Tk2 - Seminarski Rad-i - Primer

8/10/2019 Tk2 - Seminarski Rad-i - Primer

http://slidepdf.com/reader/full/tk2-seminarski-rad-i-primer 1/19

I GRAFIČKI RAD

Rešavajući zadatak tačnom metodom deformacija u matričnom obliku, odrediti momente na krajevima

štapova, nacrtati dijagrame sila u presecima usled:

a) zadatog opterećenja;

b) temperaturne promene na štapovima 4-1 i 1-2;

c) obrtanja uklještenja i pomeranja oslonca ležišta 4 kao prema slici.

Zadati su sledeći podaci: 5,0l m , 40h cm , . 30b const cm ,

1 20t C , 2

10t C , C t 110 5 , 7 23,00 10 E kN m

- Deformacijska neodređenost nosača:

nmd , 1m , 2 2 5 5 5on k z

1 1 1 2 2 31 5 6, ( , , , , , )d u v u v u

- Koordinate sistema i orijentacije štapova:

- koordinate sistema u pravcu kojih su pomeranja i obrtanja moguća

- koordinate sistema u pravcu kojih su pomeranja i obrtanja sprečena

Od ukupno 13 generalisanih pomeranja dva su jednaka ( 1u i

3u ), pet je slobodnih 1 1 1 2 2( , , , , )u v u v ,

dok je preostalih sedam sprečeno, odnosno poznato iz uslova oslanjanja.





3

- Matrica krutosti štapa i-g :

3 2 3

2 2

3 2 3

0 0 0

0 3 3 0 3

0 3 3 0 30 0 0

0 3 3 0 3

ig ig ig ig

ig ig ig ig ig ig

ig ig ig ig ig ig ig

ig ig ig ig

ig ig ig ig ig ig

EF l EF l

EI l EI l EI l

EI l EI l EI l EF l EF l

EI l EI l EI l

k

odnosno

3 2 3

2 2

3 2 3

0 0 0

0 3 3 0 3

0 3 3 0 3

0 0 0

0 3 3 0 3

ig ig ig ig

ig ig ig ig ig ig

ig ig ig ig ig ig ig

ig ig ig ig

ig ig ig ig ig ig

F l I F l I

I l I I l I I l I

I l I I l I I l I EI

F l I F l I

I l I I l I I l I

k

Koristeći ovako ispisane matrice krutosti dobijamo matrice krutosti za štapove:- Matrica krutosti štapa 1 : 13 5,0l m , 13

94,49407874 F I , 13 2 I I

1

18,898816 0 0 18,898816 0

0 0,048000 0,240000 0 0,048000

0 0,240000 1,200000 0 0,240000

18,898816 0 0 18,898816 0

0 0,048000 0,240000 0 0,048000

EI

k

- Matrica krutosti štapa 2 : 12 6,0l m , 12 94,49407874 F I , 12 2 I I

2

15,749013 0 0 15,749013 0

0 0,027778 0,166667 0 0,027778

0 0,166667 1,000000 0 0,166667

15,749013 0 0 15,749013 0

0 0,027778 0,166667 0 0,027778

EI

k

- Matrica krutosti štapa 3 : 14 4,0l m , 14 75 F I , 14 1 I I

3

18,7500 0 0 18,7500 0 0

0 0,1875 0,3750 0 0,1875 0,3750

0 0,3750 1,0000 0 0,3750 0,500018,7500 0 0 18,7500 0 0

0 0,1875 0,3750 0 0,1875 0,3750

0 0,3750 0,5000 0 0,3750 1,0000

EI

k

- Matrica krutosti štapa 4 : 52 5,0l m , 52 75 F I , 52 1 I I

4

15,0000 0 0 15,0000 0

0 0,0240 0,1200 0 0,0240

0 0,1200 0,6000 0 0,1200

15,0000 0 0 15,0000 0

0 0,0240 0,1200 0 0,0240

EI

k



4

- Matrica transformacije koordinata sa lokalnih na globalne:

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

ik

c s

s c

c s

s c

T ,

0 0 0

0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0

0 0 0

ig

c s

s c

c s

s c

T

1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

T ,2

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

T ,

3

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

T , 4

0,6 0,8 0 0 0

0,8 0, 6 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0,6 0,8

0 0 0 0,8 0, 6

T

- MATRICE KRUTOSTI ŠTAPOVA U GLOBALNIM KOORDINATAMA:

*

1 1 1 1

18,898816 0 0 -18,898816 0

0 0,048000 -0,240000 0 -0,048000

0 -0,240000 1,200000 0 0,240000

-18,898816 0 0 18,898816 0

0 -0,048000 0,240000 0 0,048000

T EI

k T k T

1 2 3 1 6

1

2

3

1

6

*

2 2 2 2

15,749013 0 0 -15,749013 0

0 0,027778 0,166667 0 -0,027778

0 0,166667 1,000000 0 -0,166667-15,749013 0 0 15,749013 0

0 -0,027778 -0,166667 0 0,027778

T

EI

k T k T

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

*

3 3 3 3

0,1875 0 0,3750 0,1875 0 0,3750

0 18,7500 0 0 18, 7500 0

0,3750 0 1,0000 0,3750 0 0,5000

0,1875 0 0,3750 0,1875 0 0,3750

0 18,7500 0 0 18, 7500 0

0,3750 0 0,5000 0,3750 0 1,0000

T EI

k T k T

1 2 3 7 8 9

1

2

3

7

8

9





6

* 1

4,534042 0,003575 -0,356111 4,516046 3,362687

0,003575 0,053127 0,000949 0,003640 0,0028851

-0,356111 0,000949 0,340876 -0,352234 -0,256858

4,516046 0,003640 -0,352234 4,561425 3,3966053,362687 0,002885 -0,256858

ss EI

K

3,396605 2,633105

A) UTICAJ ZADATOG OPTEREĆENJA:

- Vektori ekvivalentnog opterećenja štapova:

štap 1 štap 2

reakcijeoslonaca

ekvivalentnoopterećenje

1

0

12

20

0

12

kN

kN

kNm

kN kN

Q ,2

0

60

72

0

36

kN

kN

kNm

kN

kN

Q

*

1 1 1

0

12

20

0

12

T

Q T Q

1

2

3

1

6

, *

2 2 2

0

60

72

0

36

T

Q T Q

1

2

3

4

5

- Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema štapova:

* * **

* * *

0

s s s

o o

S Q R SS Q R

* * *

0 0 0

72 0 72

52 0 52

0 40 40

36 0 36

s s s

S Q R

1

2

3

4

5

Ovde je: - *

sR vektor sila zadatih u čvorovima, u pravcima slobodnih koordinata sistema,

- *

oR vektor sila u pravcima vezanih koordinata, odnosno reakcije oslonaca i uklještenja



7

*12 0 0 0 0 0 0

T

o Q

6 7 8 9 10 11 12

- Određivanje pomeranja u pravcima slobodnih koordinata sistema:

Polazeći od sistema uslovnih jednačina

* * *K q S ,

odnosno* * * *

* * * *

ss so s s

os oo o o

K K q S

K K q S,

dobijamo* * * * *

ss s so o s K q K q S ,

odakle, uz uslov da su pomeranja u pravcima vezanih stepeni slobode jednaka nuli, tj. *0o q , imamo

* * *

ss s sK q S .

Sada je vektor pomeranja u pravcima slobodnih koordinata sistema

* * 1 *

s ss s

q K S ,

odnosno,

*

4,534042 0,003575 -0,356111 4,516046 3,362687

0,003575 0,053127 0,000949 0,003640 0,0028851

-0,356111 0,000949 0,340876 -0,352234 -0,256858

4,516046 0,003640 -0,352234 4,561425 3,396605

3,362687 0,002885 -0,256858 3,3

s EI q

0

72

52

40

96605 2,633105 36

*

77,845537 1,62178

-3,832715 -0,079851

-22,636328 -0,00047

78,233333 1,62986

54,221349 1,12961

s

mm

mm

rad EI

mm

mm

q

1

2

3

4

5

.

