The resonance tunneling of coupled pair of particles in

МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

92 Вестник МГТУ “Станкин” 1 (24), 2013

УДК 53.043 Гусев А.А., Виницкий С.И., Чулуунбаатар О., Красовицкий П.М.

Gusev A A, Vinitsky S I, Chuluunnbaatar O, Krassovitskiy P M

Резонансное туннелирование пары связанных частиц в адиабатическом представлении

The resonance tunneling of coupled pair of particles in adiabatic representation

Рассмотрена модель резонансного квантового туннелирования составных пар частиц или ионов, связанных осцилляторным потенциалом, через короткодействующие или дальнодействующие отталкивающие потен-

циальные барьеры. Для симметричных и короткодействующих потенциалов результаты расчетов методом

Канторовича совпадают с результатами численного решения двумерного уравнения методом матричной про-гонки с использованием метода Нумерова.

А model of the resonance quantum tunneling of coupled pair of particles or ions interacted by potential of oscillator

type on short-range or long-range repulsive barrier potentials is considered. For symmetric and short-range potentials

results obtained by Kantorovich method are agree with results obtained by solving the two-dimensional boundary-value

problem by Numerov method. Ключевые слова: резонансное квантовое туннелирование, метод Канторовича.

Keywords: resonance quantum tunneling, Kantorovich method.

В статье рассмотрена физически приемлемая

и математически обоснованная модель квантово-

го туннелирования составных пар частиц или

ионов, связанных осцилляторным потенциалом,

через короткодействующие или дальнодейству-

ющие отталкивающие потенциальные барьеры

[1-3]. Авторы анализируют систему двух одно-

мерных частиц или ионов с дискретным спек-

тром по поперечной переменной относительного

движения частиц в системе центра масс как для

симметричных или несимметричных коротко-

действующих, так и для дальнодействующих

потенциальных барьеров. В методе Канторовича

сформулирована многоканальная задача рассея-

ния для двумерного уравнения Шредингера в

декартовых координатах с помощью разложения

по адиабатическому базису – собственным

функциям параметрической задачи Штурма –

Лиувилля, зависящей от продольной переменной

как от параметра. Используя асимптотические

состояния задачи рассеяния, включающие неиз-

вестные матрицы коэффициентов прохождения

и отражения, сформулированы краевые условия

третьего рода для системы обыкновенных диф-

ференциальных уравнений (ОДУ) второго по-

рядка с матрицами переменных коэффициентов,

заданных на конечном интервале изменения

продольной переменной. Для дискретизации

краевых задач используется метод конечных

элементов. Матрицы связи каналов вычислены с

контролируемой точностью программой OD-

PEVP [4]. Численное решение краевых задач для

системы ОДУ реализуется в новой версии про-

граммы KANTBP 3.0 [5]. Авторы сравнивают

результаты расчета по эффекту квантовой про-

зрачности, сущность которого заключается в не-

монотонной зависимости коэффициента про-

хождения при резонансном туннелировании па-

ры частиц [1]. Частицы, связанные осциллятор-

ным потенциалом, туннелируют сквозь различ-

ные потенциальные барьеры. Механизм появле-

ния резонансов основывается на факте наличия

метастабильных состояний. Для симметричных

и короткодействующих потенциалов результаты

расчетов методом Канторовича совпадают с ре-

зультатами численного решения двумерного

уравнения методом матричной прогонки с ис-

пользованием метода Нумерова.


Вестник МГТУ “Станкин” 1 (24), 2013 93

Волновая функция ( )x yΨ ,% % % двух частиц

(ионов), связанных осцилляторным потенциа-

лом, проходящих сквозь отталкивающие барье-

ры ( )iiU x% % , подчиняется двумерному уравнению

Шрёдингера [3]:

2 2 2 2

2 2

2 22 2 2x x x

M y x

µω

µ

∂ ∂− − + + + − Ψ , = ,

∂∂

h h% % % %

% %

2 21 21 2( ) ( ) ( ) 0E x yx x xU U

− − + + + − Ψ , = ,

% %% % % %% % %

(1)

где ω% – частота осциллятора; E% – энергия;

