CALCULUS THOMAS O N B ‹ R ‹ N C ‹ B A S K I Georg e B.Thomas, Jr. Massachusetts Institute of T echnology Maurice D.WeirNaval Postgraduate School Joel Hass University of California, Davis Frank R. Gior dano Naval Postgraduate School Çeviren: Recep Korkmaz
1 Önbilgiler 1
1.1 Reel Saylar ve Reel Doru 1 1.2 Dorular, Çemberler ve Paraboller
9 1.3 Fonksiyonlar ve Grafikleri 19 1.4 Fonksiyonlar Tanmlamak;
Matematik Modeller 28 1.5 Fonksiyonlar Birletirmek; Grafikleri
Kaydrmak ve Ölçeklemek 38 1.6 Trigonometrik Fonksiyonlar 48 1.7
Hesap Makinesi ve Bilgisayarla Grafik Çizmek 59
TEKRAR SORULARI 68 PROBLEMLER 69 EK VE LER
ALITIRMALAR 71
2 Limitler ve Süreklilik 73
2.1 Deiim Oranlar ve Limitler 73 2.2 Limit Kurallarn Kullanarak
Limitler Hesaplamak 84 2.3 Bir Limitin Kesin Tanm 91 2.4 Tek Tarafl
Limitler ve Sonsuzda Limitler 102 2.5 Sonsuz Limitler ve Dikey
Asimptotlar 115 2.6 Süreklilik 124 2.7 Teetler ve Türevler
134
TEKRAR SORULARI 141 PROBLEMLER 142 EK VE LER
ALITIRMALAR 144
3 Türev 147
3.1 Bir Fonksiyon Olarak Türev 147 3.2 Türev Alma Kurallar
159
iii
3.3 Bir Deiim Oran Olarak Türev 171 3.4 Trigonometrik Fonksiyonlarn
Türevleri 183 3.5 Zincir Kural ve Parametrik Denklemler 190 3.6
Kapal Türetme 205 3.7 likili Oranlar 213 3.8 Lineerizasyon ve
Diferansiyeller 221
TEKRAR SORULARI 235 PROBLEMLER 235 EK VE LER
ALITIRMALAR 240
4 Türev Uygulamalar› 244
4.1 Fonksiyonlarn Ekstremum Deerleri 244 4.2 Ortalama Deer Teoremi
255 4.3 Monon Fonksiyonlar ve Birinci Türev Testi 262 4.4 Konkavlk
ve Eri Çizimi 267 4.5 Uygulamal Optimizasyon Problemleri 278 4.6
Belirsiz ekiller ve L’Hôpital Kural 292 4.7 Newton Yöntemi 299 4.8
Ters Türevler 307
TEKRAR SORULARI 318 PROBLEMLER 318 EK VE LER
ALITIRMALAR 322
5 ‹ntegrasyon 325
5.1 Sonlu Toplamlarla Tahminde Bulunmak 325 5.2 Toplam Notasyonu ve
Sonlu Toplamlarn Limitleri 335 5.3 Belirli ntegral 343 5.4 Analizin
Temel Teoremi 356 5.5 Belirsiz ntegraller ve Dönüüm Kural 368 5.6
Deiken Dönüümü ve Eriler Arasndaki Alan 376
TEKRAR SORULARI 387 PROBLEMLER 388 EK VE LER
ALITIRMALAR 391
6 Belirli ‹ntegrallerin Uygulamalar› 396
6.1 Dilimleyerek Hacim Bulmak ve Bir Eksen Etrafnda Dönme 396 6.2
Silindirik Kabuklarla Hacim Bulmak 409 6.3 Düzlem Erilerin
Uzunluklar 416 6.4 Momentler ve Kütle Merkezleri 424 6.5 Dönel
Yüzey Alanlar ve Pappus Teoremleri 436 6.6 447 6.7 Akkan Basnçlar
ve Kuvvetleri 456
iv ‹çindekiler
TEKRAR SORULARI 461 PROBLEMLER 461 EK VE LER
ALITIRMALAR 464
7 Transandant Fonksiyonlar 466
7.1 Ters Fonksiyonlar ve Türevleri 466 7.2 Doal Logaritmalar 476
7.3 Üstel Fonksiyon 486 7.4 ve log 495 7.5 Üstel Büyüme ve Bozunma
502 7.6 Bal Büyüme Oranlar 511 7.7 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
517 7.8 Hiperbolik Fonksiyonlar 535
TEKRAR SORULARI 546 PROBLEMLER 547 EK VE LER
ALITIRMALAR 550
8 ‹ntegrasyon Teknikleri 553
8.1 Temel ntegrasyon Formülleri 553 8.2 Ksmi ntegrasyon 561 8.3
Rasyonel Fonksiyonlarn Ksmi Kesirlerle ntegrasyonu 570 8.4
Trigonometrik ntegraller 581 8.5 Trigonometrik Dönüümler 586 8.6
Integral Tablolar ve Bilgisayar Cebir Sistemleri 593 8.7 Saysal
ntegrasyon 603 8.8 Genelletirilmi ntegraller 619
TEKRAR SORULARI 633 PROBLEMLER 634 EK VE LER
ALITIRMALAR 638
9 Integrasyonun Di¤er Uygulamalar› 642
9.1 Eim Alanlar ve Ayrlabilir Diferansiyel Denklemler 642 9.2
Birinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denklemler 650 9.3 Euler
Yöntemi 659 9.4 Otonom Diferansiyel Denklemlerin Grafik Çözümleri
665 9.5 Birinci Mertebe Diferansiyel Denklemlerin Uygulamalar
673
TEKRAR SORULARI 682 PROBLEMLER 682 EK VE LER
ALITIRMALAR 683
a xa x
10.1 Konik Kesitler ve Kuadratik Denklemler 685 10.2 Konik
Kesitleri Dmerkezliklerine Göre Snflandrmak 697 10.3 Kuadratik
Denklemler ve Dönmeler 702 10.4 Konikler ve Parametrik Denklemler;
Sikloid 709 10.5 Kutupsal Koordinatlar 714 10.6 Kutupsal
Koordinatlarda Grafik Çizmek 719 10.7 Kutupsal Koordinatlarda
Alanlar ve Uzunluklar 725 10.8 Kutupsal Koordinatlarda Konik
Kesitler 732
TEKRAR SORULARI 739 PROBLEMLER 739 EK VE LER
ALITIRMALAR 742
11 Konik Kesitler ve Kutupsal Koordinatlar 746
11.1 Diziler 747 11.2 Sonsuz Seriler 761 11.3 ntegral Testi 772
11.4 Karlatrma Testleri 777 11.5 Oran ve Kök Testleri 781 11.6
Alterne Seriler, Mutlak ve Koullu Yaknsaklk 787 11.7 Kuvvet
Serileri 794 11.8 Taylor ve Maclaurin Serileri 805 11.9 Taylor
Serisinin Yaknsakl; Hata Tahmini 811 11.10 Kuvvet Serilerinin
Uygulamalar 822 11.11 Fourier Serileri 833
TEKRAR SORULARI 839 PROBLEMLER 840 EK VE LER
ALITIRMALAR 843
12 Vectörler ve Uzayda Geometri 848
12.1 Üç Boyutlu Koordinat Sistemleri 848 12.2 Vektörler 853 12.3
Nokta Çarpm (Skaler Çarpm) 862 12.4 Vektörel Çarpm 873 12.5 Uzayda
Dorular ve Düzlemler 880 12.6 Silindirler ve Kuadrik Yüzeyler
889
TEKRAR SORULARI 899 PROBLEMLER 900 EK VE LER
ALITIRMALAR 902
vi ‹çindekiler
13 Vektör-De¤erli Fonksiyonlar ve Uzayda Hareket 906
13.1 Vektör Fonksiyonlar 906 13.2 At Hareketini Modellemek 920 13.3
Yay Uzunluu ve Birim Teet Vektör T 931 13.4 Erilik ve Birim
Normal Vektör N 936 13.5 Burulma ve Birim Binormal
Vektör B 943 13.6 Gezegen Hareketi ve Uydular 950
TEKRAR SORULARI 959 PROBLEMLER 960 EK VE LER
ALITIRMALAR 962
14 K›smi Türevler 965
14.1 Çok Deikenli Fonksiyonlar 965 14.2 Yüksek Boyutlarda Limitler
ve Süreklilik 976 14.3 Ksmi Türevler 984 14.4 Zincir Kural 996 14.5
Dorultu Türevleri ve Gradiyent Vektörler 1005 14.6 Teet Düzlemler
ve Diferansiyeller 1015 14.7 Ekstremum Deerler ve Eyer Noktalar
1027 14.8 Lagrange Çarpanlar 1038 14.9 Kstlanm Deikenlerle Ksmi
Türevler 1049 14.10 ki Deiken çin Taylor Formülü 1054
TEKRAR SORULARI 1059 PROBLEMLER 1060 EK VE LER
ALITIRMALAR 1063
15 Katl› ‹ntegraller 1067
15.1 ki Katl ntegraller 1067 15.2 Alan, Momentler ve Kütle
Merkezleri 1081 15.3 Kutupsal Formda ki Katl ntegraller 1092 15.4
Kartezyen Koordinatlarda Üç Katl ntegraller 1098 15.5 Üç Boyutta
Kütle ve Momentler 1109 15.6 Silindirik ve Küresel Koordinatlarda
Üç katl ntegraller 1114 15.7 Çok Katl ntegrallerde Deiken Dönüümü
1128
TEKRAR SORULARI 1137 PROBLEMLER 1138 EK VE LER
ALITIRMALAR 1140
‹çindekiler vii
16 Vektör Alanlar›nda ‹ntegrasyon 1143
16.1 Erisel ntegraller 1143 16.2 Vektör Alanlar, , Dolam ve Ak 1149
16.3 Yoldan Bamszlk, Potansiyel Fonksiyonlar ve Korunmal Alanlar
1160 16.4 Düzlemde Green Teoremi 1169 16.5 Yüzey Alan ve Yüzey
ntegralleri 1182 16.6 Parametrize Yüzeyler 1192 16.7 Stokes Teoremi
1201 16.8 Diverjans Teoremi ve Bir Birletirilmi Teori 1211
TEKRAR SORULARI 1222 PROBLEMLER 1223 EK VE LER
ALITIRMALAR 1226
Ekler EK-1
A.1 Matematik ndüksiyon EK-1 A.2 Limit Teoremlerinin spatlar EK-4
A.3 Sk Karlalan Limitler EK-7 A.4 Reel Saylarn Teorisi EK-9 A.5
Kompleks Saylar EK-12 A.6 Vectörel Çarpm çin Dalma Kurallar EK-22
A.7 Kark Türev Teoremi ve Artma Teoremi EK-23 A.8 Bir Paralelkenarn
Bir Düzlem Üzerine zdüümünün Alan EK-28 A.9 Temel Cebir, Geometri,
ve Trigonometri Formülleri EK-29
Cevaplar C-1
‹ndeks ‹-1
Krediler K-1
viii ‹çindekiler
Önsöz
G‹R‹fi Thomas Calculus’un 11.basmnn hazrlanmasnda önceki basmlarn
tarzn ve gücünü yakalamaya çaltk. Amacmz, birçok kullancmz ve
eletirmenimizi dikkatlice dinleyerek Thomas Calculus’un klasik
basmlarnn en iyi özelliklerini tekrar ziyeret et- mek oldu.
