The Principle of Least Action - Feynman

8/3/2019 The Principle of Least Action - Feynman

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"he f ields travel onwardthe chapter.: to write the f i eld equa-a t m ak es i mm ed ia te lypractical purposes, it

!rlTIS of E and B, Butf climbed. Now we lireI I look different-we are

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EI principia de m.inirna accwn The Principle of Leats Action

Clast espccia l-praelill3mente palabra por palabra ,A special lecture-almost verbatim.:"Cuando estaba en Ill. se cu nd aria m i p ro fe so r d e fisic a -d e a pe llid o B ad er- m ellama un dia despues de la clase de Iisica y me dljo: usted parece abur rido ; quiero

ccntarle a lgo i rnere sante" , Y me contce lgo que me resulto completamente Iasclnan-te y que nuaca ba dejado de faseinarme, Cada vezque el problema surge, trabajosabre e l. En realidad, cuando comence a praparar estas clases me encontre realizan-do m a s anslisis sabre el asLIlI to. Y en vez de preocuparrne par la c la se me vieavueltoen un nuevo problema. EI lema es este: el principia de minima accicn.

"When I w as in high school, my phys ics teacher -whose name was Mr. Bade r=cal led me- down one da y after physics class and said, 'You look bored; 1 want (0tell you something interesting;' Then be told me s ome th in g wh ic h 1 (ound ab-solute ly fa sc ina ting,and have , s ince then, always found fasc inat ing . Eve ry t imethe subject comes up, I work on it, In Iact, when I began to p re pa re t hi s lectureI fo un d m y se lf m a kin g more a na ly ses o n th e th in g, In ste ad o f w orry in g ab ou t th electure, I got involved in B. new problem. The subject is [his-the principle ofleast action.

. . Los capirulos siguienres no dependen del centenido de esta clase 'especial -cuya inren-cicnes =emretener ", , Later chapters do not depend on the material oflhis special lec tu re -which is in-tended to be for "entertainment."19-1


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u p iruele (in a gravita-nIt v to some other pointd '\IIn. .

t In am ount of tim e. N ow .rr to there, i t went l ik e t hi s

said this: If yo u calculateaway t h e p o ten ti a l energy.fou 'll f ind that the numbered not in the form F = IIW: rage potenti al ene rgy i s asne point 10 another.If y ou la ke the case o f thet 's jus t take one dimensiondown and Dot sideways),gy is tm (dx/d/)2, and the: kinetic energy minus then t eg ra t e l ila t wiLh respee tppose thal at th e o rigin al

inicial I. par timos de una c ie rt a a ltura y que en el instaate final ' ] Uegamos decidida-mente a o tr o lugar.

"Entonces In integra l es

El movirniento real sigue alguna clase de curve -es un a p a rab o la s i 18representamoscon relae icn a l l .i empo- y da un cierto valor de Is integral. Perc podemos imaginaralgun otro t ipo de movirniento que suba y baje de 'alguna manera particular.

Podemos calcular la encrgia cinetica rnenos la potencial e integrar para esa trayec-toria ... 0 para cualquier otra que deseemos. Lo rnilagroso es que la trayectoria ver-da dera es a que lla pa ra la cual In integral e s m i nim a."In tentemoslo . Pr ir nero supongamos que tomamos el caso de una particula libr eque no tenga ninguna cnergia potencial. SegUn la regla, cuanda va de un punto a

otro en un ticmpo dado, la Integral de la energia cinetica es minima y entonces debeestar

time (} we started at some height and at Ihe end of the time t z we are definitelyending a t some other place.

"Then the integr al is

r ' ~ [ 4 m ( ~ ~ r mgx]df .The actual moUon is some kind of a curve-it's a parabola if we plo t against thetime-and g ives a certain value f or t he integral, B ut w e c ou ld imagine some othermotion that went very high and came up and down in some peculiar way.

W e ca n calculate the kinetic energy minus tlle potential e ne rg y a nd integrate forsuch a path ... or for any other path we want. The miracle is that the true path isthe One for which tha t int egra l i s leas t.

"Let's try it out. First, suppose we take the case o r a free particle for wh icht he re i s n o p ot en ti al energy a t all, Then the ru le says that in going fr om o ne p oi ntto another in a given amount of lime, the kinetic energy integra l i s l east , so i t I11USl

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animada de una velocidad uniforme. (Sabemos que esta es la respuesta corrects-estar an imada de un mov im iento uniferrne-c) i,Por que es asi? Porque si la particu-Is r ealizara otro tipo de movimien to, las velocidades ser ian a veces mayo res y a ve-ces r neno res que la velocidad med ia. La velocidad media es la misma en todos loscasas porque I s particula debe ir desdeaqui has ta alli CD un t iempo dado.

"Como ejemplo digamos que usted debe ir en automevil desde su casa basta18 escuela en un i:iempo dado. Puede hacedo de diferentes manCT8S: puede aceleraral principia y disrninuir luego la velocidad cuando esta Uegando 0 puede ir con-veloeidad uniforrne, 0 puede retroceder y luego avanzar y, asi, sucesivamente. EIhecho es que la velocidad media debe ser ev identemente la distancia total recor ridadividida per c l tiempo. Si hace cualquier cosa, excepto ir a velocidad unlfcrme,debera a veces ir mas rapido y a veces mas lento. Abora bien. el promedio deleuadrado de alga que se des v ia de un valor medio, como se sabe, es siempre mayorque e l cuadrado del promedio; asi pues, la in tegral d e Ia energia c inet ica debera se rs iempre mayor si marcha a velocidad ir regu lar que si 10bace a veloeidad unlforme,V em os a si que l a i nt eg ra l e s una min ima si la velocidad es constaate (cuando DO hayfuerzas). La t rayector ia cor reeta es como s igne .

No forces := sin fuerzasHere = aquiThem = alIi

"'Ahora bien, un objcto lanzado hacia 10 alto en un campo gravitatorio se elevaprirnero rapldamente y luego va mas lentameote. Esto se debe a que tambiea hayenergia potencial, y debemos tener un minima para 10 dijerencia entre las energiascini:ticas y potencial med ias. Como la energia potencial crece a rned ida que subimosen el espacio, tend remos una djferencia menor si podemos llegar 10 mas pronto po-sible basta donde hay una energia potencial alta. Entonces podemos quitar escpotencial de laenergia cinet ica y obtener un promedio menor, Asi pues, es mejortomarun camino que suba y logre de la energia potencial una cantidad de material ne-gativo,

go at a unifo rm speed. (We know that's the.right an swer -to go at a un iform speed.)Why ill that? Because if the particle were to go any other way, the velocities wouldbe sometimes higher and sometimes lower than the average. The aver age velocityis the same for ever y case becau se it bas to get from 'here' to 'there' in a givenamount of time."As an example, say your job is to start from home and get to schoo l in a givenlength of time with the car. You can do it several ways: You can accelerate likemad at the beginning and slow down with the brakes near the end, or you can goat a uniform speed, or you can go backwards for a while and then go forward,and so on. The thing is that the average speed has get to be , of course , the totaldistance that you have gone over the time. Bu t if you do anything but go at a uni-form speed, then sometimes yo u are going loa fas t and sometimes yo u are goingtoo slow. Now the mean square o f something that deviates around an average, asyou k new , is always greater than the square of the mean ; so the kinetic ener gyintegral would a lways be higher if you wobbled your velocity than if you went at auniform velocity. So we see that the integral is It minimum if the velocity is aconstant (when the re ar c no Iorces). The correct p a th is Iike this.

"Now, an ob ject. thrown up in a grav itational field does rise f aster fir st andthen slow down. That is because there is also the potential energy, and we musthave the least difference of k inetic and potential energy on the average. Becau sethe poten tial energy rises as we go up in space, we will get a lower difference if wecan get as soon as po sible up Lawhere there is a high potential energy. Then wec a n l ake tha t potenti al away f r O I 1 1 the kinet ic energy and sel a lower average. Soit is better to take a path which goes up and gets a lot of negative stuff from thepotential energy.

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MlJreMore

"Poro, Ivariable. ynima a maxy el calor sebernosc am in o e n e !


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t o go a t a uni form speed.)Iway, the velocit ies wouldge , The average velocitylere' to 'there' in a giventid get to school ina given. You can accelerate lik etr the end, or you can goule and then go fo rward,10 be, o f course, the totalanything but go at a uni-ometirnes you ar e go ingr es around an aver age, aslin ; so the k inetic energyity than i fyou went at a

rmum if the velocity i alike this.

does r ise faster fir st andtial energy, and we muston the aver age. Because:1 a lower difference if we)(en tial energy. Then weget II. lcwer average. Sor negat ive s tuff f rom the

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More -P.E. = mas -E.P.More + K. E. = m a s +E.C.

Par otra parte, no puede subir ni demasiado nipido, ni demasiado alto porqueentonces utilizani. dernasiada energia cinetica -fiene que andar muy nipido parasub ir y bajar en el tiempo fijo d ispon lb le, As] que no qu iere subir dema.siado alto ,pero quiere subir un poco. Vemos, asi, que Ill. soluc i6n es una espee ie de compromi-so que censiste en tratar de adquirir una mayor energia potencial con II I minimo deenergia cinetica adicional -tratar de que la diferencia, oinetiea menos potencial, sea10 m a s pequefia posible,

"Esto es todo 10 q ue me dijo mi profesor po rque er a muy buen p rofcso r y sabiacuando debia dejar de hablar. Pero yo no 5 1 . ! cuando debo deja r de habla r, Entonces,en lugar de dejar esto como comentario interesante los voy a horrorizar y a disgus-tar can las complejidades de la vida dernosrrando que es asi, La clase de problemamatematico que tend remoses muy dificil y de un nuevo tipo. Tenemos una eierta canti-d ad Uamada aecitin, S. Es la diferencia entre la energia cinetica y la potencial.integrada respectoal t iempo.Aceicn = S = . 1 (EC - EP)dt.

Recuerden que EP y Be 500 f unciones del tiempo. Para cada trayectoria posibled ifcrente obtend ran un nurnero d if erente para esta accien , Nuestro problema mate-matico es encon trar la cu rva para la cual esre valor es min ima."Ustedes diran: " 'Ah , esto es simp lemente el calculo ordinar io de maximos y ml-nimos. Calcula Is accion y luego der iva para encontrar e l minimo."Pero, [mucho cuidadol Ordinariamente partimos de una funci6n de una ciertavar iable. y debemos encontrar el v alor de esta variable para la cual la Iuncien es mi-nima 0 maxima, Par ejemplo, tenemos una varilla que ha sido calen tada en el med iay el calor se prepaga, Para cada punta de la vsrilla tenemos una temperatura y de-bemos encontrar el punto en el cual la temperatura es mayor. Pero abora para cadac am in o en e l es pa cio tenemos

"On the other hand, you can't go up too fast, o r too far, because you will thenhave too much kinetic energy involved-you have to go very fast to get wayup and come down again in the fixed amount of time available. So you don't wantto go too Iar up but you want to go up some. So it turns out that the solution issome kind of balance between trying to get more potential energy with the leastamount of extra kinetic energy-trying to get the difference, kinetic minus thepotential . as small as possible."That is all my teacher told me, becau se he was a very good teacher and knewwhen to stop talk ing . Bot I don 't know when to stop talking. So instead of leav ingi t a s an interes ting remark, I am going to horri fy and disgust you with the complexi-ties of Jife by proving that it is so. The kind of mathematical problem we willbave is very difficult and a Dew kind. We have a certain quantity which is calledthe action. S. Itis the kinetic ener gy. m inus the potential energy, integ rated overtime.

