Tipovi uzoraka za kontinuelne (neprekidne, kvantitativne) varijable

Tipovi uzoraka

• Jednostavni slučajni uzorak• Stratifikovani uzorak• Blokovski uzorak• Jednostavni sistematski uzorak• Dvofazni i višefazni uzorak• Dvoetapni i višeetapni uzorak• Uzorak  skupina• Uzorci nejednake selekcije izbora iz skupa­PPS i PPP• Uzorci sa liste (“ a priori” i “a posteriori)• ...

• Jednostavni slučajni uzorak čini osnovu za sve metode procjene pomoću reprezentativnog metoda ili metoda uzorka

• Izbor jedinica uzorka iz osnovnog skupa može se realizirati:– sa ponavljanjem i – bez ponavljanja.

• Izbor sa ponavljanjem omogućava da svaka jedinica iz osn. skupa uvijek ima istu šansu ‐vjerovatnoću da bude izabrana u uzorak. 

• Jedna jedinica osnovnog skupa može više puta biti izabrana u uzorak. 

Izbor bez ponavljanja:

• Svaka jedinica iz osnovnog skupa može samo jednom biti izabrana u uzorak.

• Svakim narednim izborom povećava se šansa – vjerovatnoća preostalih jedinica da budu izabrane u uzorak.

• Često se primjenjuje na male i homogene statističke skupove iz kojih nije moguće izdvojiti manje homogene dijelove koji bi bili homogeniji od ostalih dijelova.

• U šumarstvu: – u rasadnicima, – u šumskim kulturama,– u svim onim slučajevima kada primjena složenijih tipova uzoraka nebi značajnije doprinjela povećanju preciznosti procjene. 

Procjena parametara na bazi jednostavnog slučajnog uzorka

• Aritmetička sredina:

• Varijansa srednje vrijednosti:(sa ponavljanjem)

• Varijansa srednje vrijednosti:(bez ponavljanja)

( )

( )

1

2

12

2 1

2

12

2 1

1

1

11

i

i

n

ii

n

ini

ix

n

ini

ix

x xn

xx

nSn n

xx

nnSn n N

=

=

=

=

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

=−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

∑

∑∑

∑∑

ako je odnos 0,05 onda se

zanemaruje faktor konačnosti 1

nN

nN

<

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

• Za 1‐α=0,95, odnosno sa rizikom α=0,05  (vjerovatnoća 95%) nejednačina poprima sljedeći oblik:

; 1 n x

x xx

x t s

s X sz x z

α −± ⋅

≤ ≤⇒ − ⋅ + ⋅

1,96 1,96aritmetička sredina uzorka

gre ka aritmetičke sredine ( )

1,96 Vrijednost standardizovanog obilježja očitana iz tablica normalnog standardizovanog rasporeda

x x

xx x

x S X x Sx

SS š S

zn

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

−

− =

−

Procjena aritmetičke sredine u skupu na osnovu jednostavnog slučajnog uzorka 

Primjer (Zörer, 1985)

Br.jediniceuzorka

koordinate Volumen(Xi)

Br.jediniceuzorka

koordinate Volumen(Xi)

1 (19), (16=p) 0,6 9 (06), (20=t) 0,0

2 (03), (15=o) 8,8 10 (17), (17=q) 5,3

3 (18), (09=i) 17,7 11 (17), (09=i) 11,2

4 (12), (02=b) 21,2 12 (13), (20=t) 14,1

5 (04), (15=o) 0,0 13 (08), (06=f) 17,1

6 (02), (10=j) 8,8 14 (08), (15=o) 8,8

7 (13), (13=m) 16,5 15 (10), (04=d) 27,7

8 (08), (18=r) 13,6 16 (03), (12=l) 8,2

Procjena proporcije u osnovnom skupu

5 i 5

1

p p

p p

p p

n p n qp z S P p z S

P Q p qS sn n

p z s P p z s

⋅ > ⋅ >− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

⋅ ⋅= ⇒ =

−− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

Procjena agregatnih veličina u osnovnom skupu

• Proporcija broja elemenata skupa sa određenom pojavom

( ) ( )x xN x t s A x t s N⋅ − ⋅ ≤ ≤ + ⋅ ⋅

( ) ( )x xF x t s X F x t s F⋅ − ⋅ ≤ ⋅ ≤ + ⋅ ⋅

( ) ( )

ii

p p

NP N P NN

N p z s P p z s N

= ⇒ = ⋅

⋅ − ⋅ ≤ ≤ + ⋅ ⋅

• Aritmetička sredina broja elemenata skupa

Planiranje veličine jednostavnog slučajnog uzorka

• Veličina uzorka zavisi od:1. Zahtjevane tačnosti procjene2. Homogenosti varijable u osnovnom skupu3. Statističkog nivoa sigurnosti rezultata procjene

( )( )

( )( )

2 222 2

22

2 2 2

2 2 22

% % ili %%

1 1 1ili .1 %

1 % 1%

%

xx x

x xx

izbor bez ponavljanja i kod velikih skupova

izbo

t St S t Sn ne ee

n ne e et S N

r sa ponavljanjem i k

N t S Nt S

od malih skupova

⋅⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Određivanje približne veličine standardne devijacije

max min; 4xRS R x x≅ = −

( ) ( )

0,522 2 2

22

2

2

2

x

2

; za c=0,5

ili kao

- varijansa (iskazana u hekatrima) za veličinu primjerne plo

%

he

%

F

ha

ha h

ha h

a ha

ha

ha

a

y yx y x y

x

cc

xc x x xx x yc

y

x

y y y

x

F FS S S S

S k F F FS k F S SS k F F F

S

S

F F

− −−

−−

= ⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅= ⋅ ⇒ = = ⇒ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅⇒ =

2y

x

y

- varijansa (iskazana u hekatrima) za veličinu primjerne plohe F

% - varijacioni koeficijent za veličinu primjerne plohe F% - varijacioni koeficijent za veličinu primjerne plohe F

hay

x

y

SS

• Primjerne površine se postavljaju po unaprijed utvrđenoj šemi ili sistemu (npr.na konstantnim udaljenostima jedne od druge površine).

