Théorie des Matrices Aléatoires pour l'Imagerie HyperspectraleSubmitted on 6 Feb 2019
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Théorie des Matrices Aléatoires pour l’Imagerie Hyperspectrale
Eugenie Terreaux
To cite this version: Eugenie Terreaux. Théorie des Matrices Aléatoires pour l’Imagerie Hyperspectrale. Autre. Université Paris Saclay (COmUE), 2018. Français. NNT : 2018SACLC091. tel-02009854
♦ t♦ r t
é♦r s ♠trs ét♦rs ♣♦r ♠r ♣rs♣tr
ès ♦t♦rt ♥rsté Prs ♣ré♣ré à ♥tr♣é
♦ ♦t♦r ♥ ♥s t ♥♦♦s ♥♦r♠t♦♥ t ♦♠♠♥t♦♥
♣été ♦t♦rt rt♠♥t s♥ t s ♠s ès ♣rés♥té t s♦t♥ à srtt ♥r ♣r
é♥
♦♠♣♦st♦♥ r
♦♥ Pr♦ssr ♥rsté P ♥rsté Prs srts Prés♥t
♥s ♦r♥rt Pr♦ssr ♥rsté P ♦♦s ♣♣♦rtr
♦♥ ♥ss♦t Pr♦ssr ♥rsté ♣s r♥♦ ♣♣♦rtr
r♦s ♥tr♣ srtt ♠♥tr
Ps t îtr ♦♥ér♥ P ♥sttt P♦t♥q ♦r ♠♥tr
♥P♣♣ îtr rr Ps t ♥tr♣

rtr tès
réér P Pr♦ssr ♥tr♣ ♦rtr tès
♠r♠♥ts
tt tès été ♠♥é ♦rt♦r ♥tr♣ s♣♣♦rt r♠r ♥s s trs s ♦r♥s♠s ♣♦r ♦r ♣r♠s à tt tès êtr ♠♥é à ♥
r♠r ♠♦♥ rtr tès ♥P♣♣ r ♣♦r s♦♥ ♥r♠♥t r t s ♣t♥ t s♦♥ s♣♣♦rt r♥t s tr♦s ♥s tès r♠r é♠♥t ♠♦♥ ♦rtr tès réér Ps ♣♦r ss ♥♦♠rss és t s♦♥ ♣rts s♥tq s tr♦s ♥♥és ♦♥t été rs ♥ ♥s♥♠♥t râ à ♦s
r♠r s ♠♠rs ♠♦♥ r tès ♣♦r ♥térêt qs ♦♥t ♠♦♥tré à ♠♦♥ tr r♠r ♥s ♦r♥rt t ♦♥ ♥ss♦t ♦r r♣♣♦rté ♠♦♥ ♠♥s rt r♠r r♦s Ps t t ♦♥ ♦r ♣té r ♣rt ♠♦♥ r tès r♠r é♠♥t ♦♠♥ ♦t ♣♦r s♦♥ s♥tq ♥♥ ♠r à ♠♠♥ ♣♦r s♦♥ ♣♣♦rt ♥♦♥ ♥é à tt tès t ♣♦r ♠♦r ♥ té à rt♥s ♣r♦é♠tqs ♥♥ r ss à ♥♥ ♥ ♣♦r s r♥ s♣♦♥té
r♠r é♠♥t s ♠♠rs ♦rt♦r ♣♦r r r ♠r ♣rtèr♠♥t r♥ ♦r Pr♦ ♥s sr ♥♦str♦ ♦r ♥ ♥♥ ♥ t rr trtr ♣♦r t♦s s ♠♦♠♥ts ♣rtés r é♠♥t à r♥ ♦r ♥ r♥ tt r♦♥r t és ♥r ♣♦r r ♦♥♥ ♠r s♦t ♦♥ ♦r t ♦♥♥ ♥ à ♠♠r ♥ t r♥♦ r ♣♦r st rs tr r à ♦♠r♥♦ ♥ r t r♥ r ♣♦r r s♦t♥ r♠r é♠♥t ♥r ♥ ♦rs♦ t s ♠♠rs t ♣♦r r s♠♣t r♠r t♦s q ♠♦♥t ♣♣♦rté ♥ q♦♥q r♥t s tr♦s ♥♥és
P♦r ♥r ♥ r♥ ♠r à ♠s ♠s t à ♠ ♠ ♥ ♣rtr ♠s s÷rs r t ♥♥♦♣ ♥s q ♠s ♣r♥ts ♠r ♣♦r ♦tr s♦t♥ t ♦tr ♠♣t♦♥ t ♥♥ ♠r é♠♥t ♣♦r s tr♦s ♥♥és rs ♥ éè♥♠♥t ♣♦r t♦♥ s♦t♥ ♥ér♥ t ♣♦r t♦t rst tt tès st ss ♣♦r t♦ ♠ q t ♦♥♥sss r r tr
r à t♦s é♥

s ♠tèrs
rét♦♥s
♦tt♦♥s
Pr♦è♠s t ♠ét♦s ♥ ♠r ♣rs♣tr ♠r ♣rs♣tr qs ♠ét♦s ssqs ♣♦r ♣r♦è♠ st♠t♦♥ ♥♦♠r
♥♠♠rs s ♠ét♦s q r♣♦s♥t sr ♥ rtèr ♥♦r♠t♦♥ té♦rq s ♠ét♦s sttstqs ♣s é♥érs t ♠ét♦ s♠ s ♠ét♦s é♦♠étrqs
qs ♠ét♦s ssqs ♣♦r ♣r♦è♠ é♠é♥ s ♠ét♦s sttstqs s ♠ét♦s é♦♠étrqs
♦ést♦♥ ♥ ♠ ♣rs♣tr s strt♦♥s ♣tqs ♦♠♣s t s ♠trs ♦♣t é♣tt sr ♠♦è t s ♣♦tèss
♠t s ♠ét♦s ♣r♦♣♦sés t ♠♦tt♦♥s ♣♦r té♦r s ♠trs ét♦rs ét♦s st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs q r♣♦s♥t sr ♥
rtèr ♥♦r♠t♦♥ té♦rq ét♦s sttstqs st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs ét♦s é♠é♥ é♦♠étrqs ♦tt♦♥s ♣♦r té♦r s ♠trs ét♦rs
té♦r s ♠trs ét♦rs ♥tr♦t♦♥ à té♦r s ♠trs ét♦rs qs éé♠♥ts s ♥ té♦r s ♠trs ét♦rs strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs ♣♦r ♥ ♠♦è ♣s é♥ér strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs ♣♦r ♠♦è ♣
qs ♠ét♦s ♣♦r ♠r ♣rs♣tr ♥tr♦t♦♥ à st♠t♦♥ r♦st ♥tès
ét♦♥ ♦rr ♣♦r é♠é♥ ♠s ♣rs♣trs ♣♣ s ♣r♥♣s ♣♦tèss st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs ♣♦r ♥ rt ♥♦♥ ♦rréé ♥trés
♥é♣♥♥ts t ♥tq♠♥t strés st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs ♣♦r ♥ rt ♦rréé ♥trés ♥é
♣♥♥ts t ♥tq♠♥t strés st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs ♣♦r ♥ rt

s ♠tèrs
♣♣r♦ r♦st ♣♦r ♥ rt ♦rréé é♣tt s ♦rt♠s ♣r♦♣♦sés ♣♦r st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥
♠♠rs rt ss♥ ♥ rt ♦rréé ♠♦♥♥ ♥ rt ♥ ♣♣r♦ ♥♦♥r♦st ♣♣r♦ r♦st s é♥ér ♣♣r♦ r♦st s st♠t♦♥ r
♥tès
♣♣r♦ ♥♦♥ ♦♠♣rs♦♥ s ♠ét♦s ♣tés rt
♦t♦♥ ♣♦rts ♥ ♥♥ Ptt ♥tr♦t♦♥ ♣r♦è♠ ét♦ s ♦♠♣rs♦♥ s réstts
♥tès
♣r♦è♠ é♠é♥ s♣tr é♠é♥ s♣tr ♥s s ♦ù p m
Pr♦è♠ t ♠ét♦s ♦s ♠ét♦s é♠é♥ ♠s ♣rs♣trs ♣♣t♦♥s