Aklmzdaki bu yüksek standartlarla, altrmalar yeniden kurduk ve baz
zor konular aydnlattk. George Thomas’n sözleri ile ‘‘Kitab,
olabilecei kadar açk ve ke- sin olarak yazmaya çaltk’’. Ek olarak,
daha mantkl ve standart müfredat program ile ayn hizada olmas için
içerii yeniden yaplandrdk. Geriye bakmakla, mühendisler ve
bilim adamlar için kullanl ve çekici bir calculus metni
hazrlamakta bize yardmc ola- cak çok ey örendik.
On birinci basmda metin, örenciye sadece calculus’un yöntemlerini
ve uygulamala- rn deil ayrca bir matematiksel düünme yolu da tantr.
Altrmalardan örneklere kav- ramlar gelitiren ve teoriyi okunabilir
bir lisanla aça çkaran anlatma, bu kitap matema- tiksel fikirleri
düünme ve iletme hakkndadr. Calculus, matematiin anahtar
örneklerinden bir çounu içerir ve fiziksel ve matematiksel konular
hakknda doru ve mantkl bir yolla nasl düünüleceinin gerçek
balangçlarn iaret eder
Materyale hakim olmalar ve gücünü kullanmak için gerekli
matematiksel olgunlua ulamalar için örencilere yardm etmeyi
deniyoruz. Derin bir bilgiden gelen kavraylar gayrete
deerdir. Bu kitab tamamlayan örencilerin , bilimde ve mühendislikte
bir çok uygulamaya calculus kavramlarn uygulamak için ihtiyaç
duyulan, matematiksel lisan ko- nusunda oldukça bilgi edinmi
olmalar gerekir. Ayrca, diferansiyel denklemler, lineer ce-
bir ve ileri analiz derslerine iyi bir ekilde hazrlanm
olmalar gerekir.
Onbirinci Bas›mdaki De¤ifliklikler
ALIfiTIRMALAR Altrmalar ve örnekler calculus örenmede çok önemli
bir rol oynarlar. Thomas Calculus’un önceki basmlarnda yer alan ve
o basmlarn muazzam gücünü olu- tan altrmalardan bir çounu bu yeni
basma dahil ettik. Her bölümde, hesaplamal prob- lemlerden
uygulamal ve teorik problemlere ilerleyen altrmalar konulara göre
düzenle- dik ve grupladk. Bu düzenleme örencilere, calculus
yöntemlerini kullanma becerilerini gelitirme ve deerlendirmelerini
derinletirmenin yannda calculus uygulamalarn ve mantkl matematiksel
yaplarn anlamalar frsatn verir.
ÖZEN Özen seviyesi, önceki basmlarla karlatrldnda batan sona daha
tutarldr. kisi arasndaki fark ortaya koymak için hem biçimsel ve
hem de biçimsel olmayan tart- malar verdik. Ayrca, kesin tanmlar ve
örencilerin anlayabilecei ispatlar dahil ettik. Metin, materiyalin
gayri resmi olarak anlalabilecei ekilde düzenlenmitir. Bu,
öret-
ix
mene önemli derecede bir esneklik salar. Örnein, kapal ve snrl bir
aralkta sürekli olan bir fonksiyonun bu aralkta bir maksimumunun
bulunduunu ispat etmediimiz halde bu teoremi çok dikkatli bir
ekilde ifade ettik ve takip eden çeitli sonuçlar ispat etmek
için bunu kullandk. Bundan baka, limitlerle ilgili bölüm, açkla ve
kesinlie kar bü- yük bir dikkatle önemli ölçüde yeniden
düzenlenmitir. Önceki basmlarda olduu gibi li- mit kavram yine bir
eriye üzerindeki bir noktada teet olan dorunun eimini elde etme
fikri ile motive edilmektedir.
‹ÇER‹K Bu basmn hazrl srasnda, Thomas Calculus’un önceki basmlarnn
kullan- clar ve eletirmenlerimizin önerilerine ve yorumlarna önemli
ölçüde dikkat sarf ettik. Bu, baz bölümlerde büyük revizyonlara ve
deiikliklere yol açt.
• Önbilgiler Bölüm 1’i, temel fonksiyonlarn ksa bir incelemesi
olarak tekrar yaz- dk. Bir çok eitimcinin bu bölümü atlamay
seçebilecek olmasna ramen, bölüm örenciye kolay bir referans ve
inceleme olana sunar, notasyonu standart hale geti- rir ve altyap
materyali olarak nelerin kabul edildiine iaret eder. Ayrca birçok
ö- rencinin, bir hesap makinesine veya bilgisayara bir fonksiyonun
grafiini vermesi konusunda tam olarak güvenmedeki tuzaklar gibi,
görmemi olabilecei baz yar- dmc materyal içerir.
• Limitler Bölüm 2’de içerilenler, limitlerin epsilon-delta
tanmlar, birçok teoremin ispat, sonsuzda limitler ve sonsuz
limitlerdir (ve bunlarn bir grafiin asimptotlar ile
ilikileri).
• Ters türevler Türev ve önemli uygulamalarn, bütünlüü salayan ters
türev kav- ram ile sonuçlanan Bölüm3 ve Bölüm 4’te verdik.
• ntegrasyon Çeitli sonlu toplam örneklerini tarttktan sonra Bölüm
5’te, erinin altndaki alan, geleneksel çerçevesi içinde belirli
integrali tanttk. Türevleri ve ters tü- revleri birbirine balayan
Analizin Temel Teoremini iledikten sonra, integrasyon için Deiken
Dönüümü’nün yannda belirsiz integrali tanttk. Bunlar, belirli
integralin uygulamalar hakkndaki allm bölüm takip eder.
• ntegrasyon Teknikleri ntegrasyonun, saysal integrasyonu da içeren
temel tek- nikleri Bölüm 8’de verilmektedir. Bunlar, bir integral
olarak doal logaitmay ve onun tersi olarak üstel fonksiyonu
tanmladmz transandant fonksiyonlarn tant- mn takip
etmektedirler.
• Diferansiyel denklemler Temel diferansiyel denklemlerin çözümleri
hakkndaki materiyalin önemli ksm, imdi tek bir bölümde, Bölüm 9’da
düzenlenmitir. Bu dü- zenleme, bu konularn kavranmas açsndan
eitimcilere önemli ölçüde esneklik salar.
• Konikler Birçok kullancnn istei üzerine, konik kesitler hakkndaki
Bölüm 10 tamamen yenilendi. Bu bölüm ayrca, parabollerin,
hiperbollerin ve sicloidlerin pa- rametrizasyonlarn vererek
parametrik denklemler hakkndaki materyali tamamlar.
• Seriler Bölüm 11’de, dokuzuncu basmda gözüken, serilerin
yaknsaklk testleri- nin daha bütün bir geliimini yeniden
düzenledik. Ayrca, bölümün sonuna (atlana- bilecek olan)
Fourier serilerini tantan ksa bir bölüm ekledik.
• Vektörler Temel cebirsel ve geometrik fikirlerin tekrarndan
kaçnmak için, iki ve üç boyutlu vektörlerin ilenmesini tek bir
bölümde Bölüm 12’de birletirdik. Bu ta- ntm, düzlemde ve uzayda
vektör-deerli fonksiyonlar hakkndaki bir bölüm takip etti.
• Reel saylar Calculus’a uyglanmasndan dolay Reel saylar teorisi
hakknda ksa ve yeni bir ek yazdk
x Önsöz
y
x
2 y R( y)
Önsöz xi
fiEK‹L 6.13, sayfa 403 Burada üretilen dönel cismin dik-kesiteri
diskler deil pullardr.
G‹R‹fi Bu bölüm analize balamak için bilmeniz gereken temel konular
tekrar eder. Bu konular reel say sistemi, düzlemde kartezyen
koordinatlar, düz çizgiler, paraboller, çem- berler,
fonksiyonlar ve trigonometridir.
1
Bu bölümde reel saylarn, eitsizliklerin, aralklarn ve mutlak
deerlerin tekrar yapl- maktadr.
Reel Say›lar
Analizin büyük bir bölümü reel say sisteminin özellikleri üzerine
kurulmutur.Reel say- lar, ondalk say olarak ifade edilebilen
saylardr; örnein
Saylarn sonlarndaki üç nokta ondalk basamak dizisinin sonsuza kadar
devam ettii- ni gösterir. Her ondalk açlm bir reel sayy temsil
eder, baz saylarn iki temsili olsa da- hi. Örnein ve sonsuz ondalk
açlmlar 1 reel saysn temsil ederler. Benzer ifade ondalk açlm
eklinde olan her say için geçerlidir.
Reel saylar goemetrik olarak reel doru diye adlandrlan bir say
dorusunun üze- rindeki noktalar eklinde gösterilebilirler.
sembolü ya reel say sistemini ya da buna edeer olarak reel say
dorusunu ifade eder. Reel say sisteminin özellikleri üç kategoride
incelenir: cebirsel, sralanma ve tamlk
özellikleri. Cebirsel özellikler reel saylarn, bilinen aritmetik
kurallar altnda baka reel saylar üretecek ekilde toplanabileceini,
çkartlabileceini, çarplabileceini ve (sfr ile olmamak üzere)
bölünebileceini söyler. Asla 0 ile bölemezsiniz.
1 3
Á
Reel saylarn sralanma özellikleri Ek 4 te verilmitir. Aadaki
kullanl kurallar onlardan elde edilebilir, sembolü
‘‘gerektirir’’ anlamndadr.Q
2 Bölüm 1: Ön Bilgiler
Eitsizlik Kurallar a, b ve c reel saylar ise,
1.
2.
3.
5.
6. a ve b’nin her ikisi de pozitif veya negatifse a 6 b Q
1 b
6 1 a
a 7 0 Q 1 a 7 0
a 6 b Q -b 6 -a a 6 b and c 6 0 Q bc 6 ac
a 6 b and c 7 0 Q ac 6 bc
a 6 b Q a - c 6 b - c
a 6 b Q a + c 6 b + c
Bir eitsizliin bir say ile çarpm kurallarna dikkat edin. Bir
pozitif say ile çarpmak eit- sizlii korur; bir negatif say ile
çarpmak eitsizlii tersine çevirir. Ayrca, ayn iaretli saylar için
ters almak eitsizlii tersine çevirir. Örnein dir fakat ve 1@2 1@5
dir.
Reel say sisteminin tamlk özelliini tam olarak tanmlamak daha derin
ve daha zor- dur. Ancak, özellik, limit kavram için gereklidir
(Bölüm 2). Kabaca, hiçbir “boluk” veya “delik” kalmayacak ekilde,
reel say dorusunu “tamamlamaya” yetecek kadar reel say
bulunduunu söyler. Reel say sisteminin tamlk özellii olmasayd
analiz teoremlerinin çou geçersiz olurdu. Bu konu daha ileri
seviyede derslerin konusudur, fakat Ek 4, nelerin içerildii ve reel
saylarn nasl kurulduu hakknda ip uçlar vermektedir.
Reel saylarn üç özel alt kümesini ayryoruz.
1. Doal saylar, yani 1, 2, 3, 4
2. Tamsaylar, yani
3. Rasyonel saylar, yani m ve n tamsay ve n 0 olmak üzere m@n gibi
bir kesir ek- linde yazlabilen saylar; örnein,
Rasyonel saylar esas olarak ondalk açlmlar ya
(a) sonlanan (sonsuz bir sfr dizisiyle son bulan), örnein
(b) tekrarlanan (sürekli olarak tekrarlanan bir say dizisiyle
biten),örnein
eklinde olan saylardr. Sonlanan bir ondalk açlm, sondaki sfrlar
tekrar ettiinden, tekrarlanan ondalkla-
rn bir özel halidir.
