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Tipos de Funciones.
Función ContinuaEs aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión.
Función DiscontinuaEs aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica.
Función PeriódicaEs aquella en la que su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período.
La función es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y.
Ej.:
La función es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y.
Ej.:
Crecimiento
Función parEl término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una función es una función par si para x se cumple la relación:.
Es decir es una función cuadrática o polinomica de grado par incompleta que solo tiene c , un ejemplo de estas es:
Simétricas con respecto al eje Y.
)()( xfxf
1)( 2 xxf
Función ImparEs una función donde se cumple que:
Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.
En la que para todo x perteneciente al Dominio de D
nxxf n 12)(
)()( xfxf
Clases de funciones.
Trigonométricas
Por Partes o a Trozos
Valor Absoluto
Exponencial
Logarítmica
Racional
Polinómica
Función Cuadrática.
Función Cubica.
Función de Grado par.
Función de Grado impar.
Función lineal.
Función Polinomica.
Constante.
F u n c i o n e s P o l i n ó m i c a s
Son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos.
Según el grado del polinomio las funciones Polinómicas pueden clasificarse en:
Grado Nombre Expresión
0 función constante y = a
1 función linealy = ax + b es un binomio del primer grado
2 función cuadráticay = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado
3 función cúbicaY=ax3+bx2+cx+d
Dominio= Conjunto de Salida= IRConjunto de llegada=IR
FUNCIONES DE GRADO PARSon funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número par. Está dada por la ecuación:
Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada=IR Rango =(depende de los máximos y mínimos que tenga la función)Ejemplo :
Función cuadráticaPunto de corte con y= -1Puntos de corte con x={1,-1}Vértice= (0,-1)Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IR Rango=(-1, ∞ )F(x) ≥0 en x ( - ∞.-1) U (1, ∞)F(x) ≤0 en x (-1,1)
edxcxbxaxxf nnn ...)( 22122
1)( 2 xxf
FUNCIONES DE GRADO IMPARSon funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número impar . Está dada por la ecuación:
Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR excepto en la lineal constante.
Ejemplo :
Función cúbicaPunto de corte con y= 1Punto de corte con x=-0.7Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IR= RangoF(x) ≥0 en x ( -0.7, ∞) F(x) ≤ 0 en x (- ∞,-0.7)
cdxcxbxaxxf nnn ...)( 2)12(1)12()12(
1)( 3 xxxf
Lineal.
Afín.
Idéntica.
Generalidades.
Conclusiones.
Función lineal.
x-y son variables m se denomina pendiente e indica el grado de inclinación de la
recta.m se halla a través de la expresión:
Generalidades
CABE ANOTAR QUE : si m > o: la función es creciente si m < 0:la función es decreciente si m = 0 : la función es constanteLa Función lineal es una función polinómica
Indica el punto de corte con y Y por tanto el desplazamiento vertical.
Dominio= Conjunto de Salida= R Rango= R (a excepción de la constante).Conjunto de llegada=R
12
12
xx
yym
nmxxf )(
Lineal.
La función lineal esta definida por la ecuación:
En esta función el punto de corte con x y con y se da en la coordenada (0,0).
Dominio=Conjunto de salida= IRRango=Conjunto de llegada= IR
mxxf )(
Afín.La función Afín es un tipo de función lineal que tiene un desplazamiento vertical, esta dada por la ecuación: EJEMPLO:
y=2x+3
Dominio= Conjunto de Salida= R Rango=Conjunto de llegada=R Punto de corte con y=n
PUNTO DE CORTE CON Y=3
nmxxf )(
Constante.La función constante es un tipo de función lineal, en la que los elementos del dominio se relacionan con un único elemento del conjunto de llegada. La podemos representar como una función matemática de la forma:
donde a pertenece a los números reales.
Ejemplo:Y= 3• Dominio=Conjunto de Salida= IR
• Conjunto de llegada= IR• Rango= {a}• Punto de corte con Y= a.
axf )(
Idéntica.La función idéntica es una clase de función lineal donde a cada número del eje y le corresponde el mismo número en el eje x, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas .
Esta dada por la ecuación:
Rango = Conjunto de llegada = IR Dominio= Conjunto de salida=IR
EJEMPLOS:
xxf )(
La principal diferencia entre función lineal y función lineal Afín es que la primera no tiene desplazamiento mientras que la otra sí.
La principal diferencia entre la función lineal y la función constante es que esta última cumple la condición de que para todo elemento del dominio la imagen es la misma.