♠t é♠é♥ s♣tr ♥s s ♦ù p < m ét♦
♥tès
♦♥s♦♥
é♥értés é♥t♦♥s ♠♠s t té♦rè♠s
Prs s té♦rè♠s Pr é♦rè♠
♥s sup [ γnoisem (λ)
] − (τ) γm(λ)
γnoisem (λ)− [ γnoisem (λ)
] ♣♦r λ ∈ [0, 2π) Pr é♦rè♠ Pr é♦rè♠ Pr é♦rè♠ Pr é♦rè♠
Pt♦♥s ♦♥ér♥s
♦♠s ♦r♥
s rs
♠ ♣rs♣tr ss s ♦♥♥és t♦♥ ♦rt♦rs ♣trs t ♦♥♥s ♣♦r ♥ sè♥ r♥ rs s rtèrs t ♠ét♦ ♣♦r N = 1000m = 10
p = 4 = 20dB ♠♣ ♦t♥ p = 3 m = 900 t N = 1000 ♦♥♥és sss J(M,S) ♣♦r ér♥ts ♠ét♦s N = 1000m = 96 sr ♠s
s♠és s s♣trs ♣rs♣tr t ♥ rt t ss♥ N = 1000 m = 10 p = 4 rt Pr♦r♠♥s ♠ét♦ s♠ ♣♦r ér♥ts s r ♣rés♥tt♦♥ s ♦♥♥és ♥s ♥ s♠♣ N = 1000 m = 900 ♦♥♥és
♦rréés J(M,S) ♣♦r ér♥ts ♠ét♦s N = 1000 t m = 960 sr ♠s
s♠és s s♣trs ♣rs♣tr t ♥ rt t
♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ér♥ts ♠ét♦s M−M
F
strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs ♥ rt ♥ à cN = 0.01 t à r♦t cN = 0.57
strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs 1
N YYH ♣♦r ér♥ts rs
♦ r♥♦Pstr t st♦r♠♠ s rs ♣r♦♣rs ♣♦r ♥ rt ♥ ss♥ r♥ ♥té t ♠♦♥♥ ♥ c = 0, 90 à r♦t N = 100 t m = 90 t à m = 900 t N = 1000
♦ r♦♠ t st♦r♠♠ s rs ♣r♦♣rs cN = 0.57 strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs ♣♦r c = 0.09 ν = 1
3δ1 + 1 3δ5 +
1 3δ10
♦♥s ♦rrs♣♦♥♥ts s♣♣♦rt ♦♠♣é♠♥tr ♣♦r strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs ♠tr W
strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs st♠t♦♥ ♠♣rq ♠tr ♦r♥ ♣♦r ♥ rt ss♥ t s♦rs ♥é♣♥♥ts
strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs st♠t♦♥ ♠♣rq ♠tr ♦r♥ ♣♦r ♥ rt ss♥ t qtr s♦rs ♥é♣♥♥ts
♦♥t♦♥s ♣♦s rt♥s st♠trs ♣♦r m = 10 t ér♥ts rs q ♣♦r st♠tr r
à P ♥ log10 ♥ ♦♥t♦♥ s ζ ♣♦r tért♦♥s t à r♦t ♣r♦té étt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♣♦r tért♦♥s m = 200 N = 1000 t ♥ P ♥ rt s rrs rrrs
strt♦♥ é♦rè♠ ♣♦r c = 0.7 t ♣♦r s {τi}i∈1,N s♥t ♥ ♦ ♥rs ♠♠ N ∈ 20, 6000
♦♠♣rs♦♥ ♦♥r♥ ♥tr CSCM t ♣♦r c = 0.2 ρ = 0.7 é ♦rt♠q

s rs
rs ♣r♦♣rs s ♠trs Σ t S ♦rsq s♥ Y ♥ ♣s été ♥ ♣r CSCM t s ♦rrs♣♦♥♥t t ♣♦r ρ = 0.7 m = 900 N = 2000 τ = ♥rs ♠♠ α = 0.1 p = 0
rs ♣r♦♣rs s ♠trs ΣSCM t S t s t ♣♦r ρ = 0.7 m = 900 N = 2000 τ = t2 − student α = 0.1 p = 0
strt♦♥ ♦♥sst♥ é♦rè♠ ♣♦r c = 0.7 t ♣♦r s {τi}i∈1,N s♥t ♥ ♦ ♥rs ♠♠ N ∈ 20, 6000
strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs s ♠trs S t ΣFP ♥s q s t ♣♦r ρ = 0.7 m = 900 N = 2000 τ ∼ ♥rs ♠♠
strt♦♥ r♦stss ♦ u strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs s ♠trs S t ΣFP t s t ♣♦r ρ = 0.7 m = 900 N = 2000 τ = t2 t ∼ t♥t
strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs s ♠trs S t ΣFP ♣♦r ♥ s♥ ♥♦♥ ♥ ♥s q s t ♣♦r ρ = 0.7 m = 900 N = 2000 τ = t2 t ∼ t♥t
strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs s ♠trs S t ♠tr r♣rés♥t♥t YwFP YH
wFP /N t s t ♣♦r ρ = 0.7 m = 900 N = 2000 τ ∼ ♥rs ♠♠
strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs s ♠trs S t ΣFP ♦rsq♥ ♥♠♠rs st ♣rés♥t ♥s s♥ RSB = 10dB ♥s q s t ♣♦r ρ = 0.7 m = 900 N = 2000 τ ∼ ♥rs ♠♠
strt♦♥ r♥♦Pstr t strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs ΣTY L
♣♦r ♥♠♠rs N = 2000 m = 900 c = 0.7 s {τ}i∈1,N s♥t ♥ ♦ ♥rs ♠♠
strt♦♥ r♥♦Pstr t strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs ΣTY L
♣♦r ♥♠♠rs N = 2000 m = 900 c = 0.7 s {τ}i∈1,N s♥t ♥ ♦ t2 t stré s♦♥ t♥tt
strt♦♥ r♥♦Pstr t strt♦♥ s rs ♣r♦♣rs s t♠t♦♥ ♠tr ♦r♥ ♥ ♥♠♥t P u(x) = 1+0.1
x+0.1 ♣♦r ♥♠♠rs RSB = 10dB N = 2000 m = 900 c = 0.7 s {τ}i∈1,N s♥t ♥ ♦ ♥rs ♠♠
♠ ♣rs♣tr tsé t s♥s ♦tr t m = 167 N = 6561
♦r P ♥ ♦♥t♦♥ s m = 167 N = 21× 21 ér♥ts strt♦♥s rt à ♦rsq s {τi}i∈1,N s♥t ♥
♦ t2 rré ♥ ♦ t♥t t à r♦t ♥ ♦ ♥rs ♠♠ st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs p ♣♦r ♥ rt ♦rréé m = 400
