ENSO IKONEN – PYOSYS 2

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Enso Ikonenprofessori

säätö- ja systeemitekniikkahttp://cc.oulu.fi/~iko

Oulun yliopistoÄlykkäät koneet ja järjestelmät, Systeemitekniikka

Feb 2020

ENSO IKONEN – PYOSYS 3

Säätöjärjestelmien suunnitteluSäSu 2020

⚫ 6.2 Jatkuva- ja diskreettiaikainen esitys

⚫ 6.3 Z-muunnos⚫ 6.4 Diskretointi⚫ 6.5 *Sämplätyt

järjestelmät

⚫ Diskretointi Matlabilla (harjoituksissa)

⚫ 6.2 Jatkuva- ja diskreettiaikainen esitys

⚫ 6.3 Z-muunnos− L-muunnos ja

Z-muunnos− viiveoperaattori− navat yksikköympyrällä

⚫ 6.4 Diskretointi− Eulerin menetelmä

ENSO IKONEN – PYOSYS 4

6.2 Jatkuva- ja diskreettiaikainen esitys

⚫ Digitaalinen systeemi− diskreettiarvoinen

⚫ bittien määrä: 216=65536

− diskreettiaikainen⚫ sämpläysväli

⚫ Emulointi− hyvin lyhyt näyteväli

=> jatkuva-aikainen säätösuunnittelu käy sellaisenaan

− ei useinkaan järkevin vaihtoehto

⚫ Muunnos jatkuva-aikaisesta diskreettiaikaiseen− numeerinen integrointi− vertailu s- ja z-tasoissa− pulssinsiirtofunktio

ENSO IKONEN – PYOSYS 5

6.3.1 Z-muunnosdiskreettiaikainen ’integraali’muunnos

⚫ Näytteenotto tasavälein ht = 0, h, 2h, 3h,... ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )zFtfZekhf

ekhf

dtekhtkhf

dtekhtkhf

dtetftfL

k

k

z

sh

k

skh

k t

st

t k

st

t

st

===

=

−=

−=

=

=

−

=

−

=

=

−

=

=

−

=

−

*

0

0

0 0

0 0

0

**

( )

( ) ( ) ( )

=

−=0

*

:ttynäytteiste

k

khtkhftf

tf

Eli z-muunnoksella tarkoitetaan summaa

( ) ( ) ( )

=

−==0

*

k

kzkhfzFtfZ

ENSO IKONEN – PYOSYS 6

Z-muunnosdiskreettiaikainen ’integraali’muunnos

⚫ Tulkinta viiveoperaattorina

⚫ differenssiyhtälöiden muunnokset

⚫ => diskreetit siirtofunktiot

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zUbzzYazzY

kbukayky

11

11

−− +=

−+−=

( ) ( )

( ) ( )zYzmkyZ

zYzmkyZ

m

m

=+

=− −

( )( ) az

b

az

bz

zU

zY

−=

−=

−

−

1

1

1

Siirtofunktio Z-tasossa

napa-nolla-karttas-taso vs z-taso

http://users.metropolia.fi/~k0201257/koulu/dsp-2006/Luento4.pdf

-2 -1 0 1 2-4

-2

0

2

4

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

h=0.1, 0.3,..., 2

Esimerkki: G(s) = 1 / (s2+2s+3)kun näytteenottoväli h={1,2,4}

napa-nolla-karttayksikköympyrä, reaaliset navat

napa-nolla-karttakompleksiset napaparit

Z-muunnosparitaikataso, Laplace-taso, Z-taso

http://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform

6.4.1 Eulerin menetelmä(t)

6.4.1 Eulerin menetelmä(t)

6.4.1 Eulerin menetelmäTustinin approksimaatio

EsimerkkiDigitaalinen PI

+=

+=

t

I

PtP

t

ItPt de

T

KeKde

TeKu

00

1

tI

PtPt eT

Ke

dt

dKu

dt

d+=

kI

PkkPkk

kI

PkkP

kk

eT

Kh

h

eehKuu

eT

K

h

eeK

h

uu

+−

+=

+−

=−

−−

−−

11

11

tI

PhttP

htt eT

K

h

eeK

h

uu+

−=

− −−

h

xxx

dt

dnsijoitetaa htt

t−−

:

äänjärjestellja

khtktankirjoiteta 1, −−

nderivoidaa

ntermeittäikootaan

11 1 −− −

++= kPkI

Pkk eKeT

hKuu

uusi ohjaus uk riippuu edellisestä

ohjauksesta uk-1 ja

tämänhetkisestä ja edellisestä

erosuureesta, ek, ek-1.

