Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Téma 2: Pravděpodobnostní
vyjádření náhodných veličin
Přednáška z předmětu:Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí
4. ročník bakalářského studia
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Osnova přednášky
Náhodný jev, pravděpodobnost náhodného jevu Náhodná veličina: diskrétní spojitá
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti: Rozdělení pravděpodobnosti:
Parametrické Neparametrické (empirické)
Pravděpodobnostní funkce Hustota rozdělení pravděpodobnosti Distribuční funkce
Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy
Náhodná veličina v pravděpodobnostním výpočtuPravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 1 / 22
Pravděpodobnost
Náhodným jevem se rozumí opakovatelná činnost prováděná za stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou, střelba do terče nebo losování loterie.
Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, udávající s jakou jistotou lze daný náhodný jev očekávat. Míra pravděpodobnosti náleží do uzavřeného intervalu <0, 1>, kde nula znamená, že událost nemůže nastat a jednička, že jev je jistý. Lze vyjádřit i procentuálně (po vynásobení 100)
V teorii spolehlivosti konstrukcí např.kde Pf ... pravděpodobnost, že nastane porucha Ps ... pravděpodobnost, že konstrukce zůstane zachovaná
Základní principy teorie pravděpodobnosti 2 / 22
1 sf PP
Náhodná veličina
Náhodná veličina je libovolná reálná funkce X definovaná na množině elementárních jevů ω pravděpodobnostního prostoru Ω.
Náhodná veličina je určena rozdělením pravděpodobnosti.
Spojité a diskrétní veličiny: Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité(diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze početný počet hodnot (konečný i nekonečný), zatímco spojité veličiny nabývají hodnoty z intervalu (konečného nebo nekonečného). Obor všech hodnot náhodné veličiny se nazývá definičním oborem.
Příklad: Výskyt daného jevu lze označit hodnotou 1. Pokud k výskytu daného jevu nedojde, náhodné veličině se přiřadí hodnota 0. Jedná se tedy o diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá pouze hodnoty 0 nebo 1.
Základní principy teorie pravděpodobnosti 3 / 22
Náhodná veličina
0,000
0,015
0,030
0,045
0,060
0,075
0,090
0,105
0,120
0,135
0,150
0,165
0,180
P (x )
1 2 3 4 5 6 x
Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou
Základní principy teorie pravděpodobnosti 4 / 22
Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny lze získat, pokud se každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadí pravděpodobnost s pomocí pravděpodobnostní funkce P(x).
Znalost pravděpodobnostní funkce lzepoužít k výpočtu pravdě-podobnosti. Např. pravdě-podobnost, že náhodnáveličina X leží mezihodnotami x1 a x2 se určí:
Rozdělení pravděpodobnosti, pravděpodobnostní funkce
2
1
21
x
xxxPxxxP
Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je pravidlo, kterým se každému jevu popisovanému touto veličinou přiřadí určitá pravděpodobnost.
x P(x)
x1 P(x1)
x2 P(x2)
... ...
xn P(xn)
Základní principy teorie pravděpodobnosti 5 / 22
Distribuční funkce diskrétní veličiny
Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést tzv. distribuční funkcivztahem:
Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zleva. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu
Pro diskrétní náhodnou veličinu X lze pro libovolné reálné číslo x vyjádřit distribuční funkci vztahem
VlastnostiJestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu <a,b), pak F(a) = 0 a F(b) = 1.
xXPxF
10 xF
xt
tPxF
Základní principy teorie pravděpodobnosti 6 / 22
Pravděpodobnostní a distribuční funkce hodu kostkou
0,000
0,015
0,030
0,045
0,060
0,075
0,090
0,105
0,120
0,135
0,150
0,165
0,180
P (x )
1 2 3 4 5 6 x
Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
F (x )
1 2 3 4 5 6 x
Distribuční funkce hodu kostkou
Distribuční funkce
Pravděpodobnostní funkce
Základní principy teorie pravděpodobnosti 7 / 22
Hustota rozdělení pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti).
Je-li (x) hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, pak platí kde Ω je definiční obor veličiny X.
(Pro hodnoty x mimo definiční obor Ω je hustota pravděpodobnosti nulová).
Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti (x) lze určit pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu z intervalu <x1,x2>, tedy
1d
xx
2
1
x
x21 dxxxXxP
Základní principy teorie pravděpodobnosti 8 / 22
Distribuční funkce spojité veličinyPro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti (x)lze definovat distribuční funkci vztahem
VlastnostiPlatí, že a .Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť
Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti (x) a distribuční funkcí F(x) platí vztah
ttxF d
0F 1F
1221 xFxFxXxP
xxFx
dd
Základní principy teorie pravděpodobnosti 9 / 22
Distribuční funkce spojité veličiny
Distribuční funkce
Pravděpodobnostní funkce
Základní principy teorie pravděpodobnosti 10 / 22
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Variable 1
MeanStd Std
240 260 280 300 320 340 360
0.005
0.01
0.015
0.02
Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny -parametry
(např. střední hodnota a směrodatná odchylka)
Důležitá spojitá rozdělenípravděpodobnosti:• Rovnoměrné rozdělení • Normální rozdělení
(Gaussovo rozdělení) • Exponenciální rozdělení • Laplaceovo rozdělení• Logistické rozdělení • Maxwellovo rozdělení • Studentovo rozdělení • Fischerovo-Snedecorovo rozdělení • χ² rozdělení (Chí kvadrát)
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 11 / 22
2
2
2
21,
x
exf
Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělenípravděpodobnosti
2
2
2ln
21,
x
ex
xf
Obecný vzorec funkce hustoty lognormálního rozdělení pravděpodobnosti
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1
s=0.5s=0.75s=1
... směrodatná odchylka ... střední hodnota
n
iixn 1
ln1
n
iixn 1
2ln1
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 12 / 22
Mez kluzu
MeanStd Std
220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
(Ne)parametrické rozdělení pravděpodobnosti
Parametry - charakteristiky rozdělení náhodné veličiny(např. střední hodnota a směrodatná odchylka)
2
2
2
21,
x
exfParametrická rozdělení pravděpodobnosti popsány
analytickou funkcí – např. obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti
definovány na základě měření, často i dlouhodobých
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 13 / 22
Omezení definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Neomezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné
spojité veličiny
Omezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné
spojité veličiny
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 14 / 22
Rozsah datových typů: Celočíselné typy:
Byte (8 bitů – 1 bajt) 0 až 255 Integer (16 bitů – 2 bajty) -32768 až +32767 Word (16 bitů – 2 bajty) 0 až 65 535 Integer (32 bitů – 4 bajty) -2.147.483.648 až 2.147.483.647
Typy s plovoucí čárkou: Float (32 bitů – 4 bajty) ± 3,4 . 10-38 až 3,4 . 1038
Double (64 bitů – 8 bajtů) ± 1,7 . 10-308 až 1,7 . 10308
Long double (80 bitů – 10 bajtů) ± 3,4 . 10-4932 až 3,4 . 104932
Omezení definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti
Omezení rozsahu definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti z důvodu počítačové interpretace:
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 15 / 22
Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy
1. Původní (originální)
rozdělení pravděpodobnosti
2. Diskrétní (discrete) rozdělení
pravděpodobnosti
3. Čistě diskrétní(pure discrete)
rozdělení pravděpodobnosti
4. Po částech rovnoměrné
rozdělení pravděpodobnosti
1. 2.
3. 4.
Intenzita
Pra
vděp
odob
nost
(č
etno
st)
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 16 / 22
Náhodná veličinav pravděpodobnostním výpočtu
Stochastické vyjádření náhodné veličiny - variabilní hodnotou (matematickým popisem náhodných vlastností):
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 17 / 22
Pravděpodobnostní funkcí
Rozdělením pravděpodobnosti
Histogramem
Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti
Histogram omezeného diskrétního (discrete)
rozdělení pravděpodobnosti
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 18 / 22
Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti
Histogram aproximace parametrického
rozdělení pravděpodobnosti
omezeným diskrétním(discrete) rozdělením
pravděpodobnosti
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 19 / 22
Histogram čistě diskrétního rozdělení pravděpodobnosti
Histogram čistě diskrétního (pure
discrete) rozdělení pravděpodobnosti
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 20 / 22
Struktura datového souborus definicí histogramu
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 21 / 22
Textový soubor s příponou *.dis (distribution), jenž obsahuje údaje následujícího tvaru:
[Description] (1. oddíl datového souboru)Identification= volitelný popis datového souboruType= Pure Discrete | Discrete | Continuous (typ empirického rozdělení)
[Parameters] (2. oddíl datového souboru)Min= minimální funkční hodnotaMax= maximální funkční hodnotaBins= celkový počet tříd daného histogramuTotal= součet četností ve všech třídách
[Bins] (3. oddíl datového souboru)četnost v 1. tříděčetnost ve 2. tříděatd. ...
Závěry
Přednáška:
byla zaměřena na základní pojmy teorie pravděpodobnosti, které souvisejí s pravděpodobností náhodného jevu,
ukázala možnosti pravděpodobnostního vyjádření náhodné veličiny,
zmínila omezení definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti v pravděpodobnostních výpočtech vlivem aproximace rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin,
stručně zmínila způsoby definice histogramu náhodné veličiny v datových souborech pravděpodobnostních výpočtů.
Závěry 22 / 22
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Děkuji za pozornost!