c = 0.2 p = 4 ρ = 0.7 {τ} ∼ ♥rs ♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs p ♣♦r ♥ rt ♦rréé m = 400
c = 0.2 p = 4 ρ = 0.7 {τ} ∼ t2 t ∼ t♥tt ♥ ♦♥t♦♥ st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs p ♣♦r ♥ rt ♦rréé m = 900
c = 0.45 p = 4ρ = 0.7 {τ} ∼ ♥rs ♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs p ♣♦r ♥ rt ♦rréé m = 900
c = 0.45 p = 4ρ = 0.7 {τ} ∼ t2 t ∼ Student− t ♥ ♦♥t♦♥ ♣trs rés tsés ♣♦r r st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs p ♣♦r ♥ rt ♦rréé m = 240
c = 0.24 p = 2ρ = 0.7 {τ} ∼ ♥rs ♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ ♥ ♥ s♣tr s ♠s ♥♥ P♥s à t P à r♦t ♥ ♥ s♣tr s ♠s à t ♥s à r♦t rss ♣♦rt ét♥t à 100 ♣♦r ♣r♠èr ♣ér♦ sr ét
♠♦s ♥r
s rs
r♥♦r ♥tr s ér♥ts ♣ér♦s ♦♥séts
♣r♠èrs ♦♠♣♦s♥ts P sr ♠ ♥♥ P♥s érté trr♥ ♣♦r r ♥♥ P♥s ♣r♠èrs ♦♠♣♦s♥ts P sr ♠ P érté trr♥ ♣♦r r ♥♥ P♥s ♣r♠èrs ♦♠♣♦s♥ts P sr ♠ ♥s érté trr♥ ♣♦r r ♥♥ P♥s ♥ ♦r ♦rrs♣♦♥♥t à ♥
♥♠♠r ♣r♠èrs ♦♠♣♦s♥ts P sr ♠ ♦♥t♥♥t s ♦trs rtèrs t ♣♦r s ♠s s s♣trs ♣rs♣tr rés
m = 960N = 1200 ♣♦r ér♥ts t ér♥ts ♠ét♦s rtèrs t ♣♦r s ♠s s s♣trs ♣rs♣tr rés
m = 960N = 1200 ♣♦r ér♥ts t ér♥ts ♠ét♦s st♥ ♥♥ ♥tr S t S ♣♦r m = 960N = 1200 t ér♥ts
rs ♥ ♥ s♣tr ♥ sè♥ r♥ à Y−MS ♠
Y ♣r♦té sr s♦s s♣ s♥ t à r♦t MS érté trr♥ s s♣trs ♠ ♣rt érté trr♥ s ♦♥♥s ♠ ♣rt q ♠ ♦rrs♣♦♥
♥t à ♥ ♥♠♠r ♦♥♥s ♦t♥s ♣rès ♣♣t♦♥ sr s ♦♥♥és ♣rt ♠ét♦
♣r♦té ♣trs ♦t♥s ♣rès ♣♣t♦♥ sr s ♦♥♥és ♣rt ♠ét♦
♣r♦té ♦♠♣rs♦♥ ♥tr s s♣trs ♥t t ♦♥t sss
érté trr♥ t ♠ét♦ ♣r♦té à s♦♥ ♠ét♦ ♣r♦té ♣r♦♣♦sé à r♦t s értés trr♥s
♣trs sss ♠ét♦ r♦st ♣♣qé sr s ♦♥♥és ♣rt ♦♣ rét♥s s♦♥t à ér♦
♦♥♥s sss ♠ét♦ r♦st ♣♣qé sr s ♦♥♥és ♣rt éstts ♠ét♦ sr s ♦♥♥és ♣rt réstts s♠
rs ♣♦r t♦s s ♥♠♠rs ♣trs sss ♠ét♦ P ♣♣qé sr s ♦♥♥és ♣rt ♦♥♥s sss ♠ét♦ P ♣♣qé sr s ♦♥♥és ♣rt ♣trs sss ♠ét♦ ♣♣qé sr s ♦♥♥és ♣rt ♦♥♥s sss ♠ét♦ ♣♣qé sr s ♦♥♥és ♣rt
rét♦♥s
♣♣♦rt ♥ sr rt ♥ t♦ ♦s t♦ st♠t♦♥ ♠♣rq ♠tr ♦r♥ ♠♣ ♦r♥ tr ét♦ s ♠♦♥rs rrés ♥♠♠ st qrs rr♦r st♠tr ♠♠ rs♠♥ P Pr♦té ss r♠ rt s♠étrq ♣tq ♦♠♣ ♦♠♣ ♣t ♠♠tr ♥♦r♠t♦♥ r♥ ♥tr s ♦♥♥s ♥♥ ♥♦r♠t♦♥ r♥ st♥ ♥r ♥tr s s♣trs ♣tr ♥ st♥ ♥♦r♠t♦♥ r♥ ♥tr s s♣trs ♣tr ♥♦r♠t♦♥ r♥
rtèr ♥♦r♠t♦♥ ♥♦r♠t♦♥ rtr♦♥ t♦rst♦♥ ♥♦♥♥ét ♣♦r ♥ ♠tr ♦♥ét tr t♦rt♦♥ ♦♥tr♥t ♦♠ ♠♥♠♠ ♥♠♠ ♦♠ ♦♥str♥ P r♥t ♣r♦té Pr♦t r♥t
p.s. ♦♥r♥ ♣rsq sûr e.s.d. strt♦♥ s♣tr ♠♣rq

♦tt♦♥s
N ♥s♠ s ♥trs ♥trs R ♥s♠ s rés R
♥s♠ s rés ér♥ts ér♦ C ♥s♠ s ♥♦♠rs ♦♠♣s Im Prt ♠♥r ♥ éé♠♥t ♦♠♣ Re Prt é ♥ éé♠♥t ♦♠♣ ♦♠♣ t q 2 = −1 · ♥tr ♥trs ♥trs (·)+ ♠♠♠ ♥tr 0 t ·
v trs ♥♦tés ♥ rs ♠♥s ♣értr ♦♥é † ♣értr tr♥s♣♦sé ♦♥é L ♣értr ♦♣t
M trs ♥♦tés ♥ rs ♠s Ia tr ♥tté ♠♥s♦♥s a× a 1N tr ♦♦♥♥ 1 t N × 1 0m×m tr 0 t m×m [M]i,j é♠♥t i, j ♠tr M
r ♣értr tr ·T ♣értr tr♥s♣♦sé ·H ♣értr ♠tr ♦♥t T ♣értr ♦♣tt♦♥ M1/2 ♥ rré r♠t♥♥ ♥ ♠tr M
· F ♦r♠ r♦♥s · ♦r♠ s♣tr vect(·) ♣értr t♦rst♦♥ ♥ ♠tr M N ♠tr N−M st é♥ ♣♦st
r♥ ♥ ♥s♠ Supp ♣♣♦rt ♥ strt♦♥ ♦ ♥ ♦♥t♦♥ exp ♦♥t♦♥ ♣♦♥♥t log ♦♥t♦♥ ♦rt♠ Γ ♦♥t♦♥ ♠♠ ·′ éré ♥ ♦♥t♦♥
s♣ér♥ ♠té♠tq P Pr♦té

♥tr♦t♦♥
s î♥s trt♠♥t s♥ s rss♠♥t s♦♥t st ♦r qérr s ♦♥♥és ♣s sé♣rr ♣rt ♥♦r♠t ♣rt ♥♥térss♥t ♣♦r ♣♣ t♦♥ ♥ qst♦♥ tt ♣rt ♥♦♥ ♥♦r♠t s♥s ♥térêt q st ♥s ♣♣é rt s♥ ê♥ é♥ér♠♥t trt♠♥t s ♦♥♥és r ♠♥q ♥♦r♠t♦♥ à s♦♥ ér ♠♣ê ♥ s♦♥t s♦♥ é♠♥t♦♥ ♥t trt♠♥t s ♥♦r♠t♦♥s ♠ê♠ r♥ ♠♥s♦♥ s ♦♥♥és ♣t êtr ♥ r♥ à r ♥s à ♦s ♣r q t♠♣s ♥éssr à r ♥s ♣t êtr ♣s r♥ ♠s ss ♣r ♠♥q ♠ét♦s ♣tés r ♣s ♥ ♣s s ♦♥♥és à trtr ♥s ér♥ts ♦♠♥s s♦♥t ♦♠ ♣s ♥ ♣s ♠♣♦rt♥t t ♣♦r ér♥ts rs♦♥s ♦♥t é♦♣♣♠♥t ♥str ♠♥tt♦♥ ♣s ♣rés q ♣r♠t qst♦♥ ♣s ♦♥♥és s♦♥ tr♥s♠ttr ♣s ♥♦r♠t♦♥s ♣s r♣♠♥t s♦♥ ♦♥♥r s réstts ♣s ♥ ♣s s t ♦♥ ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♣s ♣r♠ètrs t ♦♥♥és