• Sistemtatski izbor znači izbor prema jednoj krutoj (rigidnoj) unaprijed utvrđenoj šemi. – Npr. Kontrola oštećenja na svakoj 100‐oj biljci u jednom parku, 

– anketiranje svakog 1000‐og posjetioca nacinalnog parka, ili 

– postavljanje uzorka  ugaonog izbrajanja stabala (WZP)na svakih 100 m.

Prvi element uzorka (jedinka) se bira sasvim slučajno a svaki naredni prema nekom sistemu; 

Zbog jednostavnosti, kao model realizacije sistematskogizbora može se koristiti kvadratna ili pravougaona mreža;

Centri jedinica uzorka predstavljeni su kao presjecišta upravnih i horizontalnih linija, odnosno tjemena geometrijskih figura (kvadrata ili pravougaonika). 

Izbor jedinski se vrši u odnosu na projicirani centar pri čemu kao jedinica uzorka može biti izabrana prva najbliža jedinka, zatim prve dvije, tri, šest ili više jedinki. 

Takvi metodi su poznati kao tačkasti uzorci i tzv. metodi odstojanja. 

Sistematski raspored primjernih površina‐nedostaci‐

Za obračun parametara uzorka koriste se formuleizvedene za jednostavni slučajni uzorak tako da nijesasvim korektan postupak sa aspekta matematičko‐statističke obrade podataka;

prostorni raspored pojave određenih populacija uprirodi slijedi skoro isti sistematski raspored kao ikvadratna ili pravougaona mreža primjernih površina(npr. svi centri primjernih površina raspoređeni su navrhovima, ili grebenima, ili pak u podnožju brda)

• U takvim slučajevima se može dobiti pogrešna predstava o distribuciji i veličinama obilježja koja se ovim metodom procjenjuju.

• U praktičnom radu takav problem se rješava zakretanjem ili pomjeranjem sistematske mreže centara primjernih površina.

Primjer:••

•

25 1000 m 158,11x m= ⋅ =

16

31 1 15,3 14,7 ... 10,0 13,063 / 0,1 16 16

n

i ii i

x xx m ha

n= = + + +

= = = =∑ ∑

(Zöhrer,1980)Br.jediniceuzorka

Volumenvi/0,1ha vi/0,1ha 2 Br.jedinice

uzorkaVolumen vi/0,1ha

vi/0,1ha 2

SUMA

•

•

•

– primjenom formule parnih razlika

Obračun greške primjenom formule za slučajni uzorak

( ) ( )

( )

2

122

2 21

22 3 3

3655,78 209,0 /161 16 15

3,85716 / 0,1 ; 1,964 / 0,1

i

n

ini

ix v

v v

xx

nS Sn n

S m ha S m ha

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

−= ⇒ =

− ⋅

= = ±

∑∑

( )( )( )

( )

2

2

11 1

1

1

2 1

: broj redova broj primjernih površina u redu -ta primjerna površina u redu

naredna (sljedeća) primjerna površina u redu

veličina uzo

j

x

nM

ij i jj i

M

jj

j

ij

i j

x xS

n n

gdje suMn jx i jx j

n

+= =

=

+

−=

⋅ −

−−

−

−

−

∑∑

∑

rka

u prethodnom primjeru su zaokruženeprimjerne površine poredane u 4 reda ( 4)i u svakom redu postoji po 4 primj.površine ( 4).U redu 1.dobija se sljedeća suma kvadrata razlika:

j

Mn

==

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

2 22

2 22

2 22

2 2

15,3 14,7 (14,7 1,2) 1,2 0,0 184,05analogno, isti postupak je i za redove =2, 3 i 4:

21,7 10,0 (10,0 11,8) 11,8 0,6 265,57

25,3 25,3 (25,3 17,7) 17,7 18,8 58,97

11,8 12,4 (12, 4 12,4) 12,4 10,

j− + − + − =

− + − + − =

− + − + − =

− + − + −( )20 6,12=

• Sume ove četiri vrijednosti daju brojnik u gornjoj formuli dok u imeniocu vrijedi:n=16, M=4, nj=4

( ) ( )( )

2

3

1

2 1 2 16 12 384

184,05 265,57 58,97 6,12 1,340393

1,157 / 0,184

M

jj

v

vS m ha

n n

S

=

⋅ − = =

+ +

= ±

+⇒ = =

∑

•

( ) ( ) ( )2 2 2

2

3

3

15,3 21,7 21,7 25,3 25,3 11,8 236,17.....

