Creating  a    Square  Root  Spiral    

The  Art  of  Mathematics  

High  School    

Week  3        

   Overview  Students  will  execute  the  square  root  spiral  activity  from  Exploring  Geometry  with  Geometer’s  Sketchpad.  Essential  Question:  Does  art  start  with  an  aesthetic  idea  or  with  a  mathematical  composition?    Objectives  Students  will  be  able  to…  

1. Utilize  modeling  software  to  generate  the  square  root  spiral  2. Identify  the  Fibonacci  numbers  within  the  spiral  3. Use  the  spiral  as  a  basis  for  an  art  piece.  

 Activities  Students  will  use  the  square  root  spiral  activity  sheet  to  create  the  square  root  spiral.    Compare  and  contrast  the  square  root  spiral  and  the  Fibonacci  spiral  they  created  by  hand  in  small  groups.    During  the  activity  the  following  will  be  discussed:    

• Observe  that  the  hypotenuse  of  the  previous  triangle  becomes  the  base  of  the  next  triangle  in  the  spiral.  

• Recognize  the  significance  of  the  use  of  the  circle  in  the  construction.    

Adaptations  Adapt  and  use  The  Ordered  Distribution  of  Natural  Numbers  on  the  Square  Root  Spiral  to  identify  and  explore  the  relationship  between  the  Fibonacci  numbers  and  the  square  root  spiral.  Students  using  Geometer’s  Sketchpad  can  create  a  custom  tool  which  will  allow  them  to  create  the  square  root  spiral  by  re-­‐creating  the  triangle  and  placing  it  in  the  proper  location.    Evaluation  

• Have  the  students  save  or  print  the  model.  • Observe  the  students  work  throughout  the  class  session  to  ensure  

that  students  are  not  having  trouble  using  the  software  or  understanding  the  mathematical  explorations.    

• Take  last  ten  –  fifteen  minutes  to  discuss  findings  and  explore  the  mathematics.      

 

Materials  

Students  will  need  access  to  a  computer  lab  or  a  class  set  of  computers.    Modeling  software  and  applications  will  be  implemented  in  this  unit.  § Geometer’s  Sketchpad  or  

GeoGebra  § Student  worksheet  

 

Standards    CCSS.Math.Content.HSG.CO.A.2:    Represent  transformations  in  the  plane  using,  e.g.,  transparencies  and  geometry  software;  describe  transformations  as  functions  that  take  points  in  the  plane  as  inputs  and  give  other  points  as  outputs.    Compare  transformations  that  preserve  distance  and  angle  to  those  that  do  not  (e.g.,  translation  versus  horizontal  stretch).  CCSS.Math.Content.HSG.CO.A.5:  Given  a  geometric  figure  and  a  rotation,  reflection,  or  translation,  draw  the  transformed  figure  using,  e.g.,  graph  paper,  tracing  paper,  or  geometry  software.    Specify  a  sequence  of  transformations  that  will  carry  a  given  figure  onto  another.  CCSS.Math.Content.HSG.CO.D.12:  Make  formal  geometric  constructions  with  a  variety  of  tools  and  methods  (compass  and  straightedge,  string,  reflective  devices,  paper  folding,  dynamic  geometric  software,  etc.).  NYS  The  Arts  Standard  2:  Visual  Arts:  Use  the  computer  and  electronic  media  to  express  their  visual  ideas  and  demonstrate  a  variety  of  approaches  to  artistic  creation  

Name:  __________________________________       Date:  ____________________  

Creating  a  Square  Root  Spiral  

1. Make  sure  the  software  your  using  is  set  to  measure  in  inches  with  precision  set  at  thousandths.  2. Create  an  isosceles  right  triangle  a. Create  a  point  A  and  translate  it  at  0°  by  1  inch  to  

create  𝐴’  

 

b. Rotate  point  𝐴’  90°  around  point  A.  

 c. Connect  the  points  with  segments  to  create  

∆𝐴𝐴’𝐴’’  

 

3. Calculate  the  hypotenuse  of  ∆𝐴𝐴’𝐴’’                

The  following  steps  will  allow  you  to  create  the  rest  of  the  spiral,  starting  with  an  isosceles  triangle  with  a  hypotenuse  of   3.  

1. Construct  a  line  passing  through  𝐴’  and  ⊥to  𝐴’𝐴’’  

 2. Construct  a  circle  with  a  point  at  A  and  center  at  point  𝐴’    

 3. Construct  a  point  where  the  circle  and  perpendicular  line  intersect  and  label  it  B.    Then  hide  the  circle  and  the  line.  

 

 

 

 

 

 

4. Construct  a  triangle  using  points  𝐵,𝐴’  𝑎𝑛𝑑  𝐴’’  

       5. Calculate  the  hypotenuse  of  ∆𝐴𝐴’𝐴’’    Predict  what  the  value  the  next  hypotenuse  will  have.    

 

 

 

 

 

6. Repeat  steps  1-­‐3  to  continue  making  the  spiral,  calculate  the  hypotenuse  of  each  new  triangle.        

                 

 7.  Construct  interiors  for  the  triangles  whose  bases  are  the  square  roots  of  the  Fibonacci  numbers.