Upload
yuli-ariyadi-s
View
14
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
sasada
Citation preview
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TI2131 TEORI PROBABILITAS
Bagian 4 – DISTRIBUSI DISKRIT
Laboratorium Sistem ProduksiLaboratorium Sistem Produksi
20042004
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 2
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Proses Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Distribusi Hipergeometrik Proses & Distribusi Poisson Pendekatan untuk Distribusi Binomial
Distribusi Variabel Random Diskrit4
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 3
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:
1. Satu percobaan dengan percobaan yang lain independen. Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atau tidak munculnya hasil yang lain.
2. Setiap percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses* dan gagal. Kedua hasil tersbut bersifat mutually exclusive dan exhaustive.
3. Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetap atau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1-p.
* Istilah sukses dan gagal adalah istilah statistik yang tidak memiliki implikasi positif atau negatif.
4-1 Proses Bernoulli (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 4
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Proses Bernoulli (2)
Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah :
Distribusi binomial, Distribusi geometrik, dan Distribusi hipergeometrik.(termasuk kategori tersebut adalah distribusi
multinomial dan negatif binomial).
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 5
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Binomial (1)
• Sebuah variabel random, X, menyatakan jumlah sukses dari n percobaan Bernoulli dengan p adalah probabilitas sukses untuk setiap percobaan, dikatakan mengikuti distribusi (diskrit) probabilitas binomial dengan parameter n (jumlah sukses) dan p (probabilitas sukses).
• Selanjutnya, variabel random X disebut variabel random binomial.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 6
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Sebuah sistem produksi menghasilkan produk dari dua mesin A dan B dengan kecepatan yang sama. Diambil 5 produk dari lantai produksi dan nyatakan X sebagai jumlah produk yang dihasilkan dari mesin A.
Ada 25 = 32 urutan yang mungkin sebagai output dari mesin A dan B (sukses dan gagal) yang membentuk ruang sample percobaan. Diantara hasil tersebut, ada 10 hasil yang memuat tepat 2 produk dari mesin A (X=2):
AABBB ABABB ABBAB ABBBA BAABB BABAB BABBA BBAAB BBABA BBBAA
Probabilitas 2 produk dari mesin A dari 5 produk yang diambil adalah p2q3 = (1/2)2(1/2)3=(1/32), probabilitas dari 10 hasil tersebut adalah :
P(X = 2) = 10 * (1/32) = (10/32) = 0.312510 (1/32)
Jumlah hasil dimana 2dihasilkan dari mesin A
Probabilitas bahwa sebuah hasilmemiliki 2 produk dari mesin A
Distribusi Binomial (2)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 7
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
P(X=2) = 10 * (1/32) = (10/32) = .3125Perhatikan bahwa probabilitas tersebut dihasilkan dari:
Secara umum:
1. Probabilitas dari x sukses dari n percobaan dengan probabilitas sukses p dan probabili-tas gagal q adalah:
pxq(n-x)
nCxn
x
nx n x
!
!( )!
2. Jumlah urutan dari n percobaan yang menghasilkan tepat x sukses adalah jumlah pilihan x elemen dari total n elemen:
Distribusi Binomial (3)
10 (1/32)Jumlah hasil dimana 2dihasilkan dari mesin A
Probabilitas bahwa sebuah hasilmemiliki 2 produk dari mesin A
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 8
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
1.00
)!(!
! n
)!3(!3
! 3
)!2(!2
! 2
)!1(!1
! 1
)!0(!0
! 0
)(
)3(3
)2(2
)1(1
)0(0
nnn
n
n
n
n
qpnnn
n
qpn
n
qpn
n
qpn
n
qpn
n
Distribusi probabilitas binomial :
dimana :p probabilitas sukses sebuah percobaan,q = 1-p,n jumlah percobaan, danx jumlah sukses.
P xn
xp q
nx n x
p qx n x x n x( )!