/.1,Action = S = (KE - PE) dl.II

Remember that the PE and KE are both functions of time. For each differentposs ib le path you get a dif fe rent Dumber for thi s act ion. Our mathemati ca l problemis to find out for what curve that number is the least.

"You say-Oh, that's just the ordinary calculus of maxima and minima.You calculate the action and just dif feren tiate to find the min imum."But watch out. Ordinarily we just have a function of some variable, lind we

have to find the value of that variable where the function is least or most. Forin stance, we have a rod which has been heated in the middle and the heat is spreadaround. For each point on the rod we have a temperature, and we must find thepo int at which that temperatu re is largest. But now for e a ch p a tt s i n s pa c e we have

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un mimero -aIgo completameate diferente- y debernos encontrar el camino en elespaci para el eua! el m im ero es un m inim a. Estaes una ram a de 13 m atem aticacom pletam ente diferente. N oes el ciL Icu10 diferencia! ordinario. D e hech e, sel e l lama ccifculo de variaciones ."Hay m uch os p ro blem as en esta clase d e m a te m ati ce , P or e je m pl o, la ci'r cu nf e-renc ia se define de ord ina ria comoe l hrgar geome tr: ico de todos los punta s que es tana una distancla eonstante d e un punta fijo ; s in e mb arg o, o tra fo rm a d e d efin [T u naclrcimferencia es esta: circunferencia es aquellacurva de longltud dad que enclerra13 mayor su pe rfie ie p os ib le, C ua lq uie r o tra e urv a e nc ie rra m en or su pe rtic ie p ara u nperimetro dado, que [a circuoferencia, Asi pues, si planteamos el problema: halla r lacurvaqueenc ie rr e [a mayor supernate para ua perimetro dado, tendremos un preble-rna de e idculo de variae lones -un calculo difereneial diferenee de aquel a! que esranhabiruados,=Realieemos pues el caleulo de III trayectoria de un ohjeto. Esta esIa forma enqu e 1 0 haremos. L a idea fundamental e s q ue irn ag in am os q ue hay una trayectoriaverdadera y que eualquier otra curva que dibujemos es una trayectoria false, dem an era q ue sic ale ula mo s la ac ci6 n p ara la tra yec to ria fa lse o bte ne mo s un valor qu ees m ay or q ue si calculamos la aecicn para la trayectoria verdadera.

True path = trayectoriaYcrdaderaFake path = treyectoria cquivocnda,

" Pro blem a: H allsr la tray ec to ria v erd ad era , l.D6nde esta? U na form a es, pa rs up ue sto , c alc ula r la . a c cie n p ar a millones de trayeciorlas y ver cuw es la mils baja.Cuando encuentren la ma s baja. esa es la trayeetor ia verdadera," Estees un m etoda posible. P er o p od er no s h ac er lo m ej or . .Cuando tenemos un acanl.idad qu e dene un minima -por ejemplo, en una funci6n ordinaria com o lalemperaLura- una de las propiedades del m inim a es que, 51 n os apartam os de e l enu na c an ti da d de primer o rd en , la d esv iac i6 n d e la funcion re spec ro a 5U valor mi-nim a es solam ente de segundo orden. En eualquier orro Jugar sabre la eurva, sinos apartam os una pequefia distancia, el vstor de 1 0 f 'u nc i6 nc am b i. li t am bl en e n un ac sr uid ad d e primer o rd en . P erc e ne l rn ln im o u n p eq uefio a pa rta rn ie nto n o p ro du ce ,e n p ri me ra a pr ox im ac le n, n ln gu na d it er eo cia .

a n um ber--q uite a different tbing -and w e h ave to fin d the path in space f or wh ic hthe number is the minimum. That is a comple te ly diff~rent branchof mathematics.It i s no t the ordina ry calcu lus , In [act, it is c al le d t he calculus of variations.

" Th ere are m an y p ro ble ms in th is k ind of m ath em atics. F or ex am ple, th ecircle .is usua lly de fined as the locus of all points at aconslanl distance from IIfixed point, bUI anothe r way o f de fi n ing a c ir cl e i s this: a circle is that curve ofg iven le.n,g lh whi ch encl os e s the b igges t a re a . Any othercurve e nc lo se s l es s a re a f ora. give.n per imeter than the circle does. So if we g iv e t he p ro bl em : f ind that curvewhich encloses the g re ate st a re a f or a g iv en perimeter, w e w ou l.d h av e a p ro bl emo f t he c al cu lu s of variat ions-c-a different kind of calculus than you're used to.

"So we m ak e the calculation for the path of an object. H ere is the way weare go ing to d o it. T he idea is that w e im agine th at there is a true p ath a nd thaiany other curve we draw is a false pa th, so tha t if we calcclatethe action for thefalse path we will get a value tb al i s b ig ge r th an ifw ec alc ula te th e a ctio n fo r th etrue path.

" Pro ble m : F in d tbe true path. W here is it? One way, o f c ou rs e, i s t o c al cu la tethe action for millions a nd m i ll io n s .of p ath s a nd look at which one is lowest.When y ou fi nd the lowest one, that's the truepatb.

"That 's a possible way. But we can do itbetter than that, W hen we have aquantity w hich h as a m inim um -c-for in stance, in an ordinary function lik e th et emp er at ur e= -o n e o f t he p ro pe rt ie s o r th e m in im um is th at if we go away fro m th eminimum in th ejil 's l o rd er , th e d ev ia tio n o f t he fu nc tio n fr om its m in im um v al ueis only second order. At a ny p la ce e ls e o n th e c urv e, if we move a smal l d is ta nc ethe value of the function changes. also in the first order, B ut at a m inim um , a tinymotion away makes, in t he f ir st approximation, no di fference .

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Tem perature Icm ~ra& aIM inim um - m inimoDistance = '~Sl.nndll


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the path inspace for whichnt branch of mathematics .aleulus o!variafio/1s.maries. For example, theconstant distance from a5: a circle is that curve ojcurve encloses less area fore pr oblem: find that cu rvewe would have a p rob lemIS t han you' re used 10.)ject. Here is the way wesre is a true path and thatalculate the action for thealculate the action for th e

I, of course, is to calculateat which one is lowest.n that. When we have II'dinary function like the11if we go away f rom thef rom i ts minimum value

YO move a smal l d is tanceBut at a minimum, a linyence,

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Temperature =emperaturaMin imum = minimaDistance = distancia

"Esto es 10 que varnos a usar en el calculo de la trayectoria verdadera. Si te-aemos una trayectoria verdlldera,una curva que difiera de ella solo un poco nop roducira, en prir nera aproximaclnn, ninguna diferencia en Ia accion. Si realmentetenemos un minima cualquie r d iferencia sera ensegunda aproximaoion,"'&to es flici) de demostrar. Si Ia diferencia es de primer orden cuando me des-

via de la curva en cierta forma. hay un cambio en La a ccion que es proporcionala la desviacien, EI cambio implica un aurnento de la accion; en caso eemrario nohemos partido de un minima. Pero entonces si elcambio es proporcional a ladesviacion, carnbiando el signo de la desviacion haremos la acci6n menor. Pod ria-r no s 1 09 !ar que la accion aumen tara a d ism inuyera segun el signa del apartamienlo .La Unica posih ilid ad par a que la accion sea realmente un minima, es que.Hq ,ar ie e nprimera aprcx imacion, que el cambia sea propor cional al cuadrgdo de 13desv iaeionrespecto a la trayectoria verdadcra.. "Asi pues, trabajarnos de esta manera: Llamemes x(1) (subrayado). ala trayec-tona verdadera -Ia que estamos buscando-. Tomamos alguns trayectona de pruebax(1) que d ifiere de la trayecto ria verdadera en una pequeiia cantidad que llamar emos17(t) (et a de I).

. .Ahara bien, la i dea es que s i calculamos I IIacc ion Spara e l camino x(l) enton-ces la diferencia entre esta S y la accion que caleulamos para el camino !_f .Q -que

"That is what we are going to use to calculate the true path. If we have thetr ue path, a curve which diff ers on ly a ILttle bit from it will, in the first approxima-tion, make no difference in the action. Any difference will be in the secondapproximation, if we rea lly have a minimum.

"That is easy to prove. If there is a change in the first order when I deviatethe curve a certain way, there is a change in t.he action that is proportional to thedevis t ion. The cha.nge presumably makes the acr i 011 greater; otherwise we haven'tgot a minimum. But then if the change is sropartional to the deviation, reversingthe sign o f the deviation will make the action less. We would get the action toincrease one way and to decrease the other way. The only way that it could reallybe a minimum is thai in theftrsl app rox imation it doesn 't make any change, thatth e changes are propor tional to the squar e o f the deviation s f rom the tru e path ."So we work it this way: We call x(/) (with an underline) the true path-s-theone we are trying to find. We take some trial path x(t) that differs from the tr uepath by a small amount which we wil l cal l ,,(I) (eta of I).

"Now the idea is that if we calcula te the act ion S fo r th e path X ( / ) , t hen thedifference between thllt S and the action that we calculated for the path x(r)-to

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para simplifiear la notao ion podemos llamar S- la diferencia entre S y S debe sercero en primer orden de aproximac ion para" pequefia, Puede diferir en el segundoo rden pero en e! p rimero [a difer encia debe ser cer o."Y esto debe ser cier to para cualquier I}. Bueno, no exaetamente, HI metodo not iene ningim sea tido a menos que consideremos las t rayectorias que empiecen y ter-minen en los mismos des puntas -cada trayectoria empieza en un cierto punto en

el instante IJ Y terminaen otro punto en un tiempo Iz y tanto estes puntos comoel tiempo se mantienen fijos . Asi pues, el apartamiento '1 debe ser cere en cada ex-tremo, fI(f,) =0 y i/(lJ =O. Con estas condiciones hernns espec if icado nuest ro pro-blema rnatematiee."Si ustedes no supieran nada de calculo diferencial, podrisn hacer [0 mismopara determinar el minimo de una funci6n ordinaria f(x}. Pod rian estudiar quesueede s i toman f(x} y le suman una pequefia can tid ad h a x e imponen que la co-r re cc lo a s ab re JrxJ para elprimer orden de II sea nulaen el minimo. Sustituiran xpor x + 1 1 y desarro llar an hasta el primer or den de h . .. exactarnente como 10vamosa h ac er para '1 . ... La idea es en tonces su stituir x(t} =x{l) + '1 (l) en [a formula para la aecion:

donde lIamo vty) a la energ ia po tencial. La derivada dx /dt es, por supuesto, la de-rivada de x(t) mas la derivada de 17(l) de maner a que obtengo la siguiente expre-s ion para laaccion:

"'Aho ra tengo que escr ibir esto en mas detalle. Para el termino cuadratico ob-tengo

Un momento. No me interesan ordenes m a s elevados que el p rimero , de manera quepondre todos los t erminos donde intervengan '110 potencias mayores en un pequefioparentesis que IIama re "lerminos de segundo orden en adelante". Del termino queestoy conside rando obtengo solamente eJ segundo orden perc cbtendre mas de otraparte. Entonces Is parte de la energia cin edca es

+ [terminos de segundo orden en ade lante] .