♦t tt tès st ♣r♦♣♦sr s ♠ét♦s ♣r♠tt♥t ♠é♦rr tr t♠♥t s ♠s ♣rs♣trs t s♥s ♥ ♣r♦r sr s ♠s ♥ qst♦♥ tt tès ♠♦♥tr é♠♥t ♣♦♥ s ♣♣t♦♥s ♣♦sss s ♠ét♦s ♣r♦ ♣♦sés ♣r♦è♠ ss é♥ér tt tès st ♥s ♦r sé♣rr ♦rrt♠♥t ♣rt rt ♣rt ♥térss♥t ♥ s♥ t♣ ♠ ♣rs♣tr ♣s trtr ♦rrt♠♥t ♥♦r♠t♦♥ éé
s ♠ét♦s é♦♣♣és ♥ té♦r s ♠trs ét♦rs té♦r ♣rtèr♠♥t ♣té r♥ ♦♥♥és t ♦♥ r♥s ♠♥s♦♥s s♦♥t ♣tés s ♠r ♣rs♣tr t s ♠♦è ♣s é♥ér ♦♥séré ♣♦r tt tès ♠r ♣rs♣tr ♥s q té♦r s ♠trs ét♦rs s♦♥t s ♦♠♥s ré♥ts ♥ trt♠♥t s♥ tt tès s♣♣q ♦♥ à ♠é♦rr s ♠ét♦s s t♥ts t ♣r♦♣♦sr s ♠ét♦s ♥♥♦♥ts ♥s ♥ ♦♠♥ ♥ ♣♥ é♦♣♣♠♥t
tt tès st ♣rés♥té ♥ qtr ♣trs t sttè à ♣r♦è♠s st♥ts q ♣♥t êtr trtés sé♣ré♠♥t ♣r♠r ♣r♦è♠ st sét♦♥ ♦rr ♠♦è ♥♦t♦♥ é♦♣♣é ♥s ♣r♠r ♣tr s♦♥ ♣r♦è♠ st é♠é♥ s♣tr é♠♥t é♥ ♥s ♣r♠r ♣tr

s rs
♥s ♣♦r st s ♣♦r ♠♦è é♥ér é♦♣♣é ♥s ♣r♠r ♣tr s ♣♣t♦♥s s ♠s s♠és t rés s♦♥t rr♦♣és ♥s ♥ tr♦sè♠ ♣tr ♥♥ ♥ qtrè♠ ♣tr ♣♦s ♥♦s ♠ét♦s ♣♦r ♣r♦è♠ é♠é♥ s♣tr t♦t ♥ r♣♣♥t rt♥s réstts ♦t♥s s ♠ét♦s ssqs ♣♦r ♥ ♠r ét♦♥ s ♣r♦r♠♥s s s♦t♦♥s ♣r♦♣♦sés s ♣trs é♦ ♦♥s♦♥ q s ♠ét♦s ♣r♦♣♦sés s♦♥t ♣r♦s ♠rs q s ♠ét♦s éà s t♥ts t♥t ♣s s rt♥s ♣♦tèss sr s ♠s ♣rs♣trs s♦♥t érés ♥ ♥♥ s♦♥t ♣r♦♣♦sés s r♣♣s ♠té♠tqs t s ♣rs s ♣r♥♣ té♦rè♠s é♦♣♣és ♥s tt tès
♣tr
♠r ♣rs♣tr
♥s ♣tr s♦♥t ♣rés♥tés ♠r ♣rs♣tr ss ♣r♥♣s ♣r♦é♠tqs ♥s q rt♥s ♠ét♦s ssqs rés♦t♦♥ ss♦és à s ♣r♦é♠tqs s ♠ts s ♠ét♦s s♦♥t é♠♥t ♠♦♥trés ♥ t♣ ♠♦ést♦♥ ♣rtr st
é♦♣♣é q sr r♣rs ♣r st
♠r ♣rs♣tr
♠r ♣rs♣tr ♦ s♣tr♦s♦♣ ♣rs♣tr st ♥ t♥q ♠ r ♣ss q r♥♦ ♣♦r ♥ sè♥ s♣t ♦♥séré ♥ ♥t♥ ♠s r♣rés♥ t♥t s ♠srs r♥ ♥ s ♠s ét♥t ♥s ♥ ♦♥r ♦♥ ér♥t ♦♠♣rs ♥ é♥ér ♥tr µ ♠ t µ ♠ s t ♣r♦ ♥rr♦ ♥ ♠ ♣rs♣tr ♣t ♦♥ êtr ss♠é à ♥ ♦♥♥és s ♦♥♥és ét♥t s r♥s ♠srés ♣♦r q ♦♥r ♦♥ ♦s t ♣♦r q ♦♥ ♦ ♣ ♠ s ♦♥rs ♦♥ ♦♥t ♥ é♥ér êtr ♣rsq ♦♥tës s♦♥t ♣rss ♥ ♣s ♥♠ ♣♦r ♣r♠ttr ♥ ♣♦tt♦♥ ♣s s ♦♥♥és s ér♥ ♠r ♠ts♣tr ♦ s♣rs♣tr ♣r ♥♦♠r ♦♥rs ♦♥ ♦ s♣trs ♦♥sérés s ♠s ♣r♦♥♥♥t s♣tr♦♠ètrs ♣rs♣tr ♠sr♥t s rs r♥ sss ré♦♥ s♦ t s♦♥t ♠rqés ♥s s ♥♥s sr♦♥t sè♥ été ts q s ♦♥s ♦ s stts rt♥s ♦♥rs ♦♥ ♥ ♣♥t ♥s ♣s êtr ♦♥sérés r s s♦♥t stés ♥s ♦♥ s♦r♣t♦♥ t♠♦s♣èr rés♦t♦♥ s♣t st q♥t à ♥ é♥ér ♦rr ♥ ♠ètr tt rés♦t♦♥ é♣♥ ♠♣ s♦♥ s♣tr♦♠ètr ♠ê♠ ♦♥t♦♥ t s éttrs r rés♦t♦♥ s♣t ♠s ss tt q st ♣rs ♠ r ♠♦♥tr ♥ ♠♣ ♠ ♣rs♣tr ♦ù x t y r♣rés♥t♥t s ♠♥s♦♥s s♣ts t♥s q sr rt s tr♦♥t s ér♥ts ♦♥rs ♦♥s ♦♥sé rés r tt ♠ ♥ ♦♥ rr s♠♥t ♥s s♣trs s♦♥t r♣rés♥tés ♣♦r ♣s sté s ♠♥s♦♥s s♣ts ♠ s♦♥t 400×316 s♦t 126400 ♣s

♣tr Pr♦è♠s t ♠ét♦s ♥ ♠r ♣rs♣tr
r ♠ ♣rs♣tr ss s ♦♥♥és t♦♥
♦rt♦rs
s♣tr st ♥ té s♣♣é♠♥tr ♣♦r ♥tr♣rétt♦♥ s ♦♥♥és s ss s ♦♥ rés♦t♦♥ s♣t éttr tsé ♣srs ♥♠♠rs ♣♥t r♥♦r r r♥ sr ♥ ♠ê♠ ♣ st ♣s ♠é♥és st à r q ♣srs ♠tér s♦♥t ♣rés♥ts sr ♥ ♠ê♠ ♣ ♥s s s ♥♠♠rs s♦♥t ♠é♥és ♥ér♠♥t ♣t ss êtr s♣♣♦sé ♠s ♥ sr ♣s s q ♣srs ré♦♥s ♠èr s♦ ♦♥t à ♥térr ♥ ♠ê♠ ♠tér ♦ ♥tr ♦s ♠tér ♥t êtr r♥♦és rs s♣tr♦♠ètr st ♥ ♠♦è t ♠é♥ ♥♦♥ ♥ér ♥ é♥ér ♥ ♣s ♥♠♠rs ♥ rt s♦t ♦♥♥és ♣♣r ♣r ♠♣ ♣r t♦♥ s♣tr♦♠ètr rt ♣t êtr ♦rréé ♣s ♦ré♠♥t ss♥ ♣ss♥ ♣s ♦ ♠♦♥s ♠♣♦rt♥t ♣r r♣♣♦rt s♥ ♦♠♠ ♥s ♦♣ ♦♠♥s ♥ trt♠♥t s♥ rt è♥ ♠é♦rt♦♥ s ♣r♦r♠♥s ♣♦r ♦♣ ♠ét♦s r s♦♥t ♥ ♣r♦r ♥ ♣t êtr ♦t♥ r ♣rés♥t s s♣trs 6 ♥♠♠rs ♣rés♥ts ♥s ♥ ♠ r♣rés♥t♥t ♥ sè♥ r♥ ♥s q rs ♦♥♥s st à r r ré♣rtt♦♥ sr ♠ s ♦♥♥és ♠ s♦♥t sss s ♦♥♥és ♦♥stté ♥s
s ♠s ♣rs♣trs s♦♥t ♦♥ s ♠s q ♦♥t♥♥♥t ♥ r♥ ♥♦♠r ♦♥♥és t q ♥ésst♥t s ♦ts trt♠♥t ♣tés s ♦♠♥s tst♦♥ s ♠s s♦♥t ss rés s ♣♣t♦♥s ♠trs ♣♦r sr♥ ♦♥s ♥têrt ♣r ♠♣ ♣♣t♦♥s ♠és ♥ ♣ss♥t ♣r str♦♥♦♠ ♣♦r étt♦♥ t étr♠♥t♦♥ ♦♠♣♦st♦♥ ♦r♣s t r♦♥♦♠ ♣♦r ét♦♥ ♣r ♠♣ ♦♠♣♦st♦♥ s s♦s s ♣r♦è♠s ♦r♠♠♥t r♥♦♥trés ♣♦r ♠r ♣r s♣tr s♦♥t st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs ♣rés♥ts sr ♥ ♠ étt♦♥ ♥♦♠s st♠t♦♥ s♣tr s ♥♠♠rs ♣rés♥ts ♦ ♥tt♦♥ s ♥♠♠rs ♥s q é♠é♥ q ♦♥sst à rtr♦r s ♥♠♠rs ♣s ♠é♥és ♦s s ♣r♦è♠s ♣♥t r ♣♣ à ♥♦♠rss ♠ét♦s t ♦ rt♠s trt♠♥t s♥ ts q s ♦rt♠s sst♦♥ étt♦♥ ♣r♦è♠s ♥rss s ♠ét♦s r♦♥♥ss♥ ♦r♠ ♠♣s r♦ ♠♥ r♥♥ s ♠ét♦s ♣tés à ♣r♠♦♥ s ♠ét♦s ♣r♦♣rs ♠s ♦ ♣tôt é♥érs ts q s ♠ét♦s trt♠♥t sttstq s ♦♥♥és ♦ tr