1 2M m m= + – полная и 1 2m m

Mµ = – приведенная

массы системы; 1 2 1s y s xx = +% %% , 2 2 3s y s xx = −% %% –

переменные в лабораторной системе ( 1 2,x x% % ) и

системе центра масс ( ,x y% % ). Параметры

1 2 /s m M= , 3 1 /s m M= , 2 1 3s s s= определя-

ются через массы частиц 1m и 2m . В безразмер-

ных переменных ,x y : 1 1

osc oscx x x y M x y− −= , = ,% %

1 1

osc oscx x x y M x yµ− −= , = ,% % где

oscx µω= h

% – осцилляторная

единица длины, уравнение (1) принимает вид

2 22

2 2( ) ( ) 0x V x y x y

y xε ∂ ∂

− − + + , − Ψ , = , ∂ ∂

(2)

где 2 / oscE E Eε ≡ = % – безразмерная энергия и

( )V x y, – потенциальный барьер (в осциллятор-

ных единицах энергии, 2osc

E ω= %h ) в терминах

1 2 1x s y s x= + и 2 2 3x s y s x= − :

1 1 2 2( ) ( ) ( )V x y U x U x E, = + ≡ + .

( ) ( )( )11 21 2( ) ( ) ( ) oscV x y U x U x E x xU U

−, = + ≡ + .% %% %

(3)

Модель А. Выбираем потенциальный барьер

( )i i

U x с эффективным зарядом ˆ 0iZ > в форме

отталкивающего обрезанного кулоновского по-

тенциала, с обрезанием на малых min0 1x< < и

больших max 1x > расстояниях от 0i

x = как в [1]:

min min max max

min max max

ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2( ) ; ;0, .i i i i

i i i i i

i

Z Z Z ZU x x x xx x x xxx x x

= − ,| |≤ − , <| |≤ | |>

| |

Модель Б. Квазикулоновский потенциал

( )i i

U x , зависит от целочисленного параметра

2s ≥ , параметра обрезания min 0x > [2]:

( )1/

minˆ( ) 2

ss s

i i i iU x Z x x

−

= | | + .

Модель В. Рассматриваем также несимметрич-

ный потенциальный барьер гауссовского типа [1]:

( ) ( ) ( )22 exp 2 1 2i iiA ix xU πσ σ= − , = , ,% % % (4)

с параметрами 0 1σ = . , 1 2 1m m= = , 10A = .

Для сравнения резонансного туннелирования с

прохождением бесструктурной частицы исполь-

зуем одномерные уравнения

2 22

2exp 2 ( ) 0 1 2 3

22

s osc

i

b a x ydE y i

dy m

µχ

σπσ

− + − − = , = , , ,

(5)

для частиц с массами 1m , 2m или

3 1 2m M m m≡ = + , проходящих сквозь такой же

при 1s

b = , или удвоенный барьер при 2s

b = .

Асимптотические краевые условия для реше-

ния 1( ) ( ) o

o o

N

i iy x y x =Ψ , = Ψ , при описании дви-

жения связанной пары частиц в состоянии o

i в



а) б)

Рис. 1. Абсолютные значения волновых функций модели Б для Ẑ1 = Ẑ2 = 0,5: (а) резонансное прохождение

T11 = 0,9259 при при ε = 2E = 8,1403 и (б) почти полное отражение T11 = 0,0161 при ε = 2E = 9,4748

направлении слева направо имеют вид

( )( )121 2 (0)( ) ( ) exp sign( ) ln(2 )o o o o oio

Z

i i i i ipy x p B x p y y p yΨ → −∞, → − | |ч

( )( )121 2 (0)

1

( ) exp sign( ) ln(2 )o

oj

NZ

j j j j jip

j

p B x p y y p y R=

+ − − | | ,∑ ч

( ) 0oi

y xΨ , → ±∞ → .

( )( )121 2 (0)

1

( ) ( ) exp sign( ) ln(2 )o

o oj

NZ

i j j j j jip

j

y x p B x p y y p y T=

Ψ → +∞, → − | | ,∑ ч

(6)

Здесь

oN – число открытых каналов при

фиксированной энергии 2 (0)2 0

oiE p ε= + > ; за-

ряд 12 0Z = для моделей А и В и

12 21 2ˆ ˆ( )Z sZ Z= + / для модели Б;

ojiR и

ojiT ис-

комые коэффициенты отражения и прохожде-

ния; (0) ( )jB x – собственные функции осциллято-

ра с соответствующими собственными значени-

ями энергий (0) 2 1j jε = − при 1j ≥ :

22 (0) (0) (0) (0)

2( ) 0 ( ) ( )j j i j ijx B x B x B x dx

xε δ

∂− + − = , = .