Ahora necesi tamos e l potencia l V en .!.+ '1 . Considero 'I pequefi a de maneraque puedo ese ribi r Vex} en ser ie de Tay lor. Es aproximadamente Vex); en la siguien-te aprox im ecton ~

simp lif y the writing we can caU it ~lhe difference of ~ and S must be zero inthe first-order approximation of small 11 . If ca n dif fer in the second order, butin the f irst o rder th e d ifference must be zero .

"And that must be true for any 11 at a ll. Well , not quite. The method doesn'tmean anything unless you conside r paths which aJI begin and end at the same twopoints-each path begins at a certain point at IIand ends at a certain other pointat t:l. and tho se po ints and times are kept fix ed. So the deviations in ou r 'Il have tobe zero a t each end. 1 / ( / 1 ) = 0 and '1(12) =O. Wi th tha t condi tion , we have speci -fied OUI mathematical problem.

"If you didn't know any calculus. you might do the same kind of thing (0find the minimum of an ordinar y functionl(x ). You could discuss what happensif you lake lex) and add a small amoun t II to x and argue that th e co rrection to f(x)in the first order in " must be zero a t th e minimum. You would subst itut e x + hfor x and expand out to the first order in II ... just as we are going to do with ,

"The idea is then thai we substitute X ( I ) = X ( I ) + '1(1) in the formula forthe action: -

where I c all the potential energy Vex). The derivative dx/dl is. of course, thederivat ive of X(I) plus the der ivat ive of 1/(/), so for the act ion I get thi s express ion:

s = ('I m (dll: + d7J ) 2 _ V(& + 1 1 ) ] dt.ll, 2 dt dt"Now I must write this out in more detail. For the squared tern} I gel

BU l wait, I "In not wo rrying abou t higher than the first or der, so 1w ill take all theterms which involve 11 ' and higher powers and pUI them in a little box called'second and higher order.' From this term 1g et only second order, but there willbe more from something else. So the kinetic energy part is

In ( d X ) 2 d x d l l d d hi I d)1" ii + Indt dl + (secon an Ig ier o r Ct.'Now we need the potentia[V at ~ + 1). Iconsider 11 small, so 1 can wr ite

V(x) as a Taylor series. IIs approximately V(:9; i n the next approximat ion19-8

lie llarnado V' a Irermino en 'I Iadelanto" y no n


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consiste en escribir la variacion de S y luego integrar por partes de tal manera quelas derivadas de 11desaparezcan. Bsto es siempre 10 mismo para todos los problemasen queaparecen derivadas,"Recuerden el prin cipia gener al d e la integr acion por partes. Si tienen cualquier

funcian/por d'1/dt I ntegr ada can r especto a t; esc riben la der ivada de " I f :

La in tegral que busean es sabre el Ultim.o t erm ino, asi que

En nuestra f ormula para 8S, la funcion f es m par d;c/dl; po r 10 tanto, tengo1a formula s ig u ie n te p a ra as. .

H I primer termino se debe calcular en los dos limites t. Y [1 Entonces debo obtenerla integ ral de 10 que resta de la in tegracien por partes. EI Ultimo termino se conserveSiD cambios.

"Hemos lIegado a alga que siempr e sucede -Ia parte in tegrada desaparece-: (Enefecto, si la parte integr ada no desaparece, [ vuelven a enunciar el pr incipio agr egan-do condiciones para que esto suceda realmentel) Dijimos an teriormente que '1 debeser eero en ambos extremes de la trayeetoria, porque el principia dice que la acciones un. minima a condiclen de que la curva variada cornience y termine en los dospuntos elegjdos. La conclici6n es que '1(1.)= 0 y 11(il)= O.Entonces e l t ermlno inte -grado es nulo. Agrupando los otros te rminos obtenemos :

La variacien de S esta ahora en la forma que queriamos ~ay alga entre corchetes,digamos F mullipl icado por '7( t} e integrado desde t, basta ll'Tenemos que una in tegral de cualqu ier co sa par 1 / ( 1 ) s iempre es cere

Tengo una funci6n de t; Is multipl ico por '1(t} y la integr o desde un extr eme bastael otro, Y cualquier a que sea 1 ) siempre sera eero. Esto signif iea que la funci6n F(t)es cero. Esto es evidente, pero de todas maneras les dare una especie de demos-traci6n."Su pongan que tomars para '7(l) alga que fuera cera para todo t,excep to en lasvecindades de un valo r particular. Permanece cer o basta acer earse a este t;

consists o f writing down the variation of S and th en integ rating by parts so thatthe der ivat ives of ljdisappear. Itis always the same in every problem in whichderivatives appear.

"You remember the general princ ip le for int egra ting by par ts: If you haveany funct ion/ times d 'l/ dt in tegrated with respect to t, you write down the derivat iveof'll:

d . dl d'ljdi ("f) = " dt + / dt .The integral you want is over the last term, so

f d." I d!/-dl = nl>: 7/-dtdt dt ."In our fo rmu la f or ~S, the function/is m times dx/dt; therefore, Iave the

fol lowing formula for as. -d I" 1 . ' . d ( d ) J , '26S = m d:! ,,(t) . - -d m d!. 1 ) ( 1 ) dl - V'C!) 1)(1) dt,t " I, I I I,

The f ir st t erm must be evaluated a t the two l imit s 11 and 12. Then I must have theinteg ral fr om the r est o f the integ ration by parts, The last term is brought downwithout change.

"Nowco.m.es something which aJwayshappens-thelntegraterl part disappears.(In fact, if t he integra ted par t does not disappear, you res ta te the princ ip le , addingcondi tions to make sure it does!) We have already said that 1J must be zero at bothends of the path, because the principle is that the action is a minimum providedthat th e varied curve beg in s and ends at the chosen points. The condition is that, . , ( i1 ) = 0, and 1 ) ( 1 2 ) = O. So the integrated term is zero. We collect the otherterms together and obtain this:

~S= ! : t [ _ m ~f- V'C!)] 1)(1) dt.The var iation in Sis now the way we wanted it-there is the stuff in brackets, sayF, a ll mul tipl ied by , . , ( t ) and integra ted f rom 11 to '2.

"We have that an integral of something or other times 7/(t) is always zero:

J F(t) 1/(1) dt = O .I have some function of I; I multiply it by 1 ) ( 1 ) ; and [integrate it from one end tothe other. And no matter what the 1) is, I get zero. That means that the functionF(t) is zero . That's obviou s, but anyway I'll show you one kind of proof.

"Suppose that fo r 1 ) ( t ) I look something which was zero for all 1 except rightnea r one par ti cula r value . Its tays zero unti l it gets to this t,

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ling by parts so tha try problem .in wbicbp rts. Ifyou have

l ie d ow n t he derivative

I, therefore, Iave the

/ , 1 ' V 'C ) ~(t) dt.lUlled part disappears.t the principle, addingt "mu t zero a t both

minimum providedT he c on di ti on i s t ha tWe c ol le ct the other

tu n II I brackets, sa y, , ( 0 Ik nlways zero:

19-JO

Iuego asciende por un momento para v o lv er l ue go a ser cere. A l oalcular 1 0 integralde esta 'I par una funcion P, eI uItico lugar en que encuentran alga que no sea ceree s d on de TJ{ l) acusa un pico y entcnces se obtiene el valor de F en el entorno muJ -tiplicado par la integral sobre el plco, La integral sola sabre el pica no es nula, percsi cuando se l a mul tip liea por F; luego La funci6n F debe ser nula donde se eoeuen-tra el pico. Pew el pico puede estar en eualquier lugar que 10 quiera co locar asique F debe ser cera en todas par tes."Vemos que s i n ue st ra integral e s c er o para cualquier '1 . el cceflcieute de '1 debeser cero, La integr al d e accien debe ser un minima par a el camino que satisf aga estacomplicada ecuacion diferencial:

En r ealid ad no es tan eomplicada; la han v isto antes. Es precisamente F =rna . Elprimer termino es la masa par II I aceleracion y el segundo es la derivada de [aenergia potencial que as l a f ue rz a.MAsi pues, par 10 menos para un s ist ema conservative, bemos demostrado que elprincipia de minima accion da la respuesta correcta; dice que la trayecroria quetiene la m in im a a cc ion e s a que lla qu e s atis fa ce J e Jey de Newton."Observacien: no demostr6: que era un minima = pu di er a s er un mWcimo-. Deheche, no es neeesario que sea rea lmente un minimo. Es alga anwogo a 10 queobservamos para el "principio de tiempo minima" que discutimos en optica. Tam-b ie n a li i dijimos al eomienzo que era un tiempo "minima". Sin embargo, resultoque hay siruacieaes en las que no e ra e l t iempo minlmo. EI principia fundamentale ra que para eua lquie r v ar ia ci6 n d e p r im er a rd en respeeto a J camino opt ico, e l eam-bio en el Liempo era cero ; es la misma historia. Lo que queremos significar realmentepor "minimo" es que la variac ion de primer orden en el valor de S. cuando varian

el camino , es cer a. No es necesariamente un "min ima" ."Ahora sef ia Ja re a lgunas generali zaeiones, En primer lugar , 10 do esto se puedereallzar en tres dimensiones. En lugar de tener solamente x, tendre x, y y z comofunciones de I; la accion es mils complicada, Para un movirnlento en tres dlmen-stones, deben usa r l a energia c inet ica cornple ta -{m/2) por el cuadrado de la velo-c idad total . Esto es,

then it blips up fo r a . moment and b l ip s r ig h t back down. When we do the in teg ralof this 'I limes any function F, tbe only place that you get anything other than zerowas wbere '1(/) was b lipping . and then you get th e value o f F a t tha t p lace times theintegral over the blip. The integral over Ut e bUp alone isn't zero, but when multi-pli ed by Fit bas to be; so the function F has to be zero where the blip was. Butthe blip was anywhere I wanted to put it, so F must be zero everywhere.