23 11
, Á
Rasyonel saylar kümesi reel saylarn tüm cebirsel ve sralanma
özelliklerine sahip- tir, ancak tamlk özellii yoktur. Örnein,
karesi iki olan bir rasyonel say yoktur; yani rasyonel doruda ’nin
bulunmas gereken yerde bir “boluk” vardr.
Rasyonel olmayan reel saylara irrasyonel saylar denir. Ondalk
açlmlarnn ke- silmeyen ve tekrarlanmayan olmalaryla belirlenirler;
örnein ve Her ondalk açlm bir reel sayy temsil ettiinden u açk
olmaldr, sonsuz tane irrasyo- nel say vardr. Reel doru üzerindeki
herhangi bir noktaya yeterince yakn, hem rasyonel hemde irrasyonel
saylar bulunur.
Küme gösterimi, reel saylarn özel bir alt kümesini belirlemede çok
kullanldr. Bir küme bir nesneler topluluudur, ve bu
nesneler kümenin elemanlar dr. S bir küme ise, “ ”
gösterimi “a, S ’nin bir elemandr” anlamndadr ve gösterimi “a,
S ’nin bir eleman deildir” anlamndadr. S ve
T kümeler ise, bunlarn birleimi dir veya S ye ya da
T ye (veya herikisine) ait bütün elemanlardan oluur. kesiimi
hem S ye ve hem de T ’ye ait bütün elemanlardan oluur. Bo
küme eleman bulundurmayan küme dir. Örnein, rasyonel saylar ve
irrasyonel saylarn kesiimi bo kümedir.
Baz kümeler, elemanlar parantezler içinde
listelenerek tanmlanabilir. Mesela, 6’dan küçük doal saylar
(veya pozitif tam saylar ) kümesi A
eklinde gösterilebilir. Bütün tamsaylar kümesi
eklinde yazlr. Bir kümeyi tanmlamann baka bir yolu, kümenin bütün
elemanlarn üreten bir
kural parantezler içine almaktr. Örnein,
kümesi 6’dan küçük pozitif tam saylar kümesidir.
Aral›klar
çinde en azndan iki say varsa ve elemanlarndan herhangi ikisinin
arasnda bulunan bütün reel saylar içeriyorsa, reel dorunun
bir alt kümesi aralk adn alr. Örnein, x 6 eklindeki
bütün x’lerin kümesi bir aralktr, –2 x 5 eklindeki
bütün x’lerin olduu gibi. çinde sfr olmadndan; sfrdan farkl
bütün reel saylarn kümesi bir aralk deildir, kümede (örnein)
–1 ile 1 arasndaki bütün reel saylar bulunmamaktadr.
Geometrik olarak, aralklar reel dorunun yansra, reel doru
üzerindeki nlara ve doru parçalarna karlk gelirler. Doru parçalarna
karlk gelen say aralklarnasonlu aralklar, nlara kar gelenlere ise
sonsuz aralklar denir.
Sonlu aralklar, iki uç noktalarn da içeriyorlarsa kapal, tek uç
noktalarn içeriyor- larsa yar-açk , iki uç noktalarn da
içermiyorlarsa açk olarak adlandrlrlar. Uç nokta- larna snr
noktalar da denir, bunlar araln snrlarn olutururlar. Araln dier
nok- talar ise iç noktalar dr, birlikte araln içini olutururlar.
Sonsuz aralklar, sonlu bir uç nokta içeriyorlarsa kapaldrlar, aksi
halde açktrlar. Bütün reel doru , hem açk hem kapal olan sonsuz bir
aralktr.
Eflitsizliklerin Çözümü
x’in bir eitsizliini salayan aralk veya aralklar bulma
ilemine eitsizliiçözme denir.
A = 5 x ƒ x is an integer and 0 6 x 6
66
50, ;1, ;2, ;3, Á 6 .
A = 51, 2, 3, 4, 56 .
¤ S ¨ T
log10 3.p, 2 2, 2 3 5,
2 2
ÖRNEK 1 Aadaki eitsizlikleri çözün ve çözüm kümelerini reel doruda
gösterin.
(a) (b) (c)
(b)
ki tarafa da x ekleyin.
ki taraftan da 3 çkarn.
7 ile bölün- 3 7
6 x
- x 3
2 x - 1 6 x + 3
6 x - 1
4 Bölüm 1: Ön Bilgiler
TABLO 1.1 Aral›k Çeflitleri
Notasyon Açklama Tip Resim
Sonlu: (a, b) Açk
hem kapal
5 x ƒ x 6 b6s - q , bd
5 x ƒ x Ú a6[a, q d
5 x ƒ x 7 a6sa, q d
5 x ƒ a 6 x … b6 5 x ƒ a … x 6 b6 5 x ƒ
a … x … b6 5 x ƒ a 6 x 6 b6
a b
a b
a b
çözüm kümeleri
Çözüm kümesi araldr (ekil 1.1b).
(c) 6@( x – 1) 5 eitsizlii ancak x 1 için
geçerli olabilir, çünkü öteki türlü 6@( x – 1) tanmsz
veya negatiftir. Dolaysyla, iki taraf da ( x – 1) ile
çarparsak eitsizlik ko- runacaktr.
ki taraf da ( x – 1) ile çarpn
ki tarafa da 5 ekleyin.
Çözüm kümesi (1, 11@5] yar-açk araldr (ekil 1.1c).
Mutlak De¤er
Bir x saysnn u x u ile gösterilen mutlak
deeri
formülü ile tanmlanr.
ÖRNEK 2 Mutlak De¤erleri Bulmak
Geometrik olarak x’in mutlak deeri, reel say dorusu
üzerinde x’ten 0’a olan uzaklktr. Uzaklklar daima pozitif
veya 0 olduklarndan, her x reel says için u x u 0
olduunu görürüz. Ancak ve yalnz x = 0 ise u x u = 0 dr.
Ayrca,
u x – y u= reel doru üzerinde x ve y arasndaki
uzaklk
dr (ekil 1.2 ).
sembolü daima a’nn negatif olmayan karekökünü belirttii için,
u x u ’in baka bir tanm da
olduunu unutmayn. a 0 olduunu kesin olarak bilmeden sakn
yazmayn.
Mutlak deerin özellikleri aada verilmitir (Altrmalarda bu
özellikleri ispat et- meniz istenmektedir).
2 a2 = a2 a2 = ƒ a ƒ .
ƒ x ƒ = 2 x2 .
2 a
ƒ 3 ƒ = 3, ƒ 0 ƒ = 0, ƒ -5 ƒ = -s -5d = 5, ƒ - ƒ a ƒ ƒ =
ƒ a ƒ
ƒ x ƒ = e x, x Ú 0
- x, x 6 0.
6
1.1 Reel Say›lar ve Reel Do¤ru 5
Mutlak Deerin özellikleri
1. Bir say ve onun ters iaretlisinin mutlak deerleri ayndr.
2. Bir çarpmn mutlak deeri mutlak deerlerin çarpmdr.
3.
4. Üçgen eitsizlii. ki saynn toplamnn mutlak deeri, mutlak
deerlerinin toplamndan küçük veya ona eittir.
ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ
Bir bölümün mutlak deeri mutlak deerlerin bölümüdür.
` a b
ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ
– 5 0 3
aada verilmitir (Altrmalarda bu
özellikleri ispat etmeniz istenmektedir).
11 veya x —–
u –a u – u a u olduuna dikkat edin. Örnein,
u –3 u = 3’dür oysa – u3 u = –3’dür. a ve b nin iaretleri
farklysa u a + b u mutlak deeri u a u + u b u den küçüktür. Dier
bütün durum- larda u a + b u ve u a u + u b u eittir u –3
+ 5 u gibi ifadelerde mutlak deer çizgileri paran- tezler gibidir:
mutlak deeri almadan önce içini hesaplarz.
ÖRNEK 3 Üçgen Eflitsizli¤ini Aç›klamak
u x u a eitsizlii, x’in sfra olan uzakln pozitif a
saysndan daha küçük olduu- nu söyler. Dolaysyla ekil 1.3 te
görülecei gibi x says, – a ile a arasnda bulunmak zo-
rundadr.
Aadaki ifadelerin hepsi mutlak deer tanmnn sonuçlardr ve mutlak
deer bu- lunduran denklemleri veya eitsizlikleri çözerken oldukça
faydaldrlar.
ƒ -3 - 5 ƒ = ƒ -8 ƒ = 8 = ƒ -3 ƒ + ƒ -5 ƒ
ƒ 3 + 5 ƒ = ƒ 8 ƒ = ƒ 3 ƒ + ƒ 5 ƒ
ƒ -3 + 5 ƒ = ƒ 2 ƒ = 2 6 ƒ -3 ƒ + ƒ 5 ƒ = 8
6 Bölüm 1: Ön Bilgiler
– a 0 a x
aa
x
fiEK‹L 1.3 u xu a ifadesi x’in – a ile a
arasnda olmas demektir.
Aralklar ve Mutlak Deerler a herhangi bir pozitif say ise,
5. | x | = a ancak ve ancak x = a ise
6. | x | a ancak ve ancak – a x a ise
7. | x | a ancak ve ancak x a
veya x – a ise
8. | x | a ancak ve ancak –a x a ise
9. | x | a ancak ve ancak x a veya x –a
ise
sembolü, matematikçiler tarafndan “ancak ve ancak” veya “ gerekir
ve gerek- tirir” anlamnda sklkla kullanlr. Ayn zamanda “ifade eder
ve ifade edilir” anlamndadr.
ÖRNEK 4 Mutlak De¤erli bir Denklemi Çözmek
u2 x – 3 u = 7 denklemini çözün.
Çözüm Özellik 5 ten, 2 x – 3 =7 dir, u halde iki olaslk
vardr:
2 x – 3 = 7 2 x – 3 = –7
2 x = 10 2 x = –4 Her zamanki gibi çözün.
x = 5 x = –2
u2 x – 3u = 7’nin çözümleri x = 5 ve x =
–2’dir.
ÖRNEK 5 Mutlak De¤er ‹çeren Bir Eflitsizli¤i Çözmek
eitsizliini çözün.` 5 - 2 x ` 6 1.
Mutlak deersiz edeer denklemler
Özellik 6
5 çkarn
terslerini aln.
Eitsizlikler hakkndaki deiik kurallarn burada nasl kullanldna
dikkat edin. Bir negatif say ile çarpmak eitsizlii tersine
çevirir. Her iki taraf da pozitif olan bir eitsiz- likte iki tarafn
terslerini almak da ayndr. Asl eitsizlik ancak ve ancak
(1@3) x (1@2) ise salanr. Çözüm kümesi (1@3, 1@2) açk
araldr.
ÖRNEK 6 Eitsizlikleri çözün ve çözüm kümesini reel doruda
gösterin.
(a) u2 x – 3u 1 (b) u2 x – 3u 1
Çözüm
–1 2 x – 3 1 Özellik 8
2 2 x 4 3 ekleyin
1 x 2 2 ile bölün
Çözüm kümesi [1, 2] kapal araldr (ekil 1.4a).
(b) u2 x – 3u 1
2 x – 3 1 veya 2 x – 3 –1 Özellik 9
2 ile bölün
Çözüm kümesi (ekil 1.4b).s - q , 1] ´ [2, q d
3 2
3 2
… - 1 2
.