∂

2 (0) (0) (0) (0)( ) 0 ( ) ( )j j i j ijx B x B x B x dxε δ+∞

−∞− + − = , = .∫

(7)

Ищем решение краевой задачи (2), (6) в виде

разложения Канторовича

1

( ) ( ) ( )N

i j ji

j

x y B x y yχ′ ′

=

Ψ , = ; .∑ (8)

Набор базисных функций ( )j

B x y; по быст-

рой переменной x и соответствующих соб-

ственных значений ( )j

yε , зависящих от мед-

ленной переменной y как от параметра, выби-

рается как набор решений краевой задачи для

уравнения на сетке min max ( ) ( )x

x y x yΩ , :

22

2( ) ( ) ( ) 0j j

dx V x y y B x y

dxε

− + + , − ; = ,

(9)

min max( ( ) ) ( ( ) ) 0j j

B x y y B x y y; = ; = ,

(10)



max

min

( )

( )

( ) ( )

x y

i j ij

x y

B x y B x y dx δ; ; = .∫

Подставляя (8) в (2) и усредняя (2) и (6) по

функциям ( )j

B x y; с учетом (10), получаем кра-

евую задачу для системы ОДУ с однородными

краевыми условиями третьего рода на сетке

min max y

y yΩ , :

2( )

2

( )( ) ( ) 2 ( ) 0,

jd d d yy y E y

dy dy dyχ

− + + + − =

QI V Q I

(11)

( ) ( )min max

min min max max

( ) ( )( ), ( ),

y y y y

d y d yR y y R y y

dy dy= =

Φ Φ= Φ = Φ

(12)

где I , ( )zV и ( )zQ единичная, симметричная и

антисимметричная N N× матрицы

max

min

( )

( )

( )( ) ( ) ,

x y

j

ij i

x y

B x yQ y B x y dx

y

∂ ;= − ;

∂∫

( ) ( )ij j ij

V y y dxε δ= +

(13)

max

min

( )

( )

( )( )x y

jiij j ij

x y

B x yB x yV y y dx

y yε δ

∂ ;∂ ;= +

∂ ∂∫

вычисляются вместе с набором решений (9),(10)

с помощью программы ODPEVP [5], ( )R y –

матрица логарифмических производных размер

а) б)

в) г)

Рис. 2. Зависимость полной вероятности P ≡ 11P T≡ прохождения от энергии ε = 2E через обрезанный кулоновский ба-

рьер (верхние рисунки) и квазикулоновский барьер (нижние рисунки)



ностью N N× и ( ) ( ) ( ) 0

1

Nj

jy zχ

=Φ = – матрица

решений размерностью 0N N× , вычисляются с

помощью программы KANTBP 30.

В расчётах были использовали значения па-

раметров: 1 2 1m m= = , min 0 1x = . , 1 2

ˆ ˆ 0 5Z Z= = .

и 1 2

ˆ ˆ 1Z Z= = , а также max 5x = для модели А и

8s = для модели Б. На рис. 1 показано поведе-

ние волновых функций при резонансном про-

хождении и полном отражении. Зависимость

полной вероятности прохождения

2

11 11

oN

jjP TT =

≡ = | |∑ пары ионов в начальном-

Рис. 3. Сверху – зависимость полной вероятности про-

хождения P ≡ 11P T≡ через потенциальный барьер (4)

структурной частицы от энергии ε = 2E, рассчитанная с

помощью метода Канторовича (сплошная линия) и ме-

тодом матричной прогонки с использованием метода

Нумерова (пунктирная линия). Также на рисунке при-

ведена вероятность прохождения бесструктурной ча-

стицы массой m1 = m2 = 1 через одиночный барьер (5)

(штриховая линия) и массой m3 ≡ M = m1 + m2 (штрих-

пунктирная линия) через удвоенный барьер при A = 10

и σ = 0.1. Снизу – зависимость квантовой диффузии D11

от температуры E0

состоянии 0 1i = через обрезанный кулоновский

и квазикулоновский потенциальные барьеры мо-

делей А и Б, показаны на рис. 2. Эти графики

показывают, что более реалистичным выглядит

использование модели Б – квазикулоновского

барьера. В этом случае барьер более широкий,

чем обрезанный кулоновский, и соответственно

набор максимумов в зависимости коэффициента

прохождения имеет большую ширину.