236,17 422,59 175,26 409,04 3, 23714384

1,799 / 0,1Srednja greška se dobije kao aritmetička sredina:

1,15 1, 478 / 0,7 1,7992

1

v

v v

v

S m ha

S

S m ha

S

− + − + − =

+ + += =

= ±

+== ⇒

•

( )( )

( )

( )2

2 21j

121

1 1 1 1

1

21

gdje su: svaka prva vrijednost u redu svaka zadnja vrijednost u redu

udio primjernih površina, odnosno, intenzitet premj

j j

x

M

n n njM nj

ij ij i jj i j i

j

nj

x xx x x

S fn n M

x jx j

nfN

=

+= = = =

+− ⋅ −

= −⋅ −

−

−

= →

∑∑∑ ∑∑

era

•

•

•

•

•–

–

–

–

–

–––––––––

•

•

•

Pojmovi i simboli stratifikovanog uzorka...k  broj stratuma

Nj = Broj jedinica u stratumu j (veličina uzorka u dijelu populacije j)

N

 Broj jedinica populacije  veličina osnovnog statističkog skupa

 1

k

jjN N

=

= ∑

xij  Veličina varijable i‐te jedinice populacije u stratumu j

nj  broj ploha  veličina uzorka  u stratumu j

n   ukupan broj ploha iz svih stratuma  ukupna veličina uzorka  

1

k

jjnn

=

= ∑

Wj  proporcionalni udio stratuma j:    

fj  udio primjernih površina u stratumu j:  

...Pojmovi i simboli stratifikovanog uzorkaj

 srednja veličina uzorka u stratuma j:  1

jn

iji

jj

xx

n==∑

2

 procjenjena varijansa u stratumu j: 

( )2

2 1

1

j

x j

n

ij ji

j

x xS

n==

−

−

∑ 

j  troškovi za jednu primjernu površinu u stratumu j

 ukupni troškovi: 1

k

j jj

C n c=

= ⋅∑

Interval pouzdanosti procjene

; ;

a) za velike uzorke (n 30)

b) za male

aritmetička sredina stratifikovanog skupaarit

uzor

metička sred

ke (n 30

ina strati

)

fi

st st

st st

st x st x

st n k x st n k x

st

x z S X x z S

x t S X x t S

Xx

α α

α α− −

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

− ⋅

<

≤ ≤ + ⋅

−−

≥

0,25

;

kovanog uzorkastandardna greška stratifikovanog uzorka

vrijednost standardizovanog normalnog rasporeda (za nivo pozdanosti 95%(nivo rizika 5%) 1,96)

vrijednost studentovog ili

stx

n k

S

zz

t

α

α −

−

−→ =

− t - rasporedaveličina uzorkabroj stratuma

nk−−

1. Aritmetička sredina stratifikovanog uzorka

1 21 21

st kkx N x N x N xN

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ +…+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

11

1

aritmetička sredina uzorka u stratumu relativni udio tog strat

ili

uma u skupu

k n

st j st jj jjj

j

j

x N x x W xN

x jW j

==

= ⋅ ⋅ = ⋅

−− −

∑∑

2. Varijansa  standardne greške aritmetičke sredine stratifikovanog uzorka

2 22

21

2 22 2 2

1 1

1

1 1

j

st

j

st j

kj x j j

xj j j

k kxj j j

x j xj jj j j

N S N nS

N n N

SN n nS W S

N n N N

=

= =

⎡ ⎤⋅ −= ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⇒ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑ ∑

2 22 2 2

21 1

ukoliko je stopa izbora 5%

1 j

st j

k kj x

x j xj jj

nN

N SS W S

N n= =

<

⋅= ⋅ = ⋅∑ ∑

Primjer za stratifikovani uzorak (Zöhrer,1980)R br.

1

Stratum AVi (m3/0,1ha)

Stratum BVi (m3/0,1ha)

Stratum CVi (m3/0,1ha)

Stratum AVi

2(m3/0,1ha)Stratum B

Vi2(m3/0,1ha)

Stratum CVi

2(m3/0,1ha)

26,5 11,2 20 42,25 125,44 400

34,7 12,4 25,3 22,09 153,76 640,09

48,8 19,4 21,2 77,44 376,36 449,44

50 22,4 25,9 0 501,76 670,81

63 12,4 27,7 9 153,76 767,29

73 18,8 17,7 9 353,44 313,29

80 18,8 14,1 0 353,44 198,81

910

12,4 14,1 14,1 153,76 198,81 198,81

11

3,5 14,7 25,3 12,25 216,09 640,09

12

1,8 15,9 30 3,24 252,81 9000,6 12,4 15,9 0,36 153,76 252,81

130 13 13 0 169 169

1415,9 11,8 31,8 252,81 139,24 1011,24

1516

5,3 17,1 21,8 28,09 292,41 475,240 20 0 0 400

174,1 19,4 16,81 0 376,36

1819,4 376,3618,3 334,89

SUMA 69,6 214,4 380,9 627,1 3440,08 8574,53Prosjeci 4,35 15,31 21,16

Primjer za stratifikovani uzorak (Zöhrer,1980)Parametar Stratum

A Stratum 

B Stratum

C  ∑ 

Nj  132  145  123  400 nj  16  14  18  48 

1

jn

iji

x=∑   69,6  214,2  380,9   

2

1

jn

iji

x=∑   627,1  3440,08  8574,53   

Wj  0,33  0,36  0,31  1,0 

jx   4,35  15,314  21,161   2

jxS   21,623  12,054  30,251   

jxS   4,65  3,472  5,500   

  %jx

S     106,9  22,67  25,99   

• Aritmetička sredina stratifikovanog uzorka3

1 1

3

(0,33 4,35 0,36 15,314 0,31 21,161)

