23
Toskalautviklinger Mek3100/4100 Geir Pedersen Matematisk Institutt, UiO Flerskala... – p.1/23

Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

ToskalautviklingerMek3100/4100

Geir Pedersen

Matematisk Institutt, UiO

Flerskala... – p.1/23

Page 2: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Motivasjon

Mange problemer inneholder forskjellige tids- ogromskalaer

Eksempel: grensesjikt; rask skala bare i grensesjiktet

Flere skalaer globalt behov for ny metode

Lineære likninger: WKB(J)

Flerskala... – p.2/23

Page 3: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Eksempel 1: dempet svingning

� ����� � ���

���� � � � � � � � ���

�� � �� � �(1)

� – liten parameter.

Fysisk tolkning: motstandskraft proporsjonal medhastigheten

Flerskala... – p.3/23

Page 4: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Direkte perturbasjon

� � � � �� � � �� � � � �

� �� �

� � � ��� � � � � � �

� � � � ���

�� � � �� � ��

Løsning:� � � �� � �

Flerskala... – p.4/23

Page 5: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Direkte perturbasjon � �

� � � ��� � � � � � �

�� ��� � � ��� � �

� � � ��� � �

�� � �

Resonans sekulære ledd

� � ��

�� � ��� � � � � � � � �

Lite motstandsledd demper løsning systematisk � � � blirstor

Flerskala... – p.5/23

Page 6: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Innføring av langsom tid

Ny tidsvariabel

� � � � �

Tidsderiverte

��� �

� ���

� �

� ��� � �

� � � � ��

� � �

��� � � � � �

Likning

� � � � � � ��� � �

� � � �

� �

� �� � � � �

� ��

� �

� � � � ���

� � � � ��

� � � � � �

Flerskala... – p.6/23

Page 7: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Toskalapertubasjon

Rekken

� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � �

� �� � � � �

� � � � � � � � � � � � ���

� � � � � � ��

Løsningen blir

� � � ! � � � � � � � � " � � � � ��� � � ! � � � � � " � � �

! �, " � bestemmes til neste orden.

Flerskala... – p.7/23

Page 8: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

� �

� � � � � � � � � �

� � � � �

� � � � �

� � ! � � � � ! �� �

� ��� � � � " � � � � " �� �

� � � �

� � � � � ���

� � � � � � �

� � � �

� �

Ingen sekulære ledd

! � � � � ! �� � � " � � � � " �� � � ��

Flerskala... – p.8/23

Page 9: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

� �

, forts.

Initialbetingelser for

! �, " �:

! � � # $ %& ' � " � � �Ingen partikulærløsning til

� ��

:

� � � ! � � � � � � � � " � � � � ��� � � ! � � � � " � � ��

Total løsning

� � # $ %& ( ) � � � � �� � ! � �� � �� � � � " � �� � � ��� � � � �� � �

NB!��

: sekulære ledd, må evt. innføre � � � � � �

.

Flerskala... – p.9/23

Page 10: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Eksakt løsning

� � # $ %& ( ) �� � * � � �� * � ��� * � �

der * � � � �+� � � � � � �� �

. Vi ser at toskalaløsningen

stemmer, inklusive

" � � � �� .

Flerskala... – p.10/23

Page 11: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Eksempel 2: ikkelineær svingning

Skalert likning for ikkelineær pendel

� �-,�� � � , �

�. , / � � , � � � �

�, � �� � �

Poincare-LindstedVi søker en periodisk løsning med frekvens* � * � ��� * � � � � � .

FlerskalaVi opfatter� �

som en langsom tidsskala med virkning påfasen.

Flerskala... – p.11/23

Page 12: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Toskalautvikling, ikkelineær pendel

Innfører � � � �

�, � � � , �� �

�0, � � �

�. , / ��� � �0, � � �

, � � � ���

, � � � ���

, � � � � �

Pertubasjonsrekke

, � , � � � � � �� , � � � � � � � � � �

Flerskala... – p.12/23

Page 13: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Ikkelineær pendel; � 1

�0, � � � � , � � � , � � � � � �

, � � � � � �

Eksponentialform

, � � ! � � � # 2 ) � ! � � � # $ 2 )� ! � � ��

� �

der

! � er komplekskonjugert av

! �.