В качестве интегральной характеристики

процесса рассмотрим квантовую диффузию

( ) 0

00

( ) ,E E

D E P E e dE∞

− /= ∫ (14)

определенную при данной температуре 0E , как

интеграл от вероятности прохождения ( )P E с

усреднением по распределению Больцмана. Рас-

четы полной вероятности прохождения 11P T≡ в

модели В, а также резонансная квантовая диф-

фузия 11D , показаны на рис. 2 в сравнении с

диффузией для бесструктурной частицы. Видно,

что в целом вероятность прохождения структур-

ной частицы ниже, чем бесструктурной частицы

массой 1m или 2m , но гораздо больше, чем бес-

структурной частицы массой 3 1 2m M m m≡ = + .

Таким образом, вероятности прохождения бес-

структурных частиц дают верхнюю и нижнюю

оценку вероятности резонансного прохождения

барьера связанной парой частиц.

Из рис. 3 также видно, что результаты расче-

тов методом Канторовича (8)–(13) с незначи-

тельными отличиями совпадают с результатами

решения двумерного уравнения (2) с асимптоти-

ческими краевыми условиями (8) методом мат-

ричной прогонки с использованием метода Ну-

мерова. Работа поддержана РФФИ 11-01-00523,

10-01-00200.

Библиографический список

1. Пеньков Ф.М. Квантовая прозрачность барьеров для

структурных частиц // ЖЭТФ. 2000. Т. 118. N 4(10). C. 806-

815 [JETP 2000 v. 91, P. 698–705].

2. Goodvin G.L., Shegelski M.R.A. Three-dimensional

tunneling of a diatomic molecule incident upon a potential bar-

rier // Phys. Rev. A, 2005, v. 72, P. 042713-1-7.



3. Gusev A.A., Vinitsky S.I., Chuluunbaatar O., Gerdt

V.P., Rostovtsev V.A. Symbolic-numerical algorithms to solve

the quantum tunneling problem for a coupled pair of ions //

Lect. Notes Comp. Sci. 2011, v. 6885, P. 185-191.

4. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., Abrash-

kevich A.G. ODPEVP: A program for computing eigenvalues

and eigenfunctions and their first derivatives with respect to the

parameter of the parametric self-adjoined Sturm-Liouville prob-

lem // Comput. Phys. Commun. 181, pp. 1358–1375 (2009).

5. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I.,

Abrashkevich A.G. KANTBP 2.0: New version of a program

for computing energy levels, reaction matrix and radial wave

functions in the coupled-channel hyperspherical adiabatic ap-

proach // Comput. Phys. Commun. 2008, v. 179, P. 685-693.

Гусев Александр Александрович – канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник лаборатории информа-

ционных технологий Объединённого института ядерных исследований (ОИЯИ).

Тел.: 8 (496)2163348. E-mail: [email protected]

Виницкий Сергей Ильич – д-р физ.-мат. наук, профессор, ведущий научный сотрудник лаборатории теорети-

ческой физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ.


Чулуунбаатар Очбадрах. – д-р физ.-мат. наук, начальник сектора, лаборатории информационных технологий

Объединённого института ядерных исследований.

Тел.: 8 (4962)162529. E-mail: [email protected],

Красовицкий Павел Михайлович – канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник лаборатории теорети-

ческой физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ.


Gusev Alexander Alexandrovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, senior research associate of la-

boratory of information technologies, of Joint Institute for Nuclear Research (JINR).

Tel.: +7 (4962)163348. E-mail: [email protected]

Vinitsky Sergue Il'ich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, leader researcher of Bogoliubov

Laboratory of theoretical physics of JINR.

Tel.: +7 (496)2163348 E-mail: [email protected]

Krassovitskiy Pavel Mihailovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, senior researcher of Bogoliubov

Laboratory of theoretical physics of JINR.


Chuluunnbaatar Ochbadrakh- Doctor of Physical and Mathematical Sciences, leader of group of laboratory of in-

formation technologies of JINR.


Documents

The resonance tunneling of coupled pair of particles in