"We s ee t ha t ifour integral is zero for any 11 . then the coefficient of '1must bezero . The action integral will be a minimum for the path tha t s ati sf ie s thi s compli -cated differential equation:

[ d2x ]- m dt2 - V'(~) = O .It's not rea lly so compl icated; you have seen i t before. Itis just F =mao The firstterm is the' mass t imes accelerat ion, and the second is the derivat ive of the potentialenergy, which is the force.

"So, for a conse rvat ive sys tem at l east , we have demonst ra ted that the princ ip leof least action gives the r ight answer' i t s ays that the path that has the minimumact ion i s the one sat is fying Newton 's l aw.

"One remark: r did not prove i t wasa miJlimwn~maybe it's atnaximum. Infact , it doesn 't rea lly have to be a minimum, Iti squi te ana logous to wha t we foundfor the 'princ ip le of l east l ime' which we discussed in op tics. There also, we saidat first i t-was ' least' t ime. Itturned OUl, however, that there were situations in whichit wasn'l the leost time. The fundamental principle was tbat for any f irst-ordervariation away from the optical path, the change in time was zero; it is the samestory. What we really mean by 'least' is that the first-order change in the valueof S, when you change tbe path, is zer o. Itis not necessari ly a 'minimum. '"Next, I remark on some generalizations. In the first place, the thing can bedone in thr ee d imensions. In stead of just x. I would have x,y, and z as funct ionso r I; the action is more complicated . For th ree-dimensional motion , you have touse the complete kinetic energy-(mI2 ) times the who le velocity squar ed . That is,

J9-11


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Adermis, la energia potencial es una funcion de x, )I Y z, ;.Y que sucede can Lat ra-yectoria? La trayectoria es cierta curva general en el espacio, que no es tan facilde d ibu jar , p ero la idea es la misma. ;.Y que sueede con I]? Bueno. '1 puede tenertres componentes , Pueden desplaza r e l camino en x, 0 en j,0 en z -0pueden hacerloenlas t ees dlrecciones s imult aneamente- . Asi pues, '1 ser ia un vec tor. En realidad estono complies demasiado las cosas. Puesto que solamente la variacien de primerorden debe ser cer e, podemos realizar el ealcu lo por med ic de tres desplazamien tossucesivos, Podemos desplazar " 1 sotamente en la direoelen x y deck que el coefieienredebe ser cera. Obtenemos una ecuacien , Luego producimos el desplazamien to en ladireccion y y obtenem os otra, Y en l a d i reec io n z o bt en em os o tr a, 0, por supuesto,en cualqu ier otro o rden que quieran . De eualquier modo ob tieaen tr es ecuaciones.Por supuesto, la ley de Newton es, en realidad, tres ecuaciones en las tres d imen-siones -una para cada componente-. Creo que praeticamente pueden ver que tieneque funcionar, perc Jes dejo que demuestren por si mismos el caso de tres dlrnen-siones, Natnralr nente, pueden usar el sistema de coo rdenadas que qu ier an, polares 0o ua lq ui er o tr o, y obtener L a ley de Newton adecuada a este sistema, viendo que su -cede cuando SI: reaJi za un despiaza rniento . " s egun e l radio , 0, segtin e l angulo, e tc .

. .Ana logamente se puede general izer e l metodo para cua lquier numero de par ti cu-las. Si tienen dos particulas digamos, con una fu.erza entre elias, de manera quehay una energia potencial mutua, suman la energia cinetica de ambas particulas yl oman la energia potencial de Is intera. cc ion mutua . lY que es 1 0 que hay que var iar?Varien Is trayectoria de tlmbos particulas, Bntonces, para dos partlculas que semueven en tres dimensiones bay seis ecuaciones. Pueden variar Is pos ic ion de Isparticula J en la dlreccion x, en la y y en 1 . 0 . Z, y. en fo rma similar, p ars la particula2: asl que tienen seis ecuaciones. Y es como debe ser, Hay tres ecuaciones quedeterminan la aceleraci6n de la particula j en terminos de la fuerza actuante' sobreella y tres para la aceleracion de la particula 2, a partir de 1a fuerza sobre ella,Hacen el mismo juego y obtienen la ley de Newton en Ires dimensiones para eual-quier numero de particulas.

"Estuve diciendo que obtenemos la ley de Newton . No es del todo cierto , porquela ley de Newton incluye fuerzas no conservativas, digamos como las de Iriccion.Newton expreso que rn a es iguaJ a cualquier F. Pero el pr in cipia de m ln im a a ce ie nseapi ica sc lamenrea si st emas consen ra t i vQS - donde todas las fuer zas pueden ob te-nerse de una funcien po ten eial-, Saben, sin embargo, que a nivel microscoplco -alnivel mils profundo de la fisica- no existen fuerzas no conservativas. Las fuerzasno ccnservativas, oomo Las de friccien, aparecen salamente porque desp reciamosco rnp licaciones microscop icas -hay demasiadas particulas para analizar . Pero Sfpuede poner las leyes fundamentaies en la forma de un principia de minima accien."Gener alicemos aUn mas. Supongan que nos pr egun tamos que sucede si 1apar-

ticu la so mueve r elativ istamen te. No bemos ob tenido las ecuaciones relativistas demovimiento; F =ma es salamente corr ects en el caso no r elativ ista. E! p roblema es:i .hay un principio correspondiente aI de minima aecion en el caso relativista? Lohay. En eJ caso relat iv is ts la formula es l a siguiente:

Also, the po tential energy is a f unction of x, )1. and z. And what about the path?The path is some general cur ve in space, wh icb is not so e8S11yd rawn, bu t the ideais the same. And what about the 1) 7 Well 11 can have tliree components. Youcould shif t t il e paths in x, or in)l, or in z-o r you cou ld shift in all thr ee direction ssimultaneously. So 'Iwould be a vecto r. Th is doesn 't really comp licate thing s toomuch, though. Since only the f irst-order variation has to be zero, we can do thecalou lation by thr ee successive sh if ts. We can shirl I) on ly in the z-d ir eetion andsay that coefticient must be zero. We get one equation. Then. we shift it in thej-direction and ge t ano ther. And in the z-direction and ge t another , Or , of course ,in any order tbat you want. Anyway, you get three equations. And, of course,Newton 's law is really three equations in the three d imension s-one for each com-ponent. I think that you can pract icaUy see that it is bound to work, but we willl eave you to show for yourse lf tha t i t wil l work for three dimensions. Inc identa lly,you could use any coordinate sys tem you want, pola r or otherwise . and get Newton' slaws appropr iate to that system righ t off by seeing what happens if you bave theshift '1 / in radiu s, or in angle, etc.

"Similarly, the method can be generalized to any number o f particles. Ifyouhave, s ay, two par ti cle s with a force between them, so that there is a mutualpo tential energy, th en you just add tile k inetic energy of both particles and takethe potenti al ene rgy .o f the mutual in te.racti on. And wha.t do you. vary? Youvary the palils of both particles . Then, for two particles moving in three dimensions,there are six equations. You can vary the posit ion of particle In the x-direction,in th e j-dir ection, and in the a-d lr ection, and sim ilar ly fo r particle 2; so ther e aresix equations. And that's as it should be . There a re the three equat ions tha t deter -mine the acceler ation o f particle 1 in terms of tile f orce on it and three for the ac-celeration of particle ~ from the force on it. You fol low the same game through,and you get Newton's law in three d imension s fo r any number of particles.

"l have been saying that we get Newton's law. That i snot qui te true, becauseNewton's law includes nonconservative forces l ike frict ion. Newton said that mais equal to any F. But the p rinciple o f least action only works for conservativesystems-wllerc all fo rces can be goUen from a poten tial f unction. Y.oU know,however , that on B microscop ic level-on the deepest level of physics=ther e areno nonconaerva tive Iorces. Nonconservauve forces, l ike f ri ct ion, appear only be -cause we neglect microscopic complications-th ere are ju st too many par ticles toanalyze. But the fundamental laws call be put in the form of a principle of leastaction.

"Let me g ene ral i ze s t il l fu rther . Suppose we as k what happens if the particlemoves relativistically. We did not gel the righ t r elativ istic equation of motion;F = ma i s only r ight nonre la tivi st ically, The question is ; I s the re a cor respondingprincip le of least action fo r th e relativistic case? There is. The fo rmu la in th e caseof reiat ivityis the following:

s = - m o e 2 / , 1 1 vi - 1J2jc2 dt - q {'" (cfJ(x,)1, z, t) - U A (x, Y , Z, O J dt." h,19-12

L a pri mera Ill'srnl de unaf'l tenelel SlllllllntAlw.producto!!olamcnlclIln dados np lc tn d el mo'vlm"lien.


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And what abeut the path?so easily d rawn, bu t the id eaave thr ee components. YouJd shift in aU three directionst reaUy complicate things tooas to be zero, we can do the, only in the x-direction andion. Then we shift it in thed ge t another . Or, of course. ,equation s. And , of courselcnsions-one fo r each com~bound to work., but we w i J Jee dllnensions. Incidentallyotherwise, and get Newton' ;lilt happens jf you have the

number of partictes , lf youi so that there is a mutualr of both particles and takewhat do you vary? Youmoving in three dimensions. .)article In the x-direction,, for particle 2; so there are: three equat ions that dete r-: o n it and three for the ac-JW t he same game through,number of particles .a r is not qui te t rue, becauser ion. Newton said th at rnafnly works for conservativeltial function. You know,level o f physics-there ar ec e f ri ct ion, appear only be-,ju st too many particles toorm of a principle of least

'hat happens if the particlevinic equation of motion .s : Is there a correspondin~s, The formula in the case

r) - II' A(x, ) I, %, I)l dt,19-12

La primera parte de la integral de aceicn es la rnasa en repose t r i o por rf por la inte-gral de una funcion de la velocidad, v'1-l i2 / c 2 . Entonces, en Ingar de la energiapotencial solamente, tenerno s una integr al sob re el po tencial esealar tp y sobre eJproducto de v por el potencial vectorial A. Per supuesto que estames incluyeudosolamente fue rzas e lec trornagneti cas. Todos los campos e leet ri cos y magne ti ccs es-tim dados en terminos de rp y A. Esta funcion de la aceion nos da la teoria com-ple ta del movimiento rel at iv ist a de una par ti cula simple en un campo e lect romagne-tico. "Par consiguiente, dondequie ra que esc riba v , comprenderi lD que antes de catcu-lar cualquier eosa, deben sustituirdx/dl por v " y 10mismo par a. las o tr as compo-Dentes. Ademas pongan x(l). y(t). z(l) para el punto sobre la trayectoria en eltiempo I y que be esc ri to solamente x. )I. z, Proplamente hablando, solamente des -pues que hayan rea li zado estes reemplazos para las velocidades obtendrilD la formu-la de accien para una particula relativista. Dejare al mas ingenioso de ustedes elproblema de dcmostrar que esta formula de la acoien conduce en efecto a las eeua-ciones correetas del movimiento relat ivis ta. l.Les puedo sugeri r encarar e l problemasin tener en cuenta A, es deck. para ausencia de campo magnetlco? DeberilD obte-ner, entonces, las cemponeates de 13 ecuacion de movimiento, dp/dl = -q'Vtpdon de, como recuerdan p = mv / . ,I I - VZ!c1

