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Théorèmes généraux de l'électrocinétiqueThéorèmes généraux de l'électrocinétiqueThéorèmes généraux de l'électrocinétiqueThéorèmes généraux de l'électrocinétique « Toute théorie n’est bonne qu’à condition de s’en servir pour passer outre ». André Gide in «André Gide in «André Gide in «André Gide in « JournalJournalJournalJournal ».».».».

RésuméRésuméRésuméRésumé L’usage des lois de Kirchhoff permet de toujours trouver les tensions et courants dans un réseau

électrique linéaire en régime quelconque. Mais la résolution passe par un système d’équations dont la taille augmente avec celle du circuit et par conséquent le nombre d’inconnues à déterminer.

Dans le cas de circuits fonctionnant en régime établi, c’est à dire lorsque le régime transitoire est terminé, il est possible d’optimiser la recherche des grandeurs inconnues. Celle-ci fait appel aux théorèmes généraux de l’électrocinétique.

Le premier, le théorème de superposition, exploite les propriétés des circuits linéaires : la réponse complète d’un circuit à la superposition de plusieurs grandeurs est la somme des réponses obtenues pour chacune d’elle appliquée seule.

Mais un réseau électrique peut être assimilé à une source de tension réelle dont on définit la résistance interne et la force électromotrice dans le cas du théorème de Thévenin ou la conductance interne et le courant électromoteur dans le cas du théorème de Norton. Il est possible de passer de l’une à l’autre de ces sources qui sont équivalentes.

Enfin, lorsque le réseau est composé de nombreuses branches aboutissant à un nœud central, la tension entre ce dernier et le nœud de référence (souvent 0 V) s’exprime très rapidement à l’aide du théorème de Millman.

SommaireSommaireSommaireSommaire

I. Introduction .................................................................................................... 2 II. Les lois de Kirchhoff ........................................................................................ 2

II.1. Loi des nœuds .........................................................................................................2 II.2. Loi des mailles .........................................................................................................2 II.3. Méthodologie d’étude..............................................................................................3

III. Introduction aux théorèmes généraux ............................................................. 3 IV. Théorème de superposition............................................................................. 4

IV.1. Définition ................................................................................................................4 IV.2. Exemple ..................................................................................................................4

V. Théorèmes de Thévenin et Norton................................................................... 5 V.1. Théorème de Thévenin.............................................................................................5 V.2. Théorème de Norton................................................................................................5 V.3. Equivalence Thévenin-Norton et passage Thévenin ↔ Norton ...................................6 V.4. Autre cas d’utilisation des théorèmes de Thévenin et Norton.....................................6

VI. Théorème de Millman ..................................................................................... 7

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I. Introduction L’étude des circuits électriques linéaires est basée sur les lois de Kirchhoff. Leur application conduit

à une mise en équation dont la résolution permet d’établir les lois d’évolution des différentes grandeurs recherchées. Ces lois sont générales, si bien que leurs résultats restent valables quel que soit la nature des signaux appliqués.

II. Les lois de Kirchhoff Dans un circuit, les lois de Kirchhoff sont constituées de la loi des mailles, qui traite des tensions, et

de la loi des nœuds qui traite des courants.

II.1. Loi des nœuds Les courants sont repérés par une flèche qui marque le sens conventionnel positif. Si le courant

circule effectivement dans ce sens, la grandeur algébrique associée est positive, sinon elle est négative.

La somme algébrique des courants circulant dans les branches adjacentes à un nœud est nulle. On peut dire aussi que la somme algébrique des k courants entrants dans un nœud est égale à la somme des l courants sortants (ceci signifie que toutes les charges apportées sont extraites).

∑∑→••→

=lk

lk ii

X2

X1

i1

i3

X3

X4i2

i4

Figure 1 : exemple d’application de la loi des nœuds.

Dans l’exemple de la Figure 1: 04321 =−+− iiii ou 4231 iiii +=+

II.2. Loi des mailles La tension aux bornes d’un élément est marquée par une flèche conformément à la convention

générateur ou récepteur en usage. Si la tension est effectivement dans ce sens, la grandeur algébrique associée est positive, sinon elle est négative.

Un sens de parcours conventionnel est choisi pour distinguer le signe des tensions.

La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille dans le sens prédéfini est nulle :

−+

=±∑ contraire. sens le dansest si parcours. de sens le dansest si

0)(k

kk v

vv

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X2

E2

E1

X1

u1

u2

+

i1

I2

Figure 2 : exemple d’application de la loi des mailles.