13,508 / 0,1

n

st j j stj j

st

x W x x

x m ha= =

= ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅

=

∑ ∑

•Varijansa i standardna devijacija stratifikovanog uzorka:

( )2 2 2

1

2 3

0,33 21,623 0,36 12,054 0,31 30,251

20,953 20,953 4,577 / 0,1

st st

st st st

k

x j j xj

x x x

S W S S

S S S m ha=

= ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅

⇒ = → = ± ⇒ = ±

∑

• Standardna greška procjene stratifikovanog uzorka:

• Interval pouzdanosti procjene

2

2

1 12 2

3

20,2357 20,953 0,3691948 400

0,607 / 0,1

st st

st

k k

j j j jj j

x x

x

W S W SS S

n NS m ha

= =

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠= − ⇒ = − =

⇒ = ±

∑ ∑

3 3

3 3 3

3 3

; 2,014

2

13,508 / 0,1 0,607 / 0,1

donja granica intervala:13,508 / 0,1 0,607 / 0,1 12,2855 / 0,1

gornja granica intervala:13,508 / 0,1 0,607 / 0,1

,014

2,014 14,7

st st stx st n k x x m ha m ha

m ha m ha m ha

M x

m ha m

t S M

ha

α −= ± ⋅ ⇒ =

=

=

± ⋅

− ⋅

+ ⋅ 3305 / 0,1m ha

•

––––

• Ne vodi se računa o veličini stratuma već o njegovom značaju za ishod procjene;– Npr. u stratumu sa najboljim kvalitetom stabala  a koji je najmanji po površinskom udjelu, treba uzeti više jedinica u uzorak u odnosu na stratum sa nekvalitetnim stablima iako je on najveći po površini.

• Ipak, u praksi se najviše koristi proporcionalan način izbora jedinica skupa u uzorak.

Proporcionalan način izbora•

•

•

: : jj j j j j

Nn N n N n n n W n

N= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Ukupna veličina uzorka•

•

2 2

1 12 2

1j j

st st

k k

j x j xj j

x x

WN S SN

nS S= =

⋅ ⋅ ⋅= =

∑ ∑

2 2

1 1

2 2 2 2 2

1 1

1

j j

st j st j

k k

j x j xj j

k k

x j x x j xj j

N N S W Sn

N S N S S W SN

= =

= =

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

∑ ∑

∑ ∑

( )

1 2 3

2 2 21 2 3

1

2

12 2

Primjer : 400; 132; 145; 123; 0,607; 21,623; 12,054; 30, 251;

Propo1 1 132

400

rcionalan izbor:

21,623 145 12,054 123 30, 251

1

560,607

st

st

k

j xjj

x

x

jj

N S

N N N NS S S S

Nn n n

N

NnS=

= = = =

= ± = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

=

+ ⋅ + ⋅

⇒ = ⋅ ⇒

≅

=

∑

2 1

32 145 12356 19; 56 16; 56 21;400 400 400

n n⋅ = = ⋅ = = ⋅ =

Optimalan način izbora 

•

•

•

•

Optimalan izbor

•–

–2 2

1 1

2 2 2 2

1 12st

st

k k

j xj j xjj j

k k

x j xj j xjj j

x

N S W Sn

N S N S W SS

N

= =

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⋅ + ⋅ ⋅

+

∑ ∑

∑ ∑

2 2

1 12 2st st

k kj

xj j xjj j

x x

NS W S

Nn

S S= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =∑ ∑

1 1

j j

j j

j x j xj jk k

j x j xj j

N S W Sn n n n

N S W S= =

⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅

⋅ ⋅∑ ∑

1 1

: : :j j j j

k k

j j x j x j x j xj j

n N S n N S W S W S= =

⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

⇓

∑ ∑

•

•

•

Optimalan način izbora uz minimiziranje troškova

1j j

n

jC n c

=

= ⋅∑

Optimalan način izbora uz minimiziranje troškova

•–

–

( )1 1 1 1

2 2

j j

j j

st st

j x j xj x j j x j

j

k k k k

j j

x

j j j

x

N S W SN S c W S c

c cn

N S S= = = =

⎛ ⎞⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= =⋅

∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )2 2 2 2

1 11 1

1 1

21

jj

jj

st j st j

k kk k

j jj j

k k

j xj xj x jj x j

jj

x j x x j xj j

W SN SW S cN S c

ccn

N S N S S W SN

= == =

= =

⎛ ⎞⋅⋅ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⋅ + ⋅ + ⋅

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑

• Raspodjela broja primjernih površina u pojedinim stratumina :

1 1

j j

j j

j x j x

j jj jk k

j x j x

j jj j

N S S

c cn n n S

W

nN S W

c c= =

⋅ ⋅

= ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⋅

∑ ∑

Poststratifikacija­ Stratifikacija poslije izbora primjernih površina ­

( )

2 2 22

1 1

2 2 22

1 1

1 1 1

ili1 1 1

k kj j

x j jj j

k k

x j j j jj j

N NfS S Sn N n N

fS W S W Sn n

= =

= =

⎛ ⎞−= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

−= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

∑ ∑

∑ ∑

11

1 ilik n

st jst j j jjj

x N x x W xN ==

= ⋅ ⋅ = ⋅∑∑

Procjena proporcije osnovnog skupa pomoću stratifikovanog uzorka

) za sve vrste izbora može se koristiti formula:

, ili

proporcija stratifikovanog osnovnog skupa proporcija stratifikovanog uzorkaproporcija u dij

st stst p st p

j jst st j j

st

j

p z s P p z s

aN p

p p W pN

Ppp

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

⋅= = ⋅

−−−

∑ ∑

elu uzorka iz -tog stratumarelativni udio stratuma u osnovnom skupuj

jW −

2

2

2 2 2

, ili

) varijansa standardne greške proporcije stratif.uzorka:

za proporcionalan izbor može

1 ili

se koristiti fo

1

rmula:

za pro

st st j

j jst st j j

j j j jp p j p

j

n pp p W p

nb

N p q nS S W S

N n N

⋅= = ⋅

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−

∑ ∑

∑ ∑

( )

2 22

222

porcionalan izbor se izvodi sljedeća formula:

za optimalan izbor dobija se sljedeća formula:

1 1 ili

1

st st

st

p j j j p j j j

p j j j

S N p q S n p qN n n

S N p qN n

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

−

= ⋅ ⋅⋅

∑ ∑

∑

Primjer (Koprivica, 2001‐str.24)

• Za procjenu proporcije zaraženih stabala koristi se formula:

Broj stratuma 

Broj stabala u stratumu 

(Nj) 

Broj stabala uzetih u uzorak

(nj) 

Proporcija zaraženih stabala (pi) 

ni*pi  ni*pi*qi 

1 1500 60 0,12 7,2 6,3360 2 3600 144 0,18 25,92 21,2544 3 900 36 0,25 9,00 6,7500 

SUMA:  6000 240 ‐ 42,12 34,3404 

st stst p st pp z s P p z s− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

0,005

22 2

42,12) 0,1755 (ili 17,55%)240

b) z 2,581 1c) 34,3404 0,000594

240 0,000594 0,02437

d) Interval pouzdanosti procjene proporcije zaraženih stabala u kompleksu

st

st

j jst

p j j j

p

n pa p

n

S n p qn

S

⋅= = =

=

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

= =

∑

∑

šume:0,1755 - 2,58 0,02437 0,1755 2,58 0,02437 0,1126 0,2384 (11,26% 23,84%)

PP P⋅ ≤ ≤ + ⋅

≤ ≤ ≤ ≤

( ) ( )

( ) ( )

za arirtmetičke sredine skupa:

za proporcije skupa:st st

st st

st x st x

st p st p

N x z S N X N x z S

N p z s N P N p z s

α α

α α

⋅ − ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ + ⋅

⋅ − ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ − ⋅

−

−

•

•

•

...Karakteristike  blokovskog uzorka• Pogodan pri inventuri velikih skupova koji se nemogu podijeliti na homogene dijelove na osnovu karata i aviosnimaka i gdje granice ovih dijelova nisu dovoljno izražene;

• Ovim tipom uzorka moguće je smanjiti potreban obim mjerenja i troškove inventure u odnosu na jednostavan slučajni uzorak.

• Što su veće razlike između formiranih blokova , utoliko je i efikasnost procjene pimjenom ovog uzorka veća.

• Pri jednakoj veličini uzorka, u odnosu na slučajni uzorak postiže se bolja tačnost za 1,4 puta  Šmelko, 1965 . 

Parametri blokovskog uzorka

­Formule za računanje osnovnih parametara blokovskog uzorka­

1

2

12

2

12

12

srednja vrijednost blokovskog uzorka : ;

varijansa blokovskog uzorka: ;

varijansa u svakom bloku:

j

j

jj

i j

j

k

jj

B

k

xj

B

n

ini

i jx

xx

k

SS

k

xx

nS

n

=

=

=

=

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

=

∑

∑

∑∑

; 1

standardna greška blokovskog uzorka: 1B

j

Bx

S nSNn

−

= ⋅ −

Direktno računanje greške procjene blokovskog uzorka

( )

2

1 12

1 12

2

2

1

varijansa unutar pojedinog bloka, 1,...,

prosječna varijansa iz svih blokovabroj primjernih povr ina u bloku

broj blokovau

j

jj

i j

B

j

nk

inkj i

j i jx

x

B

j

xx

n nSn n k N

S j k

Sn š jkn

= =

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⋅ − ⎝ ⎠

− =

−−

−−

∑ ∑∑∑

kupan broj primjernih povr ina iz svih blokova ( )jš n k n= ⋅

Primjer za blokovski uzorak (Zöhrer, 1980)R.br.blokaV1(m3/0,1haV2(m3/0,1ha)V3(m3/0,1haSuma Vi Suma Vi2 Sredina varijansaSDBlok 1 13,0 10,6 11,8 35,4 420,6 11,8 1,44 1,20Blok 2 11,8 14,7 16,5 43 627,58 14,3 5,62 2,37Blok 3 14,1 15,3 3,5 32,9 445,15 11,0 42,17 6,49Blok 4 1,2 3,0 0,0 4,2 10,44 1,4 2,28 1,51Blok 5 24,7 25,3 21,2 71,2 1699,6 23,7 4,90 2,21Blok 6 23,0 31,8 26,5 81,3 2242,5 27,1 19,63 4,43Blok 7 20,0 18,3 17,7 56 1048,2 18,7 1,42 1,19Blok 8 0,6 10,6 7,1 18,3 163,13 6,1 25,75 5,07Blok 9 27,7 27,1 13,0 67,8 1670,7 22,6 69,21 8,32Blok 10 19,4 14,7 20,6 54,7 1016,8 18,2 9,72 3,12Blok 11 20,6 18,3 16,5 55,4 1031,5 18,5 4,22 2,06Blok 12 19,4 14,1 22,4 55,9 1076,9 18,6 17,66 4,20Blok 13 10,0 18,3 9,4 37,7 523,25 12,6 24,74 4,97Blok 14 12,4 15,3 4,7 32,4 409,94 10,8 30,01 5,48Blok 15 10,6 1,8 0,0 12,4 115,6 4,1 32,17 5,67Blok 16 8,8 7,1 1,8 17,7 131,09 5,9 13,33 3,65