..Es mucbo mas d ificil de conslderar el caso que inef uye el po tencial v ecto rial.Las variaciones resultan r nu ch o m as complicadas. Pero al [mal el tennillo que da lafuerza resulta igual a q(E + v x B), como debe ser, Pero los dcjo para que jueguencoo esto,"Quiero insistir que en el caso general, per ejemplo en Ia formula relauvista, elIntegrando de la accien no se escribe m a s bajo la forma de fa diferencia de laenergia clnetica y de la energia potencial. Esto es corr eeto so lamente en la aproxi-macien no relativ ists. Par ejemplo, el term.ino m , p2 y'l_l/z / c J . no es 10 que hemos

llamado energia cinetica .. EI problema de saber que es 10 que debe ser la action encada ease particu lar se tiene que resolver po r una especie de tanteo, Es precisamentee l mismo problema de dete:rminar a l comie :nzo cua les son las Jeyes del movimiento,Deben jugar coo las ecuaciones que conocen para tratar de ponerlas en forma deprincipio de minima acci6n."Una Ultima consider acion sob re terminologia, La funcian que se integ ra sobr e

61 tiempo para obtener la accrcn S se llama logrong/ano, .c, el cual es rundon delas velocidades y las posiciones de las particulas linicarnente. Par 10 tanto, eIprinc ip io de minima accien tarnbien se puede esc ribir

donde par x, Y "I entendemos todas las componentes de las pos ic iones y velocidades,Asi pues, si ayen hablar del "lagrangiano' saben que nos estamos refiriendo a Isruncian que se utiliza par a eaeontrar S. Para el movimiento relatlvista en un campoelectromagnetico

.. Ademas, debemos decir que la mayoria de Ja gente ma s precisa y pedante nollama realm ente "accion" a S. La llama "primera functen principal de Hamilton".Pero detesto dar una clase sabre "el-principio-de minlma-primera-funcion-principal-de-Hamilton" .

The first p ar t o f th e action in teg rruJS the rest mass r n a t imes c2 times the integralof a function of veloci ty, Vi - u'J jc2 Then instead of jus t the potent ia l ene rgy,we have an in teg ral over the scalar potential" and over u t imes the vector potentialA. Of course, we ar e then including only electromagnetic forces. Al l electric andmagnetic fields are given in terms of rP and A. This ac tion funct ion gives the com-plete th eory o f relativistic motion of a single par ticle in an electr omagnetic field.

"Of course, wherever Iave written v, you understand that before you try tofigure anything out , you must subst itute dx/dl for v,. and so on for the other com-ponen ts. Also, you put the po in t along the path at time I, x(t),y(t), Z(I) where I wrotesimply x,)I. z. Properly, it is only af ter you have made tho se replacements f or theII'S thai you have the formula for the action for a relativistic particle. I will leaveto the mare ingenious of you the p roblem to demonstrate that th is action formuladoes, in fact, give the correct equations of motion for relativity. May I suggestyou do i t f ir st without the . . 4 , that i s, for no magne ti c f ie ld? Then you should getthe component s oflhe equat ion or mot ion, dp/dt = -q " " I ( > , where, you remember,p = mil/vi - v 2 / c2

"It is much more difficnJt to include also the case with a vector potential.The variations get much more complicated. But in the end, the force term doescome out equal to g(E + v X B), as it should. But I will leave that for you toplay with."J Would like to emphasize that in the general case, for ins l ance in t he rei a -tivistic f ormu la, th e action in teg rand no longer has the f orm of the kinetic energyminus the potential energy. That's on ly tru e in rn ~nonrelatlvistic approxlmation.For example, the term moc2vL' - V2/C2 is not what we have called the kineticenergy. The question of what the action should be for any particular case mustbe determined by s ome kind of trial and error. Iti s just the same problem as deter -mining wha t a re the laws ofmotion in the f ir st p lace . You jus t have to f iddle a roundwith the equation s th at you know and see ifyou can get them into the form of theprinciple of least act ion.

One other point on terminology. The function that is integrated over timeto get the action S is called the Lagrangian, .c , which is a. function only of thevelocit ie s and pos itions of par tic le s. So the princ ip le of l east act ion i s a lso wr it ten

h , .S= .e(Xj, v,) dl,"where by X; and u, are mean t aU the componeats of th e positions and velocities.So if you bear someone talking abou t the 'Lagrang ian ,' you know they are talkingabout the function lhat is used to find S. For relativistic motion in an electro-magnetic field

.c = -muc~v I - U2/C2 - q ( 1 ( > + II' A)."Also, I shpuld sa y th at S is not realJy called the 'action' by the most pr ecise

and pedantic people. Itis called 'Hamilton's first principal function.' Now I hateto give a lecture on 'the-prillciple-of-least-HamiJton's-firsl-principal-function.'

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Asi pues, la l lamare "ancien" . Ademas, mas y mas gente Ja esta Uamando accion.Como ven bubo bis toricamente otra cosa no tan uti! a Iaque sellamo accion, peropienso que tiene mas senrido cambial a favor de una definicion m a s moderna. Mien-tras tanto podran llamar accion a la nueva fnncien, y muy pronto todo eI mundo lal lamara por su nombre mas simple."Ahora quiero agregar alga que es similar ala discusion Inicial acerca del tiem-po min ima. Hay una gran diferencia en las caracterist icas de una ley que dice queuna cierta integral desde un punto a otro es minima -que dice alga sabre toda1a trayectoria- y un a ley que dice que mient ra s av anz an hay una fuerza que produce:una aceleraeion, La segunda indica como reafizanel recorrido par la trayectoria encada punto y la otra es un enuneiado general sobre la trayeotoria completa. En eJcase de la luz hablamos de relaclon en tre estos dos puntos de vista .. Ahora les

quiero explicar por que hay Ieyes diferenciales cuando hay un principle de minimaaccion de esta clase. La razon es la siguiente: consideren la tr ayeoto ria real en elespacio y en el tiempo. Como antes, consideremos solo una dimension de modo quepodamos representar x en funcion de t. A 10 l argo de la t rayector ia verdadera S asun minima. Supongamos que se conozca la trayectoria verdadera y que pase poruncierto punto a, en e l espac io y en el tiernpo, y tambien po r otto punto vecino b.

Abora bien, s i In integral total desde t I basta' 12 es minima, tarnbiea la integral a 1 0largo de un pequeiio segmento ab es necesariarnente un minima. Bs imposible que laparte relat iva a ab sea un poco mayor. En caso contr ario podrian jugar can esteelemento de la trayectoria de tal manera que la integral total fuera un poco menor."Entonces cada subdivision de Ia trayectoria debe ser un minimo. Y esto es cier-to, cualquiera que sea el la rgo de 1a subd ivision. Par 10 tanto el principia de que Inintegral total nos da un minimo se puede enunciar lambien diciendo que un elernentoinf inites imal de 13trayectcria es tambien una eurva en la cual la aecien es minima.

Si consideramos una porcion suficientemente pequefia de la trayectoria -entre dospuntos a y b muy cercanos- , saber como varia lol lpotencial de un punto a otro le-jano no es 10importante, porque estan cas i sobre el mismo lugar at recorrer el tro-cito de trayectoria. L o unico que tienen que dlscutir es la variacicn de primer ordenen el potencial. La respuesta depende solamente de la derivada del porencial y no delpotencial mismo encada punto, Entonces el enunciado relative a Inpropiedad gene-ral de toda la trayectoria se t ransfonna en un juioic acerca de que sucede sobreuna pequefia secci6n de la lrayectoria -un enunciado diferencial,

So Iall i t ' the action. ' Also, more and more people are calling it the action, Yousee, historicaUy something else which is not quite as useful was called the action,but Ihink. it's more sensible to change to a newer definit ion. So now you toowillcall the new function the action. and pretty soon everybody willcall it by thatsimple name."Now I want to say some things on this subject which are similar to the dis-cussions1 gave about the principle of least time. There is quite a difference in thecharacteristic. of a law whichsays a certain integral from one place to another is aminimum-which tel ls something about the whole path-and of a law which saysthat as you goalong, there is a force that makes it accelerate. The second way tellshow you inch your way along the path, and the other isa grand sta tement about thewhole path. In the case of light, we talked about the connection of these two.Now, I would like to explain wby it is true that there are differential laws whenthere is a least action principle of this kind. The reason is the following: Considerthe actual path in space and time. As before, let's take only one dimension, sowecan plot the graph ofx asa functien of t. Along the true path, Sis a minimum.Let's suppose tha t we have tbe t rue pa th and that i t goes through some point ain space an d time, and also through another nearby point b.

Now jf lhe entire .integral from 11 to '2i5 a minimum, it is also necessary that theintegral along the little section from a to b isalso a minimum. Itcan't be that thepart from a to b is 8. Littlebit more. Otherwise you could just fiddle with just thatpiece of the path and make the whale integral a l it tle lower ."So every subsection of the path must also be a minimum. And this i s t rueno matter how short the subsection. Therefore, the principle that the whole pathgivesa minimum can be stated also by saying that an infinitesimal section of pathalso has a curve such that i thas a minimum action. Now jfwe takea short enoughsection ofpath-between two points a and b veryclose together-how thepotentialvaries from one place to another far away is not the important thing, because youare s taying almost in the same place over the whole lit tle piece of the path. Theonly thing that you hllve to discuss is the first-order change in the potential. Theanswer can on.lydepend on the derivative ofthe potential and not on the potentialeverywhere. So the statement about the gross properly of the whole path becomesa statement ofwhat happens for a short section of the path-a differential statement.19-14


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.re calling it th e action. Youseful was c a ll ed , th e action,lefinition, So now you too:verybody wi ll ca l l it by thath ic h a re sim ilar to the d is-e is qui te a dif ference in the>m o ne place to another is aill-and of a law which sayslerate, The second way tel lsII. grand stat ement about theie connection of these two.e a re dif fe rent ia l laws whenn is the following: ConsiderIke only one d imension, so: true path. Sis a minimum.goes th rough some po in t alint b.

it i s a lso necessary i li a! theumum, Itcan't be that th el id jus t f iddle with just tha tower.ninlmum. And tbis is truein eip le that the whole pathnflni tesirnal section of path)wi fwe take a short enoughoge tner -how the potenti alpor tant thing, because youUe p iece of the path. Theange in the potential. Theal and not on the potenti alof the whole path becomesb-a differential s tatement.