5 - 2 x ` 6 1 3 -1 6 5 -
2 x 6 1
1 2
1 2
fiEK‹L 1.4 Çözüm kümesi (a) [1, 2] ve (b)
Örnek 6.s - q , 1] ´ [2, q d
ALIfiTIRMALAR 1.1
Ondal›k Gösterimler
1. Tekrarlanan basamaklarn üzerine bir çizgi koyarak, 1@9’u tekrar-
lanan bir ondalk olarak yazn. 2@9, 3@9, 8@9 ve 9@9’un ondalk
gösterimleri nedir?
2. Tekrarlanan basamaklarn üzerine bir çizgi koyarak, 1@11’i
tekrarlanan bir ondalk olarak yazn. 2@11, 3@11, 9@11 ve 11@11’in
ondalk gösterimleri nedir?
Eflitsizlikler 3. 2 x 6 ise, x hakknda aada verilen
eitsizliklerin hangileri
doru, hangileri yanltr?
a. b.
c. d.
e. f.
g. h. -6 6 - x 6 -2-6 6 - x 6 2
ƒ x - 4 ƒ 6 21 6 6 x 6 3
1 6
0 6 x - 2 6 40 6 x 6 4
1 – — ile çarpn
4. –1 y – 5 1 ise, y hakknda aada
söylenenlerden hangileri dorudur?
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. ` 3r 5
` r + 1 2
` Ú 1ƒ 2 - 3 x ƒ 7 5ƒ 1 - x ƒ 7 1
ƒ s + 3 ƒ Ú 1 2ƒ 2 s ƒ Ú 4` 2 x - 4 ` 6 3
` 3 - 1 x ` 6
5 - 1 ` … 1
ƒ 2 y + 5 ƒ 6 1ƒ 3 y - 7 ƒ 6 4ƒ t + 2 ƒ 6 1
ƒ t - 1 ƒ … 3ƒ x ƒ … 2ƒ x ƒ 6 2
` s 2
- 1 ` = 1ƒ 8 - 3 s ƒ = 9 2ƒ 1 - t ƒ = 1
ƒ 2t + 5 ƒ = 4ƒ y - 3 ƒ = 7ƒ y ƒ = 3
- x + 5
1 3 s x - 6d
6 - x 4
3s2 - xd 7 2s3 + xd5 x - 3 … 7 - 3 x
8 - 3 x Ú 5-2 x 7 4
ƒ y - 5 ƒ 6 1 1 6
6 1 y 6
y 6 6 y 7 4
-6 6 y 6 -44 6 y 6 6
‹kinci Dereceden Eflitsizlikler 35–42 altrmalarndaki eitsizlikleri
çözün. Çözüm kümelerini aralklar veya aralklarn birleimi olarak
ifade edin ve çizin. Uygun durumlarda sonucunu kullann.
35. 36. 37.
38. 39. 40.
41. 42.
Teori ve Örnekler 43. | – a | = a gibi bir tuzaa dümeyin.
Hangi a reel saylar
için bu eitlik dorudur? Hangileri için yanltr?
44. | x – 1| = 1 – x denklemini çözün.
45. Üçgen eitsizliinin bir ispat Üçgen eitliinin aadaki is-
patndaki numaralanm admlar açklayacak nedenleri
söyleyin.
(1)
(2)
(3)
(4)
46. Her a ve b says için olduunu gösterin.
47. ve x –1@2 ise, x hakknda ne
söyleyebilirsiniz?
48. u x u + u y u 1 eitsizliini çizin.
49. ƒ( x) = 2 x + 1 ve herhangi bir pozitif say olsun.
u x – 1 u d’nn u ƒ( x) – ƒ(1) u 2d y gerektiini
gösteriniz. Bu- rada ƒ(a) notasyonu 2 x + 1 ifadesinin x
= a için deeridir. Bu fonksiyon notasyonu Bölüm 1.3’te
açklanmaktadr.
| x – 0 | < — iken | ƒ( x) – ƒ(0) | <
olduunu gösteriniz. Burada 2
ƒ(a) notasyonu 2 x + 3 ifadesinin x = a için deeridir.
(Bölüm 1.3’e bakn)
51. Herhangi bir a says için u –a u = u a u olduunu ispat
edin.
52. a herhangi bir pozitif say olsun ancak ve yalnz x a veya
x – a için | x | | a | olduunu ispat
edin.
53. a. b sfrdan farkl herhangi bir reel say ise u 1@b u = 1@u b u
olduunu ispat edin.
b. herhangi a ≠ 0, b ≠ 0 reel saylar için olduunu is-
pat edin.
54. Matematik ndüksiyon yöntemini kullanarak (Bak Ek 1) herhangi
bir a says ve herhangi bir pozitif n tamsays için |
an | = | a |n
olduunu ispat edin.
d 7 0
ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ
= s ƒ a ƒ + ƒ b ƒ d2
= ƒ a ƒ 2 + 2 ƒ a ƒ ƒ b ƒ + ƒ b ƒ 2 … a2 + 2 ƒ a
ƒ ƒ b ƒ + b2
= a2 + 2ab + b2
x2 - x - 2 Ú 0 x2 - x 6 0
s x + 3d2 6 2s x - 1d2 6 4 1 9
6 x2 6 1 4
4 6 x2 6 94 … x2 x2 6 2
2 a2 = ƒ a ƒ
8 Bölüm 1: Ön Bilgiler
a
b =
a
b
Do¤rular, Çemberler ve Paraboller
Bu bölümde, düzlemde koordinatlar, dorular, uzaklk, çemberler ve
paraboller tekrar- lanacaktr. Ayrca, artm kavram da
tartlacaktr.
Düzlemde Kartezyen Koordinatlar
Önceki bölümde doru üzerindeki noktalar, koordinatlar dediimiz reel
saylar ile belirle- dik. Düzlemdeki noktalar, sral reel say
ikilileri ile belirtilebilir. Balarken, 0 noktalarn- da kesien
birbirine dik iki koordinat dorusu çizeriz. Bu dorulara düzlemde
koordinat eksenleri denir. Yatay x-ekseninde,
saylar x ile gösterilir ve saa doru artarlar. Dikey
y– ekseninde ise, saylar y ile gösterilir ve
yukar doru artarlar (ekil 1.5). Böylece ‘‘yu- karya’’ ve ‘‘saa’’
yönleri pozitif yönlerdir, buna karlk ‘‘aaya’’ ve ‘‘sola’’ yönleri
ne- gatif yönlerdir. Koordinat sisteminin orijini O, ayn zamanda 0
ile de gösterilir, düzlem- de x ve y’nin her ikisinin de
sfr olduu noktadr.
P düzleme herhangi bir nokta ise, tam olarak bir sral
reel say ikilisiyle u ekilde ko- numlandrlabilir. P den
iki koordinat eksenine dik dorular çizilir. Bu dorular eksenleri ve
koordinatl noktalarda keserler (ekil 1.5). (a, b) sral
ikilisi P noktas ile elenir ve bu ikiliye
P ’nin koordinat çifti denir. Birinci say
‘‘a’’ P ’nin x –koordinat (veya apsisi)
dr; ikinci say ‘‘b’’ P ’nin y – koordinat (veya
ordinat ) dr. y– ekseni üzerindeki her nok-
tann x– koordinat 0 dr. x– ekseni üzerindeki
her noktann y– koordinat 0 dr. Orijin (0, 0)
noktasdr.
Bir (a, b) sral ikilisi ile balayarak, ilemi tersine çevirebiliriz
ve düzlemde bu ik- iliye kar gelen bir P noktasna
ularz. Çou kez P ’yi sral ikili ile tanmlar
ve P (a, b) yazarz. Bazen “(a, b) noktas’’ olarak da
adlandrrz ve (a, b)’nin reel doru üzerinde bir açk aral deil
de düzlemde bir noktay gösterdii sözün geliinden anlalacaktr. ekil
1.6 da koordinatlar ile iaretlenmi birkaç nokta
gösterilmitir.
Bu koordinat sistemine dik koordinat sistemi veya Kartezyen
koordinat sistemi denir (16.yy Fransz matematikçi René
Descartes’den sonra). Bu koordinat veya Kartezyen düzlemin
koordinat eksenleri, düzlemi dörtte bir (quadrant) denen, ekil 1.6
gösterildii gibi saat yönünün tersine numaralanan, dört bölgeye
ayrr.
x ve y deikenlerine bal bir denklemin veya bir
eitsizliin grafii, koordinatlar denklemi veya eitsizlii salayan
düzlemdeki bütün P ( x, y) noktalarnn kümesidir.
Koor- dinat düzleminde veri çizerken veya deikenlerinin birimleri
farkl olan formüllerin grafiklerini çizerken, iki eksen üzerinde
ayn ölçei kullanmak zorunda deiliz. Örnein, bir roket motoru
için zaman- itme çiziyorsak, zaman ekseninde 1 sn’yi gösteren
iareti, ori- jinden, itme ekseninde 1 lb’yi gösteren iaretle
ayn uzakla koymak için bir neden yoktur.
Genellikle deikenleri fiziksel büyüklükler temsil etmeyen
fonksiyonlarn grafik- lerini çizerken, geometrilerini ve
trigonometrilerini incelemek için düzlemde ekiller çiz- erken,
eksenler üzerindeki ölçei ayn almaya çalrz. Böylece, bir dikey
uzaklk birimi ile yatay uzaklk birimi ayn gözükür. Bir ölçümcü
haritasnda veya ölçekli çizimde olduu gibi, ayn uzunlukta olduu
kabul edilen doru parçalar öyleymi gibi gözükecek- tir ve e olduu
kabul edilen açlar e gözükecektir.
Bilgisayar ekranlar ve hesap makinesi ekranlar ayr bir sorundur.
Makine ile üretilen grafiklerde dikey ve yatay ölçekler genellikle
farkldr ve buna bal olarak uzaklklarda, eimlerde ve açlarda
bozukluklar vardr. Çemberler elips gibi, dikdörtgenler kare gibi,
dik açlar dar aç veya geni aç gibi, vs. görünebilir. Bu ekran ve
bozukluklar Bölüm 1.7 de geni ayrntlar ile tartyoruz.
1.2
y
1
–1
–2
–3
2
3
b
x
koordinatlar, orijinde dik kesien iki eksene
oturtulmutur.
x
y
düzlem de iaretlenmi noktalar. Eksenler
üzerindeki bütün noktalarn koordinat
say ile gösterilirler, ( böylece x-ekseni
üzerindeki noktas (1, 0) ile 1
iaretlenmitir). Dörtte bir bölgelerin
Bir parçack düzlemde bir noktadan dierine hareket ederken,
koordinatlarndaki net deiikliklere artm denir. Balangç noktasnn
koordinatlar biti noktasnnkilerden çkartlarak
hesaplanrlar. x, x1 den x2 ye deiirse x teki
artm
Δ x = x2 – x1
ÖRNEK 1 A (4, –3) noktasndan B(2, 5) noktasna
gidilirken x- ve y-koordinatlarndaki
artmlar
Δ x = 2 – 4 = – 2, Δ y = 5 – (–3) = 8
dir. C (5, 6)’dan D(5, 1)’e koordinat artmlar
Δ x = 5 – 5 = 0, Δ y = 1 – 6 = –5
dir. Baknz ekil 1.7. Düzlemde P 1( x1, y1)
ve P 2( x2, y2) noktalar verilmise, Δ x
= x2 – x1 ve Δ y
= y2 – y1
artrmlarna srasyla P 1 ve P 2 arasndaki
ilerleme ve yükselme denir. Böyle iki nokta daima, bu noktalardan
geçen tek bir doru belirler. Doruya P 1 P 2
dorusu ad verilir.