EsimerkkiDigitaalinen PI

+=

+=

t

I

PtP

t

ItPt de

T

KeKde

TeKu

00

1

tI

PtPt eT

Ke

dt

dKu

dt

d+=

kI

PkkPkk

kI

PkkP

kk

eT

Kh

h

eehKuu

eT

K

h

eeK

h

uu

+−

+=

+−

=−

−−

−−

11

11

tI

PhttP

htt eT

K

h

eeK

h

uu+

−=

− −−

h

xxx

dt

dnsijoitetaa htt

t−−

:

äänjärjestellja

khtktankirjoiteta 1, −−

nderivoidaa

ntermeittäikootaan

11 1 −− −

++= kPkI

Pkk eKeT

hKuu

uusi ohjaus uk riippuu edellisestä

ohjauksesta uk-1 ja

tämänhetkisestä ja edellisestä

erosuureesta, ek, ek-1.

PI-säätimen

inkrementaalimuoto

⚫ PI-säädin voidaan

kirjoittaa joko

absoluuttimuodossa

(ohjaus u)

tai

inkrementaalimuodossa

(ohjauksen muutos Δu)

⚫ sopiva muoto

riippuu mm.

toimilaitteesta

⚫ vastaavasti myös P,

PD tai PID

säätimille on

olemassa

inkrementaali-

muodot1

1

1 −

−

−

+=

+=

kPkI

Pk

kkk

eKeT

hKu

uuu

11 1 −− −

++= kPkI

Pkk eKeT

hKuu

ENSO IKONEN – PYOSYS 19

Harjoitus

Kirjoita differenssiyhtälöt y(k+1) laskemiseksi,

kun Y(z)/U(z) = G(z).

ENSO IKONEN – PYOSYS 20

Säätöjärjestelmien suunnitteluSäSu 2020

⚫ 6.2 Jatkuva- ja diskreettiaikainen esitys

⚫ 6.3 Z-muunnos⚫ 6.4 Diskretointi⚫ 6.5 *Sämplätyt

järjestelmät

⚫ Diskretointi Matlabilla (harjoituksissa)

⚫ 6.4 Diskretointi− Eulerin menetelmä− PI-inkrementaalimuoto− napa-nolla vastaavuus− harjoituksia

⚫ 6.5 *Sämplätyt järjestelmät− pulssinsiirtofunktio− harjoitus

6.4.2 Napa-nolla-vastaavuus

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )zFtfZekhf

ekhf

dtekhtkhf

dtekhtkhf

dtetftfL

k

k

z

sh

k

skh

k t

st

t k

st

t

st

===

=

−=

−=

=

=

−

=

−

=

=

−

=

=

−

=

−

*

0

0

0 0

0 0

0

**

ENSO IKONEN – PYOSYS 22

Harjoitus

ENSO IKONEN – PYOSYS 23

DiskretointiDigitaalinen implementointi

⚫ Numeerinen integrointi(Euler forward)

=> s ↔ (z-1)/h

⚫ Napojen vastaavuus

⚫ Sämplätty järjestelmä nollannen kertaluvun pidolla

( ) ( ) ( ) ( )h

tyhty

t

tytty

dt

dy

t

−+

−+=

→lim

0

shez =

( ) ( )

−=

−− sG

s

eLZzG

hs11

G(s)hold

s(k+d)=s(k)for d<1

G(z)

Plant, G(s)ZOH

DAC ADC

G(z)

s(t)x*(t)Computer

H(z)

t

x*(t)

0 t = h t = 2h t = 3h t = 4h t

s(t)

0 t = h t = 2h t = 3h t = 4h

x*(0)[1(t)-1(t-h)]

s

e1(s)G

hs

ZOH

−−=

s

1e

s

1)0(x hs*

− − )ht(1)t(1)0(x )0(x ** −−

x*(0)

Sämplätty järjestelmäPulssinsiirtofunktio

Source: J Kovacs ”Digital Control Systems”

*6.5 Sämplätyt järjestelmät

Pitopiiri ja sämpläys

tuovat järjestelmään

viive-elementin.

diskreetillä

säätimellä

säädetty

prosessi

jatkuvalla

säätimellä

säädetty

prosessi

ENSO IKONEN – PYOSYS 26

Harjoitus

ENSO IKONEN – PYOSYS 27

⚫ Opiskelija...

− huomaa diskretoinnin välttämättömyyden digitaalisesti toteutetussa säädössä

− kykenee siirtymään L ja Z-muunnosten välillä

− osaa itsenäisesti implementoida jatkuva-aikaisen PID-säätimen diskreettiaikaisen vastineen tietokoneelle

Oppimistavoitteet