- Određivanje reakcija oslonaca i oslonačkih uklještenja *

oR :

Iz sistema uslovnih jednačina imamo, * * * * * * *

0os s oo o o o K q K q S Q R ,

Odakle je, za *0o q , * * * *

-17,249

-6,107

71,863

17,874

-33,893

41,385

11,414

o os s o

kN

kN

kN

kNm

kN

kN

kNm

R K q Q

6

7

8

9

10

11

12

,



8

- Vektori generalisanih pomeranja štapova u lokalnom koordinatnom sistemu:

*

1 1 1

1 0 0 0 0 77,845537 -77,845537

0 1 0 0 0 -3,832715 3,8327151 1

0 0 1 0 0 -22,636328 -22,6363280 0 0 1 0 77,845537 -77,845537

0 0 0 0 01 0

EI EI

q T q

1

2

3

1

6

*

2 2 2

1 0 0 0 0 77,845537 77,845537

0 1 0 0 0 -3,832715 -3,8327151 1

0 0 1 0 0 -22,636328 -22,636328

0 0 0 1 0 78,233333 78,233333

0 0 0 0 1 54,221349 54,221349

EI EI

q T q

1

2

3

4

5

*

3 3 3

0 1 0 0 0 0 77,845537 3,832715

1 0 0 0 0 0 -3,832715 77,845537

0 0 1 0 0 0 -22,636328 -22,6363281 1

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 00

0

EI EI

q T q

1

2

3

7

8

9

*

4 4 4

0, 6 0,8 0 0 0 0 0

0,8 0,6 0 0 0 0 01 1

0 0 1 0 0 0 00 0 0 0, 6 0,8 78,233333 -3,562921

0 0 0 0,8 0,6 54,221349 -95,119476

EI EI

q T q

10

11

12

4

5

- Vektori generalisanih sila na krajevima štapova u lokalnom koordinatnom sistemu:

Za štap j , j j j j R k q Q

1

18,899 0 0 18,899 0 -77,84554 0 0

0 0,048 0,240 0 0,048 3,83272 12 -17,241

0 0,240 1,200 0 0,240 -22,63633 2018,899 0 0 18,899 0 -77,84554 0

0 0,048 0,240 0 0,048 120

EI EI

R

9

-46,2440

17,249

2

15,749 0 0 15,749 0 77,84554 0

0 0,0278 0,1667 0 0,0278 -3,83272 601

0 0,1667 1,0000 0 0,1667 -22,63633 72

15,749 0 0 15,749 0 78,23333 0

0 0,0278 0,1667 0 0,0278 54,22135 36

EI EI

R

-6,107

54,615

39,688

6,107

41,385



9

3

18,75 0 0 18,75 0 0 3,83272

0 0,1875 0,375 0 0,1875 0,375 77,84554

0 0,375 1,000 0 0,375 0,500 -22,636331

18,75 0 0 18,75 0 0 0

0 0,1875 0,375 0 0,1875 0,375

0 0,375 0,500 0 0,375 1,00

0

00

EI

EI

R

71,863

6,107

6,556

-71,863

-6,107

17,874

4

15,00 0 0 15,00 0 0 53,444

0 0,024 0,120 0 0,024 0 2,2831

0 0,120 0,600 0 0,120 0 11,414

15,00 0 0 15,00 0 -3,56292 -53,444

0 0,024 0,120 0 0,024 -95,11948 -2,283

EI EI

R

Sile na krajevima štapova:

- Pomeranja čvorova, reakcije oslonaca:



10

- Dijagrami presečnih sila:



11

B) UTICAJ PROMENE TEMPERATURE:

- Šema promene temperature:

12

1 110 20 5

2 2o ut t t C , 12 10 20 30o ut t t C

14

1 120 10 5

2 2o ut t t C , 14 20 10 30o ut t t C

- Vektori ekvivalentnog opterećenja štapova:

0

0

t ik ik

t ik ik ik

ik

t ik ik

t ik ik ik

t EF

t EI hQ

t EF

t EI h

,

1,5

1,5

1,5

t ig ig

t ig ig ig ig

ig t ig ig ig

t ig ig

t ig ig ig ig

t EF

t EI l h

Q t EI h

t EF

t EI l h

Štap 2,

5 7

5 7

5 72

5 7

5 7

-226,78578910 5 3 10 0,151191

-14,2866091,5 10 ( 30) 3 10 0,0032 6 0,503968

-85,1,5 10 ( 30) 3 10 0,0032 0,503968

10 5 3 10 0,151191

1,5 10 ( 30) 3 10 0,0032 6 0,503968

Q

719657

226,785789

14,286609

kN

kN

kNm

kN

kN



12

Štap 3,

5 7

5 7

3 5 7

5 7

18010 5 3 10 0,12

00

3610 30 3 10 0,0016 0,4018010 5 3 10 0,12

00

3610 30 3 10 0,0016 0,40

kN

kNmkN

kNm

Q

*

2 2 2

-226,785789

-14,286609

-85,719657

226,785789

14,286609

T

Q T Q

1

2

3

4

5

, *

3 3 3

9

0

180

36

0

180

36

T

Q T Q

1

2

3

7

8

- Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema štapova:

* * *

*

* * *

0

s s s

o o

S Q R S

S Q R , * *

-226,785789

165,713391

-49,719657

226,78578914,286609

s s

S Q

1

2

3

4

5

, * *

0

0

180

36

00

0

o oS Q

6

7

8

9

10

11

12

- Određivanje pomeranja u pravcima slobodnih koordinata sistema:

* * 1 *

s ss s

q K S ,

*

4,534042 0,003575 -0,356111 4,516046 3,362687

0,003575 0,053127 0,000949 0,003640 0,0028851

-0,356111 0,000949 0,340876 -0,352234 -0,2568584,516046 0,003640 -0,352234 4,561425 3,396605

3,362687 0,002885 -0,256858 3,3

s EI q

-226,785789

165,713391

-49,719657226,785789

96605 2,633105 14,286609

,

*

62,258377 1,29705

8,812601 0,183601

-19,581379 -0,00041

76,933342 1,60278

58,559274 1,21998

s

mm

mm

rad EI

mm

mm

q

1

2

3

4

5

.



13


oR :

* * * *

-5,123

-4,330

14,764

49,556

4,330

-9,641

11,602

o os s o

kN

kN

kN

kNm

kN

kN

kNm

R K q Q

6

7

8

9

10

11

12

,


*

1 1 1

1 0 0 0 0 62,258377 -62,258377

0 1 0 0 0 8,812601 -8,8126011 1

0 0 1 0 0 -19,581379 -19,5813790 0 0 1 0 62,258377 -62,258377

0 0 0 0 1 0 0

EI EI

q T q

1

2

3

1

6

*

2 2 2

1 0 0 0 0 62,258377 62,258377

0 1 0 0 0 8,812601 8,8126011 1

0 0 1 0 0 -19,581379 -19,581379

0 0 0 1 0 76,933342 76,933342

0 0 0 0 1 58,559274 58,559274

EI EI

q T q

1

2

3

4

5

*

3 3 3

0 1 0 0 0 0 62,258377 -8,8126011 0 0 0 0 0 8,812601 62,258377

0 0 1 0 0 0 -19,581379 -19,5813791 1

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0

0

EI EI

q T q

1

2

3

7

8

9

*

4 4 4

0,6 0,8 0 0 0 0 0

0,8 0, 6 0 0 0 0 01 1

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0,6 0,8 76,933342 0,687414

0 0 0 0,8 0, 6 58,559274 -96,682238

EI EI

q T q

10

11

12

4

5


1

18,899 0 0 18,899 0 -62,258377 0

0 0,048 0,240 0 0,048 -8,812601 -5,1231

0 0,240 1,200 0 0,240 -19,581379 -25,613

18,899 0 0 18,899 0 -62,258377 0

0 0,048 0,240 0 0,048 5,1230

EI EI

R



14

2

15,749 0 0 15,749 0

0 0,0278 0,1667 0 0,02781

0 0,1667 1,0000 0 0,1667

15,749 0 0 15,749 0

0 0,0278 0,1667 0 0,0278

62,2584 -226,786

8,8126 -14,287

-19,5814 -85,720

76,9333 226,58,5593

EI EI

R

-4,330

9,641

57,847

786 4,33014,287 -9,641

3

18,75 0 0 18,75 0 0

0 0,1875 0,375 0 0,1875 0,375

0 0,375 1,000 0 0,375 0,500

18,75 0 0 18,75 0 0

0 0,1875 0,375 0 0,1875 0,375

0 0,375 0,500 0 0,375 1,000

-8,8126

62,2584

-19,58141

0

0

0

EI EI

R

0 14,764

180 4,330

36 -32,234

0 -14,764

180 -4,330

36 49,556

4

15,00 0 0 15,00 0 0 -10,311

0 0,024 0,120 0 0,024 0 2,3201

0 0,120 0,600 0 0,120 0 11,602

15,00 0 0 15,00 0 0,6874 10,311

0 0,024 0,120 0 0,024 -96,6822 -2,320

EI EI

R


- Pomeranja čvorova, reakcije oslonaca:



15




16

C) UTICAJ POMERANJA OSLONACA I OBRTANJA UKLJEŠTENJA:

Iz sistema uslovnih jednačina * * * *

* * * *

ss so s s

os oo o o

K K q S

K K q S

,

dobijamo* * * * *

ss s so o s K q K q S ,

gde su *

oq propisana pomeranja u pravcima vezanih stepeni slobode sistema,

* 0 0, 01 0 -0,0174533 0 0 0T

o q

6 7 8 9 10 11 12

Kako je za neopterećen nosač 0o

s S , to imamo da je vektor pomeranja u pravcima slobodnih

koordinata sistema* * 1 * *

s ss so o

q K K q .odnosno,

*

0,033733 33,73

0,000042 0,04

0,001255 0,001255

0,033630 33,63

0,025109 25,11

s

m mm

m mm

rad rad

m mm

m mm

q

1

2

3

4

5

.


oR :

Iz sistema uslovnih jednačina imamo,* * * * * * *

0os s oo o o o K q K q S Q R ,

Odakle je, za * 0o Q , * * * * *

14,356

77,976

-37,742

-380,446

-77,976

23,387

241,745

o os s oo o

kN

kN

kN

kNm

kN

kN

kNm

R K q K q

6

7

8

9

10

11

12

,


*

1 1 1

1 0 0 0 0 0,033733 -0,033733

0 1 0 0 0 0,000042 -0,000042

0 0 1 0 0 0,001255 0,001255

0 0 0 1 0 0,033733 -0,0

0

33733

0 0 0 0 1 0

q T q

1

2

3

1

6



17

*

2 2 2

1 0 0 0 0 0,033733 0,033733

0 1 0 0 0 0,000042 0,000042

0 0 1 0 0 0,001255 0,001255

0 0 0 1 0 0,033630 0,0336300 0 0 0 1 0,025109 0,025109

q T q

1

2

3

4

5

*

3 3 3

0 1 0 0 0 0 0,033733 -0,000042

1 0 0 0 0 0 0,000042 0,033733

0 0 1 0 0 0 0,001255 0,001255

0 0 0 0 1 0 0,010000 0

0 0 0 1 0 0 0 0,010000

0 0 0 0 0 1 -0,017453 -0,017453

q T q

1

2

3

7

8

9

*

4 4 4

0, 6 0,8 0 0 0 0 00,8 0,6 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0,6 0,8 0,033630 -0,000091

0 0 0 0,8 0,6 0,025109 -0,041970

q T q

10

11

12

4

5


Za štap j , j j jR k q

1

18,899 0 0 18,899 0 -0,033733 00 0,048 0,240 0 0,048 -0,000042 14,356

0 0,240 1,200 0 0,240 0,001255 71,778

18,899 0 0 18,899 0 -0,033733 0

0 0,048 0,240 0 0,048 -14,3560

EI

R

2

15,749 0 0 15,749 0 0,033733 77,976

0 0,0278 0,1667 0 0,0278 0,000042 -23,387

0 0,1667 1,0000 0 0,1667 0,001255 -140,319

15,749 0 0 15,749 0 0,033630 -70 0,0278 0,1667 0 0,0278 0,025109

EI

R

7,97623,387

3

18,75 0 0 18,75 0 0 -0,000042

0 0,1875 0,375 0 0,1875 0,375 0,033733

0 0,375 1,000 0 0,375 0,500 0,001255

18,75 0 0 18,75 0 0 0

0 0,1875 0,375 0 0,1875 0,375 0,010000

0 0,375 0,500 0 0,375 1,000 -0,017453

EI

R

-37,742

-77,976

68,541

37,742

77,976

-380,446



18

4

15,00 0 0 15,00 0 0 65,495

0 0,024 0,120 0 0,024 0 48,349

0 0,120 0,600 0 0,120 0 241,745

15,00 0 0 15,00 0 -0,000091 -65,4950 0,024 0,120 0 0,024 -0,041970 -48,349

EI

R


- Pomeranja čvorova i reakcije oslonaca:




19

Documents

Tk2 - Seminarski Rad-i - Primer