View
250
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS 23. janúar 2008, Kennaraháskóla
Íslands
Aðferðafræði og menntarannsóknir 50.00.04http://starfsfolk.khi.is/meyvant/menntarannsoknir.htm
Verkefni úr síðasta tíma
• Dæmi 1 var hugsuð sem æfing í Excel– Summa (SUM – ath. táknið Σ) – Margfeldi (PRODUCT)
• Dæmi 3 – Nafnbreyta –virkur/óvirkur– Raðbreyta-mjög virkur-frekar virkur-frekar óvirkur
mjög óvirkur eða hversu virkur á kvarða 1-7
• Dæmi 5– Setja tölu: Algengt að nota “hattinn”: ^
Dreifing
• Jákvætt skekkt (bls 136-137 í McMillan) – Mörg gildi eru á lægri enda kvarðans (Mynd 2)– T.d ef fleiri eru með lágar einkunnir, lág laun
Meðaltal er hærra en miðgildi
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
Jákvætt skekkt dreifingEinkunn
Mean 3,15Standard Error 0,424729016
Median 3Mode 1
Standard Deviation 1,899445903
Sample Variance 3,607894737
Skewness 0,529797357Range 6
Minimum 1
Maximum 7
Sum 63
Count 20
Dreifing
• Neikvætt skekkt (bls 136-137) • Fleiri gildi eru á hærri enda kvarðans (Mynd 3)• Margir með háar einkunnir, margir með há laun
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
Meðaltal lægra en miðgildi
Neikvætt skekkt dreifing
Mynd 3
Mean 4,578947
Standard Error 0,399677
Median 5Mode 6
Standard Deviation 1,74215
Sample Variance 3,035088
Kurtosis -0,58636
Skewness -0,53516
Range 6
Minimum 1
Maximum 7
Sum 87
Count 19
Dreifing verkefni 9
• Búðu til talnasafn og súlurit með tveimur tíðustu gildum (tvítoppa/bimodal)
• Sjá McMillan bls 136• 1,2,2,2,2,3,4,5,6,6,6,6,7
• Passa að slá inn tíðnina og setja gildin á x ásinn
tvítoppa
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1 2 3 4 5 6 7
Staðalfrávik-hvað segir það okkur ?
• Hversu langt að meðaltali tölurnar eru frá meðaltalinu
• Skoðum mismunandi dreifingar með sama meðaltal en mism. staðalfrávik
Staðalfrávik framh
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Stökin raðast í kringum meðaltalið sem er 5
Það eru allir með 4,5,eða 6Staðalfrávikið er 0,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Meðaltalið er 5 Stökin dreifast mun meira
Staðalfrávikið er hærraStaðalfrávikið er 2,3
Meira um dreifingu, túlkun og tengls breyta
• Normaldreifing og normalkúrfa (bjöllukúrfa)
• Stöðlun tölugilda (einkunna)
• Z-gildi, staðalníur og fleiri staðlaðar einkunnir
• Fylgni
• Stutt kynning á aðhvarfsgreiningu (regression)
Fyrst nokkur atriði til upprifjunar
• X: 3, 6 og 9 Y: 2, 5 og 8• ΣX = 3 + 6 + 9 = • ΣX2 = 9 + 36 + 81• (ΣX)2 = (3 + 6 + 9)2 = • ΣXY = (6 + 30 + 72)• (ΣXY)2 = (6 + 30 + 72)2
• Ath einnig nokkur atriði í Excel: Gera myndrit, Meðaltal, staðalfrávik, miðgildi, tíðasta gildi, hlutfallstíðni, fylgni,vegið meðaltal ...
Normaldreifing - Normalkúrfa
• Graf sem hefur lögun eins og “bjalla”, samhverf með einn topp.
• Einkenni: Mælingar eru flestar kringum meðaltalið, en fækkar svo til beggja hliða.
• Geta haft mismunandi meðaltöl og staðalfrávik, en meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi það sama í hverju tilviki.
Dæmi: Greindarvísitala – Meðaltal 100, staðalfrávik 15 • Mælingar á raunverulegum fyrirbærum í menntun aldrei
fullkomlega normaldreifðar, en slík dreifing heppileg til að nota við stöðlun prófa og túlkun niðurstaðna.
z-gildi
• Breyta má einkunnum í svonefnd z-gildi og fá normalkúrfu þeirra. Segjum að nemandi fái einkunnina 7, meðaltal hópsins sé 6,5 og staðalfrávikið 0,8 þá má reikna z-gildið:
s
XXz
(7 – 6,5)/0,8 = 0,63
z-gildi
• Kosturinn við stöðluð gildi eins og z-gildi er að auðveldlega má bera saman ólíkar mælingar.
• Hvert er meðaltalið skv. bjöllu-myndinni? Hve mörg % eru fyrir ofan það?
• Hve stór hluti mælinganna liggur milli z = -1 og z = +1?• Mikilvægt að hafa í huga til að lesa úr töflum:
.3413 = 0,3412 = 34,12% Ef z-gildi er 0,22 má lesa í töflu að .0871 (8,7%) er
stærð svæðis milli meðaltalsins og z-gildisins, þ.e. þetta samsvarar því að 58,7% einkunna eru fyrir neðan.
s
XXz
z-gildi
• Jóna fékk einkunnina 7,0. Meðaltal hópsins var 8,0 og staðalfrávik 1,2. Hvar stendur hún samanborið við aðra nemendur?