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Y, en este enunc iado difereneia l inte rv ienen solamente las der ivadas del potencial ,es decir, III. fuerza en cada puoto. Esta es III .exp licacion cualitativ a de la relacionentre I I I . ley global y la ley dil'erencial."En e l e as o de III .tuz discurirnos !ambien el siguiente problema: i ,Como puedeI II .par ti cu la encoa trar e l camino cor recro? Desde e l punto de vis ta dife. renc ia l es fac ilde cornprender, En car la ins tante suf re una ace le racion y no sabe m as que 1 0 quedebe hacer en ese in stante, Pero todas sus nooiones in tuitivas sob re cau sa y efecto seles haran pedazos cuando digan que la particula decide tomar el camino segun eIeual III..accion va a ser minima. i,Es que "o lfatea" los caminos veeinos a fin de sabers i I II .aee len es 0 no mayor? Rn. el caso de la luz, cuando poniamos diafragmas a finde que los fcrones no pudieran ensayar todas las trayectorias, encontramos que nopod ian decidir el camino a segui r y obtuvimos el fen6meno de dlfraccicn...i,Se eu mple 10 mismo en I a m e ca ni ca ? ~Es correeto que III.particula no solotome Ia t rayector ia verdadera" sino que tambien examine todas las otras l rayec tori asposlbtes? Y si h ay obstacu lcs en el camino, i.no sera que ob tendremos un f enomen 0ana logo a I II ..difraceien? La milag roso de todo esto es, pOTsupuesto, que suceda p re-cisamen te asi, Es 1 0 que nos dicen las leyes de la mecimica cuimtica. Entonces elenunciado de nuestro prin cip le de min ima accion es inco rnp leto . No es que una par-tieu la tome la trayector ia de minima accien sino que olfatea todas las tr ayectoriasvecinas y adop ta I II..que tiene la min ima accion por un metodo analogo al que la luzadopta para el tiempo mas corte, Recuerden que la razon POt In cual la In adoptael tiempo mas corte es la siguiente: si emprende una trayectoria que emplea unt iempo diferente , L lega .racon una fase diferente . Y III .ampli tud to ta l en eada punta esla suma de Jas con tribuciones de II I..amp litud para todo s lo s dif er entes camincs pordonde puede lI egar II I. luz. Todos lo s eaminos que, dan fases muy d if erentes no con-tribuyen para. nada. Perc 51 p ueden encoutrar todo un grupo de trayectorias euyas

fases sean casi iguales y entonces las pequeiias contr ibuciones se surnan y el resu l-tado es que llega a una amplitud total razonable, El camino importante es ahoraaqucl para el eual hay muchas trayector ias vecinas que tienen Is misma rase.

"Es exactarnente 1 0 mismo para 1 8 mecan ica cuaru ica. La mecsn ica cuantica(para el caso no relativista y despreciando el espln del electron) trabaja comosigue: Is probabi1idad de que una partieula que parte del punta J en el tiempo IIl legue 11. .1unta 2 en loll iempo ' 1 es el cuad rado de una amplltud de probab ilid ad. Laamplitud total se puede escriblr como In suma de las amplitudes de cada trayector iaposible -para cada maner a de I legar-. Par a cada x(t) que pod amos tener -para cadat rayeetor ia imagina ri a posible - debemos calcula r una ampli tud. Lucgo las surnamestodas. LQue tornamos como amp litud para cada trayector ia? Es nuestr a integral d eaccicn la que nos indica cual debe sec la amp1itud correspondiente a una solatrayectoria, La arnplitud es proporcional a una cierta constante por e ls /fI, dondeS es la accien para la lrayecto ria.. Es decir , si rep resen tamos la Iase de III.amplitudpar un numero complejo, eJ imgulo de f ase es S lli. La aecion S none dimensiones deenergia per t iempo y la constante de Planck 11 t iene las mismas dimensiones, Es laconstante que deter rn ina cuando es impor tante la mecanica cuant ica ,

"EI funcionarniento es como s igue : supongan que para todas las t rayeetor ia s Ses muy grande comparada can 11 , Una t rayector ia contr ibuye con una c ie rt a a rnpl i-tud, Para una trayectoria vecina la fase es bastante diferente, porque con una Smuy gr ande. un pequefio carnbio de S signiflca una fase completamente

And thi s dif ferenti al s ta tement only involves the der ivat ives of the potent ial , thatis. the force at a point . Tha t' s the qua li ta tive explana tion of the rel at ion betweenthe gross law and the diff erential law.

"In the case of light we also discussed the question: How does th e particlefind the right path? From the differential point of view, it is easy to understand.Every moment it gets an acceleration and knows only what to do at that instant.But a ll your instincts on cau se and ef fect go haywire when you say that the particledecides to take the path tbat is going to give the minimum action. Does it 'smell'the neigbboring paths to find out whether or no t they have more action? In thecase of ligh t, when we pu t b locks in the way so that the photons could not test alltbe paths , we found that they couldn't figure out which way to go, and we had thephenomenon of diffraction.

"Is th e same thing tru e in mechanics? Is it true that th e particle doesn't ju st' take the right path ' bu t that it look s at all the other possib le trajectories? And ifby having things in the way, we don't let it look, that we will get an analog ofdif fraction? The miracle of it all is, of course, tha t it does just that. That's whatthe Jaws of quantum mechanics say. So our principle of least action is incom-pletely stated. It isn't that a particle takes the path of least action but that itsmells all th e paths in the neighborhood and chooses the one that has the leastact ion by II method analogous to the one by which light chose the shortest time . .You remember that th e way ligh t cho se the shor test time was th is: Ifit went on apath that took a diff erent amoun t o f time, it would ar rive at a d ifferen t phase, Andthe total amplitude at some point is the sum of contributions of amplitude for allthe different ways the light can srrive, All the paths that give wildly differentphases don't add up to anything. But if you can find a whole sequence of pathswhich have phases almost all th e same, then the little contribu tions will add up andyou get a reasonable total amplitude to arrive. The important path beoomes theone fo r wh ich ther e ar e many nearby path s wh ich give the same phase.

"It is just exactly the same thing for quantum mechanics, The completequantum mechan ics ( for th e nonr elativ istic case and neg lecting electron spin)works as fol lows : The probabi li ty tha t II particle starting at point I at the time t 1will arrive at point 2 at the time '2 is th e square o f a probability amp litude. Thetotal amplitude can be wri tten as the sum of the amplitudes for each poss ib le path+-f C l t each way of arrival For every XCI) that we could have-for every possibleimaginary trajectory-we have to calculate an amplitude. Then we add them alltogether. Whal'do we take for the amplitude for each paLh? Our action in teg raltells us what the amplitude for a single path ought to be. The amplitude is pro-portional to some constant times eiS/ft , where S is the action for that path, Thatis. if we represent the phase of th e amp litude by a complex number , the phase angleis SfA. The action S has dimensions of energy t imes time , and P lanck' s constant fl .has the same dimensions. It is the constan t that determ ines When quantum me-chanics is important.

"Here is how it works: Suppose that for all paths, S is very large compared toII. One path contribu tes a cer tain amplitude. For a nearby path, th e phase is quitedif fe rent , because with an enormous S even a small change in S means a complete ly

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diferente -porque Ii es muy pequciia. Asi pues, trayectorias veeinas cancelaran nOT-malmente sus efecros cuando se baga la suma- excepto para una region, que esdon de una t rayector ia y otra vecina den la misma fase en primera aproximacion(mas precisamente la misma accion a menos de It}--. Solo es tas t rayec toria s sonlmportantes. Entonces, en el caso limite donde la con s tante de Planck Ii t iende acero, las leyes correctas de la mecanica cuantica pueden resumirse diciendo sim-plemenle. :"O]vidar todo 10 de las amplitudes de probabilidad. La particula va poruna trayeotoria particular, aquella para la cual S no varia en prirnera aproxima-cion", Esta es la relacion entre el principio de minima acclen y la mecanica cuanti-ca.. EI heche de que la mecanica cuantica pudiera fortnularse de esta forma fuedescubierto en 1942 por un estudiante del pr ofesor Bader . La mecanica cusndca fueformulada originalmente bajo Ia f orma de una ecuacien diferencial par a Ia amp litud(Schrikl inger) y, t ambien bajo la forma del calculo mat ri ci al (He isenberg) .

..Ahora quiero hablarles de otros principio s de minimo en f isiea. Es muy in tere-sante. No pretendo darles una lista completa sino solamente describir uno m a s .M a s adelante, cuando Ueguemos a un feno rneno fisico que tiene un llndo p rinciplede minimo, hablaremos de el . Quiero mostrarles ahora que podernos describir laelectrostatic a no ya dando una ecuaeion diferencial para el campo, sino dieiendoque una eierta integral es un maximo 0 un minimo. Primeramente conslderemcsel caso en que se conoce la densidad de carga en todo punto y el problema esencontrar el potencial ~ en tode punto del espacio, Saben que la respuesta debe ser

Pero otra forma de deeir lo mismo es: calculen la integral U " doode

que es una integral de volurnen extendida a todo el espacio, Debe ser un minimopara la dist ribucion de potencial cor rect s p(x. y, z)."Podernos der nostr ar que estas dos formas de encarar la electrostatica son equi-valcn tes. Supongamos que tomamos una funcion eualquiera, Queremos demostrarque cuando tomamos para rp el potencial correcto tp mas una pequeiia desviacion J,entonces e l cambio en c r es cere en primer orden. Esonbimos entonces

La tp es 10 que estamos buscando, pero produciremos una var iacion sob re ella a finde eomprobar si la variaeicn de U" es cero en primer orden. Para la primers partede U" necesitamo que

EI unico terrnino de pr imer orden que varia es

different phase-because 11 , is so tiny. So nearby paths will normally cancel theire ffec ts out in t aking lltesum---except fo r one region , and that is when a path. anda nearby path all give the same phase in the first approximation (more precisely,the same act ion within 1 i . ) . Only those paths wi ll be the important ones. So in thelimiting case in which Planck's constant fi goes to zero, th e cor rect quantum-mechanical laws can be summarized by simply saying: 'Forget about all theseprobabi li ty ampli tudes. The par ti cl e does go on a spec ia l path, namely, tha t one forwhich S does Dot vary in t he f ir st approximation .' Tha t' s the rela tion between theprinciple of l east act ion and quantum mechanics. The fac t that quantum mechanicscan be formulated in this way was discovered in 1942 by a student of that sameteacher. Bader, Ipoke or at th e beginn ing of this lecture. [Quantum mechanicsW a s originally formulated by giving a diff erential equation for the amplitude(Schrodinger) and a lso by some other mat rix mathemati cs (He isenbergj .]