!( )!( ) ( )
Distribusi Binomial (4)
Jumlah Probabilitas P(x)sukses x
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 9
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
n=5
p
x 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99
0 .951 .774 .590 .328 .168 .078 .031 .010 .002 .000 .000 .000 .000
1 .999 .977 .919 .737 .528 .337 .187 .087 .031 .007 .000 .000 .000
2 1.000 .999 .991 .942 .837 .683 .500 .317 .163 .058 .009 .001 .000
3 1.000 1.000 1.000 .993 .969 .913 .813 .663 .472 .263 .081 .023 .001
4 1.000 1.000 1.000 1.000 .998 .990 .969 .922 .832 .672 .410 .226 .049
a F(h) P(h)
0 0.031 0.031
1 0.187 0.156
2 0.500 0.313
3 0.813 0.313
4 0.969 0.156
5 1.000 0.0311.000
Distribusi probabilitas kumulatif binomial dan distribusi probabilitas
variabel random binomial A, jumlah produk yang dihasilkan oleh mesin A (p=0.5) dalam 5 produk
yang diambil.
313.
500.813.
)2()3()3(
:Contoh
1)-F(x - F(x) = P(X)
)()()(
FFP
iPxXPxFxiall
Penentuan nilai probabilitas dari probabilitas kumulatif
Distribusi Binomial (5)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 10
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
F x P X x P i
F P X
all i x
( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
3 3 002
n=15p
.50 .60 .700 .000 .000 .0001 .000 .000 .0002 .004 .000 .0003 .018 .002 .0004 .059 .009 .001
... ... ... ...
60% dari produk yang dihasilkan adalah sempurna. Sebuah sample random sebanyak 15 diambil. Berapa probabilitas bahwa paling banyak ada tiga produk yang sempurna?
Distribusi Binomial (6)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 11
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Binomial (7) - Excel
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 12
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
X = jumlah produk sempurna dari sebuah sample random berjumlah 15 produk
Distribusi Binomial n = 15, p = 0.6
X P(X = x) P(X <= x)
0 0.000001 0.0000011 0.000024 0.0000252 0.000254 0.0002793 0.001649 0.0019284 0.00742 0.0093485 0.024486 0.0338336 0.061214 0.0950477 0.118056 0.2131038 0.177084 0.3901879 0.206598 0.596784
10 0.185938 0.78272211 0.126776 0.90949812 0.063388 0.97288613 0.021942 0.99482814 0.004702 0.9995315 0.00047 1
Produk sempurna
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 3 5 7 9
11 13 15
# Produk sempurna
Pro
bab
ility
Distribusi Binomial (8) - Excel
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 13
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
npq=SD(X)=
: binomial distribusi daristandar Deviasi
)(
: binomial distribusi dari Variansi
)(
: binomial distribusi dariMean
2
npqXV
npXE
npq=SD(X)=
: binomial distribusi daristandar Deviasi
)(
: binomial distribusi dari Variansi
)(
: binomial distribusi dariMean
2
npqXV
npXE
7071.5.0)(
5.0)5)(.5)(.5()(
5.2)5)(.5()(2
:produk 5 dalamA mesin dariproduk jumlah adalah A
HSD
HV
HE
H
H
H
Distribusi Binomial (9)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 14
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
43210
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x
)
Binomial Probability: n=4 p=0.5
43210
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x
)
Binomial Probability: n=4 p=0.1
43210
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x
)
Binomial Probability: n=4 p=0.3
109876543210
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x
)
Binomial Probability: n=10 p=0.1
109876543210
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x
)
Binomial Probability: n=10 p=0.3
109876543210
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x
)
Binomial Probability: n=10 p=0.5
20191817161514131211109876543210
0.2
0.1
0.0
x
P(x)
Binomial Probability: n=20 p=0.1
20191817161514131211109876543210
0.2
0.1
0.0
x
P(x)
Binomial Probability: n=20 p=0.3
20191817161514131211109876543210
0.2
0.1
0.0
x
P(x)
Binomial Probability: n=20 p=0.5
Distribusi binomial cenderung menjadi simetris dengan meningkatnya n dan p .5.
p = 0.1 p = 0.3 p = 0.5
n = 4
n = 10
n = 20
Distribusi Binomial (10)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 15
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Hipergeometrik (1)
• Distribusi binomial digunakan pada populasi yang tidak terbatas, sehingga proporsi sukses diasumsikan diketahui.
• Distribusi probabilitas hipergeometrik digunakan untuk menentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa pengembalian.