Düzlemde dikey olmayan herhangi bir dorunun, doru üzerinde seçilen
her P 1( x1, y1)
ve P 2( x2, y2) noktas için geçerli olan bir
özellii
orannn ayn olmasdr (ekil 1.8). Bunun nedeni, benzer üçgenlerde
karlkl kenarlarn oranlarnn ayn olmasdr.
m = yükselme
TANIM E¤im
sabitine dikey olmayan P 1 P 2 dorusunun eimi
denir.
m = yükselme
x 2 – x 1
Eim bir dorunun yönünü (yukar, aa) ve dikliini belirler. Eimi
pozitif olan bir doru saa doru yukar çkar, eimi negatif olan
bir doruysa saa doru aa iner (ekil 1.9). Eimin mutlak deeri
ne kadar büyük olursa, yükselme veya alçalma o kadar hzl
olur. Dikey bir dorunun eimi tanmszdr . Dikey bir doru için
Δ x ilerlemesi sfr olduundan, m eim orann hesaplayamayz.
Bir dorunun yönü ve diklii bir açyla da ölçülebilir. x
ekseninden geçen bir dorunun eim açs, x ekseninden doruya saat
yönünün tersine olan en küçük açdr (ekil 1.10). Yatay dorunun eim
açs 0° dir. Dikey dorunun eim açs ise 90° dir. f bir dorunun
eim açsysa, 0 f 180° dir.
y 8
x – 2
D(5, 1)
C(5, 6)
B(2, 5)
1
2
3
4
5
6
–1
–2
–3
y
x
P 2( x2, y2)
P 2
benzerdir dolaysyla kenarlarnn oran,
P 1¿Q¿ P 2¿ P 1 QP 2
TARHSEL BYOGRAF*
René Descartes
(1596–1650)
Dikey olmayan bir dorunun eimi m ile dorunun eim açs f arasndaki
iliki ekil 1.11’de gösterilmektedir:
m = tan f
Dorularn denklemleri basittir. x-eksenindeki a noktasndan
geçen dikey doru üz- erindeki bütün noktalarn x koordinatlar
a’dr. Yani, x = a dikey dorunun denklemidir. Ayn
ekilde, y = b de y-eksenini b noktasnda kesen yatay
dorunun denklemidir. (ekil 1.12 ye baknz).
Eimini ve üzerindeki bir P 1( x1, y1)
noktasnn koordinatlarn biliyorsak, dikey ol- mayan bir L
dorusunun denklemini yazabiliriz. P ( x, y) L
üzerindeki herhangi bir baka noktaysa P 1
ve P noktalarn
eimini hesaplamak için kullanabiliriz, dolaysyla
y – y1 = m( x – x1) veya y = y1 + m( x –
x1)
m = y - y1
y = y1 + m( x – x1)
denklemi ( x1, y1) noktasndan geçen ve eimi m olan
dorunun nokta-eim denklemi dir.
ÖRNEK 2 (2, 3) noktasndan geçen ve eimi –3@2 olan dorunun
denklemini yazn.
Çözüm Nokta-eim denkleminde x1 = 2, y1 = 3 ve m =
–3@2 yerletirir ve
elde ederiz. x = 0 için y = 6 d›r. Dolay›s›yla
do¤ru y-eksenini y = 6 da keser.
ÖRNEK 3 ‹ki noktadan geçen bir do¤runun denklemi
(–2, –1) ve (3, 4) noktalarndan geçen dorunun denklemini
yazn.
Çözüm Dorunun eimi
dir. Bu eimle birlikte nokta-eim denkleminde verilen iki noktadan
birini kullanabiliriz:
ile ile
Ayn sonuç
Her iki ekilde de dorunun denklemi y = x +1’dir (ekil
13).
y = x + 1 y = x + 1
y = 4 + x - 3 y = -1 + x + 2
y = 4 + 1 # s x - 3d y = -1 + 1 # s x - s
-2dd
s x1 , y1d s3, 4ds x1 ,
y1d s 2, 1d
m = -1 - 4 -2 - 3
= -5 -5
y = 3 - 3 2 A x - 2 B
, or y = -
3 2 x + 6.
f
eimi, eim açsnn tanjant dr.
bu
yönünün tersine ölçülür.
L2
L1
dir. Yani, x 3 birim arttkça, y 8 birim artar.
L2’in eimi ise
azalr.
= 8 3
Dikey olmayan bir dorunun y-eksenini kestii noktann y
koordinatna dorunun y-kesim noktas denir. Ayn ekilde,
x-kesim noktas da yatay olmayan bir dorunun
x-ekseninden geçtii noktann x koordinatdr (ekil 1.14).
Eimi m ve y-kesim noktas b olan bir doru (0, b) noktasndan
geçer ve denklemi
y = b + m( x – 0) veya, daha basit olarak, y
= mx + b
dir.
x
y
0
1
2
3
4
5
6
(2, 3)
fiEK‹L 1.12 (2, 3) ten geçen dikey ve yatay
dorularn standart denklemleri x = 2 ve
y = 3 tür.
y = mx + b
denklemine eimi m ve y-keseni b olan dorunun eim-kesim noktas
denklemi denir.
Denklemi y = mx eklinde olan dorularn y-kesim noktalar
0’dr ve dolaysyla orijinden geçerler.
Ax + By = C ( A ve B’nin ikisi birlikte 0
olmamak üzere)
denklemine, x ve y’nin genel lineer denklemi denir, çünkü
grafii her zaman bir doruyu temsil eder ve her dorunun denklemi
(eimi tanml olmayan dorular da dahil) bu ekil- dedir.
ÖRNEK 4 E¤imi ve y -kesimini bulmak
8 x + 5 y = 20 dorusunun eimini ve y-kesim noktasn
bulun.
Çözüm Eim-kesim noktas ekline sokmak için denklemi y’ye göre
çözelim:
Eim m = –8@5 dir. y-kesim noktas b = 4’tür.
Paralel ve Dik Do¤rular
Paralel dorularn eim açlar ayndr. Yani eimleri ayndr (dikey birer
doru deillerse). Tersine, eimleri ayn olan dorularn eim açlar ayndr
ve dolaysyla paraleldirler.
Dikey olmayan L1 ve L2 dorular birbirine dikse, m1 ve
m2 eimleri m1m2 = –1 eitliini salar, yani her eim dierinin çarpmaya
göre negatif tersidir:
Bunu görmek için, ekil 1.15’teki benzer üçgenleri inceleyerek
m1 = a@h ve m2 = – h@a olduuna dikkat edin. Dolaysyla,m1m2 =
(a@h) (– h@a) = –1 dir.
m1 = - 1
m2 , m2 = -
1 m1
x
y
b
y-kesimi b dir.
(–2, –1)
(3, 4)
fiEK‹L 1.13 Örnek 3 teki doru.
Düzlemde Uzakl›k ve Çemberler Düzlemdeki noktalar arasndaki uzaklk,
Pisagor formülünden gelen bir formülle hesa- planr (ekil
1.16).
1.2 Do¤rular, Çemberler ve Paraboller 13
x
y
üçgenine benzerdir. Dolaysyla f1 ayn
zamanda ΔCDB üçgeninin üst açsdr.
ΔCDB üçgeninin kenarlarndan
2d ( x2 – x1)
y1
y2
x2
dir.
fiEK‹L 1.16 P ( x1, y1) ve
Q( x2, y2), arasndaki
uzakl hesaplamak için, PCQ üçgenine
Pisagor Teoremini uygulayn.
Düzlemdeki Noktalarn Arasndaki Uzaklk Formülü
P ( x1, y1) ve Q( x2, y2) arasndaki
uzaklk aadaki gibidir:
d = 2 s¢ xd2 + s¢ yd2 = 2 s x2 -
x1d2 + s y2 - y1d2 .
( x – h)2 + ( y – k )2 = a2 (1)
ÖRNEK 5 Uzakl›k Hesaplamak
(a) P (–1, 2) ile Q(3, 4) arasndaki uzaklk
(b) Orijinden P ( x, y) noktasna olan
uzaklk
Tanm olarak; a yarçapl bir çember, bir C (h,
k ) merkezine uzaklklar a olan bütün
P ( x, y) noktalarnn kümesidir (ekil 1.17).
Uzaklk formülünden, ancak ve yalnz
ise, P noktas çember üzerindedir. Dolaysyla
2 s x - hd2 + s y - k d2 = a ,
2 s x - 0d2 + s y - 0d2 = 2 x2 + y2
.
2 s3 - s -1dd2 + s4 - 2d2 = 2 s4d2 + s2d2 = 2 20 =
2 4 # 5 = 22 5.
dir.
(1) denklemi (h, k ) merkezli ve a yarçapl bir çemberin
standart denklemidir. Yarçap ve merkezi orijinde olan birim çember’
in denklemi
x2 + y2 = 1’dir.
C(h, k )
(h, k )’da olan a yarçapl bir çember.
ÖRNEK 6
(a) Merkezi (3, 4)’te olan 2 yarçapl çemberin standart
denklemi
( x – 3)2 + ( y – 4)2 = 22 = 4
tür.
(b) ( x – 1)2 + ( y + 5)2 = 3
çemberinde, h = 1, k = –5 ve a =
√ 3 ’tür. Merkezi (h, k ) = (1,
–5) noktasdr ve yarçap
a = √ 3 ’tür. Bir çemberin denklemi
standart eklinde deilse, çemberin merkezini ve yarçapn
denklemi önce standart ekle sokarak bulabiliriz. Bunu yapmak için
gereken cebirsel yön- teme kareyi tamamlama denir (Ek 9 a
bakn).
ÖRNEK 7 Bir Çemberin Merkezini ve Yar›çap›n› Bulmak
Aadaki çemberin merkezini ve yarçapn bulun.
x2 + y2 + 4 x – 6 y – 3 = 0
Çözüm x ve y’nin karelerini tamamlayarak denklemi
standart ekline döndürürüz:
x2 + y2 + 4 x – 6 y – 3 = 0
( x2 + 4 x) + ( y2 – 6 y) = 3
Merkez (–2, 3) ve yarçap a = 4 tür.
( x – h)2 + ( y – k )2 a2
eitsizliini salayan noktalar, merkezi (h, k ) ve yarçap a olan
çemberin içi denilen böl- geyi olutururlar (ekil 1.18). Çemberin
d
( x – h)2 + ( y – k )2 a2
Paraboller
Genel parabollerin geometrik tanm ve özellikleri bölüm 10.1 de
incelenmektedir. Bu- rada parabollere y = ax2 + bx + c
eklindeki eitliklerin grafikleri olarak bakacaz.
s x + 2d2 + s y - 3d2 = 16
s x2 + 4 x + 4d + s y2 - 6 y + 9d = 3 + 4 +
9
3 + a4 2 b2
+ a-6 2
b 2
a x2 + 4 x + a4 2 b2b + a y2 - 6 y + a-6
2 b 2b =
Verilen denklemle balayn.
Terimleri bir araya getirin. Sabiti sa tarafa geçirin.
x’in katsaysnn yarsnn karesini denklemin iki tarafnda da
ekleyin Aynsn y için yapn. Sol taraftaki parantez
içindeki ifadeler artk tam karelerdir.
