a)reflexivas y b)irreflexivasUna relación R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) £ R para todas las a £ A, esto es, si a R e para todas las a e A. Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a £ A.Por consiguiente, R es reflexiva si cada elemento a e A está relacionado consigo mismo y es irreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo mismo.Ejemplo 1(a) Sea Δ = [(a, a)\ a £ A], de modo que A es la relaciσn de igualdad en el conjunto A. Entonces A es reflexiva, ya que (a, a) £ Δ para todas las a e A.(b) Sea R = {(a, b) e A x A | a + b}, R es la relación de desigualdad en el conjunto A. Entonces R es irreflexible, ya que (a, a) £ R para todas las x € A.(c) Sean A = {1, 2, 3}. y Jí = {(1, 1), (1, 2)}. Entonces A es reflexiva ya(2,2) R y (.3,3) € R. Por otra parte, R no es irreflexiva, ya que (1, l) € R.(d) Sea A un conjunto no vacio. Sea R = Ǿ A x A, la relación vacía. Enlaces R no es reflexiva, ya que (a, a) € R para todas las a € A (el conjunto vacío tiene elementos). Sin embargo, R es irreflexiva. ^Es posible caracterizar una relación reflexiva o irreflexiva por su matriz con sigue. La matriz de una relación reflexiva deberá tener unos en toda su diagon principal; en cambio, la matriz de una relación irreflexible deberá tener ceros.De igual manera, es posible caracterizar una relación reflexiva o irreflexiva por su grafo dirigido como sigue. Una relación reflexiva tiene un ciclo de longitud 1. Que cada vértice; en cambio, una relación irreflexiva no tendrá ciclos de longitud 1. De manera útil de decir lo mismo es usar la relación de igualdad Δ en un conjunto A es reflexiva si y sσlo si Δ € R, y es irreflexible si y sσlo si A ∩ R = 0.Finalmente, se deberá observar que, si R es reflexible en un conjunto A, entonces Dom(R) = Ran(.R) = A. Relaciones c)simétricas, d)asimétricas y e)antisimétricasUna relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b, entonces b R a. De esto se sigue que R no es simétrica se tiene a y b € A con a R b, pero b R a. Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.Una relación R en un conjunto A es antisimétrica si cuando a R b y b R a, entonces a = b. Otra forma de expresar esta definición es diciendo que R es antisimétrica si cuando a ≠ b, se tiene a R b o b R a. De esto se sigue que R no es antisimétrica si se tiene a y b en A. a ≠ b, y ambas a R b y b R a. Dada una relación R, sé desea determinar qué propiedades se cumplen para R Se tendrá presente la siguiente observación. Una propiedad no se cumple en general si se encuentra una situación en donde la propiedad no se cumpla. Si no hay situación alguna en la que la propiedad no se cumpla, se deberá concluir que la propiedad se cumple siempre. Ejemplo sea A = Z, el conjunto de los enteros y seaR=[(a,b)€ A xA | a < b}ya que R es la relación menor que. ¿Es R simétrica, asimétrica o antisimétrica?Solución.simetría. Si a <b, entonces no es verdadero que b < a, por lo cual no es simétrica.Asimetría. Si a < b, entonces b < a (b no es menor que a), por lo cual R es asimétrica.Antisimetría. Si a ≠ b, entonces a < b o b < a, por lo cual R es antismétrica.Ejemplo 3 Sea A el conjunto de las personas y sea R = {(x, y) e A x A | x es primo de: y}Entonces R es una relación simétricaEjemplo 4 Sea A = {1,2,3,4} y seaR» {(1,2). (2, 2), (3,4), (4,1)}Entonces R no es simétrica, ya que(l, 2) e R pero (2, 1) ^ R. Por otra parte, R no es asimétrica, ya que (2, 2) € R. Finalmente R es antisimétrica ya que, si a≠b, (a, b) no € R o (b, a) no € REjemplo 5 Sea A = Z+, el conjunto de los enteros positivos y seaR={(a, b) €A x A |a divide b}¿Es R simétrica, asimétrica o antisimétrica?Solución.Si a | b, no se sigue que b \ a, por lo cual R no es simétrica.Si a = b = 3, por ejemplo, entonces a R b y b R a, por lo cual R no es asimétrica.Si a | b y b | a, entonces a = b, por lo cual R es antisimétrica.Es posible caracterizar las propiedades de simetría, asimetría o antisimetría de una relación por las propiedades de su matriz. La matriz m¿{ = [my] de una relación simétrica satisface la propiedad de quesi mij = 1, entonces mji = 1Además, si mji == 0, entonces