s ♣r♦è♠s ♦♥sérés ♥s tr s♦♥t st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs ♦ st♠t♦♥ ♦rr ♠♦è ♥s q ♣r♦è♠ é♠é♥ s♣tr s ♣r♦è♠s s♦♥t ♣tôt s ♥s ♠sr ♦ ♣♦r tt tès ♥ ♣r♦r ♥st s♣♦♥ ♥
qs ♠ét♦s ssqs ♣♦r ♣r♦è♠ st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs
0 100 200 0.05
r ♣trs t ♦♥♥s ♣♦r ♥ sè♥ r♥
♦rs s ♦♥♥és rçs ♣r s ♣trs
qs ♠ét♦s ssqs ♣♦r ♣r♦è♠
st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs
♥s ttértr ♣r♦è♠ st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs s rtr♦ s♦s ♥♦♠ st♠t♦♥ ♦rr ♠♦è q r♥t s♦♥t à st♠t♦♥ ♠♥s♦♥ s♦s s♣ s♥ ♣r♦è♠ ss é♥ér s ♣♦s ♥s ♥♦♠r ♦♠♥s ts q s ♦♠♠♥t♦♥s s♥s trt♠♥t ♥t♥♥ trt♠♥t rr ♦ ♥ trs ♣r♦è♠s ♥ trt♠♥t s♥ ♦ s♥t ♣♣ à s ♠ét♦s ♥s s ♦♥♥és t q ♥♥ ♦ ♥♦r rtr s sr qst♦♥ st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs ♠ê♠ s t♦ts s ♠ét♦s é♦♣♣és ♣r st ♣♥t s♣tr à s trs ♦♠♥s
♥t ♣rés♥tr qqs ♠ét♦s tsés réq♠♠♥t ♣♦r ♣r♦è♠ st ♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs ♥ ♠r ♣rs♣tr rst à é♥r qst tt q♥tté ♥s ttértr st s♦♥t t réér♥ à ♠♥s♦♥ ♥tr♥sèq ♥tr♥s ♠♥s♦♥ ♣♦r érr ♥♦♠r ♥♠♠rs q s é♥t ♦♠♠ st s♦♥t N ♥♦r♠ ♣s ♠ ♣rs♣tr ♦♥séré sr r N = × (yi)1≤i≤N s ♦♥♥és rs st à r s s♣trs ♦t♥s ♣♦r s ♦♥rs ♦♥s ♦♥sérés sr s N ♣s ♦ù ♣♦r q ♦♥♥é yi yi = di+bi di s ♥♦r♠t♦♥s ♦♥t♥s ♥s ♣ i t bi rt ♦♥t♥ ♥s ♣ ♦rs s ♦♥♥és st é à p ♠♥s♦♥ s♦ss♣ ♥♥ré ♣r s di , 1 ≤ i ≤ N ♦rrs♣♦♥ à ♠♥s♦♥ s♦ss♣ s♥ trs é♥t♦♥s ♣♥t êtr ♣r♦♣♦sés ♣♦r ♥♦t♠♠♥t q é♥t tt r♥r ♣r ♥♦♠r ♠♥♠ ♣r♠ètrs ♥és srs ♣♦r érr s ♦♥♥és ♦♠♠ ♣qé ♣réé♠♠♥t ♥♦♠r ♥♠♠rs ét♥t ♥ ♥♦t♦♥ ♣tôt st ♥ tr é♥t♦♥ ♥térss♥t ♣t ss êtr ♣rs ♥ ♦♠♣t st ♠♥s♦♥ rt rt ♠♥s♦♥ q s é♥t ♦♠♠ ♥♦♠r ♥♠♠rs ♥éssrs ♣♦r ♣r♦♣♦sr ♥ s♦t♦♥ ♣r♦è♠ é♠é♥ ♣r♦ érté ♠♥s♦♥ t t ♠♥s♦♥t q♥t à st ♠♥s♦♥ s♦ss♣ ♥ ♣r♠tt♥t érr ♦rrt♠♥t t♦s s ♣s ♥♦r ♥ ♦s s é♥t♦♥s ♥ r♣♦s♥t ♣s sr s rtèrs r♠♥t ♦ts ♥♦♠r
♣tr Pr♦è♠s t ♠ét♦s ♥ ♠r ♣rs♣tr
♥♠♠rs st ss♦é à t st ♥♦té p
st ♥ r♥ ♥♦♠r ♠ét♦s ♣♦r st♠r p s r♣♦s♥t sr s ♣r♥ ♣s ss ér♥ts s st♦♥s s♥ts ♣rés♥t♥t qqs ♥s s ♣s tsés s ♠ét♦s s♦♥t s ♠ét♦s ts ♦s ♣♣r♦s tsés ♥s ♥ s ♠é♥ ♥ér ♥s s ♠é♥ ♥♦♥ ♥ér q ♥ sr ♣s été trs ♠ét♦s s♦♥t ♥ss ♠ét♦s ts ♦rs ♦s
s ♠ét♦s q r♣♦s♥t sr ♥ rtèr ♥♦r♠t♦♥ té♦
rq
♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r rtèr ♥♦r♠t♦♥ ♥♦r♠ t♦♥ rtr♦♥ ss♥♥ t r rtèr t ♠♥♠ sr♣t♦♥ ♥♠♠ sr♣t♦♥ ♥t ♦♠♣t♥t ♣r♠ s ♠ét♦s ♣♦♣rs ♣♦r s s♥ ♦♥t♠♥és ♣r ♥ rt ♥ ss♥ s ♠ét♦s s♦♥t ss ♥ tqs ♥s r ♣r♥♣ t s é♥♥t ♦♠♠ st ♦t Y ∈ R
m×N ♠tr ♠ s ♦srt♦♥s ♦♥t♥♥t s s♣trs ♠♥s♦♥s m st à r q m ♥s s♣trs s♦♥t ♦♥sérés ♦t♥s sr s N ér♥ts ♣s ♦rs Y ♣t s ♥♦tr [y1, . . . ,yN ] ♦ù q (yi)1≤i≤N ♦rrs♣♦♥ à ♥ s♣tr rté qs s trs s é♦♠♣♦s♥t ♦rs ♥ ♥ ♣rt ♦♥t♥♥t s ♥♠♠rs t rt s♣♣♦sé ♥ ss♥ ♥s ♥ ♣r ♠r t♠♣s ♦t é♠♥t Θ ♥ tr ♦♥t♥♥t s ♣r♠ètrs ♠ st à r ♠tr ♦r♥ s ♦♥♥és Y ss rs ♣r♦♣rs t ss trs ♣r♦♣rs ♦♥t st♠t♦♥ ♣r ♠♠♠ rs♠♥ st ♥♦té Θ ♦♥t λ0 > λ1 > . . . > λm−1 s rs ♣r♦♣rs st♠t♦♥ ♠♣rq ♠tr ♦r♥ s ♦♥♥és ♣♣é ♦rs ♠ét♦ ♦♥sst à sét♦♥♥r ♠♦è q ♦rrs♣♦♥ ♣s ♦♥♥és st à r à st♠r p ç♦♥ s♥t ♥s s ♦ù s ♦♥♥és s♦♥t rés
pAIC = argmin k
AIC(k) = argmin k
] ,
♦ù pAIC st st♠t♦♥ p k st ♥♦♠r rés rté f ♥sté ♣r♦ té ♠♦è t ΘH
k = ( λ0, ..., λk−1, σ
2,VH 0 , ...,V
H k−1
VH 0 , ...,V
H k−1
) s trs ♣r♦♣rs ♦rrs♣♦♥♥t rs ♣r♦♣rs ss♦és ♥s
pAIC = argmin k∈[0,m−1]
−2N (m− k) log
1
.
rtèr st ♣rés♥té ♥s s s ♦♥♥és rés ♠s s♣t s s ♠s ♦♥t s ♦♥♥és s♦♥t ♦♠♣s st r s ♠s ♣♦r sqs Y ∈ C
m×N
♥ ♠♦♥t ♥♦♠r rés rté k ♣r k (2m − k) + 1 rtèr st ♦rs ♠ê♠ à ♣rt r♥r tr♠ q ♥t 2 k (2m − k) 2 k ♦r ♣♦r ♣s ♣rés♦♥s
♠♥t rtèr sst ♠♦♥tré ♥♦♥sst♥t rtèr été ♦♥ç ♣♦r ♣r ♣r♦è♠ èr ♦♥ ♣ rtèr t s ♦♥strt ♦♠♠ st
pMDL = argmin k∈[0,m−1]
−N (m− k) log
1
.