• Pogledati primjer u .xls

Dvo‐ i višestepeni uzorak

...Dvo‐ i višestepeni uzorak• Primjenjuje se kod nacionalnih i regionalnih  inventura šuma gdje su:– inventurne površine generalno veoma velike, – gustina mreže uzorka srazmjerno mala a – neproduktivno vrijeme dolaska i odlaska sa plohe  proporcionalno dugo. 

• U tropskim zemljama je zbog teških terenskih prilika (uslova) premjer i lokalizacija primjernih površina vremenski dugo traje. 

• U navedenim slučajevima se upravo radi reduciranja troškova i vremena dolaska, pronalaska i odlaska od jedne do druge  primjerne plohe vrši koncetracija primjernih površina na određenim mjestima.

• Primjenjuje se na velike i homogene skupove– Šume u ravničarskim predjelima

• Izbor jedinica skupa u uzorak provodi se u dvije etape– Podjela skupa u primarne jedinice i izbor odgovarajućeg broj primarnih jedinica u uzorak;

– Iz primarnih jedinica uzima se uzorak sekundarnih jedinica (izbor poduzorka iz uzorka)

– Svaka primarna jedinica može biti sastavljena od istog ili različitog broja sekundarnih jedinica

– Iz svake primarne jedinice broj sekundarnih jedinica koji ulazi u uzorak u drugoj etapi može biti jednak ili različit.

Prednosti• Realizacija premjera je koncentrisana na manji dio skupa u cilju uštede vremena i novca;

• Efikasniji od jednostavnog uzorka;

• Procjena ista ili nešto slabija u odnosu na slučajni uzorak;

• Za razliku od stratifikovanog uzorka, nije potrebno provoditi izbor u  svakoj primarnoj jedinici već se izbor provodi samo u nekim od njih

Parametri dvoetapnog uzorka

­Formule za računanje osnovnih parametara dvoetapnog uzorka­

Oznake i numeracija

ukupan broj primarnih jedinica skupa broj primarnih jedinica izabranih u prvoj etapi ukupan broj sekundarnih jedinica u svakoj primarnoj jedinicibroj sekundarnih jedinica u -toj primarnoj jej

NnMM j

−−−− dinicibroj sekundarnih jedinica izabranih u drugoj etapiaritmetička sredina u -toj primarnoj jedinicij

mx j−−

Procjena aritmetičke sredine

; ; 1 1.aritmetička sredina dvoetapnog uzorka-sa jednakim primarnim jedinicama:

-sa nejednakim primarnim jedinicama:

n k nx x

j

j j

j

x t S X x t S

xx

n

M xx

M

α α− −− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

=

⋅=

∑

∑∑

2. Varijansa aritmetičke sredine dvoetapnog uzorka

• Unutrašnja varijansa – variranje jedinica osnovnog statističkog skupa unutar primarnih jedinica.

• Vanjska varijansa ‐ variranje između primarnih jedinica (prosječno variranje aritmetičkih sredina primarnih jedinica oko aritmetičke sredine dvoetapnog uzorka).

• Presudan uticaj na veličinu varijanse dvoetapnog uzorka ima vanjska varijansa i broj primarnih jedinica koje su u prvoj fazi (n) uzete u uzorak.

2 2 22

2

2

unutrašnja varijansa

vanjska varijansa

u v vx

u

v

s s sSN n n

s

s

= + ≈

−

−

22 2 2

22

unutrašnja varijansa - sa jednakim brojem primarnih jedinica:

1, odnosno,

- sa nejednakim brojem primarnih jedinica :

1

vanjska varijansa (sa jednakim i nejednakim

ju u j

ju

j

ss s s

m n m n

ss

n m

= = ⋅⋅ ⋅

= ⋅

∑

∑

brojem primarnih jedinica): ( )

2

12

1

n

jj

v

x xs

n=

−=

−

∑

Procjena proporcije  pomoću dvoetapnog uzorka

) računanje proporcije dvoetapnog uzorka - sa jednakim primarnim jedinicama:

ili ;

broj elemenata koji imaju ispitivanu osobinu u -toj primarnoj jedinici sa nej

p p

j j

j

p t s P p t s

a p

p fp p

n m nf j

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

−

= =⋅

−

−

∑ ∑

ednakim primarnim jedinicama:

ili ;i j j

i i

M p fp p

M m⋅

= =∑ ∑∑ ∑

b) Varijansa prosječne proporcije dvoetapnog uzorka

( )

2 22

2

2

računanje unutrašnja varijanse proporcije dvoetapnog uzorka - sa jednakim primarnim jedinicama:

1

u vp

u

j ju

s ssN n

s

p qs

n m

= +

−

⋅=

−∑

2

2

sa nejednakim primarnim jedinicama:

1

računanje vanjske varijanse proporcije dvoetapnog uzorka - (važi ista formula iz jednake i nejednake primarne

j j

ju

v

p qm

sn

s

−⋅−

=∑

( )2

2

jedinice):

1

jv

p ps

n−

=−

∑

Primarnajedinica 

Utvrđene zapremine na  sekundarnim jedinicama

Srednje zapremine j‐te prim.jedinice 

jx  (m3/ha) 

Varijansa2

jxs   pj  qj 

m3/ha2  250  270  290 300 277,50  491,67 0,25 0,75 8 190  260  300 205 238,75 2.572,92 0,25 0,75 9 270  300  380 400 337,50 3.891,67 0,75 0,25 10  300  290  300 360 312,50  1.025,00 0,75 0,25 15 290  320  280 340 307,50 758,33 0,50 0,5 

31473, 75 294, 75 m / ha5

j xx

xn

= ⇒ = =∑

22 2 1 8.739,58 436,98;4

15u j un

ss sm

= ⋅ =⋅⋅ ⋅

= ⇒∑

( )2

1 22 5738,75 143 941

4,6v

n

jj

v

x

ns

xs = = =

−= ⇒

−

∑  

2

3

2 22 436,98 1434, 49 314, 25

16 5= 314, 25 = 17,73m / ha;

xu v

x x

x

s sSN n

s

s s

=⇒ +

± ⇒ ±

= + =

 t(1-α;n-1) = 3,182

; ; 1 n k nx xx t S X x t Sα α− −− ⋅ ≤ ≤ + ⋅3 3 238,15 / ; 351,35 / ;m ha X m ha≤ ≤  

( )( )

2

2

2

2 22

2,5 0,5 ili 50%5

1,00 0,06671 5(4 1)

0, 25 0,06251 5 1

0,0667 0,0625 0,0166715 5

0,01667 0,1291 ili 12,91%

j

j ju

j

v

u vp

p

pp

np q

sn m

p ps

ns ssN n

s

= = =

⋅= = =

− −

−= = =

− −

= + = + =

⇒ = = ± ±

∑

∑

∑

0.09 0,91 ili 9% 91%p pp t s P p t s

P P

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

≤ ≤ ≤ ≤

• Sa porastom broja primarnih jedinica uzoraka (n) i opadanjem broja sekundarnih jedinica (m)  povećavaju se troškovi i preciznost procjene

• Troškovi se nasuprot tome mogu reducirati snimanjem manjeg broja primarnih jedinica i sa većim brojem sekundarnih jedinica po jednoj primarnoj jedinici, pri čemu će u svakom slučaju biti reducirana i preciznost procjene.

• Ove relacije između broja primarnih isekundarnih jedinica s jedne strane, itroškova i preciznosti procjene, s drugestrane, mogu se šematski prikazati nasljedeći način:

ako su: ako su: troškovin ntroškovipreciznostm mpreciznost

⎫ ⎫⎪ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬⎪ ⎪⎭ ⎭

1 1

22 2

2

srednja vrijednost dvoetapnog uzorka : ;

Varijasna procjenjene srednje vrijednosti

1 1 1

pri čemu je:varijansa između primje

n m

iji j

unutarx između

između

xx

m n

n Sn nS Sm n N N M

S

= ==⋅

⎡ ⋅ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∑∑

rnih površina (blokovima), ako je izvučeno primjernih površina i u svakoj primarnoj površini uzeto je sekundarnih primjernih površina.

nm

( ) ( )22

11

2

sekundarnih prim.plohaprimarnih prim.ploha

broj sekund. ploha u ukupan broj svakoj primj. jedinici sekund.primj.površina

1

mnn

izmeđuSn

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦−

=−

∑∑

2 2

1 1 1 1

2

1

n m n m

ij iji j i j

između

x x

m m nSn

= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠−

⋅=−

∑ ∑ ∑∑

( )( )

2

2

2 1

2

varijansa između sekundarnih jedinica unutar primarnih jedinica (blokova)

primarne jediniceSekundarne jedinice

Broj sekund. jedinicau svako

unutar

n

unutar

S

S

=

−

=

∑

( )

( )

2

1 12

1 12

j primar.jedinici1

1

mn

n m

ijn mi j

iji j

unutar

n m

xx

mSn m

= =

= =

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

=−

∑

∑ ∑∑∑

Uzorci nejednake vjerovatnoće izbora

• Efikasnost procjene se može poboljšati ako se u uzorak uzimaju one jedinice koje imaju i proporcionalno veće šanse da budu izabrane u uzorak (npr.sastojine veće površine) 

• To znači, da jedinice uzorka koje se biraju iz osnovnog skupa imaju nejednaku vjerovatnoću da budu izabrane u uorak. 

• Dakle, vjerovatnoća izbora je proporcionalna veličini svakog pojedinog člana osnovnog skupa.

• Uzorci ugaonog izbrajanja (WZP‐ metoda Biterliha)

• Uzorci sa liste (List Sampling), koji koriste dva nova metodska principa:– Matematičko‐statistički izbor uzoraka sa nejednakim vjerovatnoćama izbora

– Kombinacija dobijanja podataka procjenom i  objektivnim premjerom između kojih se očekuje jača korelaciona veza. 