• Variabel random hipergeometrik adalah jumlah sukses (x) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari sebuah populasi terbatas N , dimana D diantaranya adalah sukses dan (N-D) adalah gagal.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 16
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Hipergeometrik (2) Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik diturunkan dengan
menghitung kombinasi-kombinasi yang terjadi. Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi berukuran N untuk sampel
berukuran n adalah kombinasi C(N,n). Jika sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses,
selanjutnya dapat dihitung kombinasi diperoleh x sukses dari sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahui yaitu C(D,x), dan demikian pula halnya dapat dicari (n-x) kombinasi gagal dari sisanya (N-D), yaitu kombinasi C((N-D),(n-x)).
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 17
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Hipergeometrik (3)
• Dengan demikian:
• sukses C(D,x). C((N-D),(n-x)) atau
• yang diperoleh dari total kombinasi yang mungkin C(N,n) atau
xn
DN
x
D
n
N
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 18
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Hipergeometrik (4)
• Sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses dalam percobaan bernoulli dan total jumlah sukses D diketahui dari sebuah populasi berukuran N, maka dikatakan x mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi kemungkinan :
• Distribusi kemungkinan hipergeometrik sering pula disimbolkan dengan h(x;N;n;D).
otherwise 0
),min(,,2,1 ,)(
Dnx
n
Nxn
DN
x
D
xp
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 19
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Hipergeometrik (4)
Parameter pemusatan dan penyebaran adalahsebagai berikut :
n
N
xn
DN
x
DxXE
Dn
x
),min(
0
/)( NDn / (jika N besar maka D/N=p)
Untuk kasus dimana n<D, maka ekspektasi tersebut adalah
n
x
n
N
xn
DN
x
D
xXE0
)( . Karena )!()!1(
)!1(
xDxx
DD
x
D
, maka diperoleh
n
x
n
Nxn
DN
x
D
DXE0
1
1
)( .
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 20
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Hipergeometrik (5)
Transformasikan y=x-1, maka bentuk di atas berubah
menjadi
n
y
n
Nyn
DN
y
D
DXE0
1
1
)( , karena
yn
DN
yn
DN
1
)1()1(
1 dan
1
1
)!(!
!
n
N
n
N
nNn
N
n
N maka diperoleh
n
y
n
Nyn
DN
y
D
N
nDXE
0
1
11
)1()1(1
)(
Karena penjumlahan tersebut menghasilkan nilai satu (sifat
distribusi kemungkinan), maka N
nDXE )( .
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 21
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Hipergeometrik (6)
D a p a t d i b u k t i k a n b a h w a 1
)1)(1()1(
N
DnXE . E k s p e k t a s i p e r k a l i a n
X d a n ( X - 1 ) a d a l a h )()()]1([ 2 XEXEXXE . K a r e n a N
nDXE )(
d a n 1
)1)(1()1(
N
DnXE , m a k a
)1(
)1()1()]1([
NN
nnDDXXE .
V a r i a n s i 222 )( XE , h a l i n i b e r a r t i 22 )]1([ XXE a t a u
r u a s k a n a n m e n j a d i 2
22
)1(
)1()1(
N
Dn
N
nD
NN
nnDD
. D e n g a n p e n g a t u r a n
k e m b a l i d i p e r o l e h v a r i a n s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a n
h i p e r g e o m e t r i k a d a l a h
11)( 2
N
nN
N
D
N
DnXV
( u n t u k N y a n g b e s a r h a s i l i n i m e n d e k a t i n p q ) .
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 22
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Contoh:Sebuah dealer otomotif menerima lot berukuran 10 dimana hanya 5 diantaranya yang mendapat pemeriksaan kelengkapan. 5 kendaraan diambil secara random. Diketahui ada 2 kendaraan dari lot berukuran 10 yang tidak lengkap. Berapa kemungkinan sekurangnya ada 1 kendaraan dari 5 kendaraan yang diperiksa ternyata tidak lengkap?
P
P
( )
!
! !
!
! !
!
! !
.
( )
!
! !
!
! !
!
! !
.
1
2
1
10 2
5 1
10
5
2
1
8
4
10
5
2
1 1
8
4 4
10
5 5
5
90 556
2
2
1
10 2
5 2
10
5
2
1
8
3
10
5
2
1 1
8
3 5
10
5 5
2
90 222
Sehingga, P(1) + P(2) =
0.556 + 0.222 = 0.778.