La principal diferencia entre la función lineal y la función lineal idéntica es que en esta última la pendiente siempre es igual a 1 y en la otra puede variar.
Conclusiones.
Función Cuadrática.Es un tipo de función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado y se expresa como:
Es una de las funciones mas estudiadas en los diferentes campos, debido a sus propiedades simétricas y a su presencia en la naturaleza. La grafica que forma se le da el nombre de parábola y en ella hay un eje de simetría y un mínimo o máximo relativo lo que indica la parte mas baja o alta a la que llega la parábola respectivamente.
El rango es desde( –∞, hasta el máximo relativo) o desde
(mínimo relativo, ∞).
Para hallar: el mínimo y máximo relativo, el vértice y el eje de simetría se usa la ecuación:
Mínimo relativo.
Máximo relativo.cbxaxxf 2)(
a
bx
2
El punto de corte con y es c, mientras que los puntos de corte con x o también llamados raíces se deben hallar factorizando ya sea por los diferentes métodos o usando la siguiente formula general:
a
acbbx
2
42
Es importante recordar que la parábola, formada por la función cuadrática, tiene un eje de simetría, es decir que si se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado.
a
acbbx
2
42
Función Cúbica.Es una función polinómica de grado 3,que está dada por la forma:
Conjunto de salida= IR=DominioConjunto de llegada=IR=Rango Función Creciente f(-x)<f(x)
Función decreciente
f(-x)>f(x)
dcxbxaxy 23
Ejemplo:
Conjunto de salida=Dominio= IRConjunto de llegada=Rango= IRPunto de corte con x= 0.3Punto de corte con y= -1F(x) > 0 en x (0.3, infinito)∈F(x) < 0 en x (0.3,-infinito)∈
1343 23 xxxy
FUNCIÓN POR TROZOSSon funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren
Por ejemplo: f(x)= { Si x<22x
Si x>24
El dominio, el conjunto de salida, el rango, y el conjunto de llegada dependen de los intervalos en que esté definida la función.
Las funciones por trozos se dividen en:Función mantisa
Función signo
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango 1= [0, ∞); Rango 2= 4Conjunto de llegada= IRTiene : de (-∞,0) – decreciente de (0, 2) – creciente de (2, ∞) – constante
Función mantisaFunción que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera
)()( xExxf E(x) representa la parte dentera de x
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= [0, 1)Conjunto de llegada= IR
Para todas las funciones matices, centradas en el origen
Ejemplo
Desplazamiento horizontal
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango = [ 0, 1)Conjunto de llegada= IR
Gráfica
0.5) +E(x - 0.5 + x = f(x)
Para desplazar horizontalmente, se necesita sumar o restar, a cada una de las “x”
Se desplazó a la izquierda 0.5
Desplazamiento vertical
f(x) = (x + 1) - E(x)
f(x) = x - E(x) + 1
f(x) = x - E(x + 1)
}Desplazamiento
vertical hacia arriba
Desplazamiento vertical hacia
abajo
}
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango = [ 1, 2)Conjunto de llegada= IR
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango = [ -1, 0)Conjunto de llegada= IR
f(x) = (x – 1) - E(x)
} Desplazamiento vertical hacia
arriba
Desplazamiento vertical hacia
abajo}
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (1, 2)Conjunto de llegada= IR
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango = [ -1, 0)Conjunto de llegada= IR
f(x) = x - E(x) - 1
f(x) = x - E(x - 1)
Función signoEstá dada por la ecuación:
sgn(x) f(x)
f(x)=
Si x<0
1
0
1Si x=0
Si x>0{Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= {-1; 0; 1)Conjunto de llegada= IR
Para todas las funciones signo, centradas en el origen
Para entender mejor, los intervalos en x serían: (-∞,0), (0,∞)
Ejemplo
Desplazamiento horizontal
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, 1)Conjunto de llegada= IR
Gráfica
1) -sgn(x f(x)
Desplazamiento vertical
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (2, 4)Conjunto de llegada= IR
3 + sgn(x) = f(x)
f(x)=
Si x<1
1
0
1Si x=1
Si x>1{
f(x)=
Si x<0
4
3
2
Si x=0
Si x>0{
Función Racional
)(
)(
XQ
XPy
Una función racional tiene la forma:
Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) Y Q(x) no tienen factor en común. Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus graficas se ven bastante diferentes de las graficas de funciones polinomiales.
El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0. Al graficar una función racional, se debe poner atención especial al comportamiento de la grafica cerca de esos valores, debido a que poseen asintotas.
Ejemplo Gráfico.
