Upload
others
View
11
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SubstitutionsTimo Jolivet
Équipe Automates et Applications
Doctorant sous la direction de Valérie Berthéet Jarkko Kari (Université de Turku, Finlande)
Journée de rentrée du LIAFA6 octobre 2011, Paris
1. Substitutions sur desmots
1 7→ 122 7→ 1
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 12
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 121
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 12112
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 12112121
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb a
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 10
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 10010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 10010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
x
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyzxxyzyzxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1234
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1213141
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1213121412112
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1213121412131211213121213
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1213121412131211213121412131212131214121312131214
1 7→ 122 7→ 1 1211212112112121121211211212112112121121211211212112121
a 7→ aabbb 7→ aabb aabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabbaabb
0 7→ 101 7→ 01 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
x 7→ xxyzy 7→ yzz 7→ xyz
xxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyzyzxyzxxyzyzxyzxxyzxxyzyzxyz
1 7→ 122 7→ 133 7→ 144 7→ 1
1213121412131211213121412131212131214121312112131214121312131214121312112131214121312141213121
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Substitutions, dynamique, fractals
σ :
1 7→ 122 7→ 133 7→ 1
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 2
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 21
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 213
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 2131
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 21312
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 213121
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 2131212
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 21312121
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 213121211
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 2131212112
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 213121211212131
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 21312121121213121213
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : 2131212112121312121312121
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : · · · 2131212112121312121312121· · · ∈ Sσ ⊆ {1, 2, 3}Z
Dynamique de l’échange de morceaux1 7→ 12, 2 7→ 1312, 3 7→ 112
Orbite : · · · 2131212112121312121312121· · · ∈ Sσ ⊆ {1, 2, 3}Z
(Sσ , décalage d’une lettre
)�
(, échange de morceaux
)
2. Substitutions 2D
1 7→ 1 22 1
2 7→ 2 11 2
1 7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1
7→
1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2
7→
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
1 7→ 1 22 1
2 7→ 2 11 2
1
7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1
7→
1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2
7→
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
1 7→ 1 22 1
2 7→ 2 11 2
1 7→ 1 22 1
7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1
7→
1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2
7→
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
1 7→ 1 22 1
2 7→ 2 11 2
1 7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1
7→
1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2
7→
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
1 7→ 1 22 1
2 7→ 2 11 2
1 7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1
7→
1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2
7→
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
1 7→ 1 22 1
2 7→ 2 11 2
1 7→ 1 22 1 7→1 2 2 12 1 1 22 1 1 21 2 2 1
7→
1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2
7→
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
7→
7→
7→
7→
7→
7→
7→
7→
7→
7→
7→
7→
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1
7→ 12
13 7→
12
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13
7→12
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13
7→12
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
112
3
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
112
3
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
112
3
12
13
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
112
3
12
13
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
112
3
12
13
12
3
7→12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
1 7→ 12
13 2 7→ 1
2 3 7→ 12
3
Comment “concaténer” ? !
12 7→ 1
23
1
12
3 1 7→ 12
3
112
3 11 7→
12
13
112
3
2 1 7→ 12
12
13 3
1 7→12
3
12
31
1 7→ 12
13 7→
12
112
3
12
13
12
37→
12
131
2
1312
3
12
3
12
31
12
3
12
31
12
12
12
3 12
1
121
12
3
Mais. . .
Qu’est-ce qui garantit que :I les images ne se chevauchent pas ?I la substitution est bien définie (une seule image possible) ?
Réponse : rien (dans le cas général).
Ces deux propriétés sont en fait indécidables !
Mais. . .
Qu’est-ce qui garantit que :I les images ne se chevauchent pas ?I la substitution est bien définie (une seule image possible) ?
Réponse : rien (dans le cas général).
Ces deux propriétés sont en fait indécidables !
Mais. . .
Qu’est-ce qui garantit que :I les images ne se chevauchent pas ?I la substitution est bien définie (une seule image possible) ?
Réponse : rien (dans le cas général).
Ces deux propriétés sont en fait indécidables !