Her kareyi karesi alnm lineer açlmlar olarak yazn.
D:
( x h)2 ( y k )2 a2
ç:
( x h)2 ( y k )2 a2
(h, k )
y
k
Üzeri:
( x h)2 ( y k )2 a2
fiEK‹L 1.18 ( x – h)2 + ( y – k )2 = a2
çemberinin içi ve d
ÖRNEK 8 Parabolü
y = x2 eitliini göz önüne aln. Koordinatlar bu eitlii salayan
baz noktalar
ve (–2, 4)’tür. Bu noktalar (ve eitlii salayan
bütün dierleri) parabol denen düzgün bir eri oluturur (ekil
1.19).
y = ax2
eklindeki bir denklemin grafii, ekseni (simetri
ekseni) y-ekseni olan bir paraboldür. Parabolün tepe
noktas (parabol ve eksenin kesitii nokta) orijinde bulunur. a 0 ise
parabol yukar, a 0 ise aa doru açlr. u a u deeri ne kadar
büyükse, parabol o kadar dar olur (ekil 1.20 ).
Genel olarak y = ax2 + bx + c eitliinin grafii, y
= x2 parabolünün grafiinin kaydrlm ve uyarlanm eklidir.
Grafiklerin kaydrlmasn ve uyarlanmasn daha de- tayl olarak Bölüm
1.5 te inceleyeceiz.
s0, 0d, s1, 1d, a3 2
, 9 4 b , s -1, 1d, s2, 4d ,
y = x 2
0 1 2 –1 –2
1
(Örnek 8)
y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0’n Grafii
y = ax2 + bx + c, a 0 denkleminin grafii bir paraboldür. a 0
ise parabol yukar, a 0 ise aa doru açlr. Ekseni
(2)
dorudur. Parabolün tepe noktas eksen ve parabolün kesitii noktadr.
Tepe noktasnn x-koordinat x = – b@2a’dr;
y-koordinat ise parabol denkleminde x = – b@2a
konularak elde edilir.
b x = – —–
2a
a = 0 ise y = bx + c doru denklemini elde ettiimize dikkat
edin. (2) denklemi ile verilen eksen, kareye tamamlama veya Bölüm
4.1 de incelenen bir teknikle bulunabilir.
ÖRNEK 9 Bir parabolü çizmek
denkleminin grafiini çizin.
Çözüm Denklem, y = ax2 + bx + c ile karlatrlrsa
olduu görülür. a 0 olduundan parabol aaya doru açlr. (2)
denkleminden, eksen
dikey dorusudur.
S i m e
t r i
e k
s e n i
Orijinde tepe noktas
y = – x2
yönü belirlerken a says bir ölçü
faktörüdür. a sfr’a yaklatkça parabol
geniler, | a | büyüdükçe parabol daralr.
x = –1 için
dir. Tepe noktas (–1, 9@2) dir. x-kesim noktalar y = 0
olduu yerdedir:
Baz noktalar iaretler, ekseni (silik olarak) çizer ve açlma yönünü
kullanarak grafii tamamlarz (ekil 1.21).
x = 2, x = -4
x2 + 2 x - 8 = 0
- 1 2 x2 - x + 4 = 0
y = - 1 2 s -1d2 - s -1d + 4 =
9 2
Kesim noktalar x –4
ve x 2’de
-kesim noktas simetrik nokta
(0, 4)(–2, 4)
– 1
x
y
’dir
ALIfiTIRMALAR 1.2
Art›mlar ve Uzakl›k lk dört altrmada, bir parçack koordinat
düzleminde A’dan B’ye il- erlemektedir. Parçacn
koordinatlarndaki Δ x ve Δ y artmlarn ve
A’dan B’ye olan uzakl bulun.
1. 2.
3. 4.
5. x2 + y2 = 1 6. x2 + y2 = 2
7. x2 + y2 3 8. x2 + y2 = 0
E¤imler, Do¤rular ve Kesim Noktalar› 9–12 altrmalarindaki noktalar
iaretleyin ve (varsa) eimlerini bu- lun. Ayrca AB dorusuna dik
dorularn ortak eimlerini bulun.
9. A(–1, 2), B(–2, –1) 10. A(–2, 1), B(2,
–2)
11. A(2, 3), B(–1, 3) 12. A(–2, 0), B(–2,
–2)
13–16 altrmalarnda, verilen noktalardan geçen (a) dik doru ve (b)
yatay doru için bir denklem yazn.
13. 14.
15. 16.
17–30 altrmalarnda tanmlanan dorunun denklemini yazn.
17. –1 eimiyle (–1, 1) noktasndan geçer.
s -p, 0dA0, -2 2 B A2 2, -1.3 Bs -1, 4>3d
As2 2, 4d, Bs0, 1.5d As -3.2, -2d, Bs
-8.1, -2d
As -1, -2d, Bs -3, 2d As -3, 2d, Bs -1,
-2d
18. 1@2 eimiyle (2, –3) noktasndan geçer.
19. (3, 4) ve (–2,5) noktalarndan geçer.
20. (–8, 0) ve (–1, 3) noktalarndan geçer.
21. Eimi –5@4 ve y-kesim noktas 6’dr.
22. Eimi 1@2 ve y-kesim noktas –3’tür.
23. 0 eimle (–12, –9) noktasndan geçer.
24. Eimi yoktur ve (1@3, 4) noktasndan geçer.
25. y-kesim noktas 4 ve x-kesim noktas –1’dir.
26. y-kesim noktas –6 ve x-kesim noktas 2’dir.
27. (5, –1) noktasndan geçer ve 2 x + 5 y = 15 dorusuna
paraleldir.
28. noktasndan geçer ve dorusuna paraleldir.
29. (4, 10) noktasndan geçer ve 6 x – 3 y = 5
dorusuna diktir.
30. (0, 1) noktasndan geçer ve 8 x – 13 y = 13
dorusuna diktir.
31–34 altrmalarnda, dorunun x- ve y-kesim noktalarn
bulun ve bu bilgiyi kullanarak doruyu çizin.
31. 32.
33. 34.
35. Ax + By = C 1 ve Bx – Ay = C 2 ( A ≠
0, B ≠ 0) dorular arasndaki ilikinin bir özellii var mdr?
Cevabnzn nedenlerini açklayn.
36. Ax + By = C 1 ve Ax + By = C 2 ( A ≠
0, B ≠ 0) dorular arasndaki ilikinin bir özellii var mdr?
Cevabnzn nedenlerini açklayn.
1.5 x - y = -32 2 x - 2 3 y =
2 6 x + 2 y = -43 x + 4 y = 12
Art›mlar ve Hareket 37. Bir parçack A(–2, 3) noktasndan
harekete balar ve koordinatlar
Δ x = 5 ve Δ y = –6 artmlaryla deiir. Parçacn yeni
konumunu bulunuz.
38. Bir parçack A(6, 0) noktasndan harekete balar ve
koordinatlar Δ x = –6 ve Δ y = 0 artmlaryla deiir.
Parçacn yeni konumunu bulunuz.
39. A( x, y)’den B(3, –3)’ye giderken, bir parçacn
koordinatlar Δ x = 5 ve Δ y = 6 olarak deiir. x
ve y’yi bulun.
40. Bir parçack A(1, 0) noktasndan balayarak orijin
etrafnda saat yönünün tersine bir çember çizer ve A(1, 0)’a
geri döner. Koordinat- larndaki net deiiklik nedir?
Çemberler 41–46 altrmalarnda verilen C (h, k ) merkezli
ve a yarçapl çembe- rin denklemini bulun.
Çemberi xy-düzleminde çizin ve merkezini gra- fiinizde
belirtin. Ayrca, varsa çemberin x ve y kesim noktalarn
koordinat ikilileriyle birlikte gösterin.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61.
62.
63.
64.
65.
x2 + y2 7 1, x2 + y2 6 4
x2 + s y - 2d2 Ú 4
s x - 1d2 + y2 … 4
x2 + y2 6 5
x2 + y2 7 7
1 2 x2 + x + 4
y = 2 x2 - x + 3 y = - x2 - 6 x -
5
y = - x2 + 4 x - 5 y = - x2 +
4 x
y = x2 + 4 x + 3 y = x2 - 2 x -
3
x2 + y2 + 2 x = 3
x2 + y2 - 4 x + 4 y = 0
x2 + y2 - 4 x - s9>4d = 0
x2 + y2 - 3 y - 4 = 0
x2 + y2 - 8 x + 4 y + 16 = 0
x2 + y2 + 4 x - 4 y + 4 = 0
C s3, 1>2d, a = 5C A -2 3, -2 B , a = 2
C s1, 1d, a = 2 2C s -1, 5d, a = 2 10
C s -3, 0d, a = 3C s0, 2d, a = 2
67.
68.
69. Merkezi (-2, 1) ve yarçap √ 6 olan
çemberin içinde bulunan nok- talar tanmlayan bir eitsizlik
yazn.
70. Merkezi (-4, 2) ve yarçap 4 olan çemberin dnda bulunan nok-
talar tanmlayan bir eitsizlik yazn.
71. Merkezi (0, 0) ve yarçap √ 2 olan
çemberin içinde veya üstünde bulunan ve (1, 0)’dan geçen
dikey dorunun üstünde veya sanda kalan noktalar tanmlayan bir
eitsizlik çifti yazn.
72. Merkezi (0, 0) ve yarçap 2 olan çemberin dnda ve merkezi (1, 3)
olan ve orijinden geçen çemberin içinde kalan noktalar tanmlayan
bir eitsizlik çifti yazn.
Kesiflen Do¤rular, Çemberler ve Paraboller 73–80 altrmalarnda, iki
denklemi çizin ve grafiklerin kesitikleri noktalar bulun.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
Uygulamalar 81. Yaltm ekildeki eimleri ölçerek, derece@ft olarak
(a) alç du-
vardaki, (b) fiberglas yaltmdaki ve (c) tahta kaplamadaki
scaklk deiimlerini bulunuz.
x2 + y2 = 1, x2 + y = 1
x2 + y2 = 1, s x - 1d2 + y2 = 1
y = 1 4 x2, y = s x - 1d2
y = - x2, y = 2 x2 - 1
x + y = 0, y = -s x - 1d2
y - x = 1, y = x2
x + y = 1, s x - 1d2 + y2 = 1
y = 2 x, x2 + y2 = 1
x2 + y2 - 4 x + 2 y 7 4, x 7 2
x2 + y2 + 6 y 6 0, y 7 -3
1.2 Do¤rular, Çemberler ve Paraboller 17
I s
( ° F
)
Alç duvar Kaplama
82. Yaltm Altrma 81’deki ekle göre, malzemelerden hangisi en iyi,
hangisi en kötü yaltkandr? Açklayn.
83. Su alt basnc Su altndaki bir dalgç tarafndan hissedilen p
basnc dalgcn derinlii d ’ye, p = kd + 1
(k bir sabit) eklinde bir denklemle baldr. Yüzeyde
basnç 1 atmosferdir. 100 metre- deki basnç ise 10.94 atmosfer
civarndadr. 50 metredeki basnc bulun.
84. Yansyan k Bir k demeti ikinci bölgeden x + y = 1
dorusu boyunca gelir ve x ekseninden yansr (ekle baknz).
Geli açs yansma açsna eittir. Yansyan n izledii dorunun den-
klemini yaznz.