qs ♠ét♦s ssqs ♣♦r ♣r♦è♠ st♠t♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs
rtèr ♣t ♠ê♠ s♣tr s ♦♠♣ ♥ ♥♥t r♥r tr♠ ♥ 1
2 k (2m− k) logN
pMDL r♣rés♥t♥t ss st♠t♦♥ p ♣r rtèr ér♥ ♣r♥♣ rtèr ét♥t ♣rés♥ tr♠ ♥ logN ♦♥♥♥t ♥ tr♠ ♣é♥té ♥ ♣ ♣s ♣rés
r♥r rtèr q ♣t êtr ♥térss♥t ♦♥sérr st ♣r♦♣♦sé ♣r ♥♦té ♣rtèr♠♥t r♦st s ♦ù rt srt ♦rréé rtèr rss♠ trs ♠s rr tt ♦s r♥r k ♣♦r q st ♣♦st t sért ♦♠♠ st
pRAD = argmax k∈[1,m−1]

µk = 1 m−k
λk−µk
µk = 1
s ♠ét♦s ♦♥♥♥t ♦♥s réstts ♥♦t♠♠♥t ♣♦r s ♠s ♥t ♥ rt ss♥ ♦♠♠ st s ♣♦r r ♦ù s tr♦s rtèrs s♦♥t trés ♣♦r N = 1000
t m = 10 p = 4 ♣♦r q ♥♠♠r ♥ 20 dB é♥ ♣r 20 log10
( Pd
Pb
)
Pd t Pb s ♣ss♥s s ♥♠♠rs t rt rs♣t♠♥t rt ♥st ♣s ♦rréé ♠s ♠ét♦ ♦♥♥ ♦♥s réstts ♣♦r ♥ rt ss♥ ♥♦♥ ♥ s rs rtèr ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♥s s♦♥t ♠t♣és ♣r ♣♦r ♣s sté P♦r r♣♣ s rtèrs t r♥♦♥t ♣♦r p ♣s ♣tt p tt♥t s♦t sr r ♥t rtèr st tr♦r r♥r p ♣♦r q rtèr st ♣♦st s♦t é♠♥t s ♠ét♦s tr♦♥t t♦ts tr♦s ♦♥ ♥♦♠r ♥♠♠rs st à r 4
s ♠ét♦s sttstqs ♣s é♥érs t ♠ét♦
s♠
♥ tr ç♦♥ st♠r st ♦♥sérr ♠tr ♦rrét♦♥ ♦ ♦r t ♦r♥ ♣♦r ♥ ér p s♥s ♣ssr ♣r ♠♥♠st♦♥ ♥ rtèr st ♣r ♠♣ s ♥s ♥ ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s Pr♥♣ ♦♠♣♦♥♥t ♥ss P ♦ é♦♠♣♦st♦♥ ♥ rs s♥èrs ♥r ♦♠♣♦st♦♥ ♦ù sr ♥♦♠r rs ♣r♦♣rs ♠tr ♦r♥ s♣érrs à ♥ s s rst à r t ♥st ♣s t♦♦rs s♦♥ ♥tr rt étr♠♥r s ♠ét♦s ♥ ♦♥t♦♥♥♥t ssté♠tq♠♥t ♥ q ♣♦r s strt♦♥s rt ♦♥♥s ♦ ♣♦r s ♠s s♥s rt ♥ é♥ér s t♥qs s♦♥t tsés ♣♦r rér ♠♥s♦♥ s ♠s ♥ ♣r♦t♥t s ♦♥♥és sr s♦s s♣ s♥
♣♥♥t trs ♠ét♦s ♣s s t r♦sts q s ♦♥♥t sr s ♠ê♠s ♣r♥♣s ♦♥t été ♥és ♥s tt ♣rt s♦♥t rss♠és s ♣r♥♣s ♠ét♦s s♥s ♦♥♥r tr♦♣ éts ♣♦r rt♥s r s ♥ sr♦♥t ♣s rétsés ♣r st s s♦♥t t♦t ♠ê♠ ♥♦♠♠és t r♣♠♥t ♣rés♥tés r s♦♥t tsés ♥ trt♠♥t s ♠s ♣rs♣trs ♣s ♣r♠t tr s r♥r ♦♠♣t r♥ rsté s ♠ét♦s st♥ts t ♥térêt ♥ é♦♣♣r ♥♦s s s ♣r♠èrs s ♠♦♥tr♥t ♥s ♥s rt♥s stt♦♥s
♠ét♦ ♠♠ ♦s rt♦♥ été ♥tr♦t ♥s rt t s ♣rés♥t ♦♠♠ ♥ tr♥t à ♠ét♦ P tt ♠ét♦ ♦♥sst à rrr
♣tr Pr♦è♠s t ♠ét♦s ♥ ♠r ♣rs♣tr
1 2 3 4 5 6 7 8 9 −100
0
100
200
300
400
500
600
p
rs

r rs s rtèrs t ♠ét♦ ♣♦r N = 1000m = 10 p = 4 = 20dB
s trs ♠ q r♣rés♥t♥t ♠ s s♣trs s ♥♠♠rs ♣rés♥ts ♥ r♥t à ♠♠sr s s ♠ts s♦♥t t tt♥ts ♣sq ♥ésst ♦♥♥ss♥ ♠tr ♦r♥ rt t s♥
♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r rs♥ rr♥ t ♥ q♥t à ♣r♦♣♦s ♦♥sérr ♠tr ♦r♥ st♠é s ♦♥♥és ♥s q rt tt ♠ét♦ r♣♦s sr t q ♣♦r ♥ rt ♥ ♠♦♥♥ ♥ s p ♣s r♥s rs ♣r♦♣rs ♠tr ♦rrét♦♥ s♦♥t s♣érrs à s ♠tr ♦ r♥ t♥s q s s♥ts s♦♥t és st ♦♥ ♦sr ♥ s ♣♦r ér♥ ♥tr rs ♣r♦♣rs à ♣rtr q s rs ♣r♦♣rs ♥ s♦♥t ♣s ♦♥sérés ♦♠♠ és P♦r ♠é♦rr s ♣r♦r♠♥s étt♦♥ ♥ ♠ét♦ rt♥ ♦st♥ ♥♦té ♥st été ♥tr♦t st ♦♥ rs♦♥ ♥ ♦ù ♠tr s ♦♥♥és st ♥
♥♥ ♥ ♠ét♦ été ♣r♦♣♦sé ♣r ♦ss t s♠♥t♦ ♥♦♠♠é s♠ q st♠ s♥s s ♠♦♥rs rrés s rs ♣r♦♣rs q r♣rés♥t♥t ♠ ♠♦♥♥ s ♦♥♥és Y = [y1, . . . ,yN ] ♥ ♣ ♣s ♥ ét ♠ét♦ st♠ ♦r s ♠trs ♦r♥ rt t s♥ ♥♦tés Rd t Rb ♣s t ♥ sr Rd ♣♦r ♥ ér s trs ♣r♦♣rs s♥rs Pk ♠tr ♣r♦t♦♥ sr s♦s s♣ s trs ♣r♦♣rs s♥rs ♦rrs♣♦♥♥t k ♣s r♥s rs ♣r♦♣rs st é ♣♦r 1 ≤ k ≤ m P⊥
k r♣rés♥t ♠tr ♣r♦t♦♥ sr s♦s s♣ ♦rt♦♦♥ à ss♦é à Pk p st ♥st st♠é ♣r éqt♦♥ s♥t
p = argmin 1≤k≤m
yTP⊥ k y + 2Tr(PkRb/N) ,
♦ù y r♣rés♥t ♠♦♥♥ s ♦♥♥és s♦t y =
N∑
yi
♥ ♦♠♣rt rt♥s s ♠ét♦s ss ♣♦♣rs st ♣r♦♣♦sé ♥s rt r ♦♠♣rt st s q s ♠ét♦s ♣rés♥tés ♥ ♦♥♥♥t ♣s ♦♥s
qs ♠ét♦s ssqs ♣♦r ♣r♦è♠ é♠é♥
réstts ♥s s ♦ st s♣érr à 20 ♥ ♠ét♦ ♥ tr♦ ssté♠tq♠♥t ♦♥ ♦rr p ♣♦r ♥♠♣♦rt q rt rs♦♥♥ t ♥♠♣♦rt q r p ♥ t s rt st ♥♦♥♥ s ♠ét♦s ♥ésst♥t ♥ st♠t♦♥ ss rtérs tqs st♠t♦♥ q ♣t ♦rs ♣♦sr ♣r♦è♠ t érr s ♣r♦r♠♥s ♠ét♦ s ♠ét♦ st♠t♦♥ ♦s ♥st ♣s ♣té ♣♥♥t ♠ét♦ s♠ ♦♥♥ rt♠♥t ♦♥s réstts ♣r r♣♣♦rt trs ♠ét♦s ♣r♦♣♦sés t♥s q s ♠ét♦s t ♥ ♦♥♥♥t ♣s réstts ♦♥st♥ts ♥ ♦♥t♦♥ ♦r♠ rt ♦♥séré
♠ét♦ s♠ sr ♦♥ ♦♥séré ♣r st ♥s rt♥s s♠t♦♥s ♣♦r ♦♠♣rr s réstts ♣r♦♣♦sés
s ♠ét♦s é♦♠étrqs
ttr ♥♦r♠t st s ♠ét♦s q s ♦♥♥t sr s éts st♥ ♦ ♦♠ ♣♦r st♠r Pr♠ s ♠ét♦ ♥t♦♥ ♥t♦♥ ♠♣rq ♠♣r ♥t♦♥ ♥t♦♥ ♦♥strt à ♣rtr ét s rs ♣r♦♣rs t P ♠s ♥ ♣t s♣♣qr ♦♥♥és ♦rréés
♠ét♦ ♣r♦♣♦s étr st♥ ♥tr ♣s ♣r♦s ♦s♥s s♣trs ♣♣rt♥♥t à ér♥ts ♣s s ♣s r♦s ♥♦♥é♥♥t tt ♠ét♦ st q ♥♦r ♥ ♦s ♦♥♥ss♥ ♠tr rt st s♦♠♥t ♥éssr
qs ♠ét♦s ssqs ♣♦r ♣r♦è♠
é♠é♥
é♠é♥ s♣tr st ♥ ♣r♦è♠ q ♥t strtr ♠ st à r ♥ ♣r♦è♠ é à ç♦♥ ♦♥t st ♦♥strt ♥ ♠tr r♣rés♥t♥t ♥ ♠ ♣r s♣tr ♥ ♠ ♣rs♣tr ♦♥t s s♣trs rs [y1, . . . ,yN ] s♦♥t rr♦♣és ♥s ♥ ♠tr ♠ Y ♣t sérr ♥s r ♥ ♠♦è ♠é♥ ♥ér
Y = MS+B ,
♦ù M ∈ R m×p ♦♥t♥t s s♣trs s ♥♠♠rs t st ♣♣é ♠tr ♠é♥
♦♥séré étr♠♥st S ∈ R p×N ♦♥t♥t ♣r♦♣♦rt♦♥ s ♥♠♠rs ♣rés♥ts ♥s
q ♣ ♦ ♦♥♥s ♠tr S st ♥s ♠tr s ♦♥♥s é♠♥t ♦♥séré ♦♠♠ étr♠♥st s♠♥t ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s t ♦ù B ∈ C
m×N B = [b1, . . . ,bN ] r♣rés♥t rt t ♦t♥ sr ♠ r ♠♦è ♦s ♣♦r rt sr ♣s é♦♣♣é ♣r st tr♠♥t ért ♣♦r q ♣ yi
yi =
p∑
j=1
si,jmj + bi ,
♦ù si,j = [S]i,j t mi,j = (mj)i = [M]i,j q mi,j ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♠sr s♣tr t st t ♣♦st
♦♥♥ss♥t Y s ♠ét♦s é♠é♥ s♣tr ♣r♠tt♥t rtr♦r M t S ♣r♦è♠ ♣♦sé ♦♠♠ t ♥♠t ♣s s♦t♦♥ ♥q ♣sq ♣♦r t♦t ♠tr ♥rs ♣♦st U s M t S s♦♥t s♦t♦♥s MU t U−1 S ♦ MU−1 t US s♦♥t ss s♦t♦♥s éqt♦♥ ♥ M t S st ♦♥ ♥éssr r♦tr ♥ rt♥ ♥♦♠r ♦♥tr♥ts sr ♠tr ♠é♥ t s ♦♥♥s ♠ê♠ s ♥té ♥st
♣tr Pr♦è♠s t ♠ét♦s ♥ ♠r ♣rs♣tr
♣s ♦ré♠♥t ssré s ♦♥tr♥ts q sr♦♥t t♦♦rs ♦♥sérés ♣r st s♦♥t s s♥ts
♦♥♥étté : ∀i ∈ [1, p] , ∀j ∈ [1, N ] si,j ≥ 0 ,
♦♠♠ é à ♥ : ∀j ∈ [1, N ]
p∑
i=1
si,j = 1 .