• z = - 0,83• Skv. töflu (sjá vef) eru rúm 20% nemenda lægri en hún.• Hve mörg % mælinga liggja milli z = -1,1 og z = 0,0?• Hve mörg % liggja milli z = -2,3 og z = -0,2?
• z-gildi er í raun hlutfall því það sýnir mismun mælitölu og meðaltals (frávik) sem hluta af staðalfráviki (hluti/heild).
s
XXz
Fleiri stöðluð gildi í notkun
• T-gildi: Engar negatívar tölur og eingöngu heilar tölur. Þá er meðaltalið stillt á 50 og staðalfrávikið á 10, en reikniformúla byggð á z-gildi: T = 10 z + 50. Nemandi fær 21 stig á prófi þar sem meðaltalið er 27 og
staðalfrávikið 6. Þá er z-gildið hans -1 og T-gildið er 40.
• Stanine-gildi (staðalníur), einnig án negatívra talna og námundað að heilum tölum 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eða 9: Stan = 2 z + 5.
Stöðlun einkunna í samræmdum prófum hjá Námsmatsstofnun
• NMST-gildi: Engar negatívar tölur og eingöngu heilar tölur. Normaldreifðar einkunnir á kvarðanum 0-60. Meðaltalið stillt á 30 og staðalfrávikið á 10, en reikniformúla byggð á z-gildi: NMST = 10 z + 30 Nemandi fær 63 stig á 100 stiga prófi þar sem
meðaltalið er 67 og staðalfrávikið 12. Hvar stæði hann samanborið við aðra nemendur? Hver væri NMST-einkunn hans?
Fylgni – Að skoða tengsl milli breyta, t.d. X og Y• Margs konar fylgnistuðlar til. Hér er fjallað um
Pearsons r: Dæmi gæti verið tengsl milli einkunna í stærðfræði
og íslensku Þótt fylgni geti verið sterk gildir það jafnan ekki um
allar breytur í gagnasafninu Fylgnistuðull getur bæði verið jákvæður og
neikvæður, Pearsons r getur verið á bilinu -1 til +1 Fylgni upp á 0,8 eða meira telst mjög sterk, einnig
fylgni upp á -0,8 eða þar fyrir neðan. Varast að draga ályktanir um orsakasamband
þegar tengsl eru milli breyta.
FylgniDæmi: tengsl milli menntunar og kjörsóknar
Sveitar-félag
X Y
A 11,9 55
B 12,1 60
C 12,7 65
D 12,8 68
E 13,0 70
• Hér er fylgni milli menntunar og kjörsóknar í 5 sveitarfélögum skoðuð
X er meðalárafjöldi í skóla
Y er kjörsókn í %
Færum inn í töflu
5.125/5.62/ NXX
X Y X2 Y2 XY
11,9 55 141,61 3025 654,5
12,1 60 146,41 3600 726
12,7 65 161,29 4225 825,5
12,8 68 163,84 4624 870,4
13,0 70 169 4900 910
∑X = 62,5 ∑Y = 318 ∑X2 =782,15 ∑Y2 = 20374 ∑XY = 3986,4
6.635/318/ NYY
Reiknum svo samkvæmt formúlu:
2222 )(][)([
))((
YYNXXN
YXXYNr
984,0)318()20374(5*)5,62()15,782(5
)318)(5,62()4,3986(522
Aðhvarfsgreining (regression):
• Tengsl milli breyta nýtt til að spá fyrir um eina breytu út frá annarri breytu, t.d. Árangur á æðra skólastigi út frá árangri á lægra skólastigi
• Við söfnum gögnum um einkunnir af báðu skólastigum og skoðum sambandið milli þeirra með grafi: Fundir er lína sem tengir báðar breyturnar
Aðhvarfsgreining (regression):
• Deplar tákna gögnin
• Fjólubláa línan er svokölluð aðhvarfslína.
• Grafið notað til að spá fyrir um árangur nemenda sem eru að hefja nám eða til að velja inn í skóla Science education research center
Carleton College
Formúla fyrir aðhvarfslínu
Y’=bX + a
• Y’ er breytan sem spáð er fyrir um• b táknar hallatölu línunnar• X er breytan sem er notuð til að spá með • a er skurðpunkturinn við Y-ásinn
Dæmi af vef Amalíu Björnsdóttur
• Aðhvarfslínan sem spáir fyrir um námsgengi í KHÍ út frá meðaleinkunn í menntaskóla gæti verið eftirfarandi:
Y’=0,8X + 0,6
Umsækjandi A var með 6,2 í meðaleinkunn í menntaskóla. Hverju er spáð um meðaleinkunn umsækjanda A í KHÍ?
Dæmi af vef Amalíu Björnsdóttur - frh.
• Y’=0,8X + 0,6
• Y’= 0,8*6,2 + 0,6=5,56
• Við spáum að A fái 5,56 í meðaleinkunn í KHÍ.• Okkar spá verður sjaldan alveg rétt fyrir hvern einstakling
• Fyrir hópinn sem heild er villan samt minni en ef við notum einhverja aðra línu til að spá