...Uzorci nejednake vjerovatnoće izbora

• Pri primjeni prvog principa  prije izbora jedinica u uzorak daje se prednost onim jedinicama skupa koje imaju veći značaj za ukupan ishod inventure;

• Pri primjeni drugog principa, za svaku jedinicu osnovnog skupa podaci se dobijaju procjenom ili iz podataka prethodne inventure, pa se onda isti koriguju koeficijentima utvrđenim na bazi odnosa procjene i premjera malog broja izabranih jedinica uzorka.

• U odnosu na veličinu pomoću koje se realizuje izbor razlikuju se:– PPS uzorak –(Izbor proporcionalan veličini pomoćnog podatka koji je direktno vezan za ciljnu varijablu (npr. Izbor stabala prema prečniku ili izbor sastojine prema veličini površine)

– PPP uzorak ‐ Izbor proporcionalan veličini  koja se procjenjuje u odnosu na neku veličinu (izbor stabala prema njihovoj zapremini ili temeljnici)

• Razlikuju se dvije varijante uzoraka sa liste:– „a priori uzorci sa liste“ (ako se lista pravi prije inventure);

– „a posteriori uzorci sa liste“(ako se lista pravi u toku inventure)

• Najbolja varijabla sa liste je ona koja daje jednostavnu procjenu ciljne varijable. 

• Bez obzira na varijantu, izbor jedinica iz osnovnog skupa može se realizirati slučajno ili sistematski

Primjer: (Akça, 2008)

R.br. jedinice skupa (j) 

Površina (Fi) (x100 m2) 

Kumulanta ispod (K+)  (=Suma Fi) 

dodjeljeni interval 

1 520 520  1 ‐ 5202 315 835  521 ‐ 8353 1720 2555  836 ‐ 25554 410 2965  2556 ‐ 29655 870 3835  2966 ‐ 38356 1290 5125  3836 ‐ 51257 150 5275  5126 ‐ 52758 285 5560  5276 ‐ 55609 970 6530  5561 ‐ 653010 450 6980  6531 ‐ 6980

• Izbor proporcionalan  veličini jedinice u engleskom govornom području je poznat kao PPS uzorak (Propability Proportional to Size)

• LÖTSCH, et al. (1973) takve uzorke označavaju kao „a priori uzorci sa liste“ („a priori Listenstichproben“)

• Ako je vjerovatnoća izbora proporcionalna veličini koja se procjenjuje (npr. procjenjenoj zapremini stabla, procjenjenoj temeljnici i sl.) onda se govori o tzv. PPP uzorcima 

(Propability Proportional to Prediction – vjerovatnoća izbora  proporcionalna veličini koja se procjenjuje ). 

• LÖTSCH, et al. (1973) takve uzorke označavaju kao „a posteriori uzorci sa liste“ („a posteriori Listenstichprobe“). 

• Vidjeti .xls primjer! (Uzorci_sa_liste.xls )

j=1 2 3 4 5 n=61 10 0 17,1 22,4 17,1 12,42 16,5 10 14,1 27,1 18,3 1,23 21,2 3 14,1 20 18,8 1,84 8,8 4,7 13,5 21,8 26 3,55 8,2 3 27,7 23 14,7 7,16 14,7 5,3 16,5 13 16,5 107 11,2 0 7,1 6,5 29,4 1,8

m = 8 8,8 0 14,7 17,1 20,6 099,4 26 124,8 150,9 161,4 37,81385 168,2 2178 3144 3434 324,312,43 3,25 15,6 18,86 20,18 4,725

Sekundarne jedinice uzorka

Primarne  jedinice uzorka (Blokovi)

8

1 1

k

ij ijx x= =

=∑ ∑8

2 2

1 1

k

ij ijx x= =

=∑ ∑

jx

Primjer: Zöhrer, 1980 (str.83)

6 8

1 1 1 1

6 82 2

1 1 1 1

2 26 82 2 2

1 1 1 1

99,4 26,0 ... 37,8 600,30

1385,34 168,18 ... 324,34 10.634,05

99,4 26,0 ... 37,8 76.381,01

n m

ij ijj i j i

n m

ij ijj i j i

n m

ij ijj i j i

x x

x x

x x

= = = =

= = = =

= = = =

= = + + + =

= = + + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑∑ ∑∑

∑∑ ∑∑

∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

2 2

21 1 1 1

2 2

2

1 12

1 12 2

76.381,01 600,308 8 6 408,02

1 6 1

76.381,0110.634,058 25,87

1 6 8 1

n m n m

ij iji j i j

između između

n m

ijn mi j

iji j

unutar između

x x

m m nS Sn

xx

mS Sn m

= = = =

= =

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −

⋅ ⋅= ⇒ = =− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− −

= ⇒ =− ⋅ −

∑ ∑ ∑∑

∑ ∑∑∑

22 2

2

3

1 1 1

1 6 6 25,87 8408,02 1 1 5, 458 6 16 16 25

5, 45 2,335 / 0,1

2,571 ( . 1 5; 0,05)2,571 2,335 6,0

unutarx između

x

x

x

n Sn mS Sm n N N M

S

S m ha

t broj step slobode nt S

α

⎡ ⋅ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − + ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⇒ = ± = ±

= = − = =

⋅ = ⋅ = ± 303 / 0,1m ha

; ;

3

12,43 3,25 ... 4,72 12,51 / 0,16

Interval po

12,51 6,003 12,51 6,003 6,513 18

vjerenja

,5 3

:

1

n k n kx x

j

x t S X x t S

xx m ha

nXX

α α− −− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

+ + += = =

− ≤ ≤ +

≤ ≤

∑