s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥ t ♥ ♦r ♥tr♣rétt♦♥ ♣sq s ♦♥♥és ♦s st à r ♥ ♠tr M ♦♥t♥♥t s s♣trs ♣♦sts s ♥♠♠rs t ♥ ♠tr S
♦♥t♥♥t ♣r♦♣♦rt♦♥ ♥tr 0 t 1 q ♥♠♠r ♥s q ♣ i ♦♥séré
♣r♦è♠ st ss é♥ér t ♦♣ ♠ét♦s ♥♦♥ s♣éqs ♠s ♣rs♣trs ♣♥t êtr tsés st ♣r♦è♠ sé♣rt♦♥ s♦rs s♦s ♦♥tr♥ts st à r ♥ ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ s♦s ♦♥tr♥ts P♦r ♣s sté ♥s♠ s ♠ét♦s ♣rés♥tés ♥s tr été sé ♥ r♦♣s s ts♥t s ♠ét♦s ♣s sttstqs st à r ♣♦t♥t st♠t♦♥ rt♥s ♣r♠ètrs ♣♦r st♠r M t S t s ts♥t s ♦ts ♣tôt rts à s s ♦♠s é♦♠étrqs rt rr♦♣ ♥ ♦♥ ♥♦♠r s ♠ét♦s ♣♦sss t rt♥s s♦♥t r♣rss
♣♣rt s ♠ét♦s ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♠♦♥t ♥ rét♦♥ s ♦♥♥és ♣r ♣r♦t♦♥ sr ♥ s♦s s♣ ♥té t ♥ rér t♠♣s r ♦♠♣té t ♠♥tr s♥ rç ♠ét♦ s♠ té sss ♣r♠t ♣r ♠♣ ♥r ♠♥♣t♦♥ t st rs s♦♥t tsé ♣♦r tt ét♣ ♣♥♥t tt ét♣ ♥♠é♦r ♣s s réstts ♥ tr♠ ♦♥sst♥ ♣♦r st♠t♦♥ M t S t ♥ésst st♠t♦♥ ♦rrt s♦ss♣ s♥ t s♦s s♣ rt ♣♦r ♣r♠ttr ♣r♦t♦♥ s ♦♥♥és sr s s♣s
s ♠ét♦s q r♣♦s♥t sr ♥ ♣♦tès ♣r♠♦♥ ♥ s♦♥t ♣s ♣rés♥tés r ♠♦è ♦s ♥ ♦♠♣r♥ ♣s t ♣r♦r
s ♠ét♦s sttstqs
♥ s ♠ét♦s s ♣s ♦♥♥s ♣♦r ♥r ♣r♦è♠ st ♥s ♥ ♦♠♣♦ s♥ts ♥é♣♥♥ts ♥♣♥♥t ♦♠♣♦♥♥t ♥♥ss ♣r ♠♣ ♣r♦ ♣♦s ♥ ♣♣t♦♥ ♥ ♠r ♣rs♣tr ♣r♦è♠ tt ♠ét♦ st q r♣♦s sr ♣♦tès ♦rt ♥é♣♥♥ s s♦rs r ♦♥tr♥t s♦♠♠ é à ♥ ♠♣q ♥ é♣♥♥ sttstq s ♦♥♥s rt trt rs ♣r♦è♠ tt ♠ét♦ st ♦♥ ss rstrt t ♠♥t ♣♣ s ♠r ♣rs♣tr
♥ tr ♠ ♠ét♦s tsés st s ♠ét♦s és♥♥s s ♠ét♦s rr♥t ♥ ♠♠ P♦str♦r P à ♣rtr ♦s à ♣r♦r ♥éssrs sr s ♦♥♥s t sr ♠tr ♠é♥ rt st ss s♦♥t s♦♠s à ♦rts ♣♦tèss ♦♠♠ ♣r ♠♣ s ♣♦tèss ss♥té st ♥♦♥é♥♥t s ♠ét♦s ttr ♠♣ rt ♥tr♦t ♥ ♦rt♠ s♥ st♠t♦♥ M t S ♥ rés♥t s ♦♥♥és ♥ ♠♦♥t trs rts ♣r♦♣♦s♥t trs érés ♠ét♦s és♥♥s ♦♠♠ été ♥s q rss ♥ étt rt s ♣♣r♦s és♥♥s ♣♦r ♠r ♣rs♣tr ♥st t ♥ ♣r♦r ♥ sr ♠tr s ♦♥♥s ♥ sr ♠tr ♠é♥ q ♣q ♣♦rq♦ s ♠ét♦s ♥ sr♦♥t ♣s ♦♥sérés ♥s tt tès
qs ♠ét♦s ssqs ♣♦r ♣r♦è♠ é♠é♥
s ♠ét♦s é♦♠étrqs
s ♠ét♦s é♦♠étrqs ♣rés♥t♥t s♦s rt♥s s♣ts ♣s té ♣♦r ♣♣t♦♥ ♥ ♠r ♣rs♣tr st ♣♦ss s ssr ♥ ér♥ts té♦rs s ♠ét♦s q ♦♣t♠s♥t ♣r♦è♠ ♣r rét♦♥ ♥ rrr qrtq t s ♠ét♦s q ♦♣t♠s♥t ♥ ♦♠ sr s ♦♥♥és
♣r♠r t♣ ♠ét♦ rr s♦t♦♥ ♣r♦è♠ é♥ér s♥t
argmin M,S
Y −MS2F , s♦s ♦♥tr♥ts .