Distribusi Hipergeometrik (7)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 23
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
X = jumlah kendaraan dalam sample berukuran 5 yang ternyata tidak lengkap
Distribusi Hipergeometrik N = 10, D = 2, n = 5
X P(X = x) P(X <= x)
0 0.222222 0.2222221 0.555556 0.7777782 0.222222 13 0 14 0 15 0 1
Pemeriksaan kendaraan
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
1 2 3 4 5 6
# kendaraan tidak lengkap
Pro
ba
bil
ity
Distribusi Hipergeometrik (4)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 24
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah sukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh hasil (outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok (sukses dan gagal). Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok.
kxk
xx
kk ppp
xxx
nxxxP ...
!!...!
!),..,,( 2
21
121
21
Distribusi Multinomial (1)
Fungsi distribusi probabilitas multinomial:
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 25
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika. Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat (dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi aritmatika). Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5% rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak?
P( , , )! ! !
. . .
.
15 3 220!
15 3 27 25 05
0288
15 3 2
Distribusi Multinomial (2)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 26
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
22 1
1)(
:adalahgeometrik asprobabilit distribudi sidan varian rata-Rata gagal).dan sukses tas(probabiliparameter adalah dan , 1,2,3,... = dimana
pq
p
xpqxPqpx
Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometric mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali.
Distribusi Geometrik (1)
Fungsi distribusi probabilitas geometrik:
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 27
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Pada suatu daerah, P-Cola menguasai pangsa pasar sebesar 33.2% (bandingkan dengan pangsa pasar sebesar 40.9% oleh C-Cola). Seorang mahasiswa melakukan penelitian tentang produk cola baru dan memerlukan seseorang yang terbiasa meminum P-Cola. Responden diambil secara random dari peminum cola. Berapa probabilitas responden pertama adalah peminum P-cola, berapa probabilitas pada responden kedua, ketiga atau keempat?
PPPP
( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .
( )
( )
( )
( )
1 332 668 0 3322 332 668 0 2223 332 668 01484 332 668 0 099
1 1
2 1
3 1
4 1
Distribusi Geometrik (2)
Probabilitas lulus mata kuliah teori probabilitas adalah 95%, berapa probabilitas anda lulus tahun ini, tahun depan dan seterusnya?
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 28
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Binomial Negatif (1)
Variabel random binomial X, menyatakan:
• Jumlah sukses dari n percobaan independen Bernoulli.
• p adalah probabilitas sukses (tetap untuk setiap percobaanJika ingin diketahui:
• Pada percobaan keberapa (n) sejumlah sukses (c) dapat dicapai dalam percobaan Bernoulli.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 29
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Binomial Negatif (1)
Pertimbangkan sebuah proses inspeksi untuk menemukan produk cacat (kategori sukses dengan probabilitas 0.1). Batas sebuah penolakan sebuah lot adalah jika ditemukan 4 buah cacat (D). Ditemukan bahwa sebuah lot ditolak setelah dilakukan inspeksi pada 10 produk.
• Sebuah kemungkinan adalah DDDGGGGGGD. Dengan teori multiplikasi, probabilitas urutan tersebut adalah (0.1)4 (0.9)6.
• Karena 10 percobaan tersebut independen, tanpa memper-hatikan urutan, probabilitas diperoleh 4 cacat dari 10 percobaan adalah (0.1)4 (0.9)6.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 30
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Binomial Negatif (2)
• Karena kriteria penolakan adalah ditemukannya 4 produk cacat, maka posisi ke-n adalah pasti produk cacat. Sehingga jumlah urutan yang mungkin adalah kombinasi 3 dari 9, .
• Probabilitas diperlukan 10 percobaan untuk menghasilkan 4 sukses adalah:
Distribusi probabilitas negatif binomial:
3
9
64 9.01.0!6!3
!9
... ,2,1, dimana , )1(1
1
cccnppc
n cnc
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 31
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Binomial Negatif (3)
• Perhatikan distribusi kumulatif:
dimana ruas kanan adalah:
yang dapat diperoleh dari distribusi kumulatif binomial
r
cx
r
cn
)1( )1(1
1 xrxcnc ppx
rpp
c
n
);;1(1)1(11-c
0x
prcBppx
r xrx
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 32
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Proses & Distribusi Poisson
• Percobaan bernoulli menghasilkan variabel random X yang bernilai numerik, yaitu jumlah sukses yang terjadi.
• Jika pengamatan dilakukan pada pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati bahwa variabel random X adalah terjadinya sukses selama waktu tertentu.