Dans l’exemple de la Figure 2 : 02211 =−+− EuuE

II.3. Méthodologie d’étude Pour effectuer la mise en équation puis la résolution d’un circuit électrique peut suivre une

démarche qui se résume à la succession des étapes suivantes : • Numéroter les nœuds et les branches ; • Dans chaque branche du circuit, noter le courant par une flèche pour indiquer le

sens positif et lui donner un nom, souvent i, et comme indice le numéro de la branche ;

• Pour chaque élément, noter la tension à ses bornes par une flèche dans la convention en usage (récepteur ou générateur) et lui donner un nom (même processus que les courants) ;

• Mettre en équation en utilisant deux groupes de relations : ♦ Un pour les aspects topologiques (organisation du réseau) : (n-1) lois des nœuds

pour n nœuds recensés dans le réseau et (m-1) lois de mailles pour m mailles indépendantes recensées. Pour trouver les mailles indépendantes, procéder à partir d’une première maille de taille minimale, puis construire d’autres mailles en choisissant un élément différent à chaque fois pour assurer leur indépendance,

♦ Un second pour les relations attachées à chaque élément utilisé. • Poser les hypothèses simplificatrices. Par exemple, les courants ou tensions

identiques, les contraintes imposées par certains éléments, etc. • Simplifier les relations en tenant compte des hypothèses. A ce stade on dispose

alors d’un système d’équations toutes indépendantes ; • Résoudre le système pour en extraire les tensions et courants inconnus.

Cette méthode est à la fois très rigoureuse et générale. Elle permet d’atteindre le résultat de manière certaine. Cependant, dans la pratique, son application est fastidieuse car elle nécessite la résolution d’un système d’équations linéaires. Le problème est d’autant plus ardu que le nombre d’inconnus est important. Toutefois, elle constitue une méthode satisfaisante lors de la mise en équation automatique des réseaux utilisée par les logiciels de simulation.

III. Introduction aux théorèmes généraux Si le fonctionnement du circuit a atteint un régime permanent, la résolution du circuit est rendue

plus aisée par l’emploi des théorèmes généraux de l’électrocinétique. On rencontre le plus souvent des grandeurs constantes, l’étude est alors dite en “continu”, ou des grandeurs sinusoïdales, on utilise alors la notation complexe.

Dans tous les cas, les grandeurs permanentes utilisées seront notées en lettres majuscules à la différence des grandeurs instantanées notées en lettre minuscules.

Pour étendre le comportement de la résistance, on utilise l’impédancel’impédancel’impédancel’impédance qui sera notée Z. Cet élément relie la tension et le courant en généralisant la loi d’Ohm : U = Z.I. A titre de remarque et de comparaison, en régime sinusoïdal, l’impédance est une grandeur complexe, donc soulignée. Parfois, il est préférable d’utiliser l’admittance Y qui est l’inverse de l’impédance.

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IV. Théorème de superposition Puisque les circuits étudiés sont linéaires, ils en possèdent les propriétés. La principale est la

superposition qui peut se traduire de la manière suivante : la réponse globale d’un montage soumis à plusieurs stimuli est la somme des réponses partielles correspondant à chaque stimulus.

IV.1. Définition L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de branche) d’un réseau

contenant plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints).

RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : Il y a autant de cas à superposer que de générateurs intervenant dans le réseau.

IV.2. Exemple Sur la Figure 3, le circuit de gauche est la superposition des deux circuits de droite.

E1 E2

Z1

+≡≡≡≡Z

IbIaI

Z2

E1

Z1

Z

Z2

E2

Z1

Z

Z2

I1

I2

1 2

A

B

Figure 3 : superposition de deux réseaux.

Montage 1

2121

12

2

21

11

)(ZZZZZZ

EZZ

ZZZZZ

EI

+++

=

++

=

donc en appliquant la relation du diviseur de courant :

2121

12

ZZZZZZEZ

Ia ++=

Montage 2 Le processus est le même, il suffit de faire circuler les indices :

2121

21

ZZZZZZEZ

Ib ++=

En ajoutant —superposant— les deux courants partiels :

2121

1221

ZZZZZZEZEZ

III ba +++

=+=

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V. Théorèmes de Thévenin1 et Norton2 Dans des réseaux complexes, on peut remplacer une portion du circuit par son

équivalent limité à une branche composée d’une source et d’une impédance en série ou en parallèle. L’exploitation de cette portion de réseau est similaire au débit d’une source réelle dans une charge.