mij = 0. Por consiguiente, MR es una matriz tal que todo par de componentes, colocados simétricamente alrededor de la diagonal principal es un par de ceros o de unos. Se sigue que MR = MTR, por lo que MR es una matriz simétrica.La matriz MR = [mij] de una relación asimétrica R satisface la propiedad quesi mij == 1, entonces mji = 0.Si R es asimétrica, se sigue que mu =s 0 para todas las i; esto es, la diagonal principal de la matriz MR contiene sólo ceros. Esto tíene que ser verdadero pues la propiedad asimetría implica que, si m,, = 1, entonces m¡¡ = O, lo que es una contradicción. Finalmente, la matriz MR = [miJ]de una relación antisimétrica R satisface propiedad que si i ≠ j, entonces miJ = 0 o miJ = 0. |

Ejemplo 6Examine las matrices en la figura 1, donde cada una es la matriz de una relación como esté indicado. Las relaciones R1 y R2 son simétricas ya que sus matrices Mr1 Y mr2 son matrices simétricas. La relación R3 es antisimétrica, pues no hay posiciones simétricas dispuestas, fuera de la diagonal de mr3 que contengan un uno. Estas posiciones pudiera tener ceros, y en la diagonal los elementos son irrestrictos. La relación R3 no es asimétrica porque MR3 tiene unos en la diagonal. La relación R4 no tiene ninguna de las tres propiedades; Mr4 no es simétrica La presencia del uno en la posición 4, 1 de Mr4 viola las dos propiedades de asimetría y antisimetria. Finalmente, R3 es antisimétrica pero no asimétrica, y R6 es a la vez asimétrica y antisimétrica.1 1 1 0 1 1 00 0 1 = MR11 1 0 0 = MR21 1 1 (a) 1 0 1 1 (b)0 0 1 11 1 1 0 0 1 10 1 0 = MR3 0 0 1 0 = Mr40 0 0 (c) 0 0 0 1 (d)1 0 0 01 0 0 1 0 1 1 1 = MR5 0 1 1 10 0 1 0 0 0 1 0 = MR60 0 0 1 (e) 0 0 0 1 (f)0 0 0 0 Figura 1Ahora se explicarán los grafos dirigidos de estos tres tipos de relaciones. Si R es una relación asimétrica, entonces el grafo dirigido no puede tener simultanéame una arista del vértice i al vértice j y una arista del vértice j al vértice i. Esto es verdadero para cualquier i y j y en particular si i = j, por lo cual no puede haber ciclos de longitud 1. Si R es una relación antisimétrica, entonces para vértices i yj distintos no puede haber una arista del vértice i al vértice j y una arista del vértice j al vértice i. Cuando i = j, no se impone condición alguna, por lo cual podrán existir ciclos de longitud Se examinará el grafo dirigido de las relaciones simétricas con mayor detalle El grafo dirigido de una relación simétrica R tiene la propiedad de que, si existe una arista del vértice j al vértice i, entonces existe una arista del vértice j al vértice i. Por consiguiente, si dos vértices están conectados por una arista, deberán siemípre estar conectados en ambas direcciones. Por esto, es posible y muy útil dar una representación diferente de una relación simétrica. Se mantienen los vértices como aparecen en un grafo dirigido, pero si los vértices a y b están conectados por aristas en cada dirección, se remplazarán éstas con una sola arista no dirigida. Esta arista no dirigida es sólo una línea sin las flechas y conecta a y b. Al diagrama resultante se llamará grafo de la relación simétrica. Ejemplo 7 Sea A «= [a, b, c, d, e} y sea R la relación simétrica dada por R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (e, a), (a, e), (c, a), (a,c)}El grafo dirigido de R se muestra en la figura 2(a), mientras que en la figura

Grafo dirigido de R Grafo dirigido de RAparece el grado de R. Obsérvese que cada arista no dirigida corresponde a dos pares ordenados en la relación R.Una arista no dirigida entre a y b, en el grafo de la relación simétrica R, corresponde al conjunto {a, b} tal que (a, b) € R y (b, a) € R. Algunas veces también se referirá a este conjunto {a, b} como una arista no dirigida de la relación R.A una relación simétrica R en un conjunto A se le llamará conexa si existe una trayectoria de cualquier elemento de A a cualquier otro elemento de A. Esto signifíca sencillamente que el grafo de R está todo en una pieza. En la figura 3 se muestran los grafos de dos relaciones simétricas. El grafo de la figura 3(a) está conectado mientras que el de la figura 3(b) no lo está.