Flerskala... – p.13/23

Page 14: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Ikkelineær pendel; � �

� , � � � � , � �

�. , / � � �

�0, � � �

��

.! / � # / 2 ) � � � 3 � ! �

� �� �

�! � ! � � # 2 ) � �� �� �

der �� �� indikerer komplekskonjugert.Ingen sekulære ledd:

3 � ! �� � �

�4

! � ! � � � �

Flerskala... – p.14/23

Page 15: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Ikkelineær pendel; � �

, forts.

Fra forrige lysark

3 � ! �� � �

�4

! � ! � � � �Innsettes

! � � 5 ! � 5 # 26

� 5 ! � 5� � � �

�� � � �

�4

5 ! � 5 � �

Initialbetingelse for

! �! � �

�� # $ 7%8 '

Flerskala... – p.15/23

Page 16: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Sammensatt løsning

, ��

� # 2 9 � $ :% 8 ; ) ��

<= 4 # / 2 9 � $ :%8 ; ) � �� �� � � �� �

� � � � � � ��

�. � �

��> � �� � < � � �

��.

� � � �� �

Kan bekreftes ved Poincare-Lindsted.

Flerskala... – p.16/23

Page 17: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Eksempel 3: Pendel med variabel lengde

Spinnsatsen om opphengningspunktet

? @ � � A ? A �CB � �=utslag,

?

=lengde og prikk er tidsderivasjonSkalering:

� �B

? � �D � E �

?? � �

F �G �

Langsom skala, � � � �, beskriver endringen av E.

E � � � � F

�� � � ��� E

� �� F

�� � F � ��

Flerskala... – p.17/23

Page 18: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Forsøk: direkte bruk av flerskalautvikling

Initialbetingelser (valg av G)

F � � � �

� F�� � �

Rekkeutvikling

F � F � � � � � �� F � � � � � � � � �

� �� � E

� F � � � � F � � � F � � � ���

F � � � � �

løsning

F � � ! � � � # 2IH J %& ) � ! � # $ 2IH J %& )� ! � � ��

� �

Flerskala... – p.18/23

Page 19: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Direkte flerskalautvikling; � �

E � F �

� � � F � � KML F � � � � �

F � � � � � �

F � � �

der

KL � � � E � F �

� � � � � E� �

F � �

� � � 3 E %&� ! �

� �� 3 E $ %& ! �

� E� �

� � � ! � E $ � E

� # 2H J %& ) � ��

forekommer sekulært ledd i

F � .Mislykket forsøk fordi rask periode ikke er konstant

Flerskala... – p.19/23

Page 20: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Modifisert flerskalautvikling

Variabel tidskala �N�� � O � � �

transformasjon ��� � O

N ��

� �

� ��� � � O �

� N � �� � � O

� N �

�� O

� �

N ��� � �

� � �

Vi må bestemme O slik at sekulære ledd unngås.Perturbasjonsrekke

F � F � N � � ��� F � � N � � � � � �

Flerskala... – p.20/23

Page 21: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Modifisert flerskalautvikling; � 1

E O � � F �

N � � F � � � F � � � � ���

F � � �

N � ��

Problem fra forrige forsøk:� eksplisitt i eksponenten.Unngås ved O � E $ %&

F � � ! � � � # 2P � ! � � � # $ 2P � ! � � ��

� �

Flerskala... – p.21/23

Page 22: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

� �

� F � N � � F � Q KML �

der

KML � � � O E � F �

N � � � O� E

� � F �

N � E� O

� � F �

N

� � 3 � O E� ! �

� �� � O ! �

� E� �

� E� O

� �! � # 2P � �� ��

� � 3 � E %&� ! �

� �� <

� E $ %& ! �� E

� � # 2P � �� ��

Separabel likning for

! � ! � � R� � � S � T E $ UV

Flerskala... – p.22/23

Page 23: Toskalautviklingerfolk.uio.no/geirkp/mek3100/twotalk.pdf · 2013-11-12 · Direkte perturbasjon Resonans sekulære ledd Lite motstandsledd demper lłsning systematisk blir stor Flerskala

Merknad: Wave action

Energien i pendelen:

W � WL � WYX

WYX : potensiell energi; endring i

?

WL : Energi knyttet til pendelbevegelse

WL ��

� Z ? � A � � ZB ? � � � � � � �

Små utslag, skalering, inn medF �

WL � � ZB ? � �G E ! � � � � � � �� �

WL ikke konstant, men “bølgevirkning” (“wave action”)

WL*

[ R� � � S � � * �B

?

Flerskala... – p.23/23