• Jika perhatian ditujukan pada kejadian sukses yang muncul (lahir) pada suatu rentang yang kecil, maka terjadi sebuah proses kelahiran (birth atau arrival process) atau dikenal sebagai proses Poisson (Poisson process).
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 33
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Proses & Distribusi Poisson
Sifat-sifat Proses Poisson: Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu (atau daerah
tertentu) tidak dipengaruhi (independent) terhadap kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain.
Kemungkinan terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam interval waktu yang pendek (t mendekati nol) sebanding dengan panjang interval dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar interval tersebut.
Kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang pendek dapat diabaikan.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 34
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu. Variabel random Poisson menghitung kemunculan pada interval waktu yang kontinyu.
1,2,3,... =untuk x !
)(x
exP
x
dimana adalah rata-rata distribusi (yang juga merupakan variansi) dan e adalah bilangan logaritmik natural (e=2.71828...).
Distribusi Probabilitas Poisson (1)
Fungsi distribusi probabilitas Poisson :
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 35
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Probabilitas Poisson (2)
F u n g s i d is t r ib u s i p o is s o n d a p a t d itu r u n k a n d e n g a nm e m p e r h a t ik a n a s u m s i- a s u m s i b e r ik u t : J u m la h k e d a ta n g a n p a d a in te r v a l y a n g t id a k s a lin g tu m p a n g
t in d ih ( n o n o v e r la p p in g in te r v a l) a d a la h v a r ia b e l r a n d o min d e p e n d e n .
A d a n ila i p a r a m e te r p o s it if s e h in g g a d a la m s e b u a h in te r v a lw a k tu y a n g k e c il t a k a n d ip e r o le h :i) K e m u n g k in a n b a h w a te r j a d i te p a t s a tu k e d a ta n g a n p a d a
in te r v a l w a k tu t a d a la h ( t ) .ii) K e m u n g k in a n b a h w a te r j a d i te p a t n o l k e d a ta n g a n p a d a
in te r v a l w a k tu t a d a la h ( t 1 ) .
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 36
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Probabilitas Poisson (3)
P e r h a t i k a n p o s i s i d a n r e n t a n g w a k t u b e r i k u t :
0 t tt
U n t u k s u a t u t i t i k w a k t u t y a n g t e t a p ( fi x e d ) , k e m u n g k i n a nt e r j a d i n o l k e d a t a n g a n d i f o r m u l a s i k a n s e b a g a i b e r i k u t :
)(1)( 00 tptttp . D e n g a n m e l a k u k a n p e n y u s u n a n
k e m b a l i a k a n d i p e r o l e h )()()(
000 tp
t
tpttp
. J i k a i n t e r v a l
w a k t u s a n g a t k e c i l ( t m e n d e k a t i n o l ) , m a k a d a p a t d i g u n a k a n
d i f e r e n s i a l b e r i k u t : )()()()(
lim 0'
000
0tptp
t
tpttpt
.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 37
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Probabilitas Poisson (4)
H a l y a n g s a m a d a p a t d i l a k u k a n j i k a t e r d a p a t k e d a t a n g a n0x , s e h i n g g a d a p a t d i f o r m u l a s i k a n k e m u n g k i n a n b e r i k u t
)(1)( )( 1 tpttptttp xxx .D e n g a n m e l a k u k a n p e n y u s u n a n k e m b a l i a k a n d i p e r o l e h
).()( )()(
1 tptpt
tpttpxx
xx
J i k a i n t e r v a l w a k t u s a n g a t k e c i l ( t m e n d e k a t i n o l ) , m a k ad a p a t d i g u n a k a n d i f e r e n s i a l b e r i k u t :
)()()()()(
lim 1'
0tptptp
t
tpttpxxx
xx
t
.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 38
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Probabilitas Poisson (5)
Dari dua persamaan diferensial yang diperoleh (untuk nolkedatangan dan ada kedatangan 0x ), diperoleh solusiberikut !/)()( )( xettp tx
x . Karena titik waktu t adalah tetap
(fixed), maka dapat digunakan notasi t , sehinggadistribusi probabilitas poisson yang diperoleh adalah:
lainnya x 0
,2,1,0 ,!/)()(
xxexp x
Parameter pemusatan dan penyebaran adalah:
0 !)(
x
x
x
exXE
dan 21
2
!)(
x
exXV
x
x .