"Now Iwant to talk about other minimum principles in physics, There aremany very in ter esting ones. 1will nol try to list th em aU now but will onJy describeone more. Later on, when we come to a physical phenomenon which has a niceminimum principle, Iwi ll t ell about i t then, Iwant now to show that we can de-scr ibe e lect rost ati cs , not by giving a dif fe rent ia l equa tion for the f ie ld , but by sayingtbat a certain integral is a max imum or a minimum. Fir st, let's take the case wher ethe charge densi ty is known everywhere , and the problem is to f ind the potenti al !/ Ieverywhere in space. You know that the answer should be

Bur Mo ther way of stating the same thing is this: Calculate th e integ ral U,where

which is a volume integral to be taken over all space. This thing is a minimumfor the correct potential dis tribution l(J(x, y, z).

"We can show that the two statements about electrostatics are equ ivalen t.Let 's suppose ! .hat we pick any funct ion < # I . We wan! to show that when we takefor .p the correct potential !,plus a small deviation/, then in the first order, thechange in U is zero. So we write

4>=t/i+f.The f is what we are looking for, but we are making a variation of it t o f ind wha tit has to be so thai the variation of U' is zero to first order. For the first part ofU, we need

The onJy f ir st-orde r t erm that wil l vary i s

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Eo el segundo termine

donde la parte varis itamos la integral

'Ahora bi~n. .asunto quede libre deproduct" escala r es

que debemos integrarlmegramos por par tesgeneral con que eli

II( I~rmino intcgradhacer 1/ igual II CmRl; preci 160: u -' 1 1 1 1 : [lJnga el m i H m or~ nucstra integral


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hs wi ll normally cance l the irand that is whena path androximation (more precisely.Ie importan t ones. So in thezero. the cor rect quantum-ng: 'Fo rget about all theseial path, namely. that one forat's the relat ion between thefact that quantum mechanics-2 by a student of tbat samec rure , [Quantum mechanicsequation for the ampli tuderatios (Heisenberg).]ciples in physics. There are111now but wil l only describesenomenon which has a n icelOW t o show that we can de-n for the f ie ld , but by say ing;ir8t, let's take l h . e ease wherelem is to find the potentiai lj l1 1 d be

rulate the integral U,whereIclV,t. This thing is a minimumIectrostaties are equivalent.to show that when we ta.i(e; then in the f ir s t o rder , the

1 var ia tion of it to find whatorder. For the first part or

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En el segundo te rmino de U '" Is integral es

donde La parte variable es pf Entonces tomando solamente la parte variable, nece-s itamos la integral

..Ahora bien, siguiendo la vieja regia general, debemos procurar que todo elasunto quede libre de las derivadas de f Bxaminemos como son las deriv adas ...Elproducto escalar es

que debemos integrar respecto a x, y y z, Este es el truce: para despejar alloxin tegrar nos po r par tes respecto a x. Esto llevara las der ivadas a 'P ' Es la misma ideagene ral con que elim inamos las deri~ adas respecto a t. Utilizarnos la igualdad

E l termlno in teg rado es nulo puesto queIebe ser cera en el infinite, (Correspondehaeer r, i gual a eero en I, Y (2' Entonces nuest ro princ ip io debe ser enunciado canmas precision: (]t es rnenor para la ver dader a rp que par a cualquier atra q(x. r. z)que Lenga el mismo valor en el infinite, Podemos hacer 1 0 misrno para y y z. Enton-ces nuestra integral .1U" es

A fin de que esta var iacion sea nula par a cualqu ier J, no impar ta cua l, el coefic ientedeIebe ser eero y, por 1 0 tanto,Volvemos a nuestra vieja ecuacicn. Eruonces nuestra proposlcien de "minima" escorrects .."Podemos generalizar nuestra proposition si reallzamos nuestro catculo en unaforma un poco diferente. Volvamos a la integracion par partes sin pasar por lascornponentes. Comencemos por analizar la siguiente igualdad:

Si realize la deriv ation del p rimer miembro puedo derno str ar que es pre cisarnenteigual al segundo. Pueda utilizar ahora esta eeuaoien para integrar par partes. Ennuestra integral .1U*, reempiazarnos -"ill]!' 'V I por . fr I2 , - 'V' (fi7!P) que integrarnossobr e el vo lumen . Se puede reemp lazar la integ ral d e volu rnen de Ind iver gencia po runa integral de superfieie

Como estamos integr ando sobr e todo el espaeio, la superficie sabre la que estamosin tegrando esta en el ifinito. Entonces f es cero y obtenemos Ia rnisma respuesta queantes

Inthe second term of the quantity U . th e integ rand isp. p =p! + pI ,

whose variab le part is pf So, keeping only tbe var iable par ts , we need the integraltJ.~ = j < f OVl!: ' Vf- pf)dV.

"Now, following the old general rule, we have to get the darn thing all clearof der ivat ives of J. Let's look at wbat. the derivatives are, The dot produot is

o r / > o f 04; o f a c f J01a~ a x +ay ay + a ; a z Iwhich we have to integrate with respect to x; to y, and to z, Now here is th e trick:

to get rid of a / / a x we integrate by parts with respect to x. That will car ry theder ivat ive over onto Lbe .p . I t' s the same general idea weused to get r id ofderiva tiveswith respect to I. We use the equal ityj o~ a / dx = l0.p _ j / a 2f_ fix.i1 x i1 xiJ x iJ x ZThe in teg rated term is zer o, since we have to make/zero at infin ity. (That co rre-sponds to making 1') zero at ta and 12. So our princ ip le should be more accuratelystated: U is J e s s for the t rue tf > than for any other .p(x, y, z) having the same valuesat infinity.) Then we do the same t hing for y and z, So our integral tJ.U is

str = !


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~S610 ahora vemos como resolver el problema cuando 11 0 sabemos doade seencueerran todas las car gas. Supongan que tenemos conducto res sobr e Los que haycargas r epartidas de una cler ta fo rma. Podemos u tilizar nuestr o p rincipia de minimo51 los potenciales de todos los conductores son fijos. Para obtener U" integramossolamen te sobre el espacio ex ter ior a Los conductor es. Entonces, como no podemosvariar II) sobre eL conductor, f es cera sobre toda la superficie, y Laintegral desuperfiele

s igue siendo aula. La integral de volumen restante

debe extenderse solamente at espacic comprendido entre los conductores, Por su-PIlCSIO, obtenemos nuevamentela ecuaeion de Poisson.

Hemos demostrade, asi, que nuestra integral original U es tambien un nurumo sila calculamos sob re el espacio ex terior de conductores que estan a potenciales fijos( es decir, tal que roda fUDci6n de prueba IPfx. y, z) sea igual al po tencial d ado de losconductores cuando x, y, z es un punto sobre la super ficie de un conducto r)."Hay un caso interesante cuando las cargas esran solo sobre los conductores.

Entonces

Nuestro priacipio de rrnmmo dice que en el C8!10 en que los cenductores estana cierto s petenciales dados, los po teneiales en tr e ello s se aju s\'an en tr e si de maneraque U" sea minima. "Que integral es esta? EI termino ' i l r p es el campo electrieo demanera que Ja in tegral es la energ ia electrostatics. ELcampo verdadero es aquel, d etodos los que provienen de un gradiente de potencial, que tenga la energia totalminima." 'Quiero apli ca r est e resultado 8 un cruculo particular, a f in de mostrarles quetodo este es realmen te u t i ] en 1 8 practice. Supongan que tome dos conductores enforma de condensador cil indrico.

"Only now we see how to solve a problem when we don't know wher e all thecharges ar e. Suppose that we have conducto rs with charges spread ou t on them insome way. We can still use our minimum principle if the potentials of all theconductors are fixed. We carry out the integral for U. only in the space out sideof all conductors. Then, since we can't vary .; on the conductor.! is zero on allthose surfaces, and the surface integral -f I V ' . . n dai s s ti ll zero. The remaining volume integral

6.U = !(-EOV2' . . - p p _ ) I d Vis onJy to be carried out in tbe spaces between conductors. Of course, we getPoisson's equation again,

VII.; = -p/Eo'So we have shown that our original integral U is also a m i nim um ir we evaluateit over the space outside of conductors all at fixed potentials (thal is, such that anytrial t/I(x, y. z) must equal the given potential of the conductors when X, y, z is apoint on the surface of a conductor ).

"Ther e is an interesting case when the on ly charges are on conducto rs. ThenU = ~ f (V.;)2 tIV.

Our minimum princ ip le says . tha t in the case where there are conductors set atcer ta in given potent ia ls , the potentia l between them adjust s i ts el f so tha t in tegralU ls Ieast, What is th is integral? The term v!/l is the electric field, so the integralis the electrostatic energy. The true field is the one, of all those coming from thegr adient of a po tential, with the min imum total energy.

"Iwould lik e to use this result to calculate something particular to show youthat these things are really quite practical. Suppose I take two conductors in theform of a cylindrical condenser.

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we don', know where all theiar ges sp read outon them in1 if the potentials of all thefl only in the space outsidee conductor,fis zero on all

dV~uctOTS. Of cou rse, we get

F a minimum ir we evaluateflltials (that is, such that anylanductors when x, Y. z is ae s are on conductor s. Then

there are conductors set atf '! jusls i tself so that integralelectric field, so the integralr aU tbose coming from thet.~ing particular to show youlake two conducto rs in th e

E J conductor inter ior t iene e l potencial V y el exterior esta a potencial cera. Sea ael radio del conductor interior y b e l del exter ior. Podemos suponer ahara cualquierdistribucion de potencial entre los dos. Si uti li zamos la rp correcta y calculamos(Eo l2)J( ' \ l1fJ)2dV. debe resultar la energia del sistema: 4CV2. Podemos entoncescalcular C par media de este principia. Pero si u tilizamos una distribucion de po -iencial equivocada para calcular la capacidad C par este metoda, obtendremos unacapacidad muy grande, puesto que Vesta especificado . Cualquier po tencial 'P queadoptemos y que no sea exactamente correcto conducira a un valor falso de C quees mayor que el valor correcto, Pero si el falso 'P es cua lquier aproximac i6n brutaal valor correeto, el valor de C que obtendremos sera una buena aproximaci6n por-que eJ error en C es de segundo orden en relacion al error de 'P '

"Supongan que no conozco l a capac idad del condensador cilindrieo, Puedo uti -lizar este p rincip le para eneon trarla. Bnsayo can funciones potencial p bas ta obte-ner el menor valor de C. Supongan, per c jempio , que adopto un potencial quecorresponde a un campo con s tante. (par supuesto, saben que el campo aqui no esverdaderamente constante , var ia como Ilr.) Un campo eonstan te irnp lica un poten -cial que varia linea1mente can la distancia. Para que se sa ti sfagan las condicionessobre los do s conduetores es neeesario que

Esta f unci6n vale V en l =, cera en r = b; y entre los dos valores t iene una varia-oion constante igual a -VI(b~a). Bn tonees 10que debemos haeer para encontrar laintegral U* es multiplicar el cuadredo de este gradiente por lo/2 e hrt egra r sobretodo el volumen. Hagamos este calculo para un cillndro de longitud unitaria. Unclemento de volumen de radio r es 2;rrrdr. H ac ie nd o 1 8 integral encuentro que miprimer ensayo me da par a la cap acidad

La integra l es racil; vale

Tengo asi una f6rmula para la capacidad que no es Ia verdadera sino que se tratade algo aproximado:

Naturalmente es diferente de la rcspucsta correcta C =27rEo/ln(bla). He resumidolos resul tados en esta t abla :

The ins ide conductor has the potenti al Y, and the outside is at the poten tial zero.Let the radiu s of th e inside conductor be a and that of the outside, b. Now we cansuppose an y dis tr ibut ion of potenti al between the two. If we use the correct !.and calculate fo/2 f (VI/J)2 dV , it should be the energy of the system, ,CVZ.So we can also calculate C by our pr in ciple. Bu t if we use a wrong distribution ofpotential and Iry to calculate the capacity C by th is method, we will get a capac itythat i s too big, since V i s spec if ied. Any assumed potenti al ", tha t i snot the exactlycor rect one wil l g ive a fake C that is larger than the correct value. But if my false4 > is any rough approximation, the C will be a good appreximation , because theerror in C is second order in th e erro r i n " ,.