88. Köeleri A(0, 0), ve C(2, 0) noktalarnda olan üç- genin
ekenar olduunu gösterin.
89. A(2, –1), B(1,3) ve C (–3, 2) noktalarnn bir
karenin köeleri olduunu gösterin ve dördüncü köeyi bulun.
90. Aada gösterilen dikdörtgenin kenarlar eksenlere paraleldir.
Uzunluu geniliinin üç katdr ve çevresi 56 birimdir. A, B ve
C noktalarnn koordinatlarn bulunuz.
91. Üç farkl paralelkenarn köeleri (–1, 1), (2, 0) ve (2, 3) nokta-
larndadr. Bunlar çizin ve herbirinin dördüncü köesini bulun.
92. Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90°’lik bir dönme,
ekilde gösterildii gibi (2, 0) noktasn (0, 2) noktasna ve (0, 3)
nok- tasn (–3, 0) noktasna götürür. Aadaki noktalar bu dönme altnda
hangi noktaya giderler?
a. (4, 1) b. c.
d. ( x, 0) e. (0, y) f. ( x, y)
g. (10, 3) noktasna gelen nokta hangisidir?
93. Hangi k deeri için 2 x + ky = 3 dorusu 4 x + y =
1 dorusuna dik- tir? Hangi k deeri için bu dorular
paraleldir?
94. (1, 2) noktasndan ve x + 2 y = 3 ve 2 x –
3 y = –1 dorularnn kesiim noktasndan geçen doruyu bulun.
95. Bir doru parçasnn orta noktas Koordinatlar
olan noktann P ( x1, y1) noktasn Q( x2,
y2) noktasna balayan
doru parçasnn orta noktas olduunu gösterin.
a x1 + x2
2 , y1 + y2
Geli açs
Yansma açs
1
göre ölçülürler.
85. Fahrenheit ve Santigrad FC düzleminde, Fahrenheit ve
santi- grad scaklklar arasndaki ilikiyi veren
denklemini çizin. Ayn garfik üzerinde C = F dorusunu
belirtin. Santigrad ölçen termometrenin Fahrenheit ölçen bir
termometrey- le ayn saysal deeri gösterdii bir scaklk var mdr?
Varsa, bu scakl bulun.
86. Washington Cog Tren Yolu naat mühendisleri bir yol yatann
eimini yükseldii veya alçald mesafenin yatayda ald mesafeye oran
olarak ölçerler. Genellikle yüzde olarak yazlan bu orana da
yol yatann mertebesi derler. Bir ky boyunca, ticari tren
yollarnn mertebesi genellikle %2’den azdr. Dalarda ise %4’e kadar
çkabilir. Otoyollarn mertebesi genel- likle %5’ten azdr.
New Hampshire’daki Washington Cog Tren Yolu’ nun en dik
ksmnn mertebesi bir istisna olarak %37.1’dir. Yolun bu ksmnda,
vagonun önündeki koltuklar arkasndakilerden 14 ft daha yüksektir.
Ön ve arka koltuklarn arasndaki uzaklk nedir?
Teori ve Örnekler 87. Kenarlarnn uzunluklarn hesaplayarak,
köeleri A(1, 2), B(5, 5)
ve C (4, –2) noktalarnda bulunan üçgenin ikizkenar olduunu
fakat ekenar olmadn gösteriniz.
C = 5 9 s F - 32d
Fonksiyonlar ve Grafikleri
Fonksiyonlar; Tan›m ve De¤er Kümeleri
Suyun kaynad scaklk deniz seviyesinden yükseklie baldr (yükseldikçe
kaynama noktas düer). Bir yatrma ödenen faiz, yatrmn ne kadar
süreyle tutulduuna baldr. Bir çemberin alan çemberin yarçapna
baldr. Doru bir yolda, bir balangç noktasn- dan hareket eden bir
cismin kat ettii yol, cismin hzna baldr.
Her durumda, y olarak adlandrabileceimiz bir deiken büyüklüün
deeri, x olarak adlandrabileceimiz baka bir deiken
büyüklüün deerine baldr. y’nin deeri x’in deeriyle kesin
olarak belirlenebildiinden dolay, y’ye x’in bir
fonksiyonu deriz. y deeri genellikle, x deikeninden nasl
hesaplanacan söyleyen bir kural veya bir formülle ver-
ilir. Örnein, A = pr 2 denklemi, r yarçapndan, bir
çemberin A alann hesaplayan bir ku- raldr.
Analizde, herhangi bir formülü olmayan, belirlenmemi bir fonksiyona
bavurmak isteyebiliriz. ‘‘ y, x’in bir
fonksiyonudur’’ demenin sembolik yolu
y = ƒ( x) (“ y, ƒ’te x’e eittir”)
yazmaktr. Bu gösterimde, ƒ sembolü fonksiyonu temsil etmektedir.
Bamsz deiken ad verilen harfi ƒ’nin girdi deerini ve baml
deiken x ise ƒ’nin x’teki deerine karlk gelen, çkt
deerini göstermektedir.
1.3
TANIM Fonksiyon
Bir D kümesinden bir Y kümesine
bir fonksiyon, D’deki her x elemanna
Y ’de tek bir ƒ( x) eleman karlk getiren bir
kuraldr.
Bütün olas girdi deerlerinin kümesi D’ye fonksiyonunun tanm
kümesi denir. x, D üzerinde deiirken bütün ƒ( x)
deerlerinin kümesine fonksiyonun deer kümesi denir. Deer kümesi
Y’deki her eleman içermeyebilir.
Bir fonksiyonun tanm ve deer kümeleri nesnelerden oluan herhangi
kümeler ola- bilirler. Ancak, analizde bunlar çou kez reel
say kümeleridir (13–16 Bölümlerde birçok deiken dahil
edilecektir).
Bir ƒ fonksiyonu, tanm kümesinden bir x deeri
verdiimizde deer kümesinde bir ƒ( x) çkts oluturan bir
makine gibi düünün (ekil 1.22). Bir hesap makinesinin ilem
Girdi (Tanm)
Çkt (Deer)
diyagram
96. Bir noktadan bir doruya olan
uzaklk Bir P ( x0, y0)
noktasndan
bir L: Ax +By = C dorusuna olan uzakl
aadaki admlar izle-
yerek bulabiliriz (Bölüm 12.5’te daha hzl bir yöntem
verilmekte-
dir):
1. P ’den geçen ve L’ye dik
olan M dorusunun denklemini bulun
2. M ve L dorularnn kesitikleri Q noktasnn
koordinatlarn bulun.
3. P ve Q arasndaki uzakl bulun.
Bu admlar kullanarak, aadaki her durum
için P ’den L’ye olan uzakl bulun.
a.
b.
c.
P sa, bd, L : x = -1
P s4, 6d, L : 4 x + 3 y = 12
P s2, 1d, L : y = x + 2
20 Bölüm 1: Ön Bilgiler
tular, bir fonksiyonun bir makine olarak örneini verir. Örnein, bir
hesap makinesi üze- rindeki tuu, negatif olmayan bir x
deeri girip tuuna bastnzda bir çkt de- eri verir (karekök). Ekranda
gözüken çkt deer genellikle x’in karekökünün bir ondalk
yaklam dr. Bir x 0 says girerseniz, hesap makinesi bir
hata bildirecektir çünkü: x 0 fonksiyonun tanm kümesinde
deildir ve bir girdi olarak kabul edilemez. Bir hesap makinesi
üzerindeki tuu, sadece ondalk çktlarla snrlanm olduundan ve sadece
sonlu sayda girdisi bulunduundan, ile tanml tam matematikselƒ
fonksiyo- nu ile ayn deildir.
Bir fonksiyon bir ok diyagram olarak da resmedilebilir (ekil
1.23). Her ok, D tanm kümesinin her elemann Y kümesinde
birtek elemana balar. ekil 1.23 te oklar, ƒ(a) nn a ile,
ƒ( x)’in x ile vs. elendiini gösterir.
Bir fonksiyonun tanm kümesi konu gerei kstlanabilir. Örnein, A
= pp2 ile veri- len alan fonksiyonunun tanm kümesi,r yarçapnn
sadece pozitif olmasna izin verir. Bir y = ƒ( x)
fonksiyonunu bir formülle tanmlyorsak ve tanm kümesi açkça
belirtilmemise veya konu gerei kstlanmamsa, tanm kümesi, formülün
reel y-deerleri verecei en büyük x-deerleri
kümesi olarak kabul edilir ve doal tanm kümesi adn alr. Tanm kü-
mesinin bir ekilde kstlanmasn istiyorsak bunu belirtmemiz
gerekir. y = x2 fonksiyonu- nun tanm aral bütün reel say
kümesidir. Tanm kümesini, örnein, pozitif x deerleri- ne
kstlamak istiyorsak, “ y = x2, x 0” yazmamz
gerekir.
Bir formülün uyguland bir tanm kümesini deitirmek genellikle deer
kümesini de deitirir. y = x2 fonksiyonun deer kümesi [0,
)’dur. y = x2, x 2 fonksiyonunun de- er aral ise,
2’ye eit veya ondan büyük saylarn karelerini alarak elde edilen
bütün sa- ylarn kümesidir. Küme notasyonu ile, deer kümesi
{ x2 | x 2} veya { y | y 4} veya [4,
)’dur.
Bir fonksiyonun deer kümesi reel saylardan oluuyorsa
fonksiyonareel-deerli de- nir. Bir reel deikenin reel deerli
fonksiyonu olan birçok fonksiyonun tanm ve deer kümeleri,
aralklar veya aralklarn birleimidir. Aralklar açk, kapal, yar açk,
sonlu ve- ya sonsuz olabilirler.
ÖRNEK 1 Tan›m ve De¤er Kümelerini Belirlemek
Verilen fonksiyonlarn tanm ve deer kümelerini salayn.
Fonksiyon Tanm aral ( x ) Deer aral ( y)
[0, 1]
Çözüm y = x2 formülü her x reel says için
reel bir y-deeri verir, dolaysyla tanm kümesi (– , )
dur. y = x2 nin deer kümesi [0, ) dur çünkü herhangi bir reel
saynn karesi negatif olmayan bir saydr ve negatif olmayan
her y says kendi karekökünün kare- sidir, y 0 için
y = (√ y )2 dir.
y = 1@ x formülü x = 0 harici her x için
reel bir y-deeri verir. Hiç bir sayy sfr ile böle-
meyiz. y = 1@ x ’in deer kümesi, yani 0 hariç bütün reel
saylarn çarpmaya göre terslerinin kümesi, y = 1@(1@ y)
olduundan, sfrdan farkl bütün reel saylar kümesidir.
qqq
[0, q ds - q , 4] y = 2 4 - x
[0, q d[0, q d y = 2 x s - q , 0d ´ s0, q ds - q ,
0d ´ s0, q d y = 1/ x
[0, q ds - q , q d y = x2
q
q
2 x2 x
D = tanm kümesi Y = deer kümesini içeren
küme
fiEK‹L 1.23 Bir D kümesinden bir Y
kümesine bir fonksiyon D’deki her
elemana Y ’deki tek bir eleman eler.
1.3 Fonksiyonlar ve Grafikleri 21
formülü ancak x 0 ise reel bir y-deeri verir.