♦t J(M,S) = Y −MS2F ♣r♦è♠ s rè ♥ é♥ér ♥ ♠ét♦ s ♥t t♣ s♥t r♥t ♠ét♦ t♦rst♦♥ ♣r ♠tr ♥♦♥♥ét ♦♥♥t tr t♦rt♦♥ st ♥ ♠ét♦ t♣ ♦♥t ♦♥r♥ été ♠♦♥tré ♥s ♦rt♠ tt ♠ét♦ st ért st ♣rès rt ♣r♦♣♦s rs ♥ ét ♦♠♣èt tt ♠ét♦ ♥♦♥ ♣♣qé s ♠r ♣rs♣tr t tt ♠ét♦ st ♣rtèr♠♥t ♣té s ♠r ♣rs♣tr ♣sq ♥ ♥ésst ♣s ♣♦tèss ♣rtèrs sr s ♠s ♦♠♠ ♣r ♠♣ ♣rés♥ ♣ ♥♦♥♠é♥és ♦ t ♣rs st à r ♦♥sttés ♥ s ♥♠♠r ♣♦tès ♠rs♠♥t s♦♥t ♥éssr ♣♦r trs t♣s ♠é t♦s Pr ♦♥tr tt ♠ét♦ s♥t ♥ét♥t ♣s ♦♥ ♣t ♦♥rr rs s ♠♥♠s ♦ ♦♥t♦♥ à ♦♣t♠sr t ♥ssr ♣s ♦♥sst♥ st♠t♦♥ ♦t♥ ♣♦r s ♠trs ♠é♥ t s ♦♥♥s st ♦♥ ♥éssr r♦tr ♥ rt♥ ♥♦♠r ♦♥tr♥ts ♦♠♠
ss♦s st ♣rés♥té ♦rt♠ é♥ér ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts s ♠trs M t S s♦♥t ♥tsés ♥ r ♦s rs♣t♥t ♣♦r ♦♥♥r M0 t S0 s r♥ts J(M,S) s♦♥t ♦r és ♦♠♠ st à q tért♦♥ k ♣♦r 0 < k ≤ kmax kmax ♥♦♠r ♠♠♠ tért♦♥ ♣♦♥t sr é♦♣♣é ♣s tr
∂J (M,S)
) .
♥ ♥♦t♥t 1N t 1p trs ♠♥s♦♥ N t p rs♣t♠♥t ♦♥sttés 1 t
M =
( M
1N
) .
tt ♠♥♣t♦♥ ♣r♠t rs♣tr ♦♠♠ tsé ♥s ♦ ♥♦r Ps ♣♦r q tért♦♥ k ♥ s ♠trs M t S st ♠♦é ♦♠♠ st
Mk ←Mk−1 + µMk−1
∂J(Mk−1,Sk−1)
∂J(Mk−1,Sk−1)
∂S .
♦ù µM t µS r♣rés♥t♥t s ♣s s♥t Psrs s♦t♦♥s s♦♥t ♣♦sss ♣♦r r s ♣s s♥t q ♦♥t ♣♦r q tért♦♥ ♣r♠ttr ♠♥r J(M,S) Pr♠ ♣♦sss rt ♣r♦♣♦s s ♣s s♥t ss ssqs ♠s ♠rs réstts s♦♥t ♦t♥s ♥ ts♥t s ♣s q ér♥t rè r♠♦ ♦r ♥ ♥ ♦♠♠ ♣r♦♣♦sé ♥s ♥♦♠r kmax ♣t êtr é rtrr♠♥t ♦ êtr tt♥t ♥ ♦s q J(M,S) t ♥ r ♠♥♠ é rtrr♠♥t P♦r ♠é♦rr ♥♦r s ♣r♦r♠♥s t ♦rt♠ rt♥s trs ♣r♦♣♦s♥t ♦tr ♣srs
♣tr Pr♦è♠s t ♠ét♦s ♥ ♠r ♣rs♣tr
trs ♦♥tr♥ts ♣r ♠♣ ♥s s rts t ê♠ s ♠é♦r ♦rt♠ é♥ér s t♠♣s s ♣♥t ♥r ss ♦♥s s ♦s à ♣r♦r s♦♥t ♥éssrs ♣♦r ♠tr s ♦♥♥s t ♠é♥ t ♥ ♠rs réstts s♦♥t ♦t♥s ♣♦r trs ♠ét♦s ♦♠♠ ♠♦♥tré ♥s r
♥ ♦♥tr♥t ♦♠ sr ♠tr ♠é♥ st ♦té à ♦rt♠ st ♣♦ss ♠é♦rr s♥s♠♥t ♠ét♦ ♥♦ ♠ét♦ st ♦rs ♣♣ é ♥♠♠ ♦♠ ♦♥str♥t st ♦rs ♥♦♥ ♣s ♠♥♠sr J(M,S) ♠s
f(M,S) = 1
2 J(M,S) + λK(M) ér♥t ,
♦ù K(M) st ♥ ♦♥t♦♥ ♣é♥té sr ♦♠ s♠♣ ♠tr st♠t♦♥ M λ ∈ R ♥ ♣r♠ètr rérst♦♥ à r rtrr♠♥t q st ♥ ♣♦♥t ♠ét♦ ♦♠ s♠♣ r♣rés♥t♥t ♠tr M ♣t s r ♦♠♠ ♣♦r st à r ♥ étr♠♥♥t sr ♠tr ♠é♥
rét râ à ♥ P ♥s K(M) = 1
2(p− 1)!
( 1T p
p
) ♦ù
ν st ♥ tr ♦♦♥♥ ♦♥t♥♥t ♠♦♥♥ sr s ♥s Y t ♦ù U ♠♥s♦♥ m×(p−1) st ♥ ♠tr q ♦♥t♥t s p−1 ♦♥♥és s ♣s ♠♣♦rt♥ts Y ♦t♥s ♣r P rt ♦♥♥ ♦♠♣t t ♣rss♦♥ ♥ ♦♠ q ♥st q♥ ♦♥t♦♥ ♠tr M ♥q♠♥t
♥♥ t♦♦rs ♣♦r ♠é♦rr s ♣r♦r♠♥s tt ♠ét♦ rt ♥tr♦ t ♥ ♠ét♦ r♥t ♣r♦té ♣♦r ♥♦té P Pr♦t r♥t t♦s ♦r ♦♥♥t tr t♦rt♦♥ tt ♠ét♦ ♣♦r ♥térêt ♦♥r r ♣s r♣♠♥t q s trs ♠ét♦s ♥ ♣r♦t♥t ♥t q tért♦♥ s Mk−1 + µMk−1
∂J(Mk−1,Sk−1) ∂M t Sk−1 + µSk−1
∂J(Mk−1,Sk−1) ∂S sr ♥ s♣ ♦s
s♦♥ t♣ ♠ét♦ ss tsé st s ♠ét♦s ♦♠ ♠ét♦ st ♥ s ♣s ♦♥♥s ♠ê♠ s ♥ésst ♣rés♥ ♣s ♣rs ♣♦r q ♥♠♠r ♦rt♠ rr ♦rs s ♣s q ♣r♠tt♥t ♦t ♥r ♦♠ s♠♣ ♣s r♥ s ♣s ♦rrs♣♦♥♥t s♣tr s ♥♠♠rs t s♦♥t s ♣s ♣rs tt ♠ét♦ ♥ ♣t ♣s êtr tsé t q ♣sq ♥ ♣s ♦ré♠♥t ♣ ♣rs ♥s s ♦♥♥és ♦♥sérés r str ♣r♥♣ ♠♥♠st♦♥ ♦♠ s♠♣ s♦♥t s♣♦sés ♣srs ♣s ♦♥t tr♦s ♦rrs♣♦♥♥t à s ♣s ♣rs ♦♥t♥♥t tr♦s ♥♠♠rs ér♥ts ♦♠ ♠♠♠ s♠♣ ♦♥t♥ à ♥tèrr s ♦♥♥és st ♥s ♦t♥ ♥ ♦♥sér♥t ♦♠♠ ♣♦♥ts trê♠s s tr♦s rs ♥♠♠rs P♦r tt r s s♣trs s tr♦s ♥♠♠rs tsés ♦♥t été ♦t♥s ♥s qs ♦♥t été ♦tés ♥ rt t ss♥ ♥♦♠r ♥s s♣trs ♦♥séré st m = 900 t ♥♦♠r ♣s st 1000 ♥♦♠rss ♠ét♦s r♣♦s♥t sr ♥ ♦♠ s♠♣ t ♠é♦r♥t ♠é t♦ st s ♠ét♦ rt ♦♠♣♦♥♥t ♥ss ♣r♦♣♦sé ♥s tt ♠ét♦ ét ♣r♦t♦♥ s ♦♥♥és sr s♦s s♣ ♦rt♦♦♥ ♥♠♠rs éà tr♦és ♣ ♣s trê♠ ♣rès ♣r♦t♦♥ sr ♦rs ♣rs ♦♠♠ ♥♦ ♥♠♠r
r rr♦♣ s ♠ét♦s t ♣rés♥t s réstts ♥ tr♠s rrr q rtq ♠♦♥♥ J (M,S) r tt r s ♦♥♥és rçs ♥s ♠tr ♠ Y
s♦♥t ♦t♥s à ♥ rt t ss♥ t ♥♠♠rs ♦♥t s s♣trs ♦♥t été ré♣érés sr s ♥ s♦♥t ♣s t♦t à t é♥s ♦♠♠ ♣réé♠♠♥t ♣♦r s rs♦♥s sté s réstts st é♥ ♦♠♠ ♥rs ♣ss♥ rt r r r 1 à 1
0.001 s ♠ét♦s t ♦rrs♣♦♥♥t rs♣t♠♥t ♠ét♦s ♣r♦♣♦sés ♥s t ér♥ ♥tr s ét♥t s
♦ést♦♥ ♥ ♠ ♣rs♣tr
0.95
♣s
r ♠♣ ♦t♥ p = 3 m = 900 t N = 1000 ♦&hear