Suivant que l’on assimile le réseau à une source de tension ou de courant, on distingue deux théorèmes : Thévenin et Norton.

V.1. Théorème de Thévenin Un réseau compris entre deux nœuds A et B est équivalent à un générateur indépendant de

tension parfait E0 en série avec le dipôle composé Z0 (Figure 4).

E0 représente la tension uAB lorsque la portion de réseau débite dans un circuit ouvert (tension à vide).

Z0 est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes.

≡≡≡≡ UAB?

A

BE0

Z0

A

B Figure 4 : illustration du théorème de Thévenin.

Exemple (sur la Figure 3, on recherche la source de Thévenin entre les points A et B) :

• Les sources sont éteintes, subsistent deux impédances en parallèle : 21

210 ZZ

ZZZ

+= ;

• Sans charge, la tension est 21

12210 ZZ

EZEZE++

= .

V.2. Théorème de Norton Un réseau compris entre deux nœuds A et B est équivalent à une source indépendante de courant

réelle I0 en parallèle avec un dipôle composé d’admittance Y0 (Figure 5).

I0 est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau débite dans un court-circuit.

Y0 est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (comme pour Thévenin).

≡≡≡≡

?A

B

I0

Z0

A

B Figure 5 : illustration du théorème de Norton.

1Thévenin (Léon), physicien français (1857-1926). Exposé du théorème en 1883. 2Norton (), scientifique américain.

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ExempleExempleExempleExemple (sur la Figure 3, on recherche la source de Norton entre les points A et B) :

• Les sources sont éteintes, subsistent deux impédances en parallèle : 21

210 ZZ

ZZY

+= ;

• En court-circuit, le courant est 12

1221

1

1

2

20 ZZ

EZEZZE

ZE

I+

=+= .

V.3. Equivalence Thévenin-Norton et passage Thévenin ↔ Norton Les schémas équivalents de Thévenin et de Norton sont transposables l’un à l’autre (Figure Figure Figure Figure 6666).

E0

Z0

A

B

I0

Y0

A

B

⇔.

Vu de A et B (sources éteintes), on

observe toujours 0

01Y

Z = .

A vide : UAB = E0 = Z0I0.

En court-circuit : 000 IYEI A == .

Figure Figure Figure Figure 6666 : transposition Thévenin: transposition Thévenin: transposition Thévenin: transposition Thévenin----Norton.Norton.Norton.Norton.

V.4. Autre cas d’utilisation des théorèmes de Thévenin et Norton Si un montage comporte un (ou des) élément(s) non linéaire(s), l’application des lois de Kirchhoff

ne fournit pas de relations aisées pour les éléments. On peut donc séparer le montage en deux parties : la première contient tous les éléments linéaires et la seconde, les éléments non linéaires.

La partie linéaire est transformée grâce à l’application des théorèmes de Thévenin ou de Norton (Figure 7). Le problème est alors converti en débit d’une source dans un dipôle non linéaire qui sera résolu par une méthode graphique ou numérique.

A

B

UAB

i

Partie linéaire du montagetransformée en sa source

équivalente

Partie non linéaire dumontage conservée (car non

transformable)

E0

Z0I0 Z0ou

Figure 7 : séparation en deux sous-réseaux.

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VI. Théorème de Millman3 Le théorème de Millman, appelé aussi théorème des nœuds, permet de déterminer le potentiel

d’un nœud (Figure Figure Figure Figure 8888) où aboutissent des branches composées d’un générateur de tension réel.

E1

Z1

E2

Z2

En

V

Zn

∑

∑

=

== n

ii

n

iii

Y

EYV

1

1

Figure Figure Figure Figure 8888 : illustration du théorème de Mi: illustration du théorème de Mi: illustration du théorème de Mi: illustration du théorème de Millman.llman.llman.llman.

La démonstration de ce théorème consiste à transformer chaque branche en source de courant, de courant électromoteur :

iii

ii YE

ZE

I ==

Le courant résultant ∑=i

iII circule dans l’impédance parallèle équivalente ∑=i

iYY .

La tension V s’écrit donc :

∑∑

==

ii

ii

Y

I

YIV

ExempleExempleExempleExemple (sur la Figure 3, la détermination de la tension aux bornes de Z est immédiate) :

2121

1221

21

2

1

1

2

)(

111

0

ZZZZZZEZEZZ

ZZZ

ZZE

ZE

U++

+=

++

++=

3Millman (),