"Suppose Ion' t know the capac ity of a cyl indr ical condense r. Ian use th isprinciple to find it. 1just guess at the po tential function '" until I ge t t he lowes t C.Suppose, for instance, Ip ick a poten tia] th at corresponds to a constan t field. (Youknow, o f course, that the field isn 't really con stan t here; it v aries as l/r.) A fieldwhich is con stan t means a po ten tial wh ich goes lin early with distance. To fit theconditions at the two conductors, it must be

'" = V ( l - ; : = : ) .Th is function is Vat, = 0, zero at 7 = b. and in between has a constant slopeequal to - VI(b - 0). So what one does to find the integral U. is multiply thesquare of this gradient by fo/2 and integrate over all volume. Let's do this cal-culation for a cylinder of unit length. A volume element at the radius r is 2 1 1 ' " 7 dr.Doing the integral, Iind that my fiTst try at the capacity gives

1 ~. fO {b V 2 dr'2 C V (first try) = 2 " . 1 0 (b _ 0)2 2 1 1 ' " r .The integral is easy; i t i s just

7r~ (: ~ :).

So I have a fo rmu la for th e capacity which is no t the tru e one but is an app rox imatejob:

C b+a27rfo = 2(b - a)

It is, natu rally, diff erent from the correct answer C = 27r1!!/J n (blo), but it's nottoo bad. Let's compare it with the right answer f or several values of bfa. I havecomputed out the answers in this table:

C . . , r d . C(1. aprox.) b Ctnlo C (first approx.)-Q 2'l1'fO 2"'(02 1.4423 i . s o o4 0.721 0.83310 0.434 0.61210 0 0.267 0.51

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Aun cuando blu sea 2 -que nos cia una gran variacion en el campo comparada canun campo Iioeal- obtengo una buena ap rox imaci6n . La r espuesta es, por supuesto,demasiado elevada, como era de esperar. Las ouestiones resultaa peores cuandotienen un lI.Iambre muy delgado en el interior de un gran eilindro, En este case, elcampo presenta enormes variaeiones y silo considerasen CO D s t an t e , no 10 estarianrepresentando bien. Con b [a = 100 nos encontraruos con un factor cereano a 2.L os result ados Son mucho rnejores para bla pequefio, Tomando el caso del extremoopuesto, donde lo s conductores no estsn muy apartados =digamos que bla=1,1-ent:onces e I campo constante es una buena aprnximacien y obtenemos el valorcorrecto para C a menos de un decirno par ciento .

..Ahora querria mostraries como mejo rarei catcu.lo. (po r supuesto, eonacen larespuesta corrects para el oilindro, pero el metodo es el rnismo para algunas otrasf or ma s r ar as , donde no conoeen la r e sp u est a co rr ect a .) EI proximo paso se ra buscaruna mejor aproxirnaci6n al valor desconocido y verdadero de tp. Po r ejemp lo, po -dri amos ensayar para 'P una constante mas una exponencial, etc. i.Pero como sabencuando tienen la mejor aproximacion, a menos que conozean el verdadero valor deip? Respuesta: calculaa C; el menor valor de C es el valor mas proximo at verdade-ro o Desar rc ll emos esta idea . Supongan que e l potencial DO es l ineal s ino cuadrat icoen r -que el campo electrieo no sea constaate s ino lineal- , La fonna cuadraticamas gelleral que eumple rp =0 para r =b y tp = V para r =a es

donde a es un numero eonstan te cualquiera, Esta fo rmula es algo mas comp licada.Tiene tanto un terrnino cuadratico en el potencial como un termino lineal. Es fllcilob tener el campo a partir de ella, EI campo es simplemente

Debemos ahora e levar aI cuadr ado e integr ar sob re el volumen. pero , un memento.i.Que valor debo to rnar par a a? Puedo tomar una parabola para tp; pero ~que para-bola? Esto es 1 0 que bago: calculo la capacidad con WI a arbttrario. Lo queobtengo es

Parece un poco complicada.. pero es 1 0 que resulta de la in tegracion del cuadr adodel campo. Ahor a puedo escoger mi a. S e que el r esu ltado cor recto es mas bajo quetodo 1 0 que vay a calcular: as! que, cualquiera sea el valor que dea a,obrendre unarespuesta demasiado grande. Pero si_juego con A" hasta ob tener el meno r valo r posl-ble, este rnenor valor es mils proximo aI valor correcto que tad os los dernss. As!pues, tomo cI valor

1.5l.J

2.466210.492070

2.5010.500000

Even when bla is as b ig as 2 -which gives a pretty big var iation in the field com-pared with a l inea rly varying f ie ld-l get a pre tty fai r approximation . The answeris, of course, a l it tJ e 100 high. as expected, The thing gets much worse jf you haveII tiny wire inside a big cyl inder. The .n the f ie ld h a s enormous variarions and if yourepresent i t by IIconstant, you're not do ing very well. With bfa = 100, we're offby nearly a factor of two. Things are much better for small b]. To take the op-posite extreme, when the conductors are not very far apart=say bla = l.l-thenthe constant field is a pretty good approximation, an d we get the correct value f orC to w ith in a ten th of IIpercent.

"Now I would l ike to tell you how to improve such a calculation. (Of course,you know the right answer for the cylinder, but the method. is the same for someother odd shapes, where you may not know the right answer.) The ned step is totry IIbet te r approximation to the unknown t rue e. For example, we might try aconstant plus an exponen tial ~,etc. But .how do you know wben you have a bett erapproximation un less you know (be true f [ J ? Answer: You calculate C; the lowestC is the value nearesr the truth. Let us try t hi s idea out . Suppose that the potenti alis not linear but say quadrauc in r-that the electric field is not constant but l inear.The most general quadrat ic form tha t f it s" =0 at r = band 4 1 = Vat r = a is

where a is II ny constant number. This f ormula is a little more complicated . Itinvolves a quad ratic term in the potential as well as IIlinear term. It is very easyto gel the field out of it. The field is j ust

E = _ d~ = ....~ + 2(1 + a) (r - a)V.dr b - a (b - 0)2Now we have tosquare thi s and integra te over volume . Bu t wait a moment. Whatshould 1 take for a? Ian lake a parabola for the 4 1 ; but what parabola? Her e'swhat 1do: Calcu late th e capacity with an arbitrary a. What J get is

C a [ b ( a 2 20: ) I 2 J ]=-- --+-+ I +-a +_.21fE(I b - a a 6 3 6 3I t looks a l it tl e compl icated , bULit comes out o f in tegrating the square of the f ield .Now J can pick my a. Iknow that [he truth lies lower than anything tha; I amgoing 10 calculate, 10 whatever I pu t in [or a is gOiDg to g ive me an answer too b ig .Bu t ir I k eep playing with a and get the lowest possible value I can, that lowestvalue is nearer to the truth than any other value. So what I do next is to pick the

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11 & alculal ion. (Of course,thoo is t he same fOTsomen W r.) T he nex t step is tor e ample, we migh t tr y aI)W when you have a better.111 C'111cu1ateCj the lowestSUPllose thai the potentialIII nOlconstanlbuLlinear.II nll!/l = Y at r = a is

: : Y llite more complicated. 11III II term, Iti s very easy

(r u)V(II 0)2 lIuI \\'I it IImoment. WhatIIWhat parabola? Here' sWh II gel is

hI the square ofLhefield.I Ih III IInyth.in,g that Imv me an answer toO big .v dlle I can , that lowest

III I , It > next is [0 pick the

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de cr para que me de el valor minimo de C. Haciendo esto mediante eI calculo dife-rencial ord inaria obtengo que cr = -2bl(b + a) da e l valor minimo de C. Sust ituyen-do este ValOTen la formula obtengo Ia capac idad minima

"He calculado C po r m.edio de esta formula para difer entes valores de b]a. Lla-InO (euadra ti ca ) a estos numeros , Esta es la tabla que compara C(cuad riU:ica) cone l valor verdadero de C.

a that gives the minimum value for C. Working it out by ordinary calculus, 1 g ettha t the minimum C occurs for a =-2b/(b + a). Substituting tbat value intothe formula, Iobtain for the minimum capac ity

C b2 + 4a b + a227Tto = 3(bZ - a2)

"I've worked out what this formula gives for C for variou s values of bia, 1call these numbers C(quadralic). Here is a table that compares C(quadratic)wi lh the true C.

verdadera h C . . . . , _ C(quadratic)cuadratica a 2W 'Eo 211'EO2 1.4423 1 . 4 4 44 0..721 0..733

lQ 0..434 0..475100 0..267 0..3461.5 2.4662 2.4667l.l 10..4920.70. 10..4920.65

"Per ejempio, cuando la relacion entr e lo s radios es 2 a I, tengo 1,444 que esuna buena aproximacion al valo r verdadero 1 ,4423. Aun para bla mayores ,Ja apro-imacion sigue siendo buena -yes mucho, mucho mejor que la primera aproxima-cion-. Tambien es suficientemeote buena -solo difiere en 10 por ciento- cuandobla es como 10 a I. Pero cuando la relation es de 100 a 1 =bueno, la euesuen sepone muy mal-. Obteogo que C es 0.346 en vet de 0,267. Par otra parte, para unarelaci(m de los radios de 1,5, la respuesta es excelente, y para bla igual a 1,1 Iarespuesta es 10,492065 en vez de 10,492070. Donde la respuesta debe ser buena,pero muy buena."Les he dado este ejemplo, primero, para mostrarles eJ valor teorico del princi-pio de minima accion y de los principios de minima. en general, y segundo, paramostrarles su utilidad praetica -pero solamente para calcular una capacidadcuando conocemos larespuesta correcta-. Para cualquier otra forma, puedenconslderar un campo aproximado con algun parametro desconocido, digamos crque luego ajustan para obtener un minimo. Pueden obtener resultados numericosexcelentes p

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The Principle of Least Action - Feynman