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 39
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang atau tiga orang karyawan? n = 200 ; p = 1/1000 = 0.001 ;= np = (200)(0.001) = 0.2
Pe
Pe
Pe
Pe
( ).
!
( ).
!
( ).
!
( ).
!
.
.
.
.
02
0
12
1
22
2
32
3
0 2
1 2
2 2
3 2
= 0.8187
= 0.1637
= 0.0164
= 0.0011
Distribusi Probabilitas Poisson (6)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 40
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Probabilitas Poisson (7)
R a t a - r a t a p e n g i r i m a n b a h a n b a k u k e s u a t u p a b r i k a d a l a h 1 0 t r u kd a n f a s i l i t a s b o n g k a r h a n y a m a m p u m e n e r i m a p a l i n g b a n y a k 1 5t r u k p e r h a r i . P e m a s o k m e n g i n k a n a g a r t r u k p a s o k a n n y a d a p a td i b o n g k a r p a d a h a r i y a n g s a m a . S u a t u h a r i , p e m a s o k m e n g i r i m k a ns e b u a h t r u k k e p a b r i k t e r s e b u t , b e r a p a k e m u n g k i n a n t r u k t e r s e b u th a r u s b e r m a l a m k a r e n a t i d a k d a p a t d i b o n g k a r ?X a d a l a h v a r i a b e l r a n d o m b a n y a k n y a t r u k b a h a n b a k u y a n g t i b as e t i a p h a r i . D e n g a n d i s t r i b u s i P o i s s o n , k e m u n g k i n a n s e b u a h t r u k
h a r u s b e r m a l a m a d a l a h
15
0
)10;(1)15(1)15(x
xpXPXP = 0 . 9 5 1 3
( d a r i t a b e l ) , m a k a k e m u n g k i n a n s e b u a h t r u k h a r u s b e r m a l a mk a r e n a t i d a k d a p a t d i b o n g k a r a d a l a h 1 - 0 . 9 5 1 3 = 0 . 0 4 8 7 .
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 41
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
X = jumlah karyawan yang memilih pesawat telepon tertentuPoisson Distribution mean = 0.2
X P(X = x) P(X <= x)0 0.818731 0.8187311 0.163746 0.9824772 0.016375 0.9988523 0.001092 0.9999434 0.000055 0.9999985 0.000002 16 0 1
Pesawat Telepon
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1 2 3 4 5 6 7
# jumlah karyawan yang memilih pesawat telpon tertentu
Pro
ba
bil
ity
Distribusi Probabilitas Poisson (8)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 42
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
20191817161514131211109876543210
0.15
0.10
0.05
0.00
X
P(x
)
= 10
109876543210
0.2
0.1
0.0
X
P( x
)
= 4
76543210
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
P( x
)
= 1.5
43210
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
P( x
)
= 1.0
Distribusi Probabilitas Poisson (9)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 43
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Pendekatan Binomial - Poisson (1)
P a d a d i s t r i b u s i p r o b a b i l i t a s b i n o m i a l , j i k a n s a n g a t b e s a r d a np k e c i l , m a k a p e r h i t u n g a n k e m u n g k i n a n n y a s u l i t d i l a k u k a n .
P a d a k o n d i s i t e r s e b u t , p e r h i t u n g a n n i l a i k e m u n g k i n a n u n t u kv a r i a b e l r a n d o m b i n o m i a l d a p a t d i d e k a t i d e n g a n p e r h i t u n g a n( a t a u t a b u l a s i ) p a d a d i s t r i b u s i p o i s s o n .
T e o r e m a :J i k a X a d a l a h v a r i a b e l r a n d o m b i n o m i a l d e n g a n d i s t r i b u s ik e m u n g k i n a n b ( x ; n , p ) , d a n j i k a b i l a u k u r a n s a m p e l n ,n i l a i p r o p o r s i s u k s e s 0p , d a n d i g u n a k a n p e n d e k a t a n
np , m a k a n i l a i );(),;( xppnxb .
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 44
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Pendekatan Binomial - Poisson (2)
Bu kti :F u n g si d istrib u si kem u n g k in an b in o m ia l d ap at d itu lis seb ag a i b eriku t
xnx qpx
npnxb
),;( = xnx pp
xnx
n
)1()!(!
! = xnx ppx
xnnn
)1(!