(a) (b)f) Relaciones transitivasSe dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si cuando a R b y b R e, entonces a R c. Se sigue que R no es transitiva si y sólo si se puede encontrar elemento a, b y c en A tal que a R b y b R c, pero a R c.Ejemplo 8 Sea A = Z el conjunto de los enteros y sea R la relación considerada en el ejemplo 2 Para ver si R es transitiva, se supone que a R b y b R c. Por consiguiente, a < b; b < c. Entonces se sigue que a < c, por lo cual a R c. De aquí que R sea transitivaEjemplo 9 Sea A = Z+ y sea R la relación considerada en el ejemplo 5. ¿Es R transitiva?Solución. Supóngase que a R b y b R c, ya que a \ b y b \ c, entonces se sigue que a|c. [Véase la sección 1.7, teorema 2, parte (c)]. Por consiguiente, R es transitiva.Ejemplo 10 Sea A ={l,2, 3,4} y seaR ={(1,2), (I, 3), (4, 2)}¿Es R transitiva?Solución. Ya que no es posible encontrar elementos a. b y c en A tal que a R b y b R c, se concluye que R es transitiva.Es posible caracterizar la relación transitiva por su matriz MR = [mij] así:si mij =1 y mjk = 1, entonces mik = 1Para ver qué significa transitividad en términos del grafo dirigido de una relación, se traducirá esta definición a términos geométricos.Si se examinan los vértices particulares a y c, las condiciones a R b y b R cocurrirán si y sólo si existe una trayectoria de longitud 2 de a a c, esto es, si y sólo si a R2 c. Es posible replantear la definición de transitividad como sigue: Si a R2 c, entonces a R c, esto es, R2 £ R (como un subconjunto de A x A).Es posible generalizar un poco esta característica geométrica de la transitividad en los términos siguientes: Teorema 1 Una relación R en un conjunto A es transitiva si y sólo si satisface las siguientes propiedades: Si existe una trayectoria de longitud mayor que 1 del vértice a al vértice b, hay una trayectoria de extensión 1 de a a b (esto es, a está relacionada con b). Establecido algebraicamente, R es transitiva si y sólo si Rn £ R para todas las n ≥ 1.g) Relaciones EquivalentesA una relación R sobre un conjunto A se le llama relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.Ejemplo 11 Sea A el con junto de todos los triángulos en un plano y sea R la relación en A definida como sigue:R = {(a, b) € A x A | a es congruente con b}Es fácil ver que R es una relación de equivalencia.Ejemplo 12 Sea A = {1,2, 3,4} y seaR = {(1, 1). (1. 2), (2, 1), (2.'2), (3, 4), (4, 3), (3. 3). (4, 4)}Es fácil de verificar que R es una relación de equivalencia.R={(a,b) € A x A | a≤b}¿Es R una relación de equivalencia?Solución. Ya que a ≤ a, R es reflexiva. Si a ≤ b, no necesariamente se sigue que b ≥ a, por lo cual R no es simétrica. A propósito, R es transitiva, ya que a ≤ b y implica que a ≤ c . Se ve que R no es una relación de equivalencia. Ejemplo 14 Sea A = Z y seaR = {(a, b) e A x A |2 divide a - b}Se escribirá a R b comoa ≡ b (mod 2) „y se leerá "a es congruente con b módulo 2". Demuestre que la congruencia modulo 2 es una relación de equivalencia.Solución. Primero,a≡a (mod 2)ya que 2 |(a-a).Segundo, si a ≡ b (mod 2), entonces 2|{a-b), o a – b = para alguna K € Z. Entonces 'b – a =2(-K)por lo cual 2 |(b - a) -y b≡a (mod 2).Finalmente, supóngase que a ≡ b (mod 2) y b ≡ c (mod 2). Entonces 2| (a – b) por lo cuala - b=2k1donde k1 € Z. También, 2| (b — c), por lo cual b - c == 2k2donde k2 € Z. Sumando las ecuaciones (1) y (2), se obtienea - c = 2(k1 + k2)por lo cual 2| (a-c), lo que significa quea =c (mod 2)De aquí que la congruencia módulo 2 sea una relación de equivalencia.Ejemplo 15 Sea A = Z y sea n € Z+. Se generalizará la relación definida en al ejemplo 14 como sigue. SeaR = {(a, b) € A x A | n divide a - b}y se escribirá a R b comoa ≡ b (mod n)léase "a es congruente con b módulo n". Al proceder exactamente como en el ejemplo 14, se podrá demostrar que la congruencia módulo n es una relación de equivalencia.

Relaciones de equivalencia y particionesAhora se demostrará que una relación de equivalencia sobre un conjunto produce una participación de él, y recíprocamente, una partición de un conjunto determina una relación de equivalencia sobre éste.Sea R una relación de equivalencia sobre el conjunto A. Si a e A, entonces[a]={x € A | x R a}se llama clase de equivalencia de a.Obsérvese que la clase de equivalencia [a] nunca es vacía, ya que la propiedad reflexiva de R implica que a € [a].Ejemplo 16 Sea R la relación de equivalencia definida en el ejemplo 12. Entonces[1]={1,2} y [2] ={1,2}ya que(1. !),(1, 2), (2,1), y (2,2) € R