Negatif olmayan her say bir baka saynn karekökü olduu
için (yani, kendi karesinin kareköküdür), ’in deer kümesi
’te ise, 4 – x negatif olamaz. Yani, 4 – x 0
veya x 4 olmaldr. For- mül, x 4 için reel y-
deerleri verir. ’in deer kümesi yani bütün negatif olmayan saylar
kümesidir.
formülü [–1, 1] kapal aralndaki her x için reel
bir y-deeri verir. Bu araln dnda, 1 – x2
negatiftir ve karekökü reel bir say deildir. 1 – x2’nin
ve karekökünün deerleri 0 ile 1 arasnda deiir. ’nin deer kümesi [0,
1] dir.
Fonksiyonlar›n Grafikleri
Bir fonksiyonu göz önünde canlandrmann bir baka yolu fonksiyonun
grafiidir. Tanm kümesi D olan bir fonksiyon ƒ ise grafii,
Kartezyen düzlemde koordinatlar ƒ için girdi- çkt çiftleri olan
noktalardan oluur. Küme notasyonu ile grafik
kümesidir. ƒ( x) = x + 2 fonksiyonunun grafii,
koordinatlar y = x + 2 eitliini salayan ( x, y)
noktalarnn kümesidir. Grafii, ekil 1.24’te çizilmitir. Bir ƒ
fonksiyonunun grafii, onun davran hakknda kullanl bir resimdir.
( x, y)
grafik üzerinde bir nokta ise y = ƒ( x) deeri
x-noktasnda grafiin yüksekliidir. Yüksek- lik, ƒ( x)’in
iaretine bal olarak pozitif veya negatif olabilir (ekil
1.25).
5s x, ƒs xdd ƒ x H D6 .
2 1 - x2
[0, q d ,2 4 - x y = 2 4 - x ,
[0, q d y = 2 x
y = 2 x
y x 2
fiEK‹L 1.24 ƒ( x) = x + 2’in grafii y = x + 2
denklemini salayan ( x, y) noktalarnn kümesidir.
y
üzerinde ise y = ƒ( x) deeri x noktasnda
grafiin yüksekliidir (veya ƒ( x) negatif ise
x noktasnn altndaki yükseklik).
[–2, 2] aralnda y = x2 fonksiyonunun grafiini çizin
Çözüm 1. Fonksiyon kuraln, yani bu durumda y = x2 eitliini
salayan xy-ikililerinin bir
tablosunu yapn.
Bu soruyu cevaplamak için daha fazla nokta iaretleyebiliriz.
Ancak bunlar nasl birletireceiz? Temel soru hala
karmzdadr: aretlediimiz noktalar arasndaki grafiin neye benzediini
kesin olarak nasl bileceiz? Sorunun cevab, Bölüm 4’te görülecei
gibi, analizde yatmaktadr. Orada iaretlenen noktalar arasndaki
erinin eklini bulmak için türev kullanacaz. O zamana kadar,
noktalar iaretlemek ve on- lar elimizden geldii kadar iyi
birletirmekle yetineceiz.
ÖRNEK 3 Bir Fonksiyonu Grafi¤inden Hesaplamak
ekil 1.26. da bir meyve sinei nüfusunun p grafii
verilmitir.
(a) 20 ve 45 gün sonraki nüfuslar bulunuz. (b) 0 t 50 zaman
aralnda nüfus fonksiyonunun deer kümesi (yaklak olarak)
nedir?
Çözüm
(a) ekil 1.26 dan (20, 100) noktasnn grafik üzerinde olduunu
görürüz, dolaysyla, 20 de p nüfus deeri p(20) =100 dür.
Benzer ekilde p(45) yaklak olarak 340 tr.
(b) 0 t 50 aralnda nüfus fonksiyonunun deer kümesi yaklak
olarak [0, 345] dr. Ayrca unu gözleyebiliyoruz, zaman ilerledikçe
nüfus giderek p = 350 deer- ine yaklar gibi
gözükmektedir.
y = x2 grafiinin aadaki erilerden biri gibi görünmediini
nereden biliyoruz?
22 Bölüm 1: Ön Bilgiler
y x 2?
10 20 30 40 50
Zaman (gün)
zamana kar grafii (Örnek 3).
2. Koordinatlar tabloda görülen (x, y) noktalarn iaretleyin.
Hesaplama bakmndan kolaylk için kesirler kullann
3. aretlenmi noktalarda düzgün bir eri geçirin. Eriyi
denklemiyle adlandrn.
0 1 2 –1 –2
1
2
3
1
2
3
4
x
y
Bir Fonksiyonu Say›sal Olarak Temsil Etmek
Bir fonksiyonun, cebirsel olarak bir formülle (alan fonksiyonu) ve
görsel olarak bir gra- fikle ( Örnekler 2 ve 3 ) nasl temsil
edilebildiini gördük. Bir fonksiyonu temsil etmenin bir baka
yolu, bir deerler tablosundan saysal gösterimdir. Saysal
gösterimler daha çok mühendisler ve uygulamal konularda çalan
bilim adamlar tarafndan kullanlr. Bir gra- fik, uygun bir deerler
tablosundan Örnek 2 de gösterilen yöntem kullanlarak, muhteme- len
bir bilgisayar yardmyla, elde edilebilir. Sadece tablo noktalarnn
grafiine dank- çizim denir.
ÖRNEK 4 Tablo De¤erleri ile Tan›mlanm›fl Bir Fonksiyon
Müzik notalar, hava içinde kaydedilebilir basnç dalgalardr. Tablo
1.2 deki veriler bir akor borusu tarafndan üretilen bir müzik
notasnn, saniye olarak zamana kar kaydedil- mi basnç kaymasn
vermektedir. Tablo, zaman üzerinde basnç fonksiyonunun bir gös-
terimini vermektedir. Önce dank bir grafik çizer ve sonra tablodaki
(t, p) veri noktalar- n birletirirsek ekil 1.27 de gösterilen
grafii elde ederiz.
TABLO 1.2 Akor Borusu Verileri
Zaman Basnç Zaman Basnç
t (sn)
p (basnç)
Veri
verir.
Dikey Do¤ru Testi
Çizdiiniz her eri bir fonksiyonun grafii deildir. Bir ƒ
fonksiyonu tanm aralndaki her x için tek bir
ƒ( x) deerinden bakasn alamaz, dolaysyla hiçbir dik doru
bir fonksiyonun grafiini bir kereden fazla kesemez. Yani bir
çember bir fonksiyonun grafii olamaz, çünkü baz dik dorular çemberi
iki kere keser (ekil 1.28a). a bir ƒ fonksiyonu- nun tanm
kümesinde ise, x = a dikey dorusu ƒ’nin grafiini tek bir (a,
ƒ(a)) noktasnda kesecektir.
Halbuki ekil 1.28a’daki çember x’in iki fonksiyonunun
grafiini içermektedir; fonksiyonu ile tanml üst yarçember ve
fonksi-
–1 10 x
–1 10 x
y
(b) y 1 x 2 (c) y – 1
x 2
fiEK‹L 1.28 (a) Çember bir fonksiyonunun grafii deildir; dik doru
testini salamaz. (b) üst yarçember bir fonksiyonun
grafiidir. (c) alt yarçember bir fonksiyonun
grafiidir. g s xd = -2 1 - x2 .
ƒs xd = 2 1 - x2 .
Parçal› Olarak Tan›mlanan Fonksiyonlar
Bazen bir fonksiyon tanm aralnn farkl bölgeleri için deiik
formüllerle verilebilir. Bunlardan biri graf ii ekil 1.29’da
verilen mutlak deer fonksiyonu dur:
Aada bu tip fonksiyonlara birkaç örnek verilmektedir.
ÖRNEK 5 Parçal› Olarak Tan›ml› Fonksiyonlar›n Grafiklerini
Çizmek
fonksiyonu bütün reel doru üzerinde tanmldr, ancak
deerleri x’in konumuna bal olan farkl formüllerle bulunur.
ƒ’nin deerleri: x 0 iken y = –x ile, 0 x 1 iken
y = x2 ile ve x 1 iken y = 1 ile verilir. Halbuki
fonksiyon, tanm kümesi bütün reel saylar kümesi
olan sadece bir fonksiyondur. (ekil 1.30).
ÖRNEK 6 En Büyük Tamsay› Fonksiyonu
Herhangi bir x saysndaki deeri x’ten küçük
veya x’e eit en büyük tamsay olan fonksi- yona en büyük tamsay
fonksiyonu veya tamsay taban fonksiyonu denir. [ x ] veya ba-
z kitaplarda [ x ] veya [[ x ]] ile gösterilir. ekil
1.31’de graf ii görülmektedir.:2.4; = 2, :1.9; = 1, :0; = 0, :
-1.2; = -2,:2; = 2, :0.2; = 0, : -0.3; = -1 : -2; = -2.
ƒs xd = • - x, x 6 0
x2, 0 … x … 1
1, x 7 1
- x, x 6 0,
1
2
x
y
için, tanm aralndaki farkl
y
1
2
3
fonksiyonunun tanm kümesi
ÖRNEK 7 En Küçük Tamsay› Fonksiyonu
Herhangi bir x saysndaki deeri x’ten büyük veya x’e eit
en küçük tamsay olanfonksi- yona en küçük tamsay fonksiyonu veya
tamsay tavan fonksiyonu denir. ile gös- terilir. ekil 1.32’de
grafii görülmektedir. Bu fonksiyon, x’in pozitif deerleri için
örne- in, bir saat için $1 alan bir park yerinde x saat
kalmann ederini gösteriyor olabilir.
ÖRNEK 8 Parçal› Olarak Tan›ml› Fonksiyonlar ‹çin Formüller
Yazmak
ekil 1.33 te, grafii iki doru parçasndan oluan y = ƒ( x)
fonksiyonu için bir formül yaznz.
Çözüm (0, 0)’dan (1, 1)’e ve (1, 0)’dan (2, 1)’e olan doru parçalar
için formüller bulur ve bunlar Örnek 5 teki gibi
birletiririz.
(0, 0)’dan (1, 1)’e olan do¤ru parças›: (0, 0) ve (1, 1) den geçen
dorunun eimi m = (1 – 0)@(1 – 0) = 1 dir ve y-kesim noktas b
= 0 dr. Eim-kesim noktas denklemi y = x dir. (0, 0)’dan (1,
1)’e olan ve (0, 0) noktasn içeren fakat (1, 1) noktasn içermeyen
doru parças, 0 x 1 yar-açk aralna kstlanm y = x
fonksiyonunun grafii dir, yani fonksiyon
y = x, 0 x 1
dir.
(1, 0)’dan (2, 1)’e olan do¤ru parças›: (1, 0) ve (2, 1) den geçen
dorunun eimi m = (1 – 0)@(2 – 1) = 1 dir ve (1, 0) noktasndan
geçer. Doruya kar gelen nokta-eim denklemi
y = 0 + 1 ( x – 1) veya y = x – 1
dir. (1, 0)’dan (2, 1)’e olan ve her iki uç noktasn da içeren doru
parças, 1 x 2 ka- pal aralna kstlanm y = x – 1
fonksiyonunun grafii dir, yani fonksiyon
y = x – 1, 1 x 2
Parçal› formül Grafiin iki parças için elde edilen formüller
birletirilerek
elde edilir.
x - 1, 1 … x … 2.
–2
–1
1
2
(0, 0) noktasn içerir fakat (1, 1)
noktasn içermez. Sadaki doru
içerir (Örnek 8).
fonksiyonu y = ’in grafi
üstünde bulunur ve böylece x için
bir tamsay tavan oluturur.
y x
y x
fonksiyonu y = ’in grafi