� �����0 ����� 0�� � ���� �� �����

;�� C.�/ ���0� ��� ���� ����������� ����� ��� 7���5�

������� 0�� ��� ��������� ��� ���� ��� ���� ���

��������� ������� �� ������� �� ��� �5��� ��� ��� �

;�� C.�/� 1� ��� �� ������ ���� ���� ��� � ����� �� ���

�� � �5������� �������� 0�� ��� ��������� ��� ���� ���

������� �������� � � ������ �� ��� =FF> � � ��� ��

������� ��� ��� ��� ���� �� ��� ����������� ���

������� �� ������ ����� ����� �� ��� �� ����� '���� �

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"# F@D

;�� F� �������� �� �.� / .+% �� � �.G��/ �� ��� !,-� ��� ���

���$������� ,2� �� � 8����� ������ �� � ������ � � ��� �����

� ��� �� ����� .��� ���� �� ���� � ��� � ��� !,-�/�

;�� B� 4���T ������ �� � �����0 ����� ��� ������ ���� ��

;�� C� 1������ .�/ ���� ����������� ��� .�/ ���� ��� ���������

�������� ����� ��� 7� �5� �� ��� 4���T �������

Page 12: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

���$������ �� �� � ���� � � �� ���������� ��� �� ���

���� �� ��� ������� � ����� ������� ����� @ ���0� ���

+% �� � ��� ���� ����������� ..�/ �� ��� ��� ��� � ��

� ����� �� ��� ������ L�� ���� �� ���� � ��� � ��� ���

���� ������� '� ��� � ��� �� ���� �������� ��� +% ��

�������� �� ���� ��� � �� ��� ��� � ����� �� ��� �����

�� ��� &�8 4���T �������

C-,-,- #$� � ���� ������

��� &�8 ���� ������ ������� �� �5����� ��� �����

���� ��� � ��� $���� �� � ����� ������� ��$�� � �

� �� � ������� �� �� <��� ���� ������� �� �� ������ �

;�� D� ��� ������ �������� �� ������ �� ��: ' � ��(�

� � (�%*� ��� ������� �������� �� ������ ��: � � ��(�

� � �(�(� '���� ��� ������ � ������ 0��� � �������

��� �� ���� ����� ��� ��� ������ �� ���� �� ��� =*D> �

��� �� ����� ������� � � ����� �� ����

��� �5��� ��� ��� �� ��� ����� ����� . &&/� �� �����

� ��� ����� 7& � (� � �$�� �� .��������� ��� ����

=FC>/:

&& � ( ��@� *�

%�B� *���

� �&�

D

%�B� *���

� �*� �� �*&�

!�� � � ��� ������� �� � ����� ���� ��� ��� ����� ��

��� ������� ��$���

;�� �( ���0� � �������� ���0��� ��� !,-� ��� ���

��� ��� �5��� ��� ��� �� ��� ����� ����� . &&/ ����� ���

7� �5�� 1� ��� �� ������ ���� ���� ��� !,-� ��� ��� � �

�5������� �������� 0�� ��� ��������� ��� ���� ��� ����

�� �� � ������� �� DF M@ ����� ������� ��� � �� ��� B%

�F ����� ������� ��� ������� ��$��� ���� 0�� ��� ����

�� ����� 1� � ���� ������ � � ���� ��� ��0 �������

�������� � #��� =FF> � �������� �� ������� ��� ���

$�� �� �� ������� ��� ��� � ���� �� ��� ��$���

* ����%� ��$ �����+�

' ��0������� ������ ������ ��� !,-�� ���� �������

!,12� 0�� �4� ����5������ ��� ���� �������� � ���

����� ��� ��<���� �� ��� !,-� � ����������� ��

������� � ����� �� ���� �� ��$��� &�8 � �����

�5������ � �������� ����� ��� � ���� ��������� 0��

��������� ��� ���� �� ����� �������� ��� !,-��

�������� ���� � �5������ �� �� $�� ��� � �� �������

������� ��� ������ �� �$��� ������� ������� � ��

�� &�8 ���� � ��������� �� ������� ��� �����$�� ���

������� ����� ,� ���� 2������ �������� N�� ��

�� ������� ��� �����$�� � ������ � ������ =*�>�

0��� 0�� �� ��� ���� ������ �������� ���$�� � �������

�� ��� ��� � � ��

��+��,%� $������

��� ������ �� � .���� ��� � ������/ �����0������

� ���� �� ��� Q�$���� #������ "����� .Q#"/ ����

��� ;�� ���� ������� �� ������ Q�$����� "������

"� ��� �����0������ � ���� ��� ��� -������ ������

;� ������ ��� ��� ����DB�&((C� ��� ���� ���

�� ��� ������ 0�� ���� � � ��� ��� ��� ��� �� ���

������ ����� ������ 0��� ���$�� � ���� ���

������ Q�$����� -�0 J�� ������ ��� -������ �����

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"#F*(

;�� D� &�8 ���� ������: � � �� 0�� � ������� ��$�� ������ � ���

<��� ��5�� ������

;�� �(� && ����� ��� 7� �5� ����� �� ��� ��$�� �� ��� ���� �������

����� @

���$������ �� �� ��� .�/ ��� +% �� � ���� ����������� �.��� �� ������ ��� � �� � ����� �� ��� ������ �� ��� &�8 4���T ������

+% �� �@@ ����� .S/ %*F ����� .S/ *BF ����� .S/

L �� � ���� (�@(@ (�%@� (�(@DF

1��� � ���� (�@F( (�%�@ (�(F*C

Page 13: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

�� #������ #��� ��� �� ��� -������ 1���� ��� �� !������

��� -������ ������ ;� ������� ��� 8������ 8��������

�����?���� ������ ��� Q���� ������ 8�������� ��

'�� �� �� ��� ������� ������� ��� ������ �� "���

���� �� ���� ��� ���� ����� ��� ��� ���� ��

�����0�������

����� �� � -���%������� $�� ���� �� �&� �������

��� ����������� ������ �� � �� ���� �� �� ���� @ �

������ � ��� �� ���$� � �� ���� $�� � ������ � ����

�������� ��� ��� !,-� .��� 23�� .@�/ ��� .@%//� 4 �? ��

��� =&D> ��$� ������� � ������ �� ���� ���� ��0�$��

������ �� ��� ����� � ��$� ��� ���� ��$��� � #��� =&D>�

����� ������ �� �$�� ����0�

��� .����������/ ������ ������� ���������� ��

������ �� .7�� 7%� 7&/� ������ .����������/ ����� �����

��� ��������� �7 ��� 7 �%� 7 �&� �� � �� �� ���� @ �� �1 �����0� � ;�� ��� ��� ����� �������� ������ � ������

� �� ���� ��� 7 �� ��� 7 �% ��������� �� ����� ��� ��������� �� $����� �� ��� �% 0��� 7

�& � ���� �� ����� ��� � �0��

����� �� $���� � �� �1 �� ��<��� � 23� .&&/��������� ��� ���:

� � � .�� �'��

� � � .�� �'%�0��� . �

*� * � �� %� & �� ��� ���������� �� ��� ��������

���� $���� � � ��� ����� �������� ����� ��� ���

��������� ����������� ���5 . ��� ��� ����������:

. ���� ��% ��&

�%� �%% �%&

�� �% �&

����

���� �'&�

0�� � = ��� =�� ��������� �� ��� �� ������� $���� ���

.����%��&/ ��� ���������� �� ��� ����� $�����

��� ��������� ��$��$�� �� ��� ������������ � �����

���������� �� . � �* � � � �� %� &� * � �� %� ����� 3 ������

�� ������� �� �����0�:

. � �* � �

�. �

��*� M =

�.=��*

� M =

�����

� �*�� �.=1 �'@�

0��� ��� ���� �3 ���� � ������� ��� 23� .�D/�

��� ������ ���������� �� �� � ����� ��������� ��������� ��� !����7� ��0 .��� =&D>/ ��:

�. ��

�7 �&� � ��

5�

�. �&

�7 ��

�. �%

�7 �&� � �%

5�

�. �&

�7 �%

�. �&

�7 �&� ��� %��� �&%5��� �� �

�� �

�. ��

�7 ���

�. �%

�7 �%

� �� �'*�

0��� � �*� * � �� %� &� �� ��� ���������� �� ��� ������

$���� � ����� ����������

��� ���������� �� ��� ����������� ������ ������ �

��� ����� �������� ������� �� ��0 ���0�� ���� ��� ��

0���� ��:

��������� � � � �. ���� � . �

��% � . ���& �

. �%�� � . �

%�% � . �%�& �

. �&�� � . �

&�% � . �&�& �

�����

����� �'F�

;������ ��� ���������� �� �� � ��� ������ ������������ �� ������� ��� ����� � ��� ����� �������� ����

�� ��� ��� ����� ����������� ��:

���������� � � � .�� �. �.��� .��% .��&

.%�� .%�% .%�&

.&�� .&�% .&�&

����

����� �'B�

��� ������ �� ��� ����������� <��� � ������ ���������

� ��0 ���� �� �� � 23� .@%/�

/���������

=�> ������� +� ���� �������� ��� �<������ �� ;2� ��� ,2� 9 �

��������� .�DD(A�DD&/� ;��� 2��� '��� 8�� �DD&:�BBACC�

=%> -������ ,� �� ?�� � R���� "� �����?�� ��� <��� �������

������: ��� �� ����5����� ��� ��� �� ��������� ���� � ����

�DD%)�(:&(BA�C�

=&> ,��������� �� 4 JJ� 4� 2���������� ����� �������� 1��

+ - �� ���� 2���� �DD@)&B:%%DA*F�

=@> 4 N�� + � �� U���� J� #���� ��� ����� ������ �������� 1���

+ - �� ���� ;� �� �DD*)%(:�(C�A�(F�

=*> 8 ��� �'�� L��� +�� !�� ��� �� 9 �� �A� �������� �������

- �� ���� "���� 8�������� 23 ����� �DDF)�%:FB&AB(*�

=F> 8 ��� �'�� L��� +�� '� ��� �����$� ������ ��� ��� ���

���� � ���� '��� ���� 2���� �DDF)�&D:%&BAF%�

=B> L��� +�� 8 ��� �'�� U����0�? L�� ' ��0 ��� ������� �� <���

������� ������� ���� � ���� '��� ���� 2���� �DDC)�*&:��BA%F�

=C> '�� �-� U� �� -�0 �������� ����� "���$� ����� .�"4 /

������� � ���� ������� ��������� ���� � ���� �DDC)%%:��BA

%B�

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"# F*�

;�� ��� 4���� �������� ������ �� ��� � ���� �� � �����

Page 14: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

=D> '�� �-� U� �� ' ��0 �������� ����� "���$� ����� .�"4 /

������� �� ������� ������� � ���� �� ������� ���

�� ������ ���� � �������� �� ����� 2���� �DDC)&:�CBADF�

=�(> U� �� U���� +�8� '�� �-� ' ����� �� ���� ������ �3 ����

.4,12/ ������ � ���� ������� ��������� ��� � �������� ���

���?���� �������� ���� � ���� �DDC)%�:%%&A&*�

=��> � � �� -� ���� ,� ,��������� �� ��� ��� �� ������� ������� 1��

+ - �� ���� 2���� �DDC)@&:C&DACB�

=�%> ��� �� �� �� ,�� �V�� 1� ����� �� ��� ����� ��� ������� �� ���

�����?�� ;��� 2������ ������� ���� � ���� '��� ���� 2����

%((()�C�:@&AFD�

=�&> ���E� -� 8����0 +� ,��������� �� ' <��� ������� ������ �� ����

��0�� 0��� � �������� 1�� + - �� ������� 2����

�DDD)@F:�&�A*(�

=�@> ,�� N� ����� �� ' �������������� ����������� ����� ������

��� ������������ ��� ������ 1�� + - �� ������� 2����

�DDD)@F:FB�AD&�

=�*> � � �� -� ���� ,� ,���� �� ,��������� �� '� �����������

����� ������ �� �������������� ���� � ��������� ���� �

���� �DDB)%(:�B(A*�

=�F> ,��������� �� 4 JJ� 4� ���� ��������� �� �����������

����� �������� 2���� ;��� � ���� �DD*)*�:%D*A&�*�

=�B> W J� ����� �� '� ����������� ����� ��� ����� �� ������ ����

��0�� � ������ ������ ���� � ������� '��� ���� 2����

�DDC)�*@:&&�A@&�

=�C> ���� "� ,��������� �� ��� ������� ��� ����� ������ ��

������ ��������� �� ����� &�8 ������ 1�� + - �� �������

2���� �DDD)@@:BFBAC((�

=�D> ,��������� �� 4 JJ� 4� ������ �� 2���������� �����

������� �� ����� ��� ������ ���� �� 1�� + ����� �� ��

�DD*)&%:%*@BAB(�

=%(> ,��������� �� ������ �� 8����� ���� � ��� �����������

����� �������� 1�� + - �� ������� 2���� �DDF)&D:D%&A&C�

=%�> W J� ����� �� 2���������� ����� �� �� �� ������ 3 ��������

���� ��0�� � ����� ���� ������ � ������������� ��������

���� � ���� �DDC)%�:%BFAC%�

=%%> W J� ����� �� '� ����������� ����� ������� �� ������ ������

��0�� �� � ���� 1 ���� � ������������� �������� 1�� + �����

�� �� �DDD)&F:�(@*ABD�

=%&> ���� "� ,��������� �� '������ �� ��� ������ �� ��� �����������

����� ������� ���� � ���� �DD*)�B:%FA&*�

=%@> ���� "� ,��������� �� '������ �� ��� ������ �� ��� �����������

����� ������� 1�� + ����� �� �� �DDF)&&:&(*BAC(�

=%*> ,��� ;� � ������ �� ����� �����$�� ������� ��� ����� �����

?���� ����� �������� ��� ��� ����������� ����� �������

���� � ���� '��� ���� 2���� %((�)�D(:@&�BA&B�

=%F> ,��������� �� ����� ? J� L��� 8� ;����� �� ���� "� ��������

�������: �� �$�$�0 ��� ����� ��$���������� ���� � ���� '���

���� 2���� �DDF)�&D:&A@B�

=%B> 4 N�� ���� J� Q�� #'� ����� ��� �����?�� � ����� �����

���� ��� ����� ������ �������� ���� � ������� '��� ����

2���� �DDF)�&D:D�A�*B�

=%C> 4 N�� ���� J� + � �� ,��������� �� "�� �� Q�� #'� ����� ���

L$�$�0 ��� ���������� �� ��� ���� ��� ����� ������

�������� '�� ���� � ������� 2���� �DDF)&:&AC(�

=%D> ��������� � #??� ;+� # ����� �+� !������ �� �� ���� ����

��� �3 �����: ��� ��� ����� ����������� �� ��?���� ���

���� ������ 1�: ,������ "�� �������� �� ������ 8�$���������

� ,� ���� 2������ �������� B� 4�����: 2���$�� �DD%� �� %(BA*%�

=&(> ������ �R� ������ R� ������ +� #�� ��?���� �����3 �� ������ ��

�� ���� ������� �������� '��2 '��� ���� #�$ �DD@)@B:@*BADD�

=&�> "� ��� !� -�$�� ��� ������ �� ��� �� ���� ������� ������ ��

���� � �������� ��� �� ��������� "�8� 8��������� ������

Q�$����� 1������ -J� �DD*�

=&%> ���� +�� !��� !��� #�$�0 �� � �� �� ���� ������� ������� 0��

������� �� ������� �� ������� ��� �$����� ����� '��2

'��� ���� #�$ �DDD)*%:�BA&&�

=&&> ���� �� !������ �� ��� ����� �� �� ���� ����� �$�� ��

���� 2���� '��� ,� ���� 2��� �DD@)�&:�FDABD�

=&@> N��� '+� '����� �!� 8��� �$�� ���� �� �� ���� ������� � ���

&�8 ,2� �� ������������� ���� � - �� ������� 2����

�DDC)�@:*(*A�B�

=&*> U��� UJ� 4�� �#� ,� ���� ����� ���� ����� 9 ' ��������

�� ��� ���� � �� �� �DDD)B�:BBAC*�

=&F> ���� ��� � ������ �� 2$�� ���� �� ������� �� ��� �� ����

��� � ��� �� ��?�� ������� �� �� ���� ������ �3 ������

'��� ���� �DDD)�&*:@�A@*�

=&B> ��������� � ����� 4N� # ����� �+� #??� ;+� !������ ��

�� ���� ������ �3 �����: ���� ���������� � ��� ���� ��� �����

�� 0�$� ��������� '��2� + '��� ���� �DD()*B:@(@A�@�

=&C> �� 4+� ����� 4;� 1������� '#� !������ �� ������� � �� ���

�� ������� ���� � �������� 1�� + - �� ������� 2����

�DD()%D:��&*A*C�

=&D> 4 �? 28� 1������� '#� �� 4+� Q�� �� ����� ��� ���� �� �� ����

������ ������� � �������� ��� ���� � �������� 1�� + - ��

������� 2���� �DD%)&*:�B&BA*��

=@(> �� 4+� "� ��� !� ���� �� ����������� �$����� �1'� + '���

���� �DDC)*C:@%CA**�

=@�> ���� J��� ;������� '�� "� ��� �!� 1������ �3 ����� 0�� �����

��� �� ������� 9 ����� ��� ���������� �� ���� � ���������

.� ������ �� � �������/�

=@%> ,����� �� #�� ��?�� ���� ��� ����� ������� $������� ,12

��� ������ �� �������������� ��������� 2���� '��� ,� ����

2��� �DD*)�*:D&A�(%�

=@&> �� 4+� ,�������� �� ���� +!� ������� ����� ���� � ������

��� 2���� '��� ,� ���� 2��� �DD*)�*:�(&AD�

=@@> �� 4+� "� ��� !� ������� ����� �� ���� ������ ���� �

������� �� ����� �������� ��������� ���� � ���� �DDB)%(:%FA

&&�

=@*> �� 4+� "� ��� !� ������� ����� �� ���� ������ ��� �

����� �� ������� ��� � ��?��� �������� 1�� + - �� �������

2���� �DDB)@(:&(C*A�(��

=@F> "��� '�R� � ������ �� ���� +##� ��� ������� �� �� ����

����� ������ �� �0����������� ���� ��������� '��� ����

�DDC)�&(:%(DA%*�

=@B> � ������ �� � ������ JW� ��� ������� �� �� ���� �����

������ �� �������������� ���� ��������� '��2 + '��� ����

�DDC)F*:&((AD�

=@C> "� ��� !� �� 4+� U���� R� !������ �� ��� ��� 9 ' ��0

������� �� �� �������� � ��� �� ���� ������� ������� 1��

+ - �� ������� 2���� �DDF)&D:%((*A%D�

=@D> ����� � !������ �� �� �������� � �� ���� �������

�������� ���� ������ ������ Q�$����� 1������ -J �DDF�

=*(> ����� � "� ��� !� � ������ �� '������ �� ������� �� ���

� �� �� �������� � �� ���� ������� ������� �� ��������

�������� ���� � ������� '��� ���� 2���� �DDD)�B&:@@DAB&�

=*�> ���� ��� "� ��� !� � ������ �� ��� �������� ������� ���

������� �� �� ���� ���� ������� 9 '��������� �� �� ����

����� ��� �����$�� � �������������� �������� 1�� + - ��

������� 2���� %((�)*(:%%&&AFD�

=*%> � ������ JW� � ������ �� 2� ������� ��� �����$�� � �����

��������� ���� �������� �� ��� � �� ��� ������� �� �� ����

����� �������� 1�� + ����� �� �� %((�)&C:�F�ABC�

=*&> ���� "'� #??� ;+� !������ �� �������: ��0 ������ � �� ���

������ ��X 1�� + �� - �� ������� 2���� �DDF)&D:FCBAB(@�

=*@> � �� �'� #������� +8� -������ �� �������� ����� �������

� ��������� 1�� + - �� ������� 2���� �DDF)&D:&%B&A&(@�

=**> ���� "'� #??� ;+� � �� �'� ��������������5���� �������� ��

��� �� ��� ������� �� ������ �3 ������ 1�� + - �� �������

2���� �DDC)@%:CC*AD(F�

=*F> � ������ JW� � ������ �� ��� �� ���� ���� ������ ��

�������� �������� 1�� + - �� ������� 2���� �DDB)@(:BDBAC�*�

=*B> ����� R�� � ������ �� � ������ JW� �0� ��������� ����

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"#F*%

Page 15: The meshless hypersingular boundary node method for three-dimensional potential theory and linear elasticity problems

�������� �� ��� �� ���� ���� ������� 1�� + ����� �� ��

�DDD)&F:��%DA@B�

=*C> ���� ��� � ������ �� ��� �� ���� ���� ������ �� �����

��������� ������� � �������� ������ 1�� + - �� �������

2���� %((()@B:�*%&A@B�

=*D> ���� ��� � ������ �� � ������ JW� ��� �� ���� ���� ������

�� �������������� ���� ��������� 1�� + - �� ������� 2����

�DDD)@F:��F&AC@�

=F(> ���� ����������� ������� ��� ������� �� �� ���� ����������

9 '��������� � �������������� �������� ����� ��� ����

��������� "�8� 8��������� ������ Q�$����� 1������ -J� �DDD�

=F�> ,������ "�� ��� ,� ���� 2������ ������� � 2�������� %��

��� -�0 J��: �� �0 !��� �DD@�

=F%> #??� ;+� '� ������ �3 ���� ������� �� �� ���� $�� � �������

�� �������� ������������� M �� '��� ���� �DFB)%*:C&AD*�

=F&> U���0�? L�� ��� ;��� 2������ ������� &� ��� -�0 J��:

�� �0 !��� �DBB�

=F@> ,���� �+� ;��� 2������ "���� �� � 2������� '�������

2����0��� ������ -+: "������!���� �DBF�

=F*> -������� '� � ������ �� ' ������ ������ �� � ����� �$�� ��

��� �� �0����������� ������� 0�� �G ��� ����� ���� � ����

�DD&)�%:�DA%F�

=FF> � ������ �� ���� ��� �� W� 2$�� ���� �� ����� ��� ��

������� � �� ���� �������� ����� ��� ���� ������� �� �����

��������� ���� ��������� 1�� + ����� �� �� %((()&B:BF&&A*@�

=FB> 4 �? 28� J� N� � ������ �� 2������� �� �� ���� ����� ���

�����?�� �� ���� ������ �3 ������ 1�� + ����� �� ��

�DDC)&*:@@%BA&F�

=FC> ��������� �"� ���� +-� ����� �� 2�������� &�� ��� -�0 J��:

�� �0 !��� �DBF�

�-�- ���� �� ��- 8 '�( ���� �( ������ � ) �� 1.����� '������� ," 2,%%�3 /#9:/"# F*&