21 3
321 3
31 31 32
1 32
1 3 32
1 3
1 32
31 32
21 31 3
3
1 3 32
1 3 31 3
2
1 31 32
1 33
2
21 3 31 3
21 32
1 3 31 3
1 32
331 3
1 3
21 32
1 31 3
1 32
32 1 3 3
2
1 31 3 3
21 31 3
3
1 32 2
1 32 33
21 3
1 32
1 3
321 3
1 331 3
2 1 32
1 3 321 3 3
2
1 3
1 32
1 3
1 331 3
2 1 3 32
1 32
1 31 32 1 3 3
21 32
321 3 31 3
31 32 1 3
1 32 1 3
1 31 3 3
2
2 1 3 32
1 32
23
321 31 3
31 31 3
1 32
21 3
1 31 3 31 3
231 3
2 1 3 32
1 31 3 3
1 31 3 3
2
2 1 32
321 32
1 31 3
31 32
21 31 3
1 3 3
31 31 32
1 321 3
1 32
1 33
1 31 32
2 1 3 32
32
32
1 3
31 321 31 3
31 31 3
2 1 32 2
1 32
1 31 3
23
3
21 3
1 32 1 3
231 3
1 32
2 1 32
3
1 3321 3
321 3 3
1 31 31 3
231 3
2 1 3 32
31 3
1 31 32
31 3
1 32
1 31 32
31 31 32
1 31 3 32
1 331 3
1 32
1 3
2
1 3 32
2 1 3 32
1 32
3
1 31 32 1 3
1 3 31 3
1 3 31 31 32 1 3
2
31 32
21 31 32
1 321 3
1 32
1 32 1 3 3
21 32
3
23
2
3321 3 31 3
1 331 32
221 3 3
1 31 31 3
23
3
1 32
1 3
1 31 3231 3
1 321 3
1 32
1 33
2 1 31 3
1 32
2 1 3 32
321 3 3
21 3
1 32 1 3
23
321 3 31 3
1 33
2
1 3
21 3
1 32 1 3 3
2
321 3 3
21 3
31 31 32
31 32 1 3
2 1 321 3
1 321 32
1 31 3
31 31 32 1 3 3
1 31 3 3
1 31 3 3231 3
2 1 3 32
1 3
2
321 31 3
3
1 32
2
21 3 3
1 31 3 3
1 31 3 3
21 3 32
1 31 32
31 31 3
1 31 3
31 31 32
1 31 31 3
1 32
1 31 323
1 33
33
1 3
331 321 3
2
1 3
2
1 31 32 1 3
1 322
32
22
31 32
21 3
1 3231 32
1 3 32
1 32 1 3
1 31 32
32
2 1 32
3
32
1 3
1 32
1 31 32 1 3
1 3 31 3231 3
231 3
1 32
2 1 32
31 32
2
1 32 1 3 3
2
321 31 3
1 331 3
1 3
1 3
32
3
1 32
1 31 3231 3
1 331 3
2 1 3 31 32
1 3 31 31 323
1 31 32 1 3
23
321 31 3
31 3
3
231 3
1 31 32 1 3 3
2
32
1 32
21 32
1 3 32 1 3
1 321 3
32
1 31 3
31 323
1 3231 3
1 31 32 1 3
231 3
2
322
1 31 32
1 331 3
21 32
1 3
21 3
21 3
1 31 3
2 1 32 1 3
1 32 1 3
21 3
32 1 3
1 31 3
31 321 31 3
3
1 31 3
32
3
31 3
2
2 1 32
32
2
321 3 3
21 3
1 31 32
1 31 32 1 3
2 1 31 32 1 3
231 3
1 31 3 3
2
21 32
21 32
1 32
3
1 31 3
1 31 3
23
3
32 1 3
23
1 33
3
321 31 3
1 331 3
1 3
21 32
3
31 32 1 3
23
1 3231 3
231 3
1 321 3 3
1 31 3
1 32 2 1 3
1 3 321 3
2231 3
2 1 3 32
1 32
1 321 3
1 3 31 31 32 1 3 3
1 3 3
21 31 3
31 31 3
1 321 3 31 3
31 321 3
1 32 1 3
21 3
1 32
31 3
1 3 31 3
23
1 3
23 2
32
2
21 32
À table !