)1)...(1( .
J ika d ilaku kan tran sfo rm asi np / m aka d ip ero lehxx
nnx
xnnnpnxb
1!
)1)...(1(),;( = ,1
11...
111
n
x
n
d an d ari d efin is i b ilan g an n atu ra l e , d ip ero leh h u b u n g an b eriku t
e
nn
n
nn
/
/)(
11
11 limlim .
D en g an m em p erh atikan syarat lim it d i a tas dap at d ip ero leh
,!
),;(x
epnxb
x
d im an a x= 0, 1 , 2…, ya itu seb u ah d istrib u si po isso n
u n tu k ( ra ta - rata ju m lah su kses= rata- rata ked atan g an ) .
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 45
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Pendekatan Binomial - Poisson (3)
C o n t o hB e s a r n y a k e m u n g k i n a n d i t e m u k a n c a c a t p a d a h a s i l p e n g e l a s a n t i t i k a d a l a h0 . 0 0 1 . P a d a s e b u a h p r o d u k h a s i l r a k i t a n t e r d a p a t 4 0 0 0 t i t i k p e n g e l a s a n ,b e r a p a k e m u n g k i n a n d i t e m u k a n l e b i h d a r i 6 c a c a t p a d a s e b u a h p r o d u kh a s i l r a k i t a n ?V a r i a b e l r a n d o m X ( b i n o m i a l ) m e n y a t a k a n j u m l a h c a c a t p a d a h a s i l r a k i t a n ,m a k a k e m u n g k i n a n d i t e m u k a n l e b i h d a r i 6 c a c a t t e r s e b u t a d a l a h
6
0
4000999.0001.0
4000)6(
x
xx
xXP .
P e r h i t u n g a n i n i s u l i t d i l a k u k a n s e h i n g g a d i d e k a t i d e n g a n p e r h i t u n g a n u n t u kf u n g s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a n P o i s s o n ( d i m a n a p a r a m e t e r a d a l a h
4001.04000 ) s e b a g a i b e r i k u t 889.0!/4)6(6
0
4
x
x xeXP , m a k a
k e m u n g k i n a n d i t e m u k a n l e b i h d a r i 6 c a c a t a d a l a h 1 - 0 . 8 8 9 = 0 . 1 1 1 .
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 46
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Pendekatan Binomial - Poisson (4)
ContohSebuah proses menghasilkan barang-barang dari plastik yang sering kalimemiliki gelembung atau cacat. Diketahui bahwa rata-rata terdapat 1 dari1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih cacat.Berapa kemungkinan bahwa dari sampel acak berjumlah 8000 produk plastikakan terdapat 7 produk yang memiliki cacat gelembung?
Pada dasarnya, kasus produk plastik cacat ini mengikuti distribusi binomialdengan n=8000 dan p=0,001. Karena p sangat kecil dan mendekati nol sertan sangat besar, maka perhitungan nilai kemungkinan dapat didekati dengandistribusi Poisson dengan dimana =(8000)(0,001)=8, sehinggakemungkinan bahwa dari sampel acak berjumlah 8000 produk plastik akanterdapat 7 produk yang memiliki cacat dapat dihitung sebagai berikut
6
0
)001,0,8000;()7(x
xbXP
6
0
)8;(x
xp = 0,3134.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 47
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
Distribusi Probabilitas Uniform
D i s t r i b u s i p r o b a b i l i t a s d i s k r i t u n i f o r m b e r k a i t a n d e n g a n v a r i a b e lr a n d o m d i m a n a s e m u a n i l a i n y a m e m i l i k i k e m u n g k i n a n y a n gs a m a .D e fi n i s i
J i k a v a r i a b e l r a n d o m X m e m i l i k i n i l a i x 1 , x 2 , … , x k , d e n g a nk e m u n g k i n a n t e r j a d i y a n g s a m a m a k a d i k a t a k a n b a h w av a r i a b e l r a n d o m X m e n g i k u t i d i s t r i b u s i u n i f o r m d i s k r i td e n g a n f u n g s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a n s e b a g a i b e r i k u t
kkxf
1);( , d i m a n a x = x 1 , x 2 , … , x k
P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a i b e r i k u t :
kxXE
k
ii
1)(
1
d a n k
x
kx
kxXV
k
iik
ii
k
ii
1
22
11
22
)(11
)(
.