En términos informales, una asíntota de una función es una línea a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea.
La recta donde a es un cero del denominador es una asíntota vertical de la función y=f(x) si y tiende a mas o menos infinito cuando x tiene a a por la derecha o por la izquierda. Una función racional tiene asíntotas verticales donde la función no esta definida, es decir donde el denominador es cero.
ax
La recta es una asíntota horizontal de la función y= f(x) si y se aproxima a b cuando x se aproxima a mas menos infinito.
by
3
2
x
y
Asíntota vertical x=3
Asíntota horizontal y=0
Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.
Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota
horizontal.Para m > n, no hay asíntotas horizontales
Para entender mejor como hallar las asíntotas es importante volver a plantear la ecuación general:
)(
)(
XQ
XPy
xy
1
xy
1
Se utiliza para graficar funciones racionales de la forma:
dcx
baxy
Se utiliza debido a la capacidad de desplazar, alargar o reflejar.
Transformaciones de
Ejemplo: Grafique la función racional:
2
4722
2
xx
xxy
Solución: Se factoriza el numerador y el denominador, se determinan las intersecciones y asíntotas y se bosqueja la grafica.
Factorizar: )2)(1(
)4)(12(
xx
xxy
Intersecciones con el eje x: Las intersecciones x son los ceros del numerador, para este caso x=1/2 y x=-4.
Intersecciones con el eje y: Para hallar la intersección y, se sustituye x= 0 en la forma original de la función. Para este caso daría que la intersección y= 2
Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. De la forma factorizada se puede observar que las asíntotas verticales son las rectas x=1 y x= -2.
Comportamiento de las asíntotas verticales: Específicamente es para saber si es + o -, por tanto se usa el proceso del cementerio.
2 2 1 1
)2)(1(
)4)(12(
xx
xxy ))((
))((
-
))((
))((
+
))((
))((
-
))((
))((
+Asíntota horizontal: Los grados del numerador y el denominador son los mismos y
Coeficiente principal del numerador
Coeficiente principal del denominador
2/1= 2 así la asíntota horizontal es la recta y=2
Por ultimo se grafica.
Asíntota inclinada y comportamiento extremo.
Si es una función racional en la que el grado del numerador
es uno mas que el grado del denominador, se puede usar el algoritmo de la división para expresar la función en la forma
)(xry )(
)(
xQ
xPy
)(
)(
xQ
xRbaxy
Donde el grado de R es menor que el grado de Q y a es diferente de 0. Esto significa que cuando x tiende a infinito, R(x)/Q(x) tiende a 0, por lo tanto los valores grandes de lxl, la grafica de y= r(x) se aproxima a la grafica de la recta y= ax+b. En esta situación se dice que y= ax+b es una asíntota inclinada o una asíntota oblicua.
Aplicaciones.Las funciones racionales ocurren con frecuencia en aplicaciones científicas de algebra, los ejemplos mas comunes son las teorías de electricidad. (resistencia eléctrica)
Función valor absolutoLa función del valor absoluto, Esta dada por la ecuación:
• en clase estudiaremos la forma
Es una función en forma de V Debido a que al obtener el Valor absoluto de cualquier numero, este da positivo. Por ello hay varias propiedades.1) IaI 02) IabI= IaIIbI3) Ia+bI IaI+IbI
Así por ejemplo: I2I = I-2I = 2 I2x3I = I2II3I = 6 I(-2)+3I=1 I-2I+I3I =5
Para todas las funciones de valor absoluto, el conjunto de salida y el Dominio son reales (IR)
Al igual que estos, el conjunto de llegada también son los reales.
El rango varia, dependiendo hacia donde se desprende. Este, puede ser desde el mínimo hasta infinito, o desde el máximo hasta menos infinito.
cxfy )(
cbaxy
Si f(x) = IxIx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
F(x) > 0 en X Є IRDominio = conjunto de salida= IRConjunto de llegada = IRRango= [ 0 , oo )
Si f(x) = IxI + 10x 1 2 3 4 5 …y 11 12 13 14 15…
F(x) > 0 en X Є IR
Dominio = conjunto de salida= IRConjunto de llegada = IRRango= [ 10 , oo )
Es una función (donde c = 0)
Si f(x) = IxIx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
F(x) > 0 en X Є IRDominio = conjunto de salida= IRConjunto de llegada = IRRango= [ 0 , oo )
Es una función (donde c = 0)
x 1 2 3 4 5 6 …y 1 2 3 4 5 6 …
xy
10 xy
2 xy
La función exponencial es una de las mas importantes en matemáticas, esta función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento poblacional y el decaimiento radioactivo.
La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:
xaxf )(
Donde a ≠ 0 y a≠1.
f(x)=ax Para a>1 f(x)=-ax Para a>1
reflexión de la gráfica
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, ∞) = IR+
Conjunto de llegada= IRAsíntota en y=0Punto de corte con y en y = 1Función crecienteAsíntota horizontal
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (-∞, 0) = IR-
Conjunto de llegada= IRAsíntota en y=0Punto de corte con y en y =- 1Función decrecienteAsíntota horizontal
xy 2xy 2
f(x)=ax Para 0<a<1f(x)=-axPara 0<a<1
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, ∞) = IR+
Conjunto de llegada= IRAsíntota en y=0 función decreciente
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0,- ∞) = IR-
Conjunto de llegada= IRAsíntota en y=0 función creciente
xy 5.0 xy 5.0
Desplazamientos vertical y horizontalA la función se le suma o resta un valor c para el desplazamiento vertical
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (1, ∞)Conjunto de llegada= IR
Ej.:
Asíntota en y=1Función crecientePunto de corte con y en y=2Punto de corte con x= no existe
cay x
12 xy
A la función se le suma o resta un valor b para el desplazamiento horizontal
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, ∞)Conjunto de llegada= IR
Asíntota en y=0Función crecientePunto de corte con y en y=4Punto de corte con x= no existe
A continuación se puede ver como varían las funciones de acuerdo a su base a
f(x) = 2^x
f(x) = (1 / 4)^xf(x) = 4^x
g_1(x) = (1 / 2)^x
f(x) = 6^x f(x) = (1 / 6)^x
f(x) = 8^x f(x) = (1 / 8)^x
f(x) = (1 / 10)^xf(x) = 10^x
Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, ∞)Conjunto de llegada= IR
Asíntota en y=0Punto de corte con y en y=1Punto de corte con x= no existe
Para todas estas:
bxay
22 xy
La función exponencial natural es la función exponencial:
Xexf )(
xy 2
Es decir con base e=2.718
Puesto que 2<e<3, la grafica de la función exponencial natural esta entre las graficas:
xy 3
Toda función exponencial, con a>0 y a≠1, es una función uno a uno por la prueba de la recta horizontal, y por lo tanto tiene una función inversa. Tal función inversa se llama función logarítmica.
Sea a un numero con a≠1. La función logarítmica con base a, denotada por loga, se define:
Logax=y , entonces xa y Así Logax es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.
Propiedad Razón.
1. Loga1=0 Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.
2. Logaa Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.
Propiedades de los logaritmos.
3. Se debe elevar a a la potencia x para obtener xa4. Logax es la potencia a la cual se debe elevara para obtener x.
Funciones logarítmicas
El Logaritmo con base 10 se llama logaritmo común y se denota omitiendo la base: Log x
El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln: ln x
Para algunos propósitos, se encuentra útil cambiar los logaritmos de una base a logaritmos de otra base para lo que se utiliza la siguiente formula:
Logaritmos comunes
Logaritmo natural
Fórmula de cambio de base
Leyes de los logaritmos1. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números.
2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números
3. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero.
BAAB loglog)log(
BAB
Aloglog)log(
AnAn loglog
n
AAn
loglog
xxf log)(
Conjunto de salida=Dominio=IR+Conjunto de llegada=IR= RangoAsíntota en x=0Función crecienteAsíntota vertical
Para un desplazamiento vertical:
nxxf log)(
Para un desplazamiento horizontal:
)log()( nxxf 3log)( xxf
)3log()( xxf
Conjunto de salida= IRDominio= IR+Conjunto de llegada=Rango=RealesCrecienteAsíntota en x=0Asíntota vertical
Conjunto de salida= IRDominio= (-3 , ∞)Conjunto de llegada=Rango=RealesCrecienteAsíntota en x=-3Asíntota vertical
Referencias de consultahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080913105146AA0LLFkhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rangohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectivahttp://www.amschool.edu.sv/paes/f10.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectivahttp://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/inyectivo-sobreyectivo-biyectivo.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_parhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_imparhttp://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionpar.htmhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3micahttp://www.hiru.com/es/matematika/matematika_03300.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttp://www.x.edu.uy/lineal.htmhttp://www.mitecnologico.com/Main/Funcioneshttp://analisismatematico.wordpress.com/2008/05/21/funcion-constante/http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_gradoLibro Precalculo, James Stewart